Mix Examples-Quadratic Equations and Inequations Questions in Hindi

(A) माना मूल $\alpha_1 = \sqrt{3}+\sqrt{2}i$ और $\alpha_2 = \sqrt{3}-\sqrt{2}$ हैं।
चूंकि गुणांक परिमेय होने चाहिए,$\alpha_1$ का संयुग्मी $\bar{\alpha_1} = \sqrt{3}-\sqrt{2}i$ भी एक मूल होना चाहिए।
अतः,$\alpha_1$ और $\bar{\alpha_1}$ के लिए द्विघात गुणनखंड $(x^2-2\sqrt{3}x+5)$ है।
गुणांकों को परिमेय बनाने के लिए,हम इसे इसके संयुग्मी गुणनखंड से गुणा करते हैं,जिससे $(x^4-2x^2+25)=0$ प्राप्त होता है।
इसी प्रकार,$\alpha_2 = \sqrt{3}-\sqrt{2}$ के लिए,न्यूनतम बहुपद $(x^4-10x^2+1)=0$ प्राप्त होता है।
अतः,संयुक्त समीकरण $(x^4-2x^2+25)(x^4-10x^2+1)=0$ है।

(A) हमारे पास $f(x) = 1-2x-5x^2 = -5(x+\frac{1}{5})^2 + \frac{6}{5}$ है।
अतः,अधिकतम मान $\alpha = \frac{6}{5}$ है।
साथ ही,$g(x) = x^2-2x+r = (x-1)^2 + r-1$ है,इसलिए न्यूनतम मान $\beta = r-1$ है।
असमिका $6x^2 + (r-1)x + 6 > 0$ के लिए,विविक्तकर $D < 0$ होना चाहिए।
$(r-1)^2 - 144 < 0 \Rightarrow (r-13)(r+11) < 0$.
अतः,$r \in (-11, 13)$।

(A) दिया गया व्यंजक $f(x) = -3x^2 + 6x + 7$ है।
$ax^2 + bx + c$ से तुलना करने पर,$a = -3, b = 6, c = 7$ प्राप्त होता है।
चरम मान $x = \alpha = \frac{-b}{2a} = \frac{-6}{2(-3)} = 1$ पर प्राप्त होता है।
चरम मान $\beta = f(1) = -3(1)^2 + 6(1) + 7 = 10$ है।
अब,समीकरण $x^2 + \alpha x - \beta = 0$,$x^2 + x - 10 = 0$ बन जाता है।
माना मूल $x_1$ और $x_2$ हैं।
तब $x_1 + x_2 = -1$ और $x_1x_2 = -10$ है।
मूलों के वर्गों का योग $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$ है।
मान रखने पर,$x_1^2 + x_2^2 = (-1)^2 - 2(-10) = 1 + 20 = 21$।

(B) माना $f(x) = \frac{x^2-x+1}{x^2+x+1}$.
हम व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$f(x) = \frac{(x^2+x+1) - 2x}{x^2+x+1} = 1 - \frac{2x}{x^2+x+1}$.
$f(x)$ को न्यूनतम करने के लिए,हमें $\frac{2x}{x^2+x+1}$ पद को अधिकतम करना होगा।
चूंकि $x$ वास्तविक है,विविक्तकर $D \geq 0$ लेने पर:
$(y+1)^2 - 4(y-1)^2 \geq 0 \implies (3-y)(3y-1) \geq 0$.
अतः,$\frac{1}{3} \leq y \leq 3$.
इसलिए,न्यूनतम मान $\frac{1}{3}$ है।

(A) दिया गया है $y = \frac{x^2 + 14x + 9}{x^2 + 2x + 3}$.
$y(x^2 + 2x + 3) = x^2 + 14x + 9$.
$(y - 1)x^2 + 2(y - 7)x + 3y - 9 = 0$.
चूंकि $x \in R$,विविक्तकर $D \geq 0$.
$4(y - 7)^2 - 4(y - 1)(3y - 9) \geq 0$.
$(y^2 - 14y + 49) - (3y^2 - 12y + 9) \geq 0$.
$-2y^2 - 2y + 40 \geq 0$.
$y^2 + y - 20 \leq 0$.
$(y + 5)(y - 4) \leq 0$.
अतः,$y \in [-5, 4]$.

(B) द्विघात व्यंजक $x^2+bx+5$ का न्यूनतम मान $x = -\frac{b}{2}$ पर प्राप्त होता है। इसे प्रतिस्थापित करने पर,$\alpha = (-\frac{b}{2})^2 + b(-\frac{b}{2}) + 5 = 5 - \frac{b^2}{4}$ प्राप्त होता है।
द्विघात व्यंजक $-x^2+ax+5$ का अधिकतम मान $x = \frac{a}{2}$ पर प्राप्त होता है। इसे प्रतिस्थापित करने पर,$\beta = -(\frac{a}{2})^2 + a(\frac{a}{2}) + 5 = 5 + \frac{a^2}{4}$ प्राप्त होता है।
दी गई असमिका $x^2-10x+24 \leq 0$ का गुणनखंड करने पर $(x-4)(x-6) \leq 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $4 \leq x \leq 6$.
इस अंतराल की तुलना $[\alpha, \beta]$ से करने पर,$\alpha = 4$ और $\beta = 6$ प्राप्त होता है।
व्यंजकों की तुलना करने पर:
$5 - \frac{b^2}{4} = 4$ $\Rightarrow \frac{b^2}{4} = 1$ $\Rightarrow b^2 = 4$.
$5 + \frac{a^2}{4} = 6$ $\Rightarrow \frac{a^2}{4} = 1$ $\Rightarrow a^2 = 4$.
अतः,$a^2b^2 = 4 \times 4 = 16$.

