Quadratic expressions and Position of roots Questions in Gujarati

(C) દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2-(p+2)x+(2p+9)=0$ ના બીજ ઋણ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ હોય તે માટે નીચેની શરતો સંતોષાવી જોઈએ:
$1$. વિવેચક $D \geq 0$:
$D = (p+2)^2 - 4(2p+9) \geq 0$
$p^2 + 4p + 4 - 8p - 36 \geq 0$
$p^2 - 4p - 32 \geq 0$
$(p-8)(p+4) \geq 0$
આથી $p \in (-\infty, -4] \cup [8, \infty)$.
$2$. બીજનો સરવાળો ઋણ હોવો જોઈએ:
સરવાળો $= -\frac{b}{a} = p+2 < 0 \implies p < -2$.
$3$. બીજનો ગુણાકાર ધન હોવો જોઈએ:
ગુણાકાર $= \frac{c}{a} = 2p+9 > 0 \implies p > -\frac{9}{2}$.
આ શરતોને જોડતા: $p \in (-\frac{9}{2}, -4]$.
તેથી,$\alpha = -\frac{9}{2}$ અને $\beta = -4$.
આપણે $\beta - 2\alpha = -4 - 2(-\frac{9}{2}) = -4 + 9 = 5$ મેળવીએ છીએ.

(A) ધારો કે $f(x) = x^2 - 3x + k$. સમીકરણ $f(x) = 0$ ને $[0, 1]$ અંતરાલમાં ઓછામાં ઓછું એક બીજ મળે તે માટેની શરતો નીચે મુજબ છે:
$1$. અંતિમ બિંદુઓ પર વિધેયની કિંમતોનો ગુણાકાર શૂન્ય અથવા શૂન્યથી ઓછો હોવો જોઈએ: $f(0) \cdot f(1) \le 0$.
$f(0) = 0^2 - 3(0) + k = k$.
$f(1) = 1^2 - 3(1) + k = k - 2$.
તેથી,$k(k - 2) \le 0$,જેનો અર્થ છે કે $0 \le k \le 2$.
$2$. પરવલયનું શિરોબિંદુ $x = -b/(2a) = 3/2$ એ $[0, 1]$ અંતરાલમાં નથી.
$3$. પરવલય ઉપરની તરફ ખુલે છે,તેથી જો શિરોબિંદુ અંતરાલની બહાર હોય,તો $[0, 1]$ માં બીજ હોવા માટે અંતિમ બિંદુઓ પર વિધેયની નિશાની બદલાવી જોઈએ.
આમ,$k$ માટે જરૂરી વિસ્તાર $0 \le k \le 2$ છે.

(D) આપેલ છે કે $ax^2 + bx + c < 0$ તમામ $x \in R$ માટે. આનો અર્થ એ છે કે $a < 0$ અને $D = b^2 - 4ac < 0$.
$ax^2 + bx + c$ ની અંતિમ કિંમત $x = -\frac{b}{2a}$ પર મળે છે.
$cx^2 + ax + b$ ની અંતિમ કિંમત $x = -\frac{a}{2c}$ પર મળે છે.
આ બિંદુઓ સમાન હોવાથી,$-\frac{b}{2a} = -\frac{a}{2c}$,જેનો અર્થ છે $a^2 = bc$.
$a < 0$ અને $a^2 = bc$ હોવાથી,$c$ પણ ઋણ હોવું જોઈએ.
પદાવલિ $cx^2 + ax + b$ ની મહત્તમ કિંમત મળે છે કારણ કે $c < 0$.
મહત્તમ કિંમત $-\frac{D'}{4c} = -\frac{a^2 - 4bc}{4c} = -\frac{bc - 4bc}{4c} = -\frac{-3bc}{4c} = \frac{3b}{4}$ છે.
આમ,મહત્તમ કિંમત $\frac{3b}{4}$ છે.

