Mix Examples-Quadratic Equations and Inequations Questions in Hindi

(C) दिए गए समीकरण $x^{2}-3x+p=0$ के मूल $\alpha, \beta$ हैं और $x^{2}-6x+q=0$ के मूल $\gamma, \delta$ हैं।
चूंकि $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ गुणोत्तर श्रेणी में हैं,उन्हें $a, ar, ar^{2}, ar^{3}$ के रूप में लें।
प्रथम समीकरण से,$\alpha+\beta = a+ar = 3$ और $\alpha\beta = a^{2}r = p$ है।
दूसरे समीकरण से,$\gamma+\delta = ar^{2}+ar^{3} = 6$ और $\gamma\delta = a^{2}r^{5} = q$ है।
दूसरे समीकरण के मूलों का योगफल को प्रथम समीकरण के मूलों के योगफल से विभाजित करने पर: $\frac{ar^{2}(1+r)}{a(1+r)} = \frac{6}{3} \implies r^{2} = 2$ प्राप्त होता है।
अब,$p$ और $q$ का मान $a$ और $r$ के पदों में: $p = a^{2}r$ और $q = a^{2}r^{5} = a^{2}r(r^{2})^{2} = p(2)^{2} = 4p$ है।
अनुपात $\frac{2q+p}{2q-p} = \frac{2(4p)+p}{2(4p)-p} = \frac{8p+p}{8p-p} = \frac{9p}{7p} = \frac{9}{7}$ है।

(C) दिया गया समीकरण $\frac{2}{x-1}-\frac{1}{x-2}=\frac{2}{k}$ है,जहाँ $x \in \mathbb{R} \setminus \{1, 2\}$ है।
सरल करने पर: $k(x-3) = 2(x^2-3x+2)$ प्राप्त होता है।
$x \neq 3$ के लिए,$k = 2(x-3 + \frac{2}{x-3} + 3)$ है।
$AM$-$GM$ असमिका का उपयोग करने पर,$k$ का मान $(6-4\sqrt{2}, 6+4\sqrt{2})$ के बीच होना चाहिए।
यह अंतराल लगभग $(0.344, 11.656)$ है।
अतः $k$ के पूर्णांक मान $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11\}$ हैं।
इनका योग $66$ है।

(C) द्विघात व्यंजक $x^{2}+2(a+4)x-5a+64 > 0$ के सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए सत्य होने हेतु,इसका विविक्तकर (discriminant) $D < 0$ होना चाहिए।
$D = [2(a+4)]^{2} - 4(1)(-5a+64) < 0$
$4(a^{2}+8a+16) + 20a - 256 < 0$
$4a^{2} + 32a + 64 + 20a - 256 < 0$
$4a^{2} + 52a - 192 < 0$
$4$ से विभाजित करने पर,हमें $a^{2} + 13a - 48 < 0$ प्राप्त होता है।
गुणनखंड करने पर,$(a+16)(a-3) < 0$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि $a \in (-16, 3)$।
चूंकि $a$ को $[-5, 30]$ के बीच का पूर्णांक होना चाहिए,इसलिए $a$ के संभावित मान $\{-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2\}$ हैं।
अनुकूल मानों की संख्या $8$ है।
$[-5, 30]$ के बीच कुल पूर्णांकों की संख्या $30 - (-5) + 1 = 36$ है।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $\frac{8}{36} = \frac{2}{9}$ है।

(B) दिया गया समीकरण $x^{2} + 3^{1/4}x + 3^{1/2} = 0$ है।
चूंकि $\alpha$ एक मूल है,$\alpha^{2} + 3^{1/2} = -3^{1/4}\alpha$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(\alpha^{2} + 3^{1/2})^{2} = 3^{1/2}\alpha^{2}$.
$\alpha^{4} + 3^{1/2}\alpha^{2} + 3 = 0$.
$(\alpha^{2} - 3^{1/2})$ से गुणा करने पर: $\alpha^{6} - (3^{1/2})^{3} = 0$.
$\alpha^{6} = 3 \sqrt{3}$.
अतः $\alpha^{12} = (3 \sqrt{3})^{2} = 27 = 3^{3}$.
$\alpha^{96} = (\alpha^{12})^{8} = (3^{3})^{8} = 3^{24}$.
इसी प्रकार,$\beta^{12} = 27$ और $\beta^{96} = 3^{24}$.
व्यंजक $\alpha^{96}(\alpha^{12}-1) + \beta^{96}(\beta^{12}-1) = 3^{24}(26) + 3^{24}(26) = 52 \times 3^{24}$।

(B) समीकरण $ax^{2}-2bx+15=0$ के लिए,क्योंकि इसका एक पुनरावृत्त मूल $\alpha$ है,इसलिए विविक्तकर शून्य होगा:
$D = (-2b)^{2} - 4(a)(15) = 0 \implies 4b^{2} = 60a \implies b^{2} = 15a$.
साथ ही,मूल $\alpha = -\frac{-2b}{2a} = \frac{b}{a}$ है।
$\alpha = \frac{b}{a}$ में $a = \frac{b^{2}}{15}$ प्रतिस्थापित करने पर,$\alpha = \frac{b}{b^{2}/15} = \frac{15}{b}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\alpha$ समीकरण $x^{2}-2bx+21=0$ का एक मूल है,इसलिए:
$(\frac{15}{b})^{2} - 2b(\frac{15}{b}) + 21 = 0$
$\frac{225}{b^{2}} - 30 + 21 = 0 \implies \frac{225}{b^{2}} = 9 \implies b^{2} = 25$.
समीकरण $x^{2}-2bx+21=0$ के लिए,मूलों का योग $\alpha+\beta = 2b$ और गुणनफल $\alpha\beta = 21$ है।
हमें $\alpha^{2}+\beta^{2} = (\alpha+\beta)^{2} - 2\alpha\beta$ ज्ञात करना है।
$\alpha^{2}+\beta^{2} = (2b)^{2} - 2(21) = 4b^{2} - 42$.
$b^{2} = 25$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\alpha^{2}+\beta^{2} = 4(25) - 42 = 100 - 42 = 58$.

(C) दिया गया है कि $p+q=3$ और $p^{4}+q^{4}=369$ है।
हमें $\left(\frac{1}{p}+\frac{1}{q}\right)^{-2} = \left(\frac{p+q}{pq}\right)^{-2} = \frac{(pq)^{2}}{(p+q)^{2}} = \frac{(pq)^{2}}{3^{2}} = \frac{(pq)^{2}}{9}$ का मान ज्ञात करना है।
हम जानते हैं कि $p^{2}+q^{2} = (p+q)^{2}-2pq = 9-2pq$ है।
साथ ही,$p^{4}+q^{4} = (p^{2}+q^{2})^{2}-2p^{2}q^{2} = (9-2pq)^{2}-2(pq)^{2} = 369$ है।
इसका विस्तार करने पर,$81+4(pq)^{2}-36pq-2(pq)^{2} = 369$ प्राप्त होता है।
$2(pq)^{2}-36pq+81 = 369 \implies 2(pq)^{2}-36pq-288 = 0$ है।
$2$ से भाग देने पर,$(pq)^{2}-18pq-144 = 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर,$(pq-24)(pq+6) = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$pq=24$ या $pq=-6$ है।
यदि $pq=24$ है,तो $p^{2}+q^{2} = 9-2(24) = 9-48 = -39$ होगा,जो वास्तविक संख्याओं $p$ और $q$ के लिए असंभव है।
इसलिए,$pq=-6$ है।
$pq=-6$ को हमारे व्यंजक में रखने पर: $\frac{(pq)^{2}}{9} = \frac{(-6)^{2}}{9} = \frac{36}{9} = 4$ प्राप्त होता है।

