Solution of quadratic equations and Nature of roots Questions in Hindi

(C) दिया गया है $x = 2 + \sqrt{3}$,इसलिए $x - 2 = \sqrt{3}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(x - 2)^2 = 3$,जो सरल होकर $x^2 - 4x + 4 = 3$ या $x^2 - 4x + 1 = 0$ बन जाता है।
अब,बहुपद $x^3 - 7x^2 + 13x - 12$ को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$x^3 - 7x^2 + 13x - 12 = x(x^2 - 4x + 1) - 3x^2 + 12x - 12$
$= x(x^2 - 4x + 1) - 3(x^2 - 4x + 1) - 9$
चूंकि $x^2 - 4x + 1 = 0$,इसलिए व्यंजक का मान $x(0) - 3(0) - 9 = -9$ होगा।

(A) द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के लिए,मूलों की प्रकृति विविक्तकर $D = b^2 - 4ac$ द्वारा निर्धारित की जाती है।
यदि $D < 0$ है,तो मूल काल्पनिक (सम्मिश्र संख्याएँ) होते हैं।
अतः,मूलों के काल्पनिक होने की शर्त $b^2 - 4ac < 0$ है।

(C) माना $u = e^{\sin x}$। चूंकि $-1 \le \sin x \le 1$,इसलिए $u$ का परिसर $[e^{-1}, e^1]$ है,जो लगभग $[0.368, 2.718]$ है।
समीकरण में $u$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $u - \frac{1}{u} - 4 = 0$ प्राप्त होता है।
$u$ से गुणा करने पर,हमें द्विघात समीकरण $u^2 - 4u - 1 = 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात सूत्र $u = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर,$u = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4(1)(-1)}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{20}}{2} = 2 \pm \sqrt{5}$ प्राप्त होता है।
यहाँ $u = 2 + \sqrt{5} \approx 4.236$ और $u = 2 - \sqrt{5} \approx -0.236$ है,इनमें से कोई भी मान $[0.368, 2.718]$ के परिसर में नहीं है।
अतः,$x$ का कोई भी वास्तविक मान समीकरण को संतुष्ट नहीं करता है।
इस प्रकार,समीकरण का कोई वास्तविक मूल नहीं है।

(B) दिया गया समीकरण $\frac{1}{x + p} + \frac{1}{x + q} = \frac{1}{r}$ है।
$r(x+q) + r(x+p) = (x+p)(x+q)$ प्राप्त होता है।
$2rx + r(p+q) = x^2 + (p+q)x + pq$।
$x^2 + (p+q-2r)x + (pq - rp - rq) = 0$ के रूप में व्यवस्थित करने पर।
चूंकि मूल परिमाण में समान और विपरीत चिह्न के हैं,उनका योग $0$ होगा।
अतः,$-(p+q-2r) = 0 \implies 2r = p+q$।
मूलों का गुणनफल $= pq - r(p+q) = pq - (\frac{p+q}{2})(p+q) = pq - \frac{(p+q)^2}{2}$।
गुणनफल $= \frac{2pq - p^2 - 2pq - q^2}{2} = -\frac{p^2 + q^2}{2}$।

(A) द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के लिए,मूल वास्तविक होते हैं यदि विविक्तकर $D = b^2 - 4ac \geq 0$ हो।
यहाँ,$a = 1, b = 2, c = p$ है।
विविक्तकर के सूत्र में इन मानों को रखने पर:
$D = (2)^2 - 4(1)(p) \geq 0$
$4 - 4p \geq 0$
$4 \geq 4p$
$p \leq 1$
अतः,सही शर्त $p \leq 1$ है।

(A) माना $y = \frac{x}{x^2 - 5x + 9}$.
तब $y(x^2 - 5x + 9) = x$,जिसका अर्थ है $yx^2 - (5y + 1)x + 9y = 0$.
चूंकि $x$ एक वास्तविक संख्या है,इसलिए विविक्तकर $D \ge 0$ होगा।
$D = (-(5y + 1))^2 - 4(y)(9y) \ge 0$.
$(5y + 1)^2 - 36y^2 \ge 0$.
$25y^2 + 10y + 1 - 36y^2 \ge 0$.
$-11y^2 + 10y + 1 \ge 0$.
$11y^2 - 10y - 1 \le 0$.
$(11y + 1)(y - 1) \le 0$.
यह असमिका $y \in [-\frac{1}{11}, 1]$ के लिए सत्य है।
अतः,अधिकतम मान $1$ है।

(A) माना $y = |x - 2|$। समीकरण $y^2 + y - 6 = 0$ हो जाता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(y + 3)(y - 2) = 0$।
चूंकि $y = |x - 2| \ge 0$,इसलिए $y = 2$ होगा।
अतः,$|x - 2| = 2$।
इसका अर्थ है $x - 2 = 2$ या $x - 2 = -2$।
इन्हें हल करने पर: $x = 4$ या $x = 0$।
अतः,मूल $0, 4$ हैं।

