$x^2 + y^2 - 2x - 6y - 10 = 0$ વર્તુળની જીવાઓ જે ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થાય છે,તેના મધ્યબિંદુઓનો બિંદુપથ શોધો.

દ્વિ-પરિમાણીય યામ સમતલમાં ત્રણ ભિન્ન બિંદુઓ $A, B, C$ આપેલા છે,જેથી દરેક બિંદુનું $(1, 0)$ થી અંતર અને $(-1, 0)$ થી અંતરનો ગુણોત્તર $\frac{1}{2}$ છે. તો ત્રિકોણ $ABC$ નું પરિકેન્દ્ર કયા બિંદુએ હશે?

ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $(\alpha, \beta)$,$\beta > 0$ છે,જે વર્તુળ $x^{2} + (y - 1)^{2} = 1$ ને બહારથી સ્પર્શે છે અને $x$-અક્ષને પણ સ્પર્શે છે,તેનો બિંદુપથ $L$ છે. તો $L$ અને રેખા $y = 4$ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ શોધો.

ગતિશીલ બિંદુ $P$ નો બિંદુપથ શોધો,જેથી $2PA = 3PB$ થાય,જ્યાં $A$ એ $(0,0)$ અને $B$ એ $(4,-3)$ છે.

જો વર્તુળ $S$ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થાય છે અને રેખા $x=2$ પર $4$ એકમ લંબાઈનો અંતઃખંડ બનાવે છે,તો જે વક્ર પર $S$ નું કેન્દ્ર આવેલું છે તેનું સમીકરણ શોધો.

જો એક વર્તુળ બિંદુ $(a, b)$ માંથી પસાર થાય અને વર્તુળ $x^{2} + y^{2} = 4$ ને લંબરૂપે છેદે,તો તેના કેન્દ્રનો બિંદુપથ શોધો: