Geometrical problems regarding circle and its properties Questions in Hindi

(D) वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 + 10x + 12y + c = 0$ है।
केंद्र $(-5, -6)$ है और त्रिज्या $R = \sqrt{(-5)^2 + (-6)^2 - c} = \sqrt{25 + 36 - c} = \sqrt{61 - c}$ है।
वृत्त में अंतर्निहित समबाहु त्रिभुज के लिए,भुजा की लंबाई $a = R\sqrt{3}$ होती है।
समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} (R\sqrt{3})^2 = \frac{3\sqrt{3}}{4} R^2$ है।
दिया गया क्षेत्रफल $27\sqrt{3}$ है,इसलिए $\frac{3\sqrt{3}}{4} R^2 = 27\sqrt{3}$।
$R^2 = 27 \times \frac{4}{3} = 36$।
चूँकि $R^2 = 61 - c$,इसलिए $61 - c = 36$।
अतः,$c = 61 - 36 = 25$।

(C) वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 - 6x + 8y - 103 = 0$ है।
केंद्र $(3, -4)$ और त्रिज्या $r = \sqrt{9 + 16 + 103} = \sqrt{128} = 8\sqrt{2}$ है।
वर्ग के शीर्ष $(3 \pm 8, -4 \pm 8)$ अर्थात $(11, 4), (11, -12), (-5, 4), (-5, -12)$ हैं।
मूल बिंदु $(0, 0)$ से इन शीर्षों की दूरियाँ:
$\sqrt{11^2 + 4^2} = \sqrt{137}$
$\sqrt{11^2 + (-12)^2} = \sqrt{265}$
$\sqrt{(-5)^2 + 4^2} = \sqrt{41}$
$\sqrt{(-5)^2 + (-12)^2} = 13$
न्यूनतम दूरी $\sqrt{41}$ है।

(B) माना दो वृत्तों के केंद्र $A$ और $B$ हैं। समान त्रिज्या होने के कारण,माना त्रिज्या $r$ है। वृत्त $D(0, 1)$ और $E(0, -1)$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।
माना पहले वृत्त का केंद्र $A(-h, 0)$ और दूसरे का $B(h, 0)$ है।
वृत्त $A(-h, 0)$ का समीकरण $(x+h)^2 + y^2 = r^2$ है। चूँकि यह $(0, 1)$ से गुजरता है,इसलिए $h^2 + 1 = r^2$ प्राप्त होता है।
$(0, 1)$ पर स्पर्श रेखा $AD$ के लंबवत है। $AD$ की ढाल $\frac{1}{h}$ है,इसलिए स्पर्श रेखा की ढाल $-h$ है।
स्पर्श रेखा का समीकरण $y - 1 = -h(x - 0)$ अर्थात $y = -hx + 1$ है।
यह रेखा दूसरे वृत्त के केंद्र $B(h, 0)$ से गुजरती है,इसलिए $0 = -h(h) + 1$,जिससे $h^2 = 1$,अर्थात $h = 1$ प्राप्त होता है।
केंद्रों $A(-1, 0)$ और $B(1, 0)$ के बीच की दूरी $1 - (-1) = 2$ है।

(D) वृत्त $x^2 + y^2 = 16$ है,इसलिए इसकी त्रिज्या $r = 4$ है। केंद्र $(0, 0)$ से रेखा $x + y - n = 0$ की दूरी $p = \frac{|0 + 0 - n|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{n}{\sqrt{2}}$ है।
जीवा के अस्तित्व के लिए $p < r$ होना चाहिए,इसलिए $\frac{n}{\sqrt{2}} < 4$,जिसका अर्थ है $n < 4\sqrt{2} \approx 5.65$। चूंकि $n \in N$,इसलिए $n \in \{1, 2, 3, 4, 5\}$।
जीवा की लंबाई $L = 2\sqrt{r^2 - p^2} = 2\sqrt{16 - \frac{n^2}{2}} = \sqrt{64 - 2n^2}$ है।
लंबाई का वर्ग $L^2 = 64 - 2n^2$ है।
$n = 1$ के लिए,$L^2 = 64 - 2(1) = 62$।
$n = 2$ के लिए,$L^2 = 64 - 2(4) = 56$।
$n = 3$ के लिए,$L^2 = 64 - 2(9) = 46$।
$n = 4$ के लिए,$L^2 = 64 - 2(16) = 32$।
$n = 5$ के लिए,$L^2 = 64 - 2(25) = 14$।
वर्गों का योग $62 + 56 + 46 + 32 + 14 = 210$ है।

(B) माना आयत के शीर्ष $A(-8, 5)$ और $B(6, 5)$ हैं। चूँकि $AB$ आयत की एक भुजा है,$AB$ की लंबाई $= |6 - (-8)| = 14$ है।
माना अन्य दो शीर्ष $D(-8, k)$ और $C(6, k)$ हैं।
वृत्त का केंद्र विकर्ण $AC$ (या $BD$) का मध्यबिंदु है।
$AC$ का मध्यबिंदु $= \left( \frac{-8 + 6}{2}, \frac{5 + k}{2} \right) = \left( -1, \frac{5 + k}{2} \right)$ है।
चूँकि केंद्र व्यास $3y = x + 7$ पर स्थित है,हम निर्देशांकों को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$3\left( \frac{5 + k}{2} \right) = -1 + 7$
$3\left( \frac{5 + k}{2} \right) = 6$
$\frac{5 + k}{2} = 2$
$5 + k = 4$
$k = -1$ है।
भुजा $BC$ की लंबाई $= |5 - (-1)| = 6$ है।
आयत का क्षेत्रफल $= AB \times BC = 14 \times 6 = 84 \text{ sq. units}$।

