જો $\frac{1 + \sqrt{3}i}{2}$ એ સમીકરણ $x^4 - x^3 + x - 1 = 0$ નું એક બીજ હોય,તો તેના વાસ્તવિક બીજ કયા છે?

ધારો કે $R^2$ એ $R \times R$ દર્શાવે છે. ધારો કે $S = \{(a, b, c) : a, b, c \in R \text{ અને } ax^2 + 2bxy + cy^2 > 0, \text{ તમામ } (x, y) \in R^2 - \{(0, 0)\} \text{ માટે }\}$. તો નીચેનામાંથી કયા વિધાનો $TRUE$ છે?
$(A) (2, \frac{7}{2}, 6) \in S$
$(B) \text{જો } (3, b, \frac{1}{12}) \in S, \text{ તો } |2b| < 1$
$(C) \text{કોઈપણ આપેલ } (a, b, c) \in S \text{ માટે, સુરેખ સમીકરણોની સંહતિ } ax + by = 1, bx + cy = -1 \text{ નો ઉકેલ અનન્ય છે.}$
$(D) \text{કોઈપણ આપેલ } (a, b, c) \in S \text{ માટે, સુરેખ સમીકરણોની સંહતિ } (a+1)x + by = 0, bx + (c+1)y = 0 \text{ નો ઉકેલ અનન્ય છે.}$

જો $3 + 4i$ એ સમીકરણ ${x^2} + px + q = 0$ નું એક બીજ હોય (જ્યાં $p, q$ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે),તો:

જો બહુપદી $x^4+x^2+1$ એ $x^2+mx+1$ અને $x^2+nx+1$ વડે વિભાજ્ય હોય,તો $m+n$ ની કિંમત કેટલી થાય?
$(1)$ $2$
$(2)$ $0$
$(3)$ $3$
$(4)$ $4$

જો $S = \{a \in R : |2a - 1| = 3[a] + 2\{a\}\}$,જ્યાં $[t]$ એ $t$ થી નાનો અથવા તેના જેટલો મહત્તમ પૂર્ણાંક દર્શાવે છે અને $\{t\}$ એ $t$ નો અપૂર્ણાંક ભાગ દર્શાવે છે,તો $72 \sum_{a \in S} a$ ની કિંમત શોધો.

બધા $2$-અંકી સંખ્યાઓ $n$ ની સંખ્યા શોધો કે જેથી $n$ તેના દશકના અંકના વર્ગ અને એકમના અંકના ઘનના સરવાળા જેટલી હોય.