Ellipse Questions in Gujarati

(A) ઉપવલય માટે,એક નાભિમાંથી પરાવર્તિત કિરણ બીજી નાભિમાંથી પસાર થાય છે.
તેથી,આપાત કિરણ $PF_1$ છે અને પરાવર્તિત કિરણ $PF_2$ છે.
આપાત કિરણ $PF_1$ અને પરાવર્તિત કિરણ $PF_2$ વચ્ચેના ખૂણાનો દ્વિભાજક એ બિંદુ $P$ આગળ ઉપવલયનો અભિલંબ છે.
ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 1$ છે,જ્યાં $a^2 = 4$ અને $b^2 = 9$ છે.
$b^2 > a^2$ હોવાથી,મુખ્ય અક્ષ $y$-અક્ષ પર છે.
$m$ ઢાળવાળા અભિલંબનું સમીકરણ $y = mx \pm \frac{(a^2 - b^2)m}{\sqrt{a^2 + b^2m^2}}$ છે.
$a^2 = 4, b^2 = 9$ અને $m = 1$ મૂકતા:
$y = x \pm \frac{(4 - 9)(1)}{\sqrt{4 + 9(1)^2}} = x \pm \frac{-5}{\sqrt{13}}$.
આમ,સમીકરણ $y = x \pm \frac{5}{\sqrt{13}}$ મળે છે.

(D) ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ છે.
આ ઉપવલય પરનું કોઈપણ બિંદુ $(3 \cos \theta, 2 \sin \theta)$ તરીકે દર્શાવી શકાય.
ત્રિકોણમિતીય વિધેયોના સંમેય પ્રાચલીકરણનો ઉપયોગ કરીને,$t = \tan(\theta/2)$ લેતા.
ત્યારે $\cos \theta = \frac{1-t^2}{1+t^2}$ અને $\sin \theta = \frac{2t}{1+t^2}$ મળે.
આ કિંમતો મૂકતા,યામ $\left(\frac{3(1-t^2)}{1+t^2}, \frac{4t}{1+t^2}\right)$ મળે છે.
જો $t$ એક સંમેય સંખ્યા હોય,તો $x$ અને $y$ બંને સંમેય સંખ્યાઓ બને છે.
$t$ ની અસંખ્ય સંમેય કિંમતો હોવાથી,ઉપવલય પર આવા અસંખ્ય બિંદુઓ મળે છે.
તેથી,આવા બિંદુઓની સંખ્યા $12$ થી વધુ છે.

(B) ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{24} = 1$ છે,જ્યાં $a^2 = 25$ અને $b^2 = 24$ છે.
ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ નું નિયામક વર્તુળ $x^2 + y^2 = a^2 + b^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $x^2 + y^2 = 25 + 24 = 49$ મળે છે.
આપેલ વર્તુળ $x^2 + y^2 = 49$ એ ઉપવલયનું નિયામક વર્તુળ હોવાથી,આ વર્તુળ પરના કોઈપણ બિંદુથી ઉપવલય પર દોરવામાં આવેલા સ્પર્શકો એકબીજાને લંબ હોય છે.
તેથી,સ્પર્શકો વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{2}$ છે.

(A) ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ માટે,નાભિલંબના અંત્યબિંદુઓ $(\pm ae, \pm \frac{b^2}{a})$ છે.
અહીં $a^2 = 4$ અને $b^2 = 1$ હોવાથી,$a = 2$ અને $b = 1$ મળે.
ઉત્કેન્દ્રિયતા $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{1}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
નાભિલંબના અંત્યબિંદુઓ $(\pm \sqrt{3}, \pm \frac{1}{2})$ છે.
સ્પર્શકનું સમીકરણ $\frac{xx_1}{a^2} + \frac{yy_1}{b^2} = 1$ છે.
$(\sqrt{3}, \frac{1}{2})$ બિંદુએ સ્પર્શક $\frac{\sqrt{3}}{4}x + \frac{1}{2}y = 1$ મળે.
આ ચાર સ્પર્શકો એક સમબાજુ ચતુષ્કોણ બનાવે છે જેના શિરોબિંદુઓ $(\pm \frac{4}{\sqrt{3}}, 0)$ અને $(0, \pm 2)$ છે.
સમબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $2 \times |\frac{4}{\sqrt{3}}| \times |2| = \frac{16}{\sqrt{3}}$ થાય.

(B) ઉપવલય પરના કોઈપણ બિંદુ માટે નાભિ અંતરનો સરવાળો એ મુખ્ય અક્ષની લંબાઈ $2a$ જેટલો હોય છે.
આપેલ છે $P(2,2)$,$F_{1}(5,2)$,અને $F_{2}(2,6)$.
$PF_{1} = \sqrt{(5-2)^2 + (2-2)^2} = 3$.
$PF_{2} = \sqrt{(2-2)^2 + (6-2)^2} = 4$.
તેથી,$2a = PF_{1} + PF_{2} = 3 + 4 = 7$.
નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $2ae = \sqrt{(5-2)^2 + (2-6)^2} = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = 5$.
આમ,$e = \frac{2ae}{2a} = \frac{5}{7}$.

(A) ધારો કે ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે. મુખ્ય અક્ષ $AA'$ એ $x$-અક્ષ પર છે,જેના યામ $A = (a, 0)$ અને $A' = (-a, 0)$ છે.
ધારો કે બિંદુ $P = (a \cos \theta, b \sin \theta)$ છે.
$\Delta APA'$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ}$.
પાયો $AA' = 2a$ અને વેધ એ $P$ ના $y$-યામનું નિરપેક્ષ મૂલ્ય છે,જે $|b \sin \theta|$ છે.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times (2a) \times |b \sin \theta| = |ab \sin \theta|$.
કારણ કે $|\sin \theta|$ નું મહત્તમ મૂલ્ય $1$ છે,તેથી મહત્તમ ક્ષેત્રફળ $|ab|$ થાય.

(A) ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ માટે,નાભિઓમાંથી કોઈપણ સ્પર્શક પર દોરેલા લંબની લંબાઈનો ગુણાકાર $b^2$ જેટલો હોય છે.
આપેલ સમીકરણ $3x^2 + 5y^2 = 1$ છે,જેને $\frac{x^2}{1/3} + \frac{y^2}{1/5} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
અહીં,$a^2 = 1/3$ અને $b^2 = 1/5$ છે.
તેથી,લંબની લંબાઈનો ગુણાકાર $b^2 = 1/5$ થાય.

