Mix Examples-Quadratic Equations and Inequations Questions in Hindi

(B) $|x-2|^2+|x-2|-2=0$ समीकरण के लिए:
माना $t = |x-2|$,तब $t^2+t-2=0$.
$(t+2)(t-1)=0 \Rightarrow t=1$ (क्योंकि $t \geq 0$).
$|x-2|=1 \Rightarrow x-2=1$ या $x-2=-1$.
$x=3, 1$.
मूलों के वर्गों का योग $= 3^2+1^2 = 9+1 = 10$.
$x^2-2|x-3|-5=0$ समीकरण के लिए:
स्थिति-$I$: $x \geq 3$,तो $x^2-2(x-3)-5=0$ $\Rightarrow x^2-2x+1=0$ $\Rightarrow (x-1)^2=0$ $\Rightarrow x=1$.
चूंकि $1 < 3$,यह मान्य नहीं है।
स्थिति-$II$: $x < 3$,तो $x^2-2(-(x-3))-5=0$ $\Rightarrow x^2+2x-6-5=0$ $\Rightarrow x^2+2x-11=0$.
मूल $\alpha, \beta = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 4(1)(-11)}}{2} = -1 \pm 2\sqrt{3}$.
दोनों मूल $3$ से छोटे हैं,इसलिए दोनों मान्य हैं।
मूलों के वर्गों का योग $= (\alpha+\beta)^2 - 2\alpha\beta = (-2)^2 - 2(-11) = 4 + 22 = 26$.
कुल योग $= 10 + 26 = 36$.

(B) माना $y = \frac{x^2-x+1}{x^2+x+1}$.
तब $y(x^2+x+1) = x^2-x+1$,जिसका अर्थ है $(y-1)x^2 + (y+1)x + (y-1) = 0$.
चूंकि $x$ वास्तविक है,इसलिए विविक्तकर $D \ge 0$ होगा।
$D = (y+1)^2 - 4(y-1)^2 \ge 0$.
$(y+1)^2 - [2(y-1)]^2 \ge 0$.
$(y+1-2y+2)(y+1+2y-2) \ge 0$.
$(3-y)(3y-1) \ge 0$.
$(y-3)(3y-1) \le 0$.
अतः,$\frac{1}{3} \le y \le 3$.
अधिकतम मान $3$ है और न्यूनतम मान $\frac{1}{3}$ है।
उनका अंतर $3 - \frac{1}{3} = \frac{9-1}{3} = \frac{8}{3}$ है।

(D) दिया गया है $2 \sin^2 x + 3 \sin x - 2 > 0$.
गुणनखंड करने पर,$(2 \sin x - 1)(\sin x + 2) > 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $\sin x + 2 > 0$ है,इसलिए $2 \sin x - 1 > 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $\sin x > \frac{1}{2}$।
इससे $x \in (\frac{\pi}{6}, \frac{5 \pi}{6})$ प्राप्त होता है।
साथ ही,$x^2 - x - 2 < 0$.
गुणनखंड करने पर $(x - 2)(x + 1) < 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $-1 < x < 2$।
प्रतिच्छेदन ज्ञात करने के लिए,हम जानते हैं कि $\frac{\pi}{6} \approx 0.52$ और $\frac{5 \pi}{6} \approx 2.61$ है।
चूंकि $2 < \frac{5 \pi}{6}$,इसलिए $(\frac{\pi}{6}, \frac{5 \pi}{6})$ और $(-1, 2)$ का प्रतिच्छेदन $(\frac{\pi}{6}, 2)$ है।

(C) समीकरण $ax + by = 1$ एक रैखिक डायोफेंटाइन समीकरण है।
बेज़ौट की प्रमेय के अनुसार,समीकरण $ax + by = c$ के पूर्णांक हल तभी संभव हैं जब $\gcd(a, b)$,$c$ को विभाजित करे।
यहाँ $c = 1$ है,इसलिए $\gcd(a, b) = 1$ होना आवश्यक है। अतः,विकल्प $(d)$ सत्य है।
विकल्प $(c)$ अर्थात $\gcd(b, y) = 1$ का होना आवश्यक नहीं है। उदाहरण के लिए,यदि $a=1, b=2, x=1, y=0$ लें,तो $1(1) + 2(0) = 1$ प्राप्त होता है। यहाँ $\gcd(b, y) = \gcd(2, 0) = 2 \neq 1$ है। अतः,विकल्प $(c)$ सत्य नहीं है।

(D) दिया गया है $a \equiv b \pmod{m}$,जिसका अर्थ है $m \mid (a-b)$.
$(i)$ $(a+x) \equiv (b+x) \pmod{m}$ के लिए,$(a+x) - (b+x) = a-b$. चूंकि $m \mid (a-b)$,यह सही है।
(ii) $(a-x) \equiv (b-x) \pmod{m}$ के लिए,$(a-x) - (b-x) = a-b$. चूंकि $m \mid (a-b)$,यह सही है।
(iii) $ax \equiv bx \pmod{m}$ के लिए,$ax - bx = x(a-b)$. चूंकि $m \mid (a-b)$,इसलिए $m \mid x(a-b)$,अतः यह सही है।
(iv) $(a+x) \equiv (b \div x) \pmod{m}$ के लिए,यह सामान्यतः सत्य नहीं है क्योंकि मॉड्यूलर अंकगणित में भाग को जोड़ या गुणा की तरह परिभाषित नहीं किया गया है,और $b \div x$ एक पूर्णांक भी नहीं हो सकता है। अतः,यह कथन गलत है।

(A) हम जानते हैं कि $2^2 = 4 \equiv -1 \pmod{5}$ है।
अब,$2^{2010} = (2^2)^{1005} \equiv (-1)^{1005} \pmod{5}$ है।
चूंकि $1005$ एक विषम संख्या है,इसलिए $(-1)^{1005} = -1$ होगा।
अतः,$2^{2010} \equiv -1 \equiv 4 \pmod{5}$ है।
दिए गए समीकरण $2^{2010} \equiv 3x \pmod{5}$ में $2^{2010} \equiv 4 \pmod{5}$ रखने पर:
$4 \equiv 3x \pmod{5}$ प्राप्त होता है।
$x$ का मान ज्ञात करने के लिए,दोनों पक्षों को $3$ के मॉड्यूलर व्युत्क्रम $2$ से गुणा करें (क्योंकि $3 \times 2 = 6 \equiv 1 \pmod{5}$):
$2 \times 4 \equiv 2 \times 3x \pmod{5}$
$8 \equiv 6x \pmod{5}$
$3 \equiv x \pmod{5}$।
अतः,न्यूनतम धनात्मक पूर्णांक $x = 3$ है।

(C) माना $f(x) = \frac{x^2+x+a}{x^2-x+a}$। दी गई असमिका $\frac{1}{2} \leq f(x) \leq 2$ है।
$f(x) \leq 2$ के लिए:
$\frac{x^2+x+a}{x^2-x+a} \leq 2 \implies x^2+x+a \leq 2x^2-2x+2a$
$\implies x^2-3x+a \geq 0$।
सभी $x$ के लिए इसके सत्य होने हेतु,विविक्तकर $D \leq 0$ होना चाहिए:
$(-3)^2 - 4(1)(a) \leq 0 \implies 9 - 4a \leq 0 \implies a \geq \frac{9}{4}$।
$f(x) \geq \frac{1}{2}$ के लिए:
$\frac{x^2+x+a}{x^2-x+a} \geq \frac{1}{2} \implies 2x^2+2x+2a \geq x^2-x+a$
$\implies x^2+3x+a \geq 0$।
सभी $x$ के लिए इसके सत्य होने हेतु,विविक्तकर $D \leq 0$ होना चाहिए:
$(3)^2 - 4(1)(a) \leq 0 \implies 9 - 4a \leq 0 \implies a \geq \frac{9}{4}$।
अतः,$a = \frac{9}{4}$।

