Logarithms Questions in Hindi

(B) गुणधर्म $\frac{1}{\log _{a} b} = \log _{b} a$ का उपयोग करते हुए,हम व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$\log _{n} 2 + \log _{n} 3 + \log _{n} 4 + \ldots + \log _{n} 2020$
गुणधर्म $\log _{b} x + \log _{b} y = \log _{b} (xy)$ का उपयोग करते हुए,हमें प्राप्त होता है:
$\log _{n} (2 \times 3 \times 4 \times \ldots \times 2020)$
चूंकि $n = (2020)!$ है,इसलिए व्यंजक बन जाता है:
$\log _{n} (n) = 1$

(D) दी गई व्यंजक $P = \log(\sin 1^{\circ}) \cdot \log(\sin 2^{\circ}) \cdot \dots \cdot \log(\sin 90^{\circ}) \cdot \dots \cdot \log(\sin 179^{\circ})$ है।
हम जानते हैं कि $\sin 90^{\circ} = 1$ होता है।
इसलिए,पद $\log(\sin 90^{\circ}) = \log(1) = 0$ होगा।
चूंकि यह व्यंजक $\log(\sin 90^{\circ})$ सहित कई पदों का गुणनफल है,इसलिए पूरा गुणनफल $0$ हो जाएगा क्योंकि किसी भी संख्या का $0$ से गुणा करने पर परिणाम $0$ आता है।
अतः,मान $0$ है।

(D) दोनों पक्षों में $\log_2$ लेने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(\frac{3}{4}(\log_2 x)^2 + \log_2 x - \frac{5}{4}) \cdot \log_2 x = \log_2(2^{1/2})$
मान लीजिए $y = \log_2 x$. तब समीकरण बनता है:
$(\frac{3}{4}y^2 + y - \frac{5}{4})y = \frac{1}{2}$
$4$ से गुणा करने पर:
$(3y^2 + 4y - 5)y = 2$
$3y^3 + 4y^2 - 5y - 2 = 0$
मानों की जाँच करने पर,$y = 1$ एक मूल है क्योंकि $3(1)^3 + 4(1)^2 - 5(1) - 2 = 0$.
$(y - 1)$ से विभाजित करने पर,हमें $(y - 1)(3y^2 + 7y + 2) = 0$ प्राप्त होता है।
गुणनखंड करने पर: $(y - 1)(3y + 1)(y + 2) = 0$.
मूल $y = 1, y = -1/3, y = -2$ हैं।
चूँकि $y = \log_2 x$,इसलिए $x = 2^1, x = 2^{-1/3}, x = 2^{-2}$ प्राप्त होते हैं।
तीनों मान वास्तविक और धनात्मक हैं,इसलिए ठीक तीन वास्तविक समाधान हैं।

(D) हम $\log a + \log b = \log (ab)$ गुणधर्म का उपयोग करते हैं।
$\log (\cosh 3 + \sinh 3) + \log (\cosh 3 - \sinh 3) = \log ((\cosh 3 + \sinh 3)(\cosh 3 - \sinh 3))$
$= \log (\cosh^2 3 - \sinh^2 3)$
चूंकि हाइपरबोलिक फलनों के लिए सर्वसमिका $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$ है,इसलिए हमें प्राप्त होता है:
$= \log (1)$
$= 0$

(A) दिया गया है,$a^x = b^y = c^z = d^w = k$ (माना).
तब,$x = \log_a k$,$y = \log_b k$,$z = \log_c k$,$w = \log_d k$.
व्युत्क्रम लेने पर,$\frac{1}{x} = \log_k a$,$\frac{1}{y} = \log_k b$,$\frac{1}{z} = \log_k c$,$\frac{1}{w} = \log_k d$.
हमें $x\left(\frac{1}{y} + \frac{1}{z} + \frac{1}{w}\right)$ का मान ज्ञात करना है।
मान रखने पर,$x\left(\log_k b + \log_k c + \log_k d\right) = x \log_k(bcd)$.
चूंकि $x = \log_a k$,व्यंजक $\log_a k \cdot \log_k(bcd)$ हो जाता है।
आधार परिवर्तन सूत्र का उपयोग करने पर,$\log_a k \cdot \log_k(bcd) = \log_a(bcd)$.

(D) दिया गया व्यंजक: $\log _{10}\left(\frac{a+10 b+10^2 c}{10^{-4} a+10^{-3} b+10^{-2} c}\right)$
हर (denominator) का सरलीकरण:
$10^{-4} a+10^{-3} b+10^{-2} c = \frac{a}{10^4} + \frac{b}{10^3} + \frac{c}{10^2} = \frac{a+10b+10^2c}{10^4}$
लघुगणक में मान रखने पर:
$\log _{10}\left(\frac{a+10 b+10^2 c}{\frac{a+10 b+10^2 c}{10^4}}\right) = \log _{10}(10^4)$
$\log_b(b^x) = x$ के गुणधर्म का उपयोग करने पर:
$\log _{10}(10^4) = 4$

(D) दिया गया है,$\log _{27}(\log _3 x) = \frac{1}{3}$.
लघुगणक की परिभाषा $\log _a b = c \Rightarrow b = a^c$ का उपयोग करने पर:
$\log _3 x = (27)^{1/3}$.
चूंकि $27 = 3^3$,इसलिए $(27)^{1/3} = (3^3)^{1/3} = 3^1 = 3$.
अतः,$\log _3 x = 3$.
पुनः,लघुगणक की परिभाषा के अनुसार,$x = 3^3$.
इसलिए,$x = 27$.

