આપેલ શરતો સંતોષતા ઉપવલયનું સમીકરણ શોધો: શિરોબિંદુઓ $(\pm 6, 0)$,નાભિઓ $(\pm 4, 0)$.

જો ઉપવલયનું નાભિલંબ તેના કેન્દ્ર આગળ કાટખૂણો આંતરતું હોય,તો તે ઉપવલયની ઉત્કેન્દ્રતા કેટલી થાય?

એવા ઉપવલય (ellipse) નું સમીકરણ શોધો જે નીચેની શરતોનું પાલન કરે છે: કેન્દ્ર $(0, 0)$ પર છે,મુખ્ય અક્ષ $y$-અક્ષ પર છે અને તે $(3, 2)$ અને $(1, 6)$ બિંદુઓમાંથી પસાર થાય છે.

જો ઉપવલય $\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ અને વર્તુળ $x^{2}+y^{2}=4b$ $(b > 4)$ ના છેદબિંદુઓ વક્ર $y^{2}=3x^{2}$ પર આવેલા હોય,તો $b$ ની કિંમત શોધો:

બિંદુ $P(3,4)$ માંથી ઉપવલય $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$ પર સ્પર્શકો દોરવામાં આવે છે જે ઉપવલયને $A$ અને $B$ બિંદુઓ પર સ્પર્શે છે.
$1.$ $A$ અને $B$ ના યામો છે
$(A)$ $(3,0)$ અને $(0,2)$
$(B)$ $\left(-\frac{8}{5}, \frac{2 \sqrt{161}}{15}\right)$ અને $\left(-\frac{9}{5}, \frac{8}{5}\right)$
$(C)$ $\left(-\frac{8}{5}, \frac{2 \sqrt{161}}{15}\right)$ અને $(0,2)$
$(D)$ $(3,0)$ અને $\left(-\frac{9}{5}, \frac{8}{5}\right)$
$2.$ ત્રિકોણ $PAB$ નું લંબકેન્દ્ર છે
$(A)$ $\left(5, \frac{8}{7}\right)$ $(B)$ $\left(\frac{7}{5}, \frac{25}{8}\right)$
$(C)$ $\left(\frac{11}{5}, \frac{8}{5}\right)$ $(D)$ $\left(\frac{8}{25}, \frac{7}{5}\right)$
$3.$ તે બિંદુના બિંદુપથનું સમીકરણ જેનું બિંદુ $P$ અને રેખા $AB$ થી અંતર સમાન હોય,તે છે
$(A)$ $9 x^2+y^2-6 x y-54 x-62 y+241=0$
$(B)$ $x^2+9 y^2+6 x y-54 x+62 y-241=0$
$(C)$ $9 x^2+9 y^2-6 x y-54 x-62 y-241=0$
$(D)$ $x^2+y^2-2 x y+27 x+31 y-120=0$
પ્રશ્ન $1, 2$ અને $3$ ના જવાબ આપો.

$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ $(b > a)$ એ $\frac{1}{\sqrt{2}}$ ઉત્કેન્દ્રતા ધરાવતું ઉપવલય છે. જો ઉપવલય અને પરવલય $y^2 = 4ax$ વચ્ચેનો છેદકોણ $\theta$ હોય,તો ઉપવલય પરના બિંદુના યામ શોધો: