Locus Related Problem Questions in Gujarati

(B) ધારો કે $P = (x, y)$. શરત $PA = nPB$ પરથી $PA^2 = n^2 PB^2$ મળે.
$(x - a)^2 + y^2 = n^2((x + a)^2 + y^2)$.
$x^2 - 2ax + a^2 + y^2 = n^2(x^2 + 2ax + a^2 + y^2)$.
$(1 - n^2)x^2 + (1 - n^2)y^2 - 2ax(1 + n^2) + a^2(1 - n^2) = 0$.
$(1 - n^2)$ વડે ભાગતા ($n \neq 1$ હોવાથી):
$x^2 + y^2 - 2ax \frac{1 + n^2}{1 - n^2} + a^2 = 0$.
આ એક વર્તુળનું સમીકરણ છે.
જો વર્તુળ $A(a, 0)$ માંથી પસાર થાય,તો $a^2 + 0 - 2a^2 \frac{1 + n^2}{1 - n^2} + a^2 = 0$,જેનો અર્થ છે કે $2a^2 = 2a^2 \frac{1 + n^2}{1 - n^2}$,એટલે કે $1 = \frac{1 + n^2}{1 - n^2}$,જે $n = 0$ સૂચવે છે,જે $n \neq 0$ ની વિરુદ્ધ છે.
તે જ રીતે,તે $B(-a, 0)$ માંથી પસાર થતું નથી.

(D) ધારો કે $P$ ના યામ $(2x_0, 0)$ અને $Q$ ના યામ $(0, 2y_0)$ છે,જેથી લંબાઈ $PQ = \sqrt{(2x_0)^2 + (2y_0)^2} = 2a$ થાય.
આથી $4x_0^2 + 4y_0^2 = 4a^2$,એટલે કે $x_0^2 + y_0^2 = a^2$ મળે.
$\Delta OPQ$ એ કાટકોણ ત્રિકોણ હોવાથી,તેનું પરિકેન્દ્ર $M(h, k)$ એ કર્ણ $PQ$ નું મધ્યબિંદુ થાય.
તેથી,$h = \frac{2x_0 + 0}{2} = x_0$ અને $k = \frac{0 + 2y_0}{2} = y_0$.
$x_0 = h$ અને $y_0 = k$ ને $x_0^2 + y_0^2 = a^2$ માં મૂકતા,આપણને $h^2 + k^2 = a^2$ મળે.
આમ,પરિકેન્દ્રનો બિંદુપથ $x^2 + y^2 = a^2$ છે.

(C) $x^2 + y^2 = a^2$ વર્તુળના $m$ ઢોળાવવાળા સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx \pm a\sqrt{1 + m^2}$ છે.
ધારો કે ઢોળાવ $m_1 = \tan \alpha$ અને $m_2 = \tan \beta$ છે.
આપેલ છે કે $\cot \alpha + \cot \beta = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{1}{m_1} + \frac{1}{m_2} = 0$,તેથી $m_1 + m_2 = 0$ અથવા $m_2 = -m_1$.
આ શરત મુજબ,છેદબિંદુ $P(x, y)$ માટે $x = 0$ અથવા $y = 0$ મળે છે.
તેથી,$P$ નો બિંદુપથ $xy = 0$ છે.

(C) ધારો કે ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A(a \cos t, a \sin t)$,$B(b \sin t, -b \cos t)$ અને $C(1, 0)$ છે.
ધારો કે મધ્યકેન્દ્ર $(x, y)$ છે.
મધ્યકેન્દ્રના યામ નીચે મુજબ છે:
$x = \frac{a \cos t + b \sin t + 1}{3}$ અને $y = \frac{a \sin t - b \cos t + 0}{3}$.
પદોને ગોઠવતા:
$3x - 1 = a \cos t + b \sin t$ અને $3y = a \sin t - b \cos t$.
બંને બાજુ વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા:
$(3x - 1)^2 + (3y)^2 = (a \cos t + b \sin t)^2 + (a \sin t - b \cos t)^2$.
જમણી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા:
$(3x - 1)^2 + (3y)^2 = a^2 \cos^2 t + b^2 \sin^2 t + 2ab \sin t \cos t + a^2 \sin^2 t + b^2 \cos^2 t - 2ab \sin t \cos t$.
સાદુરૂપ આપતા:
$(3x - 1)^2 + (3y)^2 = a^2(\cos^2 t + \sin^2 t) + b^2(\sin^2 t + \cos^2 t)$.
કારણ કે $\cos^2 t + \sin^2 t = 1$,તેથી:
$(3x - 1)^2 + (3y)^2 = a^2 + b^2$.

(B) આપેલ વર્તુળો $S_1: x^2 + y^2 - 5x - 3 = 0$ અને $S_2: x^2 + y^2 + \frac{2}{3}x + \frac{4}{3}y - 2 = 0$ છે.
ધારો કે $P(x, y)$ એક એવું બિંદુ છે કે જ્યાંથી બંને વર્તુળો પરના સ્પર્શકોની લંબાઈ સમાન છે.
બિંદુ $P(x, y)$ થી વર્તુળ $S = 0$ પરના સ્પર્શકની લંબાઈ $\sqrt{S}$ છે.
તેથી,$\sqrt{x^2 + y^2 - 5x - 3} = \sqrt{x^2 + y^2 + \frac{2}{3}x + \frac{4}{3}y - 2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$x^2 + y^2 - 5x - 3 = x^2 + y^2 + \frac{2}{3}x + \frac{4}{3}y - 2$.
સાદુરૂપ આપતા,$-5x - 3 = \frac{2}{3}x + \frac{4}{3}y - 2$.
$3$ વડે ગુણતા,$-15x - 9 = 2x + 4y - 6$.
પદોને ગોઠવતા,$17x + 4y + 3 = 0$.
આ બે વર્તુળોની રેડિકલ અક્ષ (radical axis) નું સમીકરણ છે.

(D) ધારો કે બિંદુ $P(x, y)$ છે. આપેલી શરત મુજબ $\frac{PA}{PB} = \frac{1}{2}$,જ્યાં $A = (1, 0)$ અને $B = (-1, 0)$ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$4PA^2 = PB^2$ મળે.
$4((x-1)^2 + y^2) = (x+1)^2 + y^2$.
$4(x^2 - 2x + 1 + y^2) = x^2 + 2x + 1 + y^2$.
$4x^2 - 8x + 4 + 4y^2 = x^2 + 2x + 1 + y^2$.
$3x^2 - 10x + 3 + 3y^2 = 0$.
$x^2 - \frac{10}{3}x + y^2 + 1 = 0$.
આ એક વર્તુળનું સમીકરણ છે જેનું કેન્દ્ર $C_0 = \left( \frac{5}{3}, 0 \right)$ અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{(\frac{5}{3})^2 - 1} = \frac{4}{3}$ છે.
બિંદુઓ $A, B, C$ આ વર્તુળ પર આવેલા હોવાથી,ત્રિકોણ $ABC$ નું પરિકેન્દ્ર આ વર્તુળનું કેન્દ્ર $\left( \frac{5}{3}, 0 \right)$ થશે.

