Partial fractions Questions in Hindi

(B) दिया गया आंशिक भिन्न अपघटन: $\frac{2x + 3}{(x + 1)(x - 3)} = \frac{a}{x + 1} + \frac{b}{x - 3}$ है।
दोनों पक्षों को $(x + 1)(x - 3)$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है: $2x + 3 = a(x - 3) + b(x + 1)$।
$a$ का मान ज्ञात करने के लिए,$x = -1$ रखें: $2(-1) + 3 = a(-1 - 3)$ $\Rightarrow 1 = -4a$ $\Rightarrow a = -\frac{1}{4}$।
$b$ का मान ज्ञात करने के लिए,$x = 3$ रखें: $2(3) + 3 = b(3 + 1)$ $\Rightarrow 9 = 4b$ $\Rightarrow b = \frac{9}{4}$।
अतः,$a + b = -\frac{1}{4} + \frac{9}{4} = \frac{8}{4} = 2$।

(D) दिया गया समीकरण: $\frac{3x + a}{x^2 - 3x + 2} = \frac{A}{x - 2} - \frac{10}{x - 1}$
चूंकि $x^2 - 3x + 2 = (x - 2)(x - 1)$,हम लिख सकते हैं:
$\frac{3x + a}{(x - 2)(x - 1)} = \frac{A(x - 1) - 10(x - 2)}{(x - 2)(x - 1)}$
अंशों की तुलना करने पर:
$3x + a = A(x - 1) - 10(x - 2)$
$3x + a = Ax - A - 10x + 20$
$3x + a = (A - 10)x + (20 - A)$
$x$ के गुणांकों और अचर पदों की तुलना करने पर:
$3 = A - 10 \implies A = 13$
$a = 20 - A \implies a = 20 - 13 = 7$
अतः,$a = 7$ और $A = 13$ दोनों सही हैं। इसलिए,सही विकल्प $(d)$ है।

(C) दिए गए आंशिक भिन्न अपघटन: $\frac{3x + 4}{{(x + 1)}^2(x - 1)} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 1} + \frac{C}{{(x + 1)}^2}$
दोनों पक्षों को हर ${(x + 1)}^2(x - 1)$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$3x + 4 = A{(x + 1)}^2 + B(x + 1)(x - 1) + C(x - 1)$
$A$ का मान ज्ञात करने के लिए,समीकरण में $x = 1$ प्रतिस्थापित करने पर:
$3(1) + 4 = A(1 + 1)^2 + B(1 + 1)(1 - 1) + C(1 - 1)$
$7 = A(2)^2 + 0 + 0$
$7 = 4A$
$A = \frac{7}{4} = 1.75$

(C) माना $\frac{3x - 1}{(x^2 - x + 1)(x + 2)} = \frac{Ax + B}{x^2 - x + 1} + \frac{C}{x + 2}$.
दोनों पक्षों को $(x^2 - x + 1)(x + 2)$ से गुणा करने पर:
$3x - 1 = (Ax + B)(x + 2) + C(x^2 - x + 1)$.
$x = -2$ के लिए:
$3(-2) - 1 = C((-2)^2 - (-2) + 1)$
$-7 = C(4 + 2 + 1) \implies -7 = 7C \implies C = -1$.
$x^2$ के गुणांकों की तुलना करने पर:
$0 = A + C \implies A = -C = 1$.
अचर पदों की तुलना करने पर:
$-1 = 2B + C \implies -1 = 2B - 1 \implies 2B = 0 \implies B = 0$.
$A=1, B=0, C=-1$ का मान रखने पर:
$\frac{x}{x^2 - x + 1} - \frac{1}{x + 2}$.

(A) दिया गया समीकरण: $\frac{x}{(x - 1)(x^2 + 1)^2} = \frac{1}{4} \left[ \frac{1}{x - 1} - \frac{x + 1}{x^2 + 1} \right] + y$
बाएँ पक्ष का आंशिक भिन्न (partial fraction) में वियोजन करने पर: $\frac{x}{(x - 1)(x^2 + 1)^2} = \frac{A}{x - 1} + \frac{Bx + C}{x^2 + 1} + \frac{Dx + E}{(x^2 + 1)^2}$
दिए गए व्यंजक के साथ तुलना करने पर,$y = \frac{Dx + E}{(x^2 + 1)^2}$ प्राप्त होता है।
सरलीकरण करने पर,$y = \frac{1 - x}{2(x^2 + 1)^2}$ प्राप्त होता है।

(A) आंशिक भिन्न का उपयोग करते हुए: $\frac{5x + 6}{(2 + x)(1 - x)} = \frac{A}{2 + x} + \frac{B}{1 - x}$.
$A$ और $B$ के लिए हल करने पर: $5x + 6 = A(1 - x) + B(2 + x)$.
$x = 1$ के लिए: $11 = 3B \implies B = \frac{11}{3}$.
$x = -2$ के लिए: $-4 = 3A \implies A = -\frac{4}{3}$.
अतः,व्यंजक $\frac{-4/3}{2 + x} + \frac{11/3}{1 - x} = \frac{-2/3}{1 + x/2} + \frac{11/3}{1 - x}$ है।
द्विपद श्रेणी $(1 + z)^{-1} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n z^n$ और $(1 - z)^{-1} = \sum_{n=0}^{\infty} z^n$ का उपयोग करते हुए:
$= -\frac{2}{3} \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \left(\frac{x}{2}\right)^n + \frac{11}{3} \sum_{n=0}^{\infty} x^n$.
$x^n$ का गुणांक $-\frac{2}{3} \cdot \frac{(-1)^n}{2^n} + \frac{11}{3}$ है।

(B) दिया गया आंशिक भिन्न अपघटन: $\frac{1}{x(x + 1)...(x + n)} = \sum_{r=0}^{n} \frac{A_r}{x + r}$.
$A_r$ ज्ञात करने के लिए,दोनों पक्षों को $(x + r)$ से गुणा करें और $x \to -r$ लें:
$A_r = \lim_{x \to -r} \frac{x + r}{x(x + 1)...(x + n)}$.
यह $\frac{1}{\prod_{k=0, k \neq r}^{n} (-r + k)}$ के बराबर है।
हर में गुणनफल: $(-r)(-r+1)...(-1) \times (1)(2)...(n-r)$ है।
इसका सरलीकरण $(-1)^r \times r! \times (n-r)!$ होता है।
अतः,$A_r = \frac{1}{(-1)^r r! (n-r)!} = \frac{(-1)^r}{r!(n-r)!}$.

