Solution of quadratic equations and Nature of roots Questions in Hindi

(C) मूल ज्ञात करने के लिए,हम दिए गए विकल्पों को समीकरण $f(x) = 2x^5 - 14x^4 + 31x^3 - 64x^2 + 19x + 130 = 0$ में प्रतिस्थापित करते हैं।
$x = 5$ के लिए:
$f(5) = 2(5)^5 - 14(5)^4 + 31(5)^3 - 64(5)^2 + 19(5) + 130$
$f(5) = 6250 - 8750 + 3875 - 1600 + 95 + 130 = 0$
चूंकि $f(5) = 0$,इसलिए $x = 5$ समीकरण का एक मूल है।

(B) दिया गया समीकरण $x^3 - 3x + 2 = 0$ है।
$x = 1$ रखने पर,$1^3 - 3(1) + 2 = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$(x - 1)$ एक गुणनखंड है।
$x^3 - 3x + 2$ को $(x - 1)$ से विभाजित करने पर,$x^2(x - 1) + x(x - 1) - 2(x - 1) = 0$ प्राप्त होता है।
$(x - 1)(x^2 + x - 2) = 0$.
द्विघात भाग का गुणनखंड करने पर: $(x - 1)(x + 2)(x - 1) = 0$.
इस प्रकार,$(x - 1)^2(x + 2) = 0$.
मूल $1, 1, -2$ हैं।

(A) दिया गया समीकरण $x^4 - 2x^3 + x - 380 = 0$ है।
पूर्णांक मूलों की जाँच करने पर,हम पाते हैं कि $x = 5$ और $x = -4$ मूल हैं।
बहुपद $x^4 - 2x^3 + x - 380$ को $(x - 5)(x + 4) = x^2 - x - 20$ से विभाजित करने पर,हमें भागफल $x^2 - x + 19$ प्राप्त होता है।
अतः,$(x - 5)(x + 4)(x^2 - x + 19) = 0$।
$x^2 - x + 19 = 0$ के लिए,द्विघात सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर,
$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4(19)}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{-75}}{2} = \frac{1 \pm 5\sqrt{-3}}{2}$।
अतः,मूल $5, -4, \frac{1 \pm 5\sqrt{-3}}{2}$ हैं।

(D) दिया गया द्विघात समीकरण $pqx^2 - (p + q)^2x + (p + q)^2 = 0$ है।
इसे मानक रूप $ax^2 + bx + c = 0$ से तुलना करने पर,$a = pq$,$b = -(p + q)^2$,और $c = (p + q)^2$ प्राप्त होता है।
द्विघात सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
विविक्तकर $D = b^2 - 4ac = (-(p + q)^2)^2 - 4(pq)(p + q)^2 = (p + q)^4 - 4pq(p + q)^2$.
$D = (p + q)^2 [(p + q)^2 - 4pq] = (p + q)^2 (p - q)^2$.
अतः,$\sqrt{D} = (p + q)(p - q) = p^2 - q^2$.
$x = \frac{(p + q)^2 \pm (p^2 - q^2)}{2pq}$.
स्थिति $1$: $x = \frac{p^2 + 2pq + q^2 + p^2 - q^2}{2pq} = \frac{2p(p + q)}{2pq} = \frac{p + q}{q}$.
स्थिति $2$: $x = \frac{p^2 + 2pq + q^2 - p^2 + q^2}{2pq} = \frac{2q(p + q)}{2pq} = \frac{p + q}{p}$.
अतः,हल समुच्चय $\left\{ \frac{p + q}{p}, \frac{p + q}{q} \right\}$ है।

(A) दिया गया है $x = \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \dots \infty}}}$.
चूंकि यह एक अनंत व्यंजक है,हम लिख सकते हैं $x = \sqrt{1 + x}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$x^2 = 1 + x$ प्राप्त होता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,द्विघात समीकरण $x^2 - x - 1 = 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर,जहाँ $a = 1, b = -1, c = -1$:
$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$.
चूंकि $x$ एक वर्गमूल को दर्शाता है,इसलिए $x > 0$ होना चाहिए।
अतः,हम ऋणात्मक मान $\frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ को छोड़ देंगे।
इस प्रकार,$x = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$।

(C) दिया गया समीकरण: $|x^2| + |x| - 6 = 0$.
चूंकि $|x^2| = |x|^2$,समीकरण को $|x|^2 + |x| - 6 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
माना $t = |x|$,जहाँ $t \ge 0$ है। समीकरण $t^2 + t - 6 = 0$ हो जाता है।
गुणनखंड करने पर: $(t + 3)(t - 2) = 0$.
इससे $t = -3$ या $t = 2$ प्राप्त होता है।
चूंकि $t = |x| \ge 0$ है,इसलिए $t = -3$ संभव नहीं है।
अतः,$|x| = 2$,जिसका अर्थ है $x = 2$ या $x = -2$ है।
मूल $2$ और $-2$ हैं।
मूलों का योग $2 + (-2) = 0$ है।

(C) समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के लिए द्विघात सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ है।
आइए विकल्प $(C)$ की जाँच करें: $\frac{2c}{-b \mp \sqrt{b^2 - 4ac}}$.
हर का परिमेयकरण करने पर:
$\frac{2c}{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}} \times \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}} = \frac{2c(-b + \sqrt{b^2 - 4ac})}{b^2 - (b^2 - 4ac)} = \frac{2c(-b + \sqrt{b^2 - 4ac})}{4ac} = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$.
इसी प्रकार,$\frac{2c}{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}} = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$.
अतः,विकल्प $(C)$ में दिया गया व्यंजक मानक द्विघात सूत्र के समतुल्य है।