(D) माना $y = \frac{x^2+ax+3}{x^2+x+1}$.
तब $yx^2 + yx + y = x^2 + ax + 3$,जिसका अर्थ है $(y-1)x^2 + (y-a)x + (y-3) = 0$.
$x$ के वास्तविक होने के लिए,विविक्तकर $D \geq 0$ होना चाहिए।
$(y-a)^2 - 4(y-1)(y-3) \geq 0$.
$y^2 - 2ay + a^2 - 4(y^2 - 4y + 3) \geq 0$.
$-3y^2 + (16-2a)y + (a^2-12) \geq 0$.
$3y^2 + (2a-16)y + (12-a^2) \leq 0$.
$y$ का परिसर $(-\infty, \infty)$ होने के लिए,$y$ में यह द्विघात असमिका सभी $y \in R$ के लिए सत्य होनी चाहिए,जो कि धनात्मक अग्रणी गुणांक $(3 > 0)$ वाले द्विघात व्यंजक के लिए असंभव है।
अतः,किसी भी $a$ के लिए यह व्यंजक सभी वास्तविक मान ग्रहण नहीं कर सकता है।

(D) माना $y = \frac{9 \cdot 3^{2x} + 6 \cdot 3^x + 4}{9 \cdot 3^{2x} - 6 \cdot 3^x + 4}$.
$t = 3^x$ रखने पर,जहाँ $t > 0$.
तब $y = \frac{9t^2 + 6t + 4}{9t^2 - 6t + 4}$.
$y(9t^2 - 6t + 4) = 9t^2 + 6t + 4$.
$9t^2(y - 1) - 6t(y + 1) + 4(y - 1) = 0$.
चूँकि $t$ एक वास्तविक संख्या है,विविक्तकर $D \geq 0$.
$D = [-6(y + 1)]^2 - 4 \cdot 9(y - 1) \cdot 4(y - 1) \geq 0$.
$36(y + 1)^2 - 144(y - 1)^2 \geq 0$.
$36$ से विभाजित करने पर: $(y + 1)^2 - 4(y - 1)^2 \geq 0$.
$(y + 1 - 2(y - 1))(y + 1 + 2(y - 1)) \geq 0$.
$(-y + 3)(3y - 1) \geq 0$.
$(y - 3)(3y - 1) \leq 0$.
अतः,$\frac{1}{3} \leq y \leq 3$.
इसलिए न्यूनतम मान $\frac{1}{3}$ है।

(A) माना $y = \frac{x^2+14x+9}{x^2+2x+3}$.
चूंकि $x$ वास्तविक है,हर $x^2+2x+3 = (x+1)^2+2$ हमेशा धनात्मक है।
$y(x^2+2x+3) = x^2+14x+9$
$x^2(y-1) + 2x(y-7) + 3y-9 = 0$.
$x$ के वास्तविक होने के लिए,विविक्तकर (discriminant) $D \geq 0$ होना चाहिए।
$D = [2(y-7)]^2 - 4(y-1)(3y-9) \geq 0$
$4(y^2-14y+49) - 4(3y^2-12y+9) \geq 0$
$y^2-14y+49 - 3y^2+12y-9 \geq 0$
$-2y^2-2y+40 \geq 0$
$y^2+y-20 \leq 0$
$(y+5)(y-4) \leq 0$.
अतः,$y \in [-5, 4]$.
इसलिए अधिकतम मान $4$ और न्यूनतम मान $-5$ है।

(A) दिया गया है कि $1$,$ax^2+bx+c=0$ का एक मूल है।
$x=1$ रखने पर,हमें $a(1)^2+b(1)+c=0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $a+b+c=0$।
अतः,$E_1$ सत्य है।
दिया गया है कि $\sin \theta$ और $\cos \theta$,$ax^2+bx+c=0$ के मूल हैं।
मूलों के योग और गुणनफल से:
$\sin \theta + \cos \theta = -\frac{b}{a}$ और $\sin \theta \cos \theta = \frac{c}{a}$।
मूलों के योग का वर्ग करने पर:
$(\sin \theta + \cos \theta)^2 = (-\frac{b}{a})^2$
$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta + 2 \sin \theta \cos \theta = \frac{b^2}{a^2}$
$1 + 2(\frac{c}{a}) = \frac{b^2}{a^2}$
$a^2$ से गुणा करने पर:
$a^2 + 2ac = b^2$
$b^2 - a^2 = 2ac$।
अतः,$E_2$ सत्य है।
इसलिए,$E_1$ और $E_2$ दोनों सत्य हैं।

(B) माना मूल $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ हैं ताकि $\alpha+\beta=0$,जिसका अर्थ है $\beta=-\alpha$।
चूंकि $\alpha$ और $-\alpha$ मूल हैं,बहुपद $(x-\alpha)(x+\alpha) = x^2-\alpha^2$ से विभाज्य है।
माना अन्य दो मूल $\gamma$ और $\delta$ हैं। तब $(x^2-\alpha^2)(x^2-Sx+P) = x^4-Sx^3+(P-\alpha^2)x^2+S\alpha^2x-P\alpha^2 = x^4-x^3-16x^2+4x+48$।
गुणांकों की तुलना करने पर:
$S=1$
$P-\alpha^2=-16$
$S\alpha^2=4$ $\Rightarrow 1 \cdot \alpha^2=4$ $\Rightarrow \alpha^2=4$।
अतः,$\alpha=2, \beta=-2$।
$P-\alpha^2=-16$ से,हमें $P-4=-16 \Rightarrow P=-12$ प्राप्त होता है।
साथ ही,$-P\alpha^2=48 \Rightarrow -(-12)(4)=48$,जो सुसंगत है।
चूंकि $S=\gamma+\delta=1$ और $P=\gamma\delta=-12$,हमारे पास $\gamma^2+\delta^2 = (\gamma+\delta)^2-2\gamma\delta = 1^2-2(-12) = 1+24=25$ है।
तब $\gamma^4+\delta^4 = (\gamma^2+\delta^2)^2-2\gamma^2\delta^2 = 25^2-2(-12)^2 = 625-288=337$।
अंत में,$\alpha^4+\beta^4+\gamma^4+\delta^4 = 2^4+(-2)^4+337 = 16+16+337 = 369$।

(B) दिया गया समीकरण: $e^{4t} - 10e^{3t} + 29e^{2t} - 20e^t + 4 = 0$.
माना $x = e^t$. तब समीकरण $x^4 - 10x^3 + 29x^2 - 20x + 4 = 0$ हो जाता है।
माना $t$ में समीकरण के मूल $t_1, t_2, t_3, t_4$ हैं।
तब $x$ में समीकरण के मूल $x_1 = e^{t_1}, x_2 = e^{t_2}, x_3 = e^{t_3}, x_4 = e^{t_4}$ हैं।
विएटा के सूत्रों के अनुसार,बहुपद $x^4 - 10x^3 + 29x^2 - 20x + 4 = 0$ के मूलों का गुणनफल अचर पद के बराबर होता है:
$x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 \cdot x_4 = 4$.
$e^t$ वापस रखने पर:
$e^{t_1} \cdot e^{t_2} \cdot e^{t_3} \cdot e^{t_4} = 4$.
$e^{(t_1 + t_2 + t_3 + t_4)} = 4$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर:
$t_1 + t_2 + t_3 + t_4 = \log_e 4$.
चूंकि $4 = 2^2$,इसलिए:
$t_1 + t_2 + t_3 + t_4 = \log_e 2^2 = 2\log_e 2$.

