Ellipse Questions in Gujarati

(B) આપેલ છે કે નાભિ $(0, 5\sqrt{3})$ પર છે,તેથી ઉપવલય શિરોલંબ છે અને મુખ્ય અક્ષ $y$-અક્ષ પર છે. તેથી,$b > a$.
નાભિ $(0, be) = (0, 5\sqrt{3})$ છે,તેથી $be = 5\sqrt{3}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$b^2e^2 = 75$.
ઉપવલય માટે,$a^2 = b^2(1 - e^2) = b^2 - b^2e^2$,તેથી $b^2 - a^2 = 75$.
આપણને આપેલ છે કે મુખ્ય અક્ષ $(2b)$ અને ગૌણ અક્ષ $(2a)$ ની લંબાઈનો તફાવત $10$ છે:
$2b - 2a = 10 \Rightarrow b - a = 5$.
નિત્યસમ $b^2 - a^2 = (b - a)(b + a) = 75$ નો ઉપયોગ કરતા:
$5(b + a) = 75 \Rightarrow b + a = 15$.
સમીકરણો ઉકેલતા:
$b - a = 5$
$b + a = 15$
સરવાળો કરતા $2b = 20 \Rightarrow b = 10$.
બાદબાકી કરતા $2a = 10 \Rightarrow a = 5$.
શિરોલંબ ઉપવલય માટે નાભિલંબની લંબાઈ $\frac{2a^2}{b}$ છે.
$LR = \frac{2(5^2)}{10} = \frac{2 \times 25}{10} = \frac{50}{10} = 5$.

(B) ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ માટે બિંદુ $(x_1, y_1)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $\frac{xx_1}{a^2} + \frac{yy_1}{b^2} = 1$ છે.
આપેલ બિંદુ $(3, -4.5)$ માટે સ્પર્શકનું સમીકરણ $\frac{3x}{a^2} - \frac{4.5y}{b^2} = 1$ થાય.
આપેલ રેખા $x - 2y = 12$ ને $\frac{x}{12} - \frac{y}{6} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
સહગુણકોની સરખામણી કરતા: $\frac{3}{a^2} = \frac{1}{12}$ $\Rightarrow a^2 = 36$ $\Rightarrow a = 6$.
અને $\frac{4.5}{b^2} = \frac{1}{6} \Rightarrow b^2 = 27$.
નાભિલંબની લંબાઈ $= \frac{2b^2}{a} = \frac{2 \times 27}{6} = 9$.

(B) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ: $3x^2 + 5y^2 = 32$.
$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા: $6x + 10y \frac{dy}{dx} = 0$,જેથી $\frac{dy}{dx} = -\frac{3x}{5y}$ મળે.
બિંદુ $P(2, 2)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $m = -\frac{3(2)}{5(2)} = -\frac{3}{5}$ છે.
$P(2, 2)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - 2 = -\frac{3}{5}(x - 2)$ છે. $Q$ શોધવા માટે $y = 0$ લેતા,$-2 = -\frac{3}{5}(x - 2)$ $\Rightarrow x - 2 = \frac{10}{3}$ $\Rightarrow x = \frac{16}{3}$. આમ,$Q = (\frac{16}{3}, 0)$.
$P(2, 2)$ આગળ અભિલંબનો ઢાળ $m' = -\frac{1}{m} = \frac{5}{3}$ છે.
$P(2, 2)$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ $y - 2 = \frac{5}{3}(x - 2)$ છે. $R$ શોધવા માટે $y = 0$ લેતા,$-2 = \frac{5}{3}(x - 2)$ $\Rightarrow x - 2 = -\frac{6}{5}$ $\Rightarrow x = \frac{4}{5}$. આમ,$R = (\frac{4}{5}, 0)$.
ત્રિકોણ $PQR$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times |x_Q - x_R| \times |y_P| = \frac{1}{2} \times |\frac{16}{3} - \frac{4}{5}| \times 2 = \frac{68}{15}$ ચોરસ એકમ.

(B) ઉપવલયનું સમીકરણ $3x^2 + 4y^2 = 12$ છે,જેને $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1$ તરીકે લખી શકાય. અહીં $a^2 = 4$ અને $b^2 = 3$ છે.
ધારો કે બિંદુ $P$ એ $(2\cos \theta, \sqrt{3}\sin \theta)$ છે.
$P$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ $\frac{a^2x}{x_1} - \frac{b^2y}{y_1} = a^2 - b^2$ છે,જે $2x\sec \theta - \sqrt{3}y\csc \theta = 1$ માં પરિણમે છે.
આ અભિલંબનો ઢાળ $\frac{2}{\sqrt{3}}\tan \theta$ છે.
અભિલંબ રેખા $2x + y = 4$ ને સમાંતર હોવાથી,તેનો ઢાળ $-2$ છે. તેથી,$\frac{2}{\sqrt{3}}\tan \theta = -2$,જે $\tan \theta = -\sqrt{3}$ આપે છે.
$\tan \theta = -\sqrt{3}$ માટે,$\cos \theta = \pm \frac{1}{2}$ અને $\sin \theta = \mp \frac{\sqrt{3}}{2}$ મળે છે.
$P$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $x\cos \theta + \frac{2y\sin \theta}{\sqrt{3}} = 2$ છે.
સ્પર્શક $Q(4, 4)$ માંથી પસાર થતો હોવાથી,$4\cos \theta + \frac{8\sin \theta}{\sqrt{3}} = 2$ મળે છે.
$\sin \theta = -\sqrt{3}\cos \theta$ મૂકતા,આપણને $\cos \theta = -\frac{1}{2}$ અને $\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ મળે છે.
તેથી,$P = (-1, 3/2)$.
$PQ = \sqrt{(4 - (-1))^2 + (4 - 3/2)^2} = \sqrt{5^2 + (5/2)^2} = \frac{5\sqrt{5}}{2}$.

(D) નાભિ $(0, \pm c)$ પર છે જ્યાં $c = 2$. નાભિ $y$-અક્ષ પર હોવાથી,ઉપવલય શિરોલંબ છે.
ગૌણ અક્ષની લંબાઈ $2a = 4$ છે,તેથી $a = 2$.
ઉપવલય માટે,$c^2 = b^2 - a^2$,જ્યાં $b$ એ અર્ધ-મુખ્ય અક્ષ છે.
$2^2 = b^2 - 2^2$ $\Rightarrow 4 = b^2 - 4$ $\Rightarrow b^2 = 8$.
ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે,જે $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{8} = 1$ થાય.
વિકલ્પ $(D)$ ચકાસતા: $\frac{(\sqrt{2})^2}{4} + \frac{2^2}{8} = \frac{2}{4} + \frac{4}{8} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$.
આમ,બિંદુ $(\sqrt{2}, 2)$ ઉપવલય પર આવેલું છે.

(B) રેખાનું સમીકરણ $3x + 4y = 12\sqrt{2}$ છે,જેને $y = -\frac{3}{4}x + 3\sqrt{2}$ તરીકે લખી શકાય.
$y = mx + c$ સાથે સરખાવતા,$m = -\frac{3}{4}$ અને $c = 3\sqrt{2}$ મળે.
ઉપવલય $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ માટે સ્પર્શકની શરત $c^{2} = a^{2}m^{2} + b^{2}$ છે.
અહીં $b^{2} = 9$ છે. કિંમતો મૂકતા: $(3\sqrt{2})^{2} = a^{2}(-\frac{3}{4})^{2} + 9$.
$18 = a^{2}(\frac{9}{16}) + 9$.
$9 = a^{2}(\frac{9}{16}) \Rightarrow a^{2} = 16$,તેથી $a = 4$.
ઉપવલય $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ છે. $a^{2} > b^{2}$ હોવાથી,ઉત્કેન્દ્રિયતા $e = \sqrt{1 - \frac{9}{16}} = \frac{\sqrt{7}}{4}$.
નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $2ae = 2 \times 4 \times \frac{\sqrt{7}}{4} = 2\sqrt{7}$ થાય.

(C) આપેલ છે કે નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $2ae = 6$,તેથી $ae = 3$ $(1)$.
નિયામિકાઓ વચ્ચેનું અંતર $\frac{2a}{e} = 12$,તેથી $a = 6e$ $(2)$.
$(2)$ ને $(1)$ માં મૂકતા,$6e^2 = 3$,જેનો અર્થ છે કે $e^2 = \frac{1}{2}$,તેથી $e = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
તેથી $a = 6 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}$.
સંબંધ $b^2 = a^2(1 - e^2)$ નો ઉપયોગ કરતા,$b^2 = (3\sqrt{2})^2(1 - \frac{1}{2}) = 18 \times \frac{1}{2} = 9$.
નાભિલંબની લંબાઈ $\frac{2b^2}{a} = \frac{2(9)}{3\sqrt{2}} = \frac{6}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}$ છે.

(D) ઉપવલયનું સમીકરણ $2x^{2}+y^{2}=1$ છે,જેને $\frac{x^{2}}{(1/\sqrt{2})^{2}} + \frac{y^{2}}{1^{2}} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
ધારો કે બિંદુ $P$ એ $(\frac{1}{\sqrt{2}}\cos\theta, \sin\theta)$ છે.
બિંદુ $P$ આગળના અભિલંબનું સમીકરણ $\frac{ax}{\cos\theta} - \frac{by}{\sin\theta} = a^{2}-b^{2}$ છે,જ્યાં $a=\frac{1}{\sqrt{2}}$ અને $b=1$.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\frac{x}{\sqrt{2}\cos\theta} - \frac{y}{\sin\theta} = -\frac{1}{2}$ મળે છે.
આને $\frac{x}{(-\frac{1}{\sqrt{2}}\cos\theta)} + \frac{y}{(\frac{1}{2}\sin\theta)} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
આપેલા અંતઃખંડો $(-\frac{1}{3\sqrt{2}}, 0)$ અને $(0, \beta)$ સાથે સરખાવતા,$-\frac{1}{\sqrt{2}}\cos\theta = -\frac{1}{3\sqrt{2}} \Rightarrow \cos\theta = \frac{1}{3}$.
$\sin^{2}\theta = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$ હોવાથી,$\sin\theta = \frac{2\sqrt{2}}{3}$ મળે.
તેથી,$\beta = \frac{1}{2}\sin\theta = \frac{\sqrt{2}}{3}$.

(B) ધારો કે લંબવૃત્તનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે,જ્યાં $a > b$.
ગૌણ અક્ષની લંબાઈ $2b = \frac{4}{\sqrt{3}}$ આપેલ છે,તેથી $b = \frac{2}{\sqrt{3}}$ અને $b^2 = \frac{4}{3}$.
રેખા $x + 6y = 8$ ને $y = -\frac{1}{6}x + \frac{4}{3}$ તરીકે લખી શકાય.
રેખા $y = mx + c$ એ લંબવૃત્ત $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ નો સ્પર્શક હોય તેની શરત $c^2 = a^2m^2 + b^2$ છે.
અહીં $m = -\frac{1}{6}$ અને $c = \frac{4}{3}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $(\frac{4}{3})^2 = a^2(-\frac{1}{6})^2 + \frac{4}{3}$.
$\frac{16}{9} = \frac{a^2}{36} + \frac{4}{3}$.
$\frac{a^2}{36} = \frac{16}{9} - \frac{12}{9} = \frac{4}{9}$.
$a^2 = 16$,તેથી $a = 4$.
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{4/3}{16}} = \sqrt{\frac{11}{12}} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{11}{3}}$.

(N/A) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ છે.
અહીં $\frac{x^{2}}{25}$ નો છેદ $\frac{y^{2}}{9}$ ના છેદ કરતા મોટો હોવાથી,પ્રધાન અક્ષ $x$-અક્ષ પર છે.
આપેલ સમીકરણને $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ સાથે સરખાવતા,$a^{2} = 25$ અને $b^{2} = 9$ મળે,તેથી $a = 5$ અને $b = 3$.
આપણે $c = \sqrt{a^{2} - b^{2}} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4$ મેળવીએ છીએ.
$1$. નાભિના યામ $(\pm c, 0)$ એટલે કે $(-4, 0)$ અને $(4, 0)$ છે.
$2$. શિરોબિંદુઓના યામ $(\pm a, 0)$ એટલે કે $(-5, 0)$ અને $(5, 0)$ છે.
$3$. પ્રધાન અક્ષની લંબાઈ $2a = 2 \times 5 = 10$ એકમ છે.
$4$. ગૌણ અક્ષની લંબાઈ $2b = 2 \times 3 = 6$ એકમ છે.
$5$. ઉત્કેન્દ્રતા $e = \frac{c}{a} = \frac{4}{5} = 0.8$ છે.
$6$. નાભિલંબની લંબાઈ $\frac{2b^{2}}{a} = \frac{2 \times 9}{5} = \frac{18}{5} = 3.6$ એકમ છે.

(N/A) ઉપવલયનું આપેલ સમીકરણ $9x^{2} + 4y^{2} = 36$ છે. બંને બાજુ $36$ વડે ભાગતા,આપણને પ્રમાણિત સ્વરૂપ મળે છે:
$\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{9} = 1$
અહીં $\frac{y^{2}}{9}$ નો છેદ $\frac{x^{2}}{4}$ ના છેદ કરતા મોટો હોવાથી,પ્રધાન અક્ષ $y$-અક્ષ પર છે.
તેને પ્રમાણિત સમીકરણ $\frac{x^{2}}{b^{2}} + \frac{y^{2}}{a^{2}} = 1$ સાથે સરખાવતા,$b^{2} = 4$ અને $a^{2} = 9$ મળે છે,તેથી $b = 2$ અને $a = 3$.
$c$ ની કિંમત $c = \sqrt{a^{2} - b^{2}} = \sqrt{9 - 4} = \sqrt{5}$ છે.
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{5}}{3}$ છે.
નાભિઓ $(0, \pm \sqrt{5})$ છે.
શિરોબિંદુઓ $(0, \pm 3)$ છે.
પ્રધાન અક્ષની લંબાઈ $2a = 2(3) = 6$ એકમ છે.
ગૌણ અક્ષની લંબાઈ $2b = 2(2) = 4$ એકમ છે.

(A) શિરોબિંદુઓ $x$-અક્ષ પર હોવાથી,ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ સ્વરૂપનું છે,જ્યાં $a$ એ અર્ધ-મુખ્ય અક્ષ છે.
આપેલ છે કે શિરોબિંદુઓ $(\pm 13, 0)$ છે,તેથી $a = 13$.
નાભિઓ $(\pm 5, 0)$ છે,તેથી $c = 5$.
સંબંધ $c^{2} = a^{2} - b^{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$5^{2} = 13^{2} - b^{2}$
$25 = 169 - b^{2}$
$b^{2} = 169 - 25 = 144$,જેનો અર્થ છે કે $b = 12$.
$a^{2}$ અને $b^{2}$ ની કિંમતો પ્રમાણિત સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $\frac{x^{2}}{169} + \frac{y^{2}}{144} = 1$ મળે છે.

(A) નાભિઓ $y$-અક્ષ પર હોવાથી,મુખ્ય અક્ષ $y$-અક્ષ પર છે. ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^{2}}{b^{2}} + \frac{y^{2}}{a^{2}} = 1$ સ્વરૂપનું છે.
આપેલ છે કે મુખ્ય અક્ષની લંબાઈ $2a = 20$,તેથી $a = 10$.
નાભિઓ $(0, \pm c) = (0, \pm 5)$ છે,તેથી $c = 5$.
સંબંધ $c^{2} = a^{2} - b^{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,$5^{2} = 10^{2} - b^{2}$.
$25 = 100 - b^{2}$,જેનો અર્થ છે કે $b^{2} = 100 - 25 = 75$.
$a^{2} = 100$ અને $b^{2} = 75$ ને પ્રમાણિત સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $\frac{x^{2}}{75} + \frac{y^{2}}{100} = 1$ મળે છે.

(A) $x-$અક્ષ પર મુખ્ય અક્ષ ધરાવતા ઉપવલયનું પ્રમાણિત સમીકરણ $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ છે.
બિંદુઓ $(4, 3)$ અને $(-1, 4)$ ઉપવલય પર હોવાથી:
$\frac{16}{a^{2}} + \frac{9}{b^{2}} = 1$ --- $(1)$
$\frac{1}{a^{2}} + \frac{16}{b^{2}} = 1$ --- $(2)$
$u = \frac{1}{a^{2}}$ અને $v = \frac{1}{b^{2}}$ લેતા:
$16u + 9v = 1$ --- $(3)$
$u + 16v = 1$ --- $(4)$
સમીકરણ $(4)$ ને $16$ વડે ગુણતા $16u + 256v = 16$ મળે. તેમાંથી $(3)$ બાદ કરતા:
$247v = 15 \implies v = \frac{15}{247} \implies b^{2} = \frac{247}{15}$.
$v$ ની કિંમત $(4)$ માં મુકતા:
$u + 16(\frac{15}{247}) = 1 \implies u = \frac{7}{247} \implies a^{2} = \frac{247}{7}$.
આમ,ઉપવલયનું સમીકરણ $7x^{2} + 15y^{2} = 247$ થાય.

આપેલ સમીકરણ $\frac{x^{2}}{36}+\frac{y^{2}}{16}=1$ છે.
અહીં,$\frac{x^{2}}{36}$ નો છેદ $\frac{y^{2}}{16}$ ના છેદ કરતા મોટો છે.
તેથી,પ્રધાન અક્ષ $x$-અક્ષ પર છે,જ્યારે ગૌણ અક્ષ $y$-અક્ષ પર છે.
આપેલ સમીકરણની સરખામણી $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ સાથે કરતા,આપણને $a=6$ અને $b=4$ મળે છે.
$\therefore c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}=\sqrt{36-16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$.
તેથી:
નાભિઓના યામ $(\pm 2\sqrt{5}, 0)$ છે.
શિરોબિંદુઓના યામ $(\pm 6, 0)$ છે.
પ્રધાન અક્ષની લંબાઈ $= 2a = 12$.
ગૌણ અક્ષની લંબાઈ $= 2b = 8$.
ઉત્કેન્દ્રતા,$e = \frac{c}{a} = \frac{2\sqrt{5}}{6} = \frac{\sqrt{5}}{3}$.
નાભિલંબની લંબાઈ $= \frac{2b^{2}}{a} = \frac{2 \times 16}{6} = \frac{16}{3}$.

(N/A) આપેલ સમીકરણ $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{25}=1$ છે,જેને $\frac{x^{2}}{2^{2}}+\frac{y^{2}}{5^{2}}=1$ તરીકે લખી શકાય.
અહીં,$\frac{y^{2}}{25}$ નો છેદ $\frac{x^{2}}{4}$ ના છેદ કરતા મોટો હોવાથી,પ્રધાન અક્ષ $y$-અક્ષ પર છે.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{x^{2}}{b^{2}}+\frac{y^{2}}{a^{2}}=1$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a=5$ અને $b=2$ મળે છે.
આપણે $c = \sqrt{a^{2}-b^{2}} = \sqrt{25-4} = \sqrt{21}$ સંબંધનો ઉપયોગ કરીને $c$ શોધીએ છીએ.
નાભિઓના યામ $(0, \sqrt{21})$ અને $(0, -\sqrt{21})$ છે.
શિરોબિંદુઓના યામ $(0, 5)$ અને $(0, -5)$ છે.
પ્રધાન અક્ષની લંબાઈ $2a = 2 \times 5 = 10$ છે.
ગૌણ અક્ષની લંબાઈ $2b = 2 \times 2 = 4$ છે.
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{21}}{5}$ છે.
નાભિલંબની લંબાઈ $\frac{2b^{2}}{a} = \frac{2 \times 4}{5} = \frac{8}{5}$ છે.

(N/A) આપેલ સમીકરણ $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ છે,જેને $\frac{x^{2}}{4^{2}} + \frac{y^{2}}{3^{2}} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
અહીં $\frac{x^{2}}{16}$ નો છેદ $\frac{y^{2}}{9}$ ના છેદ કરતા મોટો હોવાથી,પ્રધાન અક્ષ $x$-અક્ષ પર છે.
પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ સાથે સરખાવતા,$a = 4$ અને $b = 3$ મળે છે.
આપણે $c = \sqrt{a^{2} - b^{2}} = \sqrt{16 - 9} = \sqrt{7}$ મેળવીએ છીએ.
$1$. નાભિના યામ $(\pm \sqrt{7}, 0)$ છે.
$2$. શિરોબિંદુઓના યામ $(\pm 4, 0)$ છે.
$3$. પ્રધાન અક્ષની લંબાઈ $2a = 2 \times 4 = 8$ છે.
$4$. ગૌણ અક્ષની લંબાઈ $2b = 2 \times 3 = 6$ છે.
$5$. ઉત્કેન્દ્રતા $e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{7}}{4}$ છે.
$6$. નાભિલંબની લંબાઈ $\frac{2b^{2}}{a} = \frac{2 \times 9}{4} = \frac{9}{2} = 4.5$ છે.

આપેલ સમીકરણ $\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{100}=1$ છે,જેને $\frac{x^{2}}{5^{2}}+\frac{y^{2}}{10^{2}}=1$ તરીકે લખી શકાય.
અહીં $\frac{y^{2}}{100}$ નો છેદ $\frac{x^{2}}{25}$ ના છેદ કરતા મોટો હોવાથી,પ્રધાન અક્ષ $y$-અક્ષ પર છે.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{x^{2}}{b^{2}}+\frac{y^{2}}{a^{2}}=1$ સાથે સરખાવતા,$a=10$ અને $b=5$ મળે છે.
આપણે $c = \sqrt{a^{2}-b^{2}} = \sqrt{100-25} = \sqrt{75} = 5\sqrt{3}$ મેળવીએ છીએ.
$1$. નાભિના યામ $(0, \pm 5\sqrt{3})$ છે.
$2$. શિરોબિંદુઓના યામ $(0, \pm 10)$ છે.
$3$. પ્રધાન અક્ષની લંબાઈ $2a = 2(10) = 20$ છે.
$4$. ગૌણ અક્ષની લંબાઈ $2b = 2(5) = 10$ છે.
$5$. ઉત્કેન્દ્રતા $e = \frac{c}{a} = \frac{5\sqrt{3}}{10} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ છે.
$6$. નાભિલંબની લંબાઈ $\frac{2b^{2}}{a} = \frac{2(25)}{10} = 5$ છે.