(A) दिया गया है कि समीकरण $x^2 + \lambda x + \mu = 0$ के मूल समान हैं,इसलिए विविक्तकर (discriminant) शून्य होना चाहिए: $\lambda^2 - 4\mu = 0$,जिसका अर्थ है $\lambda^2 = 4\mu$।
दूसरे समीकरण $x^2 + \lambda x - 12 = 0$ के लिए,$x = 2$ एक मूल है।
समीकरण में $x = 2$ रखने पर: $2^2 + \lambda(2) - 12 = 0$।
$4 + 2\lambda - 12 = 0$।
$2\lambda = 8$,इसलिए $\lambda = 4$।
अब,$\lambda = 4$ को पहले संबंध $\lambda^2 = 4\mu$ में रखने पर:
$4^2 = 4\mu$।
$16 = 4\mu$,इसलिए $\mu = 4$।
अतः,$(\lambda, \mu) = (4, 4)$।

(A) माना $f(x) = (x - a)(x - c) + 2(x - b)(x - d)\text{।}$
चूंकि $f(x)$ एक धनात्मक अग्रणी गुणांक वाला द्विघात बहुपद है,हम $x = a, b, c, d$ पर $f(x)$ का मान ज्ञात करते हैं:
$f(a) = 2(a - b)(a - d) > 0$ (क्योंकि $a < b$ और $a < d$ है)।
$f(b) = (b - a)(b - c) < 0$ (क्योंकि $b > a$ और $b < c$ है)।
$f(c) = 2(c - b)(c - d) < 0$ (क्योंकि $c > b$ और $c < d$ है)।
$f(d) = (d - a)(d - c) > 0$ (क्योंकि $d > a$ और $d > c$ है)।
चूंकि $f(a) > 0$ और $f(b) < 0$ है,इसलिए $(a, b)$ के बीच एक मूल स्थित है।
चूंकि $f(c) < 0$ और $f(d) > 0$ है,इसलिए $(c, d)$ के बीच एक मूल स्थित है।
अतः,समीकरण के दो वास्तविक और भिन्न मूल हैं।

(A) दिया गया समीकरण $qx^2 + px + q = 0$ है। चूँकि मूल सम्मिश्र हैं,इसलिए विविक्तकर $D_1 = p^2 - 4q^2 < 0$,जिसका अर्थ है $p^2 < 4q^2$.
अब,समीकरण $x^2 - 4qx + p^2 = 0$ पर विचार करें। इस समीकरण का विविक्तकर $D_2 = (-4q)^2 - 4(1)(p^2) = 16q^2 - 4p^2$ है।
इसे $D_2 = 4(4q^2 - p^2)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूँकि $p^2 < 4q^2$,इसलिए $4q^2 - p^2 > 0$ है,और इस प्रकार $D_2 > 0$ है।
चूँकि विविक्तकर $D_2$ धनात्मक है,इसलिए समीकरण $x^2 - 4qx + p^2 = 0$ के मूल वास्तविक और असमान हैं।

(D) एक द्विघात व्यंजक $Ax^2 + Bx + C$ के सभी $x$ के लिए धनात्मक होने हेतु,$A > 0$ और विविक्तकर $D = B^2 - 4AC < 0$ होना चाहिए।
यहाँ,$A = a^2 - 1$,$B = 2(a - 1)$,और $C = 2$ है।
प्रतिबंध $1$: $A > 0 \implies a^2 - 1 > 0 \implies a^2 > 1 \implies a < -1$ या $a > 1$ है।
प्रतिबंध $2$: $D < 0 \implies [2(a - 1)]^2 - 4(a^2 - 1)(2) < 0$ है।
$4(a - 1)^2 - 8(a - 1)(a + 1) < 0$ है।
$4(a - 1)[(a - 1) - 2(a + 1)] < 0 \implies (a - 1)(-a - 3) < 0 \implies (a - 1)(a + 3) > 0$ है।
यह स्थिति $a < -3$ या $a > 1$ के लिए सत्य है।
दोनों प्रतिबंधों का प्रतिच्छेदन लेने पर,हमें $a < -3$ या $a > 1$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया समीकरण $\frac{x^2 - bx}{ax - c} = \frac{m - 1}{m + 1}$ है।
वज्र-गुणन करने पर,$(m + 1)(x^2 - bx) = (m - 1)(ax - c)$ प्राप्त होता है।
इसे विस्तारित करने पर,$(m + 1)x^2 - [b(m + 1) + a(m - 1)]x + c(m - 1) = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि मूल समान लेकिन विपरीत चिह्न के हैं,इसलिए उनका योग शून्य होगा।
द्विघात समीकरण $Ax^2 + Bx + C = 0$ के लिए,मूलों का योग $-\frac{B}{A} = 0$ होता है,जिसका अर्थ है $B = 0$।
अतः,$b(m + 1) + a(m - 1) = 0$।
$m(a + b) = a - b$।
$m = \frac{a - b}{a + b}$।