(C) दिया गया है कि $4$,$x^2 + px + 12 = 0$ का एक मूल है,इसलिए $x = 4$ प्रतिस्थापित करने पर:
$4^2 + p(4) + 12 = 0$
$16 + 4p + 12 = 0$
$4p = -28$
$p = -7$
अब,समीकरण $x^2 + px + q = 0$,$x^2 - 7x + q = 0$ बन जाता है।
चूंकि इस समीकरण के मूल समान हैं,इसलिए इसका विविक्तकर $D = 0$ होगा:
$D = b^2 - 4ac = 0$
$(-7)^2 - 4(1)(q) = 0$
$49 - 4q = 0$
$4q = 49$
$q = 49/4$

(B) माना $f(x) = (x - a)(x - c) + 2(x - b)(x - d)\text{।}$
दिए गए बिंदुओं $a, b, c, d$ पर फलन का मान ज्ञात करने पर:
$f(a) = 2(a - b)(a - d) > 0$ (चूंकि $a < b$ और $a < d$)
$f(b) = (b - a)(b - c) < 0$ (चूंकि $b > a$ और $b < c$)
$f(c) = 2(c - b)(c - d) < 0$ (चूंकि $c > b$ और $c < d$)
$f(d) = (d - a)(d - c) > 0$ (चूंकि $d > a$ और $d > c$)
यहाँ $f(a) > 0$ और $f(b) < 0$ है,अतः अंतराल $(a, b)$ में एक मूल स्थित है।
यहाँ $f(b) < 0$ और $f(d) > 0$ है,अतः अंतराल $(b, d)$ में दूसरा मूल स्थित है।
चूंकि समीकरण द्विघात है,इसलिए इसके दोनों मूल वास्तविक और भिन्न हैं।

(A) मान लीजिए समीकरण $ax^2 - bx - c = 0$ के मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं।
यदि मूलों को एक अचर $\lambda$ द्वारा स्थानांतरित किया जाता है,तो नए मूल $\alpha + \lambda$ और $\beta + \lambda$ हो जाते हैं।
मूलों का अंतर अपरिवर्तित रहता है:
$|(\alpha + \lambda) - (\beta + \lambda)| = |\alpha - \beta|$.
हम जानते हैं कि मूलों का अंतर $|\alpha - \beta| = \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{|a|}$ द्वारा दिया जाता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(\alpha - \beta)^2 = \frac{b^2 - 4ac}{a^2}$ प्राप्त होता है।
अतः,व्यंजक $\frac{b^2 - 4ac}{a^2}$ अपरिवर्तित रहता है।

(C) द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के कोई वास्तविक मूल न होने के लिए,विविक्तकर $D = b^2 - 4ac < 0$ होना चाहिए।
यहाँ,$a = (p - 2)$,$b = 2(p - 2)$,और $c = 2$ है।
यदि $p = 2$ है,तो समीकरण $2 = 0$ हो जाता है,जो संभव नहीं है,इसलिए $p = 2$ के लिए कोई वास्तविक मूल नहीं है।
$p \neq 2$ के लिए,$D = [2(p - 2)]^2 - 4(p - 2)(2) < 0$।
$4(p - 2)^2 - 8(p - 2) < 0$।
$4$ से विभाजित करने पर: $(p - 2)^2 - 2(p - 2) < 0$।
$(p - 2)(p - 4) < 0$।
यह असमिका $p \in (2, 4)$ के लिए सत्य है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) दिया गया है कि $3$ समीकरण $x^2 + kx - 24 = 0$ का एक मूल है।
समीकरण में $x = 3$ रखने पर:
$3^2 + k(3) - 24 = 0$
$9 + 3k - 24 = 0$
$3k - 15 = 0$
$3k = 15 \implies k = 5$.
अब,$x = 3$ और $k = 5$ का मान विकल्पों में रखने पर:
विकल्प $(C)$ के लिए: $x^2 - kx + 6 = 0$
$3^2 - 5(3) + 6 = 9 - 15 + 6 = 0$.
अतः,$3$ समीकरण $x^2 - kx + 6 = 0$ का एक मूल है।

(A) दिया गया द्विघात समीकरण $x^2 + px + (1 - p) = 0$ है।
चूंकि $(1 - p)$ एक मूल है,यह समीकरण को संतुष्ट करेगा:
$(1 - p)^2 + p(1 - p) + (1 - p) = 0$
$(1 - p)$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$(1 - p) [(1 - p) + p + 1] = 0$
$(1 - p) [2] = 0$
इसका अर्थ है $1 - p = 0$,अर्थात $p = 1$।
$p = 1$ को मूल समीकरण में रखने पर:
$x^2 + (1)x + (1 - 1) = 0$
$x^2 + x = 0$
$x(x + 1) = 0$
अतः,मूल $x = 0$ और $x = -1$ हैं।