આપેલ સમીકરણ $\frac{x^{2}}{49}+\frac{y^{2}}{36}=1$ છે,જેને $\frac{x^{2}}{7^{2}}+\frac{y^{2}}{6^{2}}=1$ તરીકે લખી શકાય.
અહીં,$\frac{x^{2}}{49}$ નો છેદ $\frac{y^{2}}{36}$ ના છેદ કરતા મોટો હોવાથી,પ્રધાન અક્ષ $x$-અક્ષ પર છે.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ સાથે સરખાવતા,$a=7$ અને $b=6$ મળે છે.
આપણે $c = \sqrt{a^{2}-b^{2}} = \sqrt{49-36} = \sqrt{13}$ ગણીએ.
$1$. નાભિના યામ $(\pm \sqrt{13}, 0)$ છે.
$2$. શિરોબિંદુઓના યામ $(\pm 7, 0)$ છે.
$3$. પ્રધાન અક્ષની લંબાઈ $2a = 2 \times 7 = 14$ છે.
$4$. ગૌણ અક્ષની લંબાઈ $2b = 2 \times 6 = 12$ છે.
$5$. ઉત્કેન્દ્રતા $e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{13}}{7}$ છે.
$6$. નાભિલંબની લંબાઈ $\frac{2b^{2}}{a} = \frac{2 \times 36}{7} = \frac{72}{7}$ છે.

આપેલ સમીકરણ $\frac{x^{2}}{100}+\frac{y^{2}}{400}=1$ છે,જેને $\frac{x^{2}}{10^{2}}+\frac{y^{2}}{20^{2}}=1$ તરીકે લખી શકાય.
અહીં $y^{2}$ નો છેદ $x^{2}$ ના છેદ કરતા મોટો હોવાથી,પ્રધાન અક્ષ $y$-અક્ષ પર છે.
પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{x^{2}}{b^{2}}+\frac{y^{2}}{a^{2}}=1$ સાથે સરખાવતા,$b=10$ અને $a=20$ મળે છે.
સંબંધ $c = \sqrt{a^{2}-b^{2}} = \sqrt{400-100} = \sqrt{300} = 10\sqrt{3}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$1$. નાભિના યામ $(0, \pm 10\sqrt{3})$ છે.
$2$. શિરોબિંદુઓના યામ $(0, \pm 20)$ છે.
$3$. પ્રધાન અક્ષની લંબાઈ $2a = 2 \times 20 = 40$ છે.
$4$. ગૌણ અક્ષની લંબાઈ $2b = 2 \times 10 = 20$ છે.
$5$. ઉત્કેન્દ્રતા $e = \frac{c}{a} = \frac{10\sqrt{3}}{20} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ છે.
$6$. નાભિલંબની લંબાઈ $\frac{2b^{2}}{a} = \frac{2 \times 100}{20} = 10$ છે.

આપેલ સમીકરણ $36 x^{2}+4 y^{2}=144$ છે.
બંને બાજુ $144$ વડે ભાગતા,આપણને મળે:
$\frac{36 x^{2}}{144} + \frac{4 y^{2}}{144} = 1$
$\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{36} = 1$
$\frac{x^{2}}{2^{2}} + \frac{y^{2}}{6^{2}} = 1$ ........ $(1)$
અહીં,$\frac{y^{2}}{6^{2}}$ નો છેદ $\frac{x^{2}}{2^{2}}$ ના છેદ કરતા મોટો છે.
તેથી,પ્રધાન અક્ષ $y$-અક્ષ પર છે,જ્યારે ગૌણ અક્ષ $x$-અક્ષ પર છે.
સમીકરણ $(1)$ ને $\frac{x^{2}}{b^{2}} + \frac{y^{2}}{a^{2}} = 1$ સાથે સરખાવતા,આપણને $b = 2$ અને $a = 6$ મળે છે.
$\therefore c = \sqrt{a^{2} - b^{2}} = \sqrt{36 - 4} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$.
તેથી:
નાભિના યામ $(0, \pm 4\sqrt{2})$ છે.
શિરોબિંદુઓના યામ $(0, \pm 6)$ છે.
પ્રધાન અક્ષની લંબાઈ $= 2a = 12$.
ગૌણ અક્ષની લંબાઈ $= 2b = 4$.
ઉત્કેન્દ્રતા,$e = \frac{c}{a} = \frac{4\sqrt{2}}{6} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$.
નાભિલંબની લંબાઈ $= \frac{2b^{2}}{a} = \frac{2 \times 4}{6} = \frac{4}{3}$.

(N/A) આપેલ સમીકરણ $16x^{2} + y^{2} = 16$ છે.
બંને બાજુ $16$ વડે ભાગતા,આપણને મળે:
$\frac{x^{2}}{1} + \frac{y^{2}}{16} = 1$
અથવા,$\frac{x^{2}}{1^{2}} + \frac{y^{2}}{4^{2}} = 1$ $(1)$
સમીકરણ $(1)$ ને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{x^{2}}{b^{2}} + \frac{y^{2}}{a^{2}} = 1$ સાથે સરખાવતા,$a^{2} = 16$ અને $b^{2} = 1$ મળે છે,તેથી $a = 4$ અને $b = 1$.
અહીં $a > b$ હોવાથી,પ્રધાન અક્ષ $y$-અક્ષ પર છે.
$c = \sqrt{a^{2} - b^{2}} = \sqrt{16 - 1} = \sqrt{15}$.
$1$. નાભિના યામ: $(0, \pm \sqrt{15})$.
$2$. શિરોબિંદુઓ: $(0, \pm 4)$.
$3$. પ્રધાન અક્ષની લંબાઈ: $2a = 8$.
$4$. ગૌણ અક્ષની લંબાઈ: $2b = 2$.
$5$. ઉત્કેન્દ્રતા: $e = \frac{\sqrt{15}}{4}$.
$6$. નાભિલંબની લંબાઈ: $\frac{2b^{2}}{a} = \frac{1}{2}$.

(A) આપેલ સમીકરણ $4x^{2} + 9y^{2} = 36$ છે.
બંને બાજુ $36$ વડે ભાગતા,આપણને મળે:
$\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1$
$\frac{x^{2}}{3^{2}} + \frac{y^{2}}{2^{2}} = 1$
આને પ્રમાણિત સમીકરણ $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ સાથે સરખાવતા,જ્યાં $a > b$,આપણને $a = 3$ અને $b = 2$ મળે છે.
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 - \frac{b^{2}}{a^{2}}} = \sqrt{1 - \frac{4}{9}} = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$.
નાભિના યામ $(\pm ae, 0) = (\pm 3 \times \frac{\sqrt{5}}{3}, 0) = (\pm \sqrt{5}, 0)$ છે.
શિરોબિંદુઓ $(\pm a, 0) = (\pm 3, 0)$ છે.
પ્રધાન અક્ષની લંબાઈ $2a = 2 \times 3 = 6$ છે.
ગૌણ અક્ષની લંબાઈ $2b = 2 \times 2 = 4$ છે.
નાભિલંબની લંબાઈ $\frac{2b^{2}}{a} = \frac{2 \times 4}{3} = \frac{8}{3}$ છે.

(A) શિરોબિંદુઓ $(\pm 5, 0)$ છે,જે $x$-અક્ષ પર આવેલા છે. તેથી,સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ સ્વરૂપનું છે.
અહીં,$a = 5$ અને કેન્દ્રથી નાભિનું અંતર $c = 4$ છે.
સંબંધ $a^2 = b^2 + c^2$ નો ઉપયોગ કરતા,$5^2 = b^2 + 4^2$.
$25 = b^2 + 16 \implies b^2 = 9$.
$a^2 = 25$ અને $b^2 = 9$ ને પ્રમાણિત સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$ મળે છે.