(B) दिया गया समीकरण ${x^2} - 3kx + 2{e^{2\log k}} - 1 = 0$ है।
चूंकि ${e^{2\log k}} = {e^{\log {k^2}}} = {k^2}$,समीकरण ${x^2} - 3kx + 2{k^2} - 1 = 0$ बन जाता है।
द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के मूलों का गुणनफल $\frac{c}{a}$ होता है।
यहाँ,मूलों का गुणनफल $2{k^2} - 1$ है।
मूलों का गुणनफल $7$ दिया गया है,इसलिए $2{k^2} - 1 = 7$,जिसका अर्थ है $2{k^2} = 8$,अतः ${k^2} = 4$,जिससे $k = \pm 2$ प्राप्त होता है।
मूल समीकरण में $\log k$ मौजूद है,इसलिए $k$ धनात्मक होना चाहिए,अतः $k = 2$।
मूलों के वास्तविक होने के लिए,विविक्तकर $D = b^2 - 4ac \ge 0$ होना चाहिए।
$D = (-3k)^2 - 4(1)(2{k^2} - 1) = 9{k^2} - 8{k^2} + 4 = {k^2} + 4$।
चूंकि किसी भी वास्तविक $k$ के लिए ${k^2} + 4 > 0$ होता है,इसलिए मूल हमेशा वास्तविक होते हैं।
अतः,$k=2$ के लिए मूल वास्तविक हैं।

(B) दिया है $5\cos A + 3 = 0$,अतः $\cos A = -\frac{3}{5}$.
चूंकि $A$ त्रिभुज का एक कोण है और $\cos A < 0$,इसलिए $A$ अधिक कोण है,अतः $\sin A = \sqrt{1 - \cos^2 A} = \sqrt{1 - (-\frac{3}{5})^2} = \frac{4}{5}$.
तब $\tan A = \frac{\sin A}{\cos A} = \frac{4/5}{-3/5} = -\frac{4}{3}$.
माना मूल $\alpha = \sin A = \frac{4}{5}$ और $\beta = \tan A = -\frac{4}{3}$ हैं।
मूलों का योग: $\alpha + \beta = \frac{4}{5} - \frac{4}{3} = -\frac{8}{15}$.
मूलों का गुणनफल: $\alpha \cdot \beta = (\frac{4}{5})(-\frac{4}{3}) = -\frac{16}{15}$.
द्विघात समीकरण $x^2 - (\text{मूलों का योग})x + (\text{मूलों का गुणनफल}) = 0$ है।
$x^2 + \frac{8}{15}x - \frac{16}{15} = 0$.
$15$ से गुणा करने पर,$15x^2 + 8x - 16 = 0$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया समीकरण: $x^2 - |x| - 6 = 0$
स्थिति $1$: यदि $x \ge 0$ है,तो $|x| = x$. समीकरण $x^2 - x - 6 = 0$ हो जाता है।
$(x - 3)(x + 2) = 0$.
इससे $x = 3$ या $x = -2$ प्राप्त होता है। चूँकि $x \ge 0$ है,इसलिए $x = 3$ होगा।
स्थिति $2$: यदि $x < 0$ है,तो $|x| = -x$. समीकरण $x^2 - (-x) - 6 = 0$ अर्थात $x^2 + x - 6 = 0$ हो जाता है।
$(x + 3)(x - 2) = 0$.
इससे $x = -3$ या $x = 2$ प्राप्त होता है। चूँकि $x < 0$ है,इसलिए $x = -3$ होगा।
वास्तविक मूल $3$ और $-3$ हैं।
सभी वास्तविक मूलों का गुणनफल $3 \times (-3) = -9$ है।

(C) समीकरण ${x^2} + px + q = 0$ के लिए,मूलों का योग $\alpha + \beta = -p$ और मूलों का गुणनफल $\alpha \beta = q$ है।
समीकरण ${x^2} + rx + s = 0$ के लिए,मूल $\alpha + h$ और $\beta + h$ हैं। अतः,मूलों का योग $(\alpha + h) + (\beta + h) = -r$ है,जो सरल होकर $(\alpha + \beta) + 2h = -r$ हो जाता है। $\alpha + \beta = -p$ प्रतिस्थापित करने पर,$-p + 2h = -r$ प्राप्त होता है,इसलिए $h = \frac{p - r}{2}$।
दूसरे समीकरण के लिए मूलों का गुणनफल $(\alpha + h)(\beta + h) = s$ है,जो विस्तारित होकर $\alpha \beta + h(\alpha + \beta) + {h^2} = s$ हो जाता है। ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$q + h(-p) + {h^2} = s$ प्राप्त होता है। $h = \frac{p - r}{2}$ रखने पर,$q - p\left( \frac{p - r}{2} \right) + \left( \frac{p - r}{2} \right)^2 = s$ प्राप्त होता है। $4$ से गुणा करने पर,$4q - 2p(p - r) + (p - r)^2 = 4s$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $4q - 2p^2 + 2pr + p^2 + r^2 - 2pr = 4s$ हो जाता है। इससे $4q - p^2 + r^2 = 4s$ या ${p^2} - 4q = {r^2} - 4s$ प्राप्त होता है।

(A) माना $f(x) = {x^4} - (p - 3){x^3} - (3p - 5){x^2} + (2p - 7)x + 6$ है।
गुणनखंड प्रमेय के अनुसार,यदि $(x + 1)$,$f(x)$ का एक गुणनखंड है,तो $f(-1) = 0$ होगा।
$x = -1$ रखने पर:
$(-1)^4 - (p - 3)(-1)^3 - (3p - 5)(-1)^2 + (2p - 7)(-1) + 6 = 0$
$1 + (p - 3) - (3p - 5) - (2p - 7) + 6 = 0$
$1 + p - 3 - 3p + 5 - 2p + 7 + 6 = 0$
$-4p + 16 = 0$
$-4p = -16$
$p = 4$.

