Ellipse Questions in Gujarati

(D) રેખા $5x + 7y = 50$ છે. $A(\alpha, 0)$ માટે,$5\alpha = 50 \implies \alpha = 10$,તેથી $A = (10, 0)$. $B(0, \beta)$ માટે,$7\beta = 50 \implies \beta = \frac{50}{7}$,તેથી $B = (0, \frac{50}{7})$.
બિંદુ $P$ એ $AB$ નું $7:3$ ના ગુણોત્તરમાં અંતઃવિભાજન કરે છે. વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$P = \left( \frac{7(0) + 3(10)}{7+3}, \frac{7(\frac{50}{7}) + 3(0)}{7+3} \right) = (3, 5)$.
નિયામિકા $x = \frac{25}{3}$ છે. નાભિ $S$ એ $x$-અક્ષ પર છે,તેથી $S = (ae, 0)$. $S$ માંથી $x$-અક્ષ પરનો લંબ $x = ae$ છે. આ રેખા $P(3, 5)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $ae = 3$.
નિયામિકાનું સમીકરણ $x = \frac{a}{e} = \frac{25}{3}$ છે.
$ae = 3$ અને $\frac{a}{e} = \frac{25}{3}$ નો ગુણાકાર કરતા: $a^2 = 25 \implies a = 5$.
તેથી $e = \frac{3}{5}$.
$b^2 = a^2(1 - e^2)$ નો ઉપયોગ કરતા,$b^2 = 25(1 - \frac{9}{25}) = 16$.
નાભિલંબની લંબાઈ $\frac{2b^2}{a} = \frac{2(16)}{5} = \frac{32}{5}$ છે.

(D) પરવલયની અક્ષ નિયામિકા $2x+y=6$ ને લંબ છે અને શિરોબિંદુ $(2,3)$ માંથી પસાર થાય છે.
નિયામિકાનો ઢાળ $-2$ છે,તેથી અક્ષનો ઢાળ $\frac{1}{2}$ છે.
અક્ષનું સમીકરણ: $y-3 = \frac{1}{2}(x-2) \Rightarrow x-2y+4=0$.
અક્ષ અને નિયામિકાનું છેદબિંદુ $Z$ છે. $2x+y=6$ અને $x-2y=-4$ ઉકેલતા,$Z = (1.6, 2.8)$ મળે.
ધારો કે નાભિ $S(\alpha, \beta)$ છે. શિરોબિંદુ $V(2,3)$ એ $SZ$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$\frac{\alpha+1.6}{2} = 2 \Rightarrow \alpha = 2.4$ અને $\frac{\beta+2.8}{2} = 3 \Rightarrow \beta = 3.2$.
તેથી,નાભિ $(2.4, 3.2)$ છે.
ઉપવલય $E: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ એ $(2.4, 3.2)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $\frac{(2.4)^2}{a^2} + \frac{(3.2)^2}{b^2} = 1$.
આપેલ છે કે $e^2 = 1 - \frac{b^2}{a^2} = \frac{1}{2}$ $\Rightarrow b^2 = \frac{a^2}{2}$ $\Rightarrow a^2 = 2b^2$.
ઉપવલયના સમીકરણમાં $a^2=2b^2$ મૂકતા: $\frac{5.76}{2b^2} + \frac{10.24}{b^2} = 1$ $\Rightarrow \frac{2.88+10.24}{b^2} = 1$ $\Rightarrow b^2 = 13.12 = \frac{328}{25}$.
તેથી $a^2 = 2 \times \frac{328}{25} = \frac{656}{25}$.
નાભિલંબની લંબાઈ $L = \frac{2b^2}{a}$ છે. લંબાઈનો વર્ગ $L^2 = \frac{4b^4}{a^2} = \frac{4b^4}{2b^2} = 2b^2 = 2 \times \frac{328}{25} = \frac{656}{25}$.

(D) ધારો કે $P = (3 \cos \theta, 2 \sin \theta)$ એ ઉપવલય $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ પરનું બિંદુ છે.
$P$ માંથી પસાર થતી રેખા $y$-અક્ષને સમાંતર હોવાથી,તેનું સમીકરણ $x = 3 \cos \theta$ છે.
આ રેખા વર્તુળ $x^2 + y^2 = 9$ ને $Q = (3 \cos \theta, 3 \sin \theta)$ માં મળે છે.
ધારો કે $PQ$ પરનું બિંદુ $R = (h, k)$ છે,જ્યાં $PR:RQ = 4:3$.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$h = 3 \cos \theta$ અને $k = \frac{4(3 \sin \theta) + 3(2 \sin \theta)}{4+3} = \frac{18}{7} \sin \theta$.
આમ,$\cos \theta = \frac{h}{3}$ અને $\sin \theta = \frac{7k}{18}$.
$\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{h^2}{9} + \frac{49k^2}{324} = 1$ મળે.
બિંદુપથ $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{(18/7)^2} = 1$ છે.
અહીં $a^2 = 9$ અને $b^2 = \frac{324}{49}$ છે. $a^2 > b^2$ હોવાથી,ઉત્કેન્દ્રિયતા $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{36}{49}} = \frac{\sqrt{13}}{7}$.

(B) વર્તુળ $x^2 + y^2 - 3x - 2y = 0$ નું કેન્દ્ર $(\frac{3}{2}, 1)$ છે.
રેખાખંડ $AB$ એ વર્તુળનો વ્યાસ હોવાથી,વર્તુળનું કેન્દ્ર રેખા $2x + 3y - k = 0$ પર આવેલું હોવું જોઈએ.
કેન્દ્ર $(\frac{3}{2}, 1)$ ને રેખાના સમીકરણમાં મૂકતા: $2(\frac{3}{2}) + 3(1) - k = 0 \implies 3 + 3 - k = 0 \implies k = 6$.
ઉપવલયનું સમીકરણ $x^2 + 9y^2 = 36$ થાય,જેને $\frac{x^2}{6^2} + \frac{y^2}{2^2} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
અહીં,$a^2 = 36$ અને $b^2 = 4$,તેથી $a = 6$ અને $b = 2$.
નાભિલંબની લંબાઈ $\frac{2b^2}{a} = \frac{2(4)}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$ છે.
આપેલ છે કે $\frac{m}{n} = \frac{4}{3}$,જ્યાં $m = 4$ અને $n = 3$ પરસ્પર અવિભાજ્ય છે.
તેથી,$2m + n = 2(4) + 3 = 8 + 3 = 11$.

(B) આપેલ છે કે $f(x)=x^2+9$ અને $g(x)=\frac{x}{x-9}$.
પ્રથમ,$a$ ની ગણતરી કરો:
$g(10) = \frac{10}{10-9} = 10$
$a = f(10) = 10^2+9 = 109$.
ત્યારબાદ,$b$ ની ગણતરી કરો:
$f(3) = 3^2+9 = 18$
$b = g(18) = \frac{18}{18-9} = \frac{18}{9} = 2$.
ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{109}+\frac{y^2}{2}=1$ છે. અહીં $A^2=109$ અને $B^2=2$ છે.
$A^2 > B^2$ હોવાથી,ઉત્કેન્દ્રતા $e$ માટે $e^2 = 1 - \frac{B^2}{A^2} = 1 - \frac{2}{109} = \frac{107}{109}$ મળે.
નાભિલંબની લંબાઈ $l = \frac{2B^2}{A} = \frac{2(2)}{\sqrt{109}} = \frac{4}{\sqrt{109}}$ છે.
તેથી,$l^2 = \frac{16}{109}$.
અંતે,$8e^2+l^2$ ની કિંમત:
$8e^2+l^2 = 8\left(\frac{107}{109}\right) + \frac{16}{109} = \frac{856+16}{109} = \frac{872}{109} = 8$.

(D) ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{9}+y^2=1$ છે.
અર્ધ-મુખ્ય અક્ષની લંબાઈ $a=3$ અને અર્ધ-ગૌણ અક્ષની લંબાઈ $b=1$ છે.
બિંદુ $A$ ના યામ $(3,0)$ અને બિંદુ $B$ ના યામ $(0,1)$ છે.
$A$ અને $B$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x}{3} + \frac{y}{1} = 1$ છે,જે $x+3y=3$ તરીકે સરળ બને છે.
ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ ના સહાયક વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2=a^2$ છે,તેથી $x^2+y^2=9$.
રેખા $AB$ એ વર્તુળ $x^2+y^2=9$ ને બિંદુ $M$ માં છેદે છે. વર્તુળના સમીકરણમાં $x=3-3y$ મૂકતા:
$(3-3y)^2+y^2=9$
$9-18y+9y^2+y^2=9$
$10y^2-18y=0$
$2y(5y-9)=0$.
$y=0$ એ બિંદુ $A(3,0)$ ને અનુરૂપ હોવાથી,બિંદુ $M$ માટે $y=\frac{9}{5}$ મળે.
તેથી $x=3-3(\frac{9}{5}) = 3-\frac{27}{5} = -\frac{12}{5}$.
આમ,$M = \left(-\frac{12}{5}, \frac{9}{5}\right)$.
$A(3,0)$,$M(-\frac{12}{5}, \frac{9}{5})$ અને $O(0,0)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતા ત્રિકોણ $AMO$ નું ક્ષેત્રફળ:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |x_A(y_M-y_O) + x_M(y_O-y_A) + x_O(y_A-y_M)|$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |3(\frac{9}{5}-0) + (-\frac{12}{5})(0-0) + 0(0-\frac{9}{5})|$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |\frac{27}{5}| = \frac{27}{10}$.

