Logarithms Questions in Gujarati

(B) ગુણધર્મ $\frac{1}{\log _{a} b} = \log _{b} a$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે પદાવલિને આ રીતે લખી શકીએ:
$\log _{n} 2 + \log _{n} 3 + \log _{n} 4 + \ldots + \log _{n} 2020$
ગુણધર્મ $\log _{b} x + \log _{b} y = \log _{b} (xy)$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણને મળે છે:
$\log _{n} (2 \times 3 \times 4 \times \ldots \times 2020)$
કારણ કે $n = (2020)!$ છે,તેથી પદાવલિ બને છે:
$\log _{n} (n) = 1$

(D) આપેલ પદાવલિ $P = \log(\sin 1^{\circ}) \cdot \log(\sin 2^{\circ}) \cdot \dots \cdot \log(\sin 90^{\circ}) \cdot \dots \cdot \log(\sin 179^{\circ})$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin 90^{\circ} = 1$.
તેથી,પદ $\log(\sin 90^{\circ}) = \log(1) = 0$ થાય.
આ પદાવલિ એ $\log(\sin 90^{\circ})$ સહિતના પદોનો ગુણાકાર હોવાથી,સમગ્ર ગુણાકાર $0$ થશે કારણ કે કોઈપણ સંખ્યાનો $0$ સાથેનો ગુણાકાર $0$ થાય છે.
આમ,મૂલ્ય $0$ છે.

(D) બંને બાજુ $\log_2$ લેતા,આપણને મળે છે:
$(\frac{3}{4}(\log_2 x)^2 + \log_2 x - \frac{5}{4}) \cdot \log_2 x = \log_2(2^{1/2})$
ધારો કે $y = \log_2 x$. તો સમીકરણ આ મુજબ બનશે:
$(\frac{3}{4}y^2 + y - \frac{5}{4})y = \frac{1}{2}$
$4$ વડે ગુણતા:
$(3y^2 + 4y - 5)y = 2$
$3y^3 + 4y^2 - 5y - 2 = 0$
કિંમતો ચકાસતા,$y = 1$ એ બીજ છે કારણ કે $3(1)^3 + 4(1)^2 - 5(1) - 2 = 0$.
$(y - 1)$ વડે ભાગતા,આપણને $(y - 1)(3y^2 + 7y + 2) = 0$ મળે છે.
અવયવ પાડતા: $(y - 1)(3y + 1)(y + 2) = 0$.
બીજ $y = 1, y = -1/3, y = -2$ છે.
$y = \log_2 x$ હોવાથી,$x = 2^1, x = 2^{-1/3}, x = 2^{-2}$ મળે છે.
ત્રણેય કિંમતો વાસ્તવિક અને ધન છે,તેથી બરાબર ત્રણ વાસ્તવિક ઉકેલો છે.

(D) અમે $\log a + \log b = \log (ab)$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
$\log (\cosh 3 + \sinh 3) + \log (\cosh 3 - \sinh 3) = \log ((\cosh 3 + \sinh 3)(\cosh 3 - \sinh 3))$
$= \log (\cosh^2 3 - \sinh^2 3)$
હાયપરબોલિક વિધેયો માટે નિત્યસમ $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$= \log (1)$
$= 0$

(A) આપેલ છે,$a^x = b^y = c^z = d^w = k$ (ધારો).
તેથી,$x = \log_a k$,$y = \log_b k$,$z = \log_c k$,$w = \log_d k$.
વ્યસ્ત લેતા,$\frac{1}{x} = \log_k a$,$\frac{1}{y} = \log_k b$,$\frac{1}{z} = \log_k c$,$\frac{1}{w} = \log_k d$.
આપણે $x\left(\frac{1}{y} + \frac{1}{z} + \frac{1}{w}\right)$ ની કિંમત શોધવાની છે.
કિંમતો મૂકતા,$x\left(\log_k b + \log_k c + \log_k d\right) = x \log_k(bcd)$.
$x = \log_a k$ હોવાથી,પદાવલિ $\log_a k \cdot \log_k(bcd)$ બને છે.
બેઝ બદલવાના નિયમ મુજબ,$\log_a k \cdot \log_k(bcd) = \log_a(bcd)$.

(D) આપેલ પદાવલિ: $\log _{10}\left(\frac{a+10 b+10^2 c}{10^{-4} a+10^{-3} b+10^{-2} c}\right)$
છેદનું સાદુંરૂપ આપતા:
$10^{-4} a+10^{-3} b+10^{-2} c = \frac{a}{10^4} + \frac{b}{10^3} + \frac{c}{10^2} = \frac{a+10b+10^2c}{10^4}$
લઘુગણકમાં કિંમત મૂકતા:
$\log _{10}\left(\frac{a+10 b+10^2 c}{\frac{a+10 b+10^2 c}{10^4}}\right) = \log _{10}(10^4)$
$\log_b(b^x) = x$ ના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$\log _{10}(10^4) = 4$

(D) આપેલ છે કે,$\log _{27}(\log _3 x) = \frac{1}{3}$.
લઘુગણકની વ્યાખ્યા $\log _a b = c \Rightarrow b = a^c$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\log _3 x = (27)^{1/3}$.
કારણ કે $27 = 3^3$,તેથી $(27)^{1/3} = (3^3)^{1/3} = 3^1 = 3$.
આમ,$\log _3 x = 3$.
ફરીથી,લઘુગણકની વ્યાખ્યા મુજબ,$x = 3^3$.
તેથી,$x = 27$.