(B) माना $y = x^{1/3}$ है। तब समीकरण $y^2 + y - 2 = 0$ बन जाता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर,हमें $(y + 2)(y - 1) = 0$ प्राप्त होता है।
इससे $y$ के दो संभावित मान मिलते हैं: $y = 1$ या $y = -2$।
यदि $y = 1$ है,तो $x^{1/3} = 1$,जिसका अर्थ है $x = 1^3 = 1$।
यदि $y = -2$ है,तो $x^{1/3} = -2$,जिसका अर्थ है $x = (-2)^3 = -8$।
अतः,समीकरण के मूल $x = 1$ और $x = -8$ हैं।

(C) दिया गया द्विघात समीकरण $(p - q)x^2 + (q - r)x + (r - p) = 0$ है।
यहाँ गुणांकों का योग $(p - q) + (q - r) + (r - p) = 0$ है।
यदि किसी द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ में गुणांकों का योग शून्य है,तो $x = 1$ हमेशा एक मूल होता है।
माना मूल $x_1$ और $x_2$ हैं। हम जानते हैं कि मूलों का गुणनफल $\frac{c}{a}$ होता है।
इसलिए,$1 \times x_2 = \frac{r - p}{p - q}$।
अतः,मूल $1$ और $\frac{r - p}{p - q}$ हैं।

(B) द्विघात समीकरण $x^2 - 4x - \log_3 a = 0$ के मूल वास्तविक होने के लिए,विविक्तकर (discriminant) $D \geq 0$ होना चाहिए।
विविक्तकर $D = b^2 - 4ac$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$a = 1$,$b = -4$,और $c = -\log_3 a$ है।
$D = (-4)^2 - 4(1)(-\log_3 a) \geq 0$
$16 + 4\log_3 a \geq 0$
$4\log_3 a \geq -16$
$\log_3 a \geq -4$
चूंकि आधार $3 > 1$ है,इसलिए असमिका की दिशा समान रहेगी:
$a \geq 3^{-4}$
$a \geq \frac{1}{81}$
अतः,$a$ का न्यूनतम मान $\frac{1}{81}$ है।

(C) दिया गया द्विघात समीकरण $x^2 - m(2x - 8) - 15 = 0$ है।
समीकरण का विस्तार करने पर: $x^2 - 2mx + 8m - 15 = 0$।
इसे मानक रूप $ax^2 + bx + c = 0$ से तुलना करने पर,$a = 1$,$b = -2m$,और $c = 8m - 15$ प्राप्त होता है।
समीकरण के मूल समान होने के लिए,विविक्तकर $D = b^2 - 4ac = 0$ होना चाहिए।
मान रखने पर: $(-2m)^2 - 4(1)(8m - 15) = 0$।
$4m^2 - 32m + 60 = 0$।
$4$ से विभाजित करने पर: $m^2 - 8m + 15 = 0$।
गुणनखंड करने पर: $(m - 3)(m - 5) = 0$।
अतः,$m = 3$ या $m = 5$।

(C) दिया गया द्विघात समीकरण $(p - q)x^2 + (q - r)x + (r - p) = 0$ है।
माना $f(x) = (p - q)x^2 + (q - r)x + (r - p)$ है।
गुणांकों का योग ज्ञात करने पर: $(p - q) + (q - r) + (r - p) = p - q + q - r + r - p = 0$ है।
चूंकि गुणांकों का योग $0$ है,इसलिए $x = 1$ समीकरण का एक मूल है।
माना मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं। हम जानते हैं कि मूलों का गुणनफल $\alpha \beta = \frac{c}{a} = \frac{r - p}{p - q}$ होता है।
चूंकि $\alpha = 1$,इसलिए $1 \times \beta = \frac{r - p}{p - q}$,अतः $\beta = \frac{r - p}{p - q}$ है।
अतः,मूल $1$ और $\frac{r - p}{p - q}$ हैं।

(D) माना $\alpha, \beta$ समीकरण $x^2 - bx + c = 0$ के मूल हैं और $\alpha', \beta'$ समीकरण $x^2 - cx + b = 0$ के मूल हैं।
$x^2 - bx + c = 0$ के मूलों के बीच का अंतर $|\alpha - \beta| = \sqrt{(\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta} = \sqrt{b^2 - 4c}$ है।
$x^2 - cx + b = 0$ के मूलों के बीच का अंतर $|\alpha' - \beta'| = \sqrt{(\alpha' + \beta')^2 - 4\alpha'\beta'} = \sqrt{c^2 - 4b}$ है।
दिया गया है कि अंतर समान है:
$\sqrt{b^2 - 4c} = \sqrt{c^2 - 4b}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$b^2 - 4c = c^2 - 4b$
$b^2 - c^2 = 4c - 4b$
$(b - c)(b + c) = -4(b - c)$
यदि $b \neq c$ है,तो $(b - c)$ से विभाजित करने पर:
$b + c = -4$.