(C) આપેલ ઉપવલય $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{4} = 1$ છે. અહીં $a^2 = 16$ અને $b^2 = 4$ છે.
ધારો કે $P = (4 \cos \theta, 2 \sin \theta)$ એ ઉપવલય પરનું બિંદુ છે.
$P$ આગળના અભિલંબનું સમીકરણ $\frac{ax}{\cos \theta} - \frac{by}{\sin \theta} = a^2 - b^2$ છે.
$a=4, b=2$ મૂકતા: $\frac{4x}{\cos \theta} - \frac{2y}{\sin \theta} = 12$,જેનું સાદું રૂપ $\frac{x}{\cos \theta} - \frac{y}{2 \sin \theta} = 3$ થાય.
આ અભિલંબ $x$-અક્ષ $(y=0)$ ને $Q(3 \cos \theta, 0)$ માં મળે છે.
ધારો કે $M(x, y)$ એ $PQ$ નું મધ્યબિંદુ છે. તેથી $x = \frac{4 \cos \theta + 3 \cos \theta}{2} = \frac{7}{2} \cos \theta$ અને $y = \frac{2 \sin \theta + 0}{2} = \sin \theta$ થાય.
આમ,$\cos \theta = \frac{2x}{7}$ અને $\sin \theta = y$. $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,$M$ નો બિંદુપથ $\frac{4x^2}{49} + y^2 = 1$ મળે.
મૂળ ઉપવલયનો નાભિલંબ $x = \pm ae = \pm \sqrt{a^2 - b^2} = \pm \sqrt{16 - 4} = \pm \sqrt{12} = \pm 2 \sqrt{3}$ છે.
બિંદુપથના સમીકરણમાં $x^2 = 12$ મૂકતા: $\frac{4(12)}{49} + y^2 = 1 \Rightarrow y^2 = 1 - \frac{48}{49} = \frac{1}{49}$.
તેથી,$y = \pm \frac{1}{7}$. આમ,બિંદુઓ $\left( \pm 2 \sqrt{3}, \pm \frac{1}{7} \right)$ મળે.

(B) $1.$ ઉપવલય $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$ માટે બિંદુ $P(3,4)$ ના સ્પર્શક જીવા $AB$ નું સમીકરણ $T=0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,એટલે કે $\frac{3x}{9}+\frac{4y}{4}=1 \Rightarrow \frac{x}{3}+y=1 \Rightarrow x+3y-3=0$.
સ્પર્શ બિંદુઓ $A$ અને $B$ શોધવા માટે,આપણે સમીકરણો ઉકેલીએ છીએ: $x+3y=3$ અને $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$. $x=3-3y$ ને ઉપવલયના સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{(3-3y)^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1 \Rightarrow (1-y)^2+\frac{y^2}{4}=1 \Rightarrow 1-2y+y^2+\frac{y^2}{4}=1 \Rightarrow \frac{5y^2}{4}-2y=0$. આમ,$y=0$ અથવા $y=\frac{8}{5}$.
જો $y=0$,તો $x=3$. જો $y=\frac{8}{5}$,તો $x=3-3(\frac{8}{5})=3-\frac{24}{5}=-\frac{9}{5}$. તેથી,બિંદુઓ $(3,0)$ અને $(-\frac{9}{5}, \frac{8}{5})$ છે. સાચો વિકલ્પ $(D)$ છે.
$2.$ $\triangle PAB$ નું લંબકેન્દ્ર $H$ એ વેધનું છેદબિંદુ છે. રેખા $AB$ એ $x+3y-3=0$ છે. $P(3,4)$ થી $AB$ પરના વેધનો ઢાળ $3$ છે અને તે $(3,4)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $y-4=3(x-3) \Rightarrow y=3x-5$. $A(3,0)$ થી $PB$ (જ્યાં $B=(-\frac{9}{5}, \frac{8}{5})$) પરના વેધનો ઢાળ $m_{PB} = \frac{8/5-4}{-9/5-3} = \frac{-12/5}{-24/5} = \frac{1}{2}$ છે. $A$ માંથી વેધ $PB$ ને લંબ છે,તેથી તેનો ઢાળ $-2$ છે. સમીકરણ: $y-0=-2(x-3) \Rightarrow y=-2x+6$. $3x-5=-2x+6 \Rightarrow 5x=11 \Rightarrow x=\frac{11}{5}$ ઉકેલતા. પછી $y=3(\frac{11}{5})-5 = \frac{33-25}{5} = \frac{8}{5}$. આમ,$H=(\frac{11}{5}, \frac{8}{5})$. સાચો વિકલ્પ $(C)$ છે.
$3.$ બિંદુ $P$ અને રેખા $AB$ થી સમાન અંતરે આવેલા બિંદુનો બિંદુપથ એ પરવલય છે જેનું નાભિ $P$ અને નિયામિકા $AB$ છે. અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $(x-3)^2+(y-4)^2 = \frac{(x+3y-3)^2}{1^2+3^2}$. આનું વિસ્તરણ કરતા: $10(x^2-6x+9+y^2-8y+16) = x^2+9y^2+9+6xy-6x-18y \Rightarrow 10x^2+10y^2-60x-80y+250 = x^2+9y^2+6xy-6x-18y+9 \Rightarrow 9x^2+y^2-6xy-54x-62y+241=0$. સાચો વિકલ્પ $(A)$ છે.

(C) ઉપવલય $E_1: \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$ ના શિરોબિંદુઓ $(\pm 3, 0)$ અને $(0, \pm 2)$ છે.
કારણ કે $E_1$ એ યામ અક્ષોને સમાંતર બાજુઓ ધરાવતા લંબચોરસ $R$ માં અંતર્ગત છે,તેથી લંબચોરસ $R$ ના શિરોબિંદુઓ $(\pm 3, \pm 2)$ છે.
ધારો કે ઉપવલય $E_2$ નું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ છે.
$E_2$ એ $(0, 4)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $\frac{0}{a^2}+\frac{16}{b^2}=1$,જે $b^2=16$ આપે છે.
$E_2$ એ લંબચોરસ $R$ ને પરિગત હોવાથી,તે $(3, 2)$ બિંદુમાંથી પસાર થાય છે.
$E_2$ ના સમીકરણમાં $(3, 2)$ મૂકતા: $\frac{9}{a^2}+\frac{4}{b^2}=1$.
$b^2=16$ મૂકતા: $\frac{9}{a^2}+\frac{4}{16}=1$ $\Rightarrow \frac{9}{a^2}+\frac{1}{4}=1$ $\Rightarrow \frac{9}{a^2}=\frac{3}{4}$ $\Rightarrow a^2=12$.
ઉપવલય $E_2$ માટે,$b^2 > a^2$ (કારણ કે $16 > 12$),તેથી ઉત્કેન્દ્રતા $e$ એ $a^2=b^2(1-e^2)$ દ્વારા મળે છે.
$12=16(1-e^2) \Rightarrow 1-e^2=\frac{12}{16}=\frac{3}{4}$.
$e^2=1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4} \Rightarrow e=\frac{1}{2}$.

(C) પરવલય $y^2 = 4x$ ના સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx + \frac{1}{m}$ છે.
વર્તુળ $x^2 + y^2 = \frac{1}{2}$ ના સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx \pm \sqrt{\frac{1}{2}(1 + m^2)}$ છે.
બંનેની સરખામણી કરતા,આપણને $\frac{1}{m^2} = \frac{1 + m^2}{2} \Rightarrow 2 = m^2 + m^4 \Rightarrow m^4 + m^2 - 2 = 0$ મળે છે.
$(m^2 + 2)(m^2 - 1) = 0$,તેથી $m^2 = 1$,જે $m = \pm 1$ આપે છે.
સ્પર્શકો $y = x + 1$ અને $y = -x - 1$ છે. તેમનું છેદબિંદુ $Q$ એ $(-1, 0)$ છે.
અંતર $OQ = 1$,જે અર્ધ-મુખ્ય ધરી $a = 1$ છે.
ગૌણ ધરીની લંબાઈ $2b = \sqrt{2}$ છે,તેથી $b = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,જેનો અર્થ છે $b^2 = \frac{1}{2}$.
ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{1} + \frac{y^2}{1/2} = 1$ છે.
ઉત્કેન્દ્રિયતા $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{1/2}{1}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
લેટસ રેક્ટમની લંબાઈ $= \frac{2b^2}{a} = \frac{2(1/2)}{1} = 1$. આમ,$(A)$ સાચું છે.
ક્ષેત્રફળ $= 2 \int_{1/\sqrt{2}}^{1} \sqrt{\frac{1}{2}(1 - x^2)} dx = \sqrt{2} \int_{1/\sqrt{2}}^{1} \sqrt{1 - x^2} dx$.
$= \sqrt{2} \left[ \frac{x}{2}\sqrt{1 - x^2} + \frac{1}{2}\sin^{-1}(x) \right]_{1/\sqrt{2}}^{1} = \sqrt{2} \left( (0 + \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2}) - (\frac{1}{2\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{4}) \right)$.
$= \sqrt{2} \left( \frac{\pi}{4} - \frac{1}{4} - \frac{\pi}{8} \right) = \sqrt{2} \left( \frac{\pi}{8} - \frac{1}{4} \right) = \frac{\sqrt{2}}{8}(\pi - 2) = \frac{1}{4\sqrt{2}}(\pi - 2)$. આમ,$(C)$ સાચું છે.