(A) दिया गया समीकरण: $3 \sinh (2 \theta) = 13 - 3 e^{2 \theta}$
$\sinh (2 \theta) = \frac{e^{2 \theta} - e^{-2 \theta}}{2}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$3 \left( \frac{e^{2 \theta} - e^{-2 \theta}}{2} \right) = 13 - 3 e^{2 \theta}$
माना $x = e^{2 \theta}$. चूंकि $e^{2 \theta} > 0$,इसलिए $x > 0$ है।
$\frac{3}{2} (x - \frac{1}{x}) = 13 - 3x$
$3(x^2 - 1) = 2x(13 - 3x)$
$3x^2 - 3 = 26x - 6x^2$
$9x^2 - 26x - 3 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $9x^2 - 27x + x - 3 = 0$
$9x(x - 3) + 1(x - 3) = 0$
$(9x + 1)(x - 3) = 0$
चूंकि $x > 0$,इसलिए $x = 3$ होगा।
$e^{2 \theta} = 3$
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर:
$2 \theta = \log 3$
$\theta = \frac{1}{2} \log 3$

(D) माना $I = \frac{\cosh \alpha}{1-\tanh \alpha} + \frac{\sinh \alpha}{1-\coth \alpha}$ है।
$\tanh \alpha = \frac{\sinh \alpha}{\cosh \alpha}$ और $\coth \alpha = \frac{\cosh \alpha}{\sinh \alpha}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \frac{\cosh^2 \alpha}{\cosh \alpha - \sinh \alpha} + \frac{\sinh^2 \alpha}{\sinh \alpha - \cosh \alpha}$
$I = \frac{\cosh^2 \alpha - \sinh^2 \alpha}{\cosh \alpha - \sinh \alpha}$
चूँकि $\cosh^2 \alpha - \sinh^2 \alpha = 1$,इसलिए $I = \frac{1}{\cosh \alpha - \sinh \alpha}$ प्राप्त होता है।
सर्वसमिका $\cosh \alpha - \sinh \alpha = e^{-\alpha}$ का उपयोग करने पर,$I = \frac{1}{e^{-\alpha}} = e^{\alpha}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $\alpha = \log_e(2+\sqrt{3})$,अतः $e^{\alpha} = 2+\sqrt{3}$।

(B) हम प्रतिलोम अतिपरवलयिक फलनों के लघुगणकीय रूप जानते हैं:
$\sec h^{-1} x = \log \left(\frac{1+\sqrt{1-x^2}}{x}\right)$
$\tan h^{-1} x = \frac{1}{2} \log \left(\frac{1+x}{1-x}\right)$
$\sin h^{-1} x = \log \left(x+\sqrt{x^2+1}\right)$
$x = \frac{1}{2}$ के लिए:
$\sec h^{-1} \frac{1}{2} = \log (2+\sqrt{3})$
$\tan h^{-1} \frac{1}{2} = \log \sqrt{3}$
$\sin h^{-1} \frac{1}{2} = \log \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)$
अतः,व्यंजक:
$= e^{\log \left((2+\sqrt{3}) \cdot \sqrt{3} \cdot \frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)}$
$= \frac{3 + 2\sqrt{3} + 3\sqrt{5} + 2\sqrt{15}}{2}$

(A) हम प्रतिलोम हाइपरबोलिक फलनों की लघुगणकीय परिभाषाओं का उपयोग करते हैं: $\tanh^{-1}(x) = \frac{1}{2} \ln(\frac{1+x}{1-x})$ और $\operatorname{coth}^{-1}(x) = \frac{1}{2} \ln(\frac{x+1}{x-1})$.
$\tanh^{-1}(\frac{1}{2})$ के लिए:
$\tanh^{-1}(\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \ln(\frac{1+1/2}{1-1/2}) = \frac{1}{2} \ln(\frac{3/2}{1/2}) = \frac{1}{2} \ln(3) = \log \sqrt{3}$.
$\operatorname{coth}^{-1}(3)$ के लिए:
$\operatorname{coth}^{-1}(3) = \frac{1}{2} \ln(\frac{3+1}{3-1}) = \frac{1}{2} \ln(\frac{4}{2}) = \frac{1}{2} \ln(2) = \log \sqrt{2}$.
इन परिणामों को जोड़ने पर:
$\log \sqrt{3} + \log \sqrt{2} = \log(\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}) = \log \sqrt{6}$.

