त्रिघात बहुपद P(x) = 2x^3 + x^2 + 3x - 2 के ब | vedclass

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Question

(C) दिया गया बहुपद $P(x) = 2x^3 + x^2 + 3x - 2$ है।सबसे पहले,हम अवकलज $P'(x) = 6x^2 + 2x + 3$ की जाँच करते हैं।$P'(x)$ का विविक्तकर $D = (2)^2 - 4(6)(

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केवल $(i)$ और $(iii)$

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(C) दिया गया बहुपद $P(x) = 2x^3 + x^2 + 3x - 2$ है।सबसे पहले,हम अवकलज $P'(x) = 6x^2 + 2x + 3$ की जाँच करते हैं।$P'(x)$ का विविक्तकर $D = (2)^2 - 4(6)(3) = 4 - 72 = -68 चूँकि अग्रणी गुणांक धनात्मक है और विविक्तकर ऋणात्मक है,इसलिए सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $P'(x) > 0$ है।इसका अर्थ है कि $P(x)$ एक निरंतर वर्धमान फलन है।एक निरंतर वर्धमान त्रिघात बहुपद के रूप में,इसका ठीक एक वास्तविक मूल और दो सम्मिश्र संयुग्मी मूल होने चाहिए।अंत बिंदुओं पर मान: $P(0) = -2$ और $P(1) = 2(1)^3 + (1)^2 + 3(1) - 2 = 4$ है।चूँकि $P(0)  0$ है,इसलिए 'इंटरमीडिएट वैल्यू थ्योरम' के अनुसार,अंतराल $(0, 1)$ में एक मूल मौजूद है।चूँकि केवल एक वास्तविक मूल है और वह धनात्मक है,इसलिए कथन $(i)$ और $(iii)$ सत्य हैं।कथन $(ii)$ गलत है क्योंकि कोई ऋणात्मक मूल नहीं है।कथन $(iv)$ गलत है क्योंकि वास्तविक गुणांक वाले त्रिघात बहुपद के या तो एक या तीन वास्तविक मूल होते हैं।कथन $(v)$ गलत है क्योंकि एकमात्र वास्तविक मूल धनात्मक है।कथन $(vi)$ गलत है क्योंकि एक वास्तविक मूल वाले त्रिघात बहुपद के दो सम्मिश्र मूल होते हैं।अतः,केवल $(i)$ और $(iii)$ सत्य हैं।

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