(C) माना वृत्त का केंद्र $(3, r)$ या $(3, -r)$ है और त्रिज्या $r$ है।
चूंकि वृत्त $x-$ अक्ष को $(3, 0)$ पर स्पर्श करता है,इसका समीकरण $(x - 3)^2 + (y - r)^2 = r^2$ या $(x - 3)^2 + (y + r)^2 = r^2$ होगा।
इसका विस्तार करने पर,$x^2 - 6x + 9 + y^2 \mp 2ry + r^2 = r^2$,जो सरल होकर $x^2 + y^2 - 6x \mp 2ry + 9 = 0$ बनता है।
$y-$ अंतःखंड $2\sqrt{f^2 - c}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $f = \mp r$ और $c = 9$ है।
अंतःखंड की लंबाई $8$ दी गई है,इसलिए $2\sqrt{r^2 - 9} = 8$ है।
$\sqrt{r^2 - 9} = 4 \implies r^2 - 9 = 16 \implies r^2 = 25 \implies r = 5$ है।
वृत्तों के समीकरण $x^2 + y^2 - 6x + 10y + 9 = 0$ और $x^2 + y^2 - 6x - 10y + 9 = 0$ हैं।
दूसरे समीकरण में बिंदु $(3, 10)$ की जाँच करने पर: $(3)^2 + (10)^2 - 6(3) - 10(10) + 9 = 9 + 100 - 18 - 100 + 9 = 0$ है।
अतः,वृत्त $(3, 10)$ से होकर गुजरता है।

(A) दिया है: चाप की लंबाई $l = 37.4 \, cm$ और केंद्रीय कोण $\theta = 60^{\circ}$।
सबसे पहले, कोण को डिग्री से रेडियन में बदलें: $\theta = 60 \times \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{3} \, \text{रेडियन}$।
चाप की लंबाई के सूत्र $l = r\theta$ का उपयोग करते हुए, जहाँ $r$ त्रिज्या है, हमें प्राप्त होता है $r = \frac{l}{\theta}$।
मान रखने पर: $r = \frac{37.4}{\pi / 3} = \frac{37.4 \times 3}{\pi}$।
$\pi = \frac{22}{7}$ का उपयोग करने पर, $r = \frac{37.4 \times 3 \times 7}{22}$।
$r = \frac{112.2 \times 7}{22} = \frac{785.4}{22} = 35.7 \, cm$।

(A) मिनट की सुई की लंबाई वृत्ताकार पथ की त्रिज्या है,$r = 1.5 \, \text{cm}$।
$60$ मिनट में,मिनट की सुई एक पूर्ण चक्कर ($360^\circ$ या $2\pi$ रेडियन) पूरा करती है।
$40$ मिनट में,तय किया गया चक्कर का भाग $\frac{40}{60} = \frac{2}{3}$ है।
इसलिए,केंद्र पर बना कोण $\theta = \frac{2}{3} \times 2\pi = \frac{4\pi}{3}$ रेडियन है।
सिरे द्वारा तय की गई दूरी $l$ चाप की लंबाई के सूत्र $l = r\theta$ द्वारा दी जाती है।
$l = 1.5 \times \frac{4\pi}{3} = 0.5 \times 4\pi = 2\pi \, \text{cm}$।
$\pi = 3.14$ का उपयोग करने पर,हमें $l = 2 \times 3.14 = 6.28 \, \text{cm}$ प्राप्त होता है।

(A) वृत्त का व्यास $= 40 \, cm$ है।
वृत्त की त्रिज्या $(r) = \frac{40}{2} \, cm = 20 \, cm$ है।
माना $O$ केंद्र वाले वृत्त में $AB$ एक जीवा है जिसकी लंबाई $20 \, cm$ है।
$\Delta OAB$ में,$OA = OB = r = 20 \, cm$ और $AB = 20 \, cm$ है।
चूंकि सभी भुजाएं समान हैं,इसलिए $\Delta OAB$ एक समबाहु त्रिभुज है।
अतः,केंद्र पर बना कोण $\theta = 60^{\circ} = \frac{\pi}{3}$ रेडियन है।
चाप की लंबाई $(l)$ का सूत्र $l = r \theta$ होता है।
$l = 20 \times \frac{\pi}{3} = \frac{20 \pi}{3} \, cm$ है।
अतः,लघु चाप की लंबाई $\frac{20 \pi}{3} \, cm$ है।

(B) माना दो वृत्तों की त्रिज्याएँ $r_{1}$ और $r_{2}$ हैं।
माना $l$ लंबाई का एक चाप $r_{1}$ त्रिज्या वाले वृत्त के केंद्र पर $60^{\circ}$ का कोण अंतरित करता है और समान लंबाई $l$ का चाप $r_{2}$ त्रिज्या वाले वृत्त के केंद्र पर $75^{\circ}$ का कोण अंतरित करता है।
हम जानते हैं कि $l = r \theta$,जहाँ $\theta$ रेडियन में है।
कोणों को रेडियन में बदलने पर:
$60^{\circ} = \frac{\pi}{3} \text{ रेडियन}$.
$75^{\circ} = \frac{5\pi}{12} \text{ रेडियन}$.
चूँकि चाप की लंबाई समान है,$l = r_{1} \times \frac{\pi}{3} = r_{2} \times \frac{5\pi}{12}$.
दोनों पक्षों को $\pi$ से विभाजित करने पर,$\frac{r_{1}}{3} = \frac{5r_{2}}{12}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{r_{1}}{r_{2}} = \frac{5 \times 3}{12} = \frac{5}{4}$.
उनकी त्रिज्याओं का अनुपात $5: 4$ है।