(D) $E_1: \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ માટે,લંબગોળ પરનું બિંદુ $(3 \cos \theta, 2 \sin \theta)$ લો. અંતર્ગત લંબચોરસ $R_1$ નું ક્ષેત્રફળ $A_1 = (2 \cdot 3 \cos \theta)(2 \cdot 2 \sin \theta) = 24 \sin \theta \cos \theta = 12 \sin 2 \theta$ છે. આ મહત્તમ ત્યારે થાય જ્યારે $\sin 2 \theta = 1$,એટલે કે $\theta = \frac{\pi}{4}$.
આમ,$R_1$ ના શિરોબિંદુઓ $(\pm \frac{3}{\sqrt{2}}, \pm \frac{2}{\sqrt{2}})$ છે.
$R_{n-1}$ માં અંતર્ગત $E_n$ માટે,અર્ધ-અક્ષો $a_n, b_n$ એ $a_n = \frac{a_{n-1}}{\sqrt{2}}$ અને $b_n = \frac{b_{n-1}}{\sqrt{2}}$ નું પાલન કરે છે.
ગુણોત્તર $\frac{b_n}{a_n} = \frac{b_1}{a_1} = \frac{2}{3}$ બધા $n$ માટે અચળ હોવાથી,ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 - \frac{b_n^2}{a_n^2}} = \sqrt{1 - \frac{4}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$ બધા $E_n$ માટે અચળ છે. તેથી,$(1)$ ખોટું છે.
$E_9$ માટે,$a_9 = \frac{3}{(\sqrt{2})^8} = \frac{3}{16}$ અને $b_9 = \frac{2}{(\sqrt{2})^8} = \frac{2}{16} = \frac{1}{8}$ છે.
કેન્દ્રથી નાભિનું અંતર $a_9 e = \frac{3}{16} \cdot \frac{\sqrt{5}}{3} = \frac{\sqrt{5}}{16}$ છે. તેથી,$(2)$ ખોટું છે.
$E_9$ ના લેટસ રેક્ટમની લંબાઈ $\frac{2 b_9^2}{a_9} = \frac{2 (1/8)^2}{3/16} = \frac{2/64}{3/16} = \frac{1}{32} \cdot \frac{16}{3} = \frac{1}{6}$ છે. તેથી,$(3)$ સાચું છે.
$R_n$ નું ક્ષેત્રફળ $A_n = 4 a_n b_n = 4 \cdot \frac{3}{(\sqrt{2})^{n-1}} \cdot \frac{2}{(\sqrt{2})^{n-1}} = \frac{24}{2^{n-1}}$ છે.
સરવાળો $\sum_{n=1}^N A_n = 24 (1 + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{2^{N-1}}) = 24 \cdot \frac{1 - (1/2)^N}{1 - 1/2} = 48 (1 - \frac{1}{2^N}) = 48 - \frac{48}{2^N}$ છે. આ હંમેશા $48$ કરતા ઓછું છે,પરંતુ વિકલ્પો મુજબ $(3)$ અને $(4)$ સાચા છે.

(C) ધારો કે $A = M(P, Q)$ અને $B = M(P, Q^{\prime})$.
મધ્યબિંદુના સૂત્ર મુજબ,$A = \frac{P+Q}{2}$ અને $B = \frac{P+Q^{\prime}}{2}$.
$A$ અને $B$ વચ્ચેનું અંતર $|A - B| = |\frac{P+Q}{2} - \frac{P+Q^{\prime}}{2}| = |\frac{Q - Q^{\prime}}{2}| = \frac{1}{2} |Q - Q^{\prime}|$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,$|Q - Q^{\prime}|$ એ ઉપવલય $E$ પરના બે બિંદુઓ $Q$ અને $Q^{\prime}$ વચ્ચેનું અંતર દર્શાવે છે.
ઉપવલય $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$ પરના કોઈપણ બે બિંદુઓ વચ્ચેનું મહત્તમ અંતર એ તેની મુખ્ય અક્ષની લંબાઈ છે.
મુખ્ય અક્ષની લંબાઈ $2a = 2 \times 4 = 8$ છે.
તેથી,$|Q - Q^{\prime}|$ નું મહત્તમ મૂલ્ય $8$ છે.
આમ,$M(P, Q)$ અને $M(P, Q^{\prime})$ વચ્ચેનું મહત્તમ અંતર $\frac{8}{2} = 4$ થાય.

(D) ઉપવલય $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$ છે. $P = (h, y_0)$ અને $Q = (h, -y_0)$ લો. $P$ ઉપવલય પર હોવાથી,$y_0 = \frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{4-h^2}$.
$P(h, y_0)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $\frac{xh}{4}+\frac{yy_0}{3}=1$ છે. $y=0$ લેતા,$x = \frac{4}{h}$ મળે. તેથી,$R = (\frac{4}{h}, 0)$.
$\triangle PQR$ નું ક્ષેત્રફળ $\Delta(h) = \frac{1}{2} \times (2y_0) \times (\frac{4}{h}-h) = \frac{\sqrt{3}}{2} \frac{(4-h^2)^{3/2}}{h}$.
$h = 2\cos \theta$ લેતા,$h \in [1/2, 1] \implies \cos \theta \in [1/4, 1/2]$.
$\Delta(\theta) = 2\sqrt{3} \frac{\sin^3 \theta}{\cos \theta}$.
$\Delta$ એ $\theta$ સાથે વધતું વિધેય છે. જેમ $\cos \theta$ ઘટે છે,તેમ $\Delta$ વધે છે.
$\Delta_2 = \Delta(h=1) = 4.5$.
$\Delta_1 = \Delta(h=1/2) = \frac{45\sqrt{5}}{8}$.
તેથી,$\frac{8}{\sqrt{5}} \Delta_1 - 8 \Delta_2 = 45 - 36 = 9$.

(A) રેખા $x+y=3$ માટે,$E_1: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ માટે સ્પર્શબિંદુ $(\frac{a^2}{3}, \frac{b^2}{3})$ છે અને $E_2: \frac{x^2}{B^2}+\frac{y^2}{A^2}=1$ માટે સ્પર્શબિંદુ $(\frac{B^2}{3}, \frac{A^2}{3})$ છે.
વર્તુળ $x^2+(y-1)^2=2$ માટે સ્પર્શબિંદુ $(1, 2)$ છે.
રેખા $x+y=3$ પર $(1, 2)$ થી $r$ અંતરે આવેલું સામાન્ય બિંદુ $(1 \mp \frac{r}{\sqrt{2}}, 2 \pm \frac{r}{\sqrt{2}})$ છે. $r=\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ લેતા,બિંદુઓ $Q$ અને $R$ એ $(\frac{1}{3}, \frac{8}{3})$ અને $(\frac{5}{3}, \frac{4}{3})$ મળે છે.
આ બિંદુઓને સરખાવતા,$E_1$ માટે $a^2=5, b^2=4$ અને $E_2$ માટે $B^2=1, A^2=8$ મળે છે.
$E_1$ માટે,$e_1^2 = 1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5}$. $E_2$ માટે,$e_2^2 = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$.
તેથી $e_1^2+e_2^2 = \frac{1}{5} + \frac{7}{8} = \frac{43}{40}$ અને $e_1 e_2 = \frac{\sqrt{7}}{2 \sqrt{10}}$.
આમ,વિકલ્પો $(A)$ અને $(B)$ સાચા છે.

(C) ધારો કે $F(2\cos\phi, 2\sin\phi)$ અને $E(2\cos\phi, \sqrt{3}\sin\phi)$ છે.
$E$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $\frac{x(2\cos\phi)}{4} + \frac{y(\sqrt{3}\sin\phi)}{3} = 1$ છે,જેનું સાદું રૂપ $\frac{x\cos\phi}{2} + \frac{y\sin\phi}{\sqrt{3}} = 1$ થાય છે.
$y=0$ લેતા,આપણને $G$ નો $x$-યામ $x_G = \frac{2}{\cos\phi}$ મળે છે. આમ,$G = (\frac{2}{\cos\phi}, 0)$.
યામો $F(2\cos\phi, 2\sin\phi)$,$G(\frac{2}{\cos\phi}, 0)$,અને $H(2\cos\phi, 0)$ છે.
$\Delta FGH$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times HG \times FH$.
$HG = |\frac{2}{\cos\phi} - 2\cos\phi| = 2\frac{1-\cos^2\phi}{\cos\phi} = 2\frac{\sin^2\phi}{\cos\phi}$.
$FH = 2\sin\phi$.
ક્ષેત્રફળ $A(\phi) = \frac{1}{2} \times (2\frac{\sin^2\phi}{\cos\phi}) \times (2\sin\phi) = 2\tan\phi \sin^2\phi$.
$(I)$ $\phi = \frac{\pi}{4}$ માટે,$A = 2\tan(\frac{\pi}{4}) \sin^2(\frac{\pi}{4}) = 2(1)(\frac{1}{2}) = 1 \rightarrow (Q)$.
$(II)$ $\phi = \frac{\pi}{3}$ માટે,$A = 2\tan(\frac{\pi}{3}) \sin^2(\frac{\pi}{3}) = 2(\sqrt{3})(\frac{3}{4}) = \frac{3\sqrt{3}}{2} \rightarrow (T)$.
$(III)$ $\phi = \frac{\pi}{6}$ માટે,$A = 2\tan(\frac{\pi}{6}) \sin^2(\frac{\pi}{6}) = 2(\frac{1}{\sqrt{3}})(\frac{1}{4}) = \frac{1}{2\sqrt{3}} \rightarrow (S)$.
$(IV)$ $\phi = \frac{\pi}{12}$ માટે,$A = 2\tan(\frac{\pi}{12}) \sin^2(\frac{\pi}{12}) = 2(2-\sqrt{3})(\frac{1-\cos(\pi/6)}{2}) = (2-\sqrt{3})(1-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{(2-\sqrt{3})^2}{2} = \frac{7-4\sqrt{3}}{2}$.
વળી,$\frac{(\sqrt{3}-1)^4}{8} = \frac{(4-2\sqrt{3})^2}{8} = \frac{28-16\sqrt{3}}{8} = \frac{7-4\sqrt{3}}{2}$. આમ,$(IV) \rightarrow (P)$.
તેથી,$(I) \rightarrow (Q), (II) \rightarrow (T), (III) \rightarrow (S), (IV) \rightarrow (P)$.

