Mix Examples-Logarithms, Indices and Surds, Partial Fractions Questions in Hindi

(C) दिया गया है $a^2 + 4b^2 = 12ab$।
दोनों पक्षों में $4ab$ जोड़ने पर,$a^2 + 4b^2 + 4ab = 12ab + 4ab$।
$(a + 2b)^2 = 16ab$।
दोनों पक्षों का लघुगणक (logarithm) लेने पर,$\log((a + 2b)^2) = \log(16ab)$।
$2\log(a + 2b) = \log 16 + \log a + \log b$।
चूंकि $16 = 2^4$,इसलिए $\log 16 = 4\log 2$।
$2\log(a + 2b) = 4\log 2 + \log a + \log b$।
अतः,$\log(a + 2b) = \frac{1}{2}[\log a + \log b + 4\log 2]$।

(D) माना $\frac{\log x}{b - c} = \frac{\log y}{c - a} = \frac{\log z}{a - b} = k$.
अतः,$\log x = k(b - c)$,$\log y = k(c - a)$,और $\log z = k(a - b)$.
विकल्प $A$ के लिए: $xyz = e^{\log x + \log y + \log z} = e^{k(b - c + c - a + a - b)} = e^0 = 1$.
विकल्प $B$ के लिए: $x^a y^b z^c = e^{a \log x + b \log y + c \log z} = e^{k(a(b - c) + b(c - a) + c(a - b))} = e^{k(ab - ac + bc - ba + ca - cb)} = e^0 = 1$.
विकल्प $C$ के लिए: $x^{b + c} y^{c + a} z^{a + b} = e^{(b + c) \log x + (c + a) \log y + (a + b) \log z} = e^{k((b + c)(b - c) + (c + a)(c - a) + (a + b)(a - b))} = e^{k(b^2 - c^2 + c^2 - a^2 + a^2 - b^2)} = e^0 = 1$.
चूंकि सभी विकल्प सत्य हैं,इसलिए सही उत्तर $D$ है।

(A) दिया गया है: ${a^x} = {(x + y + z)^y}$,${a^y} = {(x + y + z)^z}$,${a^z} = {(x + y + z)^x}$।
तीनों समीकरणों का गुणा करने पर:
${a^x} \cdot {a^y} \cdot {a^z} = {(x + y + z)^y} \cdot {(x + y + z)^z} \cdot {(x + y + z)^x}$
${a^{x + y + z}} = {(x + y + z)^{x + y + z}}$
इसका अर्थ है $x + y + z = a$।
मूल समीकरणों में $x + y + z = a$ रखने पर:
${a^x} = {a^y} \Rightarrow x = y$
${a^y} = {a^z} \Rightarrow y = z$
चूंकि $x = y = z$ और $x + y + z = a$,इसलिए $3x = a$,जिसका अर्थ है $x = y = z = a/3$।

(B) दिया गया समीकरण: $9^x - 2^{x + 1/2} = 2^{x + 3/2} - 3^{2x - 1}$
पदों को व्यवस्थित करने पर: $3^{2x} + 3^{2x-1} = 2^{x + 3/2} + 2^{x + 1/2}$
उभयनिष्ठ पदों को बाहर निकालने पर: $3^{2x-1}(3 + 1) = 2^{x + 1/2}(2 + 1)$
$4 \cdot 3^{2x-1} = 3 \cdot 2^{x + 1/2}$
$3^{2x-2} = 2^{x - 3/2}$
दोनों पक्षों में $\log_{(9/2)}$ लेने पर: $x - 1 = \log_{(9/2)} (2^{-1/2})$
$x = 1 - \log_{(9/2)} \sqrt{2} = \log_{(9/2)} (9/\sqrt{8})$.

(A) माना $x = 0.2343434...$ (समीकरण $1$)
$10$ से गुणा करने पर: $10x = 2.343434...$ (समीकरण $2$)
समीकरण $1$ को $1000$ से गुणा करने पर: $1000x = 234.343434...$ (समीकरण $3$)
समीकरण $3$ में से समीकरण $2$ घटाने पर:
$1000x - 10x = 234.343434... - 2.343434...$
$990x = 232$
$x = \frac{232}{990}$

(A) माना $x = 0.4232323...$ (समीकरण $1$)
दोनों पक्षों को $10$ से गुणा करने पर: $10x = 4.232323...$ (समीकरण $2$)
समीकरण $1$ को $1000$ से गुणा करने पर: $1000x = 423.232323...$ (समीकरण $3$)
समीकरण $3$ में से समीकरण $2$ घटाने पर:
$1000x - 10x = 423.232323... - 4.232323...$
$990x = 419$
$x = \frac{419}{990}$.

