Locus Related Problem Questions in Gujarati

(C) ધારો કે બે વર્તુળો $S_1 = 0$ અને $S_2 = 0$ છે.
બિંદુ $P(x, y)$ લો.
$P$ થી $S_1 = 0$ પરના સ્પર્શકની લંબાઈનો વર્ગ $t_1^2 = S_1$ છે.
$P$ થી $S_2 = 0$ પરના સ્પર્શકની લંબાઈનો વર્ગ $t_2^2 = S_2$ છે.
આપેલ છે કે $t_1^2 - t_2^2 = k$,જ્યાં $k$ અચળ છે.
તેથી $S_1 - S_2 = k$ મળે.
આ $x$ અને $y$ માં પ્રથમ ઘાતનું સમીકરણ છે,જે રેડિકલ અક્ષ $S_1 - S_2 = 0$ ને સમાંતર એક સીધી રેખા દર્શાવે છે.

(B) ધારો કે વર્તુળ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ છે. આ વર્તુળ આપેલ બે વર્તુળોને લંબચ્છેદી રીતે છેદે છે.
બે વર્તુળો $x^2 + y^2 + 2g_1x + 2f_1y + c_1 = 0$ અને $x^2 + y^2 + 2g_2x + 2f_2y + c_2 = 0$ લંબચ્છેદી હોય તેની શરત $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1 + c_2$ છે.
આ શરત આપણા વર્તુળ માટે લાગુ પાડતા:
$2gg_1 + 2ff_1 = c + c_1$ .... $(i)$
$2gg_2 + 2ff_2 = c + c_2$ .... $(ii)$
$(i)$ માંથી $(ii)$ બાદ કરતા:
$2g(g_1 - g_2) + 2f(f_1 - f_2) = c_1 - c_2$
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-g, -f)$ છે. ધારો કે કેન્દ્ર $(x, y)$ છે,તેથી $g = -x$ અને $f = -y$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$2(-x)(g_1 - g_2) + 2(-y)(f_1 - f_2) = c_1 - c_2$
$-2x(g_1 - g_2) - 2y(f_1 - f_2) = c_1 - c_2$
$2x(g_1 - g_2) + 2y(f_1 - f_2) + c_1 - c_2 = 0$
આ આપેલ બે વર્તુળોની રેડિકલ અક્ષનું સમીકરણ છે.

(D) ધારો કે વર્તુળ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ $(i)$ છે.
તે $x^2 + y^2 - 20x + 4 = 0$ ને લંબછેદી છે.
લંબછેદની શરત $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1 + c_2$ મુજબ,$2g(-10) + 2f(0) = c + 4$,તેથી $-20g = c + 4$ $(ii)$.
વર્તુળ $(i)$ રેખા $x = 2$ ને સ્પર્શે છે,તેથી કેન્દ્ર $(-g, -f)$ થી રેખા $x - 2 = 0$ નું લંબઅંતર ત્રિજ્યા $\sqrt{g^2 + f^2 - c}$ જેટલું થાય.
$|(-g) - 2| = \sqrt{g^2 + f^2 - c} \Rightarrow (g + 2)^2 = g^2 + f^2 - c$.
$g^2 + 4g + 4 = g^2 + f^2 - c \Rightarrow 4g + 4 = f^2 - c$ $(iii)$.
$(ii)$ અને $(iii)$ નો સરવાળો કરતા,$-20g + 4g + 4 = c + 4 + f^2 - c$.
$-16g + 4 = f^2 + 4 \Rightarrow f^2 = -16g$.
$(-g, -f)$ ને $(x, y)$ તરીકે લેતા,$g = -x$ અને $f = -y$ મળે.
આથી,$(-y)^2 = -16(-x) \Rightarrow y^2 = 16x$.

(C) ધારો કે માંગેલ વર્તુળ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ છે.
આ વર્તુળ $x^2 + y^2 + 4x - 6y + 9 = 0$ ને લંબચ્છેદી હોવાથી,શરત $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1 + c_2$ મુજબ:
$2g(2) + 2f(-3) = c + 9 \Rightarrow 4g - 6f = c + 9$ .....$(i)$
તે $x^2 + y^2 - 4x + 6y + 4 = 0$ ને પણ લંબચ્છેદી હોવાથી:
$2g(-2) + 2f(3) = c + 4 \Rightarrow -4g + 6f = c + 4$ .....$(ii)$
$(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા $0 = 2c + 13$ મળે,તેથી $c = -\frac{13}{2}$.
$(i)$ માંથી $(ii)$ બાદ કરતા $8g - 12f = 5$ મળે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-g, -f)$ છે. ધારો કે બિંદુપથ $(x, y)$ છે,તેથી $x = -g$ અને $y = -f$,એટલે કે $g = -x$ અને $f = -y$.
આ કિંમતો $8g - 12f = 5$ માં મૂકતા $8(-x) - 12(-y) = 5$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $-8x + 12y = 5$ અથવા $8x - 12y + 5 = 0$ થાય છે.

(B) ધારો કે બિંદુ $P$ એ $(x, y)$ છે. વર્તુળ $S = x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ પરના સ્પર્શકની લંબાઈનો વર્ગ $S_1 = x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સ્પર્શકોની લંબાઈના વર્ગોનો ગુણોત્તર $2 : 3$ આપેલ છે:
$\frac{x^2 + y^2 + 2x - 4y - 20}{x^2 + y^2 - 4x + 2y - 44} = \frac{2}{3}$
$3(x^2 + y^2 + 2x - 4y - 20) = 2(x^2 + y^2 - 4x + 2y - 44)$
$3x^2 + 3y^2 + 6x - 12y - 60 = 2x^2 + 2y^2 - 8x + 4y - 88$
$x^2 + y^2 + 14x - 16y + 28 = 0$
આ સમીકરણને વર્તુળના વ્યાપક સમીકરણ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ સાથે સરખાવતા,$2g = 14 \Rightarrow g = 7$ અને $2f = -16 \Rightarrow f = -8$ મળે છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-g, -f) = (-7, 8)$ છે.