(D) दिया गया है कि $\alpha$,$a^2x^2 + bx + c = 0$ का एक मूल है,इसलिए $a^2\alpha^2 + b\alpha + c = 0$,जिसका अर्थ है $b\alpha + c = -a^2\alpha^2$.
दिया गया है कि $\beta$,$a^2x^2 - bx - c = 0$ का एक मूल है,इसलिए $a^2\beta^2 - b\beta - c = 0$,जिसका अर्थ है $b\beta + c = a^2\beta^2$.
मान लीजिए $f(x) = a^2x^2 + 2bx + 2c$.
$\alpha$ पर $f(x)$ का मान: $f(\alpha) = a^2\alpha^2 + 2(b\alpha + c) = a^2\alpha^2 + 2(-a^2\alpha^2) = -a^2\alpha^2$। चूँकि $a \ne 0$ और $\alpha > 0$,इसलिए $f(\alpha) < 0$ है।
$\beta$ पर $f(x)$ का मान: $f(\beta) = a^2\beta^2 + 2(b\beta + c) = a^2\beta^2 + 2(a^2\beta^2) = 3a^2\beta^2$। चूँकि $a \ne 0$ और $\beta > 0$,इसलिए $f(\beta) > 0$ है।
चूँकि $f(\alpha) < 0$ और $f(\beta) > 0$ है,इसलिए इंटरमीडिएट वैल्यू थ्योरम के अनुसार,$f(x) = 0$ का एक मूल $\gamma$ ऐसा विद्यमान है कि $\alpha < \gamma < \beta$ है।

(A) दिया गया व्यंजक घातांकीय श्रेणी विस्तार $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \dots \infty$ के रूप में है।
अंश $N = e^{m \ln 3} \times e^{n \ln 3} = e^{(m+n) \ln 3} = 3^{m+n}$.
हर $D = e^{mn \ln 3} = 3^{mn}$.
समीकरण $x^2 - x - 1 = 0$ के लिए,मूलों का योग $m+n = 1$ और मूलों का गुणनफल $mn = -1$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{N}{D} = \frac{3^{m+n}}{3^{mn}} = \frac{3^1}{3^{-1}} = 3^{1 - (-1)} = 3^2 = 9$.

(B) रैखिक समीकरण निकाय $a_1x + b_1y = c_1$ और $a_2x + b_2y = c_2$ के अनंत हल होने के लिए शर्त $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ है।
दिए गए समीकरण: $(k + 1)x + 8y = 4k$ और $kx + (k + 3)y = 3k - 1$।
शर्त लागू करने पर: $\frac{k + 1}{k} = \frac{8}{k + 3} = \frac{4k}{3k - 1}$।
सबसे पहले,$\frac{k + 1}{k} = \frac{8}{k + 3}$ को हल करें:
$(k + 1)(k + 3) = 8k \Rightarrow k^2 + 4k + 3 = 8k \Rightarrow k^2 - 4k + 3 = 0$।
गुणनखंड करने पर $(k - 1)(k - 3) = 0$ प्राप्त होता है,अतः $k = 1$ या $k = 3$।
अब,इन मानों को दूसरी समानता $\frac{8}{k + 3} = \frac{4k}{3k - 1}$ में जाँचें:
यदि $k = 1$ है: $\frac{8}{1 + 3} = \frac{8}{4} = 2$ और $\frac{4(1)}{3(1) - 1} = \frac{4}{2} = 2$। चूंकि $2 = 2$,इसलिए $k = 1$ एक हल है।
यदि $k = 3$ है: $\frac{8}{3 + 3} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$ और $\frac{4(3)}{3(3) - 1} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$। चूंकि $\frac{4}{3} \neq \frac{3}{2}$,इसलिए $k = 3$ हल नहीं है।
अतः,$k$ का केवल $1$ मान है जिसके लिए निकाय के अनंत हल हैं।

(D) दिया गया समीकरण $\cos \theta = x + \frac{1}{x}$ है।
$x$ से गुणा करने पर,हमें $x^2 - x \cos \theta + 1 = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि $x$ एक वास्तविक संख्या है,इस द्विघात समीकरण का विविक्तकर $D$,$0$ से बड़ा या उसके बराबर होना चाहिए।
$D = b^2 - 4ac = (-\cos \theta)^2 - 4(1)(1) \ge 0$.
$\cos^2 \theta - 4 \ge 0$.
$\cos^2 \theta \ge 4$.
हालाँकि,$\cos \theta$ का परिसर $[-1, 1]$ है,इसलिए $\cos^2 \theta$ को $[0, 1]$ अंतराल में होना चाहिए।
चूंकि $\cos^2 \theta \ge 4$ असंभव है,इसलिए $x$ का कोई वास्तविक मान नहीं है जिसके लिए यह समीकरण सत्य हो।
अतः,$\theta$ का कोई मान संभव नहीं है।

(D) दिया गया बिंदु $(t^2 + 2t + 5, 2t^2 + t - 2)$ रेखा $x + y = 2$ पर स्थित है यदि निर्देशांक समीकरण को संतुष्ट करते हैं:
$(t^2 + 2t + 5) + (2t^2 + t - 2) = 2$
$3t^2 + 3t + 3 = 2$
$3t^2 + 3t + 1 = 0$
इस द्विघात समीकरण के लिए,विविक्तकर (discriminant) $D = b^2 - 4ac = (3)^2 - 4(3)(1) = 9 - 12 = -3$ है।
चूंकि विविक्तकर ऋणात्मक $(D < 0)$ है,इसलिए $t$ का कोई भी वास्तविक मान इस समीकरण को संतुष्ट नहीं करता है।
अतः,$t$ के किसी भी वास्तविक मान के लिए यह बिंदु रेखा पर स्थित नहीं हो सकता है।