(C) माना $\frac{x + 1}{(x - 1)(x - 2)(x - 3)} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x - 2} + \frac{C}{x - 3}$.
दोनों पक्षों को $(x - 1)(x - 2)(x - 3)$ से गुणा करने पर:
$x + 1 = A(x - 2)(x - 3) + B(x - 1)(x - 3) + C(x - 1)(x - 2)$.
$x = 1$ के लिए: $1 + 1 = A(1 - 2)(1 - 3)$ $\Rightarrow 2 = A(-1)(-2)$ $\Rightarrow 2 = 2A$ $\Rightarrow A = 1$.
$x = 2$ के लिए: $2 + 1 = B(2 - 1)(2 - 3)$ $\Rightarrow 3 = B(1)(-1)$ $\Rightarrow 3 = -B$ $\Rightarrow B = -3$.
$x = 3$ के लिए: $3 + 1 = C(3 - 1)(3 - 2)$ $\Rightarrow 4 = C(2)(1)$ $\Rightarrow 4 = 2C$ $\Rightarrow C = 2$.
अतः,आंशिक भिन्न अपघटन $\frac{1}{x - 1} - \frac{3}{x - 2} + \frac{2}{x - 3}$ है।

(A) दिया गया है $\frac{ax^2 + bx + c}{(x - 1)(x + 2)(2x + 3)} = \frac{3}{x - 1} + \frac{2}{x + 2} - \frac{5}{2x + 3}$.
दोनों पक्षों को हर $(x - 1)(x + 2)(2x + 3)$ से गुणा करने पर:
$ax^2 + bx + c = 3(x + 2)(2x + 3) + 2(x - 1)(2x + 3) - 5(x - 1)(x + 2)$.
पदों का विस्तार करने पर:
$3(2x^2 + 7x + 6) + 2(2x^2 + x - 3) - 5(x^2 + x - 2)$
$= (6x^2 + 21x + 18) + (4x^2 + 2x - 6) - (5x^2 + 5x - 10)$
$= (6 + 4 - 5)x^2 + (21 + 2 - 5)x + (18 - 6 + 10)$
$= 5x^2 + 18x + 22$.
गुणांकों की तुलना करने पर,$a = 5$,$b = 18$,और $c = 22$ प्राप्त होता है।
अतः,$a = 5$ सही है।

(D) दिया गया आंशिक भिन्न अपघटन: $\frac{e^x + 2}{(e^x - 1)(2e^x - 3)} = -\frac{3}{e^x - 1} + \frac{B}{2e^x - 3}$
हर को हटाने के लिए दोनों पक्षों को $(e^x - 1)(2e^x - 3)$ से गुणा करने पर:
$e^x + 2 = -3(2e^x - 3) + B(e^x - 1)$
$e^x + 2 = -6e^x + 9 + Be^x - B$
$e^x + 2 = (B - 6)e^x + (9 - B)$
$e^x$ के गुणांकों और अचर पदों की तुलना करने पर:
$B - 6 = 1 \Rightarrow B = 7$
$9 - B = 2 \Rightarrow B = 7$
अतः,$B = 7$.

(B) दिया गया आंशिक भिन्न अपघटन: $\frac{3x + 4}{(x - 2)(x - 1)} = \frac{A}{x - 2} - \frac{B}{x - 1}$.
दोनों पक्षों को $(x - 2)(x - 1)$ से गुणा करने पर: $3x + 4 = A(x - 1) - B(x - 2)$.
दाहिनी ओर का विस्तार करने पर: $3x + 4 = Ax - A - Bx + 2B = (A - B)x + (-A + 2B)$.
$x$ के गुणांकों और अचर पदों की तुलना करने पर:
$A - B = 3$ (समीकरण $1$)
$-A + 2B = 4$ (समीकरण $2$)
समीकरण $1$ और $2$ को जोड़ने पर: $(A - B) + (-A + 2B) = 3 + 4 \Rightarrow B = 7$.
$B = 7$ को समीकरण $1$ में रखने पर: $A - 7 = 3 \Rightarrow A = 10$.
अतः,$(A, B) = (10, 7)$.

(D) दिया गया समीकरण: $\frac{x^2}{(x^2 + a^2)(x^2 + b^2)} = k \left( \frac{a^2}{x^2 + a^2} - \frac{b^2}{x^2 + b^2} \right)$
दाहिनी ओर का सरलीकरण करने पर:
$\frac{x^2}{(x^2 + a^2)(x^2 + b^2)} = k \left( \frac{a^2(x^2 + b^2) - b^2(x^2 + a^2)}{(x^2 + a^2)(x^2 + b^2)} \right)$
अंशों की तुलना करने पर:
$x^2 = k [a^2 x^2 + a^2 b^2 - b^2 x^2 - a^2 b^2]$
$x^2 = k [a^2 x^2 - b^2 x^2]$
$x^2 = k x^2 (a^2 - b^2)$
दोनों पक्षों को $x^2$ से विभाजित करने पर:
$1 = k(a^2 - b^2)$
अतः,$k = \frac{1}{a^2 - b^2}$.

(C) दिया गया आंशिक भिन्न अपघटन: $\frac{9}{(x - 1)(x + 2)^2} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 2} + \frac{C}{(x + 2)^2}$.
दोनों पक्षों को $(x - 1)(x + 2)^2$ से गुणा करने पर: $9 = A(x + 2)^2 + B(x - 1)(x + 2) + C(x - 1)$.
$x = 1$ के लिए: $9 = A(1 + 2)^2$ $\Rightarrow 9 = 9A$ $\Rightarrow A = 1$.
$x = -2$ के लिए: $9 = C(-2 - 1)$ $\Rightarrow 9 = -3C$ $\Rightarrow C = -3$.
दोनों पक्षों में $x^2$ के गुणांकों की तुलना करने पर: $0 = A + B \Rightarrow B = -A = -1$.
अतः,$A - B - C = 1 - (-1) - (-3) = 1 + 1 + 3 = 5$.