(N/A) આપેલ રેખાનું સમીકરણ $x \cos \alpha + y \sin \alpha = p$ છે.
આને ઢાળ-અંતઃખંડ સ્વરૂપ $y = mx + c$ માં લખતા:
$y \sin \alpha = -x \cos \alpha + p$
$y = -x \cot \alpha + \frac{p}{\sin \alpha}$.
અહીં,ઢાળ $m = -\cot \alpha$ અને અંતઃખંડ $c = \frac{p}{\sin \alpha}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે રેખા $y = mx + c$ એ ઉપવલય $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ ને ત્યારે જ સ્પર્શે જો $c^{2} = a^{2}m^{2} + b^{2}$ હોય.
$m$ અને $c$ ની કિંમતો મૂકતા:
$\left(\frac{p}{\sin \alpha}\right)^{2} = a^{2}(-\cot \alpha)^{2} + b^{2}$.
$\frac{p^{2}}{\sin^{2} \alpha} = a^{2} \frac{\cos^{2} \alpha}{\sin^{2} \alpha} + b^{2}$.
બંને બાજુ $\sin^{2} \alpha$ વડે ગુણતા:
$p^{2} = a^{2} \cos^{2} \alpha + b^{2} \sin^{2} \alpha$.
આમ,સાબિત થાય છે કે $a^{2} \cos^{2} \alpha + b^{2} \sin^{2} \alpha = p^{2}$.

(A) ઉપવલયનું પ્રમાણિત સમીકરણ $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જો આપણે $a = b = r$ લઈએ,તો સમીકરણ $\frac{x^{2}}{r^{2}} + \frac{y^{2}}{r^{2}} = 1$ બને છે,જેનું સાદું રૂપ $x^{2} + y^{2} = r^{2}$ થાય છે.
આ ઉગમબિંદુ પર કેન્દ્રિત $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળનું પ્રમાણિત સમીકરણ છે.
કારણ કે ઉપવલયમાં અર્ધ-મુખ્ય અક્ષ અને અર્ધ-ગૌણ અક્ષ સમાન લેવાથી વર્તુળ મેળવી શકાય છે,તેથી વર્તુળ એ ખરેખર ઉપવલયનો એક વિશિષ્ટ કિસ્સો છે.
તેથી,વિધાન $r$ સત્ય છે.

આપેલ રેખાનું સમીકરણ $\frac{x}{a} \cos \theta+\frac{y}{b} \sin \theta=1$ છે.
$ab$ વડે ગુણતા,$bx \cos \theta+ay \sin \theta-ab=0$ મળે.....$(1)$
બિંદુ $(\sqrt{a^{2}-b^{2}}, 0)$ થી રેખા $(1)$ પરના લંબની લંબાઈ $p_{1}$ છે:
$p_{1}=\frac{|b \cos \theta(\sqrt{a^{2}-b^{2}})+a \sin \theta(0)-ab|}{\sqrt{b^{2} \cos ^{2} \theta+a^{2} \sin ^{2} \theta}}=\frac{|b \cos \theta \sqrt{a^{2}-b^{2}}-ab|}{\sqrt{b^{2} \cos ^{2} \theta+a^{2} \sin ^{2} \theta}}$.....$(2)$
બિંદુ $(-\sqrt{a^{2}-b^{2}}, 0)$ થી રેખા $(1)$ પરના લંબની લંબાઈ $p_{2}$ છે:
$p_{2}=\frac{|b \cos \theta(-\sqrt{a^{2}-b^{2}})+a \sin \theta(0)-ab|}{\sqrt{b^{2} \cos ^{2} \theta+a^{2} \sin ^{2} \theta}}=\frac{|b \cos \theta \sqrt{a^{2}-b^{2}}+ab|}{\sqrt{b^{2} \cos ^{2} \theta+a^{2} \sin ^{2} \theta}}$.....$(3)$
$p_{1}$ અને $p_{2}$ નો ગુણાકાર કરતા:
$p_{1} p_{2}=\frac{|b \cos \theta \sqrt{a^{2}-b^{2}}-ab| \cdot |b \cos \theta \sqrt{a^{2}-b^{2}}+ab|}{b^{2} \cos ^{2} \theta+a^{2} \sin ^{2} \theta}$
$p_{1} p_{2}=\frac{|(b \cos \theta \sqrt{a^{2}-b^{2}})^{2}-(ab)^{2}|}{b^{2} \cos ^{2} \theta+a^{2} \sin ^{2} \theta} = \frac{|b^{2} \cos ^{2} \theta(a^{2}-b^{2})-a^{2}b^{2}|}{b^{2} \cos ^{2} \theta+a^{2} \sin ^{2} \theta}$
$p_{1} p_{2}=\frac{|a^{2}b^{2} \cos ^{2} \theta-b^{4} \cos ^{2} \theta-a^{2}b^{2}|}{b^{2} \cos ^{2} \theta+a^{2} \sin ^{2} \theta} = \frac{b^{2}|a^{2} \cos ^{2} \theta-b^{2} \cos ^{2} \theta-a^{2}|}{b^{2} \cos ^{2} \theta+a^{2} \sin ^{2} \theta}$
$a^{2} = a^{2}(\sin^{2}\theta + \cos^{2}\theta)$ નો ઉપયોગ કરતા,અંશ $b^{2}|-(b^{2} \cos^{2}\theta + a^{2} \sin^{2}\theta)|$ થાય છે.
આમ,$p_{1} p_{2} = \frac{b^{2}(b^{2} \cos^{2}\theta + a^{2} \sin^{2}\theta)}{b^{2} \cos^{2}\theta + a^{2} \sin^{2}\theta} = b^{2}$.

(A) શિરોબિંદુઓ $(0, \pm 13)$ આપેલા છે,જે $y$-અક્ષ પર છે.
તેથી,મુખ્ય અક્ષ $y$-અક્ષ પર છે અને ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^{2}}{b^{2}} + \frac{y^{2}}{a^{2}} = 1$ સ્વરૂપમાં છે.
અહીં,$a = 13$ અને નાભિઓ $(0, \pm c)$ છે જ્યાં $c = 5$.
સંબંધ $a^{2} = b^{2} + c^{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે $13^{2} = b^{2} + 5^{2}$.
$169 = b^{2} + 25$.
$b^{2} = 169 - 25 = 144$.
$a^{2}$ અને $b^{2}$ ની કિંમતો પ્રમાણિત સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $\frac{x^{2}}{144} + \frac{y^{2}}{169} = 1$ મળે છે.

(A) શિરોબિંદુઓ $(\pm 6, 0)$ છે,જે સૂચવે છે કે મુખ્ય અક્ષ $x$-અક્ષ પર છે અને $a = 6$ છે.
નાભિઓ $(\pm 4, 0)$ છે,જે સૂચવે છે કે $c = 4$ છે.
ઉપવલય માટે,$a, b,$ અને $c$ વચ્ચેનો સંબંધ $a^2 = b^2 + c^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $6^2 = b^2 + 4^2$.
$36 = b^2 + 16$.
$b^2 = 36 - 16 = 20$.
ઉપવલયનું પ્રમાણિત સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે.
$a^2 = 36$ અને $b^2 = 20$ મૂકતા,આપણને $\frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{20} = 1$ મળે છે.

(A) મુખ્ય અક્ષના અંત્યબિંદુઓ $(\pm 3, 0)$ છે,જે સૂચવે છે કે મુખ્ય અક્ષ $x$-અક્ષ પર છે અને $a = 3$ છે.
ગૌણ અક્ષના અંત્યબિંદુઓ $(0, \pm 2)$ છે,જે સૂચવે છે કે $b = 2$ છે.
$x$-અક્ષ પર મુખ્ય અક્ષ ધરાવતા ઉપવલયનું પ્રમાણિત સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે.
$a = 3$ અને $b = 2$ કિંમતો મૂકતા,આપણને $\frac{x^2}{3^2} + \frac{y^2}{2^2} = 1$ મળે છે.
તેથી,સમીકરણ $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ છે.