(D) दिए गए समीकरण हैं:
$x^{2}-4 \lambda x+5=0$ के मूल $\alpha, \beta$ हैं $\implies \alpha+\beta=4 \lambda$ और $\alpha \beta=5$.
$x^{2}-(3 \sqrt{2}+2 \sqrt{3}) x+(7+3 \lambda \sqrt{3})=0$ के मूल $\alpha, \gamma$ हैं $\implies \alpha+\gamma=3 \sqrt{2}+2 \sqrt{3}$ और $\alpha \gamma=7+3 \lambda \sqrt{3}$.
मूलों के योग को घटाने पर: $(\alpha+\gamma)-(\alpha+\beta) = (3 \sqrt{2}+2 \sqrt{3}) - 4 \lambda \implies \gamma-\beta = 3 \sqrt{2}+2 \sqrt{3}-4 \lambda$.
दिया गया है $\beta+\gamma=3 \sqrt{2}$.
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $2 \gamma = 6 \sqrt{2}+2 \sqrt{3}-4 \lambda \implies \gamma = 3 \sqrt{2}+\sqrt{3}-2 \lambda$.
घटाने पर: $2 \beta = 4 \lambda - 2 \sqrt{3} \implies \beta = 2 \lambda - \sqrt{3}$.
चूंकि $\alpha+\beta=4 \lambda$,इसलिए $\alpha = 4 \lambda - (2 \lambda - \sqrt{3}) = 2 \lambda + \sqrt{3}$.
$\alpha \beta = 5$ का उपयोग करने पर: $(2 \lambda + \sqrt{3})(2 \lambda - \sqrt{3}) = 5 \implies 4 \lambda^{2}-3 = 5 \implies 4 \lambda^{2}=8 \implies \lambda^{2}=2$.
$\alpha = 2 \lambda + \sqrt{3}$,$\beta = 2 \lambda - \sqrt{3}$,और $\gamma = 3 \sqrt{2}+\sqrt{3}-2 \lambda$.
हमें $(\alpha+2 \beta+\gamma)^{2} = (\alpha+\beta+\beta+\gamma)^{2} = (4 \lambda + 3 \sqrt{2})^{2}$ का मान ज्ञात करना है।
$\lambda^{2}=2$ होने के कारण,$\lambda = \sqrt{2}$ लेने पर: $(4 \sqrt{2}+3 \sqrt{2})^{2} = (7 \sqrt{2})^{2} = 49 \times 2 = 98$.

(A) मान लीजिए $f(x) = x^2 + bx + c$ है। चूँकि अग्रणी गुणांक $1$ है और $f(0) = p$,इसलिए $c = p$ है। अतः,$f(x) = x^2 + bx + p$ है।
दिया गया है कि $f(1) = 1 + b + p = \frac{1}{3}$,इसलिए $b = \frac{1}{3} - 1 - p = -\frac{2}{3} - p$ है।
मान लीजिए $\alpha$ समीकरण $f(x) = 0$ और $f(f(f(f(x)))) = 0$ का उभयनिष्ठ मूल है। चूँकि $f(\alpha) = 0$,इसलिए $f(f(f(f(\alpha)))) = f(f(f(0))) = f(f(p)) = 0$ है।
इसका अर्थ है कि $f(p)$ को $f(x) = 0$ का मूल होना चाहिए,इसलिए $f(f(p)) = 0$ का अर्थ है कि $f(p) = \alpha$ या $f(p) = \beta$,जहाँ $\alpha, \beta$ समीकरण $f(x) = 0$ के मूल हैं।
चूँकि $f(x) = (x-\alpha)(x-\beta)$,इसलिए $f(0) = \alpha \beta = p$ है।
साथ ही,$f(1) = (1-\alpha)(1-\beta) = \frac{1}{3}$ है।
यदि $f(p) = \alpha$ है,तो $(p-\alpha)(p-\beta) = \alpha$ होगा। $p = \alpha \beta$ प्रतिस्थापित करने पर,$(\alpha \beta - \alpha)(\alpha \beta - \beta) = \alpha$ प्राप्त होता है।
$\alpha(\beta-1) \beta(\alpha-1) = \alpha$। चूँकि $\alpha \neq 0$,इसलिए $(\beta-1)(\alpha-1)\beta = 1$ है।
हम जानते हैं कि $(1-\alpha)(1-\beta) = \frac{1}{3}$,इसलिए $(\alpha-1)(\beta-1) = \frac{1}{3}$ है।
इस मान को समीकरण में रखने पर,$\frac{1}{3} \beta = 1$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\beta = 3$ है।
तब $(1-\alpha)(1-3) = \frac{1}{3} \Rightarrow -2(1-\alpha) = \frac{1}{3} \Rightarrow 1-\alpha = -\frac{1}{6} \Rightarrow \alpha = \frac{7}{6}$ है।
अतः,$f(x) = (x-\frac{7}{6})(x-3)$ है।
अंत में,$f(-3) = (-3 - \frac{7}{6})(-3 - 3) = (-\frac{25}{6})(-6) = 25$ है।

(D) समुच्चय $S$ के लिए: असमिका $\frac{|x+3|-1}{|x|-2} \geq 0$ है।
क्रांतिक बिंदु $x = -4, -2, 2, -2$ हैं।
$[-6, 3] \setminus \{-2, 2\}$ में अंतरालों की जाँच करने पर:
$[-6, -4] \cup (-2, 2) \cup (2, 3]$ प्राप्त होता है।
समुच्चय $T$ के लिए: $x^2 - 7|x| + 9 \leq 0$। मान लीजिए $y = |x|$,तो $y^2 - 7y + 9 \leq 0$।
हल $y \in [1.7, 5.3]$ है। चूँकि $x \in \mathbb{Z}$,इसलिए $|x| \in \{2, 3, 4, 5\}$,अतः $x \in \{-5, -4, -3, -2, 2, 3, 4, 5\}$।
$S$ और $T$ का सर्वनिष्ठ: $S \cap T = \{-5, -4, 3\}$।
अवयवों की संख्या $3$ है।

(D) दिया गया है $P_{n} = \alpha^{n} - \beta^{n}$ और द्विघात समीकरण $x^{2} - x - 4 = 0$ है।
चूंकि $\alpha$ और $\beta$ मूल हैं,इसलिए $\alpha^{2} = \alpha + 4$ और $\beta^{2} = \beta + 4$ है।
$P_{n} - P_{n-1} = (\alpha^{n} - \beta^{n}) - (\alpha^{n-1} - \beta^{n-1}) = \alpha^{n-1}(\alpha - 1) - \beta^{n-1}(\beta - 1)$ है।
$\alpha^{2} - \alpha = 4$ होने के कारण,$\alpha - 1 = \frac{4}{\alpha}$ और $\beta - 1 = \frac{4}{\beta}$ है।
अतः,$P_{n} - P_{n-1} = 4(\alpha^{n-2} - \beta^{n-2}) = 4P_{n-2}$ है।
अब,व्यंजक को सरल करने पर: $\frac{(P_{15} - P_{14})(P_{16} - P_{15})}{P_{13} P_{14}}$ प्राप्त होता है।
संबंध $P_{n} - P_{n-1} = 4P_{n-2}$ का उपयोग करने पर,$P_{15} - P_{14} = 4P_{13}$ और $P_{16} - P_{15} = 4P_{14}$ मिलता है।
मान रखने पर: $\frac{(4P_{13})(4P_{14})}{P_{13} P_{14}} = 16$।

(C) माना $\frac{2a-1}{b} = \alpha$ और $\frac{2b-1}{a} = \beta$,जहाँ $\alpha, \beta \in \mathbb{Z}^+$.
चूँकि $a, b \ge 1$,इसलिए $2a-1 \ge 1$ और $2b-1 \ge 1$,अतः $\alpha, \beta \ge 1$.
समीकरणों से,$2a-1 = \alpha b$ और $2b-1 = \beta a$.
दूसरे समीकरण में $b = \frac{2a-1}{\alpha}$ रखने पर: $2(\frac{2a-1}{\alpha}) - 1 = \beta a$.
$4a - 2 - \alpha = \alpha \beta a$,जिसका अर्थ है $a(4 - \alpha \beta) = \alpha + 2$.
चूँकि $a > 0$ और $\alpha + 2 > 0$,इसलिए $4 - \alpha \beta > 0$ होना चाहिए,अतः $\alpha \beta < 4$.
संभावित युग्म $(\alpha, \beta)$ हैं: $(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (3, 1)$.
स्थिति $1$: $(\alpha, \beta) = (1, 1) \implies 3a = 3 \implies a = 1$. अतः $b = 1$. युग्म: $(1, 1)$.
स्थिति $2$: $(\alpha, \beta) = (1, 2) \implies 2a = 3$,कोई पूर्णांक हल नहीं।
स्थिति $3$: $(\alpha, \beta) = (1, 3) \implies a = 3$. अतः $b = 5$. युग्म: $(3, 5)$.
स्थिति $4$: $(\alpha, \beta) = (2, 1) \implies 2a = 4 \implies a = 2$. अतः $b = 1.5$,जो पूर्णांक नहीं है।
स्थिति $5$: $(\alpha, \beta) = (3, 1) \implies a = 5$. अतः $b = 3$. युग्म: $(5, 3)$.
अतः,कुल $3$ क्रमित युग्म हैं।