(D) दिया गया समीकरण: $\frac{ax + b}{(3x + 4)^2} = \frac{1}{3x + 4} - \frac{3}{(3x + 4)^2}$
$a$ और $b$ का मान ज्ञात करने के लिए,दोनों पक्षों को $(3x + 4)^2$ से गुणा करने पर:
$ax + b = (3x + 4) - 3$
$ax + b = 3x + 1$
दोनों पक्षों में $x$ के गुणांकों और अचर पदों की तुलना करने पर:
$a = 3$
$b = 1$
अतः,विकल्प $(b)$ और $(c)$ दोनों सही हैं।

(A) माना $\frac{x^2 + 13x + 15}{(2x + 3)(x + 3)^2} = \frac{A}{2x + 3} + \frac{B}{x + 3} + \frac{C}{(x + 3)^2}$.
दोनों पक्षों को $(2x + 3)(x + 3)^2$ से गुणा करने पर:
$x^2 + 13x + 15 = A(x + 3)^2 + B(2x + 3)(x + 3) + C(2x + 3)$.
$x = -3$ रखने पर,$C = 5$ प्राप्त होता है।
$x = -\frac{3}{2}$ रखने पर,$A = -1$ प्राप्त होता है।
$x^2$ के गुणांकों की तुलना करने पर:
$1 = A + 2B \Rightarrow B = 1$.
अतः,अभीष्ट व्यंजक $\frac{1}{x + 3} - \frac{1}{2x + 3} + \frac{5}{(x + 3)^2}$ है।

(C) माना कि $\frac{3x^3 - 8x^2 + 10}{(x - 1)^4} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{(x - 1)^2} + \frac{C}{(x - 1)^3} + \frac{D}{(x - 1)^4}$ है।
दोनों पक्षों को $(x - 1)^4$ से गुणा करने पर:
$3x^3 - 8x^2 + 10 = A(x - 1)^3 + B(x - 1)^2 + C(x - 1) + D$.
पदों का विस्तार करने पर:
$3x^3 - 8x^2 + 10 = A(x^3 - 3x^2 + 3x - 1) + B(x^2 - 2x + 1) + C(x - 1) + D$.
$x$ की घातों के गुणांकों की तुलना करने पर:
$x^3$ का गुणांक: $A = 3$.
$x^2$ का गुणांक: $-3A + B = -8$ $\Rightarrow -3(3) + B = -8$ $\Rightarrow B = 1$.
$x$ का गुणांक: $3A - 2B + C = 0$ $\Rightarrow 3(3) - 2(1) + C = 0$ $\Rightarrow 9 - 2 + C = 0$ $\Rightarrow C = -7$.
अचर पद: $-A + B - C + D = 10$ $\Rightarrow -3 + 1 - (-7) + D = 10$ $\Rightarrow 5 + D = 10$ $\Rightarrow D = 5$.
अतः,आंशिक भिन्न $\frac{3}{x - 1} + \frac{1}{(x - 1)^2} - \frac{7}{(x - 1)^3} + \frac{5}{(x - 1)^4}$ हैं।

(B) दिया गया आंशिक भिन्न अपघटन: $\frac{(x - 1)^2}{x(x^2 + 1)} = \frac{A}{x} + \frac{Bx + C}{x^2 + 1}$.
दोनों पक्षों को $x(x^2 + 1)$ से गुणा करने पर: $(x - 1)^2 = A(x^2 + 1) + x(Bx + C)$.
बाएं पक्ष का विस्तार करने पर: $x^2 - 2x + 1 = Ax^2 + A + Bx^2 + Cx$.
$x$ की घातों के अनुसार पदों को व्यवस्थित करने पर: $x^2 - 2x + 1 = (A + B)x^2 + Cx + A$.
दोनों पक्षों के गुणांकों की तुलना करने पर:
$1$) अचर पद: $A = 1$.
$2$) $x$ का गुणांक: $C = -2$.
$3$) $x^2$ का गुणांक: $A + B = 1$. चूंकि $A = 1$,इसलिए $1 + B = 1$,जिससे $B = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$A = 1, B = 0, C = -2$.

(D) दिया गया है $\frac{2x}{x^3 - 1} = \frac{A}{x - 1} + \frac{Bx + C}{x^2 + x + 1}$.
दोनों पक्षों को $(x^3 - 1) = (x - 1)(x^2 + x + 1)$ से गुणा करने पर:
$2x = A(x^2 + x + 1) + (Bx + C)(x - 1)$.
$x = 1$ के लिए,$2 = 3A \Rightarrow A = \frac{2}{3}$.
$RHS$ का विस्तार करने पर: $2x = (A + B)x^2 + (A - B + C)x + (A - C)$.
$x^2$ के गुणांकों की तुलना करने पर: $A + B = 0 \Rightarrow B = -\frac{2}{3}$.
अचर पदों की तुलना करने पर: $A - C = 0 \Rightarrow C = \frac{2}{3}$.
अतः,$A = \frac{2}{3}$,$B = -\frac{2}{3}$,और $C = \frac{2}{3}$.
इसलिए $A = C \neq B$ प्राप्त होता है।