(A) મુખ્ય અક્ષના અંત્યબિંદુઓ $(0, \pm \sqrt{5})$ છે,જે સૂચવે છે કે મુખ્ય અક્ષ $y$-અક્ષ પર છે.
ગૌણ અક્ષના અંત્યબિંદુઓ $(\pm 1, 0)$ છે,જે સૂચવે છે કે ગૌણ અક્ષ $x$-અક્ષ પર છે.
$y$-અક્ષ પર મુખ્ય અક્ષ ધરાવતા ઉપવલયનું પ્રમાણિત સમીકરણ $\frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1$ છે,જ્યાં $a$ એ અર્ધ-મુખ્ય અક્ષ છે અને $b$ એ અર્ધ-ગૌણ અક્ષ છે.
આપેલ યામો પરથી,$a = \sqrt{5}$ અને $b = 1$ મળે છે.
આ કિંમતોને પ્રમાણિત સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{x^2}{1^2} + \frac{y^2}{(\sqrt{5})^2} = 1$
જેનું સાદું રૂપ:
$x^2 + \frac{y^2}{5} = 1$

(N/A) મુખ્ય અક્ષની લંબાઈ $2a = 26$ છે,તેથી $a = 13$ મળે.
નાભિઓ $(\pm 5, 0)$ આપેલ છે,જે સૂચવે છે કે $c = 5$ અને મુખ્ય અક્ષ $x$-અક્ષ પર છે.
ઉપવલયનું પ્રમાણિત સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે.
સંબંધ $a^2 = b^2 + c^2$ નો ઉપયોગ કરતા,$13^2 = b^2 + 5^2$ મળે.
$169 = b^2 + 25 \Rightarrow b^2 = 144$.
$a^2$ અને $b^2$ ની કિંમતો પ્રમાણિત સમીકરણમાં મૂકતા,$\frac{x^2}{169} + \frac{y^2}{144} = 1$ મળે.

(A) ગૌણ અક્ષની લંબાઈ $= 16$; નાભિ $= (0, \pm 6)$.
નાભિ $y$-અક્ષ પર હોવાથી,મુખ્ય અક્ષ $y$-અક્ષ પર છે.
તેથી,ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^{2}}{b^{2}} + \frac{y^{2}}{a^{2}} = 1$ સ્વરૂપમાં હશે,જ્યાં $a$ એ અર્ધ-મુખ્ય અક્ષ છે.
આથી,$2b = 16 \Rightarrow b = 8$ અને $c = 6$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $a^{2} = b^{2} + c^{2}$.
$\therefore a^{2} = 8^{2} + 6^{2} = 64 + 36 = 100$.
$\Rightarrow a = \sqrt{100} = 10$.
આમ,ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^{2}}{8^{2}} + \frac{y^{2}}{10^{2}} = 1$ અથવા $\frac{x^{2}}{64} + \frac{y^{2}}{100} = 1$ છે.

(A) આપેલ છે: નાભિઓ $(\pm 3, 0)$ અને $a = 4$.
નાભિઓ $x$-અક્ષ પર હોવાથી,મુખ્ય અક્ષ $x$-અક્ષ પર છે.
તેથી,ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ સ્વરૂપનું હશે,જ્યાં $a$ એ અર્ધ-મુખ્ય અક્ષ છે.
નાભિઓ $(\pm c, 0)$ પરથી,$c = 3$ મળે છે. આપેલ છે $a = 4$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $a^2 = b^2 + c^2$.
કિંમતો મૂકતા: $4^2 = b^2 + 3^2$.
$16 = b^2 + 9$.
$b^2 = 16 - 9 = 7$.
આમ,ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{7} = 1$ છે.

(N/A) આપેલ છે: $b=3, c=4,$ કેન્દ્ર ઉગમબિંદુ પર; નાભિઓ $x$-અક્ષ પર છે.
નાભિઓ $x$-અક્ષ પર હોવાથી,મુખ્ય અક્ષ $x$-અક્ષ પર છે.
તેથી,ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ સ્વરૂપનું હશે,જ્યાં $a$ એ અર્ધ-મુખ્ય અક્ષ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $a^{2}=b^{2}+c^{2}$.
કિંમતો મૂકતા: $a^{2}=3^{2}+4^{2}=9+16=25$.
આમ,$a^{2}=25$ અને $b^{2}=3^{2}=9$.
ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1$ છે.

(A) કેન્દ્ર $(0, 0)$ પર હોવાથી અને મુખ્ય અક્ષ $y$-અક્ષ પર હોવાથી,ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ સ્વરૂપનું છે,જ્યાં $b > a$.
ઉપવલય $(3, 2)$ અને $(1, 6)$ બિંદુઓમાંથી પસાર થાય છે,તેથી:
$\frac{9}{a^2} + \frac{4}{b^2} = 1$ --- $(1)$
$\frac{1}{a^2} + \frac{36}{b^2} = 1$ --- $(2)$
$u = \frac{1}{a^2}$ અને $v = \frac{1}{b^2}$ લેતા:
$9u + 4v = 1$ અને $u + 36v = 1$.
આ સમીકરણો ઉકેલતા,$v = \frac{1}{40}$ અને $u = \frac{1}{10}$ મળે છે.
તેથી $a^2 = 10$ અને $b^2 = 40$.
આમ,ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{10} + \frac{y^2}{40} = 1$ છે.

(A) મુખ્ય અક્ષ $x-$ અક્ષ પર હોવાથી,ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(1)$ સ્વરૂપનું હશે.
ઉપવલય $(4, 3)$ અને $(6, 2)$ બિંદુઓમાંથી પસાર થાય છે,તેથી:
$\frac{16}{a^{2}} + \frac{9}{b^{2}} = 1$ $(2)$
$\frac{36}{a^{2}} + \frac{4}{b^{2}} = 1$ $(3)$
$u = \frac{1}{a^{2}}$ અને $v = \frac{1}{b^{2}}$ લેતા,સમીકરણો:
$16u + 9v = 1$
$36u + 4v = 1$
ઉકેલતા,$a^{2} = 52$ અને $b^{2} = 13$ મળે છે.
આમ,ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^{2}}{52} + \frac{y^{2}}{13} = 1$ છે.

(N/A) ધારો કે $AB$ એ સળિયો છે જે આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ $x-$અક્ષ સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવે છે. ધારો કે $P(x, y)$ એ સળિયા પરનું બિંદુ છે જેથી $AP = 6 \ cm$.
$AB = 15 \ cm$ હોવાથી,આપણી પાસે $PB = AB - AP = 15 - 6 = 9 \ cm$ છે.
$P$ માંથી $y-$અક્ષ અને $x-$અક્ષ પર અનુક્રમે $PQ$ અને $PR$ લંબ દોરો.
$\Delta PBQ$ માં,$\cos \theta = \frac{PQ}{PB} = \frac{x}{9}$,તેથી $x = 9 \cos \theta$.
$\Delta PRA$ માં,$\sin \theta = \frac{PR}{AP} = \frac{y}{6}$,તેથી $y = 6 \sin \theta$.
નિત્યસમ $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે $\cos \theta = \frac{x}{9}$ અને $\sin \theta = \frac{y}{6}$ મૂકતા:
$(\frac{x}{9})^2 + (\frac{y}{6})^2 = 1$
$\frac{x^2}{81} + \frac{y^2}{36} = 1$.
આ એક ઉપવલયનું સમીકરણ છે. આમ,$P$ નો બિંદુપથ એક ઉપવલય છે.