(A) दिया गया है कि $a, b, c$ भिन्न धनात्मक वास्तविक संख्याएँ हैं और $a^2+b^2+c^2=1$ है।
हम जानते हैं कि $(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)$।
चूँकि $a, b, c > 0$ और वे भिन्न हैं,इसलिए $(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 > 0$ होगा।
इसका विस्तार करने पर,$2(a^2+b^2+c^2) - 2(ab+bc+ca) > 0$ प्राप्त होता है।
$a^2+b^2+c^2=1$ रखने पर,$2(1) - 2(ab+bc+ca) > 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $2 > 2(ab+bc+ca)$,या $ab+bc+ca < 1$।
अतः,$ab+bc+ca$ का मान $1$ से कम है।

(C) दिया गया है,$x = \frac{1}{2} \left( \sqrt{7} + \frac{1}{\sqrt{7}} \right)$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$x^2 = \frac{1}{4} \left( 7 + \frac{1}{7} + 2 \right) = \frac{1}{4} \left( \frac{64}{7} \right) = \frac{16}{7}$.
अब,$x^2 - 1 = \frac{16}{7} - 1 = \frac{9}{7}$,इसलिए $\sqrt{x^2 - 1} = \frac{3}{\sqrt{7}}$.
इन मानों को $\frac{\sqrt{x^2 - 1}}{x - \sqrt{x^2 - 1}}$ में रखने पर:
$= \frac{\frac{3}{\sqrt{7}}}{\frac{1}{2} \left( \sqrt{7} + \frac{1}{\sqrt{7}} \right) - \frac{3}{\sqrt{7}}}$
$= \frac{\frac{3}{\sqrt{7}}}{\frac{4}{\sqrt{7}} - \frac{3}{\sqrt{7}}} = \frac{\frac{3}{\sqrt{7}}}{\frac{1}{\sqrt{7}}} = 3$.

(A) दिया गया समीकरण $(3 + \alpha) x^2 + (6 + 2 \alpha) x + (5 + 2 \alpha) = 0$ है।
मूलों के सम्मिश्र होने के लिए,विविक्तकर $D < 0$ होना चाहिए।
$D = (2 \alpha + 6)^2 - 4 (\alpha + 3) (2 \alpha + 5) < 0$.
$4(\alpha + 3)^2 - 4(\alpha + 3)(2 \alpha + 5) < 0$.
$4$ से भाग देने पर: $(\alpha + 3)(\alpha + 3 - 2 \alpha - 5) < 0$.
$(\alpha + 3)(-\alpha - 2) < 0 \Rightarrow (\alpha + 3)(\alpha + 2) > 0$.
इसका अर्थ है $\alpha < -3$ या $\alpha > -2$।
$\alpha > L$ या $\alpha < M$ से तुलना करने पर,हमें $L = -2$ और $M = -3$ प्राप्त होता है।
प्रतिबंध $L y^2 + M y + r < 0$ का रूप $-2 y^2 - 3 y + r < 0$ हो जाता है।
सभी $y \in R$ के लिए इसे सत्य होने हेतु,$y^2$ का गुणांक ऋणात्मक होना चाहिए (जो $-2 < 0$ है) और $D < 0$ होना चाहिए।
$D = (-3)^2 - 4(-2)(r) < 0$.
$9 + 8 r < 0$ $\Rightarrow 8 r < -9$ $\Rightarrow r < -\frac{9}{8} = -1.125$.
$r$ से अधिक न होने वाला सबसे बड़ा पूर्णांक $[r] = [-1.125] = -2$ है।

(A) माना $t = \sqrt{\frac{1-y}{y}}$. तब समीकरण $t + \frac{1}{t} = \frac{5}{2}$ बन जाता है।
$t$ के लिए हल करने पर,हमें $2t^2 - 5t + 2 = 0$ प्राप्त होता है,जिससे $t = 2$ या $t = \frac{1}{2}$ मिलता है।
यदि $\sqrt{\frac{1-y}{y}} = 2$ है,तो $\frac{1-y}{y} = 4$ $\Rightarrow 1-y = 4y$ $\Rightarrow y = \frac{1}{5}$।
यदि $\sqrt{\frac{1-y}{y}} = \frac{1}{2}$ है,तो $\frac{1-y}{y} = \frac{1}{4}$ $\Rightarrow 4-4y = y$ $\Rightarrow y = \frac{4}{5}$।
अतः,$\alpha = \frac{1}{5}$ और $\beta = \frac{4}{5}$ (चूंकि $\beta > \alpha$)।
तब $\alpha + \beta = 1$ और $\alpha \beta = \frac{4}{25}$।
समीकरण $(\alpha+\beta) x^4 - 25 \alpha \beta x^2 + (\gamma + \beta - \alpha) = 0$ का रूप $x^4 - 4x^2 + (\gamma + \frac{3}{5}) = 0$ हो जाता है।
माना $u = x^2$. तब $u^2 - 4u + (\gamma + \frac{3}{5}) = 0$।
वास्तविक मूलों के लिए,$u$ का मान गैर-ऋणात्मक होना चाहिए। विविक्तकर $D = 16 - 4(\gamma + \frac{3}{5}) \ge 0$ $\Rightarrow 4 - \gamma - \frac{3}{5} \ge 0$ $\Rightarrow \gamma \le \frac{17}{5} = 3.4$।
साथ ही,कम से कम एक गैर-ऋणात्मक मूल $u$ के लिए,मूलों का योग $4 > 0$ और गुणनफल $\gamma + \frac{3}{5} \ge 0 \Rightarrow \gamma \ge -0.6$ होना चाहिए।
अतः,$\gamma \in [-0.6, 3.4]$। विकल्पों में से,$\frac{1}{2} = 0.5$ इस सीमा में है।

(C) दी गई असमिका $-1 < \frac{2 x^2+a x+2}{x^2+x+1} < 3$ सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए है।
चूंकि $x^2+x+1 > 0$ है,हम असमिका को दो भागों में विभाजित कर सकते हैं।
भाग $1$: $-1 < \frac{2 x^2+a x+2}{x^2+x+1} \Rightarrow 3 x^2+(a+1) x+3 > 0$.
सभी $x$ के लिए यह सत्य होने हेतु,विविक्तकर $D < 0$ होना चाहिए।
$(a+1)^2 - 36 < 0$ $\Rightarrow (a-5)(a+7) < 0$ $\Rightarrow a \in (-7, 5) \dots (i)$.
भाग $2$: $\frac{2 x^2+a x+2}{x^2+x+1} < 3 \Rightarrow x^2-(a-3) x+1 > 0$.
सभी $x$ के लिए यह सत्य होने हेतु,विविक्तकर $D < 0$ होना चाहिए।
$(a-3)^2 - 4 < 0$ $\Rightarrow (a-5)(a-1) < 0$ $\Rightarrow a \in (1, 5) \dots (ii)$.
$(i)$ और $(ii)$ का प्रतिच्छेदन लेने पर,$a \in (1, 5)$ प्राप्त होता है।

(D) हम जानते हैं कि $(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 \geq 0$ होता है।
इसका विस्तार करने पर,हमें $2(a^2+b^2+c^2) - 2(ab+bc+ca) \geq 0$ प्राप्त होता है।
चूँकि $a^2+b^2+c^2 = 1$,इसलिए $2(1) - 2(ab+bc+ca) \geq 0$,जिसका अर्थ है $ab+bc+ca \leq 1$।
साथ ही,हम जानते हैं कि $(a+b+c)^2 \geq 0$ होता है।
इसका विस्तार करने पर,हमें $a^2+b^2+c^2 + 2(ab+bc+ca) \geq 0$ प्राप्त होता है।
$a^2+b^2+c^2 = 1$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $1 + 2(ab+bc+ca) \geq 0$ मिलता है,जिसका अर्थ है $ab+bc+ca \geq -\frac{1}{2}$।
अतः,$ab+bc+ca$ का परिसर $[-\frac{1}{2}, 1]$ है।
चरम मानों का समुच्चय $\{\frac{-1}{2}, 1\}$ है।