(A) दिए गए वृत्त का समीकरण $x^{2}+y^{2}=25$ है।
यह $(x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}$ के रूप में है,जहाँ केंद्र $(h, k) = (0, 0)$ और त्रिज्या $r = \sqrt{25} = 5$ है।
बिंदु $P(-2.5, 3.5)$ की केंद्र $(0, 0)$ से दूरी $d$ ज्ञात करने पर:
$d = \sqrt{(-2.5 - 0)^{2} + (3.5 - 0)^{2}}$
$d = \sqrt{6.25 + 12.25}$
$d = \sqrt{18.5} \approx 4.3$.
चूँकि $d \approx 4.3 < 5$ (त्रिज्या),बिंदु की केंद्र से दूरी त्रिज्या से कम है।
अतः,बिंदु $(-2.5, 3.5)$ वृत्त के अंदर स्थित है।

(B) दिया गया कथन $p$ असत्य है।
वृत्त की जीवा को एक ऐसे रेखाखंड के रूप में परिभाषित किया जाता है जिसके दोनों सिरे वृत्त पर स्थित हों।
त्रिज्या एक ऐसा रेखाखंड है जो वृत्त के केंद्र को वृत्त पर स्थित किसी बिंदु से जोड़ता है।
चूंकि त्रिज्या के दोनों सिरे वृत्त पर नहीं होते हैं (एक सिरा केंद्र होता है),इसलिए यह जीवा की परिभाषा को संतुष्ट नहीं करती है।

(B) दिया गया कथन $q$ असत्य है।
यदि जीवा वृत्त का व्यास नहीं है,तो केंद्र उस जीवा को समद्विभाजित नहीं करेगा।
दूसरे शब्दों में,वृत्त का केंद्र किसी जीवा को केवल तभी समद्विभाजित करता है यदि वह जीवा वृत्त का व्यास हो।

(A) दिया गया वृत्त $x^{2} + y^{2} - 2x - 4y + 4 = 0$ है।
पूर्ण वर्ग बनाने पर,$(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,केंद्र $(1, 2)$ है और त्रिज्या $r = 1$ है।
रेखा $3x + 4y - k = 0$ के वृत्त को दो भिन्न बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करने के लिए,केंद्र से रेखा की लंबवत दूरी त्रिज्या से कम होनी चाहिए।
दूरी $d = \frac{|3(1) + 4(2) - k|}{\sqrt{3^{2} + 4^{2}}} < 1$.
$\frac{|11 - k|}{5} < 1$.
$|11 - k| < 5$.
$-5 < 11 - k < 5$.
$-16 < -k < -6$.
$6 < k < 16$.
$k$ के पूर्णांक मान $7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15$ हैं।
ऐसे मानों की कुल संख्या $9$ है।

(C) माना वृत्त का केंद्र $(\alpha, 2-\alpha)$ है क्योंकि यह रेखा $x+y=2$ पर स्थित है।
चूंकि वृत्त प्रथम चतुर्थांश में है,$\alpha > 0$ और $2-\alpha > 0$,जिसका अर्थ है $0 < \alpha < 2$।
वृत्त रेखाओं $x=3$ और $y=2$ को स्पर्श करता है। त्रिज्या $r$ केंद्र से इन रेखाओं की दूरी है:
$r = |3-\alpha| = |2-(2-\alpha)| = |\alpha|$।
चूंकि $0 < \alpha < 2$,इसलिए $|3-\alpha| = 3-\alpha$ और $|\alpha| = \alpha$ होगा।
त्रिज्या के लिए दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर:
$3-\alpha = \alpha$
$2\alpha = 3$
$\alpha = \frac{3}{2}$।
त्रिज्या $r = \alpha = \frac{3}{2}$।
वृत्त का व्यास $2r = 2 \times \frac{3}{2} = 3$ है।

(B) मान लीजिए $P$ के निर्देशांक $(3 \cos \theta, 3 \sin \theta)$ हैं।
चूंकि $PQ$ एक व्यास है,इसलिए $Q$ के निर्देशांक $(-3 \cos \theta, -3 \sin \theta)$ होंगे।
बिंदु $(x_1, y_1)$ से रेखा $Ax+By+C=0$ पर लंब की लंबाई $\frac{|Ax_1+By_1+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$ द्वारा दी जाती है।
रेखा $x+y-2=0$ के लिए,लंब की लंबाइयाँ हैं:
$\alpha = \frac{|3 \cos \theta + 3 \sin \theta - 2|}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{|3(\cos \theta + \sin \theta) - 2|}{\sqrt{2}}$
$\beta = \frac{|-3 \cos \theta - 3 \sin \theta - 2|}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{|-(3(\cos \theta + \sin \theta) + 2)|}{\sqrt{2}} = \frac{|3(\cos \theta + \sin \theta) + 2|}{\sqrt{2}}$
अतः,$\alpha \beta = \frac{|(3(\cos \theta + \sin \theta) - 2)(3(\cos \theta + \sin \theta) + 2)|}{2} = \frac{|9(\cos \theta + \sin \theta)^2 - 4|}{2}$
$(\cos \theta + \sin \theta)^2 = 1 + \sin 2\theta$ का उपयोग करने पर:
$\alpha \beta = \frac{|9(1 + \sin 2\theta) - 4|}{2} = \frac{|9 + 9 \sin 2\theta - 4|}{2} = \frac{|5 + 9 \sin 2\theta|}{2}$
चूंकि $\sin 2\theta$ का अधिकतम मान $1$ है,इसलिए $\alpha \beta$ का अधिकतम मान $\frac{5 + 9(1)}{2} = \frac{14}{2} = 7$ है।

(B) वृत्त का समीकरण $x^{2}+y^{2}=r^{2}$ है,जिसका केंद्र $O(0,0)$ और त्रिज्या $r$ है।
माना जीवा $AB$ की लंबाई $AB=r$ है।
माना $M$ जीवा $AB$ का मध्य बिंदु है। अतः $OM \perp AB$.
समकोण त्रिभुज $\Delta OAM$ में,$OA=r$ (त्रिज्या) और $AM = \frac{AB}{2} = \frac{r}{2}$ है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$OM^{2} = OA^{2} - AM^{2} = r^{2} - (\frac{r}{2})^{2} = \frac{3r^{2}}{4}$ है।
अतः,$OM = \frac{r\sqrt{3}}{2}$ है।
केंद्र $(0,0)$ से रेखा $2x-y+3=0$ की लंबवत दूरी $d = \frac{|2(0) - (0) + 3|}{\sqrt{2^{2} + (-1)^{2}}} = \frac{3}{\sqrt{5}}$ है।
$OM = d$ रखने पर,$\frac{r\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{\sqrt{5}}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\frac{3r^{2}}{4} = \frac{9}{5}$ है।
अतः,$r^{2} = \frac{9}{5} \times \frac{4}{3} = \frac{12}{5}$ है।

(B) प्रथम वृत्त $x^{2}+y^{2}-10x-10y+41=0$ के लिए:
केंद्र $C_{1} = (5, 5)$,त्रिज्या $r_{1} = 3$.
दूसरे वृत्त $x^{2}+y^{2}-16x-10y+80=0$ के लिए:
केंद्र $C_{2} = (8, 5)$,त्रिज्या $r_{2} = 3$.
केंद्रों के बीच की दूरी $d = 3$ है।
चूंकि $d = r_{1} = r_{2} = 3$,इसलिए प्रत्येक वृत्त दूसरे के केंद्र से होकर गुजरता है।
अतः,कथन $B$ गलत है क्योंकि केंद्र एक-दूसरे की परिधि पर स्थित हैं,अंदर नहीं।

(C) प्रथम वृत्त $x^{2}+y^{2}-10x-10y+41=0$ के लिए:
केंद्र $A = (5, 5)$,त्रिज्या $R_{1} = \sqrt{5^{2}+5^{2}-41} = \sqrt{9} = 3$.
द्वितीय वृत्त $x^{2}+y^{2}-22x-10y+137=0$ के लिए:
केंद्र $B = (11, 5)$,त्रिज्या $R_{2} = \sqrt{11^{2}+5^{2}-137} = \sqrt{9} = 3$.
केंद्रों के बीच की दूरी $AB = \sqrt{(11-5)^{2}+(5-5)^{2}} = 6$.
चूंकि $AB = R_{1} + R_{2} = 3 + 3 = 6$,वृत्त एक-दूसरे को बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं।
अतः,वृत्तों का केवल एक उभयनिष्ठ बिंदु है।

(B) वृत्तों के केंद्र इस प्रकार हैं:
वृत्त $M: (0, 0)$
वृत्त $N: (1, 0)$
वृत्त $O: (1, 1)$
वृत्त $P: (0, 1)$
भुजाओं की लंबाई:
$MN = 1, NO = 1, OP = 1, PM = 1$
चूंकि सभी भुजाएँ समान हैं और आसन्न भुजाएँ लंबवत हैं,इसलिए यह आकृति एक वर्ग है।

(B) मान लीजिए $PA = AQ = \lambda$ है।
चूंकि $PQ \perp OB$ है,वृत्त में प्रतिच्छेदित जीवाओं के गुणधर्म के अनुसार,$OA \cdot AB = PA \cdot AQ$ होता है।
दिया गया है $OA = 1$ और $OB = 13$,इसलिए $AB = OB - OA = 13 - 1 = 12$ है।
मान रखने पर,$1 \cdot 12 = \lambda \cdot \lambda$ प्राप्त होता है।
$\lambda^2 = 12 \Rightarrow \lambda = \sqrt{12} = 2 \sqrt{3}$ है।
$\Delta PQB$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times PQ \times AB$ है।
चूंकि $PQ = PA + AQ = \lambda + \lambda = 2\lambda = 4 \sqrt{3}$ है,
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times (4 \sqrt{3}) \times 12 = 2 \sqrt{3} \times 12 = 24 \sqrt{3}$ वर्ग इकाई।

(A) मान लीजिए $P$ वृत्त $(x-1)^{2} + (y-1)^{2} = 1$ पर एक बिंदु है।
हम $P$ को $(1 + \cos \theta, 1 + \sin \theta)$ के रूप में लिख सकते हैं।
दिए गए $A(1, 4)$ और $B(1, -5)$ के लिए,$(PA)^{2} + (PB)^{2}$ की गणना करते हैं:
$(PA)^{2} = (1 + \cos \theta - 1)^{2} + (1 + \sin \theta - 4)^{2} = 10 - 6 \sin \theta$.
$(PB)^{2} = (1 + \cos \theta - 1)^{2} + (1 + \sin \theta + 5)^{2} = 37 + 12 \sin \theta$.
योग करने पर,$(PA)^{2} + (PB)^{2} = 47 + 6 \sin \theta$.
यह व्यंजक तब अधिकतम होता है जब $\sin \theta = 1$ हो।
$\sin \theta = 1$ के लिए,$\cos \theta = 0$,अतः $P = (1, 2)$ है।
बिंदु $P(1, 2)$,$A(1, 4)$ और $B(1, -5)$ हैं।
चूंकि सभी बिंदुओं का $x$-निर्देशांक $1$ है,वे सभी रेखा $x = 1$ पर स्थित हैं,जो एक सीधी रेखा है।