(A) $PA = nPB$ આપેલ છે. બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$PA^2 = n^2 PB^2$ મળે.
$(x - a)^2 + y^2 = n^2((x + a)^2 + y^2)$.
$x^2 - 2ax + a^2 + y^2 = n^2(x^2 + 2ax + a^2 + y^2)$.
$(1 - n^2)x^2 - 2a(1 + n^2)x + (1 - n^2)y^2 + a^2(1 - n^2) = 0$.
$(1 - n^2)$ વડે ભાગતા,$x^2 - 2a \frac{1 + n^2}{1 - n^2} x + y^2 + a^2 = 0$ મળે.
આ એક વર્તુળનું સમીકરણ છે જેનું કેન્દ્ર $C = (a \frac{1 + n^2}{1 - n^2}, 0)$ અને ત્રિજ્યા $r = |a| \frac{2n}{1 - n^2}$ છે.
$a < 0$ હોવાથી,$a = -k$ લો જ્યાં $k > 0$. તેથી $A = (-k, 0)$ અને $B = (k, 0)$.
કેન્દ્ર $C = (-k \frac{1 + n^2}{1 - n^2}, 0)$ છે.
$0 < n < 1$ હોવાથી,$\frac{1 + n^2}{1 - n^2} > 1$,તેથી કેન્દ્ર $C$ એ ઉગમબિંદુથી $k$ કરતા વધુ અંતરે ઋણ દિશામાં છે.
આમ,$A$ એ કેન્દ્રની નજીક છે અને $B$ એ કેન્દ્રથી દૂર છે,તેથી $A$ વર્તુળની અંદર અને $B$ વર્તુળની બહાર છે.

(A) આપેલ વક્રનું સમીકરણ: ${y^2 = 4a(x + a \sin \frac{x}{a})}$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
${2y \frac{dy}{dx} = 4a(1 + a \cos \frac{x}{a} \cdot \frac{1}{a})}$
${2y \frac{dy}{dx} = 4a(1 + \cos \frac{x}{a})}$
સ્પર્શક $x$-અક્ષને સમાંતર હોય ત્યારે ઢાળ ${\frac{dy}{dx} = 0}$ થાય.
આથી ${1 + \cos \frac{x}{a} = 0}$,એટલે કે ${\cos \frac{x}{a} = -1}$.
તેથી,${\frac{x}{a} = (2n+1)\pi}$. સરળ કિસ્સા માટે,${n=0}$ લેતા,${x = a\pi}$.
${x = a\pi}$ ને મૂળ સમીકરણમાં મૂકતા:
${y^2 = 4a(a\pi + a \sin \pi)}$
${y^2 = 4a(a\pi + 0)}$
${y^2 = 4a^2\pi}$.
અહીં ${a}$ અચળાંક હોવાથી,${y^2 = 4a^2\pi}$ એ $x$-અક્ષને સમાંતર રેખાઓનો સમૂહ (ખાસ કરીને ${y = \pm 2a\sqrt{\pi}}$) દર્શાવે છે. આપેલા વિકલ્પોમાંથી,આ આડી રેખાઓનો સમૂહ સીધી રેખાઓ તરીકે ઓળખાય છે.

(D) ધારો કે $P = (2, 3)$ આપેલ બિંદુ છે અને $P' = (h, k)$ એ રેખા $L_k: (2x - 3y + 4) + k(x - 2y + 3) = 0$ માં તેનું પ્રતિબિંબ છે.
રેખા $L_k$ એ $L_1: 2x - 3y + 4 = 0$ અને $L_2: x - 2y + 3 = 0$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થાય છે.
$L_1$ અને $L_2$ ઉકેલતા,આપણને $x = 1, y = 2$ મળે છે. ધારો કે આ બિંદુ $A = (1, 2)$ છે.
$P'$ એ $L_k$ માં $P$ નું પ્રતિબિંબ હોવાથી,રેખા $AP$ એ $AP'$ ને લંબ છે અને $AP = AP'$ થાય.
$AP$ નો ઢાળ $m_{AP} = \frac{3-2}{2-1} = 1$ છે.
ધારો કે $P' = (x, y)$. $AP'$ નો ઢાળ $m_{AP'} = \frac{y-2}{x-1}$ છે.
$AP \perp AP'$ હોવાથી,તેમના ઢાળનો ગુણાકાર $-1$ થાય,તેથી $\frac{y-2}{x-1} = -1 \implies y - 2 = -(x - 1) \implies x + y = 3$.
વળી,અંતર $AP = \sqrt{(2-1)^2 + (3-2)^2} = \sqrt{2}$.
$AP = AP'$ હોવાથી,$(x-1)^2 + (y-2)^2 = AP^2 = 2$ મળે.
આમ,બિંદુપથ એ $(1, 2)$ કેન્દ્ર અને $\sqrt{2}$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ છે.

(B) આપેલ વર્તુળ $x^{2} + y^{2} - 8x - 8y - 4 = 0$ છે.
આ વર્તુળનું કેન્દ્ર $(4, 4)$ છે અને તેની ત્રિજ્યા $r = \sqrt{4^{2} + 4^{2} - (-4)} = 6$ છે.
ધારો કે માંગેલ વર્તુળનું કેન્દ્ર $(h, k)$ છે અને તેની ત્રિજ્યા $R = k$ છે.
વર્તુળો બહારથી સ્પર્શતા હોવાથી,તેમના કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર તેમની ત્રિજ્યાઓના સરવાળા જેટલું થાય:
$\sqrt{(h - 4)^{2} + (k - 4)^{2}} = 6 + k$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(h - 4)^{2} + (k - 4)^{2} = (6 + k)^{2}$.
સાદુરૂપ આપતા:
$h^{2} - 8h + 16 + k^{2} - 8k + 16 = 36 + k^{2} + 12k$.
$h^{2} - 8h - 20k - 4 = 0$.
આમ,બિંદુપથ $x^{2} - 8x - 20y - 4 = 0$ મળે છે,જે પરવલયનું સમીકરણ છે.

(D) ધારો કે વર્તુળ $x^2 + (y - k)^2 = r^2$ છે. તે $y = |x|$ ને સ્પર્શે છે,તેથી $(0, k)$ થી $x - y = 0$ નું અંતર $r$ છે,એટલે કે $\frac{|-k|}{\sqrt{2}} = r$,જે $k = r\sqrt{2}$ આપે છે.
$x^2 = 4 - y$ ને વર્તુળના સમીકરણમાં મૂકતા: $(4 - y) + (y - k)^2 = r^2$.
$4 - y + y^2 - 2ky + k^2 = \frac{k^2}{2}$.
$y^2 - (2k + 1)y + (4 + \frac{k^2}{2}) = 0$.
સ્પર્શક હોવા માટે,વિવેચક $D = 0$:
$(2k + 1)^2 - 4(4 + \frac{k^2}{2}) = 0$.
$4k^2 + 4k + 1 - 16 - 2k^2 = 0$.
$2k^2 + 4k - 15 = 0$.
$k$ માટે ઉકેલતા ($k > 0$ લેતા): $k = \frac{-4 + \sqrt{16 - 4(2)(-15)}}{4} = \frac{-4 + \sqrt{136}}{4} = \frac{-4 + 2\sqrt{34}}{4} = \frac{-2 + \sqrt{34}}{2}$.
કારણ કે $r = \frac{k}{\sqrt{2}}$,તેથી $r = \frac{-2 + \sqrt{34}}{2\sqrt{2}}$.