(C) मान लीजिए कि $A.P.$ में चार संख्याएँ $p=a-3d, q=a-d, r=a+d, s=a+3d$ हैं।
चूँकि $p$ और $q$,$x^2-2x+A=0$ के मूल हैं,इसलिए $p+q=2$ और $pq=A$ है।
चूँकि $r$ और $s$,$x^2-18x+B=0$ के मूल हैं,इसलिए $r+s=18$ और $rs=B$ है।
मूलों का योग करने पर: $(a-3d)+(a-d)+(a+d)+(a+3d) = 4a = 2+18 = 20$,अतः $a=5$।
$p+q=2$ से,$(a-3d)+(a-d) = 2a-4d = 2$ प्राप्त होता है।
$a=5$ रखने पर,$10-4d=2$ प्राप्त होता है,इसलिए $4d=8$,जिसका अर्थ है $d=2$।
मूल $p=5-3(2)=-1$,$q=5-2=3$,$r=5+2=7$,और $s=5+3(2)=11$ हैं।
अतः,$A = pq = (-1)(3) = -3$ और $B = rs = (7)(11) = 77$।

(D) दिया गया समीकरण: $6x^6-25x^5+31x^4-31x^2+25x-6=0$
पदों को समूहित करने पर: $6(x^6-1)-25x(x^4-1)+31x^2(x^2-1)=0$
$(x^2-1)$ को उभयनिष्ठ लेने पर: $(x^2-1)(6x^4-25x^3+37x^2-25x+6)=0$
$x^2-1=0$ से मूल $x=1, -1$ प्राप्त होते हैं।
$6x^4-25x^3+37x^2-25x+6=0$ को $x^2$ से विभाजित करने पर: $6(x^2+\frac{1}{x^2})-25(x+\frac{1}{x})+37=0$
माना $t = x+\frac{1}{x}$,तो $6(t^2-2)-25t+37=0 \Rightarrow 6t^2-25t+25=0$
$(2t-5)(3t-5)=0 \Rightarrow t=\frac{5}{2}$ या $t=\frac{5}{3}$
स्थिति $1$: $x+\frac{1}{x}=\frac{5}{2}$ $\Rightarrow 2x^2-5x+2=0$ $\Rightarrow (2x-1)(x-2)=0$ $\Rightarrow x=2, \frac{1}{2}$
स्थिति $2$: $x+\frac{1}{x}=\frac{5}{3} \Rightarrow 3x^2-5x+3=0$. विविक्तकर $D = 25-36 = -11 < 0$,अतः कोई वास्तविक मूल नहीं है।
परिमेय मूल $1, -1, 2, \frac{1}{2}$ हैं।
योग $= 1-1+2+\frac{1}{2} = 2.5$.

(D) दिया गया है $\phi(x) = \frac{x}{(x^2+1)(x+1)}$.
हमें $\phi(a) \phi(b) \phi(c) = \frac{abc}{(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)(a+1)(b+1)(c+1)}$ ज्ञात करना है।
समीकरण $x^3 - 3x + \lambda = 0$ के लिए,हमारे पास है:
$a+b+c = 0$,$ab+bc+ca = -3$,और $abc = -\lambda$.
पहला,$(a+1)(b+1)(c+1) = abc + (ab+bc+ca) + (a+b+c) + 1 = -\lambda - 3 + 0 + 1 = -\lambda - 2 = -(\lambda+2)$.
दूसरा,$(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1) = (a^2b^2+a^2+b^2+1)(c^2+1) = a^2b^2c^2 + a^2b^2 + a^2c^2 + a^2 + b^2c^2 + b^2 + c^2 + 1$.
$a^2+b^2+c^2 = (a+b+c)^2 - 2(ab+bc+ca) = 0^2 - 2(-3) = 6$ का उपयोग करते हुए।
$a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2 = (ab+bc+ca)^2 - 2abc(a+b+c) = (-3)^2 - 2(-\lambda)(0) = 9$ का उपयोग करते हुए।
अतः,$(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1) = (abc)^2 + (a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2) + (a^2+b^2+c^2) + 1 = \lambda^2 + 9 + 6 + 1 = \lambda^2 + 16$.
इस प्रकार,$\phi(a) \phi(b) \phi(c) = \frac{-\lambda}{(\lambda^2+16)(-(\lambda+2))} = \frac{\lambda}{(\lambda+2)(\lambda^2+16)}$.

(A) दिया गया समीकरण: $x^5-5 x^4+9 x^3-9 x^2+5 x-1=0$.
$x=1$ समीकरण का एक मूल है।
$(x-1)$ से भाग देने पर,हमें $(x-1)(x^4-4 x^3+5 x^2-4 x+1)=0$ प्राप्त होता है।
$x^4-4 x^3+5 x^2-4 x+1=0$ के लिए,$x^2$ से भाग देने पर:
$x^2-4 x+5-\frac{4}{x}+\frac{1}{x^2}=0
$ $\Rightarrow (x^2+\frac{1}{x^2})-4(x+\frac{1}{x})+5=0
$ $\Rightarrow (x+\frac{1}{x})^2-2-4(x+\frac{1}{x})+5=0
$ $\Rightarrow (x+\frac{1}{x})^2-4(x+\frac{1}{x})+3=0$.
माना $y = x+\frac{1}{x}$,तब $y^2-4y+3=0
$ $\Rightarrow (y-1)(y-3)=0
$ $\Rightarrow y=1, 3$.
स्थिति $1$: $x+\frac{1}{x}=1 \Rightarrow x^2-x+1=0$ (मूल सम्मिश्र हैं)।
स्थिति $2$: $x+\frac{1}{x}=3 \Rightarrow x^2-3x+1=0$ (मूल अपरिमेय हैं)।
अतः,$\alpha+\beta=3$ और $\alpha \beta=1$.
$(\alpha+\beta) x^2+2 \alpha \beta x-\alpha \beta=0$ में मान रखने पर:
$3x^2+2x-1=0
$ $\Rightarrow (3x-1)(x+1)=0
$ $\Rightarrow x=-1, \frac{1}{3}$.

(A) $xy+l(x+y)+m=0$ से,$x(y+l) = -(ly+m)$,अतः $x = -\frac{ly+m}{y+l}$. इसे $x^2+\alpha x+\beta=0$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$\left(-\frac{ly+m}{y+l}\right)^2 + \alpha\left(-\frac{ly+m}{y+l}\right) + \beta = 0$
$(ly+m)^2 - \alpha(ly+m)(y+l) + \beta(y+l)^2 = 0$
$(l^2y^2 + m^2 + 2lmy) - \alpha(ly^2 + l^2y + my + ml) + \beta(y^2 + 2ly + l^2) = 0$
$(l^2 - \alpha l + \beta)y^2 + (2lm - \alpha l^2 - \alpha m + 2\beta l)y + (m^2 - \alpha ml + \beta l^2) = 0$
चूँकि इस समीकरण के मूल $x^2 + \alpha x + \beta = 0$ के समान हैं,इसलिए गुणांकों का अनुपात समान होना चाहिए:
$\frac{l^2 - \alpha l + \beta}{1} = \frac{2lm - \alpha l^2 - \alpha m + 2\beta l}{\alpha} = \frac{m^2 - \alpha ml + \beta l^2}{\beta}$
पहले और तीसरे पद की तुलना करने पर: $\beta(l^2 - \alpha l + \beta) = m^2 - \alpha ml + \beta l^2$
$\beta l^2 - \beta \alpha l + \beta^2 = m^2 - \alpha ml + \beta l^2$
$\beta^2 - \beta \alpha l - m^2 + \alpha ml = 0$
$\beta^2 - \beta m + \beta m - \beta \alpha l - m^2 + \alpha ml = 0$
$\beta(\beta - m) + (m - \alpha l)(\beta - m) = 0$
$(\beta - m)(\beta + m - \alpha l) = 0$
अतः,$\beta = m$ या $\beta = \alpha l - m$.