(C) दिया गया समीकरण $x^4+4y^4+16z^4+64=32xyz$ है।
$AM \geq GM$ असमिका का उपयोग करते हुए,$x^4, 4y^4, 16z^4, 64$ के लिए:
$\frac{x^4+4y^4+16z^4+64}{4} \geq \sqrt[4]{x^4 \cdot 4y^4 \cdot 16z^4 \cdot 64} = 8|xyz|$.
अतः,$x^4+4y^4+16z^4+64 \geq 32|xyz|$.
समानता के लिए,$|x|=2\sqrt{2}, |y|=2, |z|=\sqrt{2}$ होना चाहिए और $xyz > 0$ होना चाहिए।
$(x, y, z)$ के लिए संभावित मान:
$1$. $(2\sqrt{2}, 2, \sqrt{2}) \implies x+y+z = 3\sqrt{2}+2$.
$2$. $(2\sqrt{2}, -2, -\sqrt{2}) \implies x+y+z = \sqrt{2}-2$.
$3$. $(-2\sqrt{2}, 2, -\sqrt{2}) \implies x+y+z = 2-3\sqrt{2}$.
$4$. $(-2\sqrt{2}, -2, \sqrt{2}) \implies x+y+z = -\sqrt{2}-2$.
इस प्रकार,$x+y+z$ के लिए $4$ अलग-अलग मान संभव हैं।

(D) मान लीजिए $f(a, b, c) = \frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}$.
स्थिति $1$: यदि $ab+bc+ca > 0$ है,तो हम जानते हैं कि $(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 \geq 0$,जिसका अर्थ है $2(a^2+b^2+c^2) - 2(ab+bc+ca) \geq 0$,इसलिए $a^2+b^2+c^2 \geq ab+bc+ca$.
अतः,$\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca} \geq 1$.
स्थिति $2$: यदि $ab+bc+ca < 0$ है,तो हम सर्वसमिका $(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2 + 2(ab+bc+ca) \geq 0$ का उपयोग करते हैं।
यह दर्शाता है कि $a^2+b^2+c^2 \geq -2(ab+bc+ca)$.
चूंकि $ab+bc+ca < 0$ है,इसलिए इससे भाग देने पर असमिका का चिह्न बदल जाएगा:
$\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca} \leq -2$.
दोनों स्थितियों को मिलाने पर,$S$ का परिसर $(-\infty, -2] \cup [1, \infty)$ प्राप्त होता है।

(C) दिए गए समीकरण हैं:
$q = p(4-p) \dots (i)$
$r = q(4-q) \dots (ii)$
$p = r(4-r) \dots (iii)$
समीकरणों $(i)$,$(ii)$,और $(iii)$ को जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है:
$p+q+r = 4(p+q+r) - (p^2+q^2+r^2)$
$p^2+q^2+r^2 = 3(p+q+r)$
मान लीजिए $p=q=r$ है। तब $p = p(4-p) \Rightarrow p = 4p - p^2 \Rightarrow p^2 - 3p = 0$,जिससे $p=0$ या $p=3$ प्राप्त होता है।
यदि $p=q=r=0$ है,तो $p+q+r = 0$ है।
यदि $p=q=r=3$ है,तो $p+q+r = 3+3+3 = 9$ है।
कोशी-श्वार्ट्ज असमिका के अनुसार $(p+q+r)^2 \le 3(p^2+q^2+r^2)$,इसलिए $(p+q+r)^2 \le 3(3(p+q+r)) = 9(p+q+r)$ है।
अतः,$p+q+r \le 9$ है।
अधिकतम मान $9$ है।

(B) दिया गया है $x^2+y^2=2z^2$ जहाँ $HCF(x, y, z)=1$ है।
$I$ की जाँच करें: मान लीजिए $x=1, y=7, z=5$ है। यहाँ $1^2+7^2=50=2(5^2)$ है। $HCF(1, 7, 5)=1$ है। $4$,$1$ या $7$ को विभाजित नहीं करता है। अतः,$I$ गलत है।
$II$ की जाँच करें: $x^2+y^2=2z^2 \implies x^2+y^2 \equiv 2z^2 \pmod 3$ है। $3$ के मापांक में वर्ग $0, 1$ हैं। यदि $z^2 \equiv 0$,तो $x^2+y^2 \equiv 0 \implies x, y$ $3$ के गुणज हैं,जो $HCF=1$ का विरोधाभास है। यदि $z^2 \equiv 1$,तो $x^2+y^2 \equiv 2 \implies x^2 \equiv 1, y^2 \equiv 1$ है। अतः $x \equiv \pm 1, y \equiv \pm 1$ है। इस प्रकार $x+y \equiv 0$ या $x-y \equiv 0 \pmod 3$ है। $II$ सत्य है।
$III$ की जाँच करें: $x^2+y^2=2z^2 \implies x^2-z^2 = z^2-y^2$ है। $5$ के मापांक में वर्ग $0, 1, 4$ हैं। यदि $z^2 \equiv 0$,तो $x^2+y^2 \equiv 0 \implies x, y \equiv 0$,विरोधाभास। यदि $z^2 \equiv 1$,$x^2+y^2 \equiv 2$ है। संभावित जोड़े $(x^2, y^2)$ $(1, 1)$ हैं। अतः $x^2-y^2 \equiv 0 \pmod 5$ है। यदि $z^2 \equiv 4$,$x^2+y^2 \equiv 8 \equiv 3$ है। संभावित जोड़े $(x^2, y^2)$ $(4, 4)$ हैं। अतः $x^2-y^2 \equiv 0 \pmod 5$ है। दोनों स्थितियों में,$5$,$x^2-y^2$ को विभाजित करता है,इसलिए $5$,$z(x^2-y^2)$ को विभाजित करता है। $III$ सत्य है।

(B) दिया गया समीकरण $x^4+y^4+z^4+1=4xyz$ है।
चार धनात्मक संख्याओं $x^4, y^4, z^4, 1$ के लिए समांतर माध्य-गुणोत्तर माध्य $(AM \geq GM)$ असमिका के अनुसार:
$\frac{x^4+y^4+z^4+1}{4} \geq \sqrt[4]{x^4 y^4 z^4 \cdot 1}$
दिए गए समीकरण का मान रखने पर:
$\frac{4xyz}{4} \geq |xyz|$
$xyz \geq |xyz|$
यह असमिका तभी संभव है जब $xyz \geq 0$ हो। $AM \geq GM$ में समानता के लिए,सभी पद समान होने चाहिए:
$x^4 = y^4 = z^4 = 1$
इसका अर्थ है कि $|x| = 1, |y| = 1, |z| = 1$। अतः,$x, y, z \in \{1, -1\}$।
मूल समीकरण में ये मान रखने पर:
$1+1+1+1 = 4xyz$ $\Rightarrow 4 = 4xyz$ $\Rightarrow xyz = 1$।
जिनका गुणनफल $1$ हो,ऐसी संभावित त्रिक $(x, y, z)$ हैं:
$(1, 1, 1), (1, -1, -1), (-1, 1, -1), (-1, -1, 1)$।
अतः,कुल $4$ त्रिक प्राप्त होते हैं।