(B) माना कि दिए गए समीकरण $f(x) = x^4-2ax^3+4bx^2+8ax+16=0$ के मूल $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ हैं।
नए समीकरण के मूल $p\alpha_1, p\alpha_2, p\alpha_3, p\alpha_4$ हैं।
अतः,नया समीकरण $f(\frac{x}{p}) = 0$ होगा।
$\frac{x}{p}$ को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$(\frac{x}{p})^4 - 2a(\frac{x}{p})^3 + 4b(\frac{x}{p})^2 + 8a(\frac{x}{p}) + 16 = 0$
$p^4$ से गुणा करने पर:
$x^4 - 2apx^3 + 4bp^2x^2 + 8ap^3x + 16p^4 = 0$
चूंकि यह एक व्युत्क्रम समीकरण है,$x^4$ का गुणांक अचर पद के बराबर होना चाहिए:
$1 = 16p^4$
$p^4 = \frac{1}{16}$
$p^2 = \frac{1}{4} \implies |p| = \frac{1}{2}$

(B) दिया गया है कि $P(x) = 2x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d$ एक $4$ घात वाला बहुपद है जिसका मुख्य गुणांक $2$ है।
हम देखते हैं कि $x = 1, 2, 3, 4$ के लिए,$P(x) = x^2 + 3$ है।
माना $Q(x) = P(x) - (x^2 + 3)$ है।
चूंकि $P(x)$ एक $4$ घात का बहुपद है,इसलिए $Q(x)$ भी $4$ घात का बहुपद है जिसका मुख्य गुणांक $2$ है।
चूंकि $P(1)=4, P(2)=7, P(3)=12, P(4)=19$ है,इसलिए $Q(1)=0, Q(2)=0, Q(3)=0, Q(4)=0$ है।
अतः,$Q(x) = 2(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)$ है।
इसलिए,$P(x) = 2(x-1)(x-2)(x-3)(x-4) + x^2 + 3$ है।
$P(5)$ ज्ञात करने के लिए,$x = 5$ रखने पर:
$P(5) = 2(5-1)(5-2)(5-3)(5-4) + (5^2 + 3)$
$P(5) = 2(4)(3)(2)(1) + (25 + 3)$
$P(5) = 2(24) + 28 = 48 + 28 = 76$.

(C) दिया गया समीकरण $2x^4-8x^3+3x^2-1=0$ है।
$x^3$ पद को हटाने के लिए,हम $x = y - \frac{a_1}{n a_0}$ रूपांतरण का उपयोग करते हैं,जहाँ $a_0=2$ और $a_1=-8$ है।
यहाँ,$h = -\frac{-8}{4 \times 2} = \frac{8}{8} = 1$ है।
समीकरण में $x = y+1$ प्रतिस्थापित करने पर:
$2(y+1)^4 - 8(y+1)^3 + 3(y+1)^2 - 1 = 0$.
पदों का विस्तार करने पर:
$2(y^4+4y^3+6y^2+4y+1) - 8(y^3+3y^2+3y+1) + 3(y^2+2y+1) - 1 = 0$.
$2y^4 + 8y^3 + 12y^2 + 8y + 2 - 8y^3 - 24y^2 - 24y - 8 + 3y^2 + 6y + 3 - 1 = 0$.
समान पदों को जोड़ने पर:
$2y^4 + (8-8)y^3 + (12-24+3)y^2 + (8-24+6)y + (2-8+3-1) = 0$.
$2y^4 - 9y^2 - 10y - 4 = 0$.
इसे $2x^4+bx^2+cx+d=0$ के साथ तुलना करने पर,हमें $b = -9$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया समीकरण $6x^6-25x^5+31x^4-31x^2+25x-6=0$ है।
यह प्रथम प्रकार का व्युत्क्रम समीकरण (reciprocal equation) है।
$x=1$ और $x=-1$ का परीक्षण करने पर,हम पाते हैं कि $x=1$ और $x=-1$ समीकरण के मूल हैं।
मान लीजिए मूल $a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6$ हैं।
दिया गया है $a_1+a_2 = \frac{5}{2}$।
चूंकि $1$ और $-1$ मूल हैं,मान लीजिए $a_3=1$ और $a_4=-1$ है।
सभी मूलों का योग $-\frac{x^5 \text{ का गुणांक}}{x^6 \text{ का गुणांक}} = -\frac{-25}{6} = \frac{25}{6}$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,$a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6 = \frac{25}{6}$।
ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{5}{2} + 1 - 1 + a_5 + a_6 = \frac{25}{6}$।
$a_5+a_6 = \frac{25}{6} - \frac{5}{2} = \frac{25-15}{6} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$।
चूंकि समीकरण व्युत्क्रम प्रकार का है,मूल युग्मों $(r, 1/r)$ में होते हैं। $1$ और $-1$ वास्तविक मूल हैं। शेष मूल $a_1, a_2, a_5, a_6$ अवास्तविक हैं।
सभी अवास्तविक मूलों का योग $(a_1+a_2) + (a_5+a_6) = \frac{5}{2} + \frac{5}{3} = \frac{15+10}{6} = \frac{25}{6}$ है।

(B) दिया गया समीकरण $\left(x^4+1\right)=\frac{1}{a}(x+1)^4$ है।
$a$ से गुणा करने पर,हमें मिलता है $a(x^4+1) = (x+1)^4$.
दाहिनी ओर का विस्तार करने पर: $a(x^4+1) = x^4+4x^3+6x^2+4x+1$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $(a-1)x^4 - 4x^3 - 6x^2 - 4x + (a-1) = 0$.
किसी समीकरण के व्युत्क्रम समीकरण होने के लिए,$x^k$ और $x^{n-k}$ के गुणांक समान होने चाहिए।
यहाँ,$x^4$ का गुणांक $(a-1)$ है और अचर पद $(a-1)$ है।
समीकरण के $4$ घात का बने रहने के लिए $x^4$ का गुणांक शून्य नहीं होना चाहिए,इसलिए $a-1 \neq 0$,जिसका अर्थ है $a \neq 1$.
अतः,यह समीकरण सभी $a \in R - \{1\}$ के लिए एक व्युत्क्रम समीकरण है।