(C) द्विघात व्यंजक $f(x) = (a-3)x^2 + 12x + (a+6)$ के सभी $x \in R$ के लिए धनात्मक होने हेतु,$x^2$ का गुणांक धनात्मक होना चाहिए और विविक्तकर $D$ ऋणात्मक होना चाहिए।
$1$. $a-3 > 0 \implies a > 3$.
$2$. $D = 12^2 - 4(a-3)(a+6) < 0$.
$144 - 4(a^2 + 3a - 18) < 0$
$36 - (a^2 + 3a - 18) < 0$
$36 - a^2 - 3a + 18 < 0$
$-a^2 - 3a + 54 < 0$
$a^2 + 3a - 54 > 0$
$(a+9)(a-6) > 0$.
चूंकि $a > 3$ है,इसलिए $a > 6$ की शर्त पूरी होनी चाहिए। अतः,$a \in (6, \infty)$,जिससे $\ell = 6$ प्राप्त होता है।
$a$ का न्यूनतम धनात्मक पूर्णांक मान $\alpha = 7$ है।
अब,$\alpha = 7$ और $\ell = 6$ को समीकरण $(\alpha-3)x^2 + 12x + (\ell+2) = 0$ में रखने पर:
$(7-3)x^2 + 12x + (6+2) = 0$
$4x^2 + 12x + 8 = 0$
$4$ से भाग देने पर: $x^2 + 3x + 2 = 0$
$(x+1)(x+2) = 0$.
मूल $x = -1, -2$ हैं।

(B) दिया गया है कि $f(x)$,$\left(-\infty, -\frac{5}{3}\right) \cup (3, \infty)$ में ऋणात्मक है और $\left(-\frac{5}{3}, 3\right)$ में धनात्मक है,इसलिए हम $f(x) = -k_1(x + \frac{5}{3})(x - 3)$ लिख सकते हैं,जहाँ $k_1 > 0$ है। इसे $f(x) = k_1(x + \frac{5}{3})(3 - x)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
दिया गया है कि $g(x)$,$\left(3, \frac{9}{2}\right)$ में ऋणात्मक है और शेष भागों में धनात्मक है,इसलिए हम $g(x) = k_2(x - 3)(x - \frac{9}{2})$ लिख सकते हैं,जहाँ $k_2 > 0$ है।
अब,गुणनफल $P(x) = f(x)g(x) = k_1 k_2 (x + \frac{5}{3})(3 - x)(x - 3)(x - \frac{9}{2})$ पर विचार करें।
चूँकि $(3 - x) = -(x - 3)$,इसलिए $P(x) = -k_1 k_2 (x + \frac{5}{3})(x - 3)^2 (x - \frac{9}{2})$ है।
मान लीजिए $K = k_1 k_2 > 0$ है। तो $P(x) = -K (x + \frac{5}{3})(x - 3)^2 (x - \frac{9}{2})$ है।
मूल $x = -\frac{5}{3}, 3, \frac{9}{2}$ हैं। ध्यान दें कि $x = 3$ एक $2$ की बहुलता वाला मूल है,इसलिए $x = 3$ पर चिह्न नहीं बदलता है।
$x > \frac{9}{2}$ के लिए,$P(x)$ ऋणात्मक है। $3 < x < \frac{9}{2}$ के लिए,$P(x)$ धनात्मक है। $x < 3$ (और $x > -\frac{5}{3}$) के लिए,$P(x)$ धनात्मक है।
इस प्रकार,$[0, 5]$ अंतराल में,$P(x)$,$[0, 3) \cup (3, \frac{9}{2})$ में धनात्मक है और $(\frac{9}{2}, 5]$ में ऋणात्मक है। सही विकल्प $B$ है।

(A) यह दिया गया है कि $ax^2 + bx + c = 0$ का कोई वास्तविक मूल नहीं है,इसलिए विविक्तकर $D = b^2 - 4ac < 0$ है।
चूंकि $ax^2 + bx + c$ का कोई वास्तविक मूल नहीं है,व्यंजक $f(x) = ax^2 + bx + c$ का मान सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए समान चिह्न का होना चाहिए।
$4a + 2b + c > 0$ दिया गया है,इसलिए $f(2) > 0$,जिसका अर्थ है कि $a > 0$ और सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $f(x) > 0$ है।
चूंकि सभी $x$ के लिए $f(x) > 0$ है,इसलिए $f(0) = c > 0$ और $f(1) = a + b + c > 0$ है।
हमें $f(2) = 4a + 2b + c > 0$ दिया गया है।
अब,$f(x) = ax^2 + bx + c$ पर विचार करें। चूंकि $a > 0$,सभी $x$ के लिए $f(x) > 0$ है।
विशेष रूप से,$f(1) = a + b + c > 0 \implies a + c > -b$।
साथ ही,$f(0) = c > 0$ है।
व्यंजक $(c+a)(c+b)$ पर विचार करें।
$a > 0$ और $f(x) > 0$ होने के कारण,यह सिद्ध किया जा सकता है कि $(c+a)(c+b) > ab$ है।

(D) माना $y = \frac{x^2+4x+1}{x^2+x+1}$.
तब $y(x^2+x+1) = x^2+4x+1$,जिसका अर्थ है $(y-1)x^2 + (y-4)x + (y-1) = 0$.
चूंकि $x$ वास्तविक है,इसलिए विविक्तकर $D \ge 0$.
$D = (y-4)^2 - 4(y-1)^2 \ge 0$.
$(y-4)^2 - [2(y-1)]^2 \ge 0$.
$(y-4-2y+2)(y-4+2y-2) \ge 0$.
$(-y-2)(3y-6) \ge 0$.
$(y+2)(3y-6) \le 0$.
$(y+2)(y-2) \le 0$.
अतः,$-2 \le y \le 2$.
न्यूनतम मान $-2$ है और अधिकतम मान $2$ है।
अधिकतम और न्यूनतम मानों का योग $2 + (-2) = 0$ है।

(D) माना $y = \frac{11 x^2+12 x+6}{x^2+4 x+2}$.
$(11-y) x^2+(12-4 y) x+(6-2 y)=0$.
$x$ के वास्तविक होने के लिए,विविक्तकर $D \geq 0$.
$(12-4 y)^2-4(11-y)(6-2 y) \geq 0$.
$(y-3)(y+5) \geq 0$.
अतः,$y \leq -5$ या $y \geq 3$.
दिया गया है कि $\frac{11 x^2+12 x+6}{x^2+4 x+2} \notin (-5, 3]$,इसलिए $a = -5$ और $b = 3$.
हमें $x$ का मान ज्ञात करना है जिसके लिए $\frac{11 x^2+12 x+6}{x^2+4 x+2} = 3 - (-5) + 3 = 11$.
$11 x^2+12 x+6 = 11(x^2+4 x+2)$.
$12 x+6 = 44 x+22$.
$32 x = -16$.
$x = -\frac{1}{2}$.

