यदि समीकरण x^3 - 2ax^2 + 3bx - 8 = 0 के सभी म | vedclass

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Question

(A) माना समीकरण के मूल $x_1, x_2, x_3 > 0$ हैं।विएटा के सूत्रों के अनुसार:$x_1 + x_2 + x_3 = 2a$$x_1x_2 + x_2x_3 + x_3x_1 = 3b$$x_1x_2x_3 = 8$$\frac{1

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$4$

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(A) माना समीकरण के मूल $x_1, x_2, x_3 > 0$ हैं।विएटा के सूत्रों के अनुसार:$x_1 + x_2 + x_3 = 2a$$x_1x_2 + x_2x_3 + x_3x_1 = 3b$$x_1x_2x_3 = 8$$\frac{1}{x_1}, \frac{1}{x_2}, \frac{1}{x_3}$ पदों के लिए समांतर माध्य-गुणोत्तर माध्य ($AM$-$GM$) असमिका का उपयोग करने पर:$\frac{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \frac{1}{x_3}}{3} \geq \sqrt[3]{\frac{1}{x_1} \cdot \frac{1}{x_2} \cdot \frac{1}{x_3}}$$\frac{\frac{x_1x_2 + x_2x_3 + x_3x_1}{x_1x_2x_3}}{3} \geq \left(\frac{1}{8}\right)^{1/3}$$\frac{\frac{3b}{8}}{3} \geq \frac{1}{2}$$\frac{b}{8} \geq \frac{1}{2}$$b \geq 4$अतः,$b$ का न्यूनतम मान $4$ है।

यदि समीकरण $x^3 - 2ax^2 + 3bx - 8 = 0$ के सभी मूल धनात्मक हैं,जहाँ $a, b \in R$,तो $b$ का न्यूनतम मान क्या है?

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