(B) दिए गए भिन्न को आंशिक भिन्न के रूप में व्यक्त करने पर:
$\frac{x^2 + 1}{(2x - 1)(x^2 - 1)} = \frac{A}{2x - 1} + \frac{B}{x + 1} + \frac{C}{x - 1}$
दोनों पक्षों को $(2x - 1)(x^2 - 1)$ से गुणा करने पर:
$x^2 + 1 = A(x^2 - 1) + B(2x - 1)(x - 1) + C(2x - 1)(x + 1)$
$x = 1$ के लिए:
$1^2 + 1 = C(2(1) - 1)(1 + 1)$ $\Rightarrow 2 = 2C$ $\Rightarrow C = 1$
$x = -1$ के लिए:
$(-1)^2 + 1 = B(2(-1) - 1)(-1 - 1)$ $\Rightarrow 2 = B(-3)(-2)$ $\Rightarrow 2 = 6B$ $\Rightarrow B = \frac{1}{3}$
$x = \frac{1}{2}$ के लिए:
$(\frac{1}{2})^2 + 1 = A((\frac{1}{2})^2 - 1)$ $\Rightarrow \frac{5}{4} = A(\frac{1}{4} - 1)$ $\Rightarrow \frac{5}{4} = -\frac{3}{4}A$ $\Rightarrow A = -\frac{5}{3}$
$A, B,$ और $C$ के मान प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{-5}{3(2x - 1)} + \frac{1}{3(x + 1)} + \frac{1}{x - 1}$

(B) दिया गया समीकरण: $\frac{ax - 1}{(1 - x + x^2)(2 + x)} = \frac{x}{1 - x + x^2} - \frac{1}{2 + x}$
दोनों पक्षों को उभयनिष्ठ हर $(1 - x + x^2)(2 + x)$ से गुणा करने पर:
$ax - 1 = x(2 + x) - 1(1 - x + x^2)$
दाहिनी ओर का विस्तार करने पर:
$ax - 1 = 2x + x^2 - 1 + x - x^2$
व्यंजक को सरल करने पर:
$ax - 1 = 3x - 1$
दोनों पक्षों में $x$ के गुणांकों की तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a = 3$

(A) दिया गया आंशिक भिन्न अपघटन: $\frac{1}{x(x^2 + 1)} = \frac{A}{x} + \frac{Bx + C}{x^2 + 1}$
दोनों पक्षों को $x(x^2 + 1)$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है: $1 = A(x^2 + 1) + (Bx + C)x$
$1 = Ax^2 + A + Bx^2 + Cx$
$1 = (A + B)x^2 + Cx + A$
दोनों पक्षों में $x^2$,$x$ और अचर पद के गुणांकों की तुलना करने पर:
$A + B = 0$
$C = 0$
$A = 1$
$A = 1$ को $A + B = 0$ में रखने पर,हमें $1 + B = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $B = -1$।
अतः,$(A, B, C) = (1, -1, 0)$।

(D) हम व्यंजक $\frac{2x}{x^4 + x^2 + 1}$ से शुरू करते हैं।
सबसे पहले,हर का गुणनखंड करें: $x^4 + x^2 + 1 = (x^4 + 2x^2 + 1) - x^2 = (x^2 + 1)^2 - x^2$.
वर्गों के अंतर के सूत्र $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ का उपयोग करते हुए,हमें $(x^2 - x + 1)(x^2 + x + 1)$ प्राप्त होता है।
अब,भिन्न को इस प्रकार लिखें: $\frac{2x}{(x^2 - x + 1)(x^2 + x + 1)}$.
आंशिक भिन्नों का उपयोग करके,हम $\frac{2x}{(x^2 - x + 1)(x^2 + x + 1)} = \frac{A}{x^2 - x + 1} + \frac{B}{x^2 + x + 1}$ रखते हैं।
हल करने पर,हमें अंतर प्राप्त होता है: $\frac{1}{x^2 - x + 1} - \frac{1}{x^2 + x + 1} = \frac{(x^2 + x + 1) - (x^2 - x + 1)}{(x^2 - x + 1)(x^2 + x + 1)} = \frac{2x}{x^4 + x^2 + 1}$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) दिया गया आंशिक भिन्न अपघटन: $\frac{3x^2 + 5}{(x^2 + 1)^2} = \frac{a}{x^2 + 1} + \frac{b}{(x^2 + 1)^2}$
दोनों पक्षों को $(x^2 + 1)^2$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है: $3x^2 + 5 = a(x^2 + 1) + b$
दाहिनी ओर का विस्तार करने पर: $3x^2 + 5 = ax^2 + a + b$
दोनों पक्षों में $x^2$ के गुणांकों और अचर पदों की तुलना करने पर:
$a = 3$
$a + b = 5$
दूसरे समीकरण में $a = 3$ रखने पर: $3 + b = 5 \Rightarrow b = 2$
अतः,$(a, b) = (3, 2)$.

(D) दिया गया समीकरण: $\frac{(x - a)(x - b)}{(x - c)(x - d)} = \frac{A}{x - c} - \frac{B}{x - d} + C$
दोनों पक्षों को $(x - c)(x - d)$ से गुणा करने पर:
$(x - a)(x - b) = A(x - d) - B(x - c) + C(x - c)(x - d)$
दाहिनी ओर का विस्तार करने पर:
$x^2 - (a + b)x + ab = Ax - Ad - Bx + Bc + C(x^2 - (c + d)x + cd)$
दोनों पक्षों में $x^2$ के गुणांकों की तुलना करने पर:
$1 = C$
अतः,$C = 1$.

(D) दी गई अभिव्यक्ति: $f(x) = \frac{x^2 - 5}{x^2 - 3x + 2}$.
चूंकि अंश और हर की घात समान है,हम भाग करते हैं:
$\frac{x^2 - 5}{x^2 - 3x + 2} = 1 + \frac{3x - 7}{x^2 - 3x + 2}$.
हर का गुणनखंड करने पर: $x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)$.
शेष पद को आंशिक भिन्नों में व्यक्त करने पर: $\frac{3x - 7}{(x - 1)(x - 2)} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x - 2}$.
$3x - 7 = A(x - 2) + B(x - 1)$.
$x = 1$ रखने पर: $3(1) - 7 = A(1 - 2)$ $\Rightarrow -4 = -A$ $\Rightarrow A = 4$.
$x = 2$ रखने पर: $3(2) - 7 = B(2 - 1) \Rightarrow -1 = B$.
अतः,$\frac{x^2 - 5}{x^2 - 3x + 2} = 1 + \frac{4}{x - 1} - \frac{1}{x - 2}$.