(A) કમાન એ $8 \, m$ ની કુલ પહોળાઈ અને કેન્દ્રમાં $2 \, m$ ની મહત્તમ ઊંચાઈ ધરાવતું અર્ધ-લંબગોળ છે.
આનો અર્થ એ છે કે અર્ધ-મુખ્ય અક્ષ $a = 4 \, m$ અને અર્ધ-ગૌણ અક્ષ $b = 2 \, m$ છે.
ઉગમબિંદુ પર કેન્દ્રિત લંબગોળનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{4} = 1$ મળે છે.
આપણને એક છેડાથી $1.5 \, m$ દૂર ઊંચાઈ જોઈએ છે. કુલ પહોળાઈ $8 \, m$ હોવાથી,છેડો $x = 4$ પર છે. છેડાથી $1.5 \, m$ દૂરનું બિંદુ $x = 4 - 1.5 = 2.5$ ને અનુરૂપ છે.
સમીકરણમાં $x = 2.5$ મૂકતા:
$\frac{(2.5)^2}{16} + \frac{y^2}{4} = 1$
$\frac{6.25}{16} + \frac{y^2}{4} = 1$
$\frac{y^2}{4} = 1 - \frac{6.25}{16} = \frac{16 - 6.25}{16} = \frac{9.75}{16}$
$y^2 = 4 \times \frac{9.75}{16} = \frac{9.75}{4} = 2.4375$
$y = \sqrt{2.4375} \approx 1.56 \, m$.

(A) ધારો કે $A$ અને $B$ એ બે ફ્લેગ પોસ્ટના સ્થાન છે અને $P(x, y)$ એ માણસનું સ્થાન છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$PA + PB = 10$.
આપણે જાણીએ છીએ કે જો કોઈ બિંદુ સમતલમાં એવી રીતે ગતિ કરે કે જેથી બે નિશ્ચિત બિંદુઓથી તેના અંતરનો સરવાળો અચળ રહે,તો તે માર્ગ ઉપવલય (ellipse) છે અને આ અચળ મૂલ્ય ઉપવલયની મુખ્ય અક્ષની લંબાઈ $(2a)$ જેટલું હોય છે.
તેથી,આ માર્ગ એક ઉપવલય છે જ્યાં મુખ્ય અક્ષની લંબાઈ $2a = 10 \, m$ છે,તેથી $a = 5$.
નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $(2c)$ $8 \, m$ છે,તેથી $c = 4$.
સંબંધ $c^{2} = a^{2} - b^{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $4^{2} = 5^{2} - b^{2}$.
$16 = 25 - b^{2} \Rightarrow b^{2} = 9$.
આમ,ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ છે,જે $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ થાય છે.

(B) ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે.
આપેલ નિયામિકા $x = \frac{a}{e} = 4$ અને ઉત્કેન્દ્રતા $e = \frac{1}{2}$ હોવાથી,$a = 4 \times \frac{1}{2} = 2$ મળે.
$b^2 = a^2(1 - e^2)$ નો ઉપયોગ કરતા,$b^2 = 4(1 - \frac{1}{4}) = 4(\frac{3}{4}) = 3$ મળે.
તેથી,ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1$ છે.
$P(1, \beta)$ એ ઉપવલય પર હોવાથી,$\frac{1^2}{4} + \frac{\beta^2}{3} = 1 \Rightarrow \frac{\beta^2}{3} = \frac{3}{4} \Rightarrow \beta^2 = \frac{9}{4} \Rightarrow \beta = \frac{3}{2}$ ($\beta > 0$ હોવાથી).
ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ના બિંદુ $(x_1, y_1)$ આગળના અભિલંબનું સમીકરણ $\frac{a^2x}{x_1} - \frac{b^2y}{y_1} = a^2 - b^2$ છે.
$a^2=4, b^2=3, x_1=1, y_1=\frac{3}{2}$ મૂકતા,$\frac{4x}{1} - \frac{3y}{3/2} = 4 - 3$ મળે.
$4x - 2y = 1$.

(A) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ છે જ્યાં $a > b$.
નાભિલંબની લંબાઈ $\frac{2b^{2}}{a} = 10$ છે,તેથી $b^{2} = 5a$ ... $(i)$.
હવે,વિધેય $\phi(t) = \frac{5}{12} + t - t^{2}$ લો.
મહત્તમ કિંમત શોધવા માટે,પૂર્ણવર્ગ બનાવતા: $\phi(t) = -\left(t^{2} - t + \frac{1}{4}\right) + \frac{1}{4} + \frac{5}{12} = -\left(t - \frac{1}{2}\right)^{2} + \frac{8}{12} = -\left(t - \frac{1}{2}\right)^{2} + \frac{2}{3}$.
મહત્તમ કિંમત $\phi(t)_{\text{max}} = \frac{2}{3}$ છે,તેથી $e = \frac{2}{3}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $e^{2} = 1 - \frac{b^{2}}{a^{2}}$,તેથી $\frac{4}{9} = 1 - \frac{b^{2}}{a^{2}}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{b^{2}}{a^{2}} = \frac{5}{9}$,તેથી $b^{2} = \frac{5}{9}a^{2}$ ... $(ii)$.
$(i)$ અને $(ii)$ ને સરખાવતા,$5a = \frac{5}{9}a^{2} \Rightarrow a = \frac{a^{2}}{9} \Rightarrow a = 9$.
તેથી $a^{2} = 81$ અને $b^{2} = 5(9) = 45$.
આમ,$a^{2} + b^{2} = 81 + 45 = 126$.

(B) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ $4x^{2} + 5y^{2} = 20$ છે,જેને $\frac{x^{2}}{5} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
ધારો કે ઉપવલય પરનું બિંદુ $P$ એ $(\sqrt{5} \cos \theta, 2 \sin \theta)$ છે.
અંતર $PQ$ નો વર્ગ $PQ^{2} = (\sqrt{5} \cos \theta - 0)^{2} + (2 \sin \theta - (-4))^{2}$ દ્વારા મળે છે.
$PQ^{2} = 5 \cos^{2} \theta + (2 \sin \theta + 4)^{2}$.
$PQ^{2} = 5(1 - \sin^{2} \theta) + 4 \sin^{2} \theta + 16 \sin \theta + 16$.
$PQ^{2} = 5 - 5 \sin^{2} \theta + 4 \sin^{2} \theta + 16 \sin \theta + 16$.
$PQ^{2} = -\sin^{2} \theta + 16 \sin \theta + 21$.
મહત્તમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે પૂર્ણવર્ગ બનાવીએ: $PQ^{2} = -(\sin^{2} \theta - 16 \sin \theta + 64) + 64 + 21$.
$PQ^{2} = 85 - (\sin \theta - 8)^{2}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $-1 \leq \sin \theta \leq 1$,તેથી $85 - (\sin \theta - 8)^{2}$ ની કિંમત ત્યારે મહત્તમ થાય જ્યારે $\sin \theta = 1$ હોય.
$\sin \theta = 1$ મુકતા,$PQ^{2} = 85 - (1 - 8)^{2} = 85 - (-7)^{2} = 85 - 49 = 36$.

(A) આપેલ શંકુચ્છેદનું સમીકરણ $9x^{2} + 16y^{2} = 144$ છે.
$144$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ મળે છે.
આ ઉપવલયનું પ્રમાણિત સમીકરણ $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ છે,જ્યાં $a^{2} = 16$ અને $b^{2} = 9$.
તેથી,$a = 4$ અને $b = 3$.
ઉત્કેન્દ્રિયતા $e = \sqrt{1 - \frac{b^{2}}{a^{2}}} = \sqrt{1 - \frac{9}{16}} = \frac{\sqrt{7}}{4}$.
નાભિના યામ $(\pm ae, 0) = (\pm \sqrt{7}, 0)$ છે.
$A$ અને $B$ એ નાભિ હોવાથી,ઉપવલયની વ્યાખ્યા મુજબ $PA + PB = 2a = 2 \times 4 = 8$ થાય.