(B) આપેલ છે કે $f(x) = x^2 + 2kx + k < 0$ તમામ $x \in [1, 2]$ માટે.
$x^2$ નો સહગુણક ધન હોવાથી,પરવલય ઉપરની તરફ ખુલે છે.
દ્વિઘાત સમીકરણ $f(x)$ અંતરાલ $[1, 2]$ પર ઋણ રહે તે માટે,$[1, 2]$ પર $f(x)$ ની મહત્તમ કિંમત $0$ કરતા ઓછી હોવી જોઈએ.
પરવલય ઉપરની તરફ ખુલતો હોવાથી,મહત્તમ કિંમત અંતિમ બિંદુઓ $x=1$ અથવા $x=2$ પર મળે છે.
$f(1) = 1 + 3k < 0 \implies k < -1/3$.
$f(2) = 4 + 5k < 0 \implies k < -4/5$.
બંને શરતો સંતોષાય તે માટે $k < -4/5$ હોવું જોઈએ.
તેથી,$k$ નો અંતરાલ $(-\infty, -4/5)$ છે.

(C) $f(x) = x^2 + 2bx + 2c^2$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $x = -b$ આગળ મળે છે,જે $f(-b) = 2c^2 - b^2$ છે.
$g(x) = -x^2 - 2cx + b^2$ ની મહત્તમ કિંમત $x = -c$ આગળ મળે છે,જે $g(-c) = c^2 + b^2$ છે.
આપેલ છે કે $\min f(x) > \max g(x)$,તેથી $2c^2 - b^2 > c^2 + b^2$.
આનું સાદુરૂપ આપતા $c^2 > 2b^2$ મળે,એટલે કે $\frac{c^2}{b^2} > 2$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,$\left|\frac{c}{b}\right| > \sqrt{2}$ મળે.
તેથી,$\left|\frac{c}{b}\right| \in (\sqrt{2}, \infty)$.

(D) દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c$ (જ્યાં $a > 0$) ની ન્યૂનતમ કિંમત $\frac{4ac - b^2}{4a}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$i) x^2 + 4x + 6$: અહીં $a=1, b=4, c=6$. ન્યૂનતમ કિંમત = $\frac{4(1)(6) - (4)^2}{4(1)} = \frac{24 - 16}{4} = \frac{8}{4} = 2$. તેથી,$i \rightarrow b$.
$ii) x^2 - 2x + 5$: અહીં $a=1, b=-2, c=5$. ન્યૂનતમ કિંમત = $\frac{4(1)(5) - (-2)^2}{4(1)} = \frac{20 - 4}{4} = \frac{16}{4} = 4$. તેથી,$ii \rightarrow c$.
$iii) x^2 + 6x + 18$: અહીં $a=1, b=6, c=18$. ન્યૂનતમ કિંમત = $\frac{4(1)(18) - (6)^2}{4(1)} = \frac{72 - 36}{4} = \frac{36}{4} = 9$. તેથી,$iii \rightarrow d$.
$iv) x^2 - 4x + 5$: અહીં $a=1, b=-4, c=5$. ન્યૂનતમ કિંમત = $\frac{4(1)(5) - (-4)^2}{4(1)} = \frac{20 - 16}{4} = \frac{4}{4} = 1$. તેથી,$iv \rightarrow a$.
આમ,સાચી જોડ $i$ $\rightarrow b, ii$ $\rightarrow c, iii$ $\rightarrow d, iv$ $\rightarrow a$ છે.

(A) આપેલ દ્વિઘાત પદાવલિ $f(x) = 2kx^2 - (4k+1)x + 2$ છે.
તેના અવયવ પાડતા $f(x) = (2x - 1)(kx - 2)$ મળે.
$f(x) = 0$ ના બીજ $x = \frac{1}{2}$ અને $x = \frac{2}{k}$ છે.
પદાવલિ ઋણ હોય તે માટે $x$ ની કિંમત બીજની વચ્ચે હોવી જોઈએ.
કિસ્સો $1$: જો $k > 0$,તો $\frac{1}{2} < x < \frac{2}{k}$. ત્રણ પૂર્ણાંકો $1, 2, 3$ માટે $3 < \frac{2}{k} \le 4$ હોવું જોઈએ.
આથી $k \in [\frac{1}{2}, \frac{2}{3})$.
કિસ્સો $2$: જો $k < 0$,તો $\frac{2}{k} < x < \frac{1}{2}$. ત્રણ પૂર્ણાંકો $-1, -2, -3$ માટે $-4 \le \frac{2}{k} < -3$ હોવું જોઈએ.
આથી $k \in [-\frac{2}{3}, -\frac{1}{2}]$.
આપેલ વિકલ્પો સાચા નથી.