(B) ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $(h, k)$ છે અને તેની ત્રિજ્યા $r$ છે.
વર્તુળ $x$-અક્ષને સ્પર્શતું હોવાથી,ત્રિજ્યા $r = |k|$ થાય.
આ વર્તુળ $(0, 3)$ કેન્દ્ર અને $2$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળને પણ સ્પર્શે છે.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર ત્રિજ્યાઓના સરવાળા જેટલું હોય છે: $\sqrt{(h - 0)^2 + (k - 3)^2} = r + 2$.
$r = |k|$ મૂકતા,આપણને મળે: $\sqrt{h^2 + (k - 3)^2} = |k| + 2$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $h^2 + (k - 3)^2 = (|k| + 2)^2$.
$h^2 + k^2 - 6k + 9 = k^2 + 4|k| + 4$.
$h^2 = 4|k| + 6k + 5$.
જો $k > 0$ હોય,તો $h^2 = 10k + 5 = 10(k + 0.5)$,જે પરવલય દર્શાવે છે.
આમ,કેન્દ્ર $(x, y)$ નો બિંદુપથ $x^2 = 10y + 5$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણો $x = \frac{2at}{1 + t^2}$ અને $y = \frac{a(1 - t^2)}{1 + t^2}$ છે.
બંને સમીકરણોનો વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા,આપણને $x^2 + y^2 = a^2$ મળે છે.
આ ઉગમબિંદુ પર કેન્દ્રિત $a$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ દર્શાવે છે.

(B) ધારો કે $A = (a, 0)$,$B = (-a, 0)$,અને $P = (x, y)$.
આપેલ શરત $\frac{PA}{PB} = k$ પરથી,$\frac{PA^2}{PB^2} = k^2$ મળે.
યામ મૂકતા,$\frac{(x - a)^2 + y^2}{(x + a)^2 + y^2} = k^2$.
$(x - a)^2 + y^2 = k^2((x + a)^2 + y^2)$.
$(x^2 - 2ax + a^2 + y^2) = k^2(x^2 + 2ax + a^2 + y^2)$.
$(x^2 + y^2)(1 - k^2) - 2ax(1 + k^2) + a^2(1 - k^2) = 0$.
જો $k = 1$ હોય,તો સમીકરણ $-4ax = 0$ બને છે,જે એક સીધી રેખા (લંબ દ્વિભાજક) દર્શાવે છે,વર્તુળ નહીં.
તેથી,બિંદુઓનો પથ વર્તુળ હોય તે માટે $k$ ની કિંમત $1$ ન હોવી જોઈએ.

(B) ધારો કે વર્તુળ પરનું ચલ બિંદુ $B(x_1, y_1)$ છે. વર્તુળના સમીકરણ મુજબ ${x_1}^2 + {y_1}^2 = 4$.
વિભાજન કરતા બિંદુ $P(h, k)$ માટે વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$h = \frac{3x_1 - 2}{5} \implies x_1 = \frac{5h + 2}{3}$
$k = \frac{3y_1 + 2}{5} \implies y_1 = \frac{5k - 2}{3}$
આ કિંમતો વર્તુળના સમીકરણમાં મૂકતા:
$(\frac{5h + 2}{3})^2 + (\frac{5k - 2}{3})^2 = 4$
$25(h^2 + k^2) + 20(h - k) + 8 = 36$
$25(h^2 + k^2) + 20(h - k) - 28 = 0$
તેથી,બિંદુપથ $25(x^2 + y^2) + 20(x - y) - 28 = 0$ મળે છે.

(D) વર્તુળનું સમીકરણ ${x^2} + {y^2} + 4x - 6y + 9{\sin ^2}\alpha + 13{\cos ^2}\alpha = 0$ છે.
કેન્દ્ર $C(-2, 3)$ અને ત્રિજ્યા $r = 2\sin \alpha$ છે.
ધારો કે $P(h, k)$ એ બિંદુપથ પરનું કોઈ બિંદુ છે. $\triangle PAC$ માં,$\sin \alpha = \frac{r}{PC} = \frac{2\sin \alpha}{\sqrt{(h + 2)^2 + (k - 3)^2}}$.
તેથી,$\sqrt{(h + 2)^2 + (k - 3)^2} = 2$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$(h + 2)^2 + (k - 3)^2 = 4$.
આમ,બિંદુપથનું સમીકરણ ${x^2} + {y^2} + 4x - 6y + 9 = 0$ છે.

(B) ધારો કે બિંદુ $M$ ના યામ $(h, k)$ છે.
આપેલ છે કે $A = (0, 3)$ અને $M = (h, k)$. $M$ એ જીવા $AB$ પર એવી રીતે છે કે $AM = 2AB$,તેથી $B$ એ $AM$ નું મધ્યબિંદુ છે.
આમ,$B$ ના યામ $\left( \frac{h}{2}, \frac{k+3}{2} \right)$ થશે.
$B$ એ વર્તુળ $x^2 + 4x + (y - 3)^2 = 0$ પર હોવાથી,$B$ ના યામ વર્તુળના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\left( \frac{h}{2} \right)^2 + 4\left( \frac{h}{2} \right) + \left( \frac{k+3}{2} - 3 \right)^2 = 0$
$\Rightarrow \frac{h^2}{4} + 2h + \frac{(k-3)^2}{4} = 0$
$4$ વડે ગુણતા,$h^2 + 8h + (k-3)^2 = 0$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $h^2 + k^2 + 8h - 6k + 9 = 0$ થાય છે.
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $x^2 + y^2 + 8x - 6y + 9 = 0$ મળે છે,જે એક વર્તુળ છે.

(A) ધારો કે $(x', y')$ એ જીવાનું મધ્યબિંદુ છે.
વર્તુળ $x^2 + y^2 - 2x = 0$ માટે $(x', y')$ મધ્યબિંદુ ધરાવતી જીવાનું સમીકરણ $T = S_1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$x x' + y y' - (x + x') = x'^2 + y'^2 - 2x'$
આ જીવા ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી આપણે સમીકરણમાં $x = 0$ અને $y = 0$ મૂકીએ છીએ:
$0 + 0 - (0 + x') = x'^2 + y'^2 - 2x'$
$-x' = x'^2 + y'^2 - 2x'$
$x'^2 + y'^2 - x' = 0$
$(x', y')$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $x^2 + y^2 - x = 0$ મળે છે,જે એક વર્તુળ દર્શાવે છે.

(B) ધારો કે ચલ વર્તુળનું સમીકરણ ${x^2} + {y^2} + 2gx + 2fy + c = 0$ છે $... (i)$.
વર્તુળ $(i)$ એ વર્તુળ ${x^2} + {y^2} - 4 = 0$ ને લંબછેદી રીતે કાપે છે,તેથી $2g(0) + 2f(0) = c - 4$,જેનો અર્થ છે કે $c = 4$.
વર્તુળ $(i)$ બિંદુ $(a, b)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી ${a^2} + {b^2} + 2ga + 2fb + 4 = 0$.
કેન્દ્ર $(-g, -f)$ નો બિંદુપથ મેળવવા માટે,$x = -g$ અને $y = -f$ લેતા,$g = -x$ અને $f = -y$ મળે.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા,${a^2} + {b^2} + 2(-x)a + 2(-y)b + 4 = 0$ મળે.
આમ,બિંદુપથ $2ax + 2by - ({a^2} + {b^2} + 4) = 0$ છે.