(D) दिए गए समीकरण:
$x+y^2=12 \quad \dots(i)$
$x^2+y=12 \quad \dots(ii)$
$(ii)$ में से $(i)$ को घटाने पर:
$(x^2-x) + (y-y^2) = 0$
$(x^2-y^2) - (x-y) = 0$
$(x-y)(x+y) - (x-y) = 0$
$(x-y)(x+y-1) = 0$
इसका अर्थ है $x=y$ या $x+y=1$.
स्थिति $1$: यदि $x=y$,तो $x^2+x=12$ $\Rightarrow x^2+x-12=0$ $\Rightarrow (x+4)(x-3)=0$. अतः,$x=3, y=3$ और $x=-4, y=-4$. यह $2$ हल देता है।
स्थिति $2$: यदि $x+y=1$,तो $y=1-x$. $(ii)$ में प्रतिस्थापित करने पर: $x^2+(1-x)=12 \Rightarrow x^2-x-11=0$. विविक्तकर $D = (-1)^2 - 4(1)(-11) = 1+44 = 45 > 0$. इस द्विघात समीकरण के $x$ के लिए $2$ भिन्न वास्तविक मूल हैं,जिनमें से प्रत्येक के लिए $y$ का एक वास्तविक मान प्राप्त होता है। यह $2$ और हल देता है।
क्रमित युग्मों $(x, y)$ की कुल संख्या $2+2=4$ है।

(D) दिया गया है कि $x$ और $y$ दो धनात्मक वास्तविक संख्याएँ हैं जैसे कि $x+y=1$ है।
हमें $f(x, y) = \frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ का न्यूनतम मान ज्ञात करना है।
दो धनात्मक संख्याओं $x$ और $y$ के लिए समांतर माध्य-हरात्मक माध्य $(AM \geq HM)$ असमिका का उपयोग करने पर:
$\frac{x+y}{2} \geq \frac{2}{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}}$
असमिका में $x+y=1$ रखने पर:
$\frac{1}{2} \geq \frac{2}{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}}$
दोनों पक्षों को $2(\frac{1}{x} + \frac{1}{y})$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \geq 4$.
अतः,न्यूनतम मान $4$ है।

(A) दिया गया समीकरण $2^x + 3^y = 5^{xy}$ है,जहाँ $x, y \in \mathbb{Z}^+$.
यदि $x = 1$ और $y = 1$ है,तो $2^1 + 3^1 = 2 + 3 = 5$ और $5^{1 \times 1} = 5^1 = 5$ होता है। अतः,$(1, 1)$ एक हल है।
यदि $x > 1$ या $y > 1$ है,तो समीकरण को $5^{xy}$ से विभाजित करने पर $\frac{2^x}{5^{xy}} + \frac{3^y}{5^{xy}} = 1$ प्राप्त होता है।
इसे $\left(\frac{2}{5^y}\right)^x + \left(\frac{3}{5^x}\right)^y = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$x, y \ge 1$ के लिए,पद $\frac{2^x}{5^{xy}}$ और $\frac{3^y}{5^{xy}}$ तेजी से घटते हैं।
विशेष रूप से,$x, y \ge 1$ के लिए,$(1, 1)$ को छोड़कर सभी युग्मों के लिए $2^x + 3^y < 5^{xy}$ होता है।
अतः,समीकरण को संतुष्ट करने वाला एकमात्र क्रमित युग्म $(1, 1)$ है।

(B) दिया गया समीकरण $x^3+y^3=65$ है।
हम व्यंजक का गुणनखंड $(x+y)(x^2-xy+y^2)=65$ के रूप में कर सकते हैं।
चूंकि $x$ और $y$ पूर्णांक हैं,$(x+y)$ को $65$ का भाजक होना चाहिए।
$65$ के भाजक $\pm 1, \pm 5, \pm 13, \pm 65$ हैं।
$x$ और $y$ के लिए पूर्णांक मानों की जाँच करने पर:
यदि $x=1$ है,तो $1+y^3=65 \implies y^3=64 \implies y=4$।
यदि $y=1$ है,तो $x^3+1=65 \implies x^3=64 \implies x=4$।
अतः,$(1, 4)$ और $(4, 1)$ हल हैं।
अन्य मानों के लिए,यदि $x$ या $y$ ऋणात्मक या बड़े हैं,तो घनों का योग $65$ प्राप्त नहीं होता है।
इसलिए,कुल $2$ क्रमित युग्म संभव हैं।

(C) दिया गया है कि $a, b$ समीकरण $x^2-5cx-6d=0$ के मूल हैं,अतः:
$a+b=5c$ $(1)$
$ab=-6d$ $(2)$
दिया गया है कि $c, d$ समीकरण $x^2-5ax-6b=0$ के मूल हैं,अतः:
$c+d=5a$ $(3)$
$cd=-6b$ $(4)$
$(1)$ में से $(3)$ घटाने पर:
$(a+b)-(c+d) = 5c-5a$
$(a-c)+(b-d) = -5(a-c)$
$b-d = 6(c-a)$ $(5)$
$(1)$ और $(3)$ को जोड़ने पर:
$(a+b)+(c+d) = 5c+5a$
$b+d = 4(a+c)$ $(6)$
$(2)$ और $(4)$ से,$ab-cd = -6d+6b = 6(b-d)$.
$(5)$ का मान रखने पर: $ab-cd = 36(c-a)$.
साथ ही,$ab-cd = c^2-a^2 = (c-a)(c+a)$.
चूंकि $a, b, c, d$ भिन्न हैं,$c-a \neq 0$,इसलिए $c+a = 36$.
$(6)$ में मान रखने पर: $b+d = 4(36) = 144$.

(C) दिया गया है कि $a+b+c=0$ और $a^2+b^2+c^2=1$.
माना $S = (3a+5b-8c)^2+(-8a+3b+5c)^2+(5a-8b+3c)^2$.
प्रत्येक पद का विस्तार करने पर:
$(3a+5b-8c)^2 = 9a^2+25b^2+64c^2+30ab-48ac-80bc$
$(-8a+3b+5c)^2 = 64a^2+9b^2+25c^2-48ab-80ac+30bc$
$(5a-8b+3c)^2 = 25a^2+64b^2+9c^2-80ab+30ac-48bc$
इन पदों का योग करने पर:
$S = 98a^2 + 98b^2 + 98c^2 - 98ab - 98ac - 98bc$
$S = 98(a^2+b^2+c^2) - 98(ab+bc+ca)$
हम जानते हैं कि $(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca) = 0$,इसलिए $ab+bc+ca = -\frac{1}{2}(a^2+b^2+c^2) = -\frac{1}{2}(1) = -\frac{1}{2}$.
इन मानों को रखने पर:
$S = 98(1) - 98(-\frac{1}{2}) = 98 + 49 = 147$.

(D) कथन $I$ के लिए: हम जाँचते हैं कि क्या $n^2+3 \equiv 0 \pmod{17}$ है।
इसका अर्थ है $n^2 \equiv -3 \equiv 14 \pmod{17}$।
$17$ के मापांक में वर्ग अवशेष ${0, 1, 2, 4, 8, 9, 13, 15, 16}$ हैं।
चूँकि $14$ इस समुच्चय में नहीं है,इसलिए $n^2+3$ कभी भी $17$ से विभाज्य नहीं है। अतः,$I$ सत्य है।
कथन $II$ के लिए: हम जाँचते हैं कि क्या $n^2+4 \equiv 0 \pmod{17}$ है।
इसका अर्थ है $n^2 \equiv -4 \equiv 13 \pmod{17}$।
चूँकि $8^2 = 64 \equiv 13 \pmod{17}$ है,इसलिए $n=8$ के लिए $n^2+4 = 68$ जो $17$ से विभाज्य है।
अतः,$II$ असत्य है।
इसलिए,$I$ सत्य है और $II$ असत्य है।