(B) माना $f(x) = y = \frac{x^2-2x+3}{x^2-4x+7}$.
$y(x^2-4x+7) = x^2-2x+3$
$(y-1)x^2 + (2-4y)x + (7y-3) = 0$.
चूंकि $x$ वास्तविक है,विविक्तकर $D \geq 0$:
$(2-4y)^2 - 4(y-1)(7y-3) \geq 0$
$-3y^2 + 6y - 2 \geq 0$
$3y^2 - 6y + 2 \leq 0$.
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर,$y = 1 \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$.
अतः,न्यूनतम मान $1 - \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{3-\sqrt{3}}{3}$ है।

(A) माना $y = \frac{x^2+2x+5}{x^2+4x+10}$.
चूंकि $x^2+4x+10 = (x+2)^2+6 > 0$,हम लिख सकते हैं:
$y(x^2+4x+10) = x^2+2x+5$
$(y-1)x^2 + (4y-2)x + (10y-5) = 0$.
$x \in \mathbb{R}$ के लिए,विविक्तकर $D \geq 0$:
$D = (4y-2)^2 - 4(y-1)(10y-5) \geq 0$
$4(2y-1)^2 - 4(y-1)(5)(2y-1) \geq 0$
$4(2y-1) [ (2y-1) - 5(y-1) ] \geq 0$
$4(2y-1)(4-3y) \geq 0$
$(2y-1)(3y-4) \leq 0$.
अतः,$\frac{1}{2} \leq y \leq \frac{4}{3}$.
न्यूनतम मान $\frac{1}{2}$ है.

(A) $f(x) = x^2 + 2bx + 2c^2$ एक ऊपर की ओर खुलने वाला परवलय है। इसका न्यूनतम मान $x = -b$ पर प्राप्त होता है,जो $f(-b) = 2c^2 - b^2$ है।
$g(x) = -x^2 - 2cx + b^2$ एक नीचे की ओर खुलने वाला परवलय है। इसका अधिकतम मान $x = -c$ पर प्राप्त होता है,जो $g(-c) = c^2 + b^2$ है।
दिया गया है कि $f(x)$ का न्यूनतम मान $g(x)$ के अधिकतम मान से अधिक है:
$2c^2 - b^2 > c^2 + b^2$
$c^2 > 2b^2$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,हमें $|c| > \sqrt{2}|b|$ प्राप्त होता है।

(A) दी गई असमिका $\left|\frac{x^2+kx+1}{x^2+x+1}\right| < 3$ है।
चूंकि सभी वास्तविक $x$ के लिए $x^2+x+1 > 0$ है,हम $-3 < \frac{x^2+kx+1}{x^2+x+1} < 3$ लिख सकते हैं।
स्थिति $1$: $\frac{x^2+kx+1}{x^2+x+1} < 3 \implies 2x^2+(3-k)x+2 > 0$.
इसके सभी $x$ के लिए सत्य होने हेतु,विविक्तकर $D_1 < 0$: $(3-k)^2 - 16 < 0 \implies -1 < k < 7$.
स्थिति $2$: $\frac{x^2+kx+1}{x^2+x+1} > -3 \implies 4x^2+(k+3)x+4 > 0$.
इसके सभी $x$ के लिए सत्य होने हेतु,विविक्तकर $D_2 < 0$: $(k+3)^2 - 64 < 0 \implies -11 < k < 5$.
दोनों स्थितियों का प्रतिच्छेदन लेने पर,हमें $-1 < k < 5$ प्राप्त होता है।

(A) माना $y = \frac{x^2+x+1}{2x^2-x+1}$.
तब $y(2x^2-x+1) = x^2+x+1$.
$(2y-1)x^2 - (y+1)x + (y-1) = 0$.
चूंकि $x \in R$,विविक्तकर $D \ge 0$.
$D = (y+1)^2 - 4(2y-1)(y-1) \ge 0$.
$-7y^2+14y-3 \ge 0$.
$7y^2-14y+3 \le 0$.
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर,$y = \frac{7 \pm 2\sqrt{7}}{7}$.
अतः,अधिकतम मान $\frac{7+2\sqrt{7}}{7}$ है।

(B) माना $y = \frac{x+a}{2 x^2-3 x+1}$,जहाँ $y \in \mathbb{R}$ है।
यदि $y$ सभी वास्तविक मान लेता है,तो समीकरण $2 y x^2 - (3 y + 1) x + (y - a) = 0$ के सभी $y \in \mathbb{R}$ के लिए $x$ के वास्तविक मूल होने चाहिए।
$y \neq 0$ के लिए,विविक्तकर $D \geq 0$:
$D = (3 y + 1)^2 - 4(2 y)(y - a) \geq 0$
$y^2 + (8 a + 6) y + 1 \geq 0$
इस द्विघात समीकरण के सभी $y \in \mathbb{R}$ के लिए अऋणात्मक होने के लिए,इसका विविक्तकर $0$ से कम या बराबर होना चाहिए।
$(8 a + 6)^2 - 4 \leq 0$
$(2 a + 1)(a + 1) \leq 0$
अतः,$-1 \leq a \leq -\frac{1}{2}$।
हालाँकि,यदि $y=0$ है,तो $x=-a$। हर शून्य नहीं होना चाहिए,इसलिए $a \neq -1/2$ और $a \neq -1$।
इसलिए,$-1 < a < -\frac{1}{2}$।

(D) दिया गया है कि $\alpha, \beta$ समीकरण $x^2+p x+q=0$ के मूल हैं,इसलिए $\alpha+\beta=-p$ और $\alpha \beta=q$ है।
चूंकि $\alpha^4, \beta^4$ समीकरण $x^2-r x+s=0$ के मूल हैं,इसलिए $\alpha^4+\beta^4=r$ और $\alpha^4 \beta^4=s$ है।
अब,समीकरण $x^2-4 q x+2 q^2-r=0$ के लिए विविक्तकर $D = (-4q)^2 - 4(2q^2 - r)$ है।
$D = 16q^2 - 8q^2 + 4r = 8q^2 + 4r$।
चूंकि $\alpha, \beta$ वास्तविक हैं,$\alpha^4, \beta^4 \geq 0$,इसलिए $r = \alpha^4 + \beta^4 \geq 0$ है।
साथ ही,$8q^2 \geq 0$ है।
अतः,$D = 8q^2 + 4r \geq 0$ है।
चूंकि विविक्तकर का मान ऋणेतर है,इसलिए समीकरण $x^2-4 q x+2 q^2-r=0$ के हमेशा दो वास्तविक मूल होते हैं।

(C) दिया गया समीकरण $\log_{|\alpha|} \left( \frac{x^2}{\beta^2} \right) = 1$ है।
इसका अर्थ है $\frac{x^2}{\beta^2} = |\alpha|$,अतः $x^2 = \beta^2 |\alpha|$।
चूँकि $\alpha, \beta$ समीकरण $x^2 - |a|x - |b| = 0$ के मूल हैं,मूलों का गुणनफल $\alpha \beta = -|b| \le 0$ है।
$|\alpha| < |\beta|$ और योग $\alpha + \beta = |a| > 0$ दिया गया है।
$|a| < \beta - 1$ होने के कारण,$\beta$ धनात्मक है।
$x$ के लिए हल करने पर,$x = \pm |\beta| \sqrt{|\alpha|}$ प्राप्त होता है।
धनात्मक मूल $|\beta| \sqrt{|\alpha|}$ है।
चूँकि $\beta > 0$ और $\sqrt{|\alpha|} < 1$ है,इसलिए धनात्मक मूल $\beta$ से छोटा है।