(A) ઉપવલય $\frac{x^2}{3^2} + \frac{y^2}{2^2} = 1$ છે. શિરોબિંદુ $R$ એ $(3, 0)$ છે અને કેન્દ્ર $O$ એ $(0, 0)$ છે.
બિંદુ $T$ ને $(3 \cos \theta, -2 \sin \theta)$ લો,જ્યાં $\theta$ લઘુકોણ છે.
$\triangle ORT$ નું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} |x_O(y_R - y_T) + x_R(y_T - y_O) + x_T(y_O - y_R)| = \frac{3}{2}$ છે.
$\frac{1}{2} |0(0 - (-2 \sin \theta)) + 3(-2 \sin \theta - 0) + 3 \cos \theta(0 - 0)| = \frac{3}{2}$.
$\frac{1}{2} |-6 \sin \theta| = \frac{3}{2}$ $\Rightarrow 3 \sin \theta = \frac{3}{2}$ $\Rightarrow \sin \theta = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\theta = 30^\circ = \frac{\pi}{6}$.
તેથી,$T = (\frac{3 \sqrt{3}}{2}, -1)$.
$(0, 2)$ આગળનો સ્પર્શક $y = 2$ છે.
$T(\frac{3 \sqrt{3}}{2}, -1)$ આગળનો સ્પર્શક $\frac{x \sqrt{3}}{6} - \frac{y}{4} = 1$ છે.
$y = 2$ મૂકતા,$\frac{x \sqrt{3}}{6} - \frac{1}{2} = 1$ $\Rightarrow \frac{x \sqrt{3}}{6} = \frac{3}{2}$ $\Rightarrow x = 3 \sqrt{3}$.
આમ,$S(p, q) = (3 \sqrt{3}, 2)$.
તેથી,$p = 3 \sqrt{3}$ અને $q = 2$.

(A) મધ્યબિંદુ $(h, k) = \left(1, \frac{1}{2}\right)$ વાળી જીવાનું સમીકરણ $T = S_1$ દ્વારા મળે છે.
$\frac{x(1)}{4} + \frac{y(1/2)}{2} = \frac{1^2}{4} + \frac{(1/2)^2}{2}$
$\frac{x}{4} + \frac{y}{4} = \frac{3}{8} \implies x+y = \frac{3}{2}$
$y = \frac{3}{2} - x$ ને ઉપવલયના સમીકરણમાં મૂકતા:
$6x^2 - 12x + 1 = 0$
$|x_2 - x_1| = \sqrt{\frac{10}{3}}$
જીવાની લંબાઈ = $\sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} = \sqrt{\frac{10}{3} + \frac{10}{3}} = \frac{2\sqrt{15}}{3}$.

(C) ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ પરના બિંદુ $(x_1, y_1)$ ના નાભિ અંતરોનો ગુણાકાર $a^2 - e^2x_1^2$ છે.
આપેલ બિંદુ $\left(\sqrt{3}, \frac{1}{2}\right)$ માટે,ગુણાકાર $a^2 - e^2(\sqrt{3})^2 = a^2 - 3e^2 = \frac{7}{4}$ છે.
તેથી,$4a^2 = 7 + 12e^2$.
બિંદુ ઉપવલય પર હોવાથી,$\frac{3}{a^2} + \frac{1}{4b^2} = 1$.
$b^2 = a^2(1 - e^2)$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{3}{a^2} + \frac{1}{4a^2(1 - e^2)} = 1$.
$4a^2(1 - e^2)$ વડે ગુણતા,$12(1 - e^2) + 1 = 4a^2(1 - e^2)$.
$4a^2 = 7 + 12e^2$ મૂકતા,$13 - 12e^2 = (7 + 12e^2)(1 - e^2)$.
$13 - 12e^2 = 7 - 7e^2 + 12e^2 - 12e^4$.
$12e^4 - 17e^2 + 6 = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને $e^2$ શોધતા: $e^2 = \frac{17 \pm \sqrt{289 - 288}}{24} = \frac{17 \pm 1}{24}$.
તેથી,$e_1^2 = \frac{18}{24} = \frac{3}{4}$ અને $e_2^2 = \frac{16}{24} = \frac{2}{3}$.
તેથી,$e_1 = \frac{\sqrt{3}}{2}$ અને $e_2 = \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$.
તફાવત $|e_1 - e_2| = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{3 - 2\sqrt{2}}{2\sqrt{3}}$.

(A) આપેલ મધ્યબિંદુ $(x_1, y_1)$ ધરાવતા ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ની જીવાનું સમીકરણ $T = S_1$ છે.
અહીં,$T = \frac{xx_1}{a^2} + \frac{yy_1}{b^2} - 1$ અને $S_1 = \frac{x_1^2}{a^2} + \frac{y_1^2}{b^2} - 1$.
ઉપવલય $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$ અને મધ્યબિંદુ $(3, 1)$ માટે:
$\frac{3x}{25} + \frac{1y}{16} - 1 = \frac{3^2}{25} + \frac{1^2}{16} - 1$.
$\frac{3x}{25} + \frac{y}{16} = \frac{9}{25} + \frac{1}{16}$.
$400$ વડે ગુણતા:
$16(3x) + 25(y) = 16(9) + 25(1)$.
$48x + 25y = 144 + 25$.
$48x + 25y = 169$.

(A) $E_1: \frac{x^2}{3^2} + \frac{y^2}{2^2} = 1$ માટે,અર્ધ-ગુરુ અક્ષ $a_1 = 3$ અને અર્ધ-લઘુ અક્ષ $b_1 = 2$ છે. ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 - \frac{b_1^2}{a_1^2}} = \sqrt{1 - \frac{4}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$ છે.
બધા ઉપવલયો $E_i$ સમાન ઉત્કેન્દ્રતા $e = \frac{\sqrt{5}}{3}$ ધરાવતા હોવાથી,$e^2 = 1 - \frac{b_i^2}{a_i^2} = \frac{5}{9}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{b_i^2}{a_i^2} = \frac{4}{9}$,અથવા $b_i = \frac{2}{3}a_i$.
પ્રશ્ન મુજબ $E_i$ ની લઘુ અક્ષની લંબાઈ $(2b_i)$ એ $E_{i+1}$ ની ગુરુ અક્ષની લંબાઈ $(2a_{i+1})$ છે,તેથી $2b_i = 2a_{i+1}$,જેનો અર્થ છે કે $a_{i+1} = b_i$.
$b_i = \frac{2}{3}a_i$ મૂકતા,આપણને $a_{i+1} = \frac{2}{3}a_i$ મળે છે. આ અર્ધ-ગુરુ અક્ષો માટે સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{2}{3}$ સાથેની સમગુણોત્તર શ્રેણી છે.
ઉપવલયનું ક્ષેત્રફળ $A_i = \pi a_i b_i = \pi a_i (\frac{2}{3}a_i) = \frac{2\pi}{3} a_i^2$ છે.
$a_i$ એ $\frac{2}{3}$ ગુણોત્તર સાથેની સમગુણોત્તર શ્રેણી હોવાથી,$a_i^2$ એ $(\frac{2}{3})^2 = \frac{4}{9}$ ગુણોત્તર સાથેની સમગુણોત્તર શ્રેણી છે.
આમ,$A_i$ એ પ્રથમ પદ $A_1 = \pi(3)(2) = 6\pi$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $R = \frac{4}{9}$ સાથેની સમગુણોત્તર શ્રેણી છે.
અનંત શ્રેણીનો સરવાળો $\sum_{i=1}^{\infty} A_i = \frac{A_1}{1 - R} = \frac{6\pi}{1 - 4/9} = \frac{6\pi}{5/9} = \frac{54\pi}{5}$ છે.
તેથી,$\frac{5}{\pi} \sum_{i=1}^{\infty} A_i = \frac{5}{\pi} \times \frac{54\pi}{5} = 54$.

(B) ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ માટે મધ્યબિંદુ $(x_1, y_1)$ વાળી જીવાનું સમીકરણ $T=S_1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં આપેલ ઉપવલય $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$ અને મધ્યબિંદુ $(\sqrt{2}, 4/3)$ માટે,જીવાનું સમીકરણ:
$\frac{x(\sqrt{2})}{9}+\frac{y(4/3)}{4} = \frac{2}{9}+\frac{4}{9} = \frac{2}{3}$
$\sqrt{2}x+3y=6 \Rightarrow y = \frac{6-\sqrt{2}x}{3}$.
આ કિંમત ઉપવલયના સમીકરણમાં મૂકતા:
$4x^2 + 9\left(\frac{6-\sqrt{2}x}{3}\right)^2 = 36$
$6x^2 - 12\sqrt{2}x = 0 \Rightarrow x=0, 2\sqrt{2}$.
તેથી $y=2, 2/3$.
જીવાની લંબાઈ = $\sqrt{(2\sqrt{2}-0)^2 + (2/3-2)^2} = \sqrt{8 + 16/9} = \sqrt{88/9} = \frac{2\sqrt{22}}{3}$.
તેથી $\alpha = 22$.