(A) दिए गए समीकरण हैं:
$|a|=\sqrt{4-\sqrt{5-a}}$
$|b|=\sqrt{4+\sqrt{5-b}}$
$|c|=\sqrt{4-\sqrt{5+c}}$
$|d|=\sqrt{4+\sqrt{5+d}}$
पहले समीकरण का वर्ग करने पर: $a^2 = 4 - \sqrt{5-a} \implies a^2 - 4 = -\sqrt{5-a}$।
पुनः वर्ग करने पर: $(a^2 - 4)^2 = 5 - a \implies a^4 - 8a^2 + 16 = 5 - a \implies a^4 - 8a^2 + a + 11 = 0$।
इसी प्रकार,$b, c, d$ के लिए,हम देख सकते हैं कि $a, b, -c, -d$ बहुपद समीकरण $x^4 - 8x^2 + x + 11 = 0$ के मूल हैं।
विएटा के सूत्रों के अनुसार,$x^4 + 0x^3 - 8x^2 + x + 11 = 0$ के मूलों का गुणनफल अचर पद के बराबर होता है,जो $11$ है।
अतः,$a \cdot b \cdot (-c) \cdot (-d) = 11 \implies abcd = 11$।

(B) मान लीजिए $S = (a_1-a_2)^2+(a_2-a_3)^2+(a_3-a_4)^2+(a_4-a_1)^2$ है।
वर्गों का विस्तार करने पर,$S = 2(a_1^2+a_2^2+a_3^2+a_4^2) - 2(a_1a_2+a_2a_3+a_3a_4+a_4a_1)$ प्राप्त होता है।
दिया गया है $a_1^2+a_2^2+a_3^2+a_4^2=1$,इसलिए $S = 2 - 2(a_1+a_3)(a_2+a_4)$ है।
चूँकि $a_1+a_2+a_3+a_4=0$,इसलिए $a_2+a_4 = -(a_1+a_3)$ है।
मान लीजिए $x = a_1+a_3$,तो $a_2+a_4 = -x$ है।
अतः,$S = 2 - 2(x)(-x) = 2 + 2x^2$ है।
$S$ को न्यूनतम करने के लिए,हमें $x^2$ को न्यूनतम करना होगा।
कोशी-श्वार्ज़ असमिका के अनुसार,$x^2$ का न्यूनतम मान $0$ है।
यदि $x=0$ है,तो $S = 2 + 2(0) = 2$ है।
चूँकि $2$ अंतराल $(1.5, 2.5)$ में स्थित है,इसलिए सही विकल्प $B$ है।

(B) दिया गया समीकरण $nx^2 + 7\sqrt{n}x + n = 0$ है।
विविक्तकर $D = (7\sqrt{n})^2 - 4(n)(n) = 49n - 4n^2 = n(49 - 4n)$ है।
मूलों के भिन्न होने के लिए,$D \neq 0$ होना चाहिए। चूँकि $n$ एक धनात्मक पूर्णांक है,$49 - 4n = 0$ का अर्थ है $n = 12.25$,जो एक पूर्णांक नहीं है। अतः,सभी $n \in \mathbb{Z}^+$ के लिए $D \neq 0$ है। इसलिए,कथन $I$ सही है।
मूलों के वास्तविक होने के लिए,$D \geq 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $n(49 - 4n) \geq 0$। चूँकि $n > 0$,इसलिए $49 - 4n \geq 0$ अर्थात $n \leq 12.25$। $n$ के लिए संभावित मान $\{1, 2, 3, \dots, 12\}$ हैं। यह एक सीमित समुच्चय है,इसलिए कथन $II$ गलत है।
द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के मूलों का गुणनफल $\frac{c}{a}$ होता है। यहाँ,गुणनफल $\frac{n}{n} = 1$ है,जो एक पूर्णांक है। इसलिए,कथन $III$ सही है।
अतः,कथन $I$ और $III$ सही हैं।

(B) $x, y, z > 0$ के लिए,हम प्रत्येक स्थिति का विश्लेषण करते हैं:
$I.$ $x^3+y^3+z^3-3xyz = \frac{1}{2}(x+y+z)((x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2) = 0$. चूँकि $x+y+z > 0$,यह $(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2 = 0$ का तात्पर्य रखता है,अतः $x=y=z$.
$II.$ $x^3+y^2z+yz^2=3xyz$. $xyz$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{x^2}{yz} + \frac{y}{x} + \frac{z}{x} = 3$ प्राप्त होता है। $AM$-$GM$ असमिका द्वारा,$\frac{x^2}{yz} + \frac{y}{x} + \frac{z}{x} \ge 3 \sqrt[3]{\frac{x^2}{yz} \cdot \frac{y}{x} \cdot \frac{z}{x}} = 3(1) = 3$. समानता तभी होती है जब $\frac{x^2}{yz} = \frac{y}{x} = \frac{z}{x}$ हो,जो $x=y=z$ का तात्पर्य रखता है।
$III.$ $x^3+y^2z+z^2x=3xyz$. यदि $x=1, y=2, z=0.5$ लें,तो $3.25 \neq 3$ प्राप्त होता है। यह स्थिति हमेशा $x=y=z$ का तात्पर्य नहीं रखती है।
$IV.$ $AM$-$GM$ द्वारा,$\frac{x+y+z}{3} \ge \sqrt[3]{xyz}$. अतः $(x+y+z)^3 \ge 27xyz$. समानता तभी होती है जब $x=y=z$ हो।
अतः,$I, II,$ और $IV$ का तात्पर्य $x=y=z$ है।

(C) दिया गया है कि $r$ समीकरण $x^2+2x+6=0$ का एक मूल है,इसलिए $r^2+2r+6=0$,जिसका अर्थ है $r^2+2r = -6$.
हमें $(r+2)(r+3)(r+4)(r+5)$ का मान ज्ञात करना है।
पदों को इस प्रकार व्यवस्थित करने पर:
$E = (r^2+5r+6)(r^2+9r+20)$
$r^2 = -2r-6$ प्रतिस्थापित करने पर:
$E = (-2r-6+5r+6)(-2r-6+9r+20)$
$E = (3r)(7r+14)$
$E = 21(r^2+2r)$
चूंकि $r^2+2r = -6$ है,इसलिए:
$E = 21 \times (-6) = -126$.

(B) मान लीजिए वर्ष $n$ में जनसंख्या $P_n$ है। समस्या के अनुसार,$P_{n+2} - P_n = k P_{n+1}$,जहाँ $k$ एक स्थिरांक है।
दी गई जनसंख्या:
$P_{2010} = 39$
$P_{2011} = 60$
$P_{2013} = 123$
मान लीजिए $P_{2012} = x$ है।
$n = 2010$ के लिए:
$P_{2012} - P_{2010} = k P_{2011}$ $\Rightarrow x - 39 = k(60)$ $\Rightarrow k = \frac{x - 39}{60} \quad (i)$
$n = 2011$ के लिए:
$P_{2013} - P_{2011} = k P_{2012}$ $\Rightarrow 123 - 60 = k(x)$ $\Rightarrow 63 = kx$ $\Rightarrow k = \frac{63}{x} \quad (ii)$
$(i)$ और $(ii)$ की तुलना करने पर:
$\frac{x - 39}{60} = \frac{63}{x}$
$x^2 - 39x - 3780 = 0$
द्विघात सूत्र का उपयोग करके हल करने पर:
$x = \frac{39 \pm 129}{2}$
चूंकि जनसंख्या धनात्मक होनी चाहिए,इसलिए $x = 84$।
अतः,वर्ष $2012$ में जनसंख्या $84$ थी।

(B) दिया गया है $a+b+c=0$।
हम जानते हैं कि $(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2 + 2(ab+bc+ca) = 0$।
अतः,$q + 2(ab+bc+ca) = 0$,जिसका अर्थ है $ab+bc+ca = -\frac{q}{2}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(ab+bc+ca)^2 = \frac{q^2}{4}$।
साथ ही,$(ab+bc+ca)^2 = a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2 + 2abc(a+b+c) = a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2 + 0 = \frac{q^2}{4}$।
अब,$q^2 = (a^2+b^2+c^2)^2 = a^4+b^4+c^4 + 2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)$ पर विचार करें।
$r = a^4+b^4+c^4$ और $a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2 = \frac{q^2}{4}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$q^2 = r + 2(\frac{q^2}{4}) = r + \frac{q^2}{2}$।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$q^2 - \frac{q^2}{2} = r$,जो सरल होकर $\frac{q^2}{2} = r$ या $q^2 = 2r$ हो जाता है।