(D) हम जानते हैं कि $\operatorname{Sinh}^{-1}(y) = \log(y + \sqrt{y^2+1})$.
मान लीजिए $y = \frac{a}{\sqrt{1-a^2}}$.
तब $y^2+1 = \frac{a^2}{1-a^2} + 1 = \frac{a^2+1-a^2}{1-a^2} = \frac{1}{1-a^2}$.
अतः,$\sqrt{y^2+1} = \frac{1}{\sqrt{1-a^2}}$ (चूंकि $a < 1$).
इस प्रकार,$\operatorname{Sinh}^{-1}\left(\frac{a}{\sqrt{1-a^2}}\right) = \log\left(\frac{a+1}{\sqrt{1-a^2}}\right) = \log\left(\frac{a+1}{\sqrt{(1-a)(1+a)}}\right) = \log\left(\sqrt{\frac{1+a}{1-a}}\right) = \frac{1}{2} \log\left(\frac{1+a}{1-a}\right)$.
दिया गया समीकरण: $2 \operatorname{Sinh}^{-1}\left(\frac{a}{\sqrt{1-a^2}}\right) = \log \left(\frac{1+x}{1-x}\right)$.
प्राप्त मान को प्रतिस्थापित करने पर: $2 \times \frac{1}{2} \log\left(\frac{1+a}{1-a}\right) = \log \left(\frac{1+x}{1-x}\right)$.
इसलिए,$\log\left(\frac{1+a}{1-a}\right) = \log \left(\frac{1+x}{1-x}\right)$.
दोनों पक्षों की तुलना करने पर,हमें $x = a$ प्राप्त होता है।

(D) सर्वसमिका $\tanh^{-1} x = \frac{1}{2} \log_e \left( \frac{1+x}{1-x} \right)$ दी गई है।
लघुगणकीय फलन $\log_e(u)$ को परिभाषित होने के लिए,$u > 0$ होना चाहिए।
इसलिए,हमें $\frac{1+x}{1-x} > 0$ की आवश्यकता है।
मान लीजिए $f(x) = \frac{1+x}{1-x}$ है। क्रांतिक बिंदु $x = -1$ और $x = 1$ हैं।
अंतरालों की जाँच करने पर:
$x < -1$ के लिए,$f(x) < 0$ है।
$-1 < x < 1$ के लिए,$f(x) > 0$ है।
$x > 1$ के लिए,$f(x) < 0$ है।
$x = 1$ और $x = -1$ पर,व्यंजक अपरिभाषित है।
अतः,सर्वसमिका केवल $x \in (-1, 1)$ के लिए मान्य है।

(B) दिया गया है $t=\operatorname{sech}^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)-\operatorname{cosech}^{-1}\left(\frac{3}{k}\right)$.
लघुगणकीय रूपों $\operatorname{sech}^{-1}(x)=\ln\left(\frac{1+\sqrt{1-x^2}}{x}\right)$ और $\operatorname{cosech}^{-1}(x)=\ln\left(\frac{1+\sqrt{1+x^2}}{x}\right)$ का उपयोग करने पर:
$t=\ln\left(\frac{1+\sqrt{1-(1/2)^2}}{1/2}\right)-\ln\left(\frac{1+\sqrt{1+(3/k)^2}}{3/k}\right)$
$t=\ln(2+\sqrt{3})-\ln\left(\frac{k+\sqrt{k^2+9}}{3}\right)$.
दिया गया है $3e^t=2+\sqrt{3}$,इसलिए $e^t=\frac{2+\sqrt{3}}{3}$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $t=\ln\left(\frac{2+\sqrt{3}}{3}\right)$.
$t$ के दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$\ln\left(\frac{2+\sqrt{3}}{3}\right)=\ln\left(\frac{2+\sqrt{3}}{\frac{k+\sqrt{k^2+9}}{3}}\right)$.
इसका अर्थ है $\frac{k+\sqrt{k^2+9}}{3}=3$,अतः $k+\sqrt{k^2+9}=9$.
$\sqrt{k^2+9}=9-k$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $k^2+9=81+k^2-18k$.
$18k=72$,जिससे $k=4$ प्राप्त होता है।

(B) हमारे पास है,$\log (9+3 \sqrt{2}(2+\sqrt{5})+4 \sqrt{5})$
$= \log (9+6 \sqrt{2}+3 \sqrt{10}+4 \sqrt{5})$
$= \log ((3+\sqrt{10})(3+2 \sqrt{2}))$
$= \log (3+\sqrt{10}) + \log (3+\sqrt{8})$
$= \log (3+\sqrt{3^2+1}) + \log (3+\sqrt{3^2-1})$
सर्वसमिकाओं $\sinh^{-1}(x) = \log(x + \sqrt{x^2+1})$ और $\cosh^{-1}(x) = \log(x + \sqrt{x^2-1})$ का उपयोग करने पर:
$= \sinh^{-1} 3 + \cosh^{-1} 3$

(A) हम जानते हैं कि $\sinh(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$ और $\cosh(x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$ है।
प्रथम पद के लिए: $\sinh[\log(2+\sqrt{5})] = \frac{e^{\log(2+\sqrt{5})} - e^{-\log(2+\sqrt{5})}}{2} = \frac{(2+\sqrt{5}) - \frac{1}{2+\sqrt{5}}}{2}$।
चूंकि $\frac{1}{2+\sqrt{5}} = \sqrt{5}-2$,इसलिए $\frac{(2+\sqrt{5}) - (\sqrt{5}-2)}{2} = \frac{4}{2} = 2$।
द्वितीय पद के लिए: $\cosh[\log(2+\sqrt{3})] = \frac{e^{\log(2+\sqrt{3})} + e^{-\log(2+\sqrt{3})}}{2} = \frac{(2+\sqrt{3}) + \frac{1}{2+\sqrt{3}}}{2}$।
चूंकि $\frac{1}{2+\sqrt{3}} = 2-\sqrt{3}$,इसलिए $\frac{(2+\sqrt{3}) + (2-\sqrt{3})}{2} = \frac{4}{2} = 2$।
इन परिणामों को जोड़ने पर: $2 + 2 = 4$।