(D) चूंकि वक्र के सभी बिंदुओं पर अभिलंब एक निश्चित बिंदु $(a, b)$ से होकर गुजरते हैं,इसलिए वक्र एक वृत्त होना चाहिए जिसका केंद्र $(a, b)$ है।
वृत्त पर स्थित बिंदु $A(3, -3)$ और $B(4, -2\sqrt{2})$ हैं।
चूंकि $A$ और $B$ वृत्त पर स्थित हैं,इसलिए केंद्र $C(a, b)$ से उनकी दूरी त्रिज्या $r$ के बराबर है।
अतः,$CA^{2} = CB^{2}$.
$(a - 3)^{2} + (b + 3)^{2} = (a - 4)^{2} + (b + 2\sqrt{2})^{2}$
$a^{2} - 6a + 9 + b^{2} + 6b + 9 = a^{2} - 8a + 16 + b^{2} + 4\sqrt{2}b + 8$
$-6a + 6b + 18 = -8a + 4\sqrt{2}b + 24$
$2a + (6 - 4\sqrt{2})b = 6$
$2$ से विभाजित करने पर,$a + (3 - 2\sqrt{2})b = 3$ प्राप्त होता है।
$a + 3b - 2\sqrt{2}b = 3$
$a - 2\sqrt{2}b + 3b = 3 \quad ... (1)$
दिया गया है कि $a - 2\sqrt{2}b = 3 \quad ... (2)$
$(2)$ को $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर,$3 + 3b = 3$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $3b = 0$,इसलिए $b = 0$.
$b = 0$ को $(2)$ में रखने पर,$a - 2\sqrt{2}(0) = 3$,इसलिए $a = 3$.
अतः,$a^{2} + b^{2} + ab = (3)^{2} + (0)^{2} + (3)(0) = 9 + 0 + 0 = 9$.

(A) उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा $4x + 3y = 10$ है। इसकी ढाल $m = -\frac{4}{3}$ है।
चूंकि केंद्रों को जोड़ने वाली रेखा स्पर्श बिंदु $(1, 2)$ पर स्पर्शरेखा के लंबवत होती है,इसलिए केंद्रों को जोड़ने वाली रेखा की ढाल $m' = -\frac{1}{m} = \frac{3}{4}$ है।
मान लीजिए कि यह रेखा $x$-अक्ष के साथ $\theta$ कोण बनाती है,तो $\tan \theta = \frac{3}{4}$ है।
इसका अर्थ है $\sin \theta = \frac{3}{5}$ और $\cos \theta = \frac{4}{5}$ है।
केंद्र $C_{1}$ और $C_{2}$ इस रेखा पर $(1, 2)$ से $5 \text{ units}$ की दूरी पर स्थित हैं।
रेखा के प्राचलिक रूप का उपयोग करते हुए,केंद्रों के निर्देशांक $(x, y) = (1 \pm 5 \cos \theta, 2 \pm 5 \sin \theta)$ हैं।
$(x, y) = (1 \pm 5(\frac{4}{5}), 2 \pm 5(\frac{3}{5})) = (1 \pm 4, 2 \pm 3)$।
अतः,केंद्र $(1 + 4, 2 + 3) = (5, 5)$ और $(1 - 4, 2 - 3) = (-3, -1)$ हैं।
इसलिए,$(\alpha, \beta) = (5, 5)$ और $(\gamma, \delta) = (-3, -1)$ हैं।
तब,$|(\alpha + \beta)(\gamma + \delta)| = |(5 + 5)(-3 - 1)| = |(10)(-4)| = |-40| = 40$।

(A) वृत्त का समीकरण $x^{2}+y^{2}-2x+4y+1=0$ है। केंद्र $B(1, -2)$ और त्रिज्या $r=2$ है।
$AB = \sqrt{(3-1)^{2} + (1-(-2))^{2}} = \sqrt{13}$.
समकोण $\triangle ABP$ में,$AP = \sqrt{AB^{2} - BP^{2}} = \sqrt{13-4} = 3$.
$AR = \frac{AP^{2}}{AB} = \frac{9}{\sqrt{13}}$ और $BR = \frac{BP^{2}}{AB} = \frac{4}{\sqrt{13}}$.
क्षेत्रफल का अनुपात $\frac{\text{Area } \triangle APQ}{\text{Area } \triangle BPQ} = \frac{AR}{BR} = \frac{9/\sqrt{13}}{4/\sqrt{13}} = \frac{9}{4}$.
अतः,$8 \times \frac{9}{4} = 18$.

(A) वृत्त का केंद्र $C(2,3)$ है और यह मूल बिंदु $O(0,0)$ से होकर गुजरता है। त्रिज्या $r = OC = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13}$ है।
$OC$ की ढाल $m_{OC} = \frac{3}{2}$ है।
चूंकि $CP \perp OC$ और $CQ \perp OC$,रेखा $PQ$,$OC$ पर लंबवत है। रेखा $PQ$ की ढाल $m = -\frac{2}{3}$ है।
$C(2,3)$ से गुजरने वाली और $m = -\frac{2}{3}$ ढाल वाली रेखा के प्राचलिक रूप का उपयोग करते हुए,$P$ और $Q$ के निर्देशांक $(2 \pm r \cos \theta, 3 \pm r \sin \theta)$ प्राप्त होते हैं।
$r = \sqrt{13}$,$\cos \theta = \frac{3}{\sqrt{13}}$,और $\sin \theta = -\frac{2}{\sqrt{13}}$ रखने पर:
$x = 2 \pm 3 = 5$ या $-1$.
$y = 3 \mp 2 = 1$ या $5$.
अतः,बिंदु $(5, 1)$ और $(-1, 5)$ हैं।