(B) ધારો કે લાકડીના છેડાઓના યામ ભોંયતળિયા પર $(a, 0)$ અને દીવાલ પર $(0, b)$ છે. લાકડીની લંબાઈ $l$ છે,તેથી $a^2 + b^2 = l^2$.
ધારો કે લાકડીનું મધ્યબિંદુ $(h, k)$ છે.
મધ્યબિંદુના સૂત્ર મુજબ,$h = \frac{a+0}{2} = \frac{a}{2}$ અને $k = \frac{0+b}{2} = \frac{b}{2}$.
આના પરથી $a = 2h$ અને $b = 2k$ મળે છે.
આ કિંમતોને $a^2 + b^2 = l^2$ સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $(2h)^2 + (2k)^2 = l^2$ મળે છે.
$4h^2 + 4k^2 = l^2 \Rightarrow h^2 + k^2 = \frac{l^2}{4}$.
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $x^2 + y^2 = \left(\frac{l}{2}\right)^2$ મળે છે,જે એક વર્તુળ દર્શાવે છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $\sqrt{(x - 2)^2 + y^2} + \sqrt{(x + 2)^2 + y^2} = 4$ છે.
આ સમીકરણ બિંદુ $P(x, y)$ થી બે નિશ્ચિત બિંદુઓ $F_1(2, 0)$ અને $F_2(-2, 0)$ સુધીના અંતરનો સરવાળો $4$ હોવાનું દર્શાવે છે.
નિશ્ચિત બિંદુઓ $F_1$ અને $F_2$ વચ્ચેનું અંતર $d = \sqrt{(2 - (-2))^2 + (0 - 0)^2} = 4$ છે.
અહીં $PF_1 + PF_2 = F_1F_2$ હોવાથી,બિંદુ $P$ એ $F_1$ અને $F_2$ ને જોડતા રેખાખંડ પર આવેલું છે.
આ રેખાખંડ $x$-અક્ષ પર છે જ્યાં $y = 0$ અને $-2 \le x \le 2$ છે.
આમ,આ એક સંપાતી સુરેખાઓની જોડી દર્શાવે છે.

(B) ધારો કે ચોરસના શિરોબિંદુઓ $xy$-સમતલમાં $(0,0), (1,0), (1,1),$ અને $(0,1)$ છે.
ધારો કે બિંદુ $P(x, y)$ છે.
ચોરસની ચાર બાજુઓથી $P$ ના અંતર $x, (1-x), y,$ અને $(1-y)$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,આ અંતરોના વર્ગોનો સરવાળો $9$ છે:
$x^2 + (1-x)^2 + y^2 + (1-y)^2 = 9$
$2x^2 - 2x + 2y^2 - 2y + 2 = 9$
$x^2 - x + y^2 - y = \frac{7}{2}$
આ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ સ્વરૂપના વર્તુળનું સમીકરણ છે.

(A) ધારો કે $(h, k)$ એ $r = 3$ ત્રિજ્યાવાળા વર્તુળનું કેન્દ્ર છે. આવા વર્તુળનું સમીકરણ $(x - h)^2 + (y - k)^2 = 3^2 = 9$ છે.
કેન્દ્ર $(h, k)$ એ $x^2 + y^2 = 25$ વર્તુળ પર આવેલું હોવાથી,ઉગમબિંદુથી કેન્દ્રનું અંતર $\sqrt{h^2 + k^2} = 5$ છે.
$3$ ત્રિજ્યાવાળા વર્તુળ પરનું કોઈપણ બિંદુ $(x, y)$ એ શરત સંતોષે છે કે તેનું $(h, k)$ થી અંતર $3$ છે.
ત્રિકોણની અસમતા મુજબ,ઉગમબિંદુથી કોઈપણ બિંદુ $(x, y)$ નું અંતર $d$ એ $|\sqrt{h^2 + k^2} - 3| \le \sqrt{x^2 + y^2} \le \sqrt{h^2 + k^2} + 3$ શરત સંતોષે છે.
$\sqrt{h^2 + k^2} = 5$ મૂકતા,આપણને $|5 - 3| \le \sqrt{x^2 + y^2} \le 5 + 3$ મળે છે.
આથી $2 \le \sqrt{x^2 + y^2} \le 8$ મળે છે.
વર્ગ કરતા,$4 \le x^2 + y^2 \le 64$ મળે છે.

(B) $x^2 + y^2 = a^2$ વર્તુળ માટે પ્રચલ ખૂણા $\alpha$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $x \cos \alpha + y \sin \alpha = a$ છે.
ધારો કે બે બિંદુઓના પ્રચલ ખૂણા $\theta$ અને $\theta + \pi / 2$ છે.
આ બિંદુઓ આગળના સ્પર્શકોના સમીકરણો:
$L_1: x \cos \theta + y \sin \theta = a$
$L_2: x \cos(\theta + \pi / 2) + y \sin(\theta + \pi / 2) = a$,જેનું સાદું રૂપ $-x \sin \theta + y \cos \theta = a$ થાય છે.
બિંદુપથ શોધવા માટે,બંને સમીકરણોનો વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા:
$(x \cos \theta + y \sin \theta)^2 + (-x \sin \theta + y \cos \theta)^2 = a^2 + a^2$
$x^2(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) + y^2(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta) = 2a^2$
$x^2 + y^2 = 2a^2$.
આ $a \sqrt{2}$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળનું સમીકરણ છે.

(C) ધારો કે જીવાનું મધ્યબિંદુ $P(h, k)$ છે.
વર્તુળ $S: x^2 + y^2 - 2ax = 0$ માટે મધ્યબિંદુ $(h, k)$ વાળી જીવાનું સમીકરણ $T = S_1$ દ્વારા મળે છે.
$hx + ky - a(x + h) = h^2 + k^2 - 2ah$.
જીવા ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,સમીકરણમાં $x = 0$ અને $y = 0$ મૂકતા:
$h(0) + k(0) - a(0 + h) = h^2 + k^2 - 2ah$.
$-ah = h^2 + k^2 - 2ah$.
$h^2 + k^2 - ah = 0$.
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $x^2 + y^2 - ax = 0$ મળે છે.