(A) हम प्रतिलोम अतिपरवलयिक फलनों की लघुगणकीय परिभाषाओं का उपयोग करते हैं: $|x| < 1$ के लिए $\tanh^{-1}(x) = \frac{1}{2} \log \left(\frac{1+x}{1-x}\right)$ और $|x| > 1$ के लिए $\coth^{-1}(x) = \frac{1}{2} \log \left(\frac{x+1}{x-1}\right)$।
$\tanh^{-1}(x)$ में $x = \frac{1}{3}$ रखने पर: $\tanh^{-1}\left(\frac{1}{3}\right) = \frac{1}{2} \log \left(\frac{1 + 1/3}{1 - 1/3}\right) = \frac{1}{2} \log \left(\frac{4/3}{2/3}\right) = \frac{1}{2} \log(2)$।
$\coth^{-1}(x)$ में $x = 2$ रखने पर: $\coth^{-1}(2) = \frac{1}{2} \log \left(\frac{2+1}{2-1}\right) = \frac{1}{2} \log(3)$।
इन परिणामों को जोड़ने पर: $\frac{1}{2} \log(2) + \frac{1}{2} \log(3) = \frac{1}{2} \log(2 \times 3) = \frac{1}{2} \log(6) = \log(6^{1/2}) = \log \sqrt{6}$।

(D) दिया गया है,$x = \log \left( \frac{1}{y} + \sqrt{1 + \frac{1}{y^2}} \right)$.
हम जानते हैं कि प्रतिलोम हाइपरबोलिक कोसेकेंट फलन की परिभाषा $\operatorname{cosech}^{-1} y = \log \left( \frac{1}{y} + \sqrt{\frac{1}{y^2} + 1} \right)$ होती है।
इसकी तुलना दिए गए समीकरण से करने पर,हमें $x = \operatorname{cosech}^{-1} y$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों में हाइपरबोलिक कोसेकेंट लेने पर,हमें $y = \operatorname{cosech} x$ प्राप्त होता है।

(C) हम जानते हैं कि $\operatorname{sech}^{-1}(x) = \log_e \left( \frac{1+\sqrt{1-x^2}}{x} \right)$ और $\operatorname{cosech}^{-1}(x) = \log_e \left( \frac{1}{x} + \sqrt{\frac{1}{x^2}+1} \right)$.
दिया गया समीकरण: $\operatorname{sech}^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)-\operatorname{cosech}^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)=\log _e k$.
सबसे पहले,$\operatorname{sech}^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = \log_e \left( \frac{1+\sqrt{1-(1/2)^2}}{1/2} \right) = \log_e \left( 2(1+\sqrt{3/4}) \right) = \log_e (2+\sqrt{3})$ ज्ञात करें।
इसके बाद,$\operatorname{cosech}^{-1}\left(\frac{3}{4}\right) = \log_e \left( \frac{4}{3} + \sqrt{\frac{16}{9}+1} \right) = \log_e \left( \frac{4}{3} + \sqrt{\frac{25}{9}} \right) = \log_e \left( \frac{4}{3} + \frac{5}{3} \right) = \log_e(3)$ ज्ञात करें।
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $\log_e(2+\sqrt{3}) - \log_e(3) = \log_e k$.
$\log_e \left( \frac{2+\sqrt{3}}{3} \right) = \log_e k$.
अतः,$k = \frac{2+\sqrt{3}}{3}$,जिसका अर्थ है $3k - 2 = \sqrt{3}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(3k-2)^2 = 3$.
$9k^2 - 12k + 4 = 3$.
$9k^2 - 12k + 1 = 0$.

(B) हम प्रतिलोम हाइपरबोलिक फलनों की लघुगणकीय परिभाषाओं का उपयोग करते हैं:
$\operatorname{coth}^{-1} x = \frac{1}{2} \log_e \left(\frac{x+1}{x-1}\right)$,जहाँ $|x| > 1$.
$\tanh^{-1} x = \frac{1}{2} \log_e \left(\frac{1+x}{1-x}\right)$,जहाँ $|x| < 1$.
$\operatorname{cosech}^{-1} x = \log_e \left(\frac{1 - \sqrt{1+x^2}}{x}\right)$,जहाँ $x < 0$.
चरण $1$: प्रत्येक पद की गणना करें।
$\operatorname{coth}^{-1}(3) = \frac{1}{2} \log_e \left(\frac{3+1}{3-1}\right) = \frac{1}{2} \log_e(2) = \log_e \sqrt{2}$.
$\tanh^{-1}\left(\frac{1}{3}\right) = \frac{1}{2} \log_e \left(\frac{1+1/3}{1-1/3}\right) = \frac{1}{2} \log_e \left(\frac{4/3}{2/3}\right) = \frac{1}{2} \log_e(2) = \log_e \sqrt{2}$.
$\operatorname{cosech}^{-1}(-\sqrt{3}) = \log_e \left(\frac{1 - \sqrt{1+(-\sqrt{3})^2}}{-\sqrt{3}}\right) = \log_e \left(\frac{1 - 2}{-\sqrt{3}}\right) = \log_e \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = -\log_e \sqrt{3}$.
चरण $2$: पदों को जोड़ें।
$\operatorname{coth}^{-1}(3) + \tanh^{-1}\left(\frac{1}{3}\right) - \operatorname{cosech}^{-1}(-\sqrt{3}) = \log_e \sqrt{2} + \log_e \sqrt{2} - (-\log_e \sqrt{3}) = \log_e \sqrt{2} + \log_e \sqrt{2} + \log_e \sqrt{3} = \log_e (\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{3}) = \log_e (2\sqrt{3})$.