(D) श्रेणी $x = \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \dots$ एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a_1 = \frac{1}{4}$ और सार्व अनुपात $r = \frac{1}{2}$ है।
योग सूत्र $S_{\infty} = \frac{a_1}{1 - r}$ का उपयोग करने पर,$x = \frac{1/4}{1 - 1/2} = \frac{1/4}{1/2} = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
अब,$a = 0.2 = \frac{1}{5}$,$b = \sqrt{5} = 5^{1/2}$,और $x = \frac{1}{2}$ को $a^{\log_b x}$ में रखने पर:
$a^{\log_b x} = (\frac{1}{5})^{\log_{\sqrt{5}} (1/2)} = (5^{-1})^{\log_{5^{1/2}} (2^{-1})}$.
गुणधर्म $\log_{b^n} x = \frac{1}{n} \log_b x$ का उपयोग करने पर,$\log_{5^{1/2}} (2^{-1}) = \frac{1}{1/2} \log_5 (2^{-1}) = 2 \log_5 (2^{-1}) = \log_5 (2^{-2}) = \log_5 (1/4)$ प्राप्त होता है।
अतः,व्यंजक $(5^{-1})^{\log_5 (1/4)} = 5^{-\log_5 (1/4)} = 5^{\log_5 (1/4)^{-1}} = 5^{\log_5 4} = 4$ हो जाता है।

(C) माना $x = 0.5737373......$
इसे $x = 0.5 + 0.0737373......$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$x = \frac{5}{10} + \frac{73}{999} \times \frac{1}{10}$
$x = \frac{1}{2} + \frac{73}{9990}$
$x = \frac{4995 + 73}{9990} = \frac{5068}{9990}$
वैकल्पिक रूप से,आवर्ती दशमलव नियम का उपयोग करते हुए:
$x = \frac{573 - 5}{990} = \frac{568}{990}$
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) दिया गया समीकरण: $\frac{\log 5 + \log (x^2 + 1)}{\log (x - 2)} = 2$
व्यंजक को परिभाषित होने के लिए,$x - 2 > 0$ और $x - 2 \neq 1$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $x > 2$ और $x \neq 3$।
$\log a + \log b = \log (ab)$ गुणधर्म का उपयोग करने पर:
$\log (5(x^2 + 1)) = 2 \log (x - 2)$
$n \log a = \log (a^n)$ गुणधर्म का उपयोग करने पर:
$\log (5x^2 + 5) = \log ((x - 2)^2)$
तर्कों की तुलना करने पर:
$5x^2 + 5 = x^2 - 4x + 4$
$4x^2 + 4x + 1 = 0$
$(2x + 1)^2 = 0$
$x = -\frac{1}{2}$
चूंकि डोमेन शर्त $x > 2$ है,इसलिए $x = -\frac{1}{2}$ एक मान्य हल नहीं है।
अतः,हलों की संख्या $0$ है।

(B) दिया गया समीकरण: $4^x - 3^{x - 1/2} = 3^{x + 1/2} - 2^{2x - 1}$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$2^{2x} + 2^{2x - 1} = 3^{x + 1/2} + 3^{x - 1/2}$
उभयनिष्ठ पदों को बाहर निकालने पर:
$2^{2x - 1}(2 + 1) = 3^{x - 1/2}(3 + 1)$
$2^{2x - 1}(3) = 3^{x - 1/2}(4)$
दोनों पक्षों को $3$ और $3^{x - 1/2}$ से विभाजित करने पर:
$\frac{2^{2x - 1}}{4} = \frac{3^{x - 1/2}}{3}$
$2^{2x - 1 - 2} = 3^{x - 1/2 - 1}$
$2^{2x - 3} = 3^{x - 3/2}$
बाएं पक्ष के घातांक को फिर से लिखने पर:
$2^{2(x - 3/2)} = 3^{x - 3/2}$
$(2^2)^{x - 3/2} = 3^{x - 3/2}$
$4^{x - 3/2} = 3^{x - 3/2}$
$3^{x - 3/2}$ से विभाजित करने पर:
$\left(\frac{4}{3}\right)^{x - 3/2} = 1$
चूंकि $a^0 = 1$,इसलिए:
$x - 3/2 = 0$
$x = 3/2$