(C) समीकरण $ax^2 - rx - s = 0$ का विविक्तकर $D = (-r)^2 - 4(a)(-s) = r^2 + 4as$ है।
चूंकि $r, s > 0$ और $a > 0$ है,इसलिए $D = r^2 + 4as > 0$,जिसका अर्थ है कि मूल वास्तविक हैं।
इसके अतिरिक्त,मूलों का गुणनफल $\frac{c}{a} = \frac{-s}{a}$ होता है।
चूंकि $s > 0$ और $a > 0$ है,इसलिए मूलों का गुणनफल ऋणात्मक है,जिसका अर्थ है कि मूल विपरीत चिह्नों के हैं।

(A) माना $y = x - 2$ है। समीकरण $y^2 - 3y + 2 = 0$ हो जाता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर,हमें $(y - 1)(y - 2) = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$y = 1$ या $y = 2$ है।
$x - 2 = y$ प्रतिस्थापित करने पर:
स्थिति $1$: $x - 2 = 1 \implies x = 3$ है।
स्थिति $2$: $x - 2 = 2 \implies x = 4$ है।
समीकरण के मूल $3$ और $4$ हैं।
मूलों का गुणनफल $3 \times 4 = 12$ है।

(A) द्विघात व्यंजक $f(x) = x^2 - ax + (1 - 2a^2)$ के सभी वास्तविक $x$ के लिए हमेशा धनात्मक होने के लिए,$x^2$ का गुणांक धनात्मक होना चाहिए (जो $1 > 0$ है,जो सत्य है) और विविक्तकर $D$ का मान $0$ से कम होना चाहिए।
विविक्तकर $D = b^2 - 4ac = (-a)^2 - 4(1)(1 - 2a^2)$ है।
$D < 0$ रखने पर:
$a^2 - 4(1 - 2a^2) < 0$
$a^2 - 4 + 8a^2 < 0$
$9a^2 - 4 < 0$
गुणनखंड करने पर:
$(3a - 2)(3a + 2) < 0$
असमिका को हल करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$ - \frac{2}{3} < a < \frac{2}{3} $

(B) द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के मूल समान होने के लिए विविक्तकर $D = 0$ होना चाहिए।
विविक्तकर $D = b^2 - 4ac$ है।
दिए गए समीकरण $x^2 + px + 64 = 0$ के लिए,$a = 1$,$b = p$,और $c = 64$ है।
$D = 0$ रखने पर:
$p^2 - 4(1)(64) = 0$
$p^2 - 256 = 0$
$p^2 = 256$
$p = \pm 16$।
चूंकि $p > 0$ दिया गया है,इसलिए $p = 16$ होगा।

(D) दिया गया समीकरण $a - bx - x^2 = 0$ है,जिसे $x^2 + bx - a = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इसे मानक द्विघात समीकरण $Ax^2 + Bx + C = 0$ के साथ तुलना करने पर,$A = 1$,$B = b$,और $C = -a$ प्राप्त होता है।
विविक्तकर $D = B^2 - 4AC = b^2 - 4(1)(-a) = b^2 + 4a$ है।
चूंकि $a > 0$ और $b > 0$,इसलिए $D = b^2 + 4a > 0$,अतः मूल वास्तविक और भिन्न हैं।
मान लीजिए मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं। मूलों का गुणनफल $\alpha \beta = \frac{C}{A} = -a$ है।
चूंकि $a > 0$,मूलों का गुणनफल ऋणात्मक है,जिसका अर्थ है कि मूल विपरीत चिन्ह के हैं।
मूलों का योग $\alpha + \beta = -\frac{B}{A} = -b$ है।
चूंकि $b > 0$,मूलों का योग ऋणात्मक है। विपरीत चिन्ह वाली दो संख्याओं का योग ऋणात्मक होने के लिए,संख्यात्मक रूप से बड़ा मूल ऋणात्मक होना चाहिए।

(C) दिया गया है $x = \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \dots}}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$x^2 = 2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \dots}}$
चूंकि वर्गमूल के अंदर का व्यंजक $x$ है,इसलिए $x^2 = 2 + x$
पदों को व्यवस्थित करने पर,$x^2 - x - 2 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(x - 2)(x + 1) = 0$
इससे $x = 2$ या $x = -1$ प्राप्त होता है
चूंकि वर्गमूल का मान हमेशा धनात्मक होता है,इसलिए $x \neq -1$
अतः,$x = 2$.