(D) આપેલ સમીકરણ: $x^2 - 6ax + (9a^2 - 2a + 2) = 0$.
ધારો કે $f(x) = x^2 - 6ax + 9a^2 - 2a + 2$.
બંને બીજ $3$ કરતા મોટા હોવા માટે,નીચેની શરતો સંતોષાવી જોઈએ:
$1)$ વિવેચક $D \ge 0$:
$D = (-6a)^2 - 4(1)(9a^2 - 2a + 2) = 8a - 8$.
$8a - 8 \ge 0 \Rightarrow a \ge 1$.
$2)$ શિરોબિંદુનું સ્થાન: $-\frac{b}{2a} > 3$:
$-\frac{-6a}{2(1)} > 3$ $\Rightarrow 3a > 3$ $\Rightarrow a > 1$.
$3)$ $f(3) > 0$:
$f(3) = 9a^2 - 20a + 11 > 0$
$(9a - 11)(a - 1) > 0$.
$a > 1$ હોવાથી,શરત $(9a - 11)(a - 1) > 0$ નો અર્થ $a > \frac{11}{9}$ થાય છે.
બધી શરતોને જોડતા,આપણને $a > \frac{11}{9}$ મળે છે.

(A) ધારો કે $f(x) = x^2+bx+c$ અને $g(x) = x^2+b_1x+c_1$. બે પરવલયોનું છેદબિંદુ $P$ એ $f(x) = g(x)$ ઉકેલીને મળે છે.
$x^2+bx+c = x^2+b_1x+c_1$
$(b-b_1)x = c_1-c$
$x = \frac{c_1-c}{b-b_1} = \frac{c-c_1}{b_1-b}$.
કારણ કે $\gamma < \alpha < \delta < \beta$ છે,છેદબિંદુ $P$ એ $x$-અક્ષની નીચે આવેલું છે,જેનો અર્થ છે કે આ $x$-યામ પર $f(x) < 0$ છે.
$f\left(\frac{c-c_1}{b_1-b}\right) < 0$
$\left(\frac{c-c_1}{b_1-b}\right)^2 + b\left(\frac{c-c_1}{b_1-b}\right) + c < 0$
$(b_1-b)^2$ (જે ધન છે) વડે ગુણતા:
$(c-c_1)^2 + b(c-c_1)(b_1-b) + c(b_1-b)^2 < 0$
$(c-c_1)^2 < -b(c-c_1)(b_1-b) - c(b_1-b)^2$
$(c-c_1)^2 < (b_1-b)[-b(c-c_1) - c(b_1-b)]$
$(c-c_1)^2 < (b_1-b)[-bc+bc_1-cb_1+cb]$
$(c-c_1)^2 < (b_1-b)(bc_1-b_1c)$.
આમ,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(A) વિધેય $f(x) = x^2 + 2bx + 2c^2$ એ ઉપરની તરફ ખુલતો પરવલય છે. તેની ન્યૂનતમ કિંમત $x = -b$ પર મળે છે,જે $f(-b) = (-b)^2 + 2b(-b) + 2c^2 = b^2 - 2b^2 + 2c^2 = 2c^2 - b^2$ છે.
વિધેય $g(x) = -x^2 - 2cx + b^2$ એ નીચેની તરફ ખુલતો પરવલય છે. તેની મહત્તમ કિંમત $x = -c$ પર મળે છે,જે $g(-c) = -(-c)^2 - 2c(-c) + b^2 = -c^2 + 2c^2 + b^2 = c^2 + b^2$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$f(x)$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $g(x)$ ની મહત્તમ કિંમત કરતા વધારે છે:
$2c^2 - b^2 > c^2 + b^2$
$2c^2 - c^2 > b^2 + b^2$
$c^2 > 2b^2$.