(C) वृत्त का समीकरण $(x-1)^{2}+(y-3)^{2}=2^{2}$ है। केंद्र $C(1, 3)$ और त्रिज्या $r=2$ है।
बिंदु $P(-1, 1)$ से स्पर्श रेखाएँ $A(1, 1)$ और $B(-1, 3)$ पर स्पर्श करती हैं।
जीवा $AB$ की लंबाई $\sqrt{(1 - (-1))^{2} + (1 - 3)^{2}} = 2\sqrt{2}$ है।
दिया गया है कि $AD = AB = 2\sqrt{2}$ है।
समान लंबाई की जीवाएँ केंद्र से समान दूरी पर होती हैं। $\triangle ABD$ का क्षेत्रफल $4$ वर्ग इकाई प्राप्त होता है।

(B) माना वृत्त का केंद्र $(h, k)$ है। चूँकि वृत्त $y$-अक्ष को $(0, 6)$ पर स्पर्श करता है,केंद्र का $y$-निर्देशांक $k = 6$ है और त्रिज्या $r = |h|$ है।
अतः,वृत्त का समीकरण $(x - h)^{2} + (y - 6)^{2} = h^{2}$ है।
यह वृत्त $x$-अक्ष पर $6 \sqrt{5}$ का अंतःखंड काटता है। समीकरण में $y = 0$ रखने पर,$(x - h)^{2} + (0 - 6)^{2} = h^{2}$ प्राप्त होता है,जो $(x - h)^{2} + 36 = h^{2}$ या $(x - h)^{2} = h^{2} - 36$ में सरल हो जाता है।
वर्गमूल लेने पर,$x - h = \pm \sqrt{h^{2} - 36}$,इसलिए $x = h \pm \sqrt{h^{2} - 36}$।
$x$-अक्ष पर अंतःखंड की लंबाई इन दो $x$-मानों के बीच का अंतर है: $(h + \sqrt{h^{2} - 36}) - (h - \sqrt{h^{2} - 36}) = 2 \sqrt{h^{2} - 36}$।
दिया गया है कि अंतःखंड $6 \sqrt{5}$ है,इसलिए $2 \sqrt{h^{2} - 36} = 6 \sqrt{5}$,अर्थात $\sqrt{h^{2} - 36} = 3 \sqrt{5}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$h^{2} - 36 = 9 \times 5 = 45$,इसलिए $h^{2} = 81$,जिसका अर्थ है $h = \pm 9$।
चूँकि त्रिज्या $r = |h|$ है,वृत्त की त्रिज्या $r = 9$ है।

(D) चूंकि वृत्त $x$-अक्ष को $(1, 0)$ पर स्पर्श करता है,वृत्त का केंद्र $(h, k) = (1, r)$ है और त्रिज्या $r$ है।
केंद्र $(1, r)$ से रेखा $x + y = 0$ की लंबवत दूरी $d = \frac{|1 + r|}{\sqrt{1^{2} + 1^{2}}} = \frac{|r + 1|}{\sqrt{2}}$ है।
जीवा $PQ$ की लंबाई $2$ है,इसलिए आधी लंबाई $1$ है।
पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करते हुए,$r^{2} = d^{2} + 1^{2}$।
$d$ का मान रखने पर,$r^{2} = \left(\frac{r + 1}{\sqrt{2}}\right)^{2} + 1$।
$r^{2} = \frac{(r + 1)^{2}}{2} + 1$।
$2r^{2} = r^{2} + 2r + 1 + 2$।
$r^{2} - 2r - 3 = 0$।
$(r - 3)(r + 1) = 0$।
चूंकि $r > 0$,इसलिए $r = 3$।
अतः,$h = 1$,$k = 3$,और $r = 3$।
$h + k + r = 1 + 3 + 3 = 7$।

(C) रेखाएँ $L_{1}: 4x - 3y + K_{1} = 0$ और $L_{2}: 4x - 3y + K_{2} = 0$ हैं।
चूँकि $L_{1}$,$(-1, 2)$ से गुजरती है,$4(-1) - 3(2) + K_{1} = 0 \Rightarrow K_{1} = 10$ है।
चूँकि $L_{2}$,$(3, -6)$ से गुजरती है,$4(3) - 3(-6) + K_{2} = 0 \Rightarrow K_{2} = -30$ है।
समांतर स्पर्श रेखाओं के बीच की दूरी व्यास $2r = \frac{|10 - (-30)|}{5} = 8$ है,इसलिए $r = 4$ है।
केंद्र $(-1, 2)$ और $(3, -6)$ का मध्यबिंदु है,जो $(1, -2)$ है।
वृत्त का समीकरण $(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} = 16$ है।

(B) बिंदु $A(3, 4)$,$B(4, 3)$ और $C(0, 5)$ हैं।
इन बिंदुओं से गुजरने वाले वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 = 25$ है।
रेखाखंड $BC$ की ढाल $m_{BC} = \frac{3-5}{4-0} = -\frac{1}{2}$ है।
चूंकि $z(x, y)$ और $z_{1}(3, 4)$ से गुजरने वाली रेखा $BC$ के लंबवत है,इसलिए इसकी ढाल $m = 2$ होगी।
इस रेखा का समीकरण $y - 4 = 2(x - 3)$ अर्थात $y = 2x - 2$ है।
वृत्त के समीकरण में $y = 2x - 2$ रखने पर:
$x^2 + (2x - 2)^2 = 25$
$5x^2 - 8x - 21 = 0$
$(5x + 7)(x - 3) = 0$.
चूंकि $z \neq z_{1}$,इसलिए $x = -7/5$ प्राप्त होता है।
अतः $y = -24/5$ प्राप्त होता है।
चूंकि $z$ तीसरे चतुर्थांश में है,इसलिए $\arg(z) = \tan^{-1}\left(\frac{24}{7}\right) - \pi$।