(A) રેખા $y = mx + k$ એ ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ નો સ્પર્શક હોય તેની શરત $k^2 = a^2m^2 + b^2$ છે.
અહીં,રેખા $y = cx + c$ છે,તેથી $m = c$ અને $k = c$.
ઉપવલય $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{1} = 1$ છે,તેથી $a^2 = 4$ અને $b^2 = 1$.
આ કિંમતોને શરતમાં મૂકતા: $c^2 = 4(c^2) + 1$.
$c^2 = 4c^2 + 1$.
$3c^2 + 1 = 0$.
કારણ કે $c^2 = -\frac{1}{3}$,તેથી $c$ ની કોઈ વાસ્તવિક કિંમત આ સમીકરણનું સમાધાન કરતી નથી.
તેથી,$c$ ના મૂલ્યોની સંખ્યા $0$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $\left( \frac{x - 3}{y} \right)^2 + \left( \frac{y - 4}{y} \right)^2 = \frac{1}{9}$
$(x - 3)^2 + (y - 4)^2 = \frac{y^2}{9}$
$9(x - 3)^2 + 9(y^2 - 8y + 16) = y^2$
$9(x - 3)^2 + 8y^2 - 72y + 144 = 0$
$9(x - 3)^2 + 8(y - 4.5)^2 = 18$
$\frac{(x - 3)^2}{2} + \frac{(y - 4.5)^2}{2.25} = 1$
અહીં,$a^2 = 2.25$ અને $b^2 = 2$.
ઉત્કેન્દ્રતા $e^2 = 1 - \frac{b^2}{a^2} = 1 - \frac{2}{2.25} = 1 - \frac{8}{9} = \frac{1}{9}$.
તેથી,$e = \frac{1}{3}$.

(A) ધારો કે ઉપવલય પરનું બિંદુ $M = (3\sqrt{2} \cos \theta, 2\sqrt{2} \sin \theta)$ છે.
આપેલ રેખા $2x - 3y + 25 = 0$ નો ઢાળ $m = \frac{2}{3}$ છે.
$M$ આગળના સ્પર્શકનો ઢાળ $-\frac{2}{3} \cot \theta$ થાય.
બંને ઢાળ સમાન લેતા: $-\frac{2}{3} \cot \theta = \frac{2}{3} \Rightarrow \tan \theta = -1$.
$\theta = \frac{3\pi}{4}$ લેતા,$x = 3\sqrt{2} \cos(\frac{3\pi}{4}) = -3$ અને $y = 2\sqrt{2} \sin(\frac{3\pi}{4}) = 2$.
તેથી,બિંદુ $M$ એ $(-3, 2)$ છે.

(D) નાભિઓ $S_1$ અને $S_2$ ના યામ અનુક્રમે $(-ae, 0)$ અને $(ae, 0)$ છે.
નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $S_1S_2 = 2ae$ છે.
ધારો કે $P$ એ ઉપવલય પરનું બિંદુ $(a \cos \theta, b \sin \theta)$ છે.
$\Delta PS_1S_2$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ}$.
અહીં,પાયો $S_1S_2 = 2ae$ અને વેધ એ $P$ નો $y$-યામ છે,જે $|b \sin \theta|$ છે.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times (2ae) \times |b \sin \theta| = abe |\sin \theta|$.
$\sin \theta$ નું મહત્તમ મૂલ્ય $1$ હોવાથી,મહત્તમ ક્ષેત્રફળ $abe$ ચોરસ એકમ થાય.

(A) ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ છે. અહીં $a^2 = 9$ અને $b^2 = 4$ છે.
ઉપવલયના બિંદુ $(3 \cos \theta, 2 \sin \theta)$ પરના અભિલંબનું સમીકરણ $\frac{3x}{\cos \theta} - \frac{2y}{\sin \theta} = 5$ છે.
આ રેખા વર્તુળ $x^2 + y^2 = 3$ નો સ્પર્શક હોય,તો કેન્દ્ર $(0, 0)$ થી રેખાનું લંબ અંતર ત્રિજ્યા $\sqrt{3}$ જેટલું હોવું જોઈએ.
અંતર $d = \frac{5}{\sqrt{9 \sec^2 \theta + 4 \csc^2 \theta}} = \sqrt{3}$.
$9 \sec^2 \theta + 4 \csc^2 \theta = \frac{25}{3}$ મળે.
પરંતુ $9 \sec^2 \theta + 4 \csc^2 \theta$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $(3+2)^2 = 25$ છે.
તેથી,આવી કોઈ રેખા શક્ય નથી. જવાબ $0$ છે.

(C) રેખા $y = mx + 1$ એ ઉપવલય $x^2 + 4y^2 = 1$ ને સ્પર્શક હોય તો સ્પર્શકની શરત $c^2 = a^2m^2 + b^2$ નું પાલન થાય.
અહીં,ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{1} + \frac{y^2}{1/4} = 1$ છે,તેથી $a^2 = 1$ અને $b^2 = 1/4$.
રેખા $y = mx + 1$ છે,તેથી $c = 1$.
શરત $c^2 = a^2m^2 + b^2$ માં કિંમતો મૂકતા $1^2 = (1)m^2 + \frac{1}{4}$ મળે.
$1 = m^2 + \frac{1}{4} \implies m^2 = \frac{3}{4} \implies m = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$.
બિંદુ $(\alpha, \beta)$ પ્રથમ ચરણમાં હોય (જ્યાં $\alpha > 0$) તે માટે,સ્પર્શબિંદુ $(x, y) = (-\frac{a^2m}{c}, \frac{b^2}{c})$ થાય.
કિંમતો મૂકતા $x = -m$ અને $y = 1/4$ મળે.
$\alpha > 0$ હોવાથી,$-m > 0$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $m < 0$.
તેથી,$m = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ એ એકમાત્ર શક્ય મૂલ્ય છે.
આમ,$m$ ના તમામ શક્ય મૂલ્યોનો સરવાળો $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ થાય.

(D) ધારો કે ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે. નાભિલંબના અંત્યબિંદુઓ $(\pm ae, be)$ છે. $(ae, be)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $\frac{x(ae)}{a^2} + \frac{y(be)}{b^2} = 1$ છે,જે $\frac{ex}{a} + \frac{ey}{b} = 1$ થાય છે.
આપેલ રેખા $3x + 2y = 10$ ને $\frac{3}{10}x + \frac{2}{10}y = 1$ તરીકે લખી શકાય.
સહગુણકોની સરખામણી કરતા,$\frac{e}{a} = \frac{3}{10}$ અને $\frac{e}{b} = \frac{1}{5}$ મળે છે.
તેથી $b = 5e$ અને $a = \frac{10e}{3}$.
ઉપવલયના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને,નાભિલંબની લંબાઈ $\frac{2a^2}{b} = \frac{100}{27}$ મળે છે.

(A) ઉપવલય $E$ માટે $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે,જ્યાં $a > b$. નાભિઓ $(\pm ae, 0)$ છે અને ગૌણ અક્ષના અંત્યબિંદુઓ $(0, \pm b)$ છે.
ઉપવલય $S = 0$ માટે શિરોબિંદુઓ $(0, \pm b)$ છે,તેથી તેની મુખ્ય અક્ષ $y$-અક્ષ પર છે.
$S = 0$ નું સમીકરણ $\frac{x^2}{b_1^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે,જ્યાં $b_1$ એ $S$ ની અર્ધ-ગૌણ અક્ષ છે.
$S = 0$ એ $(\pm ae, 0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $\frac{(ae)^2}{b_1^2} = 1$,એટલે કે $b_1^2 = a^2e^2$.
ઉપવલય માટે $b_1^2 = b^2(1 - e_1^2)$ સંબંધ છે.
$a^2e^2 = a^2(1 - e^2)(1 - e_1^2)$ મૂકતા,$e_1^2 = 1 - \frac{e^2}{1 - e^2} = \frac{1 - 2e^2}{1 - e^2}$.
તેથી,$e_1 = \sqrt{\frac{1 - 2e^2}{1 - e^2}}$.