(B) दिया गया है $x=2+2^{\frac{2}{3}}+2^{\frac{1}{3}}$.
दोनों पक्षों से $2$ घटाने पर,$x-2=2^{\frac{2}{3}}+2^{\frac{1}{3}}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का घन करने पर,$(x-2)^3 = (2^{\frac{2}{3}}+2^{\frac{1}{3}})^3$.
सर्वसमिका $(a+b)^3 = a^3+b^3+3ab(a+b)$ का उपयोग करने पर:
$x^3-6x^2+12x-8 = (2^{\frac{2}{3}})^3 + (2^{\frac{1}{3}})^3 + 3(2^{\frac{2}{3}})(2^{\frac{1}{3}})(2^{\frac{2}{3}}+2^{\frac{1}{3}})$.
$x^3-6x^2+12x-8 = 4 + 2 + 3(2^1)(x-2)$.
$x^3-6x^2+12x-8 = 6 + 6(x-2)$.
$x^3-6x^2+12x-8 = 6 + 6x - 12$.
$x^3-6x^2+12x-8 = 6x - 6$.
पदों को व्यवस्थित करने पर,$x^3-6x^2+6x = 8-6 = 2$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है कि $\alpha_1, \beta_1, \gamma_1, \delta_1$ समीकरण $a x^4+b x^3+c x^2+d x+e=0$ के मूल हैं।
समीकरण $e x^4+d x^3+c x^2+b x+a=0$ के मूल पहले समीकरण के मूलों के व्युत्क्रम हैं।
अतः,$\alpha_2 = \frac{1}{\delta_1}, \beta_2 = \frac{1}{\gamma_1}, \gamma_2 = \frac{1}{\beta_1}, \delta_2 = \frac{1}{\alpha_1}$।
दिया गया है $\alpha_1 - \delta_2 = 2 \implies \alpha_1 - \frac{1}{\alpha_1} = 2 \implies \alpha_1^2 - 2\alpha_1 - 1 = 0$।
दिया गया है $\delta_1 - \alpha_2 = 4 \implies \delta_1 - \frac{1}{\delta_1} = 4 \implies \delta_1^2 - 4\delta_1 - 1 = 0$।
चूंकि $\alpha_1$ और $\delta_1$ चतुर्थ घात समीकरण के मूल हैं,इसलिए द्विघात गुणनखंड $(x^2 - 2x - 1)$ और $(x^2 - 4x - 1)$ हैं।
अतः,$a x^4+b x^3+c x^2+d x+e = (x^2 - 2x - 1)(x^2 - 4x - 1)$।
$a+b+c+d+e$ ज्ञात करने के लिए,$x=1$ रखने पर:
$a(1)^4 + b(1)^3 + c(1)^2 + d(1) + e = (1^2 - 2(1) - 1)(1^2 - 4(1) - 1)$।
$a+b+c+d+e = (-2)(-4) = 8$।

(C) माना $\alpha, \beta, \gamma$ समीकरण $x^3-ax^2+ax-1=0$ के मूल हैं। \\ विएटा के सूत्रों के अनुसार: \\ $\alpha+\beta+\gamma = a$ \\ $\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = a$ \\ $\alpha\beta\gamma = 1$. \\ वह त्रिघात समीकरण जिसके मूल $\alpha^2, \beta^2, \gamma^2$ हैं,वह $x^3 - (\alpha^2+\beta^2+\gamma^2)x^2 + (\alpha^2\beta^2+\beta^2\gamma^2+\gamma^2\alpha^2)x - (\alpha\beta\gamma)^2 = 0$ है। \\ इसे $x^3-ax^2+ax-1=0$ के साथ तुलना करने पर: \\ $a = \alpha^2+\beta^2+\gamma^2 = (\alpha+\beta+\gamma)^2 - 2(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha) = a^2 - 2a$. \\ अतः,$a^2 - 3a = 0$,जिसका अर्थ है $a(a-3) = 0$. \\ चूँकि $a$ शून्येतर है,इसलिए $a = 3$.

(D) दिया गया समीकरण $x^5+15x^4+94x^3+305x^2+507x+353=0$ है।
यदि समीकरण के सभी मूलों को $k$ से बढ़ाया जाता है,तो रूपांतरित समीकरण $x$ को $(x-k)$ से प्रतिस्थापित करके प्राप्त किया जाता है।
रूपांतरित समीकरण $(x-k)^5+15(x-k)^4+94(x-k)^3+305(x-k)^2+507(x-k)+353=0$ है।
$x^4$ पद को हटाने के लिए,$x^4$ का गुणांक शून्य होना चाहिए।
$x^4$ का गुणांक $\binom{5}{1}(-k) + 15 = -5k + 15$ है।
$-5k + 15 = 0$ रखने पर,हमें $k = 3$ प्राप्त होता है।
अब,$k=3$ को रूपांतरित समीकरण में रखने पर: $(x-3)^5+15(x-3)^4+94(x-3)^3+305(x-3)^2+507(x-3)+353=0$।
$x$ का गुणांक इस प्रकार है:
$\binom{5}{4}(-3)^4 + 15 \times \binom{4}{3}(-3)^3 + 94 \times \binom{3}{2}(-3)^2 + 305 \times \binom{2}{1}(-3)^1 + 507$.
$= 5(81) + 15(4 \times -27) + 94(3 \times 9) + 305(2 \times -3) + 507$.
$= 405 - 1620 + 2538 - 1830 + 507 = 0$.
अतः,$x$ का गुणांक $0$ है।

(C) दिया गया समीकरण $x^3-7x^2+14x-8=0$ है। मान लीजिए कि मूलों को $k$ से कम किया गया है,इसलिए $y = x - k$,जिसका अर्थ है $x = y + k$।
$x = y + k$ को मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$(y+k)^3 - 7(y+k)^2 + 14(y+k) - 8 = 0$
पदों का विस्तार करने पर:
$(y^3 + 3y^2k + 3yk^2 + k^3) - 7(y^2 + 2yk + k^2) + 14(y + k) - 8 = 0$
$y^3 + y^2(3k - 7) + y(3k^2 - 14k + 14) + (k^3 - 7k^2 + 14k - 8) = 0$
इसकी तुलना $y^3 + py - \frac{20}{27} = 0$ से करने पर,$y^2$ का गुणांक शून्य होना चाहिए:
$3k - 7 = 0 \Rightarrow k = \frac{7}{3}$
अब,$y$ के गुणांक के रूप में $p$ ज्ञात करें:
$p = 3k^2 - 14k + 14$
$p = 3(\frac{7}{3})^2 - 14(\frac{7}{3}) + 14$
$p = 3(\frac{49}{9}) - \frac{98}{3} + 14$
$p = \frac{49}{3} - \frac{98}{3} + \frac{42}{3} = -\frac{7}{3}$