(D) $E_1$ માટે,$2ae = 4 \implies a(\frac{1}{\sqrt{3}}) = 2 \implies a = 2\sqrt{3}$.
$e^2 = 1 - \frac{b^2}{a^2}$ હોવાથી,$\frac{1}{3} = 1 - \frac{b^2}{12} \implies \frac{b^2}{12} = \frac{2}{3} \implies b^2 = 8$.
$E_1$ ના નાભિલંબની લંબાઈ $L_1 = \frac{2b^2}{a} = \frac{2(8)}{2\sqrt{3}} = \frac{8}{\sqrt{3}}$.
$E_2$ માટે,$e^2 = 1 - \frac{A^2}{B^2} = \frac{1}{3} \implies \frac{A^2}{B^2} = \frac{2}{3} \implies A^2 = \frac{2}{3}B^2$. નાભિલંબની લંબાઈ $L_2 = \frac{2A^2}{B} = \frac{2(\frac{2}{3}B^2)}{B} = \frac{4B}{3}$.
$L_1 \cdot L_2 = \frac{32}{\sqrt{3}}$ આપેલ છે $\implies \frac{8}{\sqrt{3}} \cdot \frac{4B}{3} = \frac{32}{\sqrt{3}} \implies B = 3$. તેથી $A^2 = \frac{2}{3}(3^2) = 6$.
સમીકરણો $E_1: \frac{x^2}{12} + \frac{y^2}{8} = 1$ અને $E_2: \frac{x^2}{6} + \frac{y^2}{9} = 1$ છે.
સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $(\frac{1}{12} - \frac{1}{6})x^2 + (\frac{1}{8} - \frac{1}{9})y^2 = 0 \implies -\frac{1}{12}x^2 + \frac{1}{72}y^2 = 0 \implies y^2 = 6x^2$.
$y^2 = 6x^2$ ને $E_1$ માં મૂકતા: $\frac{x^2}{12} + \frac{6x^2}{8} = 1 \implies \frac{x^2}{12} + \frac{3x^2}{4} = 1 \implies \frac{x^2 + 9x^2}{12} = 1 \implies 10x^2 = 12 \implies x^2 = \frac{6}{5} \implies x = \pm \sqrt{\frac{6}{5}}$.
તેથી $y^2 = 6(\frac{6}{5}) = \frac{36}{5} \implies y = \pm \frac{6}{\sqrt{5}}$.
શિરોબિંદુઓ $(\pm \sqrt{\frac{6}{5}}, \pm \frac{6}{\sqrt{5}})$ છે.
લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ $= 2|x| \cdot 2|y| = 4 \cdot \sqrt{\frac{6}{5}} \cdot \frac{6}{\sqrt{5}} = \frac{24\sqrt{6}}{5}$.

(C) ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ માટે મધ્યબિંદુ $(x_1, y_1)$ વાળી જીવાનું સમીકરણ $T = S_1$ છે,જ્યાં $T = \frac{xx_1}{a^2}+\frac{yy_1}{b^2}$ અને $S_1 = \frac{x_1^2}{a^2}+\frac{y_1^2}{b^2}$.
અહીં $\frac{x(5/2)}{9}+\frac{y(1/2)}{4} = \frac{(5/2)^2}{9}+\frac{(1/2)^2}{4}$
$\Rightarrow \frac{5x}{18}+\frac{y}{8} = \frac{25}{36}+\frac{1}{16} = \frac{100+9}{144} = \frac{109}{144}$
$144$ વડે ગુણતા:
$8(5x) + 18(y) = 109$
$40x + 18y = 109$
સરખાવતા,$\alpha = 40$ અને $\beta = 18$.
તેથી,$\alpha + \beta = 40 + 18 = 58$.

(D) આપેલ ઉપવલય $\frac{x^2}{18} + \frac{y^2}{9} = 1$ છે. અહીં $a^2 = 18$ અને $b^2 = 9$,તેથી $a = 3\sqrt{2}$ અને $b = 3$.
ઉત્કેન્દ્રિયતા $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{9}{18}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
નાભિઓ $S(ae, 0) = (3, 0)$ અને $S^{\prime}(-ae, 0) = (-3, 0)$ છે.
ધારો કે $P = (3\sqrt{2} \cos \theta, 3 \sin \theta)$.
નાભિ અંતર $SP = a - ex = 3\sqrt{2} - \frac{1}{\sqrt{2}}(3\sqrt{2} \cos \theta) = 3\sqrt{2} - 3 \cos \theta$ અને $S^{\prime}P = a + ex = 3\sqrt{2} + 3 \cos \theta$.
તેથી $SP \cdot S^{\prime}P = (3\sqrt{2} - 3 \cos \theta)(3\sqrt{2} + 3 \cos \theta) = 18 - 9 \cos^2 \theta$.
$0 \le \cos^2 \theta \le 1$ હોવાથી,ન્યૂનતમ કિંમત $18 - 9(1) = 9$ (જ્યારે $\cos^2 \theta = 1$) અને મહત્તમ કિંમત $18 - 9(0) = 18$ (જ્યારે $\cos^2 \theta = 0$) મળે.
આમ,$\min(SP \cdot S^{\prime}P) + \max(SP \cdot S^{\prime}P) = 9 + 18 = 27$.

(A) ધારો કે ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે,જ્યાં $a > b$.
ગૌણ અક્ષની લંબાઈ $2b$ છે અને નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $2ae$ છે.
આપેલ છે કે $2b = \frac{1}{4}(2ae)$,તેથી $b = \frac{ae}{4}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{b}{a} = \frac{e}{4}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે ઉપવલય માટે $e^2 = 1 - \frac{b^2}{a^2}$.
$\frac{b}{a} = \frac{e}{4}$ મૂકતા,આપણને મળે છે $e^2 = 1 - \left(\frac{e}{4}\right)^2$.
$e^2 = 1 - \frac{e^2}{16}$.
$e^2 + \frac{e^2}{16} = 1$.
$\frac{17e^2}{16} = 1$.
$e^2 = \frac{16}{17}$.
આમ,$e = \frac{4}{\sqrt{17}}$.

(D) આપેલ ઉપવલય $\frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{25} = 1$ છે.
$P(\sqrt{5}, \sqrt{5})$ માંથી પસાર થતી રેખા $AB$ પરનું કોઈપણ બિંદુ $Q(\sqrt{5} + r \cos \theta, \sqrt{5} + r \sin \theta)$ તરીકે લઈ શકાય.
આને ઉપવલયના સમીકરણમાં મૂકતા:
$25(\sqrt{5} + r \cos \theta)^2 + 36(\sqrt{5} + r \sin \theta)^2 = 900$
સાદુરૂપ આપતા:
$r^2(25 \cos^2 \theta + 36 \sin^2 \theta) + 2\sqrt{5}r(25 \cos \theta + 36 \sin \theta) - 595 = 0$
અહીં,$|r| = PA, PB$. ગુણાકાર $PA \cdot PB = \frac{595}{25 + 11 \sin^2 \theta}$ છે.
આ મહત્તમ ત્યારે થાય જ્યારે $\sin^2 \theta = 0$ હોય.
આનો અર્થ એ છે કે રેખા $AB$ એ $x$-અક્ષને સમાંતર છે,તેથી $y = \sqrt{5}$.
ઉપવલયમાં $y = \sqrt{5}$ મૂકતા: $\frac{x^2}{36} + \frac{5}{25} = 1$ $\Rightarrow x^2 = \frac{144}{5}$ $\Rightarrow x = \pm \frac{12}{\sqrt{5}}$.
બિંદુઓ $A(-\frac{12}{\sqrt{5}}, \sqrt{5})$ અને $B(\frac{12}{\sqrt{5}}, \sqrt{5})$ છે.
$PA^2 = (\frac{17}{\sqrt{5}})^2 = \frac{289}{5}$ અને $PB^2 = (-\frac{7}{\sqrt{5}})^2 = \frac{49}{5}$.
$PA^2 + PB^2 = \frac{338}{5}$.
તેથી,$5(PA^2 + PB^2) = 338$.

(D) આપેલ લંબવૃત્તીય $E: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ માટે નાભિઓ $(\pm 2, 0)$ છે,તેથી $ae = 2$. $e = \frac{1}{2}$ હોવાથી,$a(\frac{1}{2}) = 2 \implies a = 4$.
$b^2 = a^2(1 - e^2)$ નો ઉપયોગ કરતા,$b^2 = 16(1 - \frac{1}{4}) = 16(\frac{3}{4}) = 12$,તેથી $b = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$.
લંબવૃત્તીયને આવરી લેતું ન્યૂનતમ ક્ષેત્રફળ ધરાવતું વર્તુળ એ સહાયક વર્તુળ $x^2 + y^2 = a^2$ છે,તેથી $C: x^2 + y^2 = 16$.
બાજુ $QR$ એ $x$-અક્ષને સમાંતર છે અને $(0, -b) = (0, -2\sqrt{3})$ માંથી પસાર થાય છે. તેથી,રેખા $QR$ એ $y = -2\sqrt{3}$ છે.
$QR$ ની લંબાઈ $4$ છે. વર્તુળ $x^2 + y^2 = 16$ પર $P$ નો $y$-યામ $y_P$ છે. ત્રિકોણની ઊંચાઈ $h = y_P - (-2\sqrt{3}) = y_P + 2\sqrt{3}$ છે.
ક્ષેત્રફળ $A = \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{ઊંચાઈ} = \frac{1}{2} \times 4 \times (y_P + 2\sqrt{3}) = 2(y_P + 2\sqrt{3})$.
$A$ ને મહત્તમ કરવા માટે,આપણે $y_P$ ને મહત્તમ કરીએ છીએ. વર્તુળ $x^2 + y^2 = 16$ પર મહત્તમ $y$-યામ $4$ છે.
મહત્તમ ક્ષેત્રફળ $= 2(4 + 2\sqrt{3}) = 8 + 4\sqrt{3} = 4(2 + \sqrt{3})$. વિકલ્પો મુજબ,સાચો જવાબ $D$ છે.