(D) ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ના અભિલંબનું સમીકરણ $ax \sec \theta - by \csc \theta = a^2 - b^2$ છે.
બે સમાંતર અભિલંબ માટેના સમીકરણો $ax \sec \theta - by \csc \theta = a^2 - b^2$ અને $ax \sec \theta - by \csc \theta = -(a^2 - b^2)$ છે.
આ બે સમાંતર રેખાઓ વચ્ચેનું અંતર $L = \frac{2(a^2 - b^2)}{\sqrt{a^2 \sec^2 \theta + b^2 \csc^2 \theta}}$ છે.
અસમતા $a^2 \sec^2 \theta + b^2 \csc^2 \theta \ge (a+b)^2$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $L \le \frac{2(a^2 - b^2)}{(a+b)} = 2(a-b)$ મળે છે.
આમ,$L$ ની મહત્તમ કિંમત $2(a-b)$ છે.

(B) આપેલ ઉપવલય $\frac{x^2}{27} + y^2 = 1$ માટે,$a^2 = 27$ અને $b^2 = 1$,તેથી $a = 3\sqrt{3}$ અને $b = 1$.
$(a \cos \theta, b \sin \theta)$ બિંદુ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $\frac{x}{a} \cos \theta + \frac{y}{b} \sin \theta = 1$ છે.
કિંમતો મૂકતા,સ્પર્શકનું સમીકરણ $\frac{x}{3\sqrt{3}} \cos \theta + y \sin \theta = 1$ મળે છે.
$x$-અંતઃખંડ $3\sqrt{3} \sec \theta$ છે અને $y$-અંતઃખંડ $\csc \theta$ છે.
ધારો કે $S$ એ અંતઃખંડોનો સરવાળો છે: $S = 3\sqrt{3} \sec \theta + \csc \theta$.
ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,$S$ નું $\theta$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{dS}{d\theta} = 3\sqrt{3} \sec \theta \tan \theta - \csc \theta \cot \theta$.
$\frac{dS}{d\theta} = 0$ લેતા,આપણને $3\sqrt{3} \frac{\sin \theta}{\cos^2 \theta} = \frac{\cos \theta}{\sin^2 \theta}$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ $\tan^3 \theta = \frac{1}{3\sqrt{3}} = (\frac{1}{\sqrt{3}})^3$ થાય છે.
તેથી,$\tan \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$,જેનો અર્થ છે કે $\theta = \frac{\pi}{6}$.
$\theta = \frac{\pi}{6}$ આગળ દ્વિતીય વિકલન ધન હોવાથી,અંતઃખંડોનો સરવાળો $\theta = \frac{\pi}{6}$ માટે ન્યૂનતમ છે.

(D) ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ પરના $\alpha$ અને $\beta$ ઉત્કેન્દ્રિય ખૂણા ધરાવતા બિંદુઓને જોડતી જીવાનું સમીકરણ $\frac{x}{a} \cos \left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right) + \frac{y}{b} \sin \left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right) = \cos \left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)$ છે.
આ જીવા નાભિ $(ae, 0)$ માંથી પસાર થાય છે.
તેથી,$e \cos \left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right) = \cos \left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)$.
આમ,$e = \frac{\cos ((\alpha-\beta)/2)}{\cos ((\alpha+\beta)/2)} = \frac{\sin \alpha + \sin \beta}{\sin (\alpha + \beta)}$.

(C) ઉપવલયનું સમીકરણ $3x^2 + 5y^2 = 32$ છે,જેને $\frac{x^2}{32/3} + \frac{y^2}{32/5} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
બિંદુ $(3, 5)$ નું ઉપવલયની સાપેક્ષ સ્થાન નક્કી કરવા માટે,આપણે $S = 3x^2 + 5y^2 - 32$ માં $(3, 5)$ કિંમત મૂકીએ.
$S = 3(3)^2 + 5(5)^2 - 32 = 3(9) + 5(25) - 32 = 27 + 125 - 32 = 120$.
અહીં $S > 0$ હોવાથી,બિંદુ $(3, 5)$ ઉપવલયની બહાર આવેલું છે.
કોઈપણ બિંદુ જે ઉપવલયની બહાર હોય,ત્યાંથી ઉપવલય પર બરાબર બે વાસ્તવિક સ્પર્શકો દોરી શકાય છે.

(B) ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ માટે,નાભિઓ $S_1$ અને $S_2$ માંથી કોઈપણ સ્પર્શક પર દોરેલા લંબની લંબાઈનો ગુણાકાર એ અર્ધ-ગૌણ અક્ષના વર્ગ,$b^2$ જેટલો હોય છે.
આપેલ ઉપવલયના સમીકરણ $\frac{x^2}{5} + \frac{y^2}{3} = 1$ પરથી,$a^2 = 5$ અને $b^2 = 3$ મળે છે.
તેથી,$(S_1 F_1) (S_2 F_2) = b^2 = 3$.

(C) ધારો કે છેદબિંદુ $R(x_1, y_1)$ છે. સ્પર્શક જીવાનું સમીકરણ $\frac{xx_1}{9} + \frac{yy_1}{4} = 1$ છે.
રેખાઓ $OP$ અને $OQ$ નું સંયુક્ત સમીકરણ મેળવવા માટે,ઉપવલયના સમીકરણને સમઘાત બનાવતા:
$\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = (\frac{xx_1}{9} + \frac{yy_1}{4})^2$.
$OP \perp OQ$ હોવાથી,$x^2$ અને $y^2$ ના સહગુણકોનો સરવાળો શૂન્ય થાય:
$(\frac{1}{9} - \frac{x_1^2}{81}) + (\frac{1}{4} - \frac{y_1^2}{16}) = 0$.
તેથી,બિંદુપથ $\frac{x^2}{81} + \frac{y^2}{16} = \frac{13}{36}$ મળે છે,જે એક ઉપવલય છે.