(D) આપેલ સમીકરણો:
$x \cos \alpha - y \sin \alpha = a$ $(1)$
$x \sin \alpha - y \cos \alpha = b$ $(2)$
$(1)$ અને $(2)$ નો વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા:
$(x \cos \alpha - y \sin \alpha)^2 + (x \sin \alpha - y \cos \alpha)^2 = a^2 + b^2$
$x^2(\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) + y^2(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) - 2xy \sin \alpha \cos \alpha - 2xy \sin \alpha \cos \alpha = a^2 + b^2$
$x^2 + y^2 - 2xy \sin(2 \alpha) = a^2 + b^2$
આ સમીકરણ એક શંકુ આકાર દર્શાવે છે જે $\alpha$ ની કિંમત પર આધાર રાખે છે. આ બિંદુપથ પ્રમાણિત ઉપવલય,અતિવલય કે પરવલય નથી,તેથી સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) આપેલ વક્ર $y = \tan(\tan^{-1} x) = x$ છે.
વર્તુળ બિંદુ $S(1, 0)$ માંથી પસાર થાય છે અને રેખા $L: x - y = 0$ ને સ્પર્શે છે,તેથી કેન્દ્ર $C(h, k)$ નો બિંદુપથ એક પરવલય છે જ્યાં $S(1, 0)$ નાભિ છે અને $L: x - y = 0$ નિયામિકા છે.
નાભિ $S(1, 0)$ થી નિયામિકા $x - y = 0$ નું અંતર $2a = \frac{|1 - 0|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ છે.
પરવલયની ધરી એ નાભિ $(1, 0)$ માંથી પસાર થતી અને નિયામિકા $x - y = 0$ ને લંબ રેખા છે. નિયામિકાનો ઢાળ $1$ છે,તેથી ધરીનો ઢાળ $-1$ છે.
ધરીનું સમીકરણ $y - 0 = -1(x - 1)$ છે,જે $x + y = 1$ માં પરિણમે છે.
ધરી $x + y = 1$ અને નિયામિકા $x - y = 0$ નું છેદબિંદુ $Z(1/2, 1/2)$ છે.
શિરોબિંદુ $V$ એ નાભિ $S(1, 0)$ અને બિંદુ $Z(1/2, 1/2)$ નું મધ્યબિંદુ છે.
$V = \left(\frac{1 + 1/2}{2}, \frac{0 + 1/2}{2}\right) = (3/4, 1/4)$.
તેથી,$(A)$ અને $(B)$ બંને સાચા છે,જવાબ $(D)$ છે.

(D) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + 4x + (y - 3)^2 = 0$ છે.
ધારો કે $M = (h, k)$ અને $A = (0, 3)$.
$AM = 2 AB$ હોવાથી,$B$ એ $AM$ નું મધ્યબિંદુ છે.
તેથી,$B$ ના યામ $(\frac{h}{2}, \frac{k+3}{2})$ થાય.
$B$ વર્તુળ પર હોવાથી,આ યામોને વર્તુળના સમીકરણમાં મૂકતા:
$(\frac{h}{2})^2 + 4(\frac{h}{2}) + (\frac{k+3}{2} - 3)^2 = 0$.
$\frac{h^2}{4} + 2h + (\frac{k-3}{2})^2 = 0$.
$\frac{h^2}{4} + 2h + \frac{k^2 - 6k + 9}{4} = 0$.
$4$ વડે ગુણતા,$h^2 + 8h + k^2 - 6k + 9 = 0$ મળે.
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $x^2 + y^2 + 8x - 6y + 9 = 0$ છે.

(A) ધારો કે જીવાનું મધ્યબિંદુ $M(h, k)$ છે.
વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 - 4x = 0$ છે,જેનું કેન્દ્ર $O(2, 0)$ છે.
$M$ એ જીવાનું મધ્યબિંદુ હોવાથી,રેખાખંડ $OM$ એ જીવા $PM$ ને લંબ છે.
તેથી,$OM$ નો ઢાળ $m_1 = \frac{k - 0}{h - 2} = \frac{k}{h - 2}$ છે.
$PM$ નો ઢાળ $m_2 = \frac{k - 4}{h - 3}$ છે.
$OM \perp PM$ હોવાથી,તેમના ઢાળનો ગુણાકાર $-1$ થાય:
$\left(\frac{k}{h - 2}\right) \times \left(\frac{k - 4}{h - 3}\right) = -1$
$k(k - 4) = -(h - 2)(h - 3)$
$k^2 - 4k = -(h^2 - 5h + 6)$
$h^2 + k^2 - 5h - 4k + 6 = 0$
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $x^2 + y^2 - 5x - 4y + 6 = 0$ મળે છે.

(A) ધારો કે વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ છે.
તે વર્તુળ $x^2 + y^2 - K^2 = 0$ ને લંબચ્છેદી રીતે કાપે છે,તેથી $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1 + c_2$ શરત મુજબ,$2g(0) + 2f(0) = c - K^2$,એટલે કે $c = K^2$.
વર્તુળ બિંદુ $(a, b)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $a^2 + b^2 + 2ga + 2fb + c = 0$.
$c = K^2$ મૂકતા,$a^2 + b^2 + 2ga + 2fb + K^2 = 0$.
કેન્દ્ર $(-g, -f)$ છે. ધારો કે કેન્દ્ર $(x, y)$ છે,તેથી $g = -x$ અને $f = -y$.
આ કિંમતો મૂકતા,$a^2 + b^2 + 2(-x)a + 2(-y)b + K^2 = 0$.
તેથી,કેન્દ્રનો બિંદુપથ $2ax + 2by - (a^2 + b^2 + K^2) = 0$ છે.

(C) બે આપેલા વર્તુળોને લંબચ્છેદી વર્તુળના કેન્દ્રનો બિંદુપથ એ બે વર્તુળોની રેડિકલ અક્ષ (radical axis) હોય છે.
ધારો કે બે વર્તુળો $S_1: x^2 + y^2 + 4x - 6y + 9 = 0$ અને $S_2: x^2 + y^2 - 5x + 4y - 2 = 0$ છે.
રેડિકલ અક્ષ $S_1 - S_2 = 0$ દ્વારા મળે છે.
$(x^2 + y^2 + 4x - 6y + 9) - (x^2 + y^2 - 5x + 4y - 2) = 0$
$4x - 6y + 9 + 5x - 4y + 2 = 0$
$9x - 10y + 11 = 0$
આમ,કેન્દ્રોનો બિંદુપથ $9x - 10y + 11 = 0$ છે.

(B) ધારો કે ભોંયતળિયા અને દીવાલ પર સળિયાના છેડાના યામ અનુક્રમે $(a, 0)$ અને $(0, b)$ છે.
સળિયાની લંબાઈ $10$ એકમ હોવાથી,અંતર સૂત્ર મુજબ $a^2 + b^2 = 10^2 = 100$ --- $(1)$.
ધારો કે $M(h, k)$ એ સળિયાનું મધ્યબિંદુ છે.
મધ્યબિંદુના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$h = \frac{a}{2}$ અને $k = \frac{b}{2}$ મળે.
આથી $a = 2h$ અને $b = 2k$ થાય.
આ કિંમતોને સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા,$(2h)^2 + (2k)^2 = 100$ મળે.
$4h^2 + 4k^2 = 100$.
$4$ વડે ભાગતા,$h^2 + k^2 = 25$ મળે.
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,મધ્યબિંદુનો બિંદુપથ $x^2 + y^2 = 25$ છે.