(A) अंश को हर से विभाजित करने पर: $\frac{6x^4 + 5x^3 + x^2 + 5x + 2}{6x^2 + 5x + 1} = x^2 + \frac{5x + 2}{6x^2 + 5x + 1}$.
हर का गुणनखंड करने पर: $6x^2 + 5x + 1 = (2x + 1)(3x + 1)$.
अब,$\frac{5x + 2}{(2x + 1)(3x + 1)}$ को आंशिक भिन्न के रूप में व्यक्त करने पर: $\frac{5x + 2}{(2x + 1)(3x + 1)} = \frac{A}{2x + 1} + \frac{B}{3x + 1}$.
$5x + 2 = A(3x + 1) + B(2x + 1)$.
$x = -\frac{1}{2}$ रखने पर,$A = 1$ प्राप्त होता है।
$x = -\frac{1}{3}$ रखने पर,$B = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,व्यंजक $x^2 + \frac{1}{2x + 1} + \frac{1}{3x + 1}$ है।

(D) माना $u = \sin x$। व्यंजक $\frac{u^2 + 1}{2u^2 - 5u + 3} = \frac{u^2 + 1}{(2u - 3)(u - 1)}$ है।
आंशिक भिन्नों का उपयोग करके,हम लिख सकते हैं $\frac{u^2 + 1}{(2u - 3)(u - 1)} = C + \frac{A}{2u - 3} + \frac{B}{u - 1}$।
चूंकि अंश और हर की घात समान है,$C$ अग्रणी गुणांकों का अनुपात है: $C = \frac{1}{2}$।
अब,$\frac{u^2 + 1}{(2u - 3)(u - 1)} = \frac{1}{2} + \frac{A}{2u - 3} + \frac{B}{u - 1}$।
$\frac{u^2 + 1 - \frac{1}{2}(2u^2 - 5u + 3)}{(2u - 3)(u - 1)} = \frac{\frac{5}{2}u - \frac{1}{2}}{(2u - 3)(u - 1)} = \frac{A}{2u - 3} + \frac{B}{u - 1}$।
कवर-अप विधि का उपयोग करते हुए:
$B$ के लिए: $(u - 1)$ से गुणा करें और $u = 1$ रखें: $B = \frac{\frac{5}{2}(1) - \frac{1}{2}}{2(1) - 3} = \frac{2}{-1} = -2$।
$A$ के लिए: $(2u - 3)$ से गुणा करें और $u = \frac{3}{2}$ रखें: $A = \frac{\frac{5}{2}(\frac{3}{2}) - \frac{1}{2}}{\frac{3}{2} - 1} = \frac{\frac{15}{4} - \frac{2}{4}}{\frac{1}{2}} = \frac{13}{4} \times 2 = \frac{13}{2}$।
अतः,$A = \frac{13}{2}$,$B = -2$,$C = \frac{1}{2}$।
$A + B + C = \frac{13}{2} - 2 + \frac{1}{2} = 7 - 2 = 5$।
अतः,$(A)$ और $(B)$ दोनों सही हैं।

(B) आंशिक भिन्नों का उपयोग करते हुए,$\frac{3x}{(x - 2)(x + 1)} = \frac{A}{x - 2} + \frac{B}{x + 1}$.
$A$ और $B$ के लिए हल करने पर,हमें $A = 2$ और $B = 1$ प्राप्त होता है,इसलिए $\frac{3x}{(x - 2)(x + 1)} = \frac{2}{x - 2} + \frac{1}{x + 1} = -\frac{1}{1 - x/2} + \frac{1}{1 + x}$.
द्विपद श्रेणी $(1 - z)^{-1} = 1 + z + z^2 + z^3 + z^4 + \dots$ और $(1 + z)^{-1} = 1 - z + z^2 - z^3 + z^4 - \dots$ का उपयोग करके दोनों पदों का विस्तार करने पर:
$-\left(1 + \frac{x}{2} + \frac{x^2}{4} + \frac{x^3}{8} + \frac{x^4}{16} + \dots\right) + \left(1 - x + x^2 - x^3 + x^4 - \dots\right)$.
$x^4$ का गुणांक $-\frac{1}{16} + 1 = \frac{15}{16}$ है।

(D) माना $\frac{x^2 + 1}{(x^2 + 4)(x - 2)} = \frac{Ax + B}{x^2 + 4} + \frac{C}{x - 2}$.
आंशिक भिन्न विधि से,$x^2 + 1 = (Ax + B)(x - 2) + C(x^2 + 4)$.
गुणांकों की तुलना करने पर,$A + C = 1$,$-2A + B = 0$,और $-2B + 4C = 1$ प्राप्त होता है।
हल करने पर,$A = 3/8$,$B = 3/4$,और $C = 5/8$ प्राप्त होता है।
अतः,व्यंजक $\frac{3x/8 + 3/4}{x^2 + 4} + \frac{5/8}{x - 2}$ है।
विस्तार के लिए: $\frac{1}{4}(\frac{3x}{8} + \frac{3}{4})(1 + \frac{x^2}{4})^{-1} - \frac{5}{16}(1 - \frac{x}{2})^{-1}$.
द्विपद विस्तार का उपयोग करने पर,$x^5$ का गुणांक $\frac{3}{512} - \frac{5}{512} = -\frac{1}{256}$ प्राप्त होता है।

(C) माना $x - 1 = y$,इसलिए $x = y + 1$.
तब,$\frac{x^2}{(x - 1)^3(x - 2)} = \frac{(1 + y)^2}{y^3(y - 1)} = \frac{1 + 2y + y^2}{y^3(y - 1)} = -\frac{1 + 2y + y^2}{y^3(1 - y)}$.
$(1 + 2y + y^2)$ को $(y - 1)$ से विभाजित करने पर $(y^2 + 2y + 1) = (y - 1)(y + 3) + 4$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{y^2 + 2y + 1}{y^3(y - 1)} = \frac{(y - 1)(y + 3) + 4}{y^3(y - 1)} = \frac{y + 3}{y^3} + \frac{4}{y^3(y - 1)}$.
$\frac{4}{y^3(y - 1)}$ के लिए आंशिक भिन्नों का उपयोग करने पर,हमें $\frac{-1}{(x - 1)^3} + \frac{-3}{(x - 1)^2} + \frac{-4}{(x - 1)} + \frac{4}{(x - 2)}$ प्राप्त होता है।