(C) વર્તુળ ${x^2} + {y^2} = {a^2}$ ના $m$ ઢાળવાળા સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx \pm a\sqrt{1 + {m^2}}$ છે.
જો આ સ્પર્શક બિંદુ $P(h, k)$ માંથી પસાર થાય,તો $(k - mh)^2 = {a^2}(1 + {m^2})$.
આનું સાદું રૂપ આપતા,${m^2}({h^2} - {a^2}) - 2mhk + ({k^2} - {a^2}) = 0$ મળે છે.
અહીં $m = \tan \theta$ હોવાથી,આ દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ ${m_1} = \tan {\theta _1}$ અને ${m_2} = \tan {\theta _2}$ છે.
આપેલ છે કે $\cot {\theta _1} + \cot {\theta _2} = c$,એટલે કે $\frac{1}{{{m_1}}} + \frac{1}{{{m_2}}} = c$,જેનો અર્થ $\frac{{{m_1} + {m_2}}}{{{m_1}{m_2}}} = c$ થાય.
દ્વિઘાત સમીકરણ પરથી,બીજનો સરવાળો ${m_1} + {m_2} = \frac{2hk}{{{h^2} - {a^2}}}$ અને ગુણાકાર ${m_1}{m_2} = \frac{{{k^2} - {a^2}}}{{{h^2} - {a^2}}}$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા,$\frac{2hk}{{{k^2} - {a^2}}} = c$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $c({k^2} - {a^2}) = 2hk$ થાય.
તેથી,$P$ નો બિંદુપથ $c({y^2} - {a^2}) = 2xy$ છે.

(A) ધારો કે ગતિ કરતું બિંદુ $P(h, k)$ છે.
બિંદુ $P(h, k)$ નું બિંદુ $(a, 0)$ થી અંતર $\sqrt{(h - a)^2 + (k - 0)^2}$ છે.
બિંદુ $P(h, k)$ નું $y$-અક્ષ (રેખા $x = 0$) થી અંતર $|h|$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,આ અંતરો સમાન છે:
$\sqrt{(h - a)^2 + k^2} = |h|$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(h - a)^2 + k^2 = h^2$
$h^2 - 2ah + a^2 + k^2 = h^2$
$-2ah + a^2 + k^2 = 0$
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથનું સમીકરણ:
$y^2 - 2ax + a^2 = 0$ મળે છે.

(C) ધારો કે બે નિશ્ચિત સીધી રેખાઓ $x$ અને $y$ અક્ષો છે. ધારો કે સળિયાની લંબાઈ $L = a + b$ છે,જ્યાં $a$ અને $b$ એ બિંદુ $P(h, k)$ દ્વારા વિભાજિત સળિયાના ભાગો છે.
જ્યારે સળિયો $x$-અક્ષ સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવે છે,ત્યારે બિંદુ $P$ ના યામ $h = a \cos \theta$ અને $k = b \sin \theta$ દ્વારા મળે છે.
આના પરથી,$\cos \theta = \frac{h}{a}$ અને $\sin \theta = \frac{k}{b}$ મળે છે.
$\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{h^2}{a^2} + \frac{k^2}{b^2} = 1$.
આ ઉપવલયનું સમીકરણ છે.

(C) ધારો કે આપેલા બે વર્તુળોના કેન્દ્રો $C_1$ અને $C_2$ છે અને ત્રિજ્યાઓ અનુક્રમે $r_1$ અને $r_2$ છે.
ધારો કે $P(x, y)$ કેન્દ્ર અને $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ આ બે વર્તુળોને બહારથી સ્પર્શે છે.
તેથી,અંતર $PC_1 = r + r_1$ અને $PC_2 = r + r_2$ થાય.
આ સમીકરણોની બાદબાકી કરતા,આપણને $PC_1 - PC_2 = (r + r_1) - (r + r_2) = r_1 - r_2$ મળે છે.
અહીં $r_1$ અને $r_2$ અચળ હોવાથી,$PC_1 - PC_2$ એ અચળ છે.
જે બિંદુનું બે નિશ્ચિત બિંદુઓ (નાભિઓ) થી અંતરનો તફાવત અચળ હોય તેવા બિંદુપથને અતિવલય કહેવાય છે.

(C) જો સમીકરણ $f(x, y) = 0$ માં $x$ ને $-x$ અને $y$ ને $-y$ દ્વારા બદલવાથી કોઈ ફેરફાર ન થાય,તો $f(-x, -y) = f(x, y) = 0$ થાય છે.
આ શરત સૂચવે છે કે વક્ર પરના દરેક બિંદુ $(x, y)$ માટે,બિંદુ $(-x, -y)$ પણ વક્ર પર આવેલું છે.
આ ભૌમિતિક ગુણધર્મને ઉગમબિંદુની સાપેક્ષ સંમિતિ અથવા વિરુદ્ધ ચરણોમાં સંમિતિ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.

(B) આપેલ વર્તૂળનું સમીકરણ $(x - 1)^2 + y^2 = 1$ છે,જેનું સાદું રૂપ $x^2 + y^2 - 2x = 0$ થાય છે.
ધારો કે જીવાનું મધ્યબિંદુ $(h, k)$ છે.
મધ્યબિંદુ $(h, k)$ વાળી જીવાનું સમીકરણ $T = S_1$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,$T = xh + yk - (x + h)$ અને $S_1 = h^2 + k^2 - 2h$ છે.
તેથી,જીવાનું સમીકરણ $xh + yk - x - h = h^2 + k^2 - 2h$ થાય.
આ જીવા ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,સમીકરણમાં $x = 0$ અને $y = 0$ મૂકતા:
$0(h) + 0(k) - 0 - h = h^2 + k^2 - 2h$.
$-h = h^2 + k^2 - 2h$.
$h^2 + k^2 = h$.
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથનું સમીકરણ $x^2 + y^2 = x$ મળે છે.

(D) ધારો કે $S = (x, y)$. આપેલ સંબંધ $SQ^2 + SR^2 = 2SP^2$ છે.
અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$((x + 1)^2 + y^2) + ((x - 2)^2 + y^2) = 2((x - 1)^2 + y^2)$
પદોનું વિસ્તરણ કરતા:
$(x^2 + 2x + 1 + y^2) + (x^2 - 4x + 4 + y^2) = 2(x^2 - 2x + 1 + y^2)$
$2x^2 - 2x + 5 + 2y^2 = 2x^2 - 4x + 2 + 2y^2$
બંને બાજુથી $2x^2 + 2y^2$ બાદ કરતા:
$-2x + 5 = -4x + 2$
$2x = -3$
$x = -\frac{3}{2}$
આ $y$-અક્ષને સમાંતર સુરેખા દર્શાવે છે.

