समीकरण x^3 + 3Hx + G = 0 में,यदि G और H वास्त | vedclass

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Question

(C) दिया गया त्रिघात समीकरण $x^3 + 3Hx + G = 0$ है,जहाँ $G$ और $H$ वास्तविक स्थिरांक हैं।$x^3 + px + q = 0$ के रूप वाले त्रिघात समीकरण के लिए,विविक्तक

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एक वास्तविक और दो काल्पनिक

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(C) दिया गया त्रिघात समीकरण $x^3 + 3Hx + G = 0$ है,जहाँ $G$ और $H$ वास्तविक स्थिरांक हैं।$x^3 + px + q = 0$ के रूप वाले त्रिघात समीकरण के लिए,विविक्तकर (discriminant) $\Delta = - (4p^3 + 27q^2)$ द्वारा दिया जाता है।यहाँ,$p = 3H$ और $q = G$ है।अतः,$\Delta = - (4(3H)^3 + 27G^2) = - (108H^3 + 27G^2) = -27(4H^3 + G^2)$।दिया गया है कि $G^2 + 4H^3 > 0$,इसलिए $\Delta = -27(G^2 + 4H^3) वास्तविक गुणांकों वाले त्रिघात समीकरण के लिए,यदि विविक्तकर $\Delta < 0$ है,तो समीकरण का एक वास्तविक मूल और दो सम्मिश्र (काल्पनिक) मूल होते हैं।

समीकरण $x^3 + 3Hx + G = 0$ में,यदि $G$ और $H$ वास्तविक हैं और $G^2 + 4H^3 > 0$ है,तो मूल हैं

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मान लीजिए $f: R \rightarrow R$ एक फलन $f(x) = (x - a_1)(x - a_2) + (x - a_2)(x - a_3) + (x - a_3)(x - a_1)$ है,जहाँ $a_1, a_2, a_3 \in R$ है। तो,$f(x) \geq 0$ यदि और केवल यदि

यदि $3 + 4i$ समीकरण ${x^2} + px + q = 0$ का एक मूल है (जहाँ $p, q$ वास्तविक संख्याएँ हैं),तो:

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