(D) નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $2ae = \sqrt{(2-2)^2 + (5 - (-3))^2} = 8$ છે.
ઉત્કેન્દ્રિયતા $e = \frac{4}{5}$ આપેલ છે,તેથી $2ae = 8$ એટલે કે $ae = 4$.
$e = \frac{4}{5}$ મૂકતા,$a \times \frac{4}{5} = 4$,તેથી $a = 5$ મળે.
ઉપવલય માટે,$a^2 = b^2 + (ae)^2$ સંબંધનો ઉપયોગ કરતા ($a > b$ માટે):
$5^2 = b^2 + 4^2$ $\Rightarrow 25 = b^2 + 16$ $\Rightarrow b^2 = 9$.
નાભિલંબની લંબાઈ $= \frac{2b^2}{a} = \frac{2 \times 9}{5} = \frac{18}{5}$.

(B) રેખા $y = mx + p$ એ ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ને સ્પર્શે તેની શરત $p^2 = a^2m^2 + b^2$ છે. અહીં $a^2 = 16, b^2 = 9, m = 1$,તેથી $p^2 = 16(1)^2 + 9 = 25$,જે $p = \pm 5$ આપે છે.
સ્પર્શ બિંદુઓ $\left( \mp \frac{a^2m}{p}, \pm \frac{b^2}{p} \right)$ દ્વારા મળે છે. $p = 5$ માટે,$A = \left( -\frac{16}{5}, \frac{9}{5} \right)$. $p = -5$ માટે,$B = \left( \frac{16}{5}, -\frac{9}{5} \right)$.
રેખા $y = x$ એ ઉપવલય $\frac{x^2}{16} + \frac{x^2}{9} = 1$ ને છેદે છે,તેથી $x^2(\frac{9+16}{144}) = 1$,$x^2 = \frac{144}{25}$,$x = \pm \frac{12}{5}$. આમ $C = \left( \frac{12}{5}, \frac{12}{5} \right)$ અને $D = \left( -\frac{12}{5}, -\frac{12}{5} \right)$.
ચતુષ્કોણ $ABCD$ એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે કારણ કે રેખાઓ $y = x + 5$ અને $y = x - 5$ સમાંતર છે,અને રેખા $y = x$ એ કેન્દ્ર $(0,0)$ માંથી પસાર થાય છે.
ચતુષ્કોણ $ABCD$ નું ક્ષેત્રફળ $2 \times \text{Area}(\triangle ABC)$ તરીકે ગણી શકાય.
યામ $A(-\frac{16}{5}, \frac{9}{5})$,$B(\frac{16}{5}, -\frac{9}{5})$,$C(\frac{12}{5}, \frac{12}{5})$ નો ઉપયોગ કરતા,ક્ષેત્રફળ $24$ મળે છે.

(B) ધારો કે નાભિઓ $F_1$ અને $F_2$ વચ્ચેનું અંતર $2c$ છે. વર્તુળ $C$ ઉગમબિંદુ પર કેન્દ્રિત છે અને નાભિઓ $(\pm c, 0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી તેની ત્રિજ્યા $r = c$ છે.
બિંદુ $P$ એ વર્તુળ $C$ પર હોવાથી,અંતર $OP = c$ થાય. વળી,$F_1$ અને $F_2$ વર્તુળ પર હોવાથી,ખૂણો $\angle F_1PF_2 = 90^\circ$ થાય કારણ કે $F_1F_2$ એ વર્તુળનો વ્યાસ છે.
ધારો કે $PF_1 = x$ અને $PF_2 = y$. બિંદુ $P$ ઉપવલય પર હોવાથી,ઉપવલયની વ્યાખ્યા મુજબ $x + y = 2a = 17$ થાય.
કાટકોણ ત્રિકોણ $PF_1F_2$ માં,ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} xy = 30$ છે,તેથી $xy = 60$ થાય.
આપણે જાણીએ છીએ કે $(x + y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy$. પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ $\triangle PF_1F_2$ માં,$x^2 + y^2 = (F_1F_2)^2 = (2c)^2 = 4c^2$ થાય.
આમ,$(2a)^2 = 4c^2 + 2xy$,જે આપણને $17^2 = 4c^2 + 2(60)$ આપે છે.
$289 = 4c^2 + 120$.
$4c^2 = 169$.
$2c = \sqrt{169} = 13$.
નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $2c = 13$ છે.

(A) ગણ $A$ માટે,આપણી પાસે $|\alpha-1| \leq 4$ અને $|\beta-5| \leq 6$ છે.
આનો અર્થ એ છે કે $-4 \leq \alpha-1 \leq 4$,તેથી $-3 \leq \alpha \leq 5$.
અને $-6 \leq \beta-5 \leq 6$,તેથી $-1 \leq \beta \leq 11$.
આમ,$A$ એ $\alpha \in [-3, 5]$ અને $\beta \in [-1, 11]$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત લંબચોરસ પ્રદેશ દર્શાવે છે.
ગણ $B$ માટે,આપણી પાસે $16(\alpha-2)^2+9(\beta-6)^2 \leq 144$ છે.
$144$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{(\alpha-2)^2}{9} + \frac{(\beta-6)^2}{16} \leq 1$ મળે છે.
આ $(2, 6)$ પર કેન્દ્રિત ઉપવલય છે,જેમાં અર્ધ-મુખ્ય અક્ષ $b=4$ ($\beta$ ની દિશામાં) અને અર્ધ-ગૌણ અક્ષ $a=3$ ($\alpha$ ની દિશામાં) છે.
$B$ માટે $\alpha$ નો વિસ્તાર $[2-3, 2+3] = [-1, 5]$ છે,જે $[-3, 5]$ માં સમાયેલ છે.
$B$ માટે $\beta$ નો વિસ્તાર $[6-4, 6+4] = [2, 10]$ છે,જે $[-1, 11]$ માં સમાયેલ છે.
આમ,સમગ્ર ઉપવલયાકાર પ્રદેશ $B$ એ લંબચોરસ પ્રદેશ $A$ ની અંદર આવેલો હોવાથી,આપણે કહી શકીએ કે $B \subset A$.

(B) ઉપવલયના નાભિલંબની લંબાઈ $\frac{2b^2}{a} = 10$ છે,જેનો અર્થ છે કે $b^2 = 5a$.
ઉત્કેન્દ્રતા $e$ શોધવા માટે,આપણે $f(t) = t^2 + t + \frac{11}{12}$ નું ન્યૂનતમ મૂલ્ય શોધીએ.
વિકલન કરતા,$f'(t) = 2t + 1 = 0$,તેથી $t = -\frac{1}{2}$.
ન્યૂનતમ મૂલ્ય $f(-\frac{1}{2}) = (-\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{2} + \frac{11}{12} = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} + \frac{11}{12} = \frac{3 - 6 + 11}{12} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$ છે.
આમ,$e = \frac{2}{3}$,તેથી $e^2 = \frac{4}{9}$.
ઉપવલય માટે,$e^2 = 1 - \frac{b^2}{a^2}$,તેથી $\frac{4}{9} = 1 - \frac{b^2}{a^2}$,જે આપે છે $\frac{b^2}{a^2} = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$.
$b^2 = 5a$ મૂકતા,આપણને $\frac{5a}{a^2} = \frac{5}{9}$ મળે છે,તેથી $\frac{5}{a} = \frac{5}{9}$,જેનો અર્થ છે કે $a = 9$.
તેથી $b^2 = 5(9) = 45$.
તેથી,$a^2 + b^2 = 9^2 + 45 = 81 + 45 = 126$.

(D) બનાવી શકાતા ત્રિકોણોની સંખ્યા $p = {}^{n}C_{3}$ છે.
બનાવી શકાતા ચતુષ્કોણની સંખ્યા $q = {}^{n}C_{4}$ છે.
આપેલ છે કે $p+q = 126$,તેથી ${}^{n}C_{3} + {}^{n}C_{4} = 126$.
નિત્યસમ ${}^{n}C_{r} + {}^{n}C_{r-1} = {}^{n+1}C_{r}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને ${}^{n+1}C_{4} = 126$ મળે છે.
કારણ કે ${}^{9}C_{4} = 126$,તેથી $n+1 = 9$,જેનો અર્થ છે કે $n = 8$.
ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{8} = 1$ છે.
અહીં,$a^2 = 16$ અને $b^2 = 8$. તેથી ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 - \frac{8}{16}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

(C) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 - 2x - 4y - 11 = 0$ છે. કેન્દ્ર $C$ એ $(1, 2)$ છે અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{1^2 + 2^2 - (-11)} = 4$ છે.
ઉપવલય $3x^2 + py^2 = 4$ એ $(1, 2)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $3(1)^2 + p(2)^2 = 4$,જે આપણને $p = \frac{1}{4}$ આપે છે.
ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{4/3} + \frac{y^2}{16} = 1$ છે.
અહીં $a^2 = \frac{4}{3}$ અને $b^2 = 16$ છે. આ શિરોલંબ ઉપવલય છે.
ઉત્કેન્દ્રિયતા $e = \sqrt{1 - \frac{4/3}{16}} = \sqrt{\frac{11}{12}}$ છે.
નાભિ અંતરો $b \pm ey_0$ છે,એટલે કે $4 \pm \sqrt{\frac{11}{12}} \times 2$.
તેથી $f_1 f_2 = 16 - \frac{11}{3} = \frac{37}{3}$.
અંતે,$6f_1f_2 - r = 6(\frac{37}{3}) - 4 = 70$.