(D) ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $(h, k)$ છે અને તેની ત્રિજ્યા $r$ છે. વર્તુળ $X$-અક્ષને સ્પર્શતું હોવાથી,$r = |k|$.
કેન્દ્રો $(h, k)$ અને $(0, 3)$ વચ્ચેનું અંતર $\sqrt{h^2 + (k - 3)^2}$ છે.
વર્તુળો એકબીજાને બહારથી સ્પર્શતા હોવાથી,તેમના કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર તેમની ત્રિજ્યાઓના સરવાળા જેટલું થાય: $\sqrt{h^2 + (k - 3)^2} = |k| + 2$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $h^2 + (k - 3)^2 = (|k| + 2)^2$.
$h^2 + k^2 - 6k + 9 = k^2 + 4|k| + 4$.
$h^2 = 4|k| + 6k - 4$.
જો $k > 0$ હોય,તો $h^2 = 10k - 4 = 10(k - 0.4)$.
આ પરવલય દર્શાવે છે.

(A) વર્તુળના પરસ્પર લંબ સ્પર્શકોના છેદબિંદુના બિંદુપથને ડાયરેક્ટર સર્કલ (પ્રધાન વર્તુળ) કહેવામાં આવે છે.
વર્તુળ $x^2 + y^2 = r^2$ માટે,ડાયરેક્ટર સર્કલનું સમીકરણ $x^2 + y^2 = 2r^2$ છે.
અહીં,આપેલ વર્તુળ $x^2 + y^2 = 8$ છે,તેથી $r^2 = 8$.
ડાયરેક્ટર સર્કલનું સમીકરણ $x^2 + y^2 = 2(8) = 16$ થશે.
આપણને આપેલ છે કે બિંદુ રેખા $x = 3$ પર આવેલું છે.
ડાયરેક્ટર સર્કલના સમીકરણમાં $x = 3$ મૂકતા:
$(3)^2 + y^2 = 16$
$9 + y^2 = 16$
$y^2 = 7$
$y = \pm \sqrt{7}$.
આમ,બિંદુઓ $(3, \sqrt{7})$ અને $(3, -\sqrt{7})$ છે.
આપેલ વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(C) ધારો કે વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ છે.
તે $(1, 2)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $1^2 + 2^2 + 2g(1) + 2f(2) + c = 0$,એટલે કે $2g + 4f + c + 5 = 0$.
વર્તુળ $x^2 + y^2 - 4 = 0$ ને લંબરૂપે છેદતું હોવાથી,શરત $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1 + c_2$ મુજબ $2g(0) + 2f(0) = c - 4$ મળે,એટલે કે $c = 4$.
$c = 4$ ની કિંમત મૂકતા,$2g + 4f + 4 + 5 = 0$,એટલે કે $2g + 4f + 9 = 0$.
કેન્દ્ર $(-g, -f)$ ને $(x, y)$ લેતા,$g = -x$ અને $f = -y$ મળે.
આથી,$2(-x) + 4(-y) + 9 = 0$,એટલે કે $2x + 4y - 9 = 0$ એ માંગેલ બિંદુપથ છે.

(C) ધારો કે બિંદુ $P$ ના યામ $(x, y)$ છે.
આપેલ છે કે $A = (c, 0)$ અને $B = (-c, 0)$.
$PA^{2} = (x - c)^{2} + (y - 0)^{2} = x^{2} - 2cx + c^{2} + y^{2}$.
$PB^{2} = (x + c)^{2} + (y - 0)^{2} = x^{2} + 2cx + c^{2} + y^{2}$.
$AB^{2} = (c - (-c))^{2} + (0 - 0)^{2} = (2c)^{2} = 4c^{2}$.
શરત $PA^{2} + PB^{2} = AB^{2}$ મુજબ:
$(x^{2} - 2cx + c^{2} + y^{2}) + (x^{2} + 2cx + c^{2} + y^{2}) = 4c^{2}$.
$2x^{2} + 2y^{2} + 2c^{2} = 4c^{2}$.
$2x^{2} + 2y^{2} = 2c^{2}$.
$2$ વડે ભાગતા,આપણને $x^{2} + y^{2} = c^{2}$ મળે છે.

(B) વર્તૂળ $x^{2} + y^{2} = 4$ ના કેન્દ્ર આગળ આંતરેલો ખૂણો $= 2 \times 45^{\circ} = 90^{\circ}$ થાય.
ધારો કે જીવા $AB$ નું મધ્યબિંદુ $(h, k)$ છે. જીવા $AB$ નું સમીકરણ $T = S_1$ મુજબ:
$hx + ky - 4 = h^{2} + k^{2} - 4$
$hx + ky = h^{2} + k^{2}$
$\Rightarrow \frac{hx + ky}{h^{2} + k^{2}} = 1$
આ રેખાનો ઉપયોગ કરીને વર્તૂળના સમીકરણ $x^{2} + y^{2} - 4 = 0$ ને સમઘાતી બનાવતા:
$x^{2} + y^{2} - 4 \left( \frac{hx + ky}{h^{2} + k^{2}} \right)^{2} = 0$
આ રેખાઓ $OA$ અને $OB$ નું સંયુક્ત સમીકરણ દર્શાવે છે. કેન્દ્ર આગળનો ખૂણો $90^{\circ}$ હોવાથી,રેખાઓ $OA$ અને $OB$ પરસ્પર લંબ છે.
પરસ્પર લંબ રેખાઓ માટે,$x^{2}$ અને $y^{2}$ ના સહગુણકોનો સરવાળો શૂન્ય થાય:
$(1 - \frac{4h^{2}}{(h^{2} + k^{2})^{2}}) + (1 - \frac{4k^{2}}{(h^{2} + k^{2})^{2}}) = 0$
$2 - \frac{4(h^{2} + k^{2})}{(h^{2} + k^{2})^{2}} = 0$
$2 - \frac{4}{h^{2} + k^{2}} = 0$
$h^{2} + k^{2} = 2$
આમ,બિંદુપથ $x^{2} + y^{2} = 2$ છે.