(A) ધારો કે રેખાઓ $L_1: x - y = 0$, $L_2: x + y - 2 = 0$, અને $L_3: x + 3 = 0$ છે।
ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $(1, 1)$, $(-3, -3)$ અને $(-3, 5)$ છે।
બિંદુ $P(\lambda, \lambda^2)$ એ પરવલય $y = x^2$ પર છે।
ત્રિકોણની અંદર રહેવા માટે, બિંદુએ રેખાઓ દ્વારા બનતી અસમતાઓનું પાલન કરવું જોઈએ:
$1) \lambda - \lambda^2 \le 0 \implies \lambda \in (-\infty, 0] \cup [1, \infty)$.
$2) \lambda + \lambda^2 - 2 \le 0 \implies \lambda \in [-2, 1]$.
$3) \lambda + 3 \ge 0 \implies \lambda \ge -3$.
આમ, બિંદુ $P$ ત્રિકોણની અંદર $\lambda \in [-2, 0] \cup \{1\}$ માટે છે।
તેથી, બિંદુ $P$ ત્રિકોણની બહાર $(-\infty, -2] \cup [0, \infty)$ માટે હશે।

(C) ધારો કે ઉગમબિંદુ $O(0,0)$ થી રેખા $PQ$ પરના લંબનું પાદબિંદુ $R(h, k)$ છે.
$OR \perp PQ$ હોવાથી,$OR$ નો ઢાળ $m_1 = \frac{k}{h}$ છે.
રેખા $PQ$ નો ઢાળ $m_2 = -\frac{h}{k}$ છે.
બિંદુ $(h, k)$ માંથી પસાર થતી રેખા $PQ$ નું સમીકરણ $y - k = -\frac{h}{k}(x - h)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $hx + ky = h^2 + k^2$ થાય છે.
આ રેખાના અક્ષો પરના અંતઃખંડો $Q\left( \frac{h^2 + k^2}{h}, 0 \right)$ અને $P\left( 0, \frac{h^2 + k^2}{k} \right)$ છે.
$O, P, Q$ એ $a$ ત્રિજ્યાવાળા વર્તુળ પર હોવાથી,વર્તુળનો વ્યાસ એ કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle OPQ$ નો કર્ણ $PQ$ છે.
લંબાઈ $PQ = \sqrt{\left( \frac{h^2 + k^2}{h} \right)^2 + \left( \frac{h^2 + k^2}{k} \right)^2} = 2a$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(h^2 + k^2)^2 \left( \frac{1}{h^2} + \frac{1}{k^2} \right) = 4a^2$.
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $(x^2 + y^2)^2 \left( \frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} \right) = 4a^2$ મળે છે.

(D) ધારો કે વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ છે.
બિંદુઓ $(1, t)$,$(t, 1)$,અને $(t, t)$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$1$) $1 + t^2 + 2g + 2ft + c = 0$
$2$) $t^2 + 1 + 2gt + 2f + c = 0$
$3$) $t^2 + t^2 + 2gt + 2ft + c = 0$
આ સમીકરણો ઉકેલતા,વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 - (1 + t)(x + y) + t = 0$ મળે છે.
આ સમીકરણને $(x^2 + y^2 - x - y) + t(1 - x - y) = 0$ તરીકે લખી શકાય.
આ વર્તુળ હંમેશા $(1, 1)$ બિંદુમાંથી પસાર થાય છે.

(A) ધારો કે $A$ ના યામ $(a, 0)$ અને $B$ ના યામ $(0, b)$ છે.
વર્તુળ ઉગમબિંદુ $(0, 0)$,$A(a, 0)$ અને $B(0, b)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 - ax - by = 0$ છે.
આ વર્તુળની ત્રિજ્યા $\sqrt{(\frac{a}{2})^2 + (\frac{b}{2})^2} = 3k$ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\frac{a^2}{4} + \frac{b^2}{4} = 9k^2$,જેનો અર્થ છે કે $a^2 + b^2 = 36k^2$.
ધારો કે $(x, y)$ એ $\triangle OAB$ નું મધ્યકેન્દ્ર છે. તેથી $x = \frac{a}{3}$ અને $y = \frac{b}{3}$.
આમ,$a = 3x$ અને $b = 3y$.
આ કિંમતોને $a^2 + b^2 = 36k^2$ માં મૂકતા,$(3x)^2 + (3y)^2 = 36k^2$ મળે.
$9x^2 + 9y^2 = 36k^2$.
$9$ વડે ભાગતા,$x^2 + y^2 = 4k^2 = (2k)^2$ મળે.

(C) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 - 2x - 4y - 11 = 0$ છે.
કેન્દ્ર $C = (1, 2)$ અને ત્રિજ્યા $r = 4$ છે.
ધારો કે $(h, k)$ એ જીવાનું મધ્યબિંદુ છે. કેન્દ્રથી જીવાનું અંતર $d = \sqrt{(h-1)^2 + (k-2)^2}$ છે.
ત્રિકોણમિતિ મુજબ,$\cos 30^o = \frac{d}{r} = \frac{\sqrt{(h-1)^2 + (k-2)^2}}{4}$.
$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{(h-1)^2 + (k-2)^2}}{4}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\frac{3}{4} = \frac{(h-1)^2 + (k-2)^2}{16}$.
$(h-1)^2 + (k-2)^2 = 12$.
$h^2 - 2h + 1 + k^2 - 4k + 4 = 12$.
આમ,બિંદુપથ $x^2 + y^2 - 2x - 4y - 7 = 0$ છે.

(D) આપેલ વર્તુળ $x^2 + y^2 + 16x - 24y + 183 = 0$ છે.
કેન્દ્ર $(-8, 12)$ અને ત્રિજ્યા $r = 5$ છે.
રેખા $4x + 7y + 13 = 0$ માં કેન્દ્રનું પ્રતિબિંબ $(-16, -2)$ મળે છે.
નવું સમીકરણ $(x + 16)^2 + (y + 2)^2 = 5^2$ થશે.
જેનું સાદું રૂપ $x^2 + y^2 + 32x + 4y + 235 = 0$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $x^2 - 4x + y^2 + 3 = 0$ છે.
$x$ માટે પૂર્ણવર્ગ બનાવતા,$(x^2 - 4x + 4) + y^2 = 4 - 3$,જે $(x - 2)^2 + y^2 = 1$ માં પરિણમે છે.
આ કેન્દ્ર $(2, 0)$ અને ત્રિજ્યા $r = 1$ ધરાવતું વર્તુળ છે.
ધારો કે $x^2 + y^2 = k$,જે ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ થી વર્તુળ પરના કોઈપણ બિંદુ $(x, y)$ સુધીના અંતરનો વર્ગ દર્શાવે છે.
ઉગમબિંદુથી કેન્દ્ર $(2, 0)$ સુધીનું અંતર $d = \sqrt{(2-0)^2 + (0-0)^2} = 2$ છે.
વર્તુળ પરના બિંદુનું ઉગમબિંદુથી મહત્તમ અંતર $d + r = 2 + 1 = 3$ છે,તેથી $M = 3^2 = 9$.
વર્તુળ પરના બિંદુનું ઉગમબિંદુથી ન્યૂનતમ અંતર $d - r = 2 - 1 = 1$ છે,તેથી $m = 1^2 = 1$.
આમ,$M - m = 9 - 1 = 8$.