(D) ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ માટે પરસ્પર લંબ સ્પર્શકોના બિંદુઓનો બિંદુપથ એ તેનું નિયામક વર્તુળ (director circle) છે,જેનું સમીકરણ $x^2 + y^2 = a^2 + b^2$ છે.
ઉપવલય $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$ માટે,નિયામક વર્તુળ $x^2 + y^2 = 16 + 9 = 25$ છે.
આપણે નિયામક વર્તુળ $x^2 + y^2 = 25$ અને આપેલ ઉપવલય $\frac{x^2}{50} + \frac{y^2}{20} = 1$ ના છેદબિંદુઓની સંખ્યા શોધવાની છે.
વર્તુળના સમીકરણ પરથી,$y^2 = 25 - x^2$. આ કિંમત ઉપવલયના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{x^2}{50} + \frac{25 - x^2}{20} = 1$
$100$ વડે ગુણતા:
$2x^2 + 5(25 - x^2) = 100$
$2x^2 + 125 - 5x^2 = 100$
$-3x^2 = -25$
$x^2 = \frac{25}{3}$,જે $x = \pm \frac{5}{\sqrt{3}}$ આપે છે.
અહીં $x^2 = \frac{25}{3} < 25$ હોવાથી,$y^2 = 25 - \frac{25}{3} = \frac{50}{3} > 0$,જે $y = \pm \sqrt{\frac{50}{3}}$ આપે છે.
આમ,કુલ $4$ છેદબિંદુઓ મળે છે.

(A) ઉપવલયના નાભિલંબની લંબાઈ $\frac{2b^2}{a}$ છે અને તેની નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $2ae$ છે.
આપેલ છે કે $\frac{2b^2}{a} = 2ae$,તેથી $b^2 = a^2e$.
સંબંધ $b^2 = a^2(1 - e^2)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $a^2(1 - e^2) = a^2e$ મળે છે.
$a^2$ વડે ભાગતા,$1 - e^2 = e$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $e^2 + e - 1 = 0$ થાય છે.
આ દ્વિઘાત સમીકરણનો ઉકેલ ($e > 0$ માટે) $e = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ મળે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin 18^{\circ} = \frac{\sqrt{5} - 1}{4}$,તેથી $e = 2 \sin 18^{\circ}$ થાય.

(C) ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{3} + \frac{y^2}{1} = 1$ છે।
ધારો કે બિંદુ $P$ એ $(\sqrt{3} \cos \theta, \sin \theta)$ છે।
રેખા $x - y - 10 = 0$ થી $P$ નું લંબ અંતર $d = \frac{|\sqrt{3} \cos \theta - \sin \theta - 10|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{|\sqrt{3} \cos \theta - \sin \theta - 10|}{\sqrt{2}}$ દ્વારા મળે છે।
$d$ ને મહત્તમ કરવા માટે, આપણે પદાવલિ $f(\theta) = \sqrt{3} \cos \theta - \sin \theta$ ને મહત્તમ કરવી પડશે।
આપણે $f(\theta) = 2(\frac{\sqrt{3}}{2} \cos \theta - \frac{1}{2} \sin \theta) = 2 \cos(\theta + 30^{\circ})$ લખી શકીએ છીએ।
$f(\theta)$ ની મહત્તમ કિંમત $2$ અને ન્યૂનતમ કિંમત $-2$ છે।
મહત્તમ અંતર માટે, આપણે $f(\theta)$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $-2$ ધ્યાનમાં લઈએ છીએ।
તેથી, $d_{max} = \frac{|-2 - 10|}{\sqrt{2}} = \frac{|-12|}{\sqrt{2}} = \frac{12}{\sqrt{2}} = 6\sqrt{2}$.

(A) ધારો કે $P$ અને $Q$ ના ઉત્કેન્દ્રિય ખૂણાઓ અનુક્રમે $\theta_1$ અને $\theta_2$ છે. આપેલ છે કે $\theta_1 - \theta_2 = \frac{3\pi}{2}$,તેથી $\theta_1 = \theta_2 + \frac{3\pi}{2}$.
યામ $P(5 \cos \theta_1, 2 \sin \theta_1)$ અને $Q(5 \cos \theta_2, 2 \sin \theta_2)$ છે.
$\theta_1 = \theta_2 + \frac{3\pi}{2}$ મૂકતા,આપણને $P(5 \sin \theta_2, -2 \cos \theta_2)$ મળે છે.
અંતર $PQ^2 = (5 \cos \theta_2 - 5 \sin \theta_2)^2 + (2 \sin \theta_2 + 2 \cos \theta_2)^2$.
$PQ^2 = 25(1 - \sin 2\theta_2) + 4(1 + \sin 2\theta_2) = 29 - 21 \sin 2\theta_2$.
$PQ$ ને ન્યૂનતમ કરવા માટે,આપણે $\sin 2\theta_2 = 1$ લઈએ છીએ.
$PQ^2_{min} = 29 - 21 = 8$.
$PQ_{min} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.

(A) આપેલ સમીકરણ એ ઉપવલય દર્શાવે છે જેના નાભિઓ $F_1(3, 2)$ અને $F_2(5, 4)$ છે અને મુખ્ય અક્ષની લંબાઈ $2a = 6$ છે,તેથી $a = 3$.
નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $2ae = \sqrt{(5-3)^2 + (4-2)^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ છે.
આમ,$ae = \sqrt{2}$,જે ઉત્કેન્દ્રતા $e = \frac{\sqrt{2}}{3}$ આપે છે.
ઉપવલયની નિયામિકાઓ વચ્ચેનું અંતર $\frac{2a}{e}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\frac{2(3)}{\frac{\sqrt{2}}{3}} = \frac{6 \times 3}{\sqrt{2}} = \frac{18}{\sqrt{2}} = 9\sqrt{2}$ મળે છે.

(C) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ $(x - y + 1)^2 + (2x + 2y - 6)^2 = 20$ છે.
$20$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{(\frac{x - y + 1}{\sqrt{2}})^2}{10} + \frac{(\frac{x + y - 3}{\sqrt{2}})^2}{5} = 1$ મળે છે.
અહીં,$a^2 = 10$ અને $b^2 = 5$ છે. ઉપવલયનું કેન્દ્ર $(1, 2)$ છે.
ઉપવલયની કોઈપણ નાભિમાંથી તેના કોઈપણ સ્પર્શક પર દોરેલા લંબના પાદનો બિંદુપથ એ તેનું સહાયક વર્તુળ (auxiliary circle) છે.
સહાયક વર્તુળનું કેન્દ્ર ઉપવલયના કેન્દ્ર જેવું જ હોય છે અને તેની ત્રિજ્યા અર્ધ-મુખ્ય અક્ષ $a$ જેટલી હોય છે.
અહીં,$a^2 = 10$,તેથી સહાયક વર્તુળનું સમીકરણ $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 10$ છે.
આનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $x^2 - 2x + 1 + y^2 - 4y + 4 = 10$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $x^2 + y^2 - 2x - 4y - 5 = 0$ થાય છે.

(A) માણસ દ્વારા રચાયેલો માર્ગ એક ઉપવલય (ellipse) છે કારણ કે બે નિશ્ચિત બિંદુઓ (નાભિ) થી અંતરનો સરવાળો અચળ છે.
અચળ સરવાળો $2a = 10 \ m$ છે, તેથી $a = 5 \ m$.
નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $2ae = 8 \ m$ છે, તેથી $ae = 4 \ m$.
$a = 5$ હોવાથી, $5e = 4$, જે $e = \frac{4}{5}$ આપે છે.
સંબંધ $b^2 = a^2(1 - e^2)$ નો ઉપયોગ કરતા, $b^2 = 25(1 - (\frac{4}{5})^2) = 25(1 - \frac{16}{25}) = 25(\frac{9}{25}) = 9$.
આમ, $b = 3 \ m$.
ઉપવલયનું ક્ષેત્રફળ $\pi ab = \pi \times 5 \times 3 = 15 \pi \ m^2$ છે.

(D) ઉપવલય $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ માટે પરસ્પર લંબ સ્પર્શકોના બિંદુઓનો બિંદુગણ એ તેનું નિયામક વર્તુળ છે,જેનું સમીકરણ $x^{2} + y^{2} = a^{2} + b^{2}$ છે.
ઉપવલય $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ માટે,$a^{2} = 16$ અને $b^{2} = 9$ છે.
તેથી,નિયામક વર્તુળનું સમીકરણ $x^{2} + y^{2} = 16 + 9 = 25$ થાય.
આપણે નિયામક વર્તુળ $x^{2} + y^{2} = 25$ અને આપેલ ઉપવલય $\frac{x^{2}}{50} + \frac{y^{2}}{20} = 1$ ના છેદબિંદુઓની સંખ્યા શોધવાની છે.
વર્તુળ પરથી,$y^{2} = 25 - x^{2}$. આ કિંમત ઉપવલયના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{x^{2}}{50} + \frac{25 - x^{2}}{20} = 1$
$100$ વડે ગુણતા:
$2x^{2} + 5(25 - x^{2}) = 100$
$2x^{2} + 125 - 5x^{2} = 100$
$-3x^{2} = -25$
$x^{2} = \frac{25}{3}$,જે $x = \pm \frac{5}{\sqrt{3}}$ આપે છે.
કારણ કે $x^{2} = \frac{25}{3} < 25$,તેથી $y^{2} = 25 - \frac{25}{3} = \frac{50}{3} > 0$,જે $y = \pm \sqrt{\frac{50}{3}}$ આપે છે.
આમ,$x$ ની બે કિંમતો માટે $y$ ની બે કિંમતો મળે છે,તેથી કુલ $4$ છેદબિંદુઓ મળે છે.

(A) ઉપવલય $\frac{x^2}{8} + \frac{y^2}{4} = 1$ માટે,$a^2 = 8$ અને $b^2 = 4$,તેથી $a = 2\sqrt{2}$ અને $b = 2$ મળે.
ધારો કે જીવાના અંત્યબિંદુઓના ઉત્કેન્દ્રિય ખૂણાઓ $\theta$ અને $\theta + \frac{\pi}{2}$ છે.
બિંદુઓના યામ $P = (2\sqrt{2} \cos \theta, 2 \sin \theta)$ અને $Q = (-2\sqrt{2} \sin \theta, 2 \cos \theta)$ છે.
જીવા $PQ$ ની લંબાઈનો વર્ગ $L^2 = (2\sqrt{2} \cos \theta + 2\sqrt{2} \sin \theta)^2 + (2 \sin \theta - 2 \cos \theta)^2$ થાય.
$L^2 = 8(1 + \sin 2\theta) + 4(1 - \sin 2\theta) = 12 + 4 \sin 2\theta$.
$L$ ને મહત્તમ કરવા માટે,$\sin 2\theta = 1$ લેતા,$L^2 = 16$ મળે.
તેથી,મહત્તમ લંબાઈ $L = 4$ થાય.

(B) ઉપવલયનું સમીકરણ $x^2 + 3y^2 = 9$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા,$2x + 6y \frac{dy}{dx} = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{3y}$.
કોઈપણ બિંદુ $(x, y)$ આગળ અભિલંબનો ઢાળ $m = -\frac{dx}{dy} = \frac{3y}{x}$ છે.
બિંદુ $P_1 = (3\cos \theta, \sqrt{3} \sin \theta)$ માટે,અભિલંબનો ઢાળ $m_1 = \frac{3(\sqrt{3} \sin \theta)}{3 \cos \theta} = \sqrt{3} \tan \theta$.
બિંદુ $P_2 = (-3\sin \theta, \sqrt{3} \cos \theta)$ માટે,અભિલંબનો ઢાળ $m_2 = \frac{3(\sqrt{3} \cos \theta)}{-3 \sin \theta} = -\sqrt{3} \cot \theta$.
અભિલંબ વચ્ચેનો ખૂણો $\beta$ માટે $\tan \beta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$\tan \beta = \left| \frac{\sqrt{3} \tan \theta - (-\sqrt{3} \cot \theta)}{1 + (\sqrt{3} \tan \theta)(-\sqrt{3} \cot \theta)} \right| = \left| \frac{\sqrt{3}(\tan \theta + \cot \theta)}{1 - 3} \right| = \left| \frac{\sqrt{3}(\tan \theta + \cot \theta)}{-2} \right| = \frac{\sqrt{3}}{2} (\tan \theta + \cot \theta)$.
કારણ કે $\tan \theta + \cot \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} + \frac{\cos \theta}{\sin \theta} = \frac{\sin^2 \theta + \cos^2 \theta}{\sin \theta \cos \theta} = \frac{1}{\frac{1}{2} \sin 2\theta} = \frac{2}{\sin 2\theta}$.
આમ,$\tan \beta = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{\sin 2\theta} = \frac{\sqrt{3}}{\sin 2\theta}$.
તેથી,$\frac{1}{\cot \beta} = \frac{\sqrt{3}}{\sin 2\theta}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{\cot \beta}{\sin 2\theta} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
આથી,$\frac{2 \cot \beta}{\sin 2\theta} = \frac{2}{\sqrt{3}}$.

(D) ધારો કે ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે,જ્યાં $a > b$ છે.
નાભિ $(ae, 0)$ અને તેના નજીકના શિરોબિંદુ $(a, 0)$ વચ્ચેનું અંતર $a(1 - e) = \frac{3}{2}$ છે.
તેથી,$a - ae = \frac{3}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $ae = a - \frac{3}{2}$.
નાભિલંબની લંબાઈ $\frac{2b^2}{a} = 4$ છે,તેથી $b^2 = 2a$.
સંબંધ $b^2 = a^2(1 - e^2)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $2a = a^2(1 - e^2)$ મળે છે,જે $1 - e^2 = \frac{2}{a}$ અથવા $e^2 = 1 - \frac{2}{a}$ માં પરિણમે છે.
$ae = a - \frac{3}{2}$ નો વર્ગ કરતા,$a^2e^2 = (a - \frac{3}{2})^2$ મળે છે.
$e^2 = 1 - \frac{2}{a}$ મૂકતા,$a^2(1 - \frac{2}{a}) = a^2 - 3a + \frac{9}{4}$ મળે છે.
$a^2 - 2a = a^2 - 3a + \frac{9}{4}$.
$a = \frac{9}{4}$.
હવે,$e^2 = 1 - \frac{2}{a} = 1 - \frac{2}{9/4} = 1 - \frac{8}{9} = \frac{1}{9}$.
તેથી,$e = \frac{1}{3}$.