(C) हम प्रतिलोम हाइपरबोलिक फलनों के लघुगणकीय रूपों का उपयोग करते हैं: $\cosh ^{-1}(x) = \ln(x + \sqrt{x^2 - 1})$ और $\sinh ^{-1}(x) = \ln(x + \sqrt{x^2 + 1})$.
दिया गया है $\cosh ^{-1}\left(\frac{5}{3}\right) + \sinh ^{-1}\left(\frac{3}{4}\right) = k$.
लघुगणकीय रूपों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\ln\left(\frac{5}{3} + \sqrt{\left(\frac{5}{3}\right)^2 - 1}\right) + \ln\left(\frac{3}{4} + \sqrt{\left(\frac{3}{4}\right)^2 + 1}\right) = k$
$\ln\left(\frac{5}{3} + \sqrt{\frac{25}{9} - 1}\right) + \ln\left(\frac{3}{4} + \sqrt{\frac{9}{16} + 1}\right) = k$
$\ln\left(\frac{5}{3} + \sqrt{\frac{16}{9}}\right) + \ln\left(\frac{3}{4} + \sqrt{\frac{25}{16}}\right) = k$
$\ln\left(\frac{5}{3} + \frac{4}{3}\right) + \ln\left(\frac{3}{4} + \frac{5}{4}\right) = k$
$\ln\left(\frac{9}{3}\right) + \ln\left(\frac{8}{4}\right) = k$
$\ln(3) + \ln(2) = k$
$\ln(3 \times 2) = k$
$\ln(6) = k$
अतः,$e^k = 6$.

(A) लघुगणक $\log_{10}(A)$ के $R$ में परिभाषित होने के लिए,तर्क $A > 0$ होना चाहिए।
अतः,$(1.6)^{1-x^2} - (0.625)^{6(1+x)} > 0$।
यहाँ $1.6 = \frac{8}{5}$ और $0.625 = \frac{5}{8} = (\frac{8}{5})^{-1}$ है।
इसलिए,$(\frac{8}{5})^{1-x^2} > (\frac{8}{5})^{-6(1+x)}$।
चूंकि आधार $\frac{8}{5} > 1$ है,इसलिए घातांकों के लिए असमिका इस प्रकार होगी:
$1 - x^2 > -6(1 + x)$
$1 - x^2 > -6 - 6x$
$x^2 - 6x - 7 < 0$
गुणनखंड करने पर: $(x - 7)(x + 1) < 0$।
इस असमिका का हल $x \in (-1, 7)$ है।

(D) फलन $f(x) = \log_2(2^x - 2) + \sqrt{1 - x}$ को परिभाषित होने के लिए,लघुगणक और वर्गमूल दोनों पदों का वास्तविक होना आवश्यक है।
$1$. वर्गमूल के लिए,$1 - x \geq 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $x \leq 1$।
$2$. लघुगणक के लिए,उसका तर्क धनात्मक होना चाहिए: $2^x - 2 > 0$,जिसका अर्थ है $2^x > 2^1$,अतः $x > 1$।
इन दोनों शर्तों को मिलाने पर,हमें $x \leq 1$ और $x > 1$ प्राप्त होता है।
ऐसी कोई वास्तविक संख्या $x$ नहीं है जो $x \leq 1$ और $x > 1$ दोनों को संतुष्ट करती हो,इसलिए ऐसे मानों का समुच्चय रिक्त समुच्चय है,जिसे $\phi$ द्वारा दर्शाया जाता है।

(C) दिया गया है कि $x = \log \left( y + \sqrt{y^2 + 1} \right)$.
प्रतिलोम हाइपरबोलिक साइन फलन की परिभाषा के अनुसार,हम जानते हैं कि $\sinh^{-1}(y) = \log \left( y + \sqrt{y^2 + 1} \right)$.
दिए गए समीकरण की परिभाषा से तुलना करने पर,हमें $\sinh^{-1}(y) = x$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का हाइपरबोलिक साइन लेने पर,हमें $y = \sinh x$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है कि $\left(a+\frac{b}{10}\right)^x = \left(\frac{a}{10}+\frac{b}{100}\right)^y = 1000$ है।
ध्यान दें कि $\frac{a}{10} + \frac{b}{100} = \frac{1}{10} \left(a + \frac{b}{10}\right)$ है।
माना $k = a + \frac{b}{10}$ है। तब दिए गए समीकरण $k^x = 1000$ और $\left(\frac{k}{10}\right)^y = 1000$ हैं।
$k^x = 1000$ से,हमें $k = 1000^{1/x} = 10^{3/x}$ प्राप्त होता है।
$\left(\frac{k}{10}\right)^y = 1000$ से,हमें $\frac{k}{10} = 1000^{1/y} = 10^{3/y}$ प्राप्त होता है।
अतः,$k = 10 \cdot 10^{3/y} = 10^{1 + 3/y}$ है।
$k$ के दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $10^{3/x} = 10^{1 + 3/y}$।
घातांकों की तुलना करने पर: $\frac{3}{x} = 1 + \frac{3}{y}$।
पदों को व्यवस्थित करने पर: $\frac{3}{x} - \frac{3}{y} = 1$।
$3$ से भाग देने पर: $\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{1}{3}$।