(A) આપેલ સમીકરણ: $3 \sinh (2 \theta) = 13 - 3 e^{2 \theta}$
$\sinh (2 \theta) = \frac{e^{2 \theta} - e^{-2 \theta}}{2}$ મૂકતા:
$3 \left( \frac{e^{2 \theta} - e^{-2 \theta}}{2} \right) = 13 - 3 e^{2 \theta}$
ધારો કે $x = e^{2 \theta}$. $e^{2 \theta} > 0$ હોવાથી,$x > 0$.
$\frac{3}{2} (x - \frac{1}{x}) = 13 - 3x$
$3(x^2 - 1) = 2x(13 - 3x)$
$3x^2 - 3 = 26x - 6x^2$
$9x^2 - 26x - 3 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $9x^2 - 27x + x - 3 = 0$
$9x(x - 3) + 1(x - 3) = 0$
$(9x + 1)(x - 3) = 0$
$x > 0$ હોવાથી,$x = 3$ મળે.
$e^{2 \theta} = 3$
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા:
$2 \theta = \log 3$
$\theta = \frac{1}{2} \log 3$

(D) ધારો કે $I = \frac{\cosh \alpha}{1-\tanh \alpha} + \frac{\sinh \alpha}{1-\coth \alpha}$.
$\tanh \alpha = \frac{\sinh \alpha}{\cosh \alpha}$ અને $\coth \alpha = \frac{\cosh \alpha}{\sinh \alpha}$ મૂકતા:
$I = \frac{\cosh^2 \alpha}{\cosh \alpha - \sinh \alpha} + \frac{\sinh^2 \alpha}{\sinh \alpha - \cosh \alpha}$
$I = \frac{\cosh^2 \alpha - \sinh^2 \alpha}{\cosh \alpha - \sinh \alpha}$
$\cosh^2 \alpha - \sinh^2 \alpha = 1$ હોવાથી,$I = \frac{1}{\cosh \alpha - \sinh \alpha}$ મળે.
$\cosh \alpha - \sinh \alpha = e^{-\alpha}$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા,$I = \frac{1}{e^{-\alpha}} = e^{\alpha}$ મળે.
આપેલ છે કે $\alpha = \log_e(2+\sqrt{3})$,તેથી $e^{\alpha} = 2+\sqrt{3}$.

(B) આપણે વ્યસ્ત હાયપરબોલિક વિધેયોના લઘુગણકીય સ્વરૂપો જાણીએ છીએ:
$\sec h^{-1} x = \log \left(\frac{1+\sqrt{1-x^2}}{x}\right)$
$\tan h^{-1} x = \frac{1}{2} \log \left(\frac{1+x}{1-x}\right)$
$\sin h^{-1} x = \log \left(x+\sqrt{x^2+1}\right)$
$x = \frac{1}{2}$ માટે:
$\sec h^{-1} \frac{1}{2} = \log (2+\sqrt{3})$
$\tan h^{-1} \frac{1}{2} = \log \sqrt{3}$
$\sin h^{-1} \frac{1}{2} = \log \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)$
આમ,પદાવલિ:
$= e^{\log \left((2+\sqrt{3}) \cdot \sqrt{3} \cdot \frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)}$
$= \frac{3 + 2\sqrt{3} + 3\sqrt{5} + 2\sqrt{15}}{2}$

(A) અમે વ્યસ્ત હાઇપરબોલિક વિધેયોની લઘુગણકીય વ્યાખ્યાઓનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $\tanh^{-1}(x) = \frac{1}{2} \ln(\frac{1+x}{1-x})$ અને $\operatorname{coth}^{-1}(x) = \frac{1}{2} \ln(\frac{x+1}{x-1})$.
$\tanh^{-1}(\frac{1}{2})$ માટે:
$\tanh^{-1}(\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \ln(\frac{1+1/2}{1-1/2}) = \frac{1}{2} \ln(\frac{3/2}{1/2}) = \frac{1}{2} \ln(3) = \log \sqrt{3}$.
$\operatorname{coth}^{-1}(3)$ માટે:
$\operatorname{coth}^{-1}(3) = \frac{1}{2} \ln(\frac{3+1}{3-1}) = \frac{1}{2} \ln(\frac{4}{2}) = \frac{1}{2} \ln(2) = \log \sqrt{2}$.
આ પરિણામોનો સરવાળો કરતા:
$\log \sqrt{3} + \log \sqrt{2} = \log(\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}) = \log \sqrt{6}$.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $\operatorname{Sinh}^{-1}(y) = \log(y + \sqrt{y^2+1})$.
ધારો કે $y = \frac{a}{\sqrt{1-a^2}}$.
તો $y^2+1 = \frac{a^2}{1-a^2} + 1 = \frac{a^2+1-a^2}{1-a^2} = \frac{1}{1-a^2}$.
તેથી,$\sqrt{y^2+1} = \frac{1}{\sqrt{1-a^2}}$ (કારણ કે $a < 1$).
આમ,$\operatorname{Sinh}^{-1}\left(\frac{a}{\sqrt{1-a^2}}\right) = \log\left(\frac{a+1}{\sqrt{1-a^2}}\right) = \log\left(\frac{a+1}{\sqrt{(1-a)(1+a)}}\right) = \log\left(\sqrt{\frac{1+a}{1-a}}\right) = \frac{1}{2} \log\left(\frac{1+a}{1-a}\right)$.
આપેલ સમીકરણ: $2 \operatorname{Sinh}^{-1}\left(\frac{a}{\sqrt{1-a^2}}\right) = \log \left(\frac{1+x}{1-x}\right)$.
મેળવેલ કિંમત મૂકતા: $2 \times \frac{1}{2} \log\left(\frac{1+a}{1-a}\right) = \log \left(\frac{1+x}{1-x}\right)$.
તેથી,$\log\left(\frac{1+a}{1-a}\right) = \log \left(\frac{1+x}{1-x}\right)$.
બંને બાજુ સરખાવતા,આપણને $x = a$ મળે છે.