(D) આપેલ ઉત્કેન્દ્રતા $e = \frac{3}{5}$ અને નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $2ae = 6$.
$2a(\frac{3}{5}) = 6 \Rightarrow a = 5$.
સંબંધ $b^2 = a^2(1 - e^2)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$b^2 = 25(1 - \frac{9}{25}) = 25(\frac{16}{25}) = 16 \Rightarrow b = 4$.
ઉપવલયના શિરોબિંદુઓ $(\pm 5, 0)$ અને $(0, \pm 4)$ છે.
આ શિરોબિંદુઓ દ્વારા બનતો ચતુષ્કોણ એક સમબાજુ ચતુષ્કોણ છે જેના વિકર્ણોની લંબાઈ $2a = 10$ અને $2b = 8$ છે.
ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times d_1 \times d_2 = \frac{1}{2} \times 10 \times 8 = 40$ ચોરસ એકમ.

(C) ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ પર કેન્દ્ર અને યામ અક્ષો પર અક્ષો ધરાવતા ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે.
ઉપવલય $(4, -1)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $\frac{16}{a^2} + \frac{1}{b^2} = 1$,જેનો અર્થ છે $16b^2 + a^2 = a^2b^2$ $(i)$.
ઉપવલય $(-2, 2)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $\frac{4}{a^2} + \frac{4}{b^2} = 1$,જેનો અર્થ છે $4b^2 + 4a^2 = a^2b^2$ $(ii)$.
$(i)$ અને $(ii)$ ને સરખાવતા,$16b^2 + a^2 = 4b^2 + 4a^2$.
$12b^2 = 3a^2$,તેથી $a^2 = 4b^2$.
$a^2 = 4b^2$ ને $(ii)$ માં મૂકતા,$4b^2 + 4(4b^2) = (4b^2)b^2$,જેનું સાદું રૂપ $20b^2 = 4b^4$ થાય,તેથી $b^2 = 5$.
તેથી $a^2 = 4(5) = 20$.
$b^2 = a^2(1 - e^2)$ હોવાથી,$5 = 20(1 - e^2)$.
$1 - e^2 = \frac{5}{20} = \frac{1}{4}$.
$e^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.
તેથી,$e = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

(C) ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ના બિંદુ $(a \cos \theta, b \sin \theta)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $\frac{x \cos \theta}{a} + \frac{y \sin \theta}{b} = 1$ છે.
અહીં,$a = 3\sqrt{3}$ અને $b = \sqrt{3}$ છે.
સ્પર્શકનું સમીકરણ $\frac{x \cos \theta}{3\sqrt{3}} + \frac{y \sin \theta}{\sqrt{3}} = 1$ છે.
$A$ ના યામ $(\frac{3\sqrt{3}}{\cos \theta}, 0)$ અને $B$ ના યામ $(0, \frac{\sqrt{3}}{\sin \theta})$ છે.
ત્રિકોણ $OAB$ નું ક્ષેત્રફળ $\Delta = \frac{1}{2} \times \frac{3\sqrt{3}}{\cos \theta} \times \frac{\sqrt{3}}{\sin \theta} = \frac{9}{\sin 2\theta}$ છે.
ક્ષેત્રફળ ન્યૂનતમ થવા માટે $\sin 2\theta = 1$ હોવું જોઈએ.
તેથી,$\Delta_{\min} = 9$ ચોરસ એકમ.

(C) અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{9} = 1$ છે.
તેની નાભિઓ $(\pm \sqrt{13}, 0)$ છે.
અતિવલયની ઉત્કેન્દ્રતા $e_h = \frac{\sqrt{13}}{2}$ છે.
ધારો કે ઉપવલયની ઉત્કેન્દ્રતા $e_e$ છે. આપેલ છે કે $e_e \times e_h = \frac{1}{2}$,તેથી $e_e = \frac{1}{\sqrt{13}}$.
ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે.
ઉપવલય $(\pm \sqrt{13}, 0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $a^2 = 13$.
$b^2 = a^2(1 - e_e^2) = 13(1 - \frac{1}{13}) = 12$.
ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{13} + \frac{y^2}{12} = 1$ છે.
બિંદુ $C$ માટે: $\frac{13/4}{13} + \frac{3/4}{12} = \frac{1}{4} + \frac{1}{16} = \frac{5}{16} \neq 1$.
તેથી,બિંદુ $C$ ઉપવલય પર નથી.

(B) ઉપવલયની નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $2ae$ છે.
ઉપવલયના લેટસ રેક્ટમની લંબાઈ $\frac{2b^2}{a}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર લેટસ રેક્ટમની લંબાઈ કરતા અડધું છે:
$2ae = \frac{1}{2} \times \frac{2b^2}{a}$
$2ae = \frac{b^2}{a}$
સંબંધ $b^2 = a^2(1-e^2)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2ae = \frac{a^2(1-e^2)}{a}$
$2ae = a(1-e^2)$
$2e = 1-e^2$
$e^2 + 2e - 1 = 0$
દ્વિઘાત સૂત્ર $e = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$e = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{-2 \pm \sqrt{8}}{2} = -1 \pm \sqrt{2}$
ઉત્કેન્દ્રતા $e$ ધન હોવી જોઈએ,તેથી $e = \sqrt{2}-1$.

(A) ધારો કે $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ એ ઉપવલયનું સમીકરણ છે.
આપેલ છે કે $F_1B$ અને $F_2B$ એકબીજાને લંબ છે.
યામો $F_1(-ae, 0)$,$F_2(ae, 0)$,અને $B(0, b)$ છે.
$F_1B$ નો ઢાળ = $\frac{b - 0}{0 - (-ae)} = \frac{b}{ae}$.
$F_2B$ નો ઢાળ = $\frac{b - 0}{0 - ae} = -\frac{b}{ae}$.
$F_1B \perp F_2B$ હોવાથી,તેમના ઢાળનો ગુણાકાર $-1$ થાય:
$\left(\frac{b}{ae}\right) \times \left(-\frac{b}{ae}\right) = -1$
$-\frac{b^2}{a^2e^2} = -1 \Rightarrow b^2 = a^2e^2$.
આપણે જાણીએ છીએ કે ઉપવલય માટે,$b^2 = a^2(1 - e^2)$.
$b^2 = a^2e^2$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$a^2e^2 = a^2(1 - e^2)$
$e^2 = 1 - e^2$
$2e^2 = 1$
$e^2 = \frac{1}{2}$.

(B) ધારો કે બિંદુ $A(a, 0)$ એ $x$-અક્ષ પર છે અને $B(0, b)$ એ $y$-અક્ષ પર છે.
ધારો કે $P(h, k)$ એ $AB$ ને $1 : 2$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે.
વિભાજન સૂત્ર દ્વારા:
$h = \frac{2(0) + 1(a)}{1 + 2} = \frac{a}{3} \Rightarrow a = 3h$
$k = \frac{2(b) + 1(0)}{1 + 2} = \frac{2b}{3} \Rightarrow b = \frac{3k}{2}$
દાદરની લંબાઈ $l$ હોવાથી,$a^2 + b^2 = l^2$.
કિંમતો મૂકતા:
$(3h)^2 + (\frac{3k}{2})^2 = l^2$
$9h^2 + \frac{9k^2}{4} = l^2$
$\frac{h^2}{(l/3)^2} + \frac{k^2}{(2l/3)^2} = 1$
આ એક ઉપવલયનું સમીકરણ છે જેની ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 - \frac{(l/3)^2}{(2l/3)^2}} = \sqrt{1 - \frac{1}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ છે.