(C) दिया गया है $x = \log_{0.1} 0.001$। चूंकि $0.001 = (0.1)^3$,इसलिए $x = \log_{0.1} (0.1)^3 = 3 \log_{0.1} 0.1 = 3(1) = 3$।
दिया गया है $y = \log_9 81$। चूंकि $81 = 9^2$,इसलिए $y = \log_9 9^2 = 2 \log_9 9 = 2(1) = 2$।
अब,हमें $\sqrt{x - 2\sqrt{y}}$ का मान ज्ञात करना है।
$x$ और $y$ के मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\sqrt{3 - 2\sqrt{2}}$ प्राप्त होता है।
हम $3 - 2\sqrt{2}$ को $(\sqrt{2})^2 + (1)^2 - 2(\sqrt{2})(1) = (\sqrt{2} - 1)^2$ के रूप में लिख सकते हैं।
अतः,$\sqrt{3 - 2\sqrt{2}} = \sqrt{(\sqrt{2} - 1)^2} = \sqrt{2} - 1$।

(A) दिया गया है,$a^x = b^y = c^z = d^w = k$ (माना कि).
आधार $a$ के साथ लघुगणक लेने पर:
$x = y \log_a b = z \log_a c = w \log_a d$.
अतः,$\frac{1}{y} = \frac{\log_a b}{x}$,$\frac{1}{z} = \frac{\log_a c}{x}$,और $\frac{1}{w} = \frac{\log_a d}{x}$.
अब,$x\left(\frac{1}{y} + \frac{1}{z} + \frac{1}{w}\right) = x\left(\frac{\log_a b}{x} + \frac{\log_a c}{x} + \frac{\log_a d}{x}\right)$.
$= x \cdot \frac{1}{x} (\log_a b + \log_a c + \log_a d)$.
$= \log_a(bcd)$.

(D) दी गई व्यंजक: $\log _{10}\left(\frac{a+10 b+10^2 c}{10^{-4} a+10^{-3} b+10^{-2} c}\right)$
हर (denominator) से $10^{-4}$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$10^{-4} a + 10^{-3} b + 10^{-2} c = 10^{-4}(a + 10b + 10^2c)$
इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\log _{10}\left(\frac{a+10 b+10^2 c}{10^{-4}(a+10 b+10^2 c)}\right)$
$= \log _{10}\left(\frac{1}{10^{-4}}\right)$
$= \log _{10}(10^4)$
$= 4 \log _{10}(10) = 4(1) = 4$

(B) दिया गया समीकरण: $6^x = 7^{x+4}$
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर: $x \log 6 = (x+4) \log 7$
$\log(mn) = \log m + \log n$ गुणधर्म का उपयोग करने पर: $x(\log 2 + \log 3) = x \log 7 + 4 \log 7$
दिए गए मान $a, b, c$ रखने पर: $x(a+b) = xc + 4c$
$x$ के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर: $x(a+b-c) = 4c$
अतः: $x = \frac{4c}{a+b-c}$

(A) दिया गया समीकरण: $(x^2 \log _x 27) \cdot \log _9 x = x + 4$
गुणधर्म $\log _a b \cdot \log _b c = \log _a c$ का उपयोग करने पर,हमें $\log _x 27 \cdot \log _9 x = \log _9 27$ प्राप्त होता है।
अतः,समीकरण $x^2 \cdot \log _9 27 = x + 4$ हो जाता है।
चूंकि $\log _9 27 = \log _{3^2} 3^3 = \frac{3}{2} \log _3 3 = \frac{3}{2}$,इसलिए समीकरण $x^2 \cdot \frac{3}{2} = x + 4$ है।
$2$ से गुणा करने पर,हमें $3x^2 = 2x + 8$ प्राप्त होता है,जिसे सरल करने पर $3x^2 - 2x - 8 = 0$ मिलता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $3x^2 - 6x + 4x - 8 = 0 \Rightarrow 3x(x - 2) + 4(x - 2) = 0$.
इससे $(3x + 4)(x - 2) = 0$ प्राप्त होता है,अतः $x = 2$ या $x = -\frac{4}{3}$.
चूंकि लघुगणक का आधार $x$ धनात्मक होना चाहिए और $x \neq 1$,इसलिए $x = -\frac{4}{3}$ को अस्वीकार करते हैं।
अतः,$x = 2$।