(C) दिए गए समीकरण:
$x+y=a$ $(1)$
$\frac{x^2}{x-1}+\frac{y^2}{y-1}=4$ $(2)$
समीकरण $(2)$ को सरल करने पर,$(a-2)(xy - (a-2)) = 0$ प्राप्त होता है।
यदि $a=2$ है,तो अनंत हल प्राप्त होते हैं।
यदि $a \neq 2$ है,तो $xy = a-2$ प्राप्त होता है। $x$ और $y$ समीकरण $t^2 - at + (a-2) = 0$ के मूल हैं।
विविक्तकर $D = a^2 - 4a + 8 = (a-2)^2 + 4 > 0$ है,इसलिए प्रत्येक $a$ के लिए दो वास्तविक हल मिलते हैं।
अतः,$a=2$ को छोड़कर सभी $2013$ पूर्णांकों के लिए सीमित हल प्राप्त होते हैं।

(C) मान लीजिए $a = \frac{x}{y}$,$b = \frac{y}{z}$,और $c = \frac{z}{x}$ है।
दिया गया है कि $a+b+c = 7$ और $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} = 9$ है।
ध्यान दें कि $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} = \frac{y}{x}+\frac{z}{y}+\frac{x}{z} = 9$ है।
हम बीजगणितीय सर्वसमिका $a^3+b^3+c^3-3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$ जानते हैं।
इसे $a^3+b^3+c^3-3abc = (a+b+c)((a+b+c)^2-3(ab+bc+ca))$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यहाँ,$abc = (\frac{x}{y})(\frac{y}{z})(\frac{z}{x}) = 1$ है।
साथ ही,$ab+bc+ca = (\frac{x}{y})(\frac{y}{z}) + (\frac{y}{z})(\frac{z}{x}) + (\frac{z}{x})(\frac{x}{y}) = \frac{x}{z} + \frac{y}{x} + \frac{z}{y} = 9$ है।
इन मानों को सर्वसमिका में रखने पर:
$a^3+b^3+c^3-3(1) = (7)((7)^2 - 3(9))$।
$a^3+b^3+c^3-3 = 7(49-27)$।
$a^3+b^3+c^3-3 = 7(22) = 154$।

(D) माना घनाभ की विमाएँ $x, y,$ और $z$ हैं। फलकों की विमाएँ $(x, y), (y, z),$ और $(x, z)$ हैं।
प्रत्येक फलक के लिए परिधि और क्षेत्रफल का योग:
$2(x+y) + xy = 16 \quad (i)$
$2(y+z) + yz = 24 \quad (ii)$
$2(x+z) + xz = 31 \quad (iii)$
प्रत्येक समीकरण में $4$ जोड़ने पर:
$(x+2)(y+2) = 20 \quad (iv)$
$(y+2)(z+2) = 28 \quad (v)$
$(x+2)(z+2) = 35 \quad (vi)$
माना $X = x+2, Y = y+2, Z = z+2$। तब $XY=20, YZ=28, XZ=35$।
गुणा करने पर: $(XYZ)^2 = 19600 \implies XYZ = 140$।
$Z = 7 \implies z = 5$,$X = 5 \implies x = 3$,$Y = 4 \implies y = 2$।
आयतन $V = xyz = 3 \times 2 \times 5 = 30$।
$30$ का मान $28$ और $35$ के बीच स्थित है,अतः विकल्प $(d)$ सही है।

(A) दी गई व्यंजक $P(x) = \frac{(x-b)(x-c)}{(a-b)(a-c)} + \frac{(x-c)(x-a)}{(b-c)(b-a)} + \frac{(x-a)(x-b)}{(c-a)(c-b)}$ है।
$x=a$ पर $P(a) = \frac{(a-b)(a-c)}{(a-b)(a-c)} + 0 + 0 = 1$ प्राप्त होता है।
$x=b$ पर $P(b) = 0 + \frac{(b-c)(b-a)}{(b-c)(b-a)} + 0 = 1$ प्राप्त होता है।
$x=c$ पर $P(c) = 0 + 0 + \frac{(c-a)(c-b)}{(c-a)(c-b)} = 1$ प्राप्त होता है।
चूँकि $P(x)$ अधिकतम $2$ घात का बहुपद है और यह $x = a, b, c$ के तीन भिन्न मानों के लिए $1$ मान लेता है,इसलिए यह एक अचर बहुपद $P(x) = 1$ होना चाहिए।
अतः,सरल रूप $1$ है।

(A) दिया गया है,$x+\frac{1}{x}=a$ और $x^2+\frac{1}{x^3}=b$.
$x+\frac{1}{x}=a$ का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x^2+\frac{1}{x^2}+2=a^2 \Rightarrow x^2+\frac{1}{x^2}=a^2-2$.
$x+\frac{1}{x}=a$ का घन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x^3+\frac{1}{x^3}+3(x+\frac{1}{x})=a^3 \Rightarrow x^3+\frac{1}{x^3}=a^3-3a$.
अब,योग पर विचार करें:
$(x^2+\frac{1}{x^2}) + (x^3+\frac{1}{x^3}) = (a^2-2) + (a^3-3a)$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$(x^2+\frac{1}{x^3}) + (x^3+\frac{1}{x^2}) = a^3+a^2-3a-2$.
$x^2+\frac{1}{x^3}=b$ प्रतिस्थापित करने पर:
$b + (x^3+\frac{1}{x^2}) = a^3+a^2-3a-2$.
अतः,$x^3+\frac{1}{x^2} = a^3+a^2-3a-2-b$.

(A) दिए गए समीकरण हैं:
$(i) x = x^2 + y^2$
$(ii) y = 2xy$
समीकरण $(ii)$ से:
$y - 2xy = 0$
$y(1 - 2x) = 0$
इसका अर्थ है $y = 0$ या $x = \frac{1}{2}$।
स्थिति $1$: यदि $y = 0$ है,तो $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$x = x^2 + 0^2$
$x^2 - x = 0$
$x(x - 1) = 0$
अतः,$x = 0$ या $x = 1$।
इससे युग्म $(0, 0)$ और $(1, 0)$ प्राप्त होते हैं।
स्थिति $2$: यदि $x = \frac{1}{2}$ है,तो $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{1}{2} = (\frac{1}{2})^2 + y^2$
$\frac{1}{2} = \frac{1}{4} + y^2$
$y^2 = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$
$y = \pm \frac{1}{2}$।
इससे युग्म $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ और $(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2})$ प्राप्त होते हैं।
अतः,$(x, y)$ के कुल युग्मों की संख्या $4$ है।

(A) समीकरण $x^2 + y^2 = a^2 + b^2 + c^2$ पर विचार करें जहाँ $x, y, a, b, c$ अभाज्य संख्याएँ हैं।
स्थिति $1$: यदि सभी अभाज्य संख्याएँ विषम हैं,तो $x^2, y^2, a^2, b^2, c^2 \equiv 1 \pmod{4}$ या $1 \pmod{8}$ होगा।
किसी भी विषम अभाज्य संख्या $p$ के लिए,$p^2 \equiv 1 \pmod{8}$ होता है।
तब $x^2 + y^2 \equiv 1 + 1 = 2 \pmod{8}$ और $a^2 + b^2 + c^2 \equiv 1 + 1 + 1 = 3 \pmod{8}$ होगा।
चूँकि $2 \not\equiv 3 \pmod{8}$,इसलिए कोई हल संभव नहीं है।
स्थिति $2$: यदि कम से कम एक संख्या $2$ है।
यदि $x=2$ है,तो $4 + y^2 = a^2 + b^2 + c^2$। यदि $y=2$ है,तो $8 = a^2 + b^2 + c^2$। $8$ से छोटी अभाज्य संख्याओं का वर्ग केवल $2$ है। यदि $a=b=c=2$ लें,तो $a^2 + b^2 + c^2 = 12 \neq 8$ होगा।
छोटी अभाज्य संख्याओं की जाँच करने पर,कोई हल प्राप्त नहीं होता है।
अतः,हलों की संख्या $0$ है।