(C) दिया गया है $f(x) = (x-a)(x-b) - \frac{a+b}{2} = x^2 - (a+b)x + ab - \frac{a+b}{2}$।
न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम परवलय का शीर्ष ज्ञात करते हैं। अवकलज $f'(x) = 2x - (a+b)$ है।
$f'(x) = 0$ रखने पर,हमें $x = \frac{a+b}{2}$ प्राप्त होता है।
न्यूनतम मान $f\left(\frac{a+b}{2}\right) = \left(\frac{a+b}{2} - a\right)\left(\frac{a+b}{2} - b\right) - \frac{a+b}{2}$ है।
$f\left(\frac{a+b}{2}\right) = \left(\frac{b-a}{2}\right)\left(\frac{a-b}{2}\right) - \frac{a+b}{2} = -\frac{(a-b)^2}{4} - \frac{a+b}{2} = -\frac{a^2 - 2ab + b^2 + 2a + 2b}{4}$।
हम इसे $f\left(\frac{a+b}{2}\right) = -\frac{(a+b)^2 - 4ab + 2(a+b)}{4} = -\frac{(a+b)^2}{4} + \frac{4ab - 2(a+b)}{4}$ के रूप में लिख सकते हैं।
चूंकि $f(x)=0$ के मूल अ-ऋणात्मक हैं,मान लीजिए मूल $x_1, x_2 \geq 0$ हैं। अतः $x_1+x_2 = a+b \geq 0$ और $x_1x_2 = ab - \frac{a+b}{2} \geq 0$।
$x_1x_2 \geq 0$ से,हमें $ab \geq \frac{a+b}{2}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $4ab \geq 2(a+b)$,इसलिए $4ab - 2(a+b) \geq 0$।
अतः,न्यूनतम मान $f\left(\frac{a+b}{2}\right) = -\frac{(a+b)^2}{4} + \frac{4ab - 2(a+b)}{4} \geq -\frac{(a+b)^2}{4}$ है।

(B) माना मूल $\alpha, \alpha, \beta, \gamma$ हैं। दिया है $\alpha > 0$ और $\beta\gamma = 1$।
विएटा के सूत्रों से,मूलों का गुणनफल $\alpha^2\beta\gamma = \frac{e}{a}$ है।
चूंकि $\beta\gamma = 1$,इसलिए $\alpha^2 = \frac{e}{a}$,अतः $\alpha = \sqrt{\frac{e}{a}}$।
समीकरण को $a(x-\alpha)^2(x^2 - Sx + 1) = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है,जहाँ $S = \beta + \gamma$।
गुणांकों की तुलना करने पर,$b = -a(S + 2\alpha)$,$c = a(1 + 2\alpha S + \alpha^2)$,$d = -a(S\alpha^2 + 2\alpha)$,$e = a\alpha^2$ प्राप्त होता है।
$b = -a(S + 2\alpha)$ से,$S = -\frac{b}{a} - 2\alpha$।
$c$ के समीकरण में $S$ का मान रखने पर,$c = a - 2b\alpha - 3a\alpha^2$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\alpha^2 = \frac{e}{a}$,इसलिए $3a\alpha^2 = 3e$।
अतः,$c = a - 2b\sqrt{\frac{e}{a}} - 3e$,जिसे सरल करने पर $3e + \frac{2b\sqrt{e}}{\sqrt{a}} + c = a$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया समीकरण: $x^5-5x^3+5x^2-1=0$.
निरीक्षण द्वारा,$x=1$ एक मूल है।
बहुपद का गुणनखंड करने पर: $(x-1)(x^4+x^3-4x^2+x+1)=0$.
आगे गुणनखंड करने पर: $(x-1)^2(x^3+2x^2-2x-1)=0$.
$(x-1)^3(x^2+3x+1)=0$.
मूल $x=1$ (त्रि-मूल) और $x=\frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2}$ हैं।
दो भिन्न ऋणात्मक मूल $\alpha = \frac{-3+\sqrt{5}}{2}$ और $\beta = \frac{-3-\sqrt{5}}{2}$ हैं।
हमें $\sqrt{-\alpha}$ और $\sqrt{-\beta}$ मूलों वाला समीकरण चाहिए।
माना $y = \sqrt{-\alpha} \Rightarrow y^2 = -\alpha$.
चूंकि $\alpha$ और $\beta$ समीकरण $x^2+3x+1=0$ के मूल हैं,इसलिए $\alpha+\beta = -3$ और $\alpha\beta = 1$ है।
नए मूल $y_1 = \sqrt{-\alpha}$ और $y_2 = \sqrt{-\beta}$ हैं।
समीकरण $(y^2+\alpha)(y^2+\beta) = 0$ होगा।
$y^4 + (\alpha+\beta)y^2 + \alpha\beta = 0$.
मान रखने पर: $y^4 - 3y^2 + 1 = 0$.

(B) शेषफल ज्ञात करने के लिए,हम $2 x^5-3 x^4+5 x^3-3 x^2+7 x-9$ को $x^2-x-3$ से बहुपद विभाजन द्वारा विभाजित करते हैं:
$1$. $2 x^5$ को $x^2$ से विभाजित करने पर $2 x^3$ प्राप्त होता है। $(x^2-x-3)$ को $2 x^3$ से गुणा करने पर $2 x^5-2 x^4-6 x^3$ प्राप्त होता है। इसे भाज्य से घटाने पर $-x^4+11 x^3-3 x^2+7 x-9$ प्राप्त होता है।
$2$. $-x^4$ को $x^2$ से विभाजित करने पर $-x^2$ प्राप्त होता है। $(x^2-x-3)$ को $-x^2$ से गुणा करने पर $-x^4+x^3+3 x^2$ प्राप्त होता है। इसे घटाने पर $10 x^3-6 x^2+7 x-9$ प्राप्त होता है।
$3$. $10 x^3$ को $x^2$ से विभाजित करने पर $10 x$ प्राप्त होता है। $(x^2-x-3)$ को $10 x$ से गुणा करने पर $10 x^3-10 x^2-30 x$ प्राप्त होता है। इसे घटाने पर $4 x^2+37 x-9$ प्राप्त होता है।
$4$. $4 x^2$ को $x^2$ से विभाजित करने पर $4$ प्राप्त होता है। $(x^2-x-3)$ को $4$ से गुणा करने पर $4 x^2-4 x-12$ प्राप्त होता है। इसे घटाने पर $41 x+3$ प्राप्त होता है।
अतः,शेषफल $41 x+3$ है।

(C) दिया गया है कि $x^2+p x+1$,$a x^3+b x+c$ का एक गुणनखंड है।
माना $a x^3+b x+c = (x^2+p x+1)(a x+\alpha)$।
दाहिनी ओर का विस्तार करने पर:
$a x^3+b x+c = a x^3 + (p a+\alpha) x^2 + (p \alpha+a) x + \alpha$।
$x^2, x^1$ और अचर पद के गुणांकों की तुलना करने पर:
$1) \ p a + \alpha = 0 \implies p = -\frac{\alpha}{a}$
$2) \ p \alpha + a = b$
$3) \ \alpha = c$
पहले समीकरण में $\alpha = c$ रखने पर:
$p = -\frac{c}{a}$।
अब,$p = -\frac{c}{a}$ और $\alpha = c$ को दूसरे समीकरण में रखने पर:
$(-\frac{c}{a})(c) + a = b$
$-\frac{c^2}{a} + a = b$
$-c^2 + a^2 = a b$
$a^2 - c^2 = a b$।

(C) मान लीजिए समीकरण $6x^3 + 7x^2 - 4x - 2 = 0$ के मूल $\alpha, \beta, \gamma$ हैं।
यदि मूलों को $h$ से कम किया जाता है,तो नए मूल $\alpha-h, \beta-h, \gamma-h$ होंगे।
मान लीजिए $y = x - h$,इसलिए $x = y + h$।
मूल समीकरण में $x = y + h$ प्रतिस्थापित करने पर:
$6(y+h)^3 + 7(y+h)^2 - 4(y+h) - 2 = 0$।
इसका विस्तार करने पर,$y$ का गुणांक $18h^2 + 14h - 4 = 0$ प्राप्त होता है।
$2$ से विभाजित करने पर,$9h^2 + 7h - 2 = 0$ प्राप्त होता है।
इस द्विघात समीकरण के लिए $h$ के मूलों का गुणनफल $c/a = -2/9$ है।