(B) वह बहुपद जिसके मूल $-2$ से स्थानांतरित हैं,उसे प्राप्त करने के लिए हम मूल समीकरण $x^5-2x^4+3x^3-4x^2+5x-6=0$ में $x$ को $(x+2)$ से प्रतिस्थापित करते हैं।
$x \to x+2$ रखने पर:
$(x+2)^5 - 2(x+2)^4 + 3(x+2)^3 - 4(x+2)^2 + 5(x+2) - 6 = 0$.
प्रत्येक पद का विस्तार करने पर:
$(x^5+10x^4+40x^3+80x^2+80x+32) - 2(x^4+8x^3+24x^2+32x+16) + 3(x^3+6x^2+12x+8) - 4(x^2+4x+4) + 5(x+2) - 6 = 0$.
समान पदों को जोड़ने पर:
$x^5 + 8x^4 + 27x^3 + 46x^2 + 41x + 12 = 0$.

(B) दिया गया है $f(x)=a x^2+b x+c$ और $GCD(a, b, c)=1$ है।
चूंकि $\frac{-7+\sqrt{11} i}{6}$ समीकरण $f(x)=0$ का एक मूल है,तो इसका संयुग्मी $\frac{-7-\sqrt{11} i}{6}$ भी एक मूल होगा।
मूलों का योग $= \frac{-7+\sqrt{11} i}{6} + \frac{-7-\sqrt{11} i}{6} = \frac{-14}{6} = -\frac{7}{3} = -\frac{b}{a} \implies \frac{b}{a} = \frac{7}{3}$.
मूलों का गुणनफल $= \left(\frac{-7+\sqrt{11} i}{6}\right) \left(\frac{-7-\sqrt{11} i}{6}\right) = \frac{49+11}{36} = \frac{60}{36} = \frac{5}{3} = \frac{c}{a}$.
अतः,$a=3, b=7, c=5$,जो $GCD(3, 7, 5)=1$ को संतुष्ट करता है।
इसलिए,$f(x) = 3x^2+7x+5$.
दिया गया है $f\left(\frac{x}{k}\right)-L = (x+4)(3x-5) = 3x^2+7x-20$.
$f\left(\frac{x}{k}\right) = 3\left(\frac{x}{k}\right)^2 + 7\left(\frac{x}{k}\right) + 5$ रखने पर:
$3\frac{x^2}{k^2} + \frac{7x}{k} + 5 - L = 3x^2 + 7x - 20$.
गुणांकों की तुलना करने पर:
$\frac{3}{k^2} = 3 \implies k^2 = 1 \implies k = 1$.
$\frac{7}{k} = 7 \implies k = 1$.
$5 - L = -20 \implies L = 25$.
अतः,$k=1$ और $L=25$.

(C) दिया गया समीकरण $x^2-x+1=0$ है। इसके मूल $\alpha = -\omega$ और $\alpha = -\omega^2$ हैं,जहाँ $\omega$ इकाई का सम्मिश्र घनमूल है।
$\alpha^2-\alpha+1=0$ होने के कारण,$\alpha+\frac{1}{\alpha} = 1$ प्राप्त होता है।
माना $S_n = \alpha^n + \frac{1}{\alpha^n}$।
$n=1$ के लिए,$S_1 = 1$।
$n=2$ के लिए,$S_2 = -1$।
$n=3$ के लिए,$S_3 = -2$।
$n=4$ के लिए,$S_4 = 1$।
$n=5$ के लिए,$S_5 = -1$।
$n=6$ के लिए,$S_6 = 2$।
पद $S_n^3$ हैं: $1, -1, -8, 1, -1, 8, 1, -1, -8, 1, -1, 8$।
$12$ पदों का योग: $(1-1-8) + (1-1+8) + (1-1-8) + (1-1+8) = 0$।

(D) दिया गया समीकरण $x^2-x+1=0$ है। चूँकि $\alpha$ एक मूल है,$\alpha^2-\alpha+1=0$।
$\alpha$ से विभाजित करने पर,$\alpha-1+\frac{1}{\alpha}=0$,अतः $\alpha+\frac{1}{\alpha}=1$।
अब,$\left(\alpha+\frac{1}{\alpha}\right)^2 = \alpha^2+\frac{1}{\alpha^2}+2 = 1^2 = 1$,जिसका अर्थ है $\alpha^2+\frac{1}{\alpha^2} = -1$।
साथ ही,$\alpha^3+\frac{1}{\alpha^3} = (\alpha+\frac{1}{\alpha})(\alpha^2+\frac{1}{\alpha^2}-1) = (1)(-1-1) = -2$।
$\alpha^4+\frac{1}{\alpha^4}$ के लिए,हम $(\alpha^2+\frac{1}{\alpha^2})^2 = \alpha^4+\frac{1}{\alpha^4}+2 = (-1)^2 = 1$ का उपयोग करते हैं,अतः $\alpha^4+\frac{1}{\alpha^4} = -1$।
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$(1)^3 + (-1)^3 + (-2)^3 + (-1)^3 = 1 - 1 - 8 - 1 = -9$।

(B) दी गई असमिका $\sqrt{2} \sin^2 x + (3\sqrt{2} + 1) \sin x + 3 > 0$ है।
गुणनखंड करने पर: $(\sqrt{2} \sin x + 1)(\sin x + 3) > 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\sin x + 3 > 0$ सभी वास्तविक $x$ के लिए सत्य है,इसलिए $\sqrt{2} \sin x + 1 > 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $\sin x > -\frac{1}{\sqrt{2}}$।
यह असमिका $x \in \left(-\frac{\pi}{4} + 2n\pi, \frac{5\pi}{4} + 2n\pi\right)$ के लिए सत्य है।
दूसरी असमिका $x^2 - 7x + 10 < 0$ के लिए,गुणनखंड $(x - 2)(x - 5) < 0$ है,जिसका हल $x \in (2, 5)$ है।
अतः,दोनों का प्रतिच्छेदन $x \in \left(2, \frac{5\pi}{4}\right)$ है।

(A) माना $y = \frac{x^2-2x+1}{x^2+x-1}$.
$y(x^2+x-1) = x^2-2x+1$
$(y-1)x^2 + (y+2)x - (y+1) = 0$.
चूँकि $x \in \mathbb{R}$,विविक्तकर $D \geq 0$.
$D = (y+2)^2 + 4(y-1)(y+1) \geq 0$
$5y^2 + 4y \geq 0$
$y(5y+4) \geq 0$.
अतः $y \in (-\infty, -\frac{4}{5}] \cup [0, \infty)$.
इसलिए,$y$ के मान $\left(-\frac{4}{5}, 0\right)$ अंतराल में नहीं हैं।