(D) ધારો કે ઉપવલય $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{81} = 1$ પરનું સ્પર્શબિંદુ $(h, k)$ છે.
$(h, k)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $\frac{xh}{16} + \frac{yk}{81} = 1$ છે.
$y=0$ લેતા,$x$-અંતઃખંડ $x = \frac{16}{h}$ મળે. તેથી,બિંદુ $B = (\frac{16}{h}, 0)$.
$x=0$ લેતા,$y$-અંતઃખંડ $y = \frac{81}{k}$ મળે. તેથી,બિંદુ $A = (0, \frac{81}{k})$.
ત્રિકોણ $OAB$ નું ક્ષેત્રફળ $A = \frac{1}{2} \times |\frac{16}{h}| \times |\frac{81}{k}| = \frac{648}{|hk|}$ થાય.
$(h, k)$ ઉપવલય પર હોવાથી,$\frac{h^2}{16} + \frac{k^2}{81} = 1$. $AM$-$GM$ અસમતા મુજબ,$\frac{\frac{h^2}{16} + \frac{k^2}{81}}{2} \ge \sqrt{\frac{h^2 k^2}{16 \times 81}}$.
$\frac{1}{2} \ge \frac{|hk|}{4 \times 9} \Rightarrow |hk| \le 18$.
તેથી,ન્યૂનતમ ક્ષેત્રફળ $A = \frac{648}{|hk|} \ge \frac{648}{18} = 36$.
આમ,ત્રિકોણનું ન્યૂનતમ ક્ષેત્રફળ $36$ ચોરસ એકમ છે.

(C) ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{(2c)^2} + \frac{y^2}{c^2} = 1$ છે. શિરોબિંદુઓ $(\pm 2c, 0)$ અને $(0, \pm c)$ છે.
વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 = (3a)^2$ છે. ત્રિજ્યા $3a$ છે.
વર્તુળ અને ઉપવલયને ચાર ભિન્ન છેદબિંદુઓ હોય તે માટે,વર્તુળની ત્રિજ્યા ઉપવલયની અર્ધ-ગૌણ અક્ષ કરતા મોટી અને અર્ધ-મુખ્ય અક્ષ કરતા નાની હોવી જોઈએ.
તેથી,$c < 3a < 2c$.
$3a < 2c$ પરથી,$9a^2 < 4c^2$ મળે,જેનો અર્થ છે $9a^2 - 4c^2 < 0$.
$c < 3a$ પરથી,$c^2 < 9a^2$ મળે,જેનો અર્થ છે $9a^2 - c^2 > 0$.
ઉપવલયના સમીકરણમાં $y^2 = 9a^2 - x^2$ મૂકતા: $\frac{x^2}{4c^2} + \frac{9a^2 - x^2}{c^2} = 1$.
$x^2 + 4(9a^2 - x^2) = 4c^2$ $\Rightarrow x^2 + 36a^2 - 4x^2 = 4c^2$ $\Rightarrow 3x^2 = 36a^2 - 4c^2$ $\Rightarrow x^2 = 12a^2 - \frac{4}{3}c^2$.
$x^2$ ના બે ભિન્ન મૂલ્યો માટે (જે ચાર બિંદુઓ આપે છે),આપણને $0 < x^2 < 9a^2$ ની જરૂર છે.
$0 < 12a^2 - \frac{4}{3}c^2 < 9a^2$.
$12a^2 - \frac{4}{3}c^2 > 0$ $\Rightarrow 36a^2 > 4c^2$ $\Rightarrow 9a^2 > c^2$ $\Rightarrow 3a > c$.
$12a^2 - \frac{4}{3}c^2 < 9a^2$ $\Rightarrow 3a^2 < \frac{4}{3}c^2$ $\Rightarrow 9a^2 < 4c^2$ $\Rightarrow 3a < 2c$.
આ બંનેને જોડતા,$c < 3a < 2c$ મળે છે. શરત $9ac - 9a^2 - 2c^2 > 0$ છેદબિંદુઓના વિશ્લેષણ પરથી તારવવામાં આવી છે.

(C) આપેલ ઉપવલયોના સમીકરણો:
$E_1: \frac{x^2}{3} + \frac{y^2}{2} = 1$
અહીં,$a^2 = 3$ અને $b^2 = 2$. ઉત્કેન્દ્રતા $e_1 = \sqrt{1 - \frac{2}{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
$E_2: \frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{b^2} = 1$
ધારો કે $16 > b^2$,તો ઉત્કેન્દ્રતા $e_2 = \sqrt{1 - \frac{b^2}{16}} = \frac{\sqrt{16 - b^2}}{4}$.
આપેલ છે કે $e_1 \times e_2 = \frac{1}{2}$,તેથી:
$\frac{1}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{16 - b^2}}{4} = \frac{1}{2}$
$\sqrt{16 - b^2} = 2\sqrt{3} = \sqrt{12}$
$16 - b^2 = 12$ $\Rightarrow b^2 = 4$ $\Rightarrow b = 2$.
$E_2$ ની ગૌણ અક્ષની લંબાઈ $2b = 2 \times 2 = 4$ છે.

(A) આપેલ ઉપવલય $4x^2 + 9y^2 = 36$ છે,જેને $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
અહીં,$a^2 = 9$ અને $b^2 = 4$.
અભિલંબ રેખા $4x - 2y - 5 = 0$ ને સમાંતર છે,તેથી અભિલંબનો ઢાળ $m_n = 2$ છે.
તે બિંદુએ સ્પર્શકનો ઢાળ $m_t = -\frac{1}{2}$ છે.
સ્પર્શકનું બિંદુ $\left( \frac{9}{5}, \frac{8}{5} \right)$ મળે છે.

(D) બિંદુઓ $(0, 1)$ અને $(2, 0)$ ને જોડતી જીવાનો ઢાળ $m = \frac{0 - 1}{2 - 0} = -\frac{1}{2}$ છે.
સ્પર્શકો આ જીવાને સમાંતર હોવાથી,તેમનો ઢાળ $m = -\frac{1}{2}$ થશે.
ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ માટે સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 + b^2}$ છે.
અહીં $a^2 = 4, b^2 = 1$ અને $m = -\frac{1}{2}$ લેતા,$y = -\frac{1}{2}x \pm \sqrt{2}$ મળે.
આ કિંમતો ઉપવલયના સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $P_1 = (\sqrt{2}, \frac{1}{\sqrt{2}})$ અને $P_2 = (-\sqrt{2}, -\frac{1}{\sqrt{2}})$ બિંદુઓ મળે છે.
તેથી,અંતર $P_1P_2 = \sqrt{(2\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{8 + 2} = \sqrt{10}$.