(A, C) ઉપવલય $\frac{x^2}{3^2} + \frac{y^2}{2^2} = 1$ છે. ઉપવલય પરના કોઈપણ બિંદુને $(3 \cos \theta, 2 \sin \theta)$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે.
આપેલ છે કે $\angle ROM = \frac{\pi}{6}$ અને $\angle SOM = \frac{\pi}{3}$,જ્યાં $M=(3,0)$ અને $O=(0,0)$,બિંદુઓ $R$ અને $S$ એ વર્તુળ $x^2+y^2=9$ પર આવેલા છે. તેથી,$R = (3 \cos \frac{\pi}{6}, 3 \sin \frac{\pi}{6}) = (\frac{3\sqrt{3}}{2}, \frac{3}{2})$ અને $S = (3 \cos \frac{\pi}{3}, 3 \sin \frac{\pi}{3}) = (\frac{3}{2}, \frac{3\sqrt{3}}{2})$.
કારણ કે $x_1$ એ $R$ નો $x$-યામ છે,$x_1 = \frac{3\sqrt{3}}{2}$. $P$ એ ઉપવલય પર હોવાથી,$P = (x_1, y_1) = (\frac{3\sqrt{3}}{2}, 2 \sin \theta_1)$. $\frac{x_1^2}{9} + \frac{y_1^2}{4} = 1$ હોવાથી,આપણને $\frac{27/4}{9} + \frac{y_1^2}{4} = 1 \Rightarrow \frac{3}{4} + \frac{y_1^2}{4} = 1 \Rightarrow y_1^2 = 1 \Rightarrow y_1 = 1$ મળે છે (કારણ કે $y_1 > 0$). તેથી $P = (\frac{3\sqrt{3}}{2}, 1)$.
તે જ રીતે,$x_2 = \frac{3}{2}$. $Q = (x_2, y_2)$ માટે,$\frac{9/4}{9} + \frac{y_2^2}{4} = 1 \Rightarrow \frac{1}{4} + \frac{y_2^2}{4} = 1 \Rightarrow y_2^2 = 3 \Rightarrow y_2 = \sqrt{3}$. તેથી $Q = (\frac{3}{2}, \sqrt{3})$.
$P$ અને $Q$ ને જોડતી રેખાનો ઢાળ $m = \frac{\sqrt{3}-1}{3/2 - 3\sqrt{3}/2} = \frac{\sqrt{3}-1}{-\frac{3}{2}(\sqrt{3}-1)} = -\frac{2}{3}$ છે.
સમીકરણ $y - \sqrt{3} = -\frac{2}{3}(x - \frac{3}{2}) \Rightarrow 3y - 3\sqrt{3} = -2x + 3 \Rightarrow 2x + 3y = 3(1+\sqrt{3})$ છે. આમ,$(A)$ સાચું છે.
$(C)$ માટે,$N_2 = (x_2, 0) = (\frac{3}{2}, 0)$. $|N_2Q| = y_2 = \sqrt{3}$ અને $|N_2S| = \frac{3\sqrt{3}}{2}$. $3|N_2Q| = 3\sqrt{3}$ અને $2|N_2S| = 2(\frac{3\sqrt{3}}{2}) = 3\sqrt{3}$. તેથી $3|N_2Q| = 2|N_2S|$,$(C)$ સાચું છે.

(D) આપેલ વક્રો $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{16} = 1$ અને $y^3 = 16x$ છે.
પ્રથમ વક્ર માટે,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{2x}{a^2} + \frac{2y}{16} \frac{dy}{dx} = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{16x}{a^2y} \quad (1)$
બીજા વક્ર માટે,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$3y^2 \frac{dy}{dx} = 16 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{16}{3y^2} \quad (2)$
વક્રો લંબરૂપે છેદતા હોવાથી,તેમના ઢાળનો ગુણાકાર $-1$ થાય:
$\left(-\frac{16x}{a^2y}\right) \left(\frac{16}{3y^2}\right) = -1$
$\frac{256x}{3a^2y^3} = 1$
$y^3 = 16x$ હોવાથી,કિંમત મૂકતા:
$\frac{256x}{3a^2(16x)} = 1$
$\frac{16}{3a^2} = 1 \Rightarrow a^2 = \frac{16}{3}$
પ્રશ્નમાં આપેલ સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{4} = 4$ મુજબ ગણતરી કરતા $a^2 = \frac{4}{3}$ મળે છે.

(C) ધારો કે લંબગોળ પરનું બિંદુ $P$ પ્રથમ ચરણમાં $(5 \cos \theta, 4 \sin \theta)$ છે.
લંબચોરસ બંને અક્ષોની સાપેક્ષમાં સંમિત હોવાથી,તેના શિરોબિંદુઓ $(\pm 5 \cos \theta, \pm 4 \sin \theta)$ છે.
લંબચોરસની લંબાઈ $L = 2(5 \cos \theta) = 10 \cos \theta$ છે.
લંબચોરસની પહોળાઈ $B = 2(4 \sin \theta) = 8 \sin \theta$ છે.
લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ $A = L \times B = (10 \cos \theta)(8 \sin \theta) = 80 \sin \theta \cos \theta = 40 \sin(2 \theta)$ છે.
ક્ષેત્રફળ મહત્તમ હોવા માટે,$\sin(2 \theta)$ મહત્તમ હોવું જોઈએ,એટલે કે $\sin(2 \theta) = 1$.
આનો અર્થ એ છે કે $2 \theta = \frac{\pi}{2}$,તેથી $\theta = \frac{\pi}{4}$.
લંબાઈ અને પહોળાઈના સૂત્રોમાં $\theta = \frac{\pi}{4}$ મૂકતા:
$L = 10 \cos(\frac{\pi}{4}) = 10 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 5 \sqrt{2}$.
$B = 8 \sin(\frac{\pi}{4}) = 8 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 4 \sqrt{2}$.
આમ,લંબચોરસના પરિમાણો $5 \sqrt{2}$ અને $4 \sqrt{2}$ છે.

(B) ધારો કે ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે,જ્યાં $a > b$.
નાભિઓના યામ $S = (ae, 0)$ અને $S^{\prime} = (-ae, 0)$ છે.
અર્ધ-ગૌણ અક્ષના અંત્યબિંદુ $B$ ના યામ $(0, b)$ છે.
$\angle SBS^{\prime} = 90^{\circ}$ હોવાથી,$SB$ અને $S^{\prime}B$ ના ઢાળનો ગુણાકાર $-1$ થાય.
$SB$ નો ઢાળ $= -\frac{b}{ae}$.
$S^{\prime}B$ નો ઢાળ $= \frac{b}{ae}$.
તેથી,$(-\frac{b}{ae}) \times (\frac{b}{ae}) = -1$.
$\frac{b^2}{a^2e^2} = 1 \implies b^2 = a^2e^2$.
સંબંધ $b^2 = a^2(1 - e^2)$ નો ઉપયોગ કરતા,$a^2e^2 = a^2(1 - e^2)$.
$e^2 = 1 - e^2 \implies 2e^2 = 1 \implies e^2 = \frac{1}{2}$.
આમ,$e = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

(B) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ: $9x^2 + 5y^2 - 30y = 0$.
$y$ પદો માટે પૂર્ણવર્ગ બનાવતા: $9x^2 + 5(y^2 - 6y) = 0$.
$9x^2 + 5(y^2 - 6y + 9) = 45$.
$9x^2 + 5(y - 3)^2 = 45$.
$45$ વડે ભાગતા: $\frac{x^2}{5} + \frac{(y - 3)^2}{9} = 1$.
અહીં,$a^2 = 9$ અને $b^2 = 5$.
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{5}{9}} = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}$.

(D) પ્રથમ ઉપવલય $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$ માટે,$a_1^2=4$ અને $b_1^2=2$ છે. ઉત્કેન્દ્રતા $e_1 = \sqrt{1 - \frac{2}{4}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
બીજા ઉપવલય $\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{b^2}=1$ માટે,$a_2^2=36$ અને $b_2^2=b^2$ છે. ઉત્કેન્દ્રતા $e_2 = \sqrt{1 - \frac{b^2}{36}}$.
આપેલ છે કે $e_1 \times e_2 = \frac{\sqrt{2}}{3}$,તેથી $\frac{1}{\sqrt{2}} \times \sqrt{1 - \frac{b^2}{36}} = \frac{\sqrt{2}}{3}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\frac{1}{2} (1 - \frac{b^2}{36}) = \frac{2}{9} \implies 1 - \frac{b^2}{36} = \frac{4}{9} \implies \frac{b^2}{36} = \frac{5}{9}$.
તેથી,$b^2 = 20$,એટલે કે $b = 2\sqrt{5}$.
મુખ્ય અક્ષની લંબાઈ $2a_2 = 12$ અને ગૌણ અક્ષની લંબાઈ $2b = 4\sqrt{5}$ છે.
તેમનો ગુણાકાર $12 \times 4\sqrt{5} = 48\sqrt{5}$ થાય.