(A) ધારો કે છેડાઓમાંથી પસાર થતા વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ છે.
$a$ લંબાઈનો સળિયો $x$-અક્ષ પર છે,તેથી $x$-અક્ષ પરના અંતઃખંડની લંબાઈ $2\sqrt{g^2 - c} = a$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $4(g^2 - c) = a^2$.
$b$ લંબાઈનો સળિયો $y$-અક્ષ પર છે,તેથી $y$-અક્ષ પરના અંતઃખંડની લંબાઈ $2\sqrt{f^2 - c} = b$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $4(f^2 - c) = b^2$.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $4(g^2 - f^2) = a^2 - b^2$.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(h, k) = (-g, -f)$ હોવાથી,$g = -h$ અને $f = -k$ મળે.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $4((-h)^2 - (-k)^2) = a^2 - b^2$,જેનું સાદું રૂપ $4(h^2 - k^2) = a^2 - b^2$ થાય.
આમ,કેન્દ્ર $(h, k)$ નો બિંદુપથ $4(x^2 - y^2) = a^2 - b^2$ છે.

(A) ધારો કે બિંદુ $P(x, y)$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$P$ નું $(0, -1)$ થી અંતર એ રેખા $3x + 4y + 1 = 0$ થી તેના અંતર કરતા બમણું છે.
$\sqrt{(x - 0)^2 + (y + 1)^2} = 2 \times \frac{|3x + 4y + 1|}{\sqrt{3^2 + 4^2}}$
$\sqrt{x^2 + (y + 1)^2} = 2 \times \frac{|3x + 4y + 1|}{5}$
$5\sqrt{x^2 + y^2 + 2y + 1} = 2|3x + 4y + 1|$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$25(x^2 + y^2 + 2y + 1) = 4(3x + 4y + 1)^2$
$25(x^2 + y^2 + 2y + 1) = 4(9x^2 + 16y^2 + 1 + 24xy + 6x + 8y)$
$25x^2 + 25y^2 + 50y + 25 = 36x^2 + 64y^2 + 4 + 96xy + 24x + 32y$
પદોને એક બાજુ ગોઠવતા:
$(36 - 25)x^2 + (64 - 25)y^2 + 96xy + 24x + (32 - 50)y + (4 - 25) = 0$
$11x^2 + 39y^2 + 96xy + 24x - 18y - 21 = 0$

(A) ધારો કે $P(h, k)$ એ ચલબિંદુ છે અને $A(-5, 1)$ તથા $B(3, 2)$ એ આપેલા બિંદુઓ છે.
આપેલ શરત મુજબ,$\angle APB = 90^{\circ}$.
આનો અર્થ એ છે કે બિંદુ $P$ એ $AB$ વ્યાસ ધરાવતા વર્તુળ પર આવેલું છે.
વ્યાસના અંત્યબિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ હોય તેવા વર્તુળનું સમીકરણ $(x - x_1)(x - x_2) + (y - y_1)(y - y_2) = 0$ છે.
$A$ અને $B$ ના યામ મૂકતા:
$(x - (-5))(x - 3) + (y - 1)(y - 2) = 0$
$(x + 5)(x - 3) + (y - 1)(y - 2) = 0$
$x^{2} + 2x - 15 + y^{2} - 3y + 2 = 0$
$x^{2} + y^{2} + 2x - 3y - 13 = 0$
આમ,$P(h, k)$ નો બિંદુપથ $x^{2} + y^{2} + 2x - 3y - 13 = 0$ છે.

(A) ધારો કે વ્યાસનું બીજું અંત્યબિંદુ $B(\alpha, \beta)$ છે.
$AB$ ને વ્યાસ તરીકે ધરાવતા વર્તુળનું સમીકરણ:
$(x - p)(x - \alpha) + (y - q)(y - \beta) = 0$
$x^{2} + y^{2} - (p + \alpha)x - (q + \beta)y + p\alpha + q\beta = 0$ ... $(i)$
વર્તુળ $x$-અક્ષને સ્પર્શે છે,તેથી $y = 0$ મૂકતા:
$x^{2} - (p + \alpha)x + (p\alpha + q\beta) = 0$
સ્પર્શક હોવાથી વિવેચક $D = 0$:
$(p + \alpha)^{2} - 4(p\alpha + q\beta) = 0$
$p^{2} + 2p\alpha + \alpha^{2} - 4p\alpha - 4q\beta = 0$
$(p - \alpha)^{2} = 4q\beta$
$(\alpha, \beta)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $(x - p)^{2} = 4qy$ મળે છે.

(D) ધારો કે બિંદુ $P$ ના યામ $(x, y)$ છે.
આપેલ શરત $2PA = 3PB$ મુજબ,બંને બાજુ વર્ગ કરતા $4PA^{2} = 9PB^{2}$ મળે.
અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$PA^{2} = x^{2} + y^{2}$ અને $PB^{2} = (x - 4)^{2} + (y + 3)^{2}$ થાય.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $4(x^{2} + y^{2}) = 9[(x - 4)^{2} + (y + 3)^{2}]$.
પદોનું વિસ્તરણ કરતા: $4x^{2} + 4y^{2} = 9[x^{2} - 8x + 16 + y^{2} + 6y + 9]$.
$4x^{2} + 4y^{2} = 9x^{2} - 72x + 144 + 9y^{2} + 54y + 81$.
બધા પદોને એક બાજુ લાવતા: $5x^{2} + 5y^{2} - 72x + 54y + 225 = 0$.
આમ,બિંદુ $P$ નો બિંદુપથ $5x^{2} + 5y^{2} - 72x + 54y + 225 = 0$ છે.

(D) ધારો કે માંગેલા વર્તૂળનું કેન્દ્ર $C_1 = (h, k)$ છે. તે $y$-અક્ષને સ્પર્શે છે,તેથી તેની ત્રિજ્યા $r_1 = |h|$ છે.
આપેલ વર્તૂળ $x^{2} + y^{2} - 6x - 6y + 14 = 0$ માટે કેન્દ્ર $C_2 = (3, 3)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = \sqrt{3^{2} + 3^{2} - 14} = 2$ છે.
વર્તૂળ બહારથી સ્પર્શે છે,તેથી $C_1 C_2 = r_1 + r_2$.
$\sqrt{(h - 3)^{2} + (k - 3)^{2}} = |h| + 2$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$(h - 3)^{2} + (k - 3)^{2} = (|h| + 2)^{2}$.
$h^{2} - 6h + 9 + k^{2} - 6k + 9 = h^{2} + 4|h| + 4$.
$k^{2} - 6k + 14 = 6h + 4|h|$.
જો $h > 0$ લઈએ,તો $k^{2} - 6k + 14 = 10h$.
તેથી,બિંદુપથ $y^{2} - 10x - 6y + 14 = 0$ મળે છે.