(D) નિત્યસમ $\tanh^{-1} x = \frac{1}{2} \log_e \left( \frac{1+x}{1-x} \right)$ આપેલ છે.
લઘુગણકીય વિધેય $\log_e(u)$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,$u > 0$ હોવું જરૂરી છે.
તેથી,આપણે $\frac{1+x}{1-x} > 0$ ની જરૂર છે.
ધારો કે $f(x) = \frac{1+x}{1-x}$. નિર્ણાયક બિંદુઓ $x = -1$ અને $x = 1$ છે.
અંતરાલો તપાસતા:
$x < -1$ માટે,$f(x) < 0$.
$-1 < x < 1$ માટે,$f(x) > 0$.
$x > 1$ માટે,$f(x) < 0$.
$x = 1$ અને $x = -1$ પર,પદ અવ્યાખ્યાયિત છે.
આમ,નિત્યસમ ફક્ત $x \in (-1, 1)$ માટે જ માન્ય છે.

(B) આપેલ છે $t=\operatorname{sech}^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)-\operatorname{cosech}^{-1}\left(\frac{3}{k}\right)$.
લોગેરિધમિક સ્વરૂપો $\operatorname{sech}^{-1}(x)=\ln\left(\frac{1+\sqrt{1-x^2}}{x}\right)$ અને $\operatorname{cosech}^{-1}(x)=\ln\left(\frac{1+\sqrt{1+x^2}}{x}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$t=\ln\left(\frac{1+\sqrt{1-(1/2)^2}}{1/2}\right)-\ln\left(\frac{1+\sqrt{1+(3/k)^2}}{3/k}\right)$
$t=\ln(2+\sqrt{3})-\ln\left(\frac{k+\sqrt{k^2+9}}{3}\right)$.
આપેલ છે $3e^t=2+\sqrt{3}$,તેથી $e^t=\frac{2+\sqrt{3}}{3}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા: $t=\ln\left(\frac{2+\sqrt{3}}{3}\right)$.
$t$ માટેના બંને પદોને સરખાવતા:
$\ln\left(\frac{2+\sqrt{3}}{3}\right)=\ln\left(\frac{2+\sqrt{3}}{\frac{k+\sqrt{k^2+9}}{3}}\right)$.
આથી $\frac{k+\sqrt{k^2+9}}{3}=3$,એટલે કે $k+\sqrt{k^2+9}=9$.
$\sqrt{k^2+9}=9-k$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $k^2+9=81+k^2-18k$.
$18k=72$,જેથી $k=4$ મળે છે.

(B) આપણી પાસે છે,$\log (9+3 \sqrt{2}(2+\sqrt{5})+4 \sqrt{5})$
$= \log (9+6 \sqrt{2}+3 \sqrt{10}+4 \sqrt{5})$
$= \log ((3+\sqrt{10})(3+2 \sqrt{2}))$
$= \log (3+\sqrt{10}) + \log (3+\sqrt{8})$
$= \log (3+\sqrt{3^2+1}) + \log (3+\sqrt{3^2-1})$
નિત્યસમ $\sinh^{-1}(x) = \log(x + \sqrt{x^2+1})$ અને $\cosh^{-1}(x) = \log(x + \sqrt{x^2-1})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \sinh^{-1} 3 + \cosh^{-1} 3$

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $\sinh(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$ અને $\cosh(x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$.
પ્રથમ પદ માટે: $\sinh[\log(2+\sqrt{5})] = \frac{e^{\log(2+\sqrt{5})} - e^{-\log(2+\sqrt{5})}}{2} = \frac{(2+\sqrt{5}) - \frac{1}{2+\sqrt{5}}}{2}$.
કારણ કે $\frac{1}{2+\sqrt{5}} = \sqrt{5}-2$,તેથી $\frac{(2+\sqrt{5}) - (\sqrt{5}-2)}{2} = \frac{4}{2} = 2$.
બીજા પદ માટે: $\cosh[\log(2+\sqrt{3})] = \frac{e^{\log(2+\sqrt{3})} + e^{-\log(2+\sqrt{3})}}{2} = \frac{(2+\sqrt{3}) + \frac{1}{2+\sqrt{3}}}{2}$.
કારણ કે $\frac{1}{2+\sqrt{3}} = 2-\sqrt{3}$,તેથી $\frac{(2+\sqrt{3}) + (2-\sqrt{3})}{2} = \frac{4}{2} = 2$.
આ પરિણામોનો સરવાળો કરતા: $2 + 2 = 4$.