(C) दो बलों $P$ और $Q$ का परिणामी $R$,जो $\theta$ कोण पर कार्य कर रहे हैं,का सूत्र $R^2 = P^2 + Q^2 + 2PQ \cos \theta$ है।
यहाँ $R = \sqrt{7}Q$ और $\theta = 60^\circ$ दिया गया है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर: $(\sqrt{7}Q)^2 = P^2 + Q^2 + 2PQ \cos 60^\circ$.
$7Q^2 = P^2 + Q^2 + 2PQ(1/2)$.
$7Q^2 = P^2 + Q^2 + PQ$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $P^2 + PQ - 6Q^2 = 0$.
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $P^2 + 3PQ - 2PQ - 6Q^2 = 0$.
$P(P + 3Q) - 2Q(P + 3Q) = 0$.
$(P - 2Q)(P + 3Q) = 0$.
चूँकि $P$ और $Q$ बलों के परिमाण हैं,वे धनात्मक होने चाहिए,इसलिए $P + 3Q \neq 0$।
अतः,$P - 2Q = 0$,जिसका अर्थ है $P = 2Q$।
इस प्रकार,$P/Q = 2$।

(D) दिया गया फलन $x$ में एक द्विघात समीकरण $f(x) = Ax^2 + Bx + C$ के रूप में है,जहाँ $A = 1 + b^2$,$B = 2b$,और $C = 1$ है।
सभी वास्तविक $b$ के लिए $A = 1 + b^2 > 0$ है,इसलिए फलन का न्यूनतम मान $x = -\frac{B}{2A}$ पर प्राप्त होता है।
न्यूनतम मान $m(b) = f(-\frac{B}{2A}) = C - \frac{B^2}{4A}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $m(b) = 1 - \frac{(2b)^2}{4(1 + b^2)} = 1 - \frac{4b^2}{4(1 + b^2)} = 1 - \frac{b^2}{1 + b^2}$.
इसे सरल करने पर,हमें $m(b) = \frac{1 + b^2 - b^2}{1 + b^2} = \frac{1}{1 + b^2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $b^2 \ge 0$,इसलिए $1 + b^2 \ge 1$ है,जिसका अर्थ है कि $0 < \frac{1}{1 + b^2} \le 1$.
अतः,$m(b)$ का परिसर $(0, 1]$ है।

(B) माना कि दो संख्याएँ $a$ और $b$ हैं। समांतर माध्य $A = \frac{a + b}{2}$ और गुणोत्तर माध्य $G = \sqrt{ab}$ है।
अतः,$G^2 = ab$.
दिया गया समीकरण $x^2 - 2Ax + G^2 = 0$ है।
$2A = a + b$ और $G^2 = ab$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $x^2 - (a + b)x + ab = 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(x - a)(x - b) = 0$.
इसका अर्थ है कि $a$ और $b$ समीकरण के मूल हैं।
किन्हीं भी दो धनात्मक वास्तविक संख्याओं $a$ और $b$ के लिए,समांतर माध्य हमेशा गुणोत्तर माध्य से बड़ा या उसके बराबर होता है $(A \ge G)$।
विशेष रूप से,$A - G = \frac{a + b}{2} - \sqrt{ab} = \frac{(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2}{2} \ge 0$.
अतः,$A \ge G$ सत्य है।

(C) द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के रूप का होता है,जहाँ $a \neq 0$ है।
चूंकि एक मूल $0$ है,इसलिए अचर पद $c = 0$ होगा।
अतः,समीकरण $ax^2 + bx = 0$ के रूप का है,जहाँ $a, b \in \{0, 1, 2, \dots, 9\}$ और $a \neq 0$ है।
$a$ के लिए विकल्पों की संख्या $9$ है (क्योंकि $a \in \{1, 2, \dots, 9\}$)।
$b$ के लिए विकल्पों की संख्या $10$ है (क्योंकि $b \in \{0, 1, 2, \dots, 9\}$)।
इसलिए,ऐसे कुल द्विघात समीकरणों की संख्या $N = 9 \times 10 = 90$ है।

(A) दिया गया है कि $4$ समीकरण $x^2 + px + 12 = 0$ का एक मूल है।
समीकरण में $x = 4$ रखने पर: $(4)^2 + p(4) + 12 = 0$.
$16 + 4p + 12 = 0$.
$4p + 28 = 0$.
$4p = -28$.
$p = -7$.
अब,दूसरा समीकरण $x^2 + px + q = 0$ है,जो $x^2 - 7x + q = 0$ बन जाता है।
चूंकि इस समीकरण के मूल समान हैं,इसलिए इसका विविक्तकर $D = b^2 - 4ac = 0$ होना चाहिए।
यहाँ,$a = 1$,$b = -7$,और $c = q$.
$(-7)^2 - 4(1)(q) = 0$.
$49 - 4q = 0$.
$4q = 49$.
$q = 49/4$.

(A) दिया गया है कि $bx^2 + cx + a = 0$ के मूल काल्पनिक हैं,इसलिए विविक्तकर $D < 0$ है।
$D = c^2 - 4ba < 0$,जिसका अर्थ है $c^2 < 4ab$ है।
मान लीजिए $f(x) = 3b^2x^2 + 6bcx + 2c^2$ है।
हम $f(x)$ को पूर्ण वर्ग बनाकर फिर से लिख सकते हैं:
$f(x) = 3(b^2x^2 + 2bcx) + 2c^2$
$f(x) = 3(bx + c)^2 - 3c^2 + 2c^2$
$f(x) = 3(bx + c)^2 - c^2$ है।
चूंकि $(bx + c)^2 \ge 0$,$f(x)$ का न्यूनतम मान $-c^2$ है।
$c^2 < 4ab$ से,हमें $-c^2 > -4ab$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$f(x) = 3(bx + c)^2 - c^2 \ge -c^2 > -4ab$ है।
अतः,$x$ के सभी वास्तविक मानों के लिए $f(x) > -4ab$ है।