(C) चूंकि प्रत्येक $n \in N$ के लिए $a_n > 1$ है,इसलिए सभी लघुगणकीय पद धनात्मक हैं।
$n$ धनात्मक पदों के लिए समांतर माध्य-गुणोत्तर माध्य $(AM \ge GM)$ असमिका का उपयोग करने पर:
$\frac{\log_{a_2} a_1 + \log_{a_3} a_2 + \dots + \log_{a_1} a_n}{n} \ge \sqrt[n]{(\log_{a_2} a_1) \cdot (\log_{a_3} a_2) \cdot \dots \cdot (\log_{a_1} a_n)}$
आधार परिवर्तन सूत्र $\log_b a = \frac{\ln a}{\ln b}$ का उपयोग करने पर,गुणनफल $1$ हो जाता है।
अतः,$\frac{\sum \log_{a_{i+1}} a_i}{n} \ge \sqrt[n]{1} = 1$
$\sum \log_{a_{i+1}} a_i \ge n$
इस प्रकार,न्यूनतम मान $n$ है।

(B) दिया गया समीकरण: $4^x - 3^{x - 1/2} = 3^{x + 1/2} - 2^{2x - 1}$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $2^{2x} + 2^{2x - 1} = 3^{x + 1/2} + 3^{x - 1/2}$.
उभयनिष्ठ पदों को बाहर निकालने पर: $2^{2x - 1}(2 + 1) = 3^{x - 1/2}(3 + 1)$.
सरल करने पर: $2^{2x - 1} \cdot 3 = 3^{x - 1/2} \cdot 4$.
$2^{2x - 1} \cdot 3 = 3^{x - 1/2} \cdot 2^2$.
$2^{2x - 3} = 3^{x - 3/2}$.
दोनों पक्षों में $\log$ लेने पर: $(2x - 3) \log 2 = (x - 3/2) \log 3$.
$(2x - 3) \log 2 = \frac{2x - 3}{2} \log 3$.
$(2x - 3) \log 2 = (2x - 3) \log \sqrt{3}$.
इसका अर्थ है $2x - 3 = 0$ या $\log 2 = \log \sqrt{3}$ (जो असंभव है)।
अतः,$2x - 3 = 0$,जिससे $x = 3/2$ प्राप्त होता है।

(D) लघुगणक के गुणों का उपयोग करके प्रत्येक पद को सरल करते हैं: $\log_a b = 1/\log_b a$ और $a^{\log_a x} = x$.
प्रथम पद: ${81^{(1/{\log_5}3)}} = {81^{\log_3 5}} = {(3^4)^{\log_3 5}} = {3^{4 \log_3 5}} = {3^{\log_3 5^4}} = {5^4} = 625$.
द्वितीय पद: ${27^{\log_9 36}} = {(3^3)^{\log_{3^2} 36}} = {3^{3 \cdot \frac{1}{2} \log_3 36}} = {3^{\frac{3}{2} \log_3 36}} = {3^{\log_3 36^{3/2}}} = {36^{3/2}} = {(6^2)^{3/2}} = 6^3 = 216$.
तृतीय पद: ${3^{4/{\log_7}9}} = {3^{4 \log_9 7}} = {3^{4 \log_{3^2} 7}} = {3^{4 \cdot \frac{1}{2} \log_3 7}} = {3^{2 \log_3 7}} = {3^{\log_3 7^2}} = 7^2 = 49$.
योग: $625 + 216 + 49 = 890$.

(A) दिया गया है ${2^x} = {4^y} = {8^z}$.
आधार $2$ के रूप में लिखने पर,${2^x} = {2^{2y}} = {2^{3z}}$.
घातांकों की तुलना करने पर,$x = 2y = 3z = k$ (माना).
तब $x = k$,$y = k/2$,और $z = k/3$.
दिया गया है $xyz = 288$,अतः $k \times (k/2) \times (k/3) = 288$.
$k^3 / 6 = 288 \implies k^3 = 1728 \implies k = 12$.
अतः,$x = 12$,$y = 6$,और $z = 4$.
अब,$\frac{1}{2x} + \frac{1}{4y} + \frac{1}{8z} = \frac{1}{2(12)} + \frac{1}{4(6)} + \frac{1}{8(4)}$.
$= \frac{1}{24} + \frac{1}{24} + \frac{1}{32} = \frac{2}{24} + \frac{1}{32} = \frac{1}{12} + \frac{1}{32}$.
$= \frac{8 + 3}{96} = \frac{11}{96}$.