(A) આપણે વ્યસ્ત હાયપરબોલિક વિધેયોની લઘુગણકીય વ્યાખ્યાઓનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $|x| < 1$ માટે $\tanh^{-1}(x) = \frac{1}{2} \log \left(\frac{1+x}{1-x}\right)$ અને $|x| > 1$ માટે $\coth^{-1}(x) = \frac{1}{2} \log \left(\frac{x+1}{x-1}\right)$.
$\tanh^{-1}(x)$ માં $x = \frac{1}{3}$ મૂકતા: $\tanh^{-1}\left(\frac{1}{3}\right) = \frac{1}{2} \log \left(\frac{1 + 1/3}{1 - 1/3}\right) = \frac{1}{2} \log \left(\frac{4/3}{2/3}\right) = \frac{1}{2} \log(2)$.
$\coth^{-1}(x)$ માં $x = 2$ મૂકતા: $\coth^{-1}(2) = \frac{1}{2} \log \left(\frac{2+1}{2-1}\right) = \frac{1}{2} \log(3)$.
આ પરિણામોનો સરવાળો કરતા: $\frac{1}{2} \log(2) + \frac{1}{2} \log(3) = \frac{1}{2} \log(2 \times 3) = \frac{1}{2} \log(6) = \log(6^{1/2}) = \log \sqrt{6}$.

(D) આપેલ છે કે,$x = \log \left( \frac{1}{y} + \sqrt{1 + \frac{1}{y^2}} \right)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે પ્રતિવર્ષી હાઇપરબોલિક કોસેકન્ટ વિધેયની વ્યાખ્યા $\operatorname{cosech}^{-1} y = \log \left( \frac{1}{y} + \sqrt{\frac{1}{y^2} + 1} \right)$ છે.
આ સમીકરણની સરખામણી આપેલ સમીકરણ સાથે કરતા,આપણને $x = \operatorname{cosech}^{-1} y$ મળે છે.
બંને બાજુ હાઇપરબોલિક કોસેકન્ટ લેતા,આપણને $y = \operatorname{cosech} x$ મળે છે.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $\operatorname{sech}^{-1}(x) = \log_e \left( \frac{1+\sqrt{1-x^2}}{x} \right)$ અને $\operatorname{cosech}^{-1}(x) = \log_e \left( \frac{1}{x} + \sqrt{\frac{1}{x^2}+1} \right)$.
આપેલ સમીકરણ: $\operatorname{sech}^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)-\operatorname{cosech}^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)=\log _e k$.
પ્રથમ,$\operatorname{sech}^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = \log_e \left( \frac{1+\sqrt{1-(1/2)^2}}{1/2} \right) = \log_e \left( 2(1+\sqrt{3/4}) \right) = \log_e (2+\sqrt{3})$ મેળવો.
ત્યારબાદ,$\operatorname{cosech}^{-1}\left(\frac{3}{4}\right) = \log_e \left( \frac{4}{3} + \sqrt{\frac{16}{9}+1} \right) = \log_e \left( \frac{4}{3} + \sqrt{\frac{25}{9}} \right) = \log_e \left( \frac{4}{3} + \frac{5}{3} \right) = \log_e(3)$ મેળવો.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા: $\log_e(2+\sqrt{3}) - \log_e(3) = \log_e k$.
$\log_e \left( \frac{2+\sqrt{3}}{3} \right) = \log_e k$.
તેથી,$k = \frac{2+\sqrt{3}}{3}$,જેનો અર્થ છે કે $3k - 2 = \sqrt{3}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(3k-2)^2 = 3$.
$9k^2 - 12k + 4 = 3$.
$9k^2 - 12k + 1 = 0$.

(B) આપણે પ્રતિ હાઇપરબોલિક વિધેયોની લઘુગણકીય વ્યાખ્યાઓનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$\operatorname{coth}^{-1} x = \frac{1}{2} \log_e \left(\frac{x+1}{x-1}\right)$,જ્યાં $|x| > 1$.
$\tanh^{-1} x = \frac{1}{2} \log_e \left(\frac{1+x}{1-x}\right)$,જ્યાં $|x| < 1$.
$\operatorname{cosech}^{-1} x = \log_e \left(\frac{1 - \sqrt{1+x^2}}{x}\right)$,જ્યાં $x < 0$.
પગલું $1$: દરેક પદની ગણતરી કરો.
$\operatorname{coth}^{-1}(3) = \frac{1}{2} \log_e \left(\frac{3+1}{3-1}\right) = \frac{1}{2} \log_e(2) = \log_e \sqrt{2}$.
$\tanh^{-1}\left(\frac{1}{3}\right) = \frac{1}{2} \log_e \left(\frac{1+1/3}{1-1/3}\right) = \frac{1}{2} \log_e \left(\frac{4/3}{2/3}\right) = \frac{1}{2} \log_e(2) = \log_e \sqrt{2}$.
$\operatorname{cosech}^{-1}(-\sqrt{3}) = \log_e \left(\frac{1 - \sqrt{1+(-\sqrt{3})^2}}{-\sqrt{3}}\right) = \log_e \left(\frac{1 - 2}{-\sqrt{3}}\right) = \log_e \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = -\log_e \sqrt{3}$.
પગલું $2$: પદોને જોડો.
$\operatorname{coth}^{-1}(3) + \tanh^{-1}\left(\frac{1}{3}\right) - \operatorname{cosech}^{-1}(-\sqrt{3}) = \log_e \sqrt{2} + \log_e \sqrt{2} - (-\log_e \sqrt{3}) = \log_e \sqrt{2} + \log_e \sqrt{2} + \log_e \sqrt{3} = \log_e (\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{3}) = \log_e (2\sqrt{3})$.