(B) मान लीजिए वृत्त $C$ का केंद्र $(h, k)$ है। चूंकि वृत्त $A(2, -1)$ और $B(3, 4)$ से होकर गुजरता है,इसलिए केंद्र $(h, k)$ को $AB$ के लंब समद्विभाजक पर स्थित होना चाहिए।
$AB$ का मध्यबिंदु $M = (\frac{2+3}{2}, \frac{-1+4}{2}) = (\frac{5}{2}, \frac{3}{2})$ है।
$AB$ की ढाल $m_{AB} = \frac{4 - (-1)}{3 - 2} = 5$ है।
लंब समद्विभाजक की ढाल $m_{\perp} = -\frac{1}{5}$ है।
लंब समद्विभाजक का समीकरण $y - \frac{3}{2} = -\frac{1}{5}(x - \frac{5}{2})$ है,जो सरल होकर $x + 5y = 10$ हो जाता है।
दिया गया है कि केंद्र $(h, k)$ वृत्त $(x-5)^2 + (k-1)^2 = \frac{13}{2}$ पर स्थित है,इसलिए $(h-5)^2 + (k-1)^2 = \frac{13}{2}$।
साथ ही,$h + 5k = 10$,इसलिए $h = 10 - 5k$।
$h$ का मान वृत्त के समीकरण में रखने पर: $(10 - 5k - 5)^2 + (k - 1)^2 = \frac{13}{2} \implies (5 - 5k)^2 + (k - 1)^2 = \frac{13}{2}$।
$25(1 - k)^2 + (k - 1)^2 = \frac{13}{2} \implies 26(k - 1)^2 = \frac{13}{2} \implies (k - 1)^2 = \frac{1}{4} \implies k - 1 = \pm \frac{1}{2}$।
यदि $k = \frac{3}{2}$ है,तो $h = 10 - 5(\frac{3}{2}) = \frac{5}{2}$। केंद्र $(\frac{5}{2}, \frac{3}{2})$ प्राप्त होता है,जो मध्यबिंदु $M$ है। इस स्थिति में $AB$ व्यास बन जाता है,जो मान्य नहीं है।
यदि $k = \frac{1}{2}$ है,तो $h = 10 - 5(\frac{1}{2}) = \frac{15}{2}$। केंद्र $C = (\frac{15}{2}, \frac{1}{2})$ प्राप्त होता है।
त्रिज्या का वर्ग $r^2 = CA^2 = (\frac{15}{2} - 2)^2 + (\frac{1}{2} - (-1))^2 = (\frac{11}{2})^2 + (\frac{3}{2})^2 = \frac{121}{4} + \frac{9}{4} = \frac{130}{4} = \frac{65}{2}$।

(D) वृत्त का समीकरण $4x^{2} + 4y^{2} - 12x + 8y + k = 0$ है। $4$ से भाग देने पर,$x^{2} + y^{2} - 3x + 2y + k/4 = 0$ प्राप्त होता है।
केंद्र $(3/2, -1)$ है और त्रिज्या $r = \frac{\sqrt{13 - k}}{2}$ है।
$(i)$ बिंदु $(1, -1/3)$ वृत्त पर या उसके अंदर स्थित है,इसलिए $S(1, -1/3) \leq 0$,जिससे $k \leq 92/9$ प्राप्त होता है।
(ii) वृत्त के चतुर्थ चतुर्थांश में होने के लिए,केंद्र से अक्षों की दूरी त्रिज्या से अधिक होनी चाहिए। $x$-अक्ष से दूरी $1$ है,इसलिए $r \leq 1 \Rightarrow k \geq 9$।
अतः,$k \in (9, 92/9]$।

(C) माना भुजा $AB$ के अंतिम बिंदु $A(1, 2)$ और $B(3, 6)$ हैं।
$AB$ की ढाल $m = \frac{6-2}{3-1} = \frac{4}{2} = 2$ है।
रेखा $AB$ का समीकरण $y - 2 = 2(x - 1)$ है,जो $2x - y = 0$ में सरल हो जाता है।
दिया गया व्यास $2x - y + 4 = 0$ है।
चूंकि ढाल समान हैं,भुजा $AB$ व्यास के समानांतर है।
समानांतर रेखाओं $2x - y = 0$ और $2x - y + 4 = 0$ के बीच की दूरी $d = \frac{|4 - 0|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \frac{4}{\sqrt{5}}$ है।
वृत्त में अंतर्निहित आयत में व्यास भुजा $AB$ का लंब समद्विभाजक होता है,इसलिए व्यास से भुजा $AB$ की दूरी दूसरी भुजा $BC$ की लंबाई की आधी होती है।
अतः,$\frac{BC}{2} = \frac{4}{\sqrt{5}}$,जिससे $BC = \frac{8}{\sqrt{5}}$ प्राप्त होता है।
भुजा $AB$ की लंबाई $= \sqrt{(3-1)^2 + (6-2)^2} = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ है।
आयत $R$ का क्षेत्रफल $= AB \times BC = (2\sqrt{5}) \times \left(\frac{8}{\sqrt{5}}\right) = 16$।