(A) दी गई अभिव्यक्ति $\frac{x^3 - 6x^2 + 10x - 2}{x^2 - 5x + 6}$ है।
सबसे पहले,अंश को हर से विभाजित करने पर:
हर $x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$ है।
विभाजन करने पर हमें $(x - 1) + \frac{-x + 4}{(x - 2)(x - 3)}$ प्राप्त होता है।
आंशिक भिन्न विधि का उपयोग करने पर,$f(x) = x - 1$ प्राप्त होता है।

(A) माना $\frac{x^4 + 24x^2 + 28}{(x^2 + 1)^3} = \frac{A_1 x + B_1}{x^2 + 1} + \frac{A_2 x + B_2}{(x^2 + 1)^2} + \frac{A_3 x + B_3}{(x^2 + 1)^3}$.
तब,$x^4 + 24x^2 + 28 = (A_1 x + B_1)(x^2 + 1)^2 + (A_2 x + B_2)(x^2 + 1) + (A_3 x + B_3)$.
माना $x^2 = y$. तब $\frac{y^2 + 24y + 28}{(y + 1)^3} = \frac{A}{y + 1} + \frac{B}{(y + 1)^2} + \frac{C}{(y + 1)^3}$.
माना $y + 1 = t$,इसलिए $y = t - 1$. तब $y^2 + 24y + 28 = (t - 1)^2 + 24(t - 1) + 28 = t^2 - 2t + 1 + 24t - 24 + 28 = t^2 + 22t + 5$.
अतः,$\frac{t^2 + 22t + 5}{t^3} = \frac{1}{t} + \frac{22}{t^2} + \frac{5}{t^3}$.
$t = x^2 + 1$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{1}{x^2 + 1} + \frac{22}{(x^2 + 1)^2} + \frac{5}{(x^2 + 1)^3}$ प्राप्त होता है।

(A) व्यंजक को वियोजित करने के लिए हम आंशिक भिन्नों का उपयोग करते हैं:
$\frac{1}{(1 - x)(3 - x)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{1 - x} - \frac{1}{3 - x} \right) = \frac{1}{2} \left[ (1 - x)^{-1} - \frac{1}{3} (1 - x/3)^{-1} \right]$.
द्विपद विस्तार $(1 - z)^{-1} = \sum_{n=0}^{\infty} z^n$ का उपयोग करते हुए:
$\frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty} \left( 1 - \frac{1}{3^{n+1}} \right) x^n$.
अतः,${x^n}$ का गुणांक $\frac{3^{n+1} - 1}{2 \cdot 3^{n+1}}$ है।

(D) दिया गया फलन $f(x) = \frac{1}{(1 - ax)(1 - bx)}$ है।
आंशिक भिन्नों का उपयोग करते हुए:
$\frac{1}{(1 - ax)(1 - bx)} = \frac{A}{1 - ax} + \frac{B}{1 - bx}$.
$A$ और $B$ का मान ज्ञात करने पर,$A = \frac{a}{a - b}$ और $B = \frac{b}{b - a}$ प्राप्त होता है।
अतः,$f(x) = \frac{a}{a - b}(1 - ax)^{-1} + \frac{b}{b - a}(1 - bx)^{-1}$.
द्विपद श्रेणी $(1 - z)^{-1} = \sum_{n=0}^{\infty} z^n$ का उपयोग करते हुए:
$f(x) = \frac{a}{a - b} \sum_{n=0}^{\infty} (ax)^n + \frac{b}{b - a} \sum_{n=0}^{\infty} (bx)^n$.
$x^n$ का गुणांक $a_n = \frac{a}{a - b} a^n + \frac{b}{b - a} b^n$ है।
$a_n = \frac{a^{n+1}}{a - b} + \frac{b^{n+1}}{b - a} = \frac{b^{n+1} - a^{n+1}}{b - a}$.

(D) दिया गया समीकरण: $\frac{x^3}{(2x - 1)(x + 2)(x - 3)} = p + \frac{q}{2x - 1} + \frac{r}{x + 2} + \frac{s}{x - 3}$.
दोनों पक्षों को $(2x - 1)(x + 2)(x - 3)$ से गुणा करने पर:
$x^3 = p(2x - 1)(x + 2)(x - 3) + q(x + 2)(x - 3) + r(2x - 1)(x - 3) + s(2x - 1)(x + 2)$.
$x^3$ के गुणांक की तुलना करने पर: $1 = 2p \Rightarrow p = \frac{1}{2}$.
अचर पद ज्ञात करने के लिए,समीकरण में $x = 0$ रखने पर:
$0 = 6p - 6q + 3r - 2s$.
$p = \frac{1}{2}$ रखने पर:
$0 = 3 - 6q + 3r - 2s \Rightarrow 6q - 3r + 2s = 3$.

(B) दिया गया आंशिक भिन्न अपघटन: $\frac{2x + 3}{(x + 1)(x - 3)} = \frac{a}{x + 1} + \frac{b}{x - 3}$.
दोनों पक्षों को $(x + 1)(x - 3)$ से गुणा करने पर: $2x + 3 = a(x - 3) + b(x + 1)$.
$x = -1$ रखने पर: $2(-1) + 3 = a(-1 - 3)$ $\Rightarrow 1 = -4a$ $\Rightarrow a = -\frac{1}{4}$.
$x = 3$ रखने पर: $2(3) + 3 = b(3 + 1)$ $\Rightarrow 9 = 4b$ $\Rightarrow b = \frac{9}{4}$.
अतः,$a + b = -\frac{1}{4} + \frac{9}{4} = \frac{8}{4} = 2$.