(B) दिया गया है कि ${a^x} = {b^y} = {(ab)^{xy}}$.
मान लीजिए ${a^x} = {b^y} = {(ab)^{xy}} = k$.
तब $a^x = k \implies a = k^{1/x}$ और $b^y = k \implies b = k^{1/y}$.
साथ ही,$(ab)^{xy} = k \implies ab = k^{1/xy}$.
अंतिम समीकरण में $a$ और $b$ के मान प्रतिस्थापित करने पर:
$k^{1/x} \cdot k^{1/y} = k^{1/xy}$
$k^{(1/x + 1/y)} = k^{1/xy}$
घातांकों की तुलना करने पर:
$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{xy}$
$\frac{x+y}{xy} = \frac{1}{xy}$
चूंकि $x, y \neq 0$,हमें $x + y = 1$ प्राप्त होता है।

(D) माना $x = 4 + \sqrt{15}$ और $y = 4 - \sqrt{15}$ है। तब $x+y = 8$ और $xy = 1$ है।
गणना करने पर अंश $20\sqrt{10}$ प्राप्त होता है और हर $26\sqrt{10}$ प्राप्त होता है।
अनुपात $\frac{20\sqrt{10}}{26\sqrt{10}} = \frac{10}{13}$ है।

(B) दिया गया है $x = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{2}}{\sqrt{5} - \sqrt{2}}$ और $y = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{2}}{\sqrt{5} + \sqrt{2}}$.
पहले $x + y$ और $xy$ की गणना करें:
$x + y = \frac{(\sqrt{5} + \sqrt{2})^2 + (\sqrt{5} - \sqrt{2})^2}{(\sqrt{5} - \sqrt{2})(\sqrt{5} + \sqrt{2})} = \frac{14}{3}$.
$xy = 1$.
अब,$3x^2 - 3y^2 + 4xy = 3(x - y)(x + y) + 4xy$.
$(x - y)^2 = (x + y)^2 - 4xy = (\frac{14}{3})^2 - 4 = \frac{160}{9}$.
अतः,$x - y = \frac{4\sqrt{10}}{3}$.
मान रखने पर:
$3(\frac{4\sqrt{10}}{3})(\frac{14}{3}) + 4 = \frac{56\sqrt{10}}{3} + 4 = \frac{1}{3}[56\sqrt{10} + 12]$.

(C) माना $y = 0.c\overline{ab}$ है।
इसे $y = \frac{cab - c}{990}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अंकों का विस्तार करने पर,$cab = 100c + 10a + b$ प्राप्त होता है।
इस मान को समीकरण में रखने पर,$y = \frac{(100c + 10a + b) - c}{990}$ प्राप्त होता है।
अंश को सरल करने पर,$y = \frac{99c + 10a + b}{990}$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है $x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$।
प्रथम समीकरण से: $\log_{10} \sin x + \log_{10} \cos x = -1$
$\Rightarrow \log_{10}(\sin x \cos x) = -1$
$\Rightarrow \sin x \cos x = 10^{-1} = \frac{1}{10} \quad ....(1)$
दूसरे समीकरण से: $\log_{10}(\sin x + \cos x) = \frac{1}{2}(\log_{10} n - \log_{10} 10) = \frac{1}{2} \log_{10} \left(\frac{n}{10}\right) = \log_{10} \sqrt{\frac{n}{10}}$
$\Rightarrow \sin x + \cos x = \sqrt{\frac{n}{10}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(\sin x + \cos x)^2 = \frac{n}{10}$
$\sin^2 x + \cos^2 x + 2 \sin x \cos x = \frac{n}{10}$
$1 + 2 \left(\frac{1}{10}\right) = \frac{n}{10}$
$1 + \frac{1}{5} = \frac{n}{10}$
$\frac{6}{5} = \frac{n}{10}$
$n = \frac{6 \times 10}{5} = 12$.