(B) द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के लिए,विविक्तकर $D = b^2 - 4ac$ होता है।
यहाँ,$a = 1$,$b = -2\sqrt{2}$,और $c = 1$ है।
$D = (-2\sqrt{2})^2 - 4(1)(1) = 8 - 4 = 4$.
चूंकि $D > 0$,इसलिए मूल वास्तविक और भिन्न हैं।
द्विघाती सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$x = \frac{2\sqrt{2} \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{2\sqrt{2} \pm 2}{2} = \sqrt{2} \pm 1$.
अतः,मूल वास्तविक और भिन्न हैं।

(C) एक द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के मूल समान होने के लिए,विविक्तकर (discriminant) $D = b^2 - 4ac = 0$ होना चाहिए।
यहाँ,$a = 1$,$b = -(3k - 1)$,और $c = 2k^2 + 2k$ है।
विविक्तकर को शून्य के बराबर रखने पर:
$D = [-(3k - 1)]^2 - 4(1)(2k^2 + 2k) = 0$
$(3k - 1)^2 - 4(2k^2 + 2k) = 0$
$9k^2 - 6k + 1 - 8k^2 - 8k = 0$
$k^2 - 14k + 1 = 0$
द्विघाती सूत्र $k = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$k = \frac{14 \pm \sqrt{(-14)^2 - 4(1)(1)}}{2(1)}$
$k = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 4}}{2} = \frac{14 \pm \sqrt{192}}{2} = \frac{14 \pm 8\sqrt{3}}{2} = 7 \pm 4\sqrt{3}$.

(B) द्विघात समीकरण $Ax^2 + Bx + C = 0$ के लिए,यदि मूल समान हैं,तो विविक्तकर $D = B^2 - 4AC = 0$ होता है।
यहाँ,$A = (m - n)$,$B = (n - l)$ और $C = (l - m)$ है।
$B^2 - 4AC = 0$ में मान रखने पर:
$(n - l)^2 - 4(m - n)(l - m) = 0$
$n^2 + l^2 - 2nl - 4(ml - m^2 - nl + nm) = 0$
$n^2 + l^2 - 2nl - 4ml + 4m^2 + 4nl - 4nm = 0$
$l^2 + n^2 + 4m^2 + 2nl - 4ml - 4nm = 0$
यह व्यंजक $(l + n - 2m)^2 = 0$ का विस्तार है।
अतः,$l + n - 2m = 0$,जिसका अर्थ है कि $2m = n + l$।

(B) दिया गया समीकरण: $x(x + 2) = 3 - ax^2$
पदों को व्यवस्थित करने पर: $x^2 + 2x = 3 - ax^2$
$(1 + a)x^2 + 2x - 3 = 0$
द्विघात समीकरण $Ax^2 + Bx + C = 0$ के लिए,यदि एक मूल अनंत की ओर अग्रसर है,तो उच्चतम घात वाले पद का गुणांक शून्य की ओर अग्रसर होना चाहिए।
अतः,$1 + a \to 0$
$a \to -1$

(A) दिया गया है $a + b + c = 0$,अतः $b + c = -a$,$c + a = -b$,और $a + b = -c$ है।
इन मानों को समीकरण $(b + c - a)x^2 + (c + a - b)x + (a + b - c) = 0$ में रखने पर:
$(-a - a)x^2 + (-b - b)x + (-c - c) = 0$
$-2ax^2 - 2bx - 2c = 0$
$ax^2 + bx + c = 0$ प्राप्त होता है।
विविक्तकर $D = b^2 - 4ac$ है।
चूंकि $c = -(a + b)$,$D = b^2 - 4a(-(a + b)) = b^2 + 4a^2 + 4ab = (2a + b)^2$ है।
चूंकि $a, b, c$ परिमेय हैं,$D$ एक परिमेय संख्या का पूर्ण वर्ग है,इसलिए मूल परिमेय हैं।
अतः,कथन-$I$ सत्य है।
कथन-$II$ भी सत्य है क्योंकि विविक्तकर $(2a + b)^2$ है,जो एक पूर्ण वर्ग है,और यह बताता है कि मूल परिमेय क्यों हैं।

(C) एक द्विघात समीकरण $Ax^2 + Bx + C = 0$ के मूल विपरीत चिन्हों के होने के लिए,मूलों का गुणनफल ऋणात्मक होना चाहिए,अर्थात $\frac{C}{A} < 0$।
यहाँ,$A = 3$ और $C = a^2 - 3a + 2$ है।
अतः,$\frac{a^2 - 3a + 2}{3} < 0$।
इसका अर्थ है कि $a^2 - 3a + 2 < 0$।
गुणनखंड करने पर,$(a - 1)(a - 2) < 0$ प्राप्त होता है।
यह असमिका तब सत्य होती है जब $a$,द्विघात व्यंजक $(a - 1)(a - 2) = 0$ के मूलों के बीच स्थित हो।
अतः,$1 < a < 2$,जिसे अंतराल $(1, 2)$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(B) माना कि दो संख्याएँ $a$ और $b$ हैं।
समांतर माध्य $\frac{a + b}{2} = 9$ दिया गया है,इसलिए $a + b = 18$ है।
गुणोत्तर माध्य $\sqrt{ab} = 4$ दिया गया है,इसलिए $ab = 16$ है।
वह द्विघात समीकरण जिसके मूल $a$ और $b$ हैं,$x^2 - (a + b)x + ab = 0$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,हमें $x^2 - 18x + 16 = 0$ प्राप्त होता है।