(C) व्यंजक $2x^2 + 4x + 5 = 2(x^2 + 2x + 1) + 3 = 2(x+1)^2 + 3$. चूंकि $(x+1)^2 \geq 0$,न्यूनतम मान $3$ $(IV)$ है।
$(B)$ मान लीजिए $y = \frac{x^2 + 4x + 1}{x^2 + x + 1}$. तब $y(x^2 + x + 1) = x^2 + 4x + 1 \implies (y-1)x^2 + (y-4)x + (y-1) = 0$. $x$ के वास्तविक होने के लिए,$D \geq 0 \implies (y-4)^2 - 4(y-1)^2 \geq 0 \implies (y+2)(y-2) \leq 0 \implies -2 \leq y \leq 2$. अधिकतम मान $2$ $(III)$ है।
$(C)$ और $(D)$ दिया गया है $1 \leq \frac{3x^2 - 5x + 6}{x^2 + 1} \leq 2$.
$x^2 + 1 \leq 3x^2 - 5x + 6 \implies 2x^2 - 5x + 5 \geq 0$ (हमेशा सत्य क्योंकि $D < 0$).
$3x^2 - 5x + 6 \leq 2x^2 + 2 \implies x^2 - 5x + 4 \leq 0 \implies 1 \leq x \leq 4$.
अतः $a = 1$ $(II)$ और $b = 4$ $(V)$.
मिलान: $(A)$ $\rightarrow IV, (B)$ $\rightarrow III, (C)$ $\rightarrow V, (D)$ $\rightarrow II$. सही विकल्प $(C)$ है।

(C) माना $y = \frac{x^2-x+2}{x^2+x-2}$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें मिलता है $y(x^2+x-2) = x^2-x+2$.
$yx^2 + yx - 2y = x^2 - x + 2$.
$(y-1)x^2 + (y+1)x - (2y+2) = 0$.
$x$ के वास्तविक होने के लिए,विविक्तकर (discriminant) $D \ge 0$ होना चाहिए।
$D = (y+1)^2 - 4(y-1)(-2y-2) \ge 0$.
$(y+1)^2 + 8(y-1)(y+1) \ge 0$.
$(y+1)[(y+1) + 8(y-1)] \ge 0$.
$(y+1)(y+1+8y-8) \ge 0$.
$(y+1)(9y-7) \ge 0$.
क्रांतिक बिंदु $y = -1$ और $y = \frac{7}{9}$ हैं।
अंतरालों की जाँच करने पर,असमिका $y \in (-\infty, -1] \cup \left[\frac{7}{9}, \infty\right)$ के लिए सत्य है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) माना $y = \frac{x^2-3x+4}{x^2+3x+4}$.
$y(x^2+3x+4) = x^2-3x+4$
$yx^2 + 3yx + 4y = x^2 - 3x + 4$
$x^2(y-1) + x(3y+3) + (4y-4) = 0$.
चूंकि $x$ वास्तविक है,इसलिए विविक्तकर $D \geq 0$.
$D = (3y+3)^2 - 4(y-1)(4y-4) \geq 0$
$9(y+1)^2 - 16(y-1)^2 \geq 0$
$9(y^2+2y+1) - 16(y^2-2y+1) \geq 0$
$9y^2 + 18y + 9 - 16y^2 + 32y - 16 \geq 0$
$-7y^2 + 50y - 7 \geq 0$
$7y^2 - 50y + 7 \leq 0$
$(7y-1)(y-7) \leq 0$.
अतः,अंतराल $[\frac{1}{7}, 7]$ है।

(D) माना $f(x) = \frac{x^2-6x+5}{x^2+2x+1}$,जहाँ $x \in R$ है।
$y = \frac{x^2-6x+5}{x^2+2x+1}$ रखने पर,
$y(x^2+2x+1) = x^2-6x+5$
$(y-1)x^2 + (2y+6)x + (y-5) = 0$ प्राप्त होता है।
चूँकि $x$ एक वास्तविक संख्या है,इसलिए विविक्तकर (discriminant) $D \geq 0$ होना चाहिए।
$D = (2y+6)^2 - 4(y-1)(y-5) \geq 0$.
$4(y+3)^2 - 4(y^2-6y+5) \geq 0$.
$y^2+6y+9 - y^2+6y-5 \geq 0$.
$12y + 4 \geq 0$.
$12y \geq -4$.
$y \geq -\frac{1}{3}$.
अतः,दिए गए व्यंजक का न्यूनतम मान $-\frac{1}{3}$ है।

(A) दिया गया है $x = \frac{1}{2} \left( \sqrt{3} + \frac{1}{\sqrt{3}} \right)$.
सबसे पहले,$x^2$ की गणना करें:
$x^2 = \frac{1}{4} \left( 3 + \frac{1}{3} + 2 \right) = \frac{1}{4} \left( \frac{9+1+6}{3} \right) = \frac{1}{4} \left( \frac{16}{3} \right) = \frac{4}{3}$.
अब,$x^2 - 1$ की गणना करें:
$x^2 - 1 = \frac{4}{3} - 1 = \frac{1}{3}$.
अतः,$\sqrt{x^2 - 1} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
इन मानों को व्यंजक $\frac{\sqrt{x^2 - 1}}{x - \sqrt{x^2 - 1}}$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$= \frac{\frac{1}{\sqrt{3}}}{\frac{1}{2} \left( \sqrt{3} + \frac{1}{\sqrt{3}} \right) - \frac{1}{\sqrt{3}}}$
$= \frac{\frac{1}{\sqrt{3}}}{\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2\sqrt{3}} - \frac{1}{\sqrt{3}}}$
$= \frac{\frac{1}{\sqrt{3}}}{\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2\sqrt{3}}}$
$= \frac{\frac{1}{\sqrt{3}}}{\frac{3 - 1}{2\sqrt{3}}} = \frac{\frac{1}{\sqrt{3}}}{\frac{2}{2\sqrt{3}}} = \frac{\frac{1}{\sqrt{3}}}{\frac{1}{\sqrt{3}}} = 1$.