(B) द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के मूल परिमेय होने के लिए,विविक्तकर $D = b^2 - 4ac$ एक पूर्ण वर्ग होना चाहिए।
यहाँ,$a = 6$,$b = -7$,और $c = k$ है।
$D = (-7)^2 - 4(6)(k) = 49 - 24k$।
$D$ के पूर्ण वर्ग होने के लिए,हम $k$ के मानों की जाँच करते हैं:
यदि $k = 1$ है,तो $D = 49 - 24(1) = 25 = 5^2$ (एक पूर्ण वर्ग है)।
यदि $k = 2$ है,तो $D = 49 - 24(2) = 49 - 48 = 1 = 1^2$ (एक पूर्ण वर्ग है)।
अतः,$k$ के मान $1$ और $2$ हैं।

(B) माना समीकरण $x^2 + px + 3 = 0$ के मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं।
दिया गया है कि $|\alpha - \beta| = \sqrt{p}$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(\alpha - \beta)^2 = p$ प्राप्त होता है।
हम जानते हैं कि $(\alpha - \beta)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta$ होता है।
समीकरण के गुणांकों को प्रतिस्थापित करने पर,$\alpha + \beta = -p$ और $\alpha\beta = 3$ है।
अतः,$(-p)^2 - 4(3) = p$ होगा।
$p^2 - 12 = p \implies p^2 - p - 12 = 0$।
गुणनखंड करने पर: $(p - 4)(p + 3) = 0$।
इस प्रकार,$p = 4$ या $p = -3$ है।
चूंकि अंतर $\sqrt{p}$ है,इसलिए $p$ ऋणात्मक नहीं हो सकता। अतः $p = 4$।

(A) चूंकि समीकरण $x^2 + \lambda x + \mu = 0$ के मूल समान हैं,इसलिए विविक्तकर $D = 0$ होगा।
अतः,$\lambda^2 - 4\mu = 0 \implies \lambda^2 = 4\mu$।
दिया गया है कि $x = 2$ समीकरण $x^2 + \lambda x - 12 = 0$ का एक मूल है,इसलिए $x = 2$ रखने पर:
$2^2 + \lambda(2) - 12 = 0
4 + 2\lambda - 12 = 0
2\lambda = 8
\lambda = 4$।
अब,$\lambda = 4$ को $\lambda^2 = 4\mu$ में रखने पर:
$4^2 = 4\mu
16 = 4\mu
\mu = 4$।
अतः,$(\lambda, \mu) = (4, 4)$।

(D) दिए गए समीकरण $ax^2 + x + b = 0$ के लिए,विविक्तकर $D > 0$ होना चाहिए।
$D = 1^2 - 4ab > 0 \implies 1 > 4ab \implies ab < \frac{1}{4}$।
अब,दूसरे समीकरण $x^2 - 4\sqrt{ab}x + 1 = 0$ के लिए विविक्तकर $D'$ ज्ञात करते हैं।
$D' = (-4\sqrt{ab})^2 - 4(1)(1) = 16ab - 4 = 4(4ab - 1)$।
चूंकि $4ab < 1$,इसलिए $4ab - 1 < 0$ होगा।
अतः,$D' < 0$ होने के कारण,समीकरण के मूल काल्पनिक होंगे।

(A) माना $P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ है।
चूंकि $x^2 + x + 1$,$P(x)$ का एक गुणनखंड है,हम $P(x) = (x^2 + x + 1)(ax + k)$ लिख सकते हैं,जहाँ $k$ एक स्थिरांक है।
इसका विस्तार करने पर,$P(x) = ax^3 + (a+k)x^2 + (a+k)x + k$ प्राप्त होता है।
मूल बहुपद के साथ अचर पद की तुलना करने पर,$k = d$ प्राप्त होता है।
अतः,$P(x) = (x^2 + x + 1)(ax + d)$।
$P(x) = 0$ रखने पर,$(x^2 + x + 1)(ax + d) = 0$ प्राप्त होता है।
$x^2 + x + 1 = 0$ के मूल सम्मिश्र हैं (विविक्तकर $D = 1^2 - 4(1)(1) = -3 < 0$)।
वास्तविक मूल $ax + d = 0$ से प्राप्त होता है,जो $x = -\frac{d}{a}$ है।

(D) दिया गया समीकरण $x^4 - 4x^3 + ax^2 + bx + 1 = 0$ है जिसके चार वास्तविक मूल $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ हैं।
विएटा के सूत्रों के अनुसार:
$\sum \alpha = 4$
$\sum \alpha \beta = a$
$\sum \alpha \beta \gamma = -b$
$\alpha \beta \gamma \delta = 1$
वास्तविक मूलों के लिए,समांतर माध्य $(AM)$ $\geq$ गुणोत्तर माध्य $(GM)$:
$\frac{\alpha + \beta + \gamma + \delta}{4} \geq (\alpha \beta \gamma \delta)^{1/4}$
मान रखने पर: $\frac{4}{4} \geq (1)^{1/4} \implies 1 \geq 1$.
चूंकि $AM$ = $GM$ है,इसलिए सभी मूल समान होंगे: $\alpha = \beta = \gamma = \delta = 1$.
अब $a$ और $b$ का मान:
$a = \sum \alpha \beta = 6 \times (1 \times 1) = 6$.
$-b = \sum \alpha \beta \gamma = 4 \times (1 \times 1 \times 1) = 4 \implies b = -4$.
अतः,$a = 6$ और $b = -4$.

(A) दिए गए समीकरण $(a^2 - 3a + 2)x^2 + (a^2 - 4)x + a^2 - a - 2 = 0$ के रैखिक समीकरण होने के लिए,$x^2$ का गुणांक शून्य होना चाहिए,जबकि $x$ का गुणांक शून्य नहीं होना चाहिए।
चरण $1$: $x^2$ के गुणांक को शून्य के बराबर रखें।
$a^2 - 3a + 2 = 0$
$(a - 1)(a - 2) = 0$
अतः,$a = 1$ या $a = 2$ है।
चरण $2$: इन मानों के लिए $x$ के गुणांक $(a^2 - 4) \neq 0$ की शर्त की जाँच करें।
यदि $a = 1$ है: $x$ का गुणांक $(1)^2 - 4 = -3 \neq 0$ है। यह मान्य है।
यदि $a = 2$ है: $x$ का गुणांक $(2)^2 - 4 = 0$ है। यह समीकरण को $0x^2 + 0x + (4 - 2 - 2) = 0$ बनाता है,जो $0 = 0$ है। यह एक रैखिक समीकरण नहीं है।
इस प्रकार,केवल $a = 1$ ही शर्त को पूरा करता है।

(C) द्विघात समीकरण $x^2 - 8x + (a^2 - 6a) = 0$ के मूल वास्तविक होने के लिए,विविक्तकर (discriminant) $D \geq 0$ होना चाहिए।
$D = b^2 - 4ac \geq 0$
$(-8)^2 - 4(1)(a^2 - 6a) \geq 0$
$64 - 4(a^2 - 6a) \geq 0$
$4$ से विभाजित करने पर:
$16 - (a^2 - 6a) \geq 0$
$16 - a^2 + 6a \geq 0$
$a^2 - 6a - 16 \leq 0$
गुणनखंड करने पर:
$(a - 8)(a + 2) \leq 0$
यह असमिका तब सत्य होती है जब $a$ समीकरण $(a - 8)(a + 2) = 0$ के मूलों $a = 8$ और $a = -2$ के बीच स्थित हो।
अतः,$-2 \leq a \leq 8$.

(A) चूंकि $p(x) = f(x) - g(x)$,हमारे पास $p(x) = (a - a_1)x^2 + (b - b_1)x + (c - c_1)$ है।
मान लीजिए $A = a - a_1$,$B = b - b_1$,और $C = c - c_1$ है। तब $p(x) = Ax^2 + Bx + C$ है।
यह दिया गया है कि केवल $x = -1$ के लिए $p(x) = 0$ है,जिसका अर्थ है कि $x = -1$ द्विघात समीकरण $p(x) = 0$ का एक पुनरावृत्त मूल है।
इसलिए,$p(x) = A(x + 1)^2$ है।
हमें $p(-2) = 2$ दिया गया है।
$x = -2$ को समीकरण में रखने पर: $p(-2) = A(-2 + 1)^2 = A(-1)^2 = A$ है।
अतः,$A = 2$ है।
अब,$p(2)$ ज्ञात करने के लिए:
$p(2) = A(2 + 1)^2 = 2(3)^2 = 2(9) = 18$।

(D) दिया गया समीकरण $x^{2/3} - 7x^{1/3} + 10 = 0$ है।
इसे $(x^{1/3})^2 - 7(x^{1/3}) + 10 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
माना $a = x^{1/3}.$ इस मान को समीकरण में रखने पर,$a^2 - 7a + 10 = 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(a - 5)(a - 2) = 0.$
इससे $a = 5$ या $a = 2$ प्राप्त होता है।
चूंकि $a = x^{1/3},$ इसलिए $x = a^3$ होगा।
यदि $a = 5,$ तो $x = 5^3 = 125.$
यदि $a = 2,$ तो $x = 2^3 = 8.$
अतः,$x = 125, 8.$

(B) द्विघात समीकरण $Ax^2 + Bx + C = 0$ के मूल वास्तविक होने के लिए,विविक्तकर $D = B^2 - 4AC \geq 0$ होना चाहिए।
यहाँ,$A = 1$,$B = -8$,और $C = a^2 - 6a$ है।
विविक्तकर के सूत्र में इन मानों को रखने पर:
$D = (-8)^2 - 4(1)(a^2 - 6a) \geq 0$
$64 - 4(a^2 - 6a) \geq 0$
$64 - 4a^2 + 24a \geq 0$
$-4$ से विभाजित करने पर (और असमिका का चिह्न बदलने पर):
$a^2 - 6a - 16 \leq 0$
गुणनखंड करने पर:
$(a - 8)(a + 2) \leq 0$
असमिका के मूल $a = 8$ और $a = -2$ हैं।
अतः,$a$ का मान $-2 \leq a \leq 8$ के बीच होना चाहिए।