(A) दिया गया समीकरण: $2 \log (x+1)-\log (x^{2}-1)=\log 2$.
गुणधर्म $n \log a = \log (a^n)$ का उपयोग करने पर,हमें मिलता है $\log (x+1)^2 - \log (x^2-1) = \log 2$.
गुणधर्म $\log a - \log b = \log (a/b)$ का उपयोग करने पर,हमें मिलता है $\log \left( \frac{(x+1)^2}{x^2-1} \right) = \log 2$.
चूँकि $x^2-1 = (x-1)(x+1)$,समीकरण $\log \left( \frac{(x+1)^2}{(x-1)(x+1)} \right) = \log 2$ बन जाता है।
भिन्न को सरल करने पर,हमें मिलता है $\log \left( \frac{x+1}{x-1} \right) = \log 2$.
अतः,$\frac{x+1}{x-1} = 2$.
$x+1 = 2(x-1) \Rightarrow x+1 = 2x-2$.
$x = 3$.
लघुगणकीय पदों के परिभाषित होने के लिए,$x+1 > 0$ और $x^2-1 > 0$ होना आवश्यक है,जिसका अर्थ है $x > 1$.
अतः,$x = 3$ ही एकमात्र मान्य हल है।

(A) दोनों पक्षों में $\log _{3}$ लेने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(\log _{3} x)^{2}-\frac{9}{2} \log _{3} x+5 = \log _{3} (3 \sqrt{3}) = \log _{3} (3^{3/2}) = \frac{3}{2}$.
माना $t = \log _{3} x$. तब समीकरण बन जाता है:
$t^{2} - \frac{9}{2} t + 5 = \frac{3}{2}$.
$2$ से गुणा करने पर,हमें $2t^{2} - 9t + 10 = 3$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $2t^{2} - 9t + 7 = 0$ हो जाता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(2t - 7)(t - 1) = 0$.
अतः,$t = 1$ या $t = \frac{7}{2}$.
$t = 1$ के लिए,$\log _{3} x = 1 \Rightarrow x = 3^{1} = 3$.
$t = \frac{7}{2}$ के लिए,$\log _{3} x = \frac{7}{2} \Rightarrow x = 3^{7/2} = 27\sqrt{3}$.
दोनों मूल वास्तविक हैं। इसलिए,समीकरण का कम से कम एक वास्तविक मूल है।

(B) दिया गया समीकरण: $\log _{2} 6 + \frac{1}{2x} = \log _{2} (2^{\frac{1}{x}} + 8)$
$\log _{2} 6 = \log _{2} (2 \times 3) = 1 + \log _{2} 3$ का उपयोग करने पर:
$1 + \log _{2} 3 + \frac{1}{2x} = \log _{2} (2^{\frac{1}{x}} + 8)$
$\log _{2} 3 + \frac{1}{2x} = \log _{2} (2^{\frac{1}{x}} + 8) - 1$
$\log _{2} 3 + \frac{1}{2x} = \log _{2} (2^{\frac{1}{x}} + 8) - \log _{2} 2$
$\log _{2} 3 + \frac{1}{2x} = \log _{2} \left( \frac{2^{\frac{1}{x}} + 8}{2} \right)$
$\frac{1}{2x} = \log _{2} \left( \frac{2^{\frac{1}{x}} + 8}{6} \right)$
$2^{\frac{1}{2x}} = \frac{2^{\frac{1}{x}} + 8}{6}$
माना $y = 2^{\frac{1}{2x}}$,तो $y^2 = 2^{\frac{1}{x}}$.
$6y = y^2 + 8$
$y^2 - 6y + 8 = 0$
$(y - 4)(y - 2) = 0$
$y = 4$ या $y = 2$
यदि $2^{\frac{1}{2x}} = 4 = 2^2$,तो $\frac{1}{2x} = 2 \Rightarrow x = \frac{1}{4}$.
यदि $2^{\frac{1}{2x}} = 2 = 2^1$,तो $\frac{1}{2x} = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{2}$.

(C) दिया गया समीकरण: $x+\log _{10}\left(1+2^{x}\right)=x \log _{10} 5+\log _{10} 6$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\log _{10}\left(1+2^{x}\right) = x \log _{10} 5 - x + \log _{10} 6$
$\log _{10}\left(1+2^{x}\right) = x \log _{10} 5 - x \log _{10} 10 + \log _{10} 6$
$\log _{10}\left(1+2^{x}\right) = \log _{10} 5^{x} - \log _{10} 10^{x} + \log _{10} 6$
$\log _{10}\left(1+2^{x}\right) = \log _{10}\left(\frac{5^{x} \cdot 6}{10^{x}}\right)$
दोनों पक्षों का एंटीलॉग लेने पर:
$1+2^{x} = \frac{5^{x} \cdot 6}{2^{x} \cdot 5^{x}}$
$1+2^{x} = \frac{6}{2^{x}}$
माना $2^{x} = t$। तब $1+t = \frac{6}{t}$
$t + t^{2} = 6$
$t^{2} + t - 6 = 0$
$(t+3)(t-2) = 0$
चूंकि $t = 2^{x} > 0$,इसलिए $t = 2$।
$2^{x} = 2^{1} \Rightarrow x = 1$.