(D) દ્વિઘાત પદાવલિ $1-2x-5x^2$ ની મહત્તમ કિંમત $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2(-5)} = -\frac{1}{5}$ પર મળે છે.
$x = -\frac{1}{5}$ મૂકતા,આપણને $a = 1 - 2(-\frac{1}{5}) - 5(-\frac{1}{5})^2 = 1 + \frac{2}{5} - \frac{1}{5} = \frac{6}{5}$ મળે છે.
દ્વિઘાત પદાવલિ $x^2-2x+5$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2(1)} = 1$ પર મળે છે.
$x = 1$ મૂકતા,આપણને $b = (1)^2 - 2(1) + 5 = 4$ મળે છે.
હવે,$a = \frac{6}{5}$ અને $b = 4$ ને પદાવલિ $5ax^2+bx+7$ માં મૂકતા:
$5(\frac{6}{5})x^2 + 4x + 7 = 6x^2 + 4x + 7$.
દ્વિઘાત પદાવલિ $6x^2 + 4x + 7 > 0$ માટે,આપણે વિવેચક $D = b^2 - 4ac = (4)^2 - 4(6)(7) = 16 - 168 = -152$ તપાસીએ છીએ.
અહીં $D < 0$ અને મુખ્ય સહગુણક $6 > 0$ હોવાથી,પદાવલિ $6x^2 + 4x + 7$ એ $x$ ની તમામ વાસ્તવિક કિંમતો માટે હંમેશા ધન રહે છે.
આમ,$x$ ની તમામ કિંમતોનો ગણ $(-\infty, \infty)$ છે.

(A) દ્વિઘાત પદાવલિ $f(x) = ax^2+bx+c$ માટે,ન્યૂનતમ કિંમત $x = -\frac{b}{2a}$ આગળ મળે છે.
અહીં,$f(x) = x^2+5x-2$,તેથી $a=1, b=5, c=-2$.
ન્યૂનતમ કિંમત $a = -\frac{5}{2(1)} = -2.5$ આગળ મળે છે.
ન્યૂનતમ કિંમત $M = f(-2.5) = (-2.5)^2 + 5(-2.5) - 2 = 6.25 - 12.5 - 2 = -8.25$.
હવે,$\frac{M}{a} = \frac{-8.25}{-2.5} = 3.3$.

(D) $f(x) = x^2 - 2(4K - 1)x + g(K) > 0$ એ દરેક $x \in R$ માટે સાચું હોય તે માટે વિવેચક $D < 0$ હોવો જોઈએ.
$D = [-2(4K - 1)]^2 - 4(1)(g(K)) < 0$
$4(16K^2 - 8K + 1) - 4(15K^2 - 2K - 7) < 0$
$16K^2 - 8K + 1 - 15K^2 + 2K + 7 < 0$
$K^2 - 6K + 8 < 0$
$(K - 2)(K - 4) < 0$
આમ,$K \in (2, 4)$,તેથી $a = 2$ અને $b = 4$.
વિધેય $g(K) = 15K^2 - 2K - 7$ એ ઉપરની તરફ ખુલતો પરવલય છે જેનું શિરોબિંદુ $K = 1/15$ પર છે.
કારણ કે $1/15 \notin (2, 4)$,વિધેય $g(K)$ એ અંતરાલ $(2, 4)$ માં સતત વધતું વિધેય છે.
તેથી,$g(K)$ એ વિવૃત અંતરાલ $(2, 4)$ માં કોઈ મહત્તમ કે ન્યૂનતમ કિંમત પ્રાપ્ત કરતું નથી.

(C) આપેલ છે કે $f(x)=ax^2-bx-a$ એક દ્વિઘાત પદાવલી છે જેથી $f(x) \leq K, \forall x \in R$.
આનો અર્થ એ છે કે $ax^2-bx-a-K \leq 0, \forall x \in R$.
કોઈપણ દ્વિઘાત પદાવલી $Ax^2+Bx+C$ માટે,જો તે તમામ $x$ માટે $0$ કે તેથી ઓછી હોય,તો $x^2$ નો સહગુણક ઋણ $(a < 0)$ હોવો જોઈએ અને વિવેચક $D \leq 0$ હોવો જોઈએ.
અહીં,$D = (-b)^2 - 4(a)(-a-K) \leq 0$.
$b^2 + 4a(a+K) \leq 0$.
$b^2 + 4a^2 + 4aK \leq 0$.
કારણ કે $b^2 + 4a^2 \geq 0$,પદાવલી $\leq 0$ રહે તે માટે $4aK$ ઋણ હોવું જોઈએ.
આપેલ છે કે $a < 0$,તેથી $4aK < 0$ થવા માટે $K$ ધન હોવું જોઈએ.
આમ,$K > 0$.