(D) द्विघात समीकरण $At^2 + Bt + C = 0$ के मूल समान होने के लिए,विविक्तकर $D = B^2 - 4AC = 0$ होना चाहिए।
यहाँ,$A = (a^2 + b^2)$,$B = -2(ac + bd)$,और $C = (c^2 + d^2)$ है।
$B^2 - 4AC = 0$ रखने पर:
$[-2(ac + bd)]^2 - 4(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = 0$
$4(a^2c^2 + b^2d^2 + 2abcd) - 4(a^2c^2 + a^2d^2 + b^2c^2 + b^2d^2) = 0$
$4$ से विभाजित करने पर:
$(a^2c^2 + b^2d^2 + 2abcd) - (a^2c^2 + a^2d^2 + b^2c^2 + b^2d^2) = 0$
$2abcd - a^2d^2 - b^2c^2 = 0$
$-(a^2d^2 + b^2c^2 - 2abcd) = 0$
$-(ad - bc)^2 = 0$
$(ad - bc)^2 = 0$
$ad = bc$
$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$

(A) दिया गया समीकरण $x^2 - |x| - 6 = 0$ है।
स्थिति $1$: यदि $x \ge 0$ है,तो $|x| = x$। समीकरण $x^2 - x - 6 = 0$ हो जाता है।
$(x - 3)(x + 2) = 0$।
चूंकि $x \ge 0$,इसलिए $x = 3$ प्राप्त होता है।
स्थिति $2$: यदि $x < 0$ है,तो $|x| = -x$। समीकरण $x^2 - (-x) - 6 = 0$ अर्थात $x^2 + x - 6 = 0$ हो जाता है।
$(x + 3)(x - 2) = 0$।
चूंकि $x < 0$,इसलिए $x = -3$ प्राप्त होता है।
वास्तविक मूल $3$ और $-3$ हैं।
वास्तविक मूलों का गुणनफल $3 \times (-3) = -9$ है।

(D) माना $f(x) = x^2 + ax + b$ है।
चूंकि प्रत्येक पूर्णांक $x$ के लिए $f(x)$ एक पूर्णांक है,इसलिए:
$f(0) = 0^2 + a(0) + b = b$।
चूंकि $f(0)$ एक पूर्णांक होना चाहिए,इसलिए $b$ एक पूर्णांक है।
अब,$f(1) = 1^2 + a(1) + b = 1 + a + b$।
चूंकि $f(1)$ एक पूर्णांक है और $b$ एक पूर्णांक है,इसलिए $1 + a + b$ एक पूर्णांक है,जिसका अर्थ है कि $a$ को भी एक पूर्णांक होना चाहिए।
अतः,$a$ और $b$ दोनों पूर्णांक होने चाहिए।
दिए गए विकल्पों में यह स्थिति न होने के कारण,सही विकल्प $D$ है।

(B) यदि द्विघात समीकरण $x^2 - 4x + \log_{1/2} a = 0$ के मूल वास्तविक नहीं हैं,तो विविक्तकर (discriminant) $D < 0$ होना चाहिए।
$D = b^2 - 4ac < 0$
यहाँ,$a = 1$,$b = -4$,और $c = \log_{1/2} a$ है।
$(-4)^2 - 4(1)(\log_{1/2} a) < 0$
$16 - 4 \log_{1/2} a < 0$
$16 < 4 \log_{1/2} a$
$4 < \log_{1/2} a$
चूँकि लघुगणक का आधार $1/2$ है (जो $0$ और $1$ के बीच है),इसलिए लघुगणक हटाने पर असमिका का चिह्न बदल जाएगा:
$a < (1/2)^4$
$a < 1/16$
अतः,$a$ का अधिकतम मान $1/16$ है।

(C) दिया गया है कि $\alpha$ और $\beta$ समीकरण $(x - a)(x - b) = c$ के मूल हैं,हम लिख सकते हैं:
$(x - a)(x - b) - c = (x - \alpha)(x - \beta)$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(x - \alpha)(x - \beta) + c = (x - a)(x - b)$
अतः,समीकरण $(x - \alpha)(x - \beta) + c = 0$ समीकरण $(x - a)(x - b) = 0$ के समतुल्य है।
इस समीकरण के मूल $x = a$ और $x = b$ हैं।

(C) दिया गया है $x = \sqrt{6 + \sqrt{6 + \sqrt{6 + \dots \infty}}}$.
चूंकि व्यंजक अनंत है,हम लिख सकते हैं $x = \sqrt{6 + x}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$x^2 = 6 + x$,जहाँ $x > 0$.
पदों को व्यवस्थित करने पर,$x^2 - x - 6 = 0$.
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(x - 3)(x + 2) = 0$.
चूंकि $x > 0$,इसलिए $x = 3$ होगा।

(C) दिया गया समीकरण: $\sqrt{3x^2 - 7x - 30} + \sqrt{2x^2 - 7x - 5} = x + 5$.
माना $f(x) = \sqrt{3x^2 - 7x - 30} + \sqrt{2x^2 - 7x - 5} - (x + 5) = 0$.
विकल्पों की जाँच करने पर:
$x = 6$ के लिए:
$\sqrt{3(6)^2 - 7(6) - 30} + \sqrt{2(6)^2 - 7(6) - 5} = \sqrt{108 - 42 - 30} + \sqrt{72 - 42 - 5} = \sqrt{36} + \sqrt{25} = 6 + 5 = 11$.
दायां पक्ष: $x + 5 = 6 + 5 = 11$.
चूँकि $11 = 11$,$x = 6$ सही हल है.