(C) આપણે વ્યસ્ત હાયપરબોલિક વિધેયોના લઘુગણકીય સ્વરૂપોનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $\cosh ^{-1}(x) = \ln(x + \sqrt{x^2 - 1})$ અને $\sinh ^{-1}(x) = \ln(x + \sqrt{x^2 + 1})$.
આપેલ છે કે $\cosh ^{-1}\left(\frac{5}{3}\right) + \sinh ^{-1}\left(\frac{3}{4}\right) = k$.
લઘુગણકીય સ્વરૂપો મૂકતા:
$\ln\left(\frac{5}{3} + \sqrt{\left(\frac{5}{3}\right)^2 - 1}\right) + \ln\left(\frac{3}{4} + \sqrt{\left(\frac{3}{4}\right)^2 + 1}\right) = k$
$\ln\left(\frac{5}{3} + \sqrt{\frac{25}{9} - 1}\right) + \ln\left(\frac{3}{4} + \sqrt{\frac{9}{16} + 1}\right) = k$
$\ln\left(\frac{5}{3} + \sqrt{\frac{16}{9}}\right) + \ln\left(\frac{3}{4} + \sqrt{\frac{25}{16}}\right) = k$
$\ln\left(\frac{5}{3} + \frac{4}{3}\right) + \ln\left(\frac{3}{4} + \frac{5}{4}\right) = k$
$\ln\left(\frac{9}{3}\right) + \ln\left(\frac{8}{4}\right) = k$
$\ln(3) + \ln(2) = k$
$\ln(3 \times 2) = k$
$\ln(6) = k$
તેથી,$e^k = 6$.

(A) લઘુગણક $\log_{10}(A)$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,દલીલ $A > 0$ હોવી જોઈએ.
તેથી,$(1.6)^{1-x^2} - (0.625)^{6(1+x)} > 0$.
અહીં $1.6 = \frac{8}{5}$ અને $0.625 = \frac{5}{8} = (\frac{8}{5})^{-1}$ છે.
તેથી,$(\frac{8}{5})^{1-x^2} > (\frac{8}{5})^{-6(1+x)}$.
આધાર $\frac{8}{5} > 1$ હોવાથી,ઘાતાંકો માટે અસમતા નીચે મુજબ થશે:
$1 - x^2 > -6(1 + x)$
$1 - x^2 > -6 - 6x$
$x^2 - 6x - 7 < 0$
અવયવ પાડતા: $(x - 7)(x + 1) < 0$.
આ અસમતાનો ઉકેલ $x \in (-1, 7)$ છે.

(D) વિધેય $f(x) = \log_2(2^x - 2) + \sqrt{1 - x}$ વ્યાખ્યાયિત થાય તે માટે,લઘુગણક અને વર્ગમૂળ બંને પદો વાસ્તવિક હોવા જોઈએ.
$1$. વર્ગમૂળ માટે,$1 - x \geq 0$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $x \leq 1$.
$2$. લઘુગણક માટે,તેની અંદરની કિંમત ધન હોવી જોઈએ: $2^x - 2 > 0$,જેનો અર્થ છે કે $2^x > 2^1$,તેથી $x > 1$.
આ બંને શરતોને જોડતા,આપણને $x \leq 1$ અને $x > 1$ મળે છે.
કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા $x$ એવી નથી જે $x \leq 1$ અને $x > 1$ બંનેનું પાલન કરે,તેથી આવા મૂલ્યોનો ગણ ખાલી ગણ છે,જેને $\phi$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.

(C) આપેલ છે કે $x = \log \left( y + \sqrt{y^2 + 1} \right)$.
વ્યસ્ત હાઇપરબોલિક સાઇન વિધેયની વ્યાખ્યા મુજબ,આપણે જાણીએ છીએ કે $\sinh^{-1}(y) = \log \left( y + \sqrt{y^2 + 1} \right)$.
આપેલ સમીકરણની વ્યાખ્યા સાથે સરખામણી કરતા,આપણને $\sinh^{-1}(y) = x$ મળે છે.
બંને બાજુ હાઇપરબોલિક સાઇન લેતા,આપણને $y = \sinh x$ મળે છે.

(C) આપેલ છે કે $\left(a+\frac{b}{10}\right)^x = \left(\frac{a}{10}+\frac{b}{100}\right)^y = 1000$.
નોંધો કે $\frac{a}{10} + \frac{b}{100} = \frac{1}{10} \left(a + \frac{b}{10}\right)$.
ધારો કે $k = a + \frac{b}{10}$. તો આપેલ સમીકરણો $k^x = 1000$ અને $\left(\frac{k}{10}\right)^y = 1000$ થાય.
$k^x = 1000$ પરથી,$k = 1000^{1/x} = 10^{3/x}$ મળે.
$\left(\frac{k}{10}\right)^y = 1000$ પરથી,$\frac{k}{10} = 1000^{1/y} = 10^{3/y}$ મળે.
આમ,$k = 10 \cdot 10^{3/y} = 10^{1 + 3/y}$.
$k$ માટેના બંને પદોને સરખાવતા: $10^{3/x} = 10^{1 + 3/y}$.
ઘાતાંકોની સરખામણી કરતા: $\frac{3}{x} = 1 + \frac{3}{y}$.
પદોને ગોઠવતા: $\frac{3}{x} - \frac{3}{y} = 1$.
$3$ વડે ભાગતા: $\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{1}{3}$.