(D) दिया गया समीकरण: $\frac{3x + a}{(x - 2)(x - 1)} = \frac{A}{x - 2} - \frac{10}{x - 1}$.
दोनों पक्षों को $(x - 2)(x - 1)$ से गुणा करने पर:
$3x + a = A(x - 1) - 10(x - 2)$.
दाहिनी ओर का विस्तार करने पर:
$3x + a = Ax - A - 10x + 20$.
$3x + a = (A - 10)x + (20 - A)$.
दोनों पक्षों में $x$ के गुणांकों और अचर पदों की तुलना करने पर:
$3 = A - 10 \implies A = 13$.
$a = 20 - A \implies a = 20 - 13 = 7$.
अतः,$a = 7$ और $A = 13$ दोनों सही हैं।

(C) दी गई आंशिक भिन्न अपघटन: $\frac{3x + 4}{(x + 1)^2(x - 1)} = \frac{A}{(x - 1)} + \frac{B}{(x + 1)} + \frac{C}{(x + 1)^2}$
दोनों पक्षों को $(x + 1)^2(x - 1)$ से गुणा करने पर:
$3x + 4 = A(x + 1)^2 + B(x + 1)(x - 1) + C(x - 1)$
$A$ का मान ज्ञात करने के लिए,समीकरण में $x = 1$ रखने पर:
$3(1) + 4 = A(1 + 1)^2 + B(1 + 1)(1 - 1) + C(1 - 1)$
$7 = A(2)^2 + 0 + 0$
$7 = 4A$
$A = \frac{7}{4}$

(C) माना $(x - 1) = y$,तब $x = y + 1$.
व्यंजक में मान रखने पर:
$\frac{x^2}{(x - 1)^3(x - 2)} = \frac{(1 + y)^2}{y^3(y - 1)} = \frac{1 + 2y + y^2}{y^3(y - 1)}$.
$(y^2 + 2y + 1)$ को $(y - 1)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{y^2 + 2y + 1}{y - 1} = (y + 3) + \frac{4}{y - 1}$.
अतः,$\frac{1 + 2y + y^2}{y^3(y - 1)} = \frac{1}{y^3} \left( \frac{y^2 + 2y + 1}{y - 1} \right) = \frac{1}{y^3} \left( y + 3 + \frac{4}{y - 1} \right) = \frac{1}{y^2} + \frac{3}{y^3} + \frac{4}{y^3(y - 1)}$.
आंशिक भिन्न विधि का उपयोग करने पर,$\frac{x^2}{(x - 1)^3(x - 2)} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{(x - 1)^2} + \frac{C}{(x - 1)^3} + \frac{D}{x - 2}$.
गुणांकों को हल करने पर $A = -4, B = -3, C = -1, D = 4$ प्राप्त होता है।
अतः,व्यंजक $\frac{-4}{x - 1} - \frac{3}{(x - 1)^2} - \frac{1}{(x - 1)^3} + \frac{4}{x - 2}$ है।

(C) माना $\frac{3x - 1}{(x^2 - x + 1)(x + 2)} = \frac{Ax + B}{x^2 - x + 1} + \frac{C}{x + 2}$ है।
दोनों पक्षों को $(x^2 - x + 1)(x + 2)$ से गुणा करने पर:
$3x - 1 = (Ax + B)(x + 2) + C(x^2 - x + 1)$ प्राप्त होता है।
$C$ का मान ज्ञात करने के लिए,$x = -2$ रखने पर:
$3(-2) - 1 = C((-2)^2 - (-2) + 1) \implies -7 = C(4 + 2 + 1) \implies -7 = 7C \implies C = -1$।
$x^2$ के गुणांकों की तुलना करने पर:
$0 = A + C \implies A = -C = 1$।
अचर पदों की तुलना करने पर:
$-1 = 2B + C \implies -1 = 2B - 1 \implies 2B = 0 \implies B = 0$।
$A, B, C$ के मान रखने पर:
$\frac{3x - 1}{(x^2 - x + 1)(x + 2)} = \frac{x}{x^2 - x + 1} - \frac{1}{x + 2}$।

(A) आंशिक भिन्नों का उपयोग करके: $\frac{5x + 6}{(2 + x)(1 - x)} = \frac{-4/3}{2 + x} + \frac{11/3}{1 - x}$.
इसे श्रेणी के रूप में लिखने पर: $\frac{-2/3}{1 + x/2} + \frac{11/3}{1 - x}$.
द्विपद विस्तार का उपयोग करने पर: $\frac{-2}{3} \sum_{n=0}^{\infty} (-\frac{x}{2})^n + \frac{11}{3} \sum_{n=0}^{\infty} x^n$.
अतः,$x^n$ का गुणांक $\frac{-2}{3} \frac{(-1)^n}{2^n} + \frac{11}{3}$ है।

(C) माना $\frac{x + 1}{(x - 1)(x - 2)(x - 3)} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x - 2} + \frac{C}{x - 3}$.
दोनों पक्षों को $(x - 1)(x - 2)(x - 3)$ से गुणा करने पर:
$x + 1 = A(x - 2)(x - 3) + B(x - 1)(x - 3) + C(x - 1)(x - 2)$.
$x = 1$ के लिए: $1 + 1 = A(1 - 2)(1 - 3) \implies 2 = 2A \implies A = 1$.
$x = 2$ के लिए: $2 + 1 = B(2 - 1)(2 - 3) \implies 3 = -B \implies B = -3$.
$x = 3$ के लिए: $3 + 1 = C(3 - 1)(3 - 2) \implies 4 = 2C \implies C = 2$.
अतः,आंशिक भिन्न $\frac{1}{x - 1} - \frac{3}{x - 2} + \frac{2}{x - 3}$ है।