(B) ધારો કે ચલિત વર્તુળનું સમીકરણ $x^{2} + y^{2} + 2gx + 2fy + c = 0$ છે ... $(i)$.
વર્તુળ $(i)$ એ વર્તુળ $x^{2} + y^{2} - 4 = 0$ ને લંબરૂપે છેદે છે,તેથી શરત $2g_{1}g_{2} + 2f_{1}f_{2} = c_{1} + c_{2}$ મુજબ:
અહીં,$g_{2} = 0, f_{2} = 0, c_{2} = -4$.
તેથી,$2g(0) + 2f(0) = c - 4$,જે $c = 4$ આપે છે.
વર્તુળ બિંદુ $(a, b)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $a^{2} + b^{2} + 2ga + 2fb + 4 = 0$.
કેન્દ્ર $(-g, -f)$ નો બિંદુપથ શોધવા માટે,$x = -g$ અને $y = -f$ લેતા,એટલે કે $g = -x$ અને $f = -y$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $a^{2} + b^{2} + 2(-x)a + 2(-y)b + 4 = 0$.
આથી,$a^{2} + b^{2} - 2ax - 2by + 4 = 0$,અથવા $2ax + 2by - (a^{2} + b^{2} + 4) = 0$.

(A) ધારો કે વર્તૂળ $x^2 + y^2 = a^2$ ની જીવા $AB$ નું મધ્યબિંદુ $P(h, k)$ છે.
કેન્દ્ર $(0, 0)$ થી જીવાનું અંતર $d = \sqrt{h^2 + k^2}$ થાય.
કાટકોણ ત્રિકોણની ભૂમિતિ મુજબ,કેન્દ્રથી જીવાનું અંતર $d = a \cos(45^\circ) = \frac{a}{\sqrt{2}}$ થાય.
તેથી,$\sqrt{h^2 + k^2} = \frac{a}{\sqrt{2}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$h^2 + k^2 = \frac{a^2}{2}$.
આથી,$2(h^2 + k^2) = a^2$ અથવા $2(h^2 + k^2) - a^2 = 0$.
તેથી,બિંદુપથ $2(x^2 + y^2) - a^2 = 0$ છે.

(C) ધારો કે $AB$ એ વર્તુળની જીવા છે જે કેન્દ્ર $C(0, 0)$ આગળ $\frac{2\pi}{3}$ માપનો ખૂણો આંતરે છે.
ધારો કે $D$ એ જીવા $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે. તેથી $CD \perp AB$.
$\Delta ACD$ માં,$\angle ACD = \frac{1}{2} \angle ACB = \frac{1}{2} \times \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi}{3}$.
વર્તુળની ત્રિજ્યા $CA = 3$ છે.
ધારો કે મધ્યબિંદુ $D$ ના યામ $(h, k)$ છે. તેથી $CD = \sqrt{h^2 + k^2}$.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\Delta ACD$ માં,$\cos(\angle ACD) = \frac{CD}{CA}$.
$\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{h^2 + k^2}}{3}$.
$\frac{1}{2} = \frac{\sqrt{h^2 + k^2}}{3}$.
$\sqrt{h^2 + k^2} = \frac{3}{2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$h^2 + k^2 = \frac{9}{4}$.
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથનું સમીકરણ $x^2 + y^2 = \frac{9}{4}$ મળે છે.

(C) અતિવલય $\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1$ માટે સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx \pm \sqrt{16m^2 - 9} \dots (i)$ છે.
ધારો કે $(x_1, y_1)$ એ વર્તુળ $x^2 + y^2 = 16$ ની જીવાનું મધ્યબિંદુ છે,તો જીવાનું સમીકરણ $T = S_1$ મુજબ $xx_1 + yy_1 = x_1^2 + y_1^2 \dots (ii)$ થાય.
$(i)$ અને $(ii)$ ની સરખામણી કરતા,$m = -\frac{x_1}{y_1}$ અને $\sqrt{16m^2 - 9} = \frac{x_1^2 + y_1^2}{y_1}$ મળે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$16m^2 - 9 = \frac{(x_1^2 + y_1^2)^2}{y_1^2}$.
$m$ ની કિંમત મૂકતા,$16\left(-\frac{x_1}{y_1}\right)^2 - 9 = \frac{(x_1^2 + y_1^2)^2}{y_1^2}$.
આમ,બિંદુપથ $(x^2 + y^2)^2 = 16x^2 - 9y^2$ મળે છે.

(D) વર્તુળ $x^2 + y^2 + 4x - 6y + 9\sin^2\alpha + 13\cos^2\alpha = 0$ નું કેન્દ્ર $C(-2, 3)$ છે.
તેની ત્રિજ્યા $r = \sqrt{(-2)^2 + (3)^2 - (9\sin^2\alpha + 13\cos^2\alpha)} = \sqrt{4 + 9 - 9\sin^2\alpha - 13\cos^2\alpha} = \sqrt{13 - 9\sin^2\alpha - 13\cos^2\alpha} = \sqrt{13\sin^2\alpha - 9\sin^2\alpha} = \sqrt{4\sin^2\alpha} = 2\sin\alpha$.
ધારો કે $P(h, k)$ એ બિંદુ છે. સ્પર્શકો વચ્ચેનો ખૂણો $2\alpha$ હોવાથી,$PC$ રેખા અને સ્પર્શક વચ્ચેનો ખૂણો $\alpha$ થાય.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle PAC$ માં,$\sin\alpha = \frac{AC}{PC} = \frac{r}{PC}$.
તેથી,$\sin\alpha = \frac{2\sin\alpha}{\sqrt{(h+2)^2 + (k-3)^2}}$.
આથી $\sqrt{(h+2)^2 + (k-3)^2} = 2$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$(h+2)^2 + (k-3)^2 = 4$.
વિસ્તરણ કરતા,$h^2 + 4h + 4 + k^2 - 6k + 9 = 4$.
$h^2 + k^2 + 4h - 6k + 9 = 0$.
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથનું સમીકરણ $x^2 + y^2 + 4x - 6y + 9 = 0$ મળે છે.

(A) ધારો કે ત્રીજું શિરોબિંદુ $P(x, y)$ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણમાં કર્ણના અંત્યબિંદુઓ $(2, 0)$ અને $(0, 2)$ હોવાથી,શિરોબિંદુ $P$ આગળનો ખૂણો $90^{\circ}$ થાય.
$P$ આગળ મળતી બે બાજુઓના ઢાળનો ગુણાકાર $-1$ થાય.
ઢાળ $m_1 = \frac{y - 0}{x - 2} = \frac{y}{x - 2}$.
ઢાળ $m_2 = \frac{y - 2}{x - 0} = \frac{y - 2}{x}$.
$m_1 \times m_2 = -1$ લેતા:
$\frac{y}{x - 2} \times \frac{y - 2}{x} = -1$
$y(y - 2) = -x(x - 2)$
$y^2 - 2y = -x^2 + 2x$
$x^2 + y^2 - 2x - 2y = 0$.

(D) ધારો કે બિંદુ $P(x, y)$ છે.
બિંદુ $P(x, y)$ નું $X$-અક્ષથી અંતર $|y|$ છે.
બિંદુ $P(x, y)$ નું $Y$-અક્ષથી અંતર $|x|$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,આ અંતરોના વર્ગનો સરવાળો $4$ છે.
તેથી,$|x|^2 + |y|^2 = 4$.
આનું સાદું રૂપ $x^2 + y^2 = 4$ થાય છે.

(D) ધારો કે બિંદુ $(h, k)$ છે.
આપેલ ગુણોત્તર $\frac{1}{3}$ છે:
$\frac{\sqrt{(h-1)^2 + k^2}}{\sqrt{(h+1)^2 + k^2}} = \frac{1}{3}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$9((h-1)^2 + k^2) = (h+1)^2 + k^2$
$9(h^2 - 2h + 1 + k^2) = h^2 + 2h + 1 + k^2$
$9h^2 - 18h + 9 + 9k^2 = h^2 + 2h + 1 + k^2$
$8h^2 + 8k^2 - 20h + 8 = 0$
$8$ વડે ભાગતા:
$h^2 + k^2 - \frac{5}{2}h + 1 = 0$
$h$ માટે પૂર્ણવર્ગ બનાવતા:
$(h^2 - \frac{5}{2}h + \frac{25}{16}) + k^2 = \frac{25}{16} - 1$
$(h - \frac{5}{4})^2 + k^2 = \frac{9}{16} = (\frac{3}{4})^2$
આ વર્તુળનું સમીકરણ છે જેનું કેન્દ્ર $(\frac{5}{4}, 0)$ અને ત્રિજ્યા $\frac{3}{4}$ છે.
બિંદુઓ $A, B$ અને $C$ આ વર્તુળ પર આવેલા હોવાથી,ત્રિકોણ $ABC$ આ વર્તુળમાં અંતર્ગત છે.
કોઈપણ વર્તુળમાં અંતર્ગત ત્રિકોણનું પરિકેન્દ્ર તે વર્તુળનું કેન્દ્ર જ હોય છે.
તેથી,પરિકેન્દ્ર $(\frac{5}{4}, 0)$ છે.

(B) આપેલ છે કે બિંદુ $P$ ના યામ $x = \cos \theta + \sin \theta$ અને $y = \sin \theta - \cos \theta$ છે.
બિંદુપથ શોધવા માટે,આપણે $x$ અને $y$ ના પદોનો વર્ગ કરીને સરવાળો કરી પ્રચલ $\theta$ નો લોપ કરીશું:
$x^2 + y^2 = (\cos \theta + \sin \theta)^2 + (\sin \theta - \cos \theta)^2$
વર્ગનું વિસ્તરણ કરતા:
$x^2 + y^2 = (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta + 2 \sin \theta \cos \theta) + (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta - 2 \sin \theta \cos \theta)$
નિત્યસમ $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x^2 + y^2 = (1 + 2 \sin \theta \cos \theta) + (1 - 2 \sin \theta \cos \theta)$
પદનું સાદુરૂપ આપતા:
$x^2 + y^2 = 1 + 1 = 2$
આમ,$P$ નો બિંદુપથ $x^2 + y^2 = 2$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $PF_1 + PF_2 = 2a$ સ્વરૂપનું છે,જ્યાં $P = (x, y)$,$F_1 = (2, -1)$,અને $F_2 = (-2, -4)$ છે.
પ્રથમ,બે નિશ્ચિત બિંદુઓ $F_1$ અને $F_2$ વચ્ચેનું અંતર શોધો:
$d = \sqrt{(2 - (-2))^2 + (-1 - (-4))^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$.
અહીં,બિંદુ $P$ થી બે નિશ્ચિત બિંદુઓ $F_1$ અને $F_2$ ના અંતરનો સરવાળો એ બે નિશ્ચિત બિંદુઓ વચ્ચેના અંતર જેટલો છે $(PF_1 + PF_2 = F_1F_2 = 5)$.
જ્યારે કોઈ બિંદુથી બે નિશ્ચિત બિંદુઓ સુધીના અંતરનો સરવાળો તે બે બિંદુઓ વચ્ચેના અંતર જેટલો હોય,ત્યારે તે બિંદુ $P$ નો બિંદુપથ એ બે નિશ્ચિત બિંદુઓ $F_1$ અને $F_2$ ને જોડતો રેખાખંડ હોય છે.
તેથી,આ સમીકરણ એક રેખાખંડ દર્શાવે છે.

(B) ધારો કે $P = (x, y)$. શરત $PA = nPB$ પરથી $PA^2 = n^2 PB^2$ મળે.
$(x - a)^2 + y^2 = n^2((x + a)^2 + y^2)$.
$x^2 - 2ax + a^2 + y^2 = n^2(x^2 + 2ax + a^2 + y^2)$.
$(n^2 - 1)x^2 + (n^2 - 1)y^2 + 2ax(n^2 + 1) + a^2(n^2 - 1) = 0$.
$(n^2 - 1)$ વડે ભાગતા,$x^2 + y^2 + 2ax \frac{n^2 + 1}{n^2 - 1} + a^2 = 0$ મળે.
આ એક વર્તુળનું સમીકરણ છે જેનું કેન્દ્ર $C = (-a \frac{n^2 + 1}{n^2 - 1}, 0)$ અને ત્રિજ્યા $r = |\frac{2an}{n^2 - 1}|$ છે.
$a < 0$ હોવાથી,$n > 1$ માટે બિંદુ $B$ વર્તુળની અંદર અને $A$ વર્તુળની બહાર આવે છે.

(A) ધારો કે બિંદુ $P$ એ $(h, k)$ છે.
$P(h, k)$ માંથી વર્તુળ $x^2 + y^2 = a^2$ પરના સ્પર્શકોની જોડનું સમીકરણ $SS_1 = T^2$ દ્વારા મળે છે.
$(x^2 + y^2 - a^2)(h^2 + k^2 - a^2) = (xh + yk - a^2)^2$.
આનું વિસ્તરણ કરતા,$x^2$ નો સહગુણક $(h^2 + k^2 - a^2) - h^2 = k^2 - a^2$ મળે છે.
$y^2$ નો સહગુણક $(h^2 + k^2 - a^2) - k^2 = h^2 - a^2$ મળે છે.
સ્પર્શકો પરસ્પર લંબ હોવાથી,$x^2$ અને $y^2$ ના સહગુણકોનો સરવાળો શૂન્ય થવો જોઈએ.
$(k^2 - a^2) + (h^2 - a^2) = 0 \implies h^2 + k^2 = 2a^2$.
જોકે,પ્રશ્ન મુજબ પ્રથમ વર્તુળના સ્પર્શકો બીજા વર્તુળના સ્પર્શકોને લંબ છે,તેથી $P$ નું બિંદુપથ $x^2 + y^2 = a^2 + b^2$ થશે.

