Logarithms Questions in Gujarati

(C) આપેલ સમીકરણો:
$1$) $\log _3 x + \log _3 y = 2 + \log _3 2$
$2$) $\log _3(x+y) = 2$
સમીકરણ $(1)$ પરથી,$\log_a b + \log_a c = \log_a(bc)$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$\log _3(xy) = \log _3(3^2) + \log _3 2$
$\log _3(xy) = \log _3 9 + \log _3 2 = \log _3 18$
તેથી,$xy = 18$.
સમીકરણ $(2)$ પરથી:
$x + y = 3^2 = 9$.
આમ,$x+y=9$ અને $xy=18$ મળે છે.
દ્વિઘાત સમીકરણ $t^2 - 9t + 18 = 0$ ઉકેલતા,$t=3$ અથવા $t=6$ મળે છે.
તેથી,ઉકેલ $(x=3, y=6)$ અથવા $(x=6, y=3)$ છે.
આપેલ વિકલ્પો મુજબ,સાચો જવાબ $x=3, y=6$ છે.

(A) આપેલ છે કે $\log _{7} 2 = \lambda$.
આપણે $\log _{49} (28)$ ની કિંમત શોધવાની છે.
બેઝ બદલવાના સૂત્ર $\log _{a^n} b = \frac{1}{n} \log _{a} b$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\log _{49} (28) = \log _{7^2} (28) = \frac{1}{2} \log _{7} (28)$.
કારણ કે $28 = 4 \times 7 = 2^2 \times 7$,આપણે લખી શકીએ:
$\frac{1}{2} \log _{7} (2^2 \times 7) = \frac{1}{2} [\log _{7} (2^2) + \log _{7} 7]$.
$\log _{a} (x^n) = n \log _{a} x$ અને $\log _{a} a = 1$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{2} [2 \log _{7} 2 + 1] = \frac{1}{2} (2 \lambda + 1)$.

(D) બેઝ બદલવાના સૂત્ર $\log_{a} b = \frac{\log b}{\log a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
અંશ = $\log_{3} 5 \times \log_{25} 27 \times \log_{49} 7$
$= \frac{\log 5}{\log 3} \times \frac{\log 27}{\log 25} \times \frac{\log 7}{\log 49}$
$= \frac{\log 5}{\log 3} \times \frac{3 \log 3}{2 \log 5} \times \frac{\log 7}{2 \log 7}$
$= \frac{1}{1} \times \frac{3}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{3}{4}$
છેદ = $\log_{81} 3 = \log_{3^4} 3 = \frac{1}{4} \log_{3} 3 = \frac{1}{4}$
કિંમત = $\frac{3/4}{1/4} = 3$

(C) ગુણધર્મ $\frac{1}{\log _{a} b} = \log _{b} a$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે પદાવલિને આ રીતે લખી શકીએ:
$\log _{12} 3 + \log _{12} 4$
લઘુગણકનો ગુણધર્મ $\log _{b} x + \log _{b} y = \log _{b} (xy)$ લાગુ પાડતા:
$\log _{12} (3 \times 4) = \log _{12} 12$
કારણ કે $\log _{b} b = 1$,તેથી કિંમત $1$ છે.

(B) આપેલ છે કે $x = \log_a (bc)$,$y = \log_b (ca)$,અને $z = \log_c (ab)$.
દરેક પદમાં $1$ ઉમેરતા:
$1+x = 1 + \log_a (bc) = \log_a a + \log_a (bc) = \log_a (abc)$.
તે જ રીતે,$1+y = \log_b (abc)$ અને $1+z = \log_c (abc)$.
હવે,વ્યસ્ત લેતા:
$\frac{1}{1+x} = \frac{1}{\log_a (abc)} = \log_{abc} a$.
$\frac{1}{1+y} = \frac{1}{\log_b (abc)} = \log_{abc} b$.
$\frac{1}{1+z} = \frac{1}{\log_c (abc)} = \log_{abc} c$.
આ પદોનો સરવાળો કરતા:
$\frac{1}{1+x} + \frac{1}{1+y} + \frac{1}{1+z} = \log_{abc} a + \log_{abc} b + \log_{abc} c = \log_{abc} (abc) = 1$.

(B) પદાવલિનો પ્રદેશ $x > 0$ છે.
આપેલ અસમતા: $\log _{25} x^2 + (\log _5 x)^2 < 2$.
$\log _{a^n} b^m = \frac{m}{n} \log _a b$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$\log _{25} x^2 = \log _{5^2} x^2 = \frac{2}{2} \log _5 x = \log _5 x$.
આને અસમતામાં મૂકતા: $\log _5 x + (\log _5 x)^2 < 2$.
ધારો કે $y = \log _5 x$. તો $y^2 + y - 2 < 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(y + 2)(y - 1) < 0$.
આનો અર્થ છે કે $-2 < y < 1$.
$y = \log _5 x$ પાછા મૂકતા: $-2 < \log _5 x < 1$.
ઘાતાંકીય સ્વરૂપમાં ફેરવતા: $5^{-2} < x < 5^1$.
આમ,$\frac{1}{25} < x < 5$.