(C) माना $y = \frac{x^2+34x-71}{x^2+2x-7}$.
तब,$x^2+34x-71 = y(x^2+2x-7)$.
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $x^2(y-1) + x(2y-34) + (71-7y) = 0$ प्राप्त होता है।
चूँकि $x$ एक सम्मिश्र संख्या है,इस द्विघात समीकरण का विविक्तकर $D \leq 0$ होना चाहिए।
$D = (2y-34)^2 - 4(y-1)(71-7y) \leq 0$.
इसका विस्तार करने पर,$4(y-17)^2 - 4(-7y^2 + 78y - 71) \leq 0$.
$4$ से भाग देने पर,$(y^2 - 34y + 289) + 7y^2 - 78y + 71 \leq 0$.
$8y^2 - 112y + 360 \leq 0$.
$8$ से भाग देने पर,$y^2 - 14y + 45 \leq 0$.
गुणनखंड करने पर,$(y-5)(y-9) \leq 0$.
अतः,$5 \leq y \leq 9$.
इसलिए,$a=5$ और $b=9$ प्राप्त होता है।

(D) माना त्रिभुज की भुजाएँ $a$ और $b$ हैं। ये समीकरण $x^2-2 \sqrt{3} x+2=0$ के मूल हैं।
द्विघात समीकरण के गुणों से,$a+b = 2 \sqrt{3}$ और $ab = 2$ है।
तीसरी भुजा $c$ कोज्या नियम (Law of Cosines) द्वारा दी जाती है: $c^2 = a^2+b^2-2ab \cos(\frac{\pi}{3})$.
चूँकि $a^2+b^2 = (a+b)^2-2ab$,इसलिए $a^2+b^2 = (2 \sqrt{3})^2-2(2) = 12-4 = 8$ है।
अतः,$c^2 = 8-2(2)(\frac{1}{2}) = 8-2 = 6$,जिसका अर्थ है $c = \sqrt{6}$।
त्रिभुज का परिमाप $a+b+c = 2 \sqrt{3}+\sqrt{6}$ है।

(B) माना $y = \frac{x-P}{x^2-3x+2}$.
$y$ के सभी वास्तविक मान ग्रहण करने के लिए,समीकरण $yx^2 - (3y+1)x + (2y+P) = 0$ के सभी $y \in \mathbb{R}$ के लिए $x$ में वास्तविक मूल होने चाहिए।
इसका अर्थ है कि विविक्तकर $D \geq 0$ होना चाहिए।
$D = (3y+1)^2 - 4y(2y+P) \geq 0$
$y^2 + (6-4P)y + 1 \geq 0$.
इस द्विघात समीकरण के सभी $y \in \mathbb{R}$ के लिए अ-ऋणात्मक होने हेतु,इसका विविक्तकर $\leq 0$ होना चाहिए।
$(6-4P)^2 - 4 \leq 0$
$|6-4P| \leq 2$
$1 \leq P \leq 2$.
परंतु,यदि $P=1$ या $P=2$ है,तो $y$ का मान $0$ प्राप्त नहीं हो सकता। अतः $P \neq 1$ और $P \neq 2$।
अतः,$1 < P < 2$।

(B) दिया गया है कि सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए,$\left|\frac{x^2+k x+1}{x^2+x+1}\right| < 3$ है।
इसका अर्थ है $-3 < \frac{x^2+k x+1}{x^2+x+1} < 3$।
चूंकि सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $x^2+x+1 > 0$ है,हम हर से गुणा कर सकते हैं:
$-3(x^2+x+1) < x^2+k x+1 < 3(x^2+x+1)$।
स्थिति $1$: $x^2+k x+1 < 3x^2+3x+3 \Rightarrow 2x^2+(3-k)x+2 > 0$।
इसके सभी $x$ के लिए सत्य होने हेतु,विविक्तकर $D_1 < 0$ होना चाहिए:
$(3-k)^2 - 4(2)(2) < 0$ $\Rightarrow (3-k)^2 - 16 < 0$ $\Rightarrow (k-3)^2 < 16$।
$-4 < k-3 < 4 \Rightarrow -1 < k < 7$।
स्थिति $2$: $x^2+k x+1 > -3x^2-3x-3 \Rightarrow 4x^2+(k+3)x+4 > 0$।
इसके सभी $x$ के लिए सत्य होने हेतु,विविक्तकर $D_2 < 0$ होना चाहिए:
$(k+3)^2 - 4(4)(4) < 0$ $\Rightarrow (k+3)^2 - 64 < 0$ $\Rightarrow (k+3)^2 < 64$।
$-8 < k+3 < 8 \Rightarrow -11 < k < 5$।
दोनों अंतरालों $(-1, 7)$ और $(-11, 5)$ का प्रतिच्छेदन लेने पर,हमें $k \in (-1, 5)$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) माना $y = \frac{x^2+2x+1}{x^2+2x-1}$.
$y(x^2+2x-1) = x^2+2x+1$
$yx^2 + 2xy - y = x^2 + 2x + 1$
$(y-1)x^2 + 2(y-1)x - (y+1) = 0$.
$x$ के वास्तविक होने के लिए,विविक्तकर (discriminant) $D \geq 0$ (यदि $y \neq 1$):
$D = [2(y-1)]^2 - 4(y-1)(-(y+1)) \geq 0$
$4(y-1)^2 + 4(y-1)(y+1) \geq 0$
$4(y-1)[(y-1) + (y+1)] \geq 0$
$4(y-1)(2y) \geq 0$
$8y(y-1) \geq 0$.
यह असमिका $y \in (-\infty, 0] \cup [1, \infty)$ के लिए सत्य है।
हालाँकि,यदि $y=1$ है,तो समीकरण $0 = -2$ हो जाता है,जो असंभव है,इसलिए $y \neq 1$.
अतः,परिसर $y \in (-\infty, 0] \cup (1, \infty)$ है।

(A) दिए गए समीकरण हैं:
$x+y+z=12$ ... $(i)$
$x^2+y^2+z^2=50$ ... $(ii)$
$x^3+y^3+z^3=216$ ... $(iii)$
सर्वसमिका $(x+y+z)^2 = x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx)$ का उपयोग करने पर:
$12^2 = 50 + 2(xy+yz+zx)$
$144 - 50 = 2(xy+yz+zx)$
$xy+yz+zx = 47$
सर्वसमिका $x^3+y^3+z^3-3xyz = (x+y+z)(x^2+y^2+z^2-(xy+yz+zx))$ का उपयोग करने पर:
$216 - 3xyz = 12(50 - 47)$
$216 - 3xyz = 12(3) = 36$
$3xyz = 180 \Rightarrow xyz = 60$
अब,$x, y, z$ त्रिघात समीकरण $t^3 - (x+y+z)t^2 + (xy+yz+zx)t - xyz = 0$ के मूल हैं:
$t^3 - 12t^2 + 47t - 60 = 0$
मूलों की जाँच करने पर,$t=3$ के लिए: $27 - 12(9) + 47(3) - 60 = 27 - 108 + 141 - 60 = 0$. अतः $(t-3)$ एक गुणनखंड है।
$(t-3)(t^2-9t+20) = 0$
$(t-3)(t-4)(t-5) = 0$
मूल $3, 4, 5$ हैं।
चूंकि $x, y, z$ समुच्चय ${3, 4, 5}$ का कोई भी क्रमचय हो सकते हैं,इसलिए हलों की संख्या $3! = 6$ है।