(C) माना $f(x) = -2x^2 + 3x + 1$ है।
चरम मान ज्ञात करने के लिए,हम $f(x)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$f'(x) = -4x + 3$।
$f'(x) = 0$ रखने पर,हमें $-4x + 3 = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x = \frac{3}{4}$।
चरम मान $k = f\left(\frac{3}{4}\right) = -2\left(\frac{3}{4}\right)^2 + 3\left(\frac{3}{4}\right) + 1 = -2\left(\frac{9}{16}\right) + \frac{9}{4} + 1 = -\frac{9}{8} + \frac{18}{8} + \frac{8}{8} = \frac{17}{8}$।
अब,हमें $x$ का वह समुच्चय ज्ञात करना है जिसके लिए $kx^2 + 2x + 1 > 0$ हो,जहाँ $k = \frac{17}{8}$ है।
$k$ का मान रखने पर,हमें $\frac{17}{8}x^2 + 2x + 1 > 0$ प्राप्त होता है।
$8$ से गुणा करने पर,$17x^2 + 16x + 8 > 0$ प्राप्त होता है।
इस द्विघात समीकरण का विविक्तकर $D = b^2 - 4ac = (16)^2 - 4(17)(8) = 256 - 544 = -288$ है।
चूंकि $D < 0$ है और $x^2$ का गुणांक $(17)$ धनात्मक है,इसलिए द्विघात व्यंजक $17x^2 + 16x + 8$ सभी वास्तविक $x$ के लिए हमेशा धनात्मक रहेगा।
अतः,हल समुच्चय $(-\infty, \infty)$ है।

(B) द्विघात फलन $f(x)=ax^2+bx+c$ (जहाँ $a>0$) का न्यूनतम मान $-\frac{D}{4a} = \frac{4ac-b^2}{4a}$ द्वारा दिया जाता है।
$f(x)=2x^2+\alpha x+8$ के लिए,हमारे पास $a=2, b=\alpha, c=8$ है। न्यूनतम मान $\frac{4(2)(8)-\alpha^2}{4(2)} = \frac{64-\alpha^2}{8}$ है।
द्विघात फलन $g(x)=ax^2+bx+c$ (जहाँ $a < 0$) का अधिकतम मान $-\frac{D}{4a} = \frac{4ac-b^2}{4a}$ द्वारा दिया जाता है।
$g(x)=-3x^2-4x+\alpha^2$ के लिए,हमारे पास $a=-3, b=-4, c=\alpha^2$ है। अधिकतम मान $\frac{4(-3)(\alpha^2)-(-4)^2}{4(-3)} = \frac{-12\alpha^2-16}{-12} = \frac{12\alpha^2+16}{12}$ है।
दोनों मानों को बराबर करने पर:
$\frac{64-\alpha^2}{8} = \frac{12\alpha^2+16}{12}$
दोनों पक्षों को $24$ से गुणा करने पर:
$3(64-\alpha^2) = 2(12\alpha^2+16)$
$192-3\alpha^2 = 24\alpha^2+32$
$160 = 27\alpha^2$
$\alpha^2 = \frac{160}{27}$.
अतः,विकल्प $(B)$ सही है।

(C) दिया गया है कि,$x = \frac{1}{2} \left( \sqrt{7} + \frac{1}{\sqrt{7}} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{7+1}{\sqrt{7}} \right) = \frac{4}{\sqrt{7}}$.
तब,$x^2 = \frac{16}{7}$.
अतः,$x^2 - 1 = \frac{16}{7} - 1 = \frac{9}{7}$.
इस प्रकार,$\sqrt{x^2 - 1} = \sqrt{\frac{9}{7}} = \frac{3}{\sqrt{7}}$.
अब,इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{\sqrt{x^2 - 1}}{x - \sqrt{x^2 - 1}} = \frac{\frac{3}{\sqrt{7}}}{\frac{4}{\sqrt{7}} - \frac{3}{\sqrt{7}}} = \frac{\frac{3}{\sqrt{7}}}{\frac{1}{\sqrt{7}}} = 3$.

(D) दिया गया है कि $\alpha$,$x^{2}+3 p^{2} x+5 q^{2}=0$ का एक मूल है,इसलिए $\alpha^{2}+3 p^{2} \alpha+5 q^{2}=0$ है।
$\beta$,$x^{2}+9 p^{2} x+15 q^{2}=0$ का एक मूल है,इसलिए $\beta^{2}+9 p^{2} \beta+15 q^{2}=0$ है।
मान लीजिए $f(x)=x^{2}+6 p^{2} x+10 q^{2}$ है।
$f(\alpha)$ का मान ज्ञात करने पर:
$f(\alpha)=\alpha^{2}+6 p^{2} \alpha+10 q^{2} = (\alpha^{2}+3 p^{2} \alpha+5 q^{2}) + 3 p^{2} \alpha + 5 q^{2} = 3 p^{2} \alpha + 5 q^{2} > 0$ है।
$f(\beta)$ का मान ज्ञात करने पर:
$f(\beta)=\beta^{2}+6 p^{2} \beta+10 q^{2} = (\beta^{2}+9 p^{2} \beta+15 q^{2}) - (3 p^{2} \beta + 5 q^{2}) = -(3 p^{2} \beta + 5 q^{2}) < 0$ है।
चूंकि $f(x)$ एक बहुपद है और $f(\alpha) > 0$ तथा $f(\beta) < 0$ है,इसलिए मध्यवर्ती मान प्रमेय (Intermediate Value Theorem) के अनुसार,एक ऐसा मूल $\gamma$ मौजूद है जो $\alpha < \gamma < \beta$ को संतुष्ट करता है।

(C) दिया गया द्विघात समीकरण $x^2 - a(x-1) + b = 0$ है,जिसे $x^2 - ax + a + b = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूंकि $\alpha$ और $\beta$ मूल हैं,इसलिए:
$\alpha^2 - a\alpha = -(a+b)$
$\beta^2 - a\beta = -(a+b)$
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{1}{-(a+b)} + \frac{1}{-(a+b)} + \frac{2}{a+b} = -\frac{2}{a+b} + \frac{2}{a+b} = 0$.