(B) दिए गए समीकरण हैं:
$1) \log _{1 / 3}(x+y)+\log _3(x-y)=2$
$2) 2^{y^2}=512^{x+1}$
समीकरण $(1)$ से:
$-\log _3(x+y)+\log _3(x-y)=2$
$\log _3\left(\frac{x-y}{x+y}\right)=2$
$\frac{x-y}{x+y}=3^2=9$
$x-y=9x+9y$
$-8x=10y \Rightarrow y = -\frac{4}{5}x$
समीकरण $(2)$ से:
$2^{y^2}=(2^9)^{x+1} = 2^{9(x+1)}$
$y^2=9(x+1)$
$y = -\frac{4}{5}x$ को $y^2=9(x+1)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$\left(-\frac{4}{5}x\right)^2=9(x+1)$
$\frac{16}{25}x^2=9x+9$
$16x^2=225x+225$
$16x^2-225x-225=0$
$(16x+15)(x-15)=0$
अतः,$x=15$ या $x=-\frac{15}{16}$.
$x=15$ के लिए,$y=-\frac{4}{5}(15)=-12$. डोमेन की जाँच करने पर: $x+y=3 > 0$ और $x-y=27 > 0$. यह एक मान्य हल है।
$x=-\frac{15}{16}$ के लिए,$y=\frac{3}{4}$. डोमेन की जाँच करने पर: $x+y=-\frac{3}{16} < 0$. यह मान्य नहीं है।
अतः,केवल $1$ हल युग्म $(15, -12)$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया समीकरण $2^a + 2^{2b} + 2^{3c} = 328$ है।
यहाँ $328 = 2^6 + 2^8 + 2^3$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यदि हम $c=1$ लेते हैं,तो $2^a + 2^{2b} = 328 - 8 = 320$ होगा।
चूँकि $320 = 2^6 \times 5$,इसलिए $a=6$ और $1 + 2^{2b-6} = 5$ प्राप्त होता है।
अतः $2^{2b-6} = 4 = 2^2$,जिसका अर्थ है $2b-6=2$,जिससे $b=4$ मिलता है।
इस प्रकार,$(a, b, c) = (6, 4, 1)$ है।
अब,$\frac{a + 2b + 3c}{abc} = \frac{6 + 2(4) + 3(1)}{6 \times 4 \times 1} = \frac{17}{24}$।

(B) माना $x = 0.75$ है।
दिया गया व्यंजक $\frac{x^3}{1-x} + (x + x^2 + 1)$ है।
हम जानते हैं कि $(1-x)(1+x+x^2) = 1-x^3$ होता है।
अतः,व्यंजक $\frac{x^3 + (1-x)(1+x+x^2)}{1-x} = \frac{x^3 + 1 - x^3}{1-x} = \frac{1}{1-x}$ हो जाता है।
$x = 0.75$ रखने पर:
$\frac{1}{1-0.75} = \frac{1}{0.25} = 4$ प्राप्त होता है।
परिणाम का वर्गमूल $\sqrt{4} = 2$ है।

(D) दिया गया समीकरण: $3^{(x/y)+1} - 3^{(x/y)-1} = 24$
मान लीजिए $u = x/y$ है। तब समीकरण $3^{u+1} - 3^{u-1} = 24$ हो जाता है।
$3^{u-1}$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$3^{u-1} \cdot (3^2 - 1) = 24$
$3^{u-1} \cdot (9 - 1) = 24$
$3^{u-1} \cdot 8 = 24$
$3^{u-1} = 3$
अतः $u - 1 = 1$,जिसका अर्थ है कि $u = 2$ है।
इस प्रकार,$x/y = 2$ है।
हमें $\frac{x+y}{x-y}$ का मान ज्ञात करना है। अंश और हर को $y$ से विभाजित करने पर:
$\frac{x/y + 1}{x/y - 1} = \frac{2 + 1}{2 - 1} = \frac{3}{1} = 3$.

(A) दिया है $p = 99$ और $q = 101$।
$p_1 = \log_{10} \left(\frac{99+101}{2}\right) = \log_{10} 100 = 2$।
$q_1 = \frac{1}{2}(\log_{10} 99 + \log_{10} 101) = \log_{10} \sqrt{99 \times 101} = \log_{10} \sqrt{9999}$।
चूँकि $9999 < 10000$,इसलिए $\sqrt{9999} < 100$,अतः $q_1 < \log_{10} 100 = 2$।
इस प्रकार,$p_1 > q_1$।
समांतर माध्य-गुणोत्तर माध्य असमिका के अनुसार,किन्हीं दो धनात्मक संख्याओं $a$ और $b$ के लिए,यदि $a \neq b$ है तो $\frac{a+b}{2} > \sqrt{ab}$।
चूँकि $p_1 > q_1$,हमारे पास $\frac{p_1+q_1}{2} > \sqrt{p_1 q_1}$ है।
दोनों पक्षों में $\log_{10}$ लेने पर,$\log_{10} \left(\frac{p_1+q_1}{2}\right) > \log_{10} \sqrt{p_1 q_1} = \frac{1}{2}(\log_{10} p_1 + \log_{10} q_1)$।
यह दर्शाता है कि $p_2 > q_2$।
साथ ही,चूँकि $p_1 > q_1$,इसलिए $\log_{10} p_1 > \log_{10} q_1$।
चूँकि $p_1 > \frac{p_1+q_1}{2} > q_1$,लघुगणक फलन (जो एक वर्धमान फलन है) लागू करने पर $\log_{10} p_1 > p_2 > \log_{10} q_1$ प्राप्त होता है।
अतः,$\log_{10} p_1 > p_2 > q_2 > \log_{10} q_1$ प्राप्त होता है।