(B) दिया गया द्विघात समीकरण $x^2+ax+b=0$ है। यदि $a-b$ एक मूल है,तो यह समीकरण को संतुष्ट करेगा:
$(a-b)^2 + a(a-b) + b = 0$
$b^2 + b(1-3a) + 2a^2 = 0$
$b$ के लिए हल करने पर,विविक्तकर $D = a^2 - 6a + 1$ एक पूर्ण वर्ग होना चाहिए,मान लीजिए $k^2$।
$(a-3)^2 - k^2 = 8$
$(a-3-k)(a-3+k) = 8$
गुणनखंड करने पर,संभव युग्म $(a, b)$ प्राप्त होते हैं: $(6, 9), (6, 8), (0, 0), (0, -1)$।
अतः,कुल $4$ क्रमित युग्म संभव हैं।

(C) दिया गया समीकरण $|x|^2 - 2|x| + |\lambda - 3| = 0$ है।
इसे $(|x| - 1)^2 = 1 - |\lambda - 3|$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$x$ के वास्तविक हल होने के लिए,$1 - |\lambda - 3| \ge 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $2 \le \lambda \le 4$।
चूंकि $x$ एक पूर्णांक है,$(|x| - 1)^2$ एक पूर्ण वर्ग होना चाहिए,यानी $0$ या $1$।
स्थिति $1$: $(|x| - 1)^2 = 0 \implies |x| = 1 \implies x = \pm 1$। तो $1 - |\lambda - 3| = 0 \implies |\lambda - 3| = 1 \implies \lambda = 4$ या $\lambda = 2$।
यदि $\lambda = 4, x = 1, -1$,तो $x + \lambda$ का मान $5$ या $3$ हो सकता है।
यदि $\lambda = 2, x = 1, -1$,तो $x + \lambda$ का मान $3$ या $1$ हो सकता है।
स्थिति $2$: $(|x| - 1)^2 = 1 \implies |x| = 2$ या $0 \implies x = \pm 2, 0$। तो $1 - |\lambda - 3| = 1 \implies |\lambda - 3| = 0 \implies \lambda = 3$।
यदि $\lambda = 3, x = 2, -2, 0$,तो $x + \lambda$ का मान $5, 1, 3$ हो सकता है।
समुच्चय $S = \{5, 3, 1\}$ है। सबसे बड़ा तत्व $5$ है।

(A) दिए गए द्विघात समीकरण $x^2+60^{\frac{1}{4}} x+a=0$ के लिए,मूलों का योग $\alpha+\beta = -60^{\frac{1}{4}}$ और मूलों का गुणनफल $\alpha \beta = a$ है।
हमें $\alpha^4+\beta^4 = -30$ दिया गया है।
सर्वसमिका $\alpha^4+\beta^4 = (\alpha^2+\beta^2)^2 - 2(\alpha \beta)^2$ का उपयोग करते हुए:
$(\alpha^2+\beta^2)^2 - 2a^2 = -30$.
चूंकि $\alpha^2+\beta^2 = (\alpha+\beta)^2 - 2\alpha \beta = (-60^{\frac{1}{4}})^2 - 2a = 60^{\frac{1}{2}} - 2a$,इसलिए:
$(60^{\frac{1}{2}} - 2a)^2 - 2a^2 = -30$.
वर्ग का विस्तार करने पर:
$60 + 4a^2 - 4a(60^{\frac{1}{2}}) - 2a^2 = -30$.
समीकरण को सरल करने पर:
$2a^2 - 4\sqrt{60}a + 90 = 0$.
यह $a$ में एक द्विघात समीकरण है। मूलों का गुणनफल $a_1 a_2 = \frac{90}{2} = 45$ है।

(A) दिया गया समीकरण $|x^2-8x+15|-2x+7=0$ है।
स्थिति $1$: $x^2-8x+15 \geq 0$,जिसका अर्थ है $x \leq 3$ या $x \geq 5$।
समीकरण $x^2-8x+15-2x+7=0$ हो जाता है,अतः $x^2-10x+22=0$।
मूल $x = \frac{10 \pm \sqrt{100-88}}{2} = 5 \pm \sqrt{3}$ हैं।
चूंकि $5+\sqrt{3} \geq 5$ और $5-\sqrt{3} \approx 3.268$ ($x \leq 3$ या $x \geq 5$ में नहीं है),इसलिए केवल $x = 5+\sqrt{3}$ एक मान्य मूल है।
स्थिति $2$: $x^2-8x+15 < 0$,जिसका अर्थ है $3 < x < 5$।
समीकरण $-(x^2-8x+15)-2x+7=0$ हो जाता है,अतः $-x^2+8x-15-2x+7=0$,जो $-x^2+6x-8=0$ या $x^2-6x+8=0$ में सरल होता है।
गुणनखंड करने पर $(x-2)(x-4)=0$ प्राप्त होता है,अतः $x=2$ या $x=4$।
चूंकि $3 < x < 5$,इसलिए केवल $x=4$ एक मान्य मूल है।
सभी मूलों का योग $(5+\sqrt{3}) + 4 = 9+\sqrt{3}$ है।

(A) प्रथम समीकरण के लिए: $x^2-12x+[x]+31=0$.
कोई वास्तविक हल नहीं है,इसलिए $m=0$.
दूसरे समीकरण के लिए: $x^2-5|x+2|-4=0$.
$x \geq -2$ के लिए,$x^2-5x-14=0 \implies x=7, -2$.
$x < -2$ के लिए,$x^2+5x+6=0 \implies x=-3, -2$.
मूलों की संख्या $n=3$ है।
अतः $m^2+mn+n^2 = 0^2+0(3)+3^2 = 9$.

(D) दिया गया द्विघात समीकरण $x^2-70x+\lambda=0$ है जिसके मूल $\alpha, \beta \in \mathbb{N}$ हैं।
विएटा के सूत्रों के अनुसार,$\alpha+\beta=70$ और $\alpha\beta=\lambda$ है।
हमें दिया गया है कि $\frac{\lambda}{2} \notin \mathbb{N}$ और $\frac{\lambda}{3} \notin \mathbb{N}$,जिसका अर्थ है कि $\lambda$ का मान $2$ या $3$ से विभाज्य नहीं है।
$\lambda = \alpha(70-\alpha)$ होने के कारण,हम $\alpha$ के उन मानों की जाँच करते हैं जिनके लिए $\lambda$ का मान $2$ या $3$ से विभाज्य न हो।
$\alpha=5$ के लिए,$\lambda=325$ प्राप्त होता है,जो $2$ या $3$ से विभाज्य नहीं है। यह न्यूनतम मान है।
$\alpha=5, \beta=65, \lambda=325$ रखने पर,व्यंजक का मान:
$\frac{(2+8)(325+35)}{60} = \frac{10 \times 360}{60} = 60$.

(A) मान लीजिए $f(x) = (a+b-2c)x^2 + (b+c-2a)x + (c+a-2b)$.
गुणांकों का योग: $f(1) = (a+b-2c) + (b+c-2a) + (c+a-2b) = 0$.
चूंकि $f(1) = 0$,इसलिए $x = 1$ समीकरण का एक मूल है।
मान लीजिए मूल $1$ और $\alpha$ हैं। मूलों के गुणनफल के सूत्र से,$1 \cdot \alpha = \frac{c+a-2b}{a+b-2c}$.
अतः,$\alpha = \frac{c+a-2b}{a+b-2c}$.
स्थिति $(I)$: यदि $-1 < \alpha < 0$ है,तो $-1 < \frac{c+a-2b}{a+b-2c} < 0$. $0 < c < b < a$ दिए जाने पर इस असमिका को हल करने पर $b > \frac{a+c}{2}$ प्राप्त होता है। $a$ और $c$ का गुणोत्तर माध्य $\sqrt{ac}$ है और $\sqrt{ac} < \frac{a+c}{2}$ होता है,इसलिए $b$ गुणोत्तर माध्य नहीं हो सकता है।
स्थिति $(II)$: यदि $0 < \alpha < 1$ है,तो $0 < \frac{c+a-2b}{a+b-2c} < 1$. इसे हल करने पर $b < \frac{a+c}{2}$ प्राप्त होता है। चूंकि $\sqrt{ac} < b < \frac{a+c}{2}$ संभव है,इसलिए $b$,$a$ और $c$ का गुणोत्तर माध्य हो सकता है।
अतः,दोनों कथन सत्य हैं।

(B) दिया गया समीकरण $(a^2+b^2)x^2-2b(a+c)x+(b^2+c^2)=0$ है।
इसे $(ax-b)^2+(bx-c)^2=0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अतः $ax-b=0$ और $bx-c=0$,जिसका अर्थ है $x = b/a = c/b$.
त्रिभुज की असमिका के अनुसार $a+b > c$,$b+c > a$ और $c+a > b$.
$b = ax$ और $c = ax^2$ रखने पर:
$x^2 - x - 1 < 0$ और $x^2 + x - 1 > 0$.
अतः $\frac{\sqrt{5}-1}{2} < x < \frac{\sqrt{5}+1}{2}$.
यहाँ $\alpha = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$ और $\beta = \frac{\sqrt{5}+1}{2}$.
इसलिए $\alpha^2 + \beta^2 = 3$.
परिणामस्वरूप $12(\alpha^2+\beta^2) = 12(3) = 36$.