(B) माना $f(x, y, z) = x^2 + 4y^2 + 3z^2 - 2x - 12y - 6z + 14$ है।
वर्गों को पूर्ण करने के लिए पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$f(x, y, z) = (x^2 - 2x + 1) + (4y^2 - 12y + 9) + (3z^2 - 6z + 3) + 1$
$= (x - 1)^2 + (2y - 3)^2 + 3(z - 1)^2 + 1$.
व्यंजक का न्यूनतम मान प्राप्त करने के लिए,प्रत्येक वर्ग पद शून्य होना चाहिए:
$(x - 1)^2 = 0 \implies x = 1$
$(2y - 3)^2 = 0 \implies y = \frac{3}{2}$
$(z - 1)^2 = 0 \implies z = 1$
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,न्यूनतम मान $f(1, \frac{3}{2}, 1) = 0 + 0 + 0 + 1 = 1$ प्राप्त होता है।

(A) माना कि दो क्रमागत पूर्णांक $n$ और $n+1$ हैं।
द्विघात समीकरण $x^2 - bx + c = 0$ के लिए,मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं।
दिया गया है कि $\alpha = n$ और $\beta = n+1$ है।
विविक्तकर $D = b^2 - 4c$ है।
हम जानते हैं कि $D = (\alpha - \beta)^2$ होता है।
मान रखने पर,$D = (n - (n+1))^2 = (-1)^2 = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$b^2 - 4c = 1$।

(C) वक्र $y = x^2 + ax + 25$,$x-$अक्ष को स्पर्श करता है,जिसका अर्थ है कि द्विघात समीकरण $x^2 + ax + 25 = 0$ के मूल समान हैं।
समान मूलों के लिए,विविक्तकर (discriminant) $D$ शून्य होना चाहिए।
$D = b^2 - 4ac = 0$
मान $a=1, b=a, c=25$ रखने पर:
$a^2 - 4(1)(25) = 0$
$a^2 - 100 = 0$
$a^2 = 100$
$a = \pm 10$

(C) दिया गया समीकरण $x^2 + x + 1 = 0$ है।
चूंकि $\alpha$ एक मूल है,$\alpha^2 + \alpha + 1 = 0$,जिसका अर्थ है कि $\alpha^3 = 1$।
साथ ही,मूलों का योग $\alpha + \alpha^2 = -1$ है।
हमें वह समीकरण ज्ञात करना है जिसके मूल $\alpha^{31}$ और $\alpha^{62}$ हैं।
नए मूलों का योग: $\alpha^{31} + \alpha^{62} = \alpha^{30} \cdot \alpha + (\alpha^3)^{20} \cdot \alpha^2 = (1)^{10} \cdot \alpha + (1)^{20} \cdot \alpha^2 = \alpha + \alpha^2 = -1$।
नए मूलों का गुणनफल: $\alpha^{31} \cdot \alpha^{62} = \alpha^{93} = (\alpha^3)^{31} = 1^{31} = 1$।
वांछित द्विघात समीकरण $x^2 - (\text{मूलों का योग})x + (\text{मूलों का गुणनफल}) = 0$ है।
मान रखने पर: $x^2 - (-1)x + 1 = 0$,जो सरल होकर $x^2 + x + 1 = 0$ प्राप्त होता है।

(C) दी गई अभिव्यक्ति $x = \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \dots}}}$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$x^2 = 2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \dots}}$ प्राप्त होता है।
चूंकि आंतरिक भाग $x$ के समान है,हम $x^2 = 2 + x$ लिख सकते हैं।
पदों को व्यवस्थित करने पर,द्विघात समीकरण $x^2 - x - 2 = 0$ प्राप्त होता है।
समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(x - 2)(x + 1) = 0$।
इससे $x = 2$ या $x = -1$ प्राप्त होता है।
चूंकि $x$ एक धनात्मक मान का वर्गमूल है,इसलिए $x$ धनात्मक होना चाहिए।
अतः,$x = 2$।

(A) दिया गया समीकरण: $x - \frac{2}{x - 1} = 1 - \frac{2}{x - 1}$.
दोनों पक्षों में $\frac{2}{x - 1}$ जोड़ने पर,हमें $x = 1$ प्राप्त होता है।
हालाँकि,मूल समीकरण के परिभाषित होने के लिए हर $x - 1 \neq 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $x \neq 1$.
चूँकि एकमात्र संभावित हल $x = 1$ डोमेन से बाहर है,इसलिए समीकरण का कोई मूल नहीं है।