(C) આપેલ છે કે $x = \log_{0.1} 0.001$. કારણ કે $0.001 = (0.1)^3$,તેથી $x = \log_{0.1} (0.1)^3 = 3 \log_{0.1} 0.1 = 3(1) = 3$.
આપેલ છે કે $y = \log_9 81$. કારણ કે $81 = 9^2$,તેથી $y = \log_9 9^2 = 2 \log_9 9 = 2(1) = 2$.
હવે,આપણે $\sqrt{x - 2\sqrt{y}}$ ની કિંમત શોધવાની છે.
$x$ અને $y$ ની કિંમતો મૂકતા,આપણને $\sqrt{3 - 2\sqrt{2}}$ મળે છે.
આપણે $3 - 2\sqrt{2}$ ને $(\sqrt{2})^2 + (1)^2 - 2(\sqrt{2})(1) = (\sqrt{2} - 1)^2$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
તેથી,$\sqrt{3 - 2\sqrt{2}} = \sqrt{(\sqrt{2} - 1)^2} = \sqrt{2} - 1$.

(A) આપેલ છે,$a^x = b^y = c^z = d^w = k$ (ધારો કે).
આધાર $a$ સાથે લઘુગણક લેતા:
$x = y \log_a b = z \log_a c = w \log_a d$.
તેથી,$\frac{1}{y} = \frac{\log_a b}{x}$,$\frac{1}{z} = \frac{\log_a c}{x}$,અને $\frac{1}{w} = \frac{\log_a d}{x}$.
હવે,$x\left(\frac{1}{y} + \frac{1}{z} + \frac{1}{w}\right) = x\left(\frac{\log_a b}{x} + \frac{\log_a c}{x} + \frac{\log_a d}{x}\right)$.
$= x \cdot \frac{1}{x} (\log_a b + \log_a c + \log_a d)$.
$= \log_a(bcd)$.

(D) આપેલ પદાવલિ: $\log _{10}\left(\frac{a+10 b+10^2 c}{10^{-4} a+10^{-3} b+10^{-2} c}\right)$
છેદમાંથી $10^{-4}$ સામાન્ય લેતા:
$10^{-4} a + 10^{-3} b + 10^{-2} c = 10^{-4}(a + 10b + 10^2c)$
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા:
$\log _{10}\left(\frac{a+10 b+10^2 c}{10^{-4}(a+10 b+10^2 c)}\right)$
$= \log _{10}\left(\frac{1}{10^{-4}}\right)$
$= \log _{10}(10^4)$
$= 4 \log _{10}(10) = 4(1) = 4$

(B) આપેલ સમીકરણ: $6^x = 7^{x+4}$
બંને બાજુ લઘુગણક લેતા: $x \log 6 = (x+4) \log 7$
$\log(mn) = \log m + \log n$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા: $x(\log 2 + \log 3) = x \log 7 + 4 \log 7$
આપેલ કિંમતો $a, b, c$ મૂકતા: $x(a+b) = xc + 4c$
$x$ માટે પદો ગોઠવતા: $x(a+b-c) = 4c$
તેથી: $x = \frac{4c}{a+b-c}$

(A) આપેલ સમીકરણ: $(x^2 \log _x 27) \cdot \log _9 x = x + 4$
ગુણધર્મ $\log _a b \cdot \log _b c = \log _a c$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\log _x 27 \cdot \log _9 x = \log _9 27$ મળે છે.
તેથી,સમીકરણ $x^2 \cdot \log _9 27 = x + 4$ બને છે.
કારણ કે $\log _9 27 = \log _{3^2} 3^3 = \frac{3}{2} \log _3 3 = \frac{3}{2}$,તેથી સમીકરણ $x^2 \cdot \frac{3}{2} = x + 4$ છે.
$2$ વડે ગુણતા,આપણને $3x^2 = 2x + 8$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $3x^2 - 2x - 8 = 0$ થાય છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $3x^2 - 6x + 4x - 8 = 0 \Rightarrow 3x(x - 2) + 4(x - 2) = 0$.
આથી $(3x + 4)(x - 2) = 0$,તેથી $x = 2$ અથવા $x = -\frac{4}{3}$.
લઘુગણકનો આધાર $x$ ધન હોવો જોઈએ અને $x \neq 1$,તેથી $x = -\frac{4}{3}$ શક્ય નથી.
તેથી,$x = 2$.