(D) ધારો કે $f(x) = -ax^2 + 2x - 7$. વિધેયની મહત્તમ કિંમત મેળવવા માટે,$a > 0$ હોવું જરૂરી છે.
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા:
$f(x) = -a(x^2 - \frac{2}{a}x) - 7$
$f(x) = -a(x^2 - \frac{2}{a}x + \frac{1}{a^2} - \frac{1}{a^2}) - 7$
$f(x) = -a(x - \frac{1}{a})^2 + \frac{1}{a} - 7$
$f(x)$ ની મહત્તમ કિંમત $\frac{1}{a} - 7$ છે.
આપેલ છે કે મહત્તમ કિંમત $20$ થી વધુ નથી,તેથી:
$\frac{1}{a} - 7 \leq 20$
$\frac{1}{a} \leq 27$
$a > 0$ હોવાથી,આપણને $a \geq \frac{1}{27}$ મળે છે.
આમ,$a$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $\frac{1}{27}$ છે.

(B) ધારો કે $f(x) = x^2 - 4ax + (4a^2 - 3a + 1)$. બંને બીજ $1$ કરતા મોટા હોવા માટે નીચેની શરતો સંતોષાવી જોઈએ:
$1$. વિવેચક $D \geq 0$:
$D = (-4a)^2 - 4(1)(4a^2 - 3a + 1) = 12a - 4 \geq 0 \Rightarrow a \geq \frac{1}{3}$.
$2$. શિરોબિંદુનું સ્થાન: $\frac{-b}{2a} > 1$:
$\frac{4a}{2} > 1 \Rightarrow a > \frac{1}{2}$.
$3$. $f(1) > 0$:
$f(1) = 4a^2 - 7a + 2 > 0$.
$4a^2 - 7a + 2 = 0$ ના બીજ $a = \frac{7 \pm \sqrt{17}}{8}$ છે.
આમ,$a \in \left(-\infty, \frac{7-\sqrt{17}}{8}\right) \cup \left(\frac{7+\sqrt{17}}{8}, \infty\right)$.
બધી શરતોનો છેદ લેતા,$a \in \left(\frac{7+\sqrt{17}}{8}, \infty\right)$ મળે છે.

(B) ધારો કે $f(x) = x^2+x+a$. બીજ $a$ કરતા વધારે હોવા માટે,નીચેની શરતો સંતોષાવી જોઈએ:
$1$. $D \geq 0$ $\Rightarrow 1-4a \geq 0$ $\Rightarrow a \leq \frac{1}{4}$.
$2$. $f(a) > 0$ $\Rightarrow a^2+a+a > 0$ $\Rightarrow a^2+2a > 0$ $\Rightarrow a(a+2) > 0$ $\Rightarrow a \in (-\infty, -2) \cup (0, \infty)$.
$3$. $-\frac{b}{2a} > a$ $\Rightarrow -\frac{1}{2} > a$ $\Rightarrow a < -\frac{1}{2}$.
આ ત્રણેય શરતોનો છેદ લેતા:
$a \in (-\infty, \frac{1}{4}] \cap ((-\infty, -2) \cup (0, \infty)) \cap (-\infty, -\frac{1}{2})$
$= (-\infty, -2)$.

(D) ધારો કે $f(x) = a x^{2} + b x + c$.
આપેલ છે કે $f(1) = a + b + c < 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણ $a x^{2} + b x + c = 0$ ના બીજ કાલ્પનિક હોવાથી,$f(x)$ નો આલેખ $x$-અક્ષને છેદતો નથી.
આનો અર્થ એ છે કે $f(x)$ કાં તો હંમેશા ધન $(a > 0)$ છે અથવા હંમેશા ઋણ $(a < 0)$ છે.
$f(1) < 0$ હોવાથી,$f(x)$ હંમેશા ઋણ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $a < 0$.
વળી,$f(0) = c$. $f(x)$ હંમેશા ઋણ હોવાથી,$f(0) < 0$,જેનો અર્થ છે કે $c < 0$.
આમ,$a < 0$ અને $c < 0$.