(B) दिया गया समीकरण $(a^2 + b^2)x^2 - 2b(a + c)x + (b^2 + c^2) = 0$ है।
मध्य पद का विस्तार करने पर: $(a^2 + b^2)x^2 - 2(ab + bc)x + (b^2 + c^2) = 0$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $(a^2x^2 - 2abx + b^2) + (b^2x^2 - 2bcx + c^2) = 0$.
यह सरल होकर प्राप्त होता है: $(ax - b)^2 + (bx - c)^2 = 0$.
चूंकि वर्गों का योग शून्य है,इसलिए प्रत्येक पद शून्य होना चाहिए: $ax - b = 0$ और $bx - c = 0$.
अतः,$x = \frac{b}{a}$ और $x = \frac{c}{b}$.
$x$ के मानों की तुलना करने पर: $\frac{b}{a} = \frac{c}{b}$.
इसका अर्थ है $b^2 = ac$,जो दर्शाता है कि $a, b, c$ गुणोत्तर श्रेणी में हैं।

(A) दिया गया समीकरण: $\frac{1}{x + p} + \frac{1}{x + q} = \frac{1}{r}$
हर को हटाने के लिए दोनों पक्षों को $r(x + p)(x + q)$ से गुणा करें:
$r(x + q) + r(x + p) = (x + p)(x + q)$
$rx + rq + rx + rp = x^2 + px + qx + pq$
$2rx + r(p + q) = x^2 + (p + q)x + pq$
द्विघात समीकरण के मानक रूप $ax^2 + bx + c = 0$ में व्यवस्थित करने पर:
$x^2 + (p + q - 2r)x + (pq - r(p + q)) = 0$
माना मूल $\alpha$ और $-\alpha$ हैं।
द्विघात समीकरण $x^2 + Bx + C = 0$ के लिए,मूलों का योग $-B$ होता है।
यहाँ,$\alpha + (-\alpha) = 0$,इसलिए $x$ का गुणांक $0$ होना चाहिए।
$p + q - 2r = 0$
$2r = p + q$
$r = \frac{p + q}{2}$

(A) दिया गया समीकरण: $\frac{p + q - x}{r} + \frac{q + r - x}{p} + \frac{r + p - x}{q} + \frac{4x}{p + q + r} = 0$.
सरल करने के लिए पहले तीन पदों में $1$ जोड़ें:
$(\frac{p + q - x}{r} + 1) + (\frac{q + r - x}{p} + 1) + (\frac{r + p - x}{q} + 1) + \frac{4x}{p + q + r} - 3 = 0$
$\frac{p + q + r - x}{r} + \frac{q + r + p - x}{p} + \frac{r + p + q - x}{q} + \frac{4x - 3(p + q + r)}{p + q + r} = 0$
$(p + q + r - x) (\frac{1}{r} + \frac{1}{p} + \frac{1}{q}) + \frac{4x - 3(p + q + r)}{p + q + r} = 0$
अतः,$(p + q + r - x) = 0$ लेने पर,$x = p + q + r$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है कि $\sin A, \sin B, \cos A$ एक $G.P.$ में हैं,इसलिए $\sin^2 B = \sin A \cos A$।
$2$ से गुणा करने पर,$2 \sin^2 B = 2 \sin A \cos A = \sin 2A$।
चूंकि $\sin 2A \leq 1$,इसलिए $2 \sin^2 B \leq 1$,या $\sin^2 B \leq \frac{1}{2}$।
अब,द्विघात समीकरण $x^2 + 2x \cot B + 1 = 0$ के लिए,विविक्तकर $D$ इस प्रकार है:
$D = (2 \cot B)^2 - 4(1)(1) = 4 \cot^2 B - 4 = 4(\cot^2 B - 1)$।
चूंकि $\sin^2 B \leq \frac{1}{2}$,इसलिए $\csc^2 B \geq 2$,जिसका अर्थ है कि $\cot^2 B = \csc^2 B - 1 \geq 2 - 1 = 1$।
अतः,$\cot^2 B - 1 \geq 0$,जिसका अर्थ है कि $D \geq 0$।
विविक्तकर ऋणेतर होने के कारण,मूल हमेशा वास्तविक होते हैं।

(D) दिया गया समीकरण: $x^2 + 5|x| + 4 = 0$।
चूंकि $x^2 = |x|^2$,हम समीकरण को इस प्रकार लिख सकते हैं: $|x|^2 + 5|x| + 4 = 0$।
$|x|$ के पदों में गुणनखंड करने पर: $(|x| + 1)(|x| + 4) = 0$।
इससे दो संभावनाएं प्राप्त होती हैं: $|x| = -1$ या $|x| = -4$।
चूंकि निरपेक्ष मान $|x|$ हमेशा गैर-ऋणात्मक $(|x| \ge 0)$ होना चाहिए,इसलिए $|x| = -1$ या $|x| = -4$ संभव नहीं है।
अतः,दिए गए समीकरण का कोई वास्तविक मूल नहीं है।

(A) समीकरण $ax^2 + 2bx + c = 0$ के लिए,मूल वास्तविक हैं,इसलिए विविक्तकर $D_1 \ge 0$ है।
$D_1 = (2b)^2 - 4ac = 4b^2 - 4ac \ge 0 \implies b^2 \ge ac$.
समीकरण $bx^2 - 2\sqrt{ac}x + b = 0$ के लिए,मूल वास्तविक हैं,इसलिए विविक्तकर $D_2 \ge 0$ है।
$D_2 = (-2\sqrt{ac})^2 - 4(b)(b) = 4ac - 4b^2 \ge 0 \implies ac \ge b^2$.
चूंकि $b^2 \ge ac$ और $ac \ge b^2$,इसलिए $b^2 = ac$ होना चाहिए।