(A) આપેલ સમીકરણ: $2 \log (x+1)-\log (x^{2}-1)=\log 2$.
ગુણધર્મ $n \log a = \log (a^n)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $\log (x+1)^2 - \log (x^2-1) = \log 2$.
ગુણધર્મ $\log a - \log b = \log (a/b)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $\log \left( \frac{(x+1)^2}{x^2-1} \right) = \log 2$.
$x^2-1 = (x-1)(x+1)$ હોવાથી,સમીકરણ $\log \left( \frac{(x+1)^2}{(x-1)(x+1)} \right) = \log 2$ બને છે.
અપૂર્ણાંકનું સાદુંરૂપ આપતા,આપણને મળે છે $\log \left( \frac{x+1}{x-1} \right) = \log 2$.
તેથી,$\frac{x+1}{x-1} = 2$.
$x+1 = 2(x-1) \Rightarrow x+1 = 2x-2$.
$x = 3$.
લઘુગણક પદો વ્યાખ્યાયિત થાય તે માટે,$x+1 > 0$ અને $x^2-1 > 0$ હોવું જરૂરી છે,જેનો અર્થ છે $x > 1$.
આમ,$x = 3$ એ એકમાત્ર માન્ય ઉકેલ છે.

(A) બંને બાજુ $\log _{3}$ લેતા,આપણને મળે છે:
$(\log _{3} x)^{2}-\frac{9}{2} \log _{3} x+5 = \log _{3} (3 \sqrt{3}) = \log _{3} (3^{3/2}) = \frac{3}{2}$.
ધારો કે $t = \log _{3} x$. તો સમીકરણ બને છે:
$t^{2} - \frac{9}{2} t + 5 = \frac{3}{2}$.
$2$ વડે ગુણતા,આપણને $2t^{2} - 9t + 10 = 3$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $2t^{2} - 9t + 7 = 0$ થાય છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(2t - 7)(t - 1) = 0$.
આમ,$t = 1$ અથવા $t = \frac{7}{2}$.
$t = 1$ માટે,$\log _{3} x = 1 \Rightarrow x = 3^{1} = 3$.
$t = \frac{7}{2}$ માટે,$\log _{3} x = \frac{7}{2} \Rightarrow x = 3^{7/2} = 27\sqrt{3}$.
બંને બીજ વાસ્તવિક છે. તેથી,સમીકરણને ઓછામાં ઓછું એક વાસ્તવિક બીજ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\log _{2} 6 + \frac{1}{2x} = \log _{2} (2^{\frac{1}{x}} + 8)$
$\log _{2} 6 = \log _{2} (2 \times 3) = 1 + \log _{2} 3$ નો ઉપયોગ કરતા:
$1 + \log _{2} 3 + \frac{1}{2x} = \log _{2} (2^{\frac{1}{x}} + 8)$
$\log _{2} 3 + \frac{1}{2x} = \log _{2} (2^{\frac{1}{x}} + 8) - 1$
$\log _{2} 3 + \frac{1}{2x} = \log _{2} (2^{\frac{1}{x}} + 8) - \log _{2} 2$
$\log _{2} 3 + \frac{1}{2x} = \log _{2} \left( \frac{2^{\frac{1}{x}} + 8}{2} \right)$
$\frac{1}{2x} = \log _{2} \left( \frac{2^{\frac{1}{x}} + 8}{6} \right)$
$2^{\frac{1}{2x}} = \frac{2^{\frac{1}{x}} + 8}{6}$
ધારો કે $y = 2^{\frac{1}{2x}}$,તો $y^2 = 2^{\frac{1}{x}}$.
$6y = y^2 + 8$
$y^2 - 6y + 8 = 0$
$(y - 4)(y - 2) = 0$
$y = 4$ અથવા $y = 2$
જો $2^{\frac{1}{2x}} = 4 = 2^2$,તો $\frac{1}{2x} = 2 \Rightarrow x = \frac{1}{4}$.
જો $2^{\frac{1}{2x}} = 2 = 2^1$,તો $\frac{1}{2x} = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{2}$.

(C) આપેલ સમીકરણ: $x+\log _{10}\left(1+2^{x}\right)=x \log _{10} 5+\log _{10} 6$
પદોને ગોઠવતા:
$\log _{10}\left(1+2^{x}\right) = x \log _{10} 5 - x + \log _{10} 6$
$\log _{10}\left(1+2^{x}\right) = x \log _{10} 5 - x \log _{10} 10 + \log _{10} 6$
$\log _{10}\left(1+2^{x}\right) = \log _{10} 5^{x} - \log _{10} 10^{x} + \log _{10} 6$
$\log _{10}\left(1+2^{x}\right) = \log _{10}\left(\frac{5^{x} \cdot 6}{10^{x}}\right)$
બંને બાજુ એન્ટિલોગ લેતા:
$1+2^{x} = \frac{5^{x} \cdot 6}{2^{x} \cdot 5^{x}}$
$1+2^{x} = \frac{6}{2^{x}}$
ધારો કે $2^{x} = t$. તેથી $1+t = \frac{6}{t}$
$t + t^{2} = 6$
$t^{2} + t - 6 = 0$
$(t+3)(t-2) = 0$
કારણ કે $t = 2^{x} > 0$,તેથી $t = 2$.
$2^{x} = 2^{1} \Rightarrow x = 1$.