(C) ધારો કે રેખા $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ યામ અક્ષોને $A(a, 0)$ અને $B(0, b)$ માં મળે છે.
$\triangle OAB$ કાટકોણ ત્રિકોણ હોવાથી,કર્ણ $AB$ એ વર્તુળનો વ્યાસ છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $C = (\frac{a}{2}, \frac{b}{2})$ છે અને ત્રિજ્યા $r = \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{2}$ છે.
$OC$ નો ઢાળ $\frac{b}{a}$ છે,તેથી ઉગમબિંદુ $O$ પરના સ્પર્શકનો ઢાળ $-\frac{a}{b}$ છે.
સ્પર્શકનું સમીકરણ $ax + by = 0$ છે.
$A(a, 0)$ થી સ્પર્શકનું અંતર $d_1 = \frac{a^2}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ છે.
$B(0, b)$ થી સ્પર્શકનું અંતર $d_2 = \frac{b^2}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ છે.
તેથી,$d_1 + d_2 = \frac{a^2 + b^2}{\sqrt{a^2 + b^2}} = \sqrt{a^2 + b^2}$.
વ્યાસ $2r = \sqrt{a^2 + b^2}$ હોવાથી,વ્યાસ $d_1 + d_2$ થાય છે.

(A) આપેલ વર્તુળ $4x^2 + 4y^2 - 12x + 4y + 1 = 0$ છે.
કેન્દ્ર $C = (\frac{3}{2}, -\frac{1}{2})$ અને ત્રિજ્યા $r = \frac{3}{2}$ છે.
ધારો કે $M(h, k)$ એ જીવાનું મધ્યબિંદુ છે.
કેન્દ્રથી જીવાનું અંતર $d = r \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{3}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{3}{4}$ થાય.
તેથી,$(h - \frac{3}{2})^2 + (k + \frac{1}{2})^2 = (\frac{3}{4})^2$.
સાદુરૂપ આપતા,$16(h^2 + k^2) - 48h + 16k + 31 = 0$ મળે.
આમ,બિંદુપથનું સમીકરણ $16(x^2 + y^2) - 48x + 16y + 31 = 0$ છે.

(C) ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $(h, k)$ છે. વર્તુળ બંને રેખાઓને સ્પર્શતું હોવાથી,$(h, k)$ થી બંને રેખાઓનું લંબ અંતર ત્રિજ્યા $r$ જેટલું હોવું જોઈએ.
તેથી,$\frac{|3h - 4k + 1|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{|12h + 5k - 1|}{\sqrt{12^2 + 5^2}}$.
આનું સાદું રૂપ $\frac{|3h - 4k + 1|}{5} = \frac{|12h + 5k - 1|}{13}$ થાય છે.
ધન ચિહ્ન લેતા: $13(3h - 4k + 1) = 5(12h + 5k - 1) \implies 21h + 77k - 18 = 0$.
ઋણ ચિહ્ન લેતા: $13(3h - 4k + 1) = -5(12h + 5k - 1) \implies 99h - 27k + 8 = 0$.
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $21x + 77y - 18 = 0$ અને $99x - 27y + 8 = 0$ મળે છે.

(B) ધારો કે ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતા વર્તુળનું સમીકરણ $x^{2} + y^{2} - 2ax - 2by = 0$ છે,જ્યાં $A = (2a, 0)$ અને $B = (0, 2b)$ છે.
આપેલ છે કે $OA + 2OB = K$,તેથી $2a + 2(2b) = K$,જે $2a + 4b = K$ થાય છે.
વર્તુળના સમીકરણમાં $2a = K - 4b$ મૂકતા:
$x^{2} + y^{2} - (K - 4b)x - 2by = 0$
$x^{2} + y^{2} - Kx + 4bx - 2by = 0$
$(x^{2} + y^{2} - Kx) + 2b(2x - y) = 0$.
વર્તુળ $b$ થી સ્વતંત્ર નિશ્ચિત બિંદુ $P$ માંથી પસાર થાય તે માટે,$x^{2} + y^{2} - Kx = 0$ અને $2x - y = 0$ થવું જોઈએ.
$2x - y = 0$ પરથી,આપણને $y = 2x$ મળે છે.
આમ,નિશ્ચિત બિંદુ $P$ એ રેખા $y = 2x$ પર આવેલું છે.

(B) ધારો કે $C$ એ $r = 2$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળનું કેન્દ્ર છે. કેન્દ્ર $C$ એ $x^2 + y^2 = 36$ વર્તુળ પર આવેલું છે,તેથી અંતર $OC = 6$ થાય,જ્યાં $O$ એ ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ છે.
કેન્દ્ર $C$ વાળા વર્તુળ પરના કોઈપણ બિંદુ $P$ માટે,અંતર $OP$ એ $OC - r \le OP \le OC + r$ નું પાલન કરે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $6 - 2 \le OP \le 6 + 2$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $4 \le OP \le 8$ થાય છે.
કારણ કે $OP = \sqrt{x^2 + y^2}$,તેથી $4 \le \sqrt{x^2 + y^2} \le 8$ મળે.
અસમતાનો વર્ગ કરતા,આપણને $16 \le x^2 + y^2 \le 64$ મળે છે.

(C) $P(x, y)$ નો બિંદુપથ $\frac{PA}{PB} = 2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે $PA^2 = 4PB^2$.
$(x-1)^2 + y^2 = 4(x^2 + (y+1)^2)$.
$x^2 - 2x + 1 + y^2 = 4x^2 + 4y^2 + 8y + 4$.
$3x^2 + 3y^2 + 2x + 8y + 3 = 0$.
$x^2 + y^2 + \frac{2}{3}x + \frac{8}{3}y + 1 = 0$.
કેન્દ્ર $C(-\frac{1}{3}, -\frac{4}{3})$ છે અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{(-\frac{1}{3})^2 + (-\frac{4}{3})^2 - 1} = \sqrt{\frac{1}{9} + \frac{16}{9} - 1} = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$ છે.
ધારો કે $\alpha = -\frac{1}{3} + r \cos \theta$ અને $\beta = -\frac{4}{3} + r \sin \theta$.
તો $\alpha + \beta = -\frac{5}{3} + r(\cos \theta + \sin \theta) = -\frac{5}{3} + r\sqrt{2} \sin(\theta + \frac{\pi}{4})$.
કારણ કે $r = \frac{2\sqrt{2}}{3}$,$r\sqrt{2} = \frac{4}{3}$.
મહત્તમ કિંમત $M = -\frac{5}{3} + \frac{4}{3} = -\frac{1}{3}$.
ન્યૂનતમ કિંમત $m = -\frac{5}{3} - \frac{4}{3} = -\frac{9}{3} = -3$.
આમ,$\frac{M}{m} = \frac{-1/3}{-3} = \frac{1}{9}$.
$[\frac{M}{m}] = [\frac{1}{9}] = 0$.