(D) दिया गया है कि $x^2+20x-2020=0$ के मूल $a, b$ हैं। विएटा के सूत्रों के अनुसार,$a+b = -20$ और $ab = -2020$ है।
दिया गया है कि $x^2-20x+2020=0$ के मूल $c, d$ हैं। विएटा के सूत्रों के अनुसार,$c+d = 20$ और $cd = 2020$ है।
हमें $E = ac(a-c)+ad(a-d)+bc(b-c)+bd(b-d)$ का मान ज्ञात करना है।
व्यंजक का विस्तार करने पर: $E = a^2c - ac^2 + a^2d - ad^2 + b^2c - bc^2 + b^2d - bd^2$.
पदों को समूहित करने पर: $E = a^2(c+d) + b^2(c+d) - c^2(a+b) - d^2(a+b)$.
$E = (c+d)(a^2+b^2) - (a+b)(c^2+d^2)$.
$a^2+b^2 = (a+b)^2 - 2ab$ और $c^2+d^2 = (c+d)^2 - 2cd$ का उपयोग करने पर:
$a^2+b^2 = (-20)^2 - 2(-2020) = 400 + 4040 = 4440$.
$c^2+d^2 = (20)^2 - 2(2020) = 400 - 4040 = -3640$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $E = (20)(4440) - (-20)(-3640)$.
$E = 88800 - 72800 = 16000$.

(A) दिया गया समीकरण $3x^2 + x - 1 = 4|x^2 - 1|$ है।
स्थिति $1$: यदि $x \in [-1, 1]$,तो $|x^2 - 1| = 1 - x^2$ होगा।
समीकरण $3x^2 + x - 1 = 4 - 4x^2 \Rightarrow 7x^2 + x - 5 = 0$ बन जाता है।
माना $f(x) = 7x^2 + x - 5$ है। यहाँ $f(-1) = 1$ और $f(1) = 3$ है। चूँकि $f(0) = -5 < 0$ है,इसलिए इस द्विघात समीकरण के $(-1, 1)$ अंतराल में दो वास्तविक मूल हैं।
स्थिति $2$: यदि $x \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty)$,तो $|x^2 - 1| = x^2 - 1$ होगा।
समीकरण $3x^2 + x - 1 = 4x^2 - 4 \Rightarrow x^2 - x - 3 = 0$ बन जाता है।
इसके मूल $x = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{2}$ हैं,जो दोनों अंतराल में स्थित हैं।
अतः,कुल $4$ वास्तविक मूल हैं।

(B) दिया गया द्विघात समीकरण $2x^2 + (\cos \theta)x - 1 = 0$ है।
मूलों का योग $\alpha_\theta + \beta_\theta = -\frac{\cos \theta}{2}$ और मूलों का गुणनफल $\alpha_\theta \beta_\theta = -\frac{1}{2}$ है।
हमें $\alpha_\theta^4 + \beta_\theta^4 = (\alpha_\theta^2 + \beta_\theta^2)^2 - 2(\alpha_\theta \beta_\theta)^2$ ज्ञात करना है।
चूँकि $\alpha_\theta^2 + \beta_\theta^2 = (\alpha_\theta + \beta_\theta)^2 - 2\alpha_\theta \beta_\theta = \frac{\cos^2 \theta}{4} + 1$ है।
अतः,$\alpha_\theta^4 + \beta_\theta^4 = (\frac{\cos^2 \theta}{4} + 1)^2 - 2(-\frac{1}{2})^2 = (\frac{\cos^2 \theta}{4} + 1)^2 - \frac{1}{2}$।
माना $u = \cos^2 \theta$,जहाँ $u \in [0, 1]$ है।
$f(u) = (\frac{u}{4} + 1)^2 - \frac{1}{2}$ लेने पर।
$u = 0$ के लिए,$f(0) = (1)^2 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} = m$।
$u = 1$ के लिए,$f(1) = (\frac{1}{4} + 1)^2 - \frac{1}{2} = \frac{25}{16} - \frac{8}{16} = \frac{17}{16} = M$।
इसलिए,$16(M + m) = 16(\frac{17}{16} + \frac{1}{2}) = 25$।

(C) माना $f(x) = x^2+3x+2 = (x+1)(x+2)$.
माना $g(x) = \min \{|x-3|, |x+2|\}$.
हमें $y = f(x)$ और $y = g(x)$ के प्रतिच्छेदन बिंदुओं की संख्या ज्ञात करनी है।
$x < -2$ के लिए,$f(x) > 0$ और $g(x) = |x-3| = 3-x$. $x^2+3x+2 = 3-x$ को हल करने पर $x^2+4x-1 = 0$ प्राप्त होता है,अतः $x = -2 \pm \sqrt{5}$. चूँकि $x < -2$,इसलिए $x = -2-\sqrt{5}$ एक हल है।
$-2 \le x < 0.5$ के लिए,$g(x) = |x+2| = x+2$. $x^2+3x+2 = x+2$ को हल करने पर $x^2+2x = 0$ प्राप्त होता है,अतः $x=0$ या $x=-2$। दोनों अंतराल में हैं।
$x \ge 0.5$ के लिए,$g(x) = |x-3|$। परवलय $f(x)$ वर्धमान है और $g(x)$ घटता या बढ़ता है,लेकिन $f(x)$ बहुत तेजी से बढ़ता है,इसलिए कोई अन्य हल नहीं है।
हल $x = -2-\sqrt{5}$,$x = -2$,और $x = 0$ हैं। अतः,कुल $3$ वास्तविक हल हैं।

(C) दिया गया समीकरण: $x^2+|2x-3|-4=0$.
स्थिति $I$: $x \geq \frac{3}{2}$.
समीकरण $x^2 + 2x - 3 - 4 = 0$ हो जाता है,जो $x^2 + 2x - 7 = 0$ है।
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर,$x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 4(1)(-7)}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{32}}{2} = -1 \pm 2\sqrt{2}$.
चूंकि $x \geq \frac{3}{2}$,हम $x = 2\sqrt{2} - 1$ को स्वीकार करते हैं।
स्थिति $II$: $x < \frac{3}{2}$.
समीकरण $x^2 - (2x - 3) - 4 = 0$ हो जाता है,जो $x^2 - 2x - 1 = 0$ है।
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर,$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4(1)(-1)}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$.
चूंकि $x < \frac{3}{2}$,हम $x = 1 + \sqrt{2}$ और $x = 1 - \sqrt{2}$ दोनों को स्वीकार करते हैं।
मूल $2\sqrt{2}-1$,$1+\sqrt{2}$,और $1-\sqrt{2}$ हैं।
वर्गों का योग $= (2\sqrt{2}-1)^2 + (1+\sqrt{2})^2 + (1-\sqrt{2})^2$.
$= (8 - 4\sqrt{2} + 1) + (1 + 2\sqrt{2} + 2) + (1 - 2\sqrt{2} + 2)$.
$= 9 - 4\sqrt{2} + 3 + 2\sqrt{2} + 3 - 2\sqrt{2} = 15 - 4\sqrt{2}$.