(B) આપેલ સમીકરણ: $25x^2 + 16y^2 - 150x = 175$.
$x$ માટે પૂર્ણવર્ગ બનાવતા: $25(x^2 - 6x) + 16y^2 = 175$.
$25(x^2 - 6x + 9) + 16y^2 = 175 + 225$.
$25(x - 3)^2 + 16y^2 = 400$.
$400$ વડે ભાગતા: $\frac{(x - 3)^2}{16} + \frac{y^2}{25} = 1$.
આ એક ઉપવલય છે જેનું કેન્દ્ર $(h, k) = (3, 0)$,$a^2 = 25$ અને $b^2 = 16$ છે.
અહીં $a^2 > b^2$ હોવાથી,મુખ્ય અક્ષ શિરોલંબ છે.
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$.
નાભિઓ $(h, k \pm ae) = (3, 0 \pm 5 \times \frac{3}{5}) = (3, \pm 3)$ મળે છે.

(A) આપેલ છે કે $x = 3(\cos t + \sin t)$ અને $y = 4(\cos t - \sin t)$.
બંને સમીકરણોનો વર્ગ કરતા:
$x^2 = 9(1 + \sin 2t)$
$y^2 = 16(1 - \sin 2t)$
પ્રથમ સમીકરણ પરથી,$\sin 2t = \frac{x^2}{9} - 1$.
આ કિંમત બીજા સમીકરણમાં મૂકતા:
$y^2 = 16(1 - (\frac{x^2}{9} - 1)) = 32 - \frac{16x^2}{9}$.
તેથી,$\frac{16x^2}{9} + y^2 = 32$,એટલે કે $\frac{x^2}{18} + \frac{y^2}{32} = 1$.
આ એક ઉપવલય (ellipse) છે જ્યાં $a^2 = 32$ અને $b^2 = 18$.
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{18}{32}} = \sqrt{\frac{7}{16}} = \frac{\sqrt{7}}{4}$.

(C) ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ માટે,તેના પરના કોઈપણ બિંદુ $P$ ને $(a \cos \theta, b \sin \theta)$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે,જ્યાં $\theta$ એ ઉત્કેન્દ્રિય કોણ છે.
આપેલ સમીકરણ $\frac{x^2}{48} + \frac{y^2}{16} = 1$ પરથી,$a^2 = 48$ અને $b^2 = 16$ મળે.
તેથી,$a = 4\sqrt{3}$ અને $b = 4$.
બિંદુ $P(-6, 2)$ માટે: $a \cos \theta = -6 \implies 4\sqrt{3} \cos \theta = -6 \implies \cos \theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
અને $b \sin \theta = 2 \implies 4 \sin \theta = 2 \implies \sin \theta = \frac{1}{2}$.
$\cos \theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ અને $\sin \theta = \frac{1}{2}$ હોવાથી,$\theta$ બીજા ચરણમાં છે.
તેથી,$\theta = 150^{\circ}$.

(A) ઉપવલયનું આપેલ સમીકરણ $9x^{2} + 16y^{2} = 144$ છે.
બંને બાજુ $144$ વડે ભાગતા:
$\frac{9x^{2}}{144} + \frac{16y^{2}}{144} = 1$
$\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{9} = 1$.
આને પ્રમાણિત સમીકરણ $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ સાથે સરખાવતા,$a^{2} = 16$ અને $b^{2} = 9$ મળે છે.
અહીં $a^{2} > b^{2}$ હોવાથી,ઉત્કેન્દ્રતા $e$ નું સૂત્ર:
$e = \sqrt{1 - \frac{b^{2}}{a^{2}}} = \sqrt{1 - \frac{9}{16}} = \sqrt{\frac{16 - 9}{16}} = \sqrt{\frac{7}{16}} = \frac{\sqrt{7}}{4}$.

(B) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ: $16x^{2} + 9y^{2} = 144$.
બંને બાજુ $144$ વડે ભાગતા: $\frac{16x^{2}}{144} + \frac{9y^{2}}{144} = 1$,જેનું સાદું રૂપ $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{16} = 1$ થાય છે.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ સાથે સરખાવતા,$a^{2} = 9$ અને $b^{2} = 16$ મળે છે.
અહીં $b^{2} > a^{2}$ હોવાથી,મુખ્ય અક્ષ $y$-અક્ષ પર છે.
અહીં $a = 3$ અને $b = 4$ છે.
ઉત્કેન્દ્રિયતા $e = \sqrt{1 - \frac{a^{2}}{b^{2}}} = \sqrt{1 - \frac{9}{16}} = \sqrt{\frac{7}{16}} = \frac{\sqrt{7}}{4}$.
નાભિના યામ $(0, \pm be) = (0, \pm 4 \times \frac{\sqrt{7}}{4}) = (0, \pm \sqrt{7})$ થાય.

(A) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ: $y^{2}+4x^{2}-12x+6y+14=0$.
પદોને ગોઠવતા: $4(x^{2}-3x) + (y^{2}+6y) = -14$.
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા:
$4(x^{2}-3x+\frac{9}{4}) + (y^{2}+6y+9) = -14 + 9 + 9$.
$4(x-\frac{3}{2})^{2} + (y+3)^{2} = 4$.
$4$ વડે ભાગતા,પ્રમાણિત સ્વરૂપ મળે છે: $\frac{(x-\frac{3}{2})^{2}}{1} + \frac{(y+3)^{2}}{4} = 1$.
અહીં,$a^{2}=1$ અને $b^{2}=4$. $b^{2} > a^{2}$ હોવાથી,મુખ્ય અક્ષ શિરોલંબ છે.
ઉત્કેન્દ્રતા $e$ નું સૂત્ર $e = \sqrt{1 - \frac{a^{2}}{b^{2}}}$ છે.
$e = \sqrt{1 - \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

(A) ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ છે.
નાભિઓના યામ $S(-ae, 0)$ અને $S^{\prime}(ae, 0)$ છે.
ગૌણ અક્ષનું અંત્યબિંદુ $B(0, b)$ છે.
$\Delta SBS^{\prime}$ સમબાજુ ત્રિકોણ હોવાથી,કાટકોણ ત્રિકોણ $\Delta SOB$ માં ખૂણો $\angle BSO = 60^{\circ}$ થાય.
$\Delta SOB$ માં,$\tan 60^{\circ} = \frac{OB}{OS} = \frac{b}{ae}$.
તેથી,$\sqrt{3} = \frac{b}{ae}$,જેનો અર્થ છે કે $b^{2} = 3a^{2}e^{2}$.
સંબંધ $b^{2} = a^{2}(1 - e^{2})$ નો ઉપયોગ કરતા,$a^{2}(1 - e^{2}) = 3a^{2}e^{2}$.
$1 - e^{2} = 3e^{2} \implies 4e^{2} = 1 \implies e^{2} = \frac{1}{4}$.
તેથી,$e = \frac{1}{2}$.

(B) આપેલ છે કે,નાભિલંબની લંબાઈ $\frac{2b^2}{a} = \frac{18}{5}$ $\Rightarrow \frac{b^2}{a} = \frac{9}{5}$ $\Rightarrow b^2 = \frac{9}{5}a \dots (i)$.
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \frac{4}{5}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $e^2 = 1 - \frac{b^2}{a^2}$,તેથી $\frac{16}{25} = 1 - \frac{b^2}{a^2} \Rightarrow \frac{b^2}{a^2} = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}$.
$b^2 = \frac{9}{5}a$ ને સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{\frac{9}{5}a}{a^2} = \frac{9}{25}$ $\Rightarrow \frac{9}{5a} = \frac{9}{25}$ $\Rightarrow a = 5$.
હવે,$b^2 = \frac{9}{5}(5) = 9$.
આમ,ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ એટલે કે $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$ થાય.

(B) આપેલ વક્રનું સમીકરણ $9x^{2} + 25y^{2} = 225$ છે.
બંને બાજુ $225$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{9x^{2}}{225} + \frac{25y^{2}}{225} = 1$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ થાય.
આ ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $a^{2} = 25$ અને $b^{2} = 9$.
તેથી,$a = 5$ અને $b = 3$.
ઉપવલય માટે,વક્ર પરના કોઈપણ બિંદુની નાભિ ત્રિજ્યાઓનો સરવાળો તેની મુખ્ય અક્ષની લંબાઈ $2a$ જેટલો હોય છે.
તેથી,નાભિ ત્રિજ્યાઓનો સરવાળો $= 2 \times 5 = 10$ થાય.

(A) બે નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $2ae = 7 - (-1) = 8$ છે.
$e = 1/2$ હોવાથી,$2a(1/2) = 8$,જેનો અર્થ છે કે $a = 8$.
ઉપવલયનું કેન્દ્ર નાભિઓનું મધ્યબિંદુ છે: $(\frac{-1+7}{2}, \frac{0+0}{2}) = (3, 0)$.
$b^2 = a^2(1 - e^2)$ નો ઉપયોગ કરતા,$b^2 = 64(1 - 1/4) = 64(3/4) = 48$.
તેથી,$b = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}$.
ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{(x-3)^2}{8^2} + \frac{y^2}{(4\sqrt{3})^2} = 1$ છે.
પ્રચલિત યામ $(x, y) = (h + a \cos \theta, k + b \sin \theta)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $(h, k)$ કેન્દ્ર છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $(3 + 8 \cos \theta, 4\sqrt{3} \sin \theta)$ મળે છે.