(C) આપેલ દ્વિઘાત પદાવલિ $(2x+1)^{2} - px + q \neq 0$ છે,જે કોઈપણ વાસ્તવિક $x$ માટે શૂન્ય નથી.
પદાવલિનું વિસ્તરણ કરતા:
$4x^{2} + 4x + 1 - px + q \neq 0$
$4x^{2} + (4-p)x + (1+q) \neq 0$
કોઈપણ દ્વિઘાત પદાવલિ $ax^{2} + bx + c$ માટે,જો તે તમામ વાસ્તવિક $x$ માટે શૂન્ય ન હોય,તો તેનો વિવેચક $D < 0$ હોવો જોઈએ.
$D = b^{2} - 4ac < 0$
સહગુણકો $a = 4$,$b = (4-p)$,અને $c = (1+q)$ મૂકતા:
$(4-p)^{2} - 4(4)(1+q) < 0$
$16 - 8p + p^{2} - 16 - 16q < 0$
$p^{2} - 8p - 16q < 0$

(C) ધારો કે $f(x) = ax^2+bx+c$. અહીં $a > 0$ હોવાથી,પરવલય ઉપરની તરફ ખુલે છે.
આપેલ છે કે બીજ $\alpha$ અને $\beta$ એ $\alpha < -2$ અને $\beta > 2$ શરતોનું પાલન કરે છે,તેથી $x = -1$ આગળ વિધેયની કિંમત ઋણ હોવી જોઈએ કારણ કે $-1$ એ બીજ $\alpha$ અને $\beta$ ની વચ્ચે આવે છે (કારણ કે $\alpha < -2 < -1 < 2 < \beta$).
આમ,$f(-1) < 0$.
$x = -1$ ને દ્વિઘાત પદાવલિમાં મૂકતા,આપણને $f(-1) = a(-1)^2 + b(-1) + c = a - b + c$ મળે છે.
તેથી,$a - b + c < 0$.

(D) ધારો કે $f(x) = x^2+px-q^2$.
અહીં $x^2$ નો સહગુણક $1 > 0$ હોવાથી,પરવલય ઉપરની તરફ ખુલે છે.
આપેલ છે કે એક બીજ $\alpha < 2$ અને બીજું બીજ $\beta > 2$ છે,તેથી $x=2$ આગળ વિધેયની કિંમત ઋણ હોવી જોઈએ,એટલે કે $f(2) < 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણમાં $x=2$ મૂકતા:
$f(2) = (2)^2 + p(2) - q^2 < 0$
$4 + 2p - q^2 < 0$
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) ધારો કે $f(x) = x^{2}-3x+k$.
બીજ અંતરાલ $(0,1)$ માં હોય તે માટે,પરવલયનું શિરોબિંદુ $(0,1)$ ની વચ્ચે હોવું જોઈએ.
શિરોબિંદુનો $x$-યામ $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-3}{2(1)} = \frac{3}{2} = 1.5$ છે.
અહીં $1.5 \notin (0,1)$ હોવાથી,બંને બીજ $(0,1)$ માં હોવા શક્ય નથી.
તેથી,$k$ નું કોઈ મૂલ્ય આ શરતનું પાલન કરતું નથી.

(D) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $f(x) = x^{2}+2ax+(3a+10) = 0$ છે.
કારણ કે બીજ $\alpha$ અને $\beta$ એ $\alpha < 1 < \beta$ શરતનું પાલન કરે છે,તેથી $x=1$ આગળ વિધેયની કિંમત ઋણ હોવી જોઈએ,એટલે કે $f(1) < 0$.
$x=1$ મુકતા:
$f(1) = (1)^{2} + 2a(1) + (3a+10) < 0$
$1 + 2a + 3a + 10 < 0$
$5a + 11 < 0$
$5a < -11$
$a < -11/5$
તેથી,$a$ ની તમામ શક્ય કિંમતોનો ગણ $(-\infty, -11/5)$ છે.