(C) આપેલ ઉપવલય $x^2 + 2y^2 = 2$ છે,જેને $\frac{x^2}{2} + \frac{y^2}{1} = 1$ તરીકે લખી શકાય. અહીં $a^2 = 2$ અને $b^2 = 1$ છે.
ઉપવલયના બિંદુ $(a \cos \theta, b \sin \theta)$ પરના સ્પર્શકનું સમીકરણ $\frac{x}{a} \cos \theta + \frac{y}{b} \sin \theta = 1$ છે.
સ્પર્શક $x$-અક્ષને $A \left( \frac{a}{\cos \theta}, 0 \right)$ પર અને $y$-અક્ષને $B \left( 0, \frac{b}{\sin \theta} \right)$ પર છેદે છે.
ધારો કે $P(h, k)$ એ રેખાખંડ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે. તેથી:
$h = \frac{a}{2 \cos \theta} \Rightarrow \cos \theta = \frac{a}{2h}$
$k = \frac{b}{2 \sin \theta} \Rightarrow \sin \theta = \frac{b}{2k}$
નિત્યસમ $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\left( \frac{a}{2h} \right)^2 + \left( \frac{b}{2k} \right)^2 = 1$
$\frac{a^2}{4h^2} + \frac{b^2}{4k^2} = 1$
$a^2 = 2$ અને $b^2 = 1$ મૂકતા:
$\frac{2}{4h^2} + \frac{1}{4k^2} = 1$
$\frac{1}{2h^2} + \frac{1}{4k^2} = 1$
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $\frac{1}{2x^2} + \frac{1}{4y^2} = 1$ મળે છે.

(B) ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે,જ્યાં $a > b$.
નાભિલંબની લંબાઈ $\frac{2b^2}{a} = 8$ છે,જેનો અર્થ છે કે $b^2 = 4a$.
નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $2ae$ છે અને ગૌણ અક્ષની લંબાઈ $2b$ છે. $2ae = 2b$ આપેલ હોવાથી,$ae = b$ મળે,તેથી $a^2e^2 = b^2$.
સંબંધ $b^2 = a^2(1 - e^2) = a^2 - a^2e^2$ નો ઉપયોગ કરીને,$a^2e^2 = b^2$ મૂકતા $b^2 = a^2 - b^2$,અથવા $2b^2 = a^2$ મળે.
$b^2 = 4a$ ને $2b^2 = a^2$ માં મૂકતા,$2(4a) = a^2$ મળે,તેથી $a^2 = 8a$. $a \neq 0$ હોવાથી,$a = 8$.
તેથી $b^2 = 4(8) = 32$,એટલે કે $b = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$.
ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{64} + \frac{y^2}{32} = 1$ છે.
બિંદુ $(4\sqrt{3}, 2\sqrt{2})$ માટે તપાસતા: $\frac{(4\sqrt{3})^2}{64} + \frac{(2\sqrt{2})^2}{32} = \frac{48}{64} + \frac{8}{32} = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} = 1$. આમ,આ બિંદુ ઉપવલય પર આવેલું છે.

(A) ધારો કે ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે. નાભિઓ $S(ae, 0)$ અને $S'(-ae, 0)$ છે,અને ગૌણ અક્ષનું અંત્યબિંદુ $B(0, b)$ છે.
$\Delta S'BS$ એ $B$ આગળ કાટકોણ ત્રિકોણ હોવાથી,$BS$ અને $BS'$ ના ઢાળનો ગુણાકાર $-1$ થાય.
$BS$ નો ઢાળ $= -\frac{b}{ae}$.
$BS'$ નો ઢાળ $= \frac{b}{ae}$.
$B$ આગળનો ખૂણો $90^\circ$ હોવાથી,ઢાળનો ગુણાકાર $-1$ થાય,તેથી $(-\frac{b}{ae}) \times (\frac{b}{ae}) = -1$,જે સૂચવે છે કે $b^2 = a^2e^2$.
આપણે જાણીએ છીએ કે ઉપવલય માટે $b^2 = a^2(1-e^2)$,તેથી $a^2e^2 = a^2 - a^2e^2$,જે આપે છે $b^2 = \frac{a^2}{2}$.
$\Delta S'BS$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times (2ae) \times b = aeb = 8$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$a^2e^2b^2 = 64$. $a^2e^2 = b^2$ મૂકતા,આપણને $b^4 = 64$ મળે,તેથી $b^2 = 8$.
$b^2 = \frac{a^2}{2}$ હોવાથી,$8 = \frac{a^2}{2}$,તેથી $a^2 = 16$,એટલે કે $a = 4$.
નાભિલંબની લંબાઈ $= \frac{2b^2}{a} = \frac{2(8)}{4} = 4$.

(C) ધારો કે $P = (h, k)$. $\Delta AOP$ ની પરિમિતિ $AP + OP + AO = 4$ છે.
અહીં $O(0, 0)$ અને $A(0, 1)$ હોવાથી,$AO = 1$ થાય.
તેથી,$AP + OP = 4 - 1 = 3$.
અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\sqrt{h^2 + (k - 1)^2} + \sqrt{h^2 + k^2} = 3$.
$\sqrt{h^2 + (k - 1)^2} = 3 - \sqrt{h^2 + k^2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$h^2 + k^2 - 2k + 1 = 9 + h^2 + k^2 - 6\sqrt{h^2 + k^2}$.
$-2k - 8 = -6\sqrt{h^2 + k^2}$.
$k + 4 = 3\sqrt{h^2 + k^2}$.
ફરીથી વર્ગ કરતા:
$k^2 + 8k + 16 = 9(h^2 + k^2)$.
$k^2 + 8k + 16 = 9h^2 + 9k^2$.
$9h^2 + 8k^2 - 8k - 16 = 0$.
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $9x^2 + 8y^2 - 8y = 16$ મળે છે.

(A) ઉપવલયનું સમીકરણ $4x^2 + y^2 = 8$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$8x + 2y \frac{dy}{dx} = 0$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dy}{dx} = -\frac{4x}{y}$.
બિંદુ $(1, 2)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $m_1 = -\frac{4(1)}{2} = -2$ છે.
બિંદુ $(a, b)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $m_2 = -\frac{4a}{b}$ ધારો.
સ્પર્શકો પરસ્પર લંબ હોવાથી,$m_1 \times m_2 = -1$,તેથી $(-2) \times (-\frac{4a}{b}) = -1$,જે આપે છે $\frac{8a}{b} = -1$,અથવા $b = -8a$.
બિંદુ $(a, b)$ ઉપવલય પર હોવાથી,$4a^2 + b^2 = 8$.
$b = -8a$ મુકતા,$4a^2 + (-8a)^2 = 8$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $4a^2 + 64a^2 = 8$ થાય.
આમ,$68a^2 = 8$,તેથી $a^2 = \frac{8}{68} = \frac{2}{17}$.