(C) माना कि $x = 1.\overline{41} = 1.414141...$ $(i)$
दशमलव बिंदु को स्थानांतरित करने के लिए दोनों पक्षों को $100$ से गुणा करें:
$100x = 141.414141...$ (ii)
समीकरण (ii) में से समीकरण $(i)$ को घटाने पर:
$100x - x = 141.414141... - 1.414141...$
$99x = 140$
$x = \frac{140}{99}$
अतः,परिमेय रूप $\frac{140}{99}$ है।

(D) दिया गया है कि $a, b, c$ एक समकोण त्रिभुज की भुजाएँ हैं जहाँ $c$ कर्ण है,इसलिए $a^2 + b^2 = c^2$,जिसका अर्थ है $a^2 = c^2 - b^2 = (c+b)(c-b)$।
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर,$\log(a^2) = \log((c+b)(c-b)) = \log(c+b) + \log(c-b)$।
अब,दिया गया व्यंजक $E = \frac{\log_{c+b} a + \log_{c-b} a}{2 \log_{c+b} a \cdot \log_{c-b} a}$ है।
आधार परिवर्तन नियम $\log_x y = \frac{\log y}{\log x}$ का उपयोग करने पर:
$E = \frac{\frac{\log a}{\log(c+b)} + \frac{\log a}{\log(c-b)}}{2 \cdot \frac{\log a}{\log(c+b)} \cdot \frac{\log a}{\log(c-b)}}$।
अंश का सरलीकरण: $\frac{\log a (\log(c-b) + \log(c+b))}{\log(c+b) \log(c-b)}$।
हर का सरलीकरण: $\frac{2 (\log a)^2}{\log(c+b) \log(c-b)}$।
अतः,$E = \frac{\log a \cdot \log(a^2)}{2 (\log a)^2} = \frac{\log a \cdot 2 \log a}{2 (\log a)^2} = 1$।

(B) दिया गया समीकरण $\log_{(x+1)}((x+1)(2x+3)) = 4 - \log_{(2x+3)}(x+1)^2$ है।
$\log_a(bc) = \log_a b + \log_a c$ गुणधर्म का उपयोग करने पर,हमें $1 + \log_{(x+1)}(2x+3) = 4 - 2 \log_{(2x+3)}(x+1)$ प्राप्त होता है।
माना $y = \log_{(x+1)}(2x+3)$ है। तो $\log_{(2x+3)}(x+1) = 1/y$ होगा।
समीकरण $1 + y = 4 - 2/y$ बन जाता है।
$y$ से गुणा करने पर $(y \neq 0)$,हमें $y + y^2 = 4y - 2$ प्राप्त होता है,जो $y^2 - 3y + 2 = 0$ में सरल हो जाता है।
गुणनखंड करने पर $(y-1)(y-2) = 0$ प्राप्त होता है,इसलिए $y=1$ या $y=2$ है।
स्थिति $1$: $\log_{(x+1)}(2x+3) = 1 \implies x+1 = 2x+3 \implies x = -2$। आधार की शर्तों $(x+1 > 0, x+1 \neq 1)$ की जाँच करने पर,$x = -2$ अमान्य है।
स्थिति $2$: $\log_{(x+1)}(2x+3) = 2 \implies (x+1)^2 = 2x+3 \implies x^2 + 2x + 1 = 2x+3 \implies x^2 = 2 \implies x = \pm \sqrt{2}$।
शर्तों की जाँच करने पर: $x = -\sqrt{2}$ के लिए,आधार $x+1 = 1-\sqrt{2} < 0$ है,जो अमान्य है। $x = \sqrt{2}$ के लिए,आधार $x+1 = 1+\sqrt{2} > 0$ और $2x+3 = 2\sqrt{2}+3 > 0$ मान्य हैं।
अतः,एकमात्र वास्तविक हल $x = \sqrt{2}$ है।
सभी वास्तविक हलों के वर्गों का योग $(\sqrt{2})^2 = 2$ है।