(D) ધારો કે ચલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ છે.
બે વર્તુળો $x^2 + y^2 + 2g_1x + 2f_1y + c_1 = 0$ અને $x^2 + y^2 + 2g_2x + 2f_2y + c_2 = 0$ લંબચ્છેદી હોય તો $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1 + c_2$ થાય.
પ્રથમ વર્તુળ માટે,$-2g - 4f = c - 1$ .......$(1)$
બીજા વર્તુળ માટે,$-4g - 2f = c - 1$ .......$(2)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ ની બાદબાકી કરતા,$2g - 2f = 0$ એટલે કે $g - f = 0$ મળે.
કેન્દ્ર $(-g, -f) = (x, y)$ લેતા,$g = -x$ અને $f = -y$ મૂકતા,$-x - (-y) = 0$ એટલે કે $x - y = 0$ મળે.

(A) ધારો કે વર્તુળ $x^2 + y^2 = 5^2$ છે. રેખા $AB$ પરિઘને $1:2$ ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે,તેથી ચાપ $AB$ કેન્દ્ર $O$ પર $\frac{1}{3} \times 360^{\circ} = 120^{\circ}$ નો ખૂણો આંતરે છે.
આમ,$\angle AOB = 120^{\circ}$.
ધારો કે $M$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે. તો $\angle AOM = 60^{\circ}$.
$\triangle OAM$ માં,$OM = 5 \cos 60^{\circ} = \frac{5}{2}$ અને $AM = 5 \sin 60^{\circ} = \frac{5\sqrt{3}}{2}$.
$ABCD$ લંબચોરસ હોવાથી,લંબચોરસની ઊંચાઈ એ જીવા $AB$ અને સ્પર્શક $CD$ વચ્ચેનું અંતર છે.
કેન્દ્ર $O$ થી જીવા $AB$ નું અંતર $OM = \frac{5}{2}$ છે.
કેન્દ્ર $O$ થી સ્પર્શક $CD$ નું અંતર ત્રિજ્યા $R = 5$ છે.
આમ,લંબચોરસની ઊંચાઈ $AD = BC = 5 - \frac{5}{2} = \frac{5}{2}$.
$C$ નું કેન્દ્રથી અંતર $OC = \sqrt{ON^2 + NC^2}$ છે.
અહીં $ON = 5$ (સ્પર્શકનું અંતર) અને $NC = \frac{AB}{2} = \frac{5\sqrt{3}}{2}$.
$OC^2 = 5^2 + (\frac{5\sqrt{3}}{2})^2 = 25 + \frac{75}{4} = \frac{175}{4}$.
આમ,બિંદુગણ $x^2 + y^2 = \frac{175}{4}$ છે.

(A) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + (y - \frac{5}{3})^2 = 1$ છે. કેન્દ્ર $C(0, \frac{5}{3})$ છે.
વક્ર $y^2 = x^3$ પરનું બિંદુ $D(t^2, t^3)$ છે.
અંતર $CD = \sqrt{(t^2 - 0)^2 + (t^3 - \frac{5}{3})^2}$.
$t = 1$ માટે,$CD = \sqrt{1^2 + (1 - \frac{5}{3})^2} = \sqrt{1 + \frac{4}{9}} = \frac{\sqrt{13}}{3}$.

(B) ધારો કે ચલ વર્તુળ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ છે.
તે $(4, 6)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $16 + 36 + 8g + 12f + c = 0$,એટલે કે $8g + 12f + c = -52$.
તે વર્તુળ $x^2 + y^2 - 4x - 6y = 0$ ને લંબછેદી છે,તેથી $2g(-2) + 2f(-3) = c + 0$,એટલે કે $c = -4g - 6f$.
$c$ ની કિંમત પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા: $8g + 12f - 4g - 6f = -52$,જેનું સાદું રૂપ $4g + 6f = -52$ અથવા $2g + 3f = -26$ થાય છે.
ચલ વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-g, -f)$ છે. ધારો કે આ $(x, y)$ છે,તેથી $g = -x$ અને $f = -y$.
આ કિંમતોને $2g + 3f = -26$ માં મૂકતા,આપણને $2(-x) + 3(-y) = -26$ મળે છે,જે $2x + 3y = 26$ છે.
આ બિંદુપથ $S = 0$ નું સમીકરણ છે.
ઉગમબિંદુ $O(0, 0)$ થી રેખા $2x + 3y - 26 = 0$ નું લઘુત્તમ અંતર $d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$d = \frac{|2(0) + 3(0) - 26|}{\sqrt{2^2 + 3^2}} = \frac{26}{\sqrt{13}} = 2\sqrt{13}$.

(C) ધારો કે મધ્યબિંદુ $(h, k)$ છે. મધ્યબિંદુ $(h, k)$ વાળી જીવાનું સમીકરણ $hx + ky = h^2 + k^2$ છે.
જીવાના સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને વર્તુળ $x^2 + y^2 = 4$ ને સમઘાત બનાવતા:
$x^2 + y^2 = 4 \left( \frac{hx + ky}{h^2 + k^2} \right)^2$.
જીવા ઉગમબિંદુ પર કાટખૂણો આંતરે છે,તેથી $x^2$ અને $y^2$ ના સહગુણકોનો સરવાળો શૂન્ય થાય.
$1 - \frac{4h^2}{(h^2 + k^2)^2} + 1 - \frac{4k^2}{(h^2 + k^2)^2} = 0$.
$2 - \frac{4(h^2 + k^2)}{(h^2 + k^2)^2} = 0$.
$2 - \frac{4}{h^2 + k^2} = 0$.
$h^2 + k^2 = 2$.
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $x^2 + y^2 = 2$ મળે છે.

(A) ધારો કે બે રેખાઓ $L_1: x + \sqrt{3}y - 1 = 0$ અને $L_2: \sqrt{3}x - y - 2 = 0$ છે.
આ રેખાઓના ઢાળ $m_1 = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ અને $m_2 = \sqrt{3}$ છે.
અહીં $m_1 \times m_2 = -\frac{1}{\sqrt{3}} \times \sqrt{3} = -1$ હોવાથી,રેખાઓ પરસ્પર લંબ છે.
ધારો કે છેદબિંદુ $R$ છે. રેખાઓ લંબ હોવાથી,$R$ આગળનો ખૂણો $\theta = 90^{\circ}$ છે.
વર્તુળમાં,ચાપ દ્વારા કેન્દ્ર પર આંતરાતો ખૂણો તે જ ચાપ દ્વારા વર્તુળના બાકીના ભાગ પરના કોઈપણ બિંદુએ આંતરાતા ખૂણા કરતા બમણો હોય છે.
તેથી,ચાપ $PQ$ દ્વારા કેન્દ્ર પર આંતરાતો ખૂણો $2 \times 90^{\circ} = 180^{\circ}$ થાય.