(D) $x^2+9x+20=0$ के मूल $x = -5$ और $x = -4$ हैं।
$x^2+bx+c=0$ के मूल $r_3$ और $r_4$ मानिए।
दी गई शर्त $|\alpha_1-\alpha_3|=8$ और $|\alpha_2-\alpha_4|=8$ के अनुसार,मूलों के संभावित युग्मों को ज्ञात करके और $b = -(r_3+r_4)$ तथा $c = r_3r_4$ की गणना करने पर,$b$ और $c$ के सभी संभावित मानों का योग $143$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है कि $p$ और $q$ द्विघात समीकरण $x^2+7x+3=0$ के मूल हैं।
वह द्विघात समीकरण ज्ञात करने के लिए जिसके मूल $\frac{3p}{1-2p}$ और $\frac{3q}{1-2q}$ हैं,$y = \frac{3x}{1-2x}$ लें।
तब $y(1-2x) = 3x$ $\Rightarrow y - 2xy = 3x$ $\Rightarrow y = x(3+2y)$ $\Rightarrow x = \frac{y}{3+2y}$।
चूंकि $x$,$x^2+7x+3=0$ का मूल है,इसलिए $x = \frac{y}{3+2y}$ को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$(\frac{y}{3+2y})^2 + 7(\frac{y}{3+2y}) + 3 = 0$।
$(3+2y)^2$ से गुणा करने पर,हमें $y^2 + 7y(3+2y) + 3(3+2y)^2 = 0$ प्राप्त होता है।
$y^2 + 21y + 14y^2 + 3(9 + 12y + 4y^2) = 0$।
$15y^2 + 21y + 27 + 36y + 12y^2 = 0$।
$27y^2 + 57y + 27 = 0$।
$3$ से विभाजित करने पर,हमें $9y^2 + 19y + 9 = 0$ प्राप्त होता है।
इसे $lx^2+mx+n=0$ से तुलना करने पर,$l=9, m=19, n=9$ प्राप्त होता है।
$9, 19, 9$ का महत्तम समापवर्तक $1$ है।
अतः,$l-m+n = 9 - 19 + 9 = -1$।

(A) दिया गया समीकरण $x^4+x^2+1=0$ है।
चूंकि समीकरण में केवल $x$ की सम घातें हैं,यदि $x$ एक मूल है,तो $-x$ भी एक मूल होगा।
माना मूल $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ हैं।
चूंकि मूल $\pm x_i$ के जोड़े में होते हैं,हम उन्हें $\alpha, -\alpha, \gamma, -\gamma$ के रूप में लिख सकते हैं।
किसी भी विषम घात $n$ के लिए,मूलों की $n$-वीं घातों का योग $\alpha^n + (-\alpha)^n + \gamma^n + (-\gamma)^n$ होता है।
यदि $n$ विषम है,तो $\alpha^n + (-\alpha)^n = \alpha^n - \alpha^n = 0$।
अतः,$\alpha^3+\beta^3+\gamma^3+\delta^3 = 0$।
चूंकि अंश $0$ है और हर $\alpha^6+\beta^6+\gamma^6+\delta^6$ शून्य नहीं है,इसलिए व्यंजक का मान $0$ है।

(C) माना $y = \frac{ax^2-2x+3}{2x-3x^2+a}$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $y(2x - 3x^2 + a) = ax^2 - 2x + 3$ प्राप्त होता है।
$2xy - 3x^2y + ay = ax^2 - 2x + 3$.
$x^2(a + 3y) - 2x(y + 1) + (3 - ay) = 0$.
चूंकि $x \in R$,विविक्तकर (discriminant) $D \geq 0$.
$4(y + 1)^2 - 4(a + 3y)(3 - ay) \geq 0$.
$(y^2 + 2y + 1) - (3a - a^2y + 9y - 3ay^2) \geq 0$.
$y^2(3a + 1) + y(a^2 - 7) + (1 - 3a) \geq 0$.
व्यंजक के सभी वास्तविक मान ग्रहण करने के लिए,$y$ में द्विघात समीकरण सभी $y \in R$ के लिए गैर-ऋणात्मक होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि $y^2$ का गुणांक धनात्मक होना चाहिए और इसका विविक्तकर $\leq 0$ होना चाहिए।
हालाँकि,इस द्विघात के विविक्तकर की जाँच करने पर: $(a^2 - 7)^2 - 4(3a + 1)(1 - 3a) = a^4 + 22a^2 + 45$.
चूंकि सभी $a \in R$ के लिए $a^4 + 22a^2 + 45 > 0$,इसलिए $D \leq 0$ की शर्त कभी पूरी नहीं होती है।
अतः,'$a$' का ऐसा कोई मान नहीं है।
इसलिए,समुच्चय $\phi$ है।

(C) माना द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ है।
मूलों का योग $-\frac{b}{a}$ है और मूलों का गुणनफल $\frac{c}{a}$ है।
जब अचर पद को गलत तरीके से लिखा जाता है,तो मूलों का योग अपरिवर्तित रहता है क्योंकि योग केवल $x^2$ और $x$ के गुणांकों पर निर्भर करता है।
दिए गए मूल $5$ और $9$ हैं,इसलिए मूलों का योग $5 + 9 = 14$ है।
अतः,$-\frac{b}{a} = 14$,जिसका अर्थ है $b = -14a$।
दूसरे छात्र ने अचर पद $c = 12$ और $x^2$ का गुणांक $a = 4$ सही ढंग से लिखा।
$b = -14a$ में $a = 4$ रखने पर,हमें $b = -14(4) = -56$ प्राप्त होता है।
सही समीकरण $4x^2 - 56x + 12 = 0$ है।
मूलों का योग $s = -\frac{b}{a} = -\frac{-56}{4} = 14$।
मूलों का गुणनफल $p = \frac{c}{a} = \frac{12}{4} = 3$।
विविक्तकर $\Delta = b^2 - 4ac = (-56)^2 - 4(4)(12) = 3136 - 192 = 2944$।
अंत में,आवश्यक मान की गणना करते हुए: $\frac{\Delta}{3p + s} = \frac{2944}{3(3) + 14} = \frac{2944}{9 + 14} = \frac{2944}{23} = 128$।

(B) माना $y = \sqrt{\frac{x}{1-x}}$। तब समीकरण $y + \frac{1}{y} = \frac{5}{2}$ हो जाता है।
$2y$ से गुणा करने पर,हमें $2y^2 - 5y + 2 = 0$ प्राप्त होता है,जिसका गुणनखंड $(2y-1)(y-2) = 0$ है।
अतः $y = 2$ या $y = \frac{1}{2}$।
यदि $y = 2$ है,तो $\frac{x}{1-x} = 4$ $\Rightarrow x = 4 - 4x$ $\Rightarrow 5x = 4$ $\Rightarrow x = \frac{4}{5}$।
यदि $y = \frac{1}{2}$ है,तो $\frac{x}{1-x} = \frac{1}{4}$ $\Rightarrow 4x = 1 - x$ $\Rightarrow 5x = 1$ $\Rightarrow x = \frac{1}{5}$।
चूँकि $p > q$ दिया गया है,हमारे पास $p = \frac{4}{5}$ और $q = \frac{1}{5}$ है।
तब $p+q = 1$,$pq = \frac{4}{25}$,और $\frac{p}{q} = 4$ है।
दूसरा समीकरण $1x^4 - \frac{4}{25}x^2 + 4 = 0$ है,या $25x^4 - 4x^2 + 100 = 0$ है।
बहुपद $ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0$ के लिए,मूलों का योग $\Sigma \alpha = -\frac{b}{a} = 0$ है।
दो-दो मूलों के गुणनफल का योग $\Sigma \alpha \beta = \frac{c}{a} = \frac{-4}{25}$ है।
मूलों का गुणनफल $\alpha \beta \gamma \delta = \frac{e}{a} = \frac{100}{25} = 4$ है।
अतः,$(\Sigma \alpha)^2 - \Sigma \alpha \beta + \alpha \beta \gamma \delta = (0)^2 - (-\frac{4}{25}) + 4 = \frac{4}{25} + 4 = \frac{4 + 100}{25} = \frac{104}{25}$।