(A) माना $\frac{x^2 + 13x + 15}{(2x + 3)(x + 3)^2} = \frac{A}{2x + 3} + \frac{B}{x + 3} + \frac{C}{(x + 3)^2}$.
दोनों पक्षों को $(2x + 3)(x + 3)^2$ से गुणा करने पर:
$x^2 + 13x + 15 = A(x + 3)^2 + B(2x + 3)(x + 3) + C(2x + 3)$.
$x = -3$ रखने पर: $9 - 39 + 15 = C(-6 + 3) \implies -15 = -3C \implies C = 5$.
$x = -\frac{3}{2}$ रखने पर: $\frac{9}{4} - \frac{39}{2} + 15 = A(\frac{3}{2})^2 \implies -9 = 9A \implies A = -1$.
$x^2$ के गुणांकों की तुलना करने पर: $1 = A + 2B \implies 1 = -1 + 2B \implies B = 1$.
अतः,आंशिक भिन्न $\frac{1}{x + 3} - \frac{1}{2x + 3} + \frac{5}{(x + 3)^2}$ हैं।

(A) माना $u = x - 1$,इसलिए $x = u + 1$.
अंश में यह मान रखने पर: $3(u + 1)^3 - 8(u + 1)^2 + 10$.
$= 3(u^3 + 3u^2 + 3u + 1) - 8(u^2 + 2u + 1) + 10$.
$= 3u^3 + 9u^2 + 9u + 3 - 8u^2 - 16u - 8 + 10$.
$= 3u^3 + u^2 - 7u + 5$.
अब,$u^4$ से भाग देने पर: $\frac{3u^3 + u^2 - 7u + 5}{u^4} = \frac{3}{u} + \frac{1}{u^2} - \frac{7}{u^3} + \frac{5}{u^4}$.
$u = x - 1$ वापस रखने पर: $\frac{3}{(x - 1)} + \frac{1}{(x - 1)^2} - \frac{7}{(x - 1)^3} + \frac{5}{(x - 1)^4}$.

(A) माना $u = x^2 + 1$,तो $x^2 = u - 1$.
अंश में यह मान रखने पर: $x^4 + 24x^2 + 28 = (u - 1)^2 + 24(u - 1) + 28$.
$= (u^2 - 2u + 1) + 24u - 24 + 28 = u^2 + 22u + 5$.
अब,व्यंजक $\frac{u^2 + 22u + 5}{u^3}$ हो जाता है।
$= \frac{u^2}{u^3} + \frac{22u}{u^3} + \frac{5}{u^3} = \frac{1}{u} + \frac{22}{u^2} + \frac{5}{u^3}$.
$u = x^2 + 1$ वापस रखने पर,हमें $\frac{1}{x^2 + 1} + \frac{22}{(x^2 + 1)^2} + \frac{5}{(x^2 + 1)^3}$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया आंशिक भिन्न अपघटन: $\frac{2x}{x^3 - 1} = \frac{A}{x - 1} + \frac{Bx + C}{x^2 + x + 1}$.
चूंकि $x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)$,हमारे पास $2x = A(x^2 + x + 1) + (Bx + C)(x - 1)$ है।
$x = 1$ रखने पर: $2(1) = A(1^2 + 1 + 1) + 0 \implies 2 = 3A \implies A = \frac{2}{3}$.
दाहिनी ओर का विस्तार करने पर: $2x = Ax^2 + Ax + A + Bx^2 - Bx + Cx - C$.
$x^2$ के गुणांकों की तुलना करने पर: $A + B = 0 \implies B = -A = -\frac{2}{3}$.
अचर पदों की तुलना करने पर: $A - C = 0 \implies C = A = \frac{2}{3}$.
अतः,$A = \frac{2}{3}$,$B = -\frac{2}{3}$,और $C = \frac{2}{3}$ है।
इन मानों की तुलना करने पर,$A = C \neq B$।

(D) माना $\frac{x^2 + 1}{(2x - 1)(x - 1)(x + 1)} = \frac{A}{2x - 1} + \frac{B}{x - 1} + \frac{C}{x + 1}$ है।
दोनों पक्षों को $(2x - 1)(x - 1)(x + 1)$ से गुणा करने पर:
$x^2 + 1 = A(x - 1)(x + 1) + B(2x - 1)(x + 1) + C(2x - 1)(x - 1)$.
$x = 1/2$ के लिए: $5/4 = -3/4 A \implies A = -5/3$.
$x = 1$ के लिए: $2 = 2B \implies B = 1$.
$x = -1$ के लिए: $2 = 6C \implies C = 1/3$.
अतः,आंशिक भिन्न $\frac{-5}{3(2x - 1)} + \frac{1}{(x - 1)} + \frac{1}{3(x + 1)}$ है।

(D) हमारे पास व्यंजक $\frac{2x}{x^4 + x^2 + 1}$ है।
सबसे पहले,हर का गुणनखंड करें: $x^4 + x^2 + 1 = (x^2 + 1)^2 - x^2 = (x^2 - x + 1)(x^2 + x + 1)$.
अब,हम भिन्न को आंशिक भिन्नों के रूप में व्यक्त करते हैं: $\frac{2x}{(x^2 - x + 1)(x^2 + x + 1)} = \frac{Ax + B}{x^2 - x + 1} + \frac{Cx + D}{x^2 + x + 1}$.
आंशिक भिन्न वियोजन द्वारा,हमें प्राप्त होता है $\frac{2x}{x^4 + x^2 + 1} = \frac{1}{x^2 - x + 1} - \frac{1}{x^2 + x + 1}$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) दी गई अभिव्यक्ति $\frac{(x - a)(x - b)}{(x - c)(x - d)} = \frac{A}{x - c} - \frac{B}{x - d} + C$ है।
$C$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम बाईं ओर बहुपद का विभाजन करते हैं।
अंश $(x - a)(x - b) = x^2 - (a + b)x + ab$ है।
हर $(x - c)(x - d) = x^2 - (c + d)x + cd$ है।
$x^2 - (a + b)x + ab$ को $x^2 - (c + d)x + cd$ से विभाजित करने पर:
$\frac{x^2 - (a + b)x + ab}{x^2 - (c + d)x + cd} = 1 + \frac{(c + d - a - b)x + (ab - cd)}{x^2 - (c + d)x + cd}$ प्राप्त होता है।
इसे दिए गए रूप $\frac{A}{x - c} - \frac{B}{x - d} + C$ के साथ तुलना करने पर,हमें $C = 1$ प्राप्त होता है।