समीकरण log_{7}(2^{x} - 1) + log_{7}(2^{x} - 7 | vedclass

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Question

(B) दिया गया समीकरण: $\log_{7}(2^{x} - 1) + \log_{7}(2^{x} - 7) = 1$लघुगणक को परिभाषित होने के लिए,$2^{x} - 1 > 0$ और $2^{x} - 7 > 0$ होना चाहिए,जिसका

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$1$

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(B) दिया गया समीकरण: $\log_{7}(2^{x} - 1) + \log_{7}(2^{x} - 7) = 1$लघुगणक को परिभाषित होने के लिए,$2^{x} - 1 > 0$ और $2^{x} - 7 > 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $2^{x} > 7$.गुणधर्म $\log_{b}(m) + \log_{b}(n) = \log_{b}(mn)$ का उपयोग करने पर:$\log_{7}((2^{x} - 1)(2^{x} - 7)) = 1$प्रति-लघुगणक (antilog) लेने पर:$(2^{x} - 1)(2^{x} - 7) = 7$माना $t = 2^{x}$. तब:$(t - 1)(t - 7) = 7$$t^{2} - 8t + 7 = 7$$t^{2} - 8t = 0$$t(t - 8) = 0$अतः,$t = 0$ या $t = 8$.चूंकि $t = 2^{x}$,हमारे पास $2^{x} = 0$ (जिसका कोई हल नहीं है) या $2^{x} = 8$ है।$2^{x} = 2^{3} \implies x = 3$.शर्त $2^{x} > 7$ की जाँच करने पर: $x = 3$ के लिए,$2^{3} = 8 > 7$,जो मान्य है।अतः,केवल $1$ हल है।

समीकरण $\log_{7}(2^{x} - 1) + \log_{7}(2^{x} - 7) = 1$ के हलों की संख्या है:

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