(B) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $\frac{1}{2} (x^2 + y^2) + x \cos \theta + y \sin \theta - 4 = 0$ છે.
$2$ વડે ગુણતા,$x^2 + y^2 + 2x \cos \theta + 2y \sin \theta - 8 = 0$ મળે.
વર્તુળનું પ્રમાણિત સમીકરણ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ છે,જ્યાં કેન્દ્ર $(-g, -f)$ છે.
સહગુણકોની સરખામણી કરતા,$2g = 2 \cos \theta \implies g = \cos \theta$ અને $2f = 2 \sin \theta \implies f = \sin \theta$ મળે.
કેન્દ્ર $(h, k) = (-g, -f) = (-\cos \theta, -\sin \theta)$ છે.
આમ,$h = -\cos \theta$ અને $k = -\sin \theta$.
બિંદુપથ શોધવા માટે,$\theta$ નો લોપ કરતા: $h^2 + k^2 = (-\cos \theta)^2 + (-\sin \theta)^2 = \cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$.
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $x^2 + y^2 = 1$ મળે છે.

(A) ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $(h, k)$ છે.
વર્તુળ $(0, 1)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી ત્રિજ્યા $r$ એ $(h, k)$ અને $(0, 1)$ વચ્ચેનું અંતર છે,એટલે કે $r^2 = h^2 + (k - 1)^2$.
વર્તુળ $y - x = 0$ રેખાને સ્પર્શે છે,તેથી ત્રિજ્યા $r$ એ $(h, k)$ થી રેખા $y - x = 0$ નું લંબ અંતર છે,એટલે કે $r = \frac{|k - h|}{\sqrt{2}}$.
$r^2$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$h^2 + (k - 1)^2 = \frac{(k - h)^2}{2}$
$2(h^2 + k^2 - 2k + 1) = k^2 + h^2 - 2hk$
$h^2 + k^2 + 2hk = 4k - 2$
$(h + k)^2 = 4k - 2$
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $(x + y)^2 = 4y - 2$ મળે છે.

(C) ધારો કે ત્રિકોણ $ABC$ ની પરિમિતિ $P$ છે,જ્યાં $P = AB + BC + CA = \text{અચળ}$.
પાયો $BC$ નિશ્ચિત હોવાથી,તેની લંબાઈ $BC = k$ અચળ છે.
તેથી,$AB + AC = P - BC = \text{અચળ}$.
ઉપવલયની વ્યાખ્યા મુજબ,જે બિંદુનું બે નિશ્ચિત બિંદુઓ (નાભિ $B$ અને $C$) થી અંતરનો સરવાળો અચળ હોય તેવા બિંદુનો બિંદુપથ ઉપવલય છે.

(A) આપેલ રેખાઓ:
$L_1: \sqrt{2}x - y + 4\sqrt{2}k = 0 \Rightarrow y = \sqrt{2}x + 4\sqrt{2}k \quad (i)$
$L_2: \sqrt{2}kx + ky - 4\sqrt{2} = 0 \quad (ii)$
$(i)$ માંથી $y$ ની કિંમત $(ii)$ માં મૂકતા:
$\sqrt{2}kx + k(\sqrt{2}x + 4\sqrt{2}k) - 4\sqrt{2} = 0$
$2\sqrt{2}kx = 4\sqrt{2}(1 - k^2) \Rightarrow x = \frac{2(1 - k^2)}{k}$
તે જ રીતે,$y = \frac{2\sqrt{2}(1 + k^2)}{k}$
આમ,$(\frac{y}{4\sqrt{2}})^2 - (\frac{x}{4})^2 = 1$ મળે છે.
આ અતિવલયનું સમીકરણ છે,જેમાં અનુપ્રસ્થ અક્ષની લંબાઈ $2a = 2(4\sqrt{2}) = 8\sqrt{2}$ છે.

(D) ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $(h, k)$ છે અને તેની ત્રિજ્યા $r$ છે.
વર્તુળ $x$-અક્ષ પર $4a$ લંબાઈની જીવા કાપે છે,તેથી કેન્દ્ર $(h, k)$ થી $x$-અક્ષનું અંતર $|k|$ છે. જીવાના ગુણધર્મ મુજબ,$r^2 = k^2 + (2a)^2 = k^2 + 4a^2$.
વર્તુળ $y$-અક્ષ પરના બિંદુ $(0, 2b)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી કેન્દ્ર $(h, k)$ થી $(0, 2b)$ નું અંતર $r$ છે. આમ,$r^2 = (h - 0)^2 + (k - 2b)^2 = h^2 + (k - 2b)^2$.
$r^2$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$k^2 + 4a^2 = h^2 + (k - 2b)^2$
$k^2 + 4a^2 = h^2 + k^2 - 4bk + 4b^2$
$h^2 = 4bk - 4b^2 + 4a^2$
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $x^2 = 4b(y - b + a^2/b)$ મળે છે,જે એક પરવલય દર્શાવે છે.

(B) ધારો કે ઉગમબિંદુ $O(0,0)$ થી રેખા $AB$ પરના લંબપાદ $P(h, k)$ છે.
$OP \perp AB$ હોવાથી,$OP$ નો ઢાળ $m_1 = \frac{k}{h}$ છે.
તેથી,$AB$ નો ઢાળ $m_2 = -\frac{h}{k}$ છે.
$P(h, k)$ માંથી પસાર થતી રેખા $AB$ નું સમીકરણ $y - k = -\frac{h}{k}(x - h)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $hx + ky = h^2 + k^2$ થાય છે.
આ રેખાના અક્ષો પરના અંતઃખંડો $A\left(\frac{h^2 + k^2}{h}, 0\right)$ અને $B\left(0, \frac{h^2 + k^2}{k}\right)$ છે.
$AB$ એ $R$ ત્રિજ્યાવાળા વર્તુળની જીવા છે અને $\angle AOB = 90^\circ$ હોવાથી,$AB$ એ વર્તુળનો વ્યાસ છે.
તેથી,લંબાઈ $AB = 2R.$
અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$AB^2 = (2R)^2 = 4R^2.$
$\left(\frac{h^2 + k^2}{h}\right)^2 + \left(\frac{h^2 + k^2}{k}\right)^2 = 4R^2.$
$(h^2 + k^2)^2 \left(\frac{1}{h^2} + \frac{1}{k^2}\right) = 4R^2.$
$(h^2 + k^2)^2 \left(\frac{h^2 + k^2}{h^2k^2}\right) = 4R^2.$
$(h^2 + k^2)^3 = 4R^2h^2k^2.$
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $(x^2 + y^2)^3 = 4R^2x^2y^2$ મળે છે.