(C) माना $y = \frac{x^{2}+2 x+4}{2 x^{2}+4 x+9}$.
$y(2 x^{2}+4 x+9) = x^{2}+2 x+4$.
$2 y x^{2} + 4 y x + 9 y = x^{2} + 2 x + 4$.
$(2 y-1) x^{2} + (4 y-2) x + (9 y-4) = 0$.
चूंकि $x$ एक वास्तविक संख्या है,इसलिए विविक्तकर $D \geq 0$.
$D = (4 y-2)^{2} - 4(2 y-1)(9 y-4) \geq 0$.
$4(2 y-1)^{2} - 4(2 y-1)(9 y-4) \geq 0$.
$4(2 y-1) [ (2 y-1) - (9 y-4) ] \geq 0$.
$4(2 y-1) (-7 y + 3) \geq 0$.
$(2 y-1) (7 y - 3) \leq 0$.
यह असमिका $\frac{3}{7} \leq y \leq \frac{1}{2}$ के लिए सत्य है।
अतः,$y$ का अधिकतम मान $\frac{1}{2}$ है।

(A) $\frac{6a}{5b} + \frac{10b}{3a}$ का न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम समांतर माध्य-गुणोत्तर माध्य $(AM \geq GM)$ असमिका का उपयोग करते हैं।
किन्हीं भी दो धनात्मक वास्तविक संख्याओं $x$ और $y$ के लिए,$x+y \geq 2\sqrt{xy}$ होता है।
माना $x = \frac{6a}{5b}$ और $y = \frac{10b}{3a}$ है।
अतः,$\frac{6a}{5b} + \frac{10b}{3a} \geq 2 \sqrt{\frac{6a}{5b} \times \frac{10b}{3a}}$.
वर्गमूल के अंदर के व्यंजक को सरल करने पर:
$\frac{6a}{5b} \times \frac{10b}{3a} = \frac{60}{15} = 4$.
इसलिए,$\frac{6a}{5b} + \frac{10b}{3a} \geq 2 \sqrt{4} = 4$.
अतः,न्यूनतम संभव मान $4$ है।

(C) प्रत्येक $n \in \mathbb{N}$ के लिए $a^{n} + b^{n} = c^{n} + d^{n}$ दिया गया है।
$n = 1$ के लिए,$a + b = c + d$ प्राप्त होता है।
$n = 2$ के लिए,$a^{2} + b^{2} = c^{2} + d^{2}$ प्राप्त होता है।
ये शर्तें यह सुनिश्चित करने के लिए पर्याप्त हैं कि ${a, b} = {c, d}$,जो सभी $n$ के लिए समीकरण को संतुष्ट करता है।
अतः,सही विकल्प $(C)$ है।

(D) $1$) समीकरण $x^2 - 3x + r = 0$ से,हमारे पास $\alpha + \beta = 3$ और $\alpha\beta = r$ है।
$2$) समीकरण $x^2 + 3x + r = 0$ के मूल $\frac{\alpha}{2}$ और $2\beta$ हैं। अतः,$\frac{\alpha}{2} + 2\beta = -3$ और $(\frac{\alpha}{2})(2\beta) = r$,जो $\alpha\beta = r$ में सरल होता है। यह सुसंगत है।
$3$) पहले समीकरण को $2$ से गुणा करने पर,हमें $\alpha + 4\beta = -6$ प्राप्त होता है। इसमें से $\alpha + \beta = 3$ घटाने पर $3\beta = -9$ मिलता है,इसलिए $\beta = -3$। मान प्रतिस्थापित करने पर,$\alpha = 6$ प्राप्त होता है।
$4$) अतः $r = \alpha\beta = 6(-3) = -18$ है।
$5$) समीकरण $x^2 + 6x - m = 0$ के मूल $x_1 = 2\alpha + \beta + 2r = 2(6) - 3 + 2(-18) = 12 - 3 - 36 = -27$ और $x_2 = \alpha - 2\beta - \frac{r}{2} = 6 - 2(-3) - \frac{-18}{2} = 6 + 6 + 9 = 21$ हैं।
$6$) मूलों का गुणनफल $x_1 x_2 = (-27)(21) = -567$ है। चूंकि समीकरण $x^2 + 6x - m = 0$ है,मूलों का गुणनफल $-m$ है। इसलिए,$-m = -567$,जिसका अर्थ है कि $m = 567$।

(C) मान लीजिए कि $x_1 = \tan A$ और $x_2 = \tan B$ समीकरण $x^2 - 2x - 5 = 0$ के मूल हैं।
मूलों के गुणों से,$x_1 + x_2 = 2$ और $x_1 x_2 = -5$ प्राप्त होता है।
$\tan(A+B)$ के सूत्र का उपयोग करते हुए,$\tan(A+B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B} = \frac{2}{1 - (-5)} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$।
हम जानते हैं कि $\sin^2(\frac{A+B}{2}) = \frac{1 - \cos(A+B)}{2}$।
दिया गया है कि $\tan(A+B) = \frac{1}{3}$,इसलिए $\cos(A+B) = \frac{3}{\sqrt{1^2 + 3^2}} = \frac{3}{\sqrt{10}}$।
इस मान को सर्वसमिका में रखने पर: $\sin^2(\frac{A+B}{2}) = \frac{1 - 3/\sqrt{10}}{2} = \frac{\sqrt{10} - 3}{2\sqrt{10}}$।
अंत में,$20 \sin^2(\frac{A+B}{2}) = 20 \times \frac{\sqrt{10} - 3}{2\sqrt{10}} = \frac{10(\sqrt{10} - 3)}{\sqrt{10}} = 10 - 3\sqrt{10}$।

(C) मान लीजिए मूल $a, ar, ar^2, ar^3$ $G$.$P$. में हैं।
प्रथम समीकरण $x^2 - x + p = 0$ से,$\alpha + \beta = a + ar = 1$ और $\alpha\beta = a(ar) = a^2r = p$ प्राप्त होता है।
द्वितीय समीकरण $x^2 - 4x + q = 0$ से,$\gamma + \delta = ar^2 + ar^3 = r^2(a + ar) = 4$ और $\gamma\delta = (ar^2)(ar^3) = a^2r^5 = q$ प्राप्त होता है।
चूँकि $a + ar = 1$ है,इसे दूसरे समीकरण में रखने पर: $r^2(1) = 4 \implies r^2 = 4 \implies r = \pm 2$।
स्थिति $1$: यदि $r = 2$ है,तो $a(1 + 2) = 1 \implies a = 1/3$। अतः $p = a^2r = (1/9)(2) = 2/9$,जो पूर्णांक नहीं है। यह स्थिति अमान्य है।
स्थिति $2$: यदि $r = -2$ है,तो $a(1 - 2) = 1 \implies -a = 1 \implies a = -1$।
अब $p$ और $q$ की गणना करते हैं: $p = a^2r = (-1)^2(-2) = -2$।
$q = a^2r^5 = (-1)^2(-2)^5 = 1 \times (-32) = -32$।
अंत में,$|p + q| = |-2 + (-32)| = |-34| = 34$।