(A) આપેલ સમીકરણ: $(\log _{5} x)(\log _{x} 3x)(\log _{3x} y) = \log _{x} x^{3}$
આધાર પરિવર્તન સૂત્ર $\log _{b} a = \frac{\log a}{\log b}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{\log x}{\log 5} \times \frac{\log 3x}{\log x} \times \frac{\log y}{\log 3x} = 3 \log _{x} x$
ડાબી બાજુના સામાન્ય પદોને દૂર કરતા:
$\frac{\log y}{\log 5} = 3(1)$
$\log _{5} y = 3$
ઘાતાંકીય સ્વરૂપમાં ફેરવતા:
$y = 5^{3} = 125$

(C) આપેલ છે,$\log _{0.2}(x-1) > \log _{0.04}(x+5)$
$\Rightarrow \log _{0.2}(x-1) > \log _{0.2^{2}}(x+5)$
$\Rightarrow \log _{0.2}(x-1) > \frac{1}{2} \log _{0.2}(x+5)$
$\Rightarrow 2 \log _{0.2}(x-1) > \log _{0.2}(x+5)$
$\Rightarrow \log _{0.2}(x-1)^{2} > \log _{0.2}(x+5)$
$\Rightarrow (x-1)^{2} < x+5$
$[\because \log _{a} x > \log _{a} y \Rightarrow x < y, \text{ જો } 0 < a < 1]$
$\Rightarrow x^{2}-2x+1 < x+5$
$\Rightarrow x^{2}-3x-4 < 0$
$\Rightarrow (x-4)(x+1) < 0$
$\Rightarrow x \in (-1, 4)$
વળી,લઘુગણક વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,$x-1 > 0 \Rightarrow x > 1$ અને $x+5 > 0 \Rightarrow x > -5$.
$x \in (-1, 4)$ અને $x > 1$ ને જોડતા,આપણને $x \in (1, 4)$ મળે છે.

(C) આપેલ છે,$\log _{101} \log _{7}(\sqrt{x+7}+\sqrt{x})=0$
$\therefore \log _{7}(\sqrt{x+7}+\sqrt{x}) = (101)^{0} = 1$
$\Rightarrow \sqrt{x+7}+\sqrt{x} = 7^{1} = 7$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે:
$(\sqrt{x+7}+\sqrt{x})^{2} = 7^{2}$
$x+7+x+2\sqrt{x(x+7)} = 49$
$2x+7+2\sqrt{x^{2}+7x} = 49$
$2\sqrt{x^{2}+7x} = 42-2x$
$\sqrt{x^{2}+7x} = 21-x$
ફરીથી બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$x^{2}+7x = (21-x)^{2}$
$x^{2}+7x = 441 - 42x + x^{2}$
$7x = 441 - 42x$
$49x = 441$
$x = \frac{441}{49} = 9$

(C) ધારો કે $y = 20^{301}$.
$y$ માં અંકોની સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે $\lfloor \log_{10} y \rfloor + 1$ ની ગણતરી કરીએ છીએ.
$\log_{10} y = \log_{10} (20^{301}) = 301 \times \log_{10} (2 \times 10)$.
$\log(ab) = \log a + \log b$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$\log_{10} y = 301 \times (\log_{10} 2 + \log_{10} 10) = 301 \times (0.3010 + 1) = 301 \times 1.3010$.
$301 \times 1.3010 = 391.601$.
અંકોની સંખ્યા $\lfloor 391.601 \rfloor + 1 = 391 + 1 = 392$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $\frac{1}{2} \log _{\sqrt{3}}\left(\frac{x+1}{x+5}\right)+\log _{9}(x+5)^{2}=1$ છે.
લઘુગણક વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,$\frac{x+1}{x+5} > 0$ અને $x+5 \neq 0$ હોવું જોઈએ.
આનો અર્થ એ છે કે $x \in (-\infty, -5) \cup (-1, \infty)$.
$\log_{a^n} b = \frac{1}{n} \log_a b$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$\log_{\sqrt{3}} y = 2 \log_3 y$ અને $\log_9 y = \frac{1}{2} \log_3 y$ મળે.
સમીકરણ $\frac{1}{2} \cdot 2 \log_3 \left(\frac{x+1}{x+5}\right) + \frac{1}{2} \cdot 2 \log_3 |x+5| = 1$ બને છે.
$\log_3 \left(\frac{x+1}{x+5}\right) + \log_3 |x+5| = 1$.
પ્રદેશ માટે $x+5 > 0$ હોવાથી,$|x+5| = x+5$.
$\log_3 (x+1) = 1$.
$x+1 = 3$,તેથી $x = 2$.
$x=2$ એ પ્રદેશની શરતનું પાલન કરે છે,તેથી માત્ર $1$ ઉકેલ શક્ય છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $\log _{2}\left(x^{2}+2 x-1\right)=1$
લઘુગણકની વ્યાખ્યા મુજબ,$\log _{b}(a) = c \implies a = b^{c}$.
તેથી,$x^{2}+2 x-1 = 2^{1} = 2$.
પદોને ગોઠવતા: $x^{2}+2 x-3 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(x+3)(x-1) = 0$.
આથી $x = -3$ અથવા $x = 1$ મળે છે.
પ્રદેશ તપાસતા: $\log _{2}(f(x))$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે $f(x) > 0$ હોવું જોઈએ.
જો $x = 1$,તો $x^{2}+2 x-1 = 1+2-1 = 2 > 0$ (માન્ય).
જો $x = -3$,તો $x^{2}+2 x-1 = 9-6-1 = 2 > 0$ (માન્ય).
બંને ઉકેલો માન્ય છે,તેથી કુલ $2$ ઉકેલો મળે છે.