(A) एक द्विघात समीकरण $Ax^2 + Bx + C = 0$ के दो से अधिक हल होने के लिए,इसे एक सर्वसमिका (identity) होना चाहिए,जिसका अर्थ है $A = 0$,$B = 0$,और $C = 0$ होना चाहिए।
$1$. $A = a^2 - a - 2 = (a - 2)(a + 1) = 0 \implies a = 2, -1$
$2$. $B = a^2 - 4 = (a - 2)(a + 2) = 0 \implies a = 2, -2$
$3$. $C = a^2 - 3a + 2 = (a - 1)(a - 2) = 0 \implies a = 1, 2$
तीनों शर्तों को संतुष्ट करने वाला $a$ का सामान्य मान $a = 2$ है।

(D) माना $y = \frac{3x^2 + 9x + 17}{3x^2 + 9x + 7}$.
$y = \frac{(3x^2 + 9x + 7) + 10}{3x^2 + 9x + 7} = 1 + \frac{10}{3x^2 + 9x + 7}$.
$y$ के अधिकतम होने के लिए,हर $p = 3x^2 + 9x + 7$ का मान न्यूनतम होना चाहिए।
द्विघात व्यंजक $ax^2 + bx + c$ (जहाँ $a > 0$) का न्यूनतम मान $\frac{-D}{4a} = \frac{-(b^2 - 4ac)}{4a}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$a = 3$,$b = 9$,$c = 7$.
$D = b^2 - 4ac = 9^2 - 4(3)(7) = 81 - 84 = -3$.
$p_{\text{min}} = \frac{-(-3)}{4(3)} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$.
अतः,$y_{\text{max}} = 1 + \frac{10}{1/4} = 1 + 10 \times 4 = 1 + 40 = 41$.

(A) दिया गया समीकरण $x^2 - 3|x| + 2 = 0$ है।
चूंकि $x^2 = |x|^2$,हम समीकरण को $|x|^2 - 3|x| + 2 = 0$ के रूप में लिख सकते हैं।
माना $t = |x|$,जहाँ $t \geq 0$ है। समीकरण $t^2 - 3t + 2 = 0$ बन जाता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(t - 1)(t - 2) = 0$ प्राप्त होता है।
इससे $t = 1$ या $t = 2$ मिलता है।
स्थिति $1$: $|x| = 1$ का अर्थ है $x = 1$ या $x = -1$ है।
स्थिति $2$: $|x| = 2$ का अर्थ है $x = 2$ या $x = -2$ है।
अतः,वास्तविक हल $x \in \{-2, -1, 1, 2\}$ हैं।
वास्तविक हलों की कुल संख्या $4$ है।

(B) समीकरण $px^2 + 2qx + r = 0$ के वास्तविक मूल होने के लिए,विविक्तकर (discriminant) गैर-ऋणात्मक होना चाहिए:
$D_1 = (2q)^2 - 4pr \geq 0 \implies 4q^2 - 4pr \geq 0 \implies q^2 \geq pr \dots (i)$
समीकरण $qx^2 - 2\sqrt{pr}x + q = 0$ के वास्तविक मूल होने के लिए,विविक्तकर गैर-ऋणात्मक होना चाहिए:
$D_2 = (-2\sqrt{pr})^2 - 4(q)(q) \geq 0 \implies 4pr - 4q^2 \geq 0 \implies pr \geq q^2 \dots (ii)$
$(i)$ और $(ii)$ से,हमारे पास $q^2 \geq pr$ और $pr \geq q^2$ है,जिसका अर्थ है $q^2 = pr$.

(D) दिया गया समीकरण $2x^2 - (k - 1)x + 8 = 0$ है।
समान और वास्तविक मूलों के लिए,विविक्तकर $D = b^2 - 4ac = 0$ होना चाहिए।
यहाँ,$a = 2$,$b = -(k - 1)$,और $c = 8$ है।
इन मानों को $D = 0$ में रखने पर:
$(-(k - 1))^2 - 4(2)(8) = 0$
$(k - 1)^2 - 64 = 0$
$(k - 1)^2 = 64$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$k - 1 = \pm 8$
स्थिति $1$: $k - 1 = 8 \Rightarrow k = 9$
स्थिति $2$: $k - 1 = -8 \Rightarrow k = -7$
अतः,$k$ के मान $9$ और $-7$ हैं।

(A) माना $y = \frac{1}{x - 2}$. तब $x - 2 = \frac{1}{y}$,अतः $x = \frac{1}{y} + 2 = \frac{1 + 2y}{y}$.
मूल समीकरण $x^2 - 3x + 1 = 0$ में $x = \frac{2y + 1}{y}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$(\frac{2y + 1}{y})^2 - 3(\frac{2y + 1}{y}) + 1 = 0$
$\frac{4y^2 + 4y + 1}{y^2} - \frac{6y + 3}{y} + 1 = 0$
$y^2$ से गुणा करने पर:
$(4y^2 + 4y + 1) - y(6y + 3) + y^2 = 0$
$4y^2 + 4y + 1 - 6y^2 - 3y + y^2 = 0$
$-y^2 + y + 1 = 0$
$y^2 - y - 1 = 0$.
अतः,अभीष्ट समीकरण $x^2 - x - 1 = 0$ है।