(A) दिया गया समीकरण: $(\log _{5} x)(\log _{x} 3x)(\log _{3x} y) = \log _{x} x^{3}$
आधार परिवर्तन सूत्र $\log _{b} a = \frac{\log a}{\log b}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{\log x}{\log 5} \times \frac{\log 3x}{\log x} \times \frac{\log y}{\log 3x} = 3 \log _{x} x$
बाएँ पक्ष में समान पदों को काटने पर:
$\frac{\log y}{\log 5} = 3(1)$
$\log _{5} y = 3$
घातांकीय रूप में बदलने पर:
$y = 5^{3} = 125$

(C) हमारे पास है,$\log _{0.2}(x-1) > \log _{0.04}(x+5)$
$\Rightarrow \log _{0.2}(x-1) > \log _{0.2^{2}}(x+5)$
$\Rightarrow \log _{0.2}(x-1) > \frac{1}{2} \log _{0.2}(x+5)$
$\Rightarrow 2 \log _{0.2}(x-1) > \log _{0.2}(x+5)$
$\Rightarrow \log _{0.2}(x-1)^{2} > \log _{0.2}(x+5)$
$\Rightarrow (x-1)^{2} < x+5$
$[\because \log _{a} x > \log _{a} y \Rightarrow x < y, \text{ यदि } 0 < a < 1]$
$\Rightarrow x^{2}-2x+1 < x+5$
$\Rightarrow x^{2}-3x-4 < 0$
$\Rightarrow (x-4)(x+1) < 0$
$\Rightarrow x \in (-1, 4)$
साथ ही,लघुगणक के परिभाषित होने के लिए,$x-1 > 0 \Rightarrow x > 1$ और $x+5 > 0 \Rightarrow x > -5$.
$x \in (-1, 4)$ और $x > 1$ को मिलाने पर,हमें $x \in (1, 4)$ प्राप्त होता है।

(C) दिया है,$\log _{101} \log _{7}(\sqrt{x+7}+\sqrt{x})=0$
$\therefore \log _{7}(\sqrt{x+7}+\sqrt{x}) = (101)^{0} = 1$
$\Rightarrow \sqrt{x+7}+\sqrt{x} = 7^{1} = 7$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(\sqrt{x+7}+\sqrt{x})^{2} = 7^{2}$
$x+7+x+2\sqrt{x(x+7)} = 49$
$2x+7+2\sqrt{x^{2}+7x} = 49$
$2\sqrt{x^{2}+7x} = 42-2x$
$\sqrt{x^{2}+7x} = 21-x$
पुनः दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$x^{2}+7x = (21-x)^{2}$
$x^{2}+7x = 441 - 42x + x^{2}$
$7x = 441 - 42x$
$49x = 441$
$x = \frac{441}{49} = 9$

(C) माना $y = 20^{301}$.
$y$ में अंकों की संख्या ज्ञात करने के लिए,हम $\lfloor \log_{10} y \rfloor + 1$ की गणना करते हैं।
$\log_{10} y = \log_{10} (20^{301}) = 301 \times \log_{10} (2 \times 10)$.
$\log(ab) = \log a + \log b$ गुणधर्म का उपयोग करने पर:
$\log_{10} y = 301 \times (\log_{10} 2 + \log_{10} 10) = 301 \times (0.3010 + 1) = 301 \times 1.3010$.
$301 \times 1.3010 = 391.601$.
अंकों की संख्या $\lfloor 391.601 \rfloor + 1 = 391 + 1 = 392$ है।

(B) दिया गया समीकरण $\frac{1}{2} \log _{\sqrt{3}}\left(\frac{x+1}{x+5}\right)+\log _{9}(x+5)^{2}=1$ है।
लघुगणक को परिभाषित होने के लिए,$\frac{x+1}{x+5} > 0$ और $x+5 \neq 0$ होना चाहिए।
इसका अर्थ है $x \in (-\infty, -5) \cup (-1, \infty)$।
गुणधर्म $\log_{a^n} b = \frac{1}{n} \log_a b$ का उपयोग करने पर,$\log_{\sqrt{3}} y = 2 \log_3 y$ और $\log_9 y = \frac{1}{2} \log_3 y$ प्राप्त होता है।
समीकरण $\frac{1}{2} \cdot 2 \log_3 \left(\frac{x+1}{x+5}\right) + \frac{1}{2} \cdot 2 \log_3 |x+5| = 1$ बन जाता है।
$\log_3 \left(\frac{x+1}{x+5}\right) + \log_3 |x+5| = 1$।
डोमेन के लिए $x+5 > 0$ होना चाहिए,इसलिए $|x+5| = x+5$।
$\log_3 (x+1) = 1$।
$x+1 = 3$,अतः $x = 2$।
चूँकि $x=2$ डोमेन की शर्त को संतुष्ट करता है,इसलिए केवल $1$ हल संभव है।

(C) दिया गया समीकरण: $\log _{2}\left(x^{2}+2 x-1\right)=1$
लघुगणक की परिभाषा के अनुसार,$\log _{b}(a) = c \implies a = b^{c}$.
अतः,$x^{2}+2 x-1 = 2^{1} = 2$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $x^{2}+2 x-3 = 0$.
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(x+3)(x-1) = 0$.
इससे $x = -3$ या $x = 1$ प्राप्त होता है।
प्रांत की जाँच करने पर: $\log _{2}(f(x))$ को परिभाषित होने के लिए $f(x) > 0$ होना चाहिए।
यदि $x = 1$,तो $x^{2}+2 x-1 = 1+2-1 = 2 > 0$ (मान्य)।
यदि $x = -3$,तो $x^{2}+2 x-1 = 9-6-1 = 2 > 0$ (मान्य)।
दोनों हल मान्य हैं,इसलिए कुल $2$ हल हैं।