(A) લઘુગણકીય અસમતા $\log _{e}\left(x^{2}-16\right) \leq \log _{e}(4 x-11)$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,દલીલો ધન હોવી જોઈએ:
$1) \ x^{2}-16 > 0$ $\Rightarrow (x-4)(x+4) > 0$ $\Rightarrow x \in (-\infty, -4) \cup (4, \infty)$
$2) \ 4x-11 > 0 \Rightarrow x > \frac{11}{4} = 2.75$
આ બંનેને જોડતા,પ્રદેશ $x > 4$ મળે છે.
હવે,અસમતા ઉકેલતા:
$x^{2}-16 \leq 4x-11$
$x^{2}-4x-5 \leq 0$
$(x-5)(x+1) \leq 0$
આ $x \in [-1, 5]$ માટે સાચું છે.
પ્રદેશ $(x > 4)$ અને ઉકેલ $(x \in [-1, 5])$ નો છેદ લેતા,આપણને $4 < x \leq 5$ મળે છે.

(C) આપેલ છે કે $\log _{a} x, \log _{b} x, \log _{c} x$ એ $AP$ માં છે.
તેથી,$2 \log _{b} x = \log _{a} x + \log _{c} x$.
બેઝ બદલવાના સૂત્ર $\log _{m} n = \frac{1}{\log _{n} m}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{2}{\log _{x} b} = \frac{1}{\log _{x} a} + \frac{1}{\log _{x} c}$.
$\frac{2}{\log _{x} b} = \frac{\log _{x} c + \log _{x} a}{\log _{x} a \cdot \log _{x} c} = \frac{\log _{x} (ac)}{\log _{x} a \cdot \log _{x} c}$.
આમ,$c^2 = (ac)^{\log _{a} b}$ મળે છે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $\frac{2}{3} \log _{b} a+\frac{3}{5} \log _{c} b+\frac{5}{2} \log _{a} c=3$.
ધારો કે $x = \frac{2}{3} \log _{b} a$,$y = \frac{3}{5} \log _{c} b$,અને $z = \frac{5}{2} \log _{a} c$.
અહીં $x \cdot y \cdot z = (\frac{2}{3} \log _{b} a) \cdot (\frac{3}{5} \log _{c} b) \cdot (\frac{5}{2} \log _{a} c) = 1$ થાય છે.
સમાંતર મધ્યક-ભૂમિતિ મધ્યક અસમતા $(AM \ge GM)$ મુજબ,જો $x+y+z=3$ અને $xyz=1$ હોય,તો $x=y=z=1$ થાય.
તેથી,$\frac{2}{3} \log _{b} a = 1 \Rightarrow \log _{b} a = \frac{3}{2}$.
$b=9$ મૂકતા,$\log _{9} a = \frac{3}{2}$.
તેથી,$a = 9^{3/2} = 27$.

(A) આપેલ છે,$\log _{0.3}(x-1) < \log _{0.09}(x-1)$.
લઘુગણક વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,આપણી પાસે $x-1 > 0$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે $x > 1$.
આપણે અસમતાને $\log _{0.3}(x-1) < \log _{0.3^{2}}(x-1)$ તરીકે ફરીથી લખી શકીએ છીએ.
ગુણધર્મ $\log _{a^n} b = \frac{1}{n} \log_a b$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $\log _{0.3}(x-1) < \frac{1}{2} \log _{0.3}(x-1)$.
બંને બાજુ $2$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે $2 \log _{0.3}(x-1) < \log _{0.3}(x-1)$.
બંને બાજુથી $\log _{0.3}(x-1)$ બાદ કરતા,આપણને મળે છે $\log _{0.3}(x-1) < 0$.
કારણ કે આધાર $0.3 < 1$ છે,તેથી જ્યારે આપણે લઘુગણક દૂર કરીએ ત્યારે અસમતા ઉલટાઈ જાય છે: $x-1 > (0.3)^0$.
$x-1 > 1$.
$x > 2$.
આમ,$x$ એ $(2, \infty)$ અંતરાલમાં આવે છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $ \log_{(x+3)}(6x^{2}+28x+30)=5-2\log_{(6x+10)}(x+3)^{2} $
અવયવ પાડતા: $ 6x^{2}+28x+30 = (6x+10)(x+3) $.
તેથી,$ \log_{(x+3)}[(6x+10)(x+3)] = 5 - 4\log_{(6x+10)}(x+3) $
$ 1 + \log_{(x+3)}(6x+10) = 5 - 4\log_{(6x+10)}(x+3) $
ધારો કે $ A = \log_{(x+3)}(6x+10) $. તો $ \log_{(6x+10)}(x+3) = \frac{1}{A} $.
સમીકરણ $ 1 + A = 5 - \frac{4}{A} $ બને છે.
$ A - 4 + \frac{4}{A} = 0 \Rightarrow A^{2} - 4A + 4 = 0 $.
$ (A-2)^{2} = 0 \Rightarrow A = 2 $.
$ \log_{(x+3)}(6x+10) = 2 \Rightarrow 6x+10 = (x+3)^{2} $.
$ 6x+10 = x^{2}+6x+9 \Rightarrow x^{2} = 1 $.
$ x = 1 $ અથવા $ x = -1 $.
ઉકેલોનો સરવાળો $= 1 + (-1) = 0$.