(A) ધારો કે સ્પર્શ જીવાનું મધ્યબિંદુ $(h, k)$ છે.
વર્તુળ $x^2 + y^2 = 9$ માટે મધ્યબિંદુ $(h, k)$ વાળી સ્પર્શ જીવાનું સમીકરણ $hx + ky = h^2 + k^2$ છે ... $(1)$.
રેખા $4x - 5y = 20$ પરનું બિંદુ $P(\alpha, \beta)$ લો,જ્યાં $4\alpha - 5\beta = 20$,તેથી $\beta = \frac{4\alpha - 20}{5}$.
બિંદુ $P(\alpha, \beta)$ માંથી વર્તુળ $x^2 + y^2 = 9$ પરની સ્પર્શ જીવાનું સમીકરણ $\alpha x + \beta y = 9$ છે ... $(2)$.
$(1)$ અને $(2)$ ની સરખામણી કરતા,$\frac{h}{\alpha} = \frac{k}{\beta} = \frac{h^2 + k^2}{9}$.
તેથી,$\alpha = \frac{9h}{h^2 + k^2}$ અને $\beta = \frac{9k}{h^2 + k^2}$.
આ કિંમતોને રેખાના સમીકરણ $4\alpha - 5\beta = 20$ માં મૂકતા:
$4\left(\frac{9h}{h^2 + k^2}\right) - 5\left(\frac{9k}{h^2 + k^2}\right) = 20$.
$36h - 45k = 20(h^2 + k^2)$.
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $20(x^2 + y^2) - 36x + 45y = 0$ મળે છે.

(B) ધારો કે બિંદુઓ $A(5, 0)$ અને $B(10 \cos \theta, 10 \sin \theta)$ છે.
વિભાજનના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$AB$ ને $2 : 3$ ગુણોત્તરમાં વિભાજીત કરતા બિંદુ $P(x, y)$ ના યામ:
$x = \frac{2(10 \cos \theta) + 3(5)}{2 + 3} = \frac{20 \cos \theta + 15}{5} = 4 \cos \theta + 3$
$y = \frac{2(10 \sin \theta) + 3(0)}{2 + 3} = \frac{20 \sin \theta}{5} = 4 \sin \theta$
આ સમીકરણો પરથી:
$x - 3 = 4 \cos \theta \implies \cos \theta = \frac{x - 3}{4}$
$y = 4 \sin \theta \implies \sin \theta = \frac{y}{4}$
નિત્યસમ $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(\frac{x - 3}{4})^2 + (\frac{y}{4})^2 = 1$
$(x - 3)^2 + y^2 = 16$
આ $3$ કેન્દ્ર અને $4$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તૂળનું સમીકરણ છે.

(A) ધારો કે બિંદુ $P$ એ $(h, k)$ છે.
સ્પર્શકો પરસ્પર લંબ હોવાથી,તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $90^{\circ}$ છે.
વર્તૂળના બે લંબ સ્પર્શકોના છેદબિંદુના બિંદુપથને ડાયરેક્ટર સર્કલ (નિયામક વર્તૂળ) કહેવામાં આવે છે.
વર્તૂળ $x^2 + y^2 = a^2$ માટે,ત્રિજ્યા $a$ છે અને કેન્દ્ર $(0, 0)$ છે.
કેન્દ્ર $(0, 0)$ થી બિંદુ $P(h, k)$ નું અંતર $\sqrt{h^2 + k^2}$ છે.
કેન્દ્ર,સ્પર્શબિંદુ અને $P$ દ્વારા બનતા કાટકોણ ત્રિકોણમાં,અંતર $PC = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$ થાય.
તેથી,$\sqrt{h^2 + k^2} = a\sqrt{2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$h^2 + k^2 = 2a^2$ મળે.
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથનું સમીકરણ $x^2 + y^2 = 2a^2$ મળે છે.

(B) ધારો કે બિંદુ $P$ ના યામ $(x, y)$ છે.
આપેલ છે કે $PA = nPB$,બંને બાજુ વર્ગ કરતા $PA^2 = n^2 PB^2$ મળે.
યામ મૂકતા,$(x - a)^2 + (y - 0)^2 = n^2 ((x + a)^2 + (y - 0)^2)$ મળે.
પદોનું વિસ્તરણ કરતા: $x^2 - 2ax + a^2 + y^2 = n^2 (x^2 + 2ax + a^2 + y^2)$.
પદોને ગોઠવતા: $x^2(1 - n^2) + y^2(1 - n^2) - 2ax(1 + n^2) + a^2(1 - n^2) = 0$.
કારણ કે $|n| \neq 1$,તેથી $1 - n^2 \neq 0$. $(1 - n^2)$ વડે ભાગતા,$x^2 + y^2 - 2ax \frac{1 + n^2}{1 - n^2} + a^2 = 0$ મળે.
આ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ સ્વરૂપના વર્તૂળનું સમીકરણ છે.

(A) આપેલ વર્તૂળ $x^2 + y^2 + 4x - 2y - 4 = 0$ છે.
$x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ સાથે સરખાવતા,$g = 2, f = -1, c = -4$ મળે.
કેન્દ્ર $C(-g, -f) = (-2, 1)$ અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{g^2 + f^2 - c} = \sqrt{4 + 1 - (-4)} = \sqrt{9} = 3$ છે.
ધારો કે $P(h, k)$ એ બિંદુપથ પરનું બિંદુ છે. સ્પર્શકો વચ્ચેનો ખૂણો $60^{\circ}$ છે,તેથી કેન્દ્ર અને $P$ ને જોડતી રેખા અને ત્રિજ્યા વચ્ચેનો ખૂણો $30^{\circ}$ થાય.
કાટકોણ ત્રિકોણમાં,$\sin(30^{\circ}) = \frac{r}{CP}$.
$\frac{1}{2} = \frac{3}{CP} \implies CP = 6$.
$CP^2 = 36$.
$(h + 2)^2 + (k - 1)^2 = 36$.
$h^2 + 4h + 4 + k^2 - 2k + 1 = 36$.
$h^2 + k^2 + 4h - 2k - 31 = 0$.
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $x^2 + y^2 + 4x - 2y - 31 = 0$ મળે છે.