(D) ઉપવલય $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ માટે બિંદુ $(x_{1}, y_{1})$ આગળના અભિલંબનું સમીકરણ $\frac{a^{2}x}{x_{1}}-\frac{b^{2}y}{y_{1}}=a^{2}e^{2}$ છે.
નાભિલંબના અંત્યબિંદુના યામ $(ae, \frac{b^{2}}{a})$ છે.
આ કિંમતો અભિલંબના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{a^{2}x}{ae}-\frac{b^{2}y}{b^{2}/a} = a^{2}e^{2}$
$\frac{ax}{e}-ay = a^{2}e^{2} \Rightarrow \frac{x}{e}-y = ae^{2}$.
આ અભિલંબ ગૌણ અક્ષના અંત્યબિંદુ $(0, b)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી:
$0 - b = ae^{2} \Rightarrow b = -ae^{2}$.
લંબાઈ ધન હોવાથી $b = ae^{2}$ લેતા,$b^{2} = a^{2}e^{4}$.
$b^{2} = a^{2}(1-e^{2})$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$a^{2}(1-e^{2}) = a^{2}e^{4}$
$1-e^{2} = e^{4} \Rightarrow e^{4}+e^{2}-1=0$.

(A) ઉપવલયની નાભિમાંથી તેના કોઈપણ સ્પર્શક પર દોરેલા લંબના પાદનો બિંદુપથ તેનું સહાયક વર્તુળ (auxiliary circle) છે.
ઉપવલય $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ માટે,સહાયક વર્તુળ $x^{2}+y^{2}=a^{2}$ છે.
આપેલ ઉપવલય $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{2}=1$ માટે,$a^{2}=4$ છે.
તેથી,બિંદુપથ $x^{2}+y^{2}=4$ છે.
આપેલ બિંદુઓ ચકાસતા:
$A: (-1)^{2}+(\sqrt{3})^{2} = 1+3=4$ (સંતોષે છે)
તેથી,બિંદુ $(-1, \sqrt{3})$ બિંદુપથ પર આવેલું છે.

(A) આપેલ વક્ર $y^{2}=3x^{2}$ અને વર્તુળ $x^{2}+y^{2}=4b$ છે.
વર્તુળના સમીકરણમાં $y^{2}=3x^{2}$ મૂકતા: $x^{2}+3x^{2}=4b \implies 4x^{2}=4b \implies x^{2}=b$.
તેથી $y^{2}=3b$.
હવે,$x^{2}=b$ અને $y^{2}=3b$ ને ઉપવલયના સમીકરણ $\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ માં મૂકતા:
$\frac{b}{16}+\frac{3b}{b^{2}}=1$
$\frac{b}{16}+\frac{3}{b}=1$
$16b$ વડે ગુણતા: $b^{2}+48=16b$
$b^{2}-16b+48=0$
$(b-12)(b-4)=0$
$b > 4$ હોવાથી,$b=12$ મળે છે.

(C) આપેલ વર્તુળો $S_{1}: x^{2}+y^{2}=3^{2}$ છે જેનું કેન્દ્ર $A(0,0)$ અને ત્રિજ્યા $r_{1}=3$ છે,અને $S_{2}: (x-2)^{2}+y^{2}=1^{2}$ છે જેનું કેન્દ્ર $B(2,0)$ અને ત્રિજ્યા $r_{2}=1$ છે.
ધારો કે ચલ વર્તુળ $S$ નું કેન્દ્ર $P(x,y)$ અને ત્રિજ્યા $r$ છે.
વર્તુળ $S$ એ $S_{1}$ ને અંદરથી સ્પર્શતું હોવાથી,અંતર $PA = r_{1} - r = 3 - r$ થાય.
વર્તુળ $S$ એ $S_{2}$ ને બહારથી સ્પર્શતું હોવાથી,અંતર $PB = r_{2} + r = 1 + r$ થાય.
આ બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા,$PA + PB = (3 - r) + (1 + r) = 4$ મળે.
અહીં $PA + PB = 4$ અને અંતર $AB = 2$ હોવાથી,$P$ નો બિંદુપથ એ ઉપવલય છે જેના નાભિઓ $A(0,0)$ અને $B(2,0)$ છે અને મુખ્ય અક્ષની લંબાઈ $2a = 4$ છે,તેથી $a = 2$.
ઉપવલયનું કેન્દ્ર $AB$ નું મધ્યબિંદુ $(1,0)$ છે.
નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $2ae = AB = 2$ છે,તેથી $2(2)e = 2$,જે $e = \frac{1}{2}$ આપે છે.
તેથી $b^{2} = a^{2}(1 - e^{2}) = 4(1 - \frac{1}{4}) = 3$ મળે.
ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{(x-1)^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ છે.
વિકલ્પો તપાસતા,$x=2$ માટે,$\frac{(2-1)^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ $\Rightarrow \frac{1}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ $\Rightarrow \frac{y^{2}}{3} = \frac{3}{4}$ $\Rightarrow y^{2} = \frac{9}{4}$ $\Rightarrow y = \pm \frac{3}{2}$ મળે.
આમ,બિંદુપથ $\left(2, \pm \frac{3}{2}\right)$ માંથી પસાર થાય છે.

(C) ઉપવલય $\frac{x^{2}}{27}+y^{2}=1$ માટે બિંદુ $(3 \sqrt{3} \cos \theta, \sin \theta)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $\frac{x \cos \theta}{3 \sqrt{3}}+\frac{y \sin \theta}{1}=1$ છે.
$x$-અક્ષ પરનો અંતઃખંડ $OA = 3 \sqrt{3} \sec \theta$ અને $y$-અક્ષ પરનો અંતઃખંડ $OB = \operatorname{cosec} \theta$ છે.
ધારો કે અંતઃખંડોનો સરવાળો $f(\theta) = 3 \sqrt{3} \sec \theta + \operatorname{cosec} \theta$ છે.
ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે $\theta$ ની સાપેક્ષમાં $f(\theta)$ નું વિકલન કરીએ:
$f^{\prime}(\theta) = 3 \sqrt{3} \sec \theta \tan \theta - \operatorname{cosec} \theta \cot \theta$.
$f^{\prime}(\theta) = 0$ લેતા:
$3 \sqrt{3} \frac{\sin \theta}{\cos^{2} \theta} = \frac{\cos \theta}{\sin^{2} \theta}$
$\tan^{3} \theta = \frac{1}{3 \sqrt{3}} = \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{3}$
$\tan \theta = \frac{1}{\sqrt{3}} \Rightarrow \theta = \frac{\pi}{6}$.
અહીં $\theta < \frac{\pi}{6}$ માટે $f^{\prime}(\theta) < 0$ અને $\theta > \frac{\pi}{6}$ માટે $f^{\prime}(\theta) > 0$ હોવાથી,વિધેય $f(\theta)$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $\theta = \frac{\pi}{6}$ આગળ મળે છે.

(B) ધારો કે છેદબિંદુ $(x_1, y_1)$ છે.
પ્રથમ વક્ર $\frac{x^2}{a} + \frac{y^2}{b} = 1$ માટે,$(x_1, y_1)$ આગળ ઢાળ $m_1 = -\frac{bx_1}{ay_1}$ મળે.
બીજા વક્ર $\frac{x^2}{c} + \frac{y^2}{d} = 1$ માટે,$(x_1, y_1)$ આગળ ઢાળ $m_2 = -\frac{dx_1}{cy_1}$ મળે.
વક્રો $90^{\circ}$ પર છેદતા હોવાથી,$m_1 m_2 = -1$.
આથી,$(-\frac{bx_1}{ay_1})(-\frac{dx_1}{cy_1}) = -1 \Rightarrow \frac{bd x_1^2}{ac y_1^2} = -1$.
બંને વક્રોના સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $x_1^2(\frac{c-a}{ac}) + y_1^2(\frac{d-b}{bd}) = 0$.
આ સમીકરણ ઉકેલતા $a-b = c-d$ મળે છે.