(D) दिया गया पहला वृत्त $S: x^{2}+y^{2}-2 \sqrt{2} x-6 \sqrt{2} y+14=0$ है।
इस वृत्त का केंद्र $C$ $(\sqrt{2}, 3 \sqrt{2})$ है और इसकी त्रिज्या $r_{1} = \sqrt{(\sqrt{2})^{2} + (3\sqrt{2})^{2} - 14} = \sqrt{2 + 18 - 14} = \sqrt{6}$ है।
दूसरा वृत्त $S_{1}: (x-2 \sqrt{2})^{2}+(y-2 \sqrt{2})^{2}=r^{2}$ है,जिसका केंद्र $O(2 \sqrt{2}, 2 \sqrt{2})$ है।
पहले वृत्त का व्यास दूसरे वृत्त की एक जीवा है। मान लीजिए यह जीवा $PQ$ है। दूसरे वृत्त के केंद्र $O$ से पहले वृत्त के केंद्र $C$ की दूरी $d = |OC| = \sqrt{(2\sqrt{2}-\sqrt{2})^{2} + (2\sqrt{2}-3\sqrt{2})^{2}} = \sqrt{(\sqrt{2})^{2} + (-\sqrt{2})^{2}} = \sqrt{2+2} = 2$ है।
दूसरे वृत्त की त्रिज्या $(r)$,केंद्र $O$ से जीवा की दूरी $(d=2)$,और पहले वृत्त की त्रिज्या $(r_{1}=\sqrt{6})$ द्वारा निर्मित समकोण त्रिभुज में,हमारे पास $r^{2} = d^{2} + r_{1}^{2}$ है।
$r^{2} = 2^{2} + (\sqrt{6})^{2} = 4 + 6 = 10$.

(D) वृत्त का समीकरण $x^{2} + y^{2} - \sqrt{2}x - \sqrt{2}y = 0$ है।
इसे मानक रूप $x^{2} + y^{2} + 2gx + 2fy + c = 0$ से तुलना करने पर,हमें $g = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ और $f = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ प्राप्त होता है।
वृत्त की त्रिज्या $r = \sqrt{g^{2} + f^{2} - c} = \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} = 1$ है।
चूंकि $\angle BAC = \frac{\pi}{2}$,भुजा $BC$ वृत्त का व्यास है।
अतः,$BC = 2r = 2(1) = 2$ है।
समकोण त्रिभुज $ABC$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$AC = \sqrt{BC^{2} - AB^{2}} = \sqrt{2^{2} - (\sqrt{2})^{2}} = \sqrt{4 - 2} = \sqrt{2}$ है।
$\triangle ABC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times AB \times AC = \frac{1}{2} \times \sqrt{2} \times \sqrt{2} = 1$।

(C) वृत्त $(x-1)^{2}+(y+1)^{2}=1$ है जिसका केंद्र $C(1, -1)$ और त्रिज्या $r=1$ है। मान लीजिए $Q(t, t^{2})$ परवलय $y=x^{2}$ पर एक बिंदु है।
$P$ और $Q$ के बीच की दूरी तब न्यूनतम होती है जब $Q$ वृत्त के केंद्र $C$ से गुजरने वाले अभिलंब पर स्थित हो। अतः,$Q$ पर परवलय का अभिलंब केंद्र $C(1, -1)$ से गुजरना चाहिए।
$Q(t, t^{2})$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $m_{T} = 2t$ है। अतः अभिलंब की ढाल $m_{N} = -\frac{1}{2t}$ है।
रेखा $CQ$ की ढाल $\frac{t^{2}-(-1)}{t-1} = \frac{t^{2}+1}{t-1}$ है।
ढालों की तुलना करने पर: $\frac{t^{2}+1}{t-1} = -\frac{1}{2t} \Rightarrow 2t^{3}+3t-1=0$ प्राप्त होता है।
मान लीजिए $f(t) = 2t^{3}+3t-1$ है। चूंकि $f(1/4) < 0$ और $f(1/2) > 0$ है,इसलिए $t \in (1/4, 1/2)$ प्राप्त होता है।
वृत्त पर बिंदु $P$,रेखा $CQ$ और वृत्त का प्रतिच्छेदन बिंदु है। $P$ का $x$-निर्देशांक $x_P = 1 + \cos \phi$ है,जहाँ $\phi$ रेखा $CQ$ का कोण है। गणना करने पर $x_P$ का मान $\left(\frac{1}{4}, \frac{1}{2}\right)$ अंतराल में आता है।

(A) वृत्त का समीकरण $x^{2}+y^{2}-x+2y=\frac{11}{4}$ है।
वर्ग पूरा करने पर,$(x-\frac{1}{2})^{2}+(y+1)^{2}=4=2^{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,त्रिज्या $r=2$ और केंद्र $C(\frac{1}{2}, -1)$ है।
$\triangle PQR$ में,$CP=CQ=CR=r=2$.
$C$ से गुजरने वाली रेखा $CP$ के साथ $\frac{\pi}{4}$ का कोण बनाती है,इसलिए $\angle PCQ = \angle PCR = \frac{\pi}{4}$.
$\triangle PCQ$ में,$CP=CQ=2$ और $\angle PCQ = \frac{\pi}{4}$.
आधार $QR = 2r \sin(\frac{\angle QCR}{2}) = 2(2) \sin(\frac{\pi}{4}) = 2\sqrt{2}$.
$P$ से $QR$ पर लंब $h = r \cos(\frac{\pi}{4}) = 2 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$.
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times QR \times h = \frac{1}{2} \times (2\sqrt{2}) \times \sqrt{2} = 2$.

(C) वृत्त $c_{1}$ का केंद्र $(1, 3)$ है और त्रिज्या $r_{1} = \sqrt{10-\alpha}$ है।
रेखा $x-y+1=0$ में केंद्र $(1, 3)$ का प्रतिबिंब $(2, 2)$ है।
वृत्त $c_{2}$ का समीकरण $x^{2}+y^{2}+2gx+2fy+\frac{38}{5}=0$ है,जिसका केंद्र $(-g, -f) = (2, 2)$ है।
वृत्त $c_{2}$ की त्रिज्या $r = \sqrt{4+4-\frac{38}{5}} = \sqrt{\frac{2}{5}}$ है।
चूंकि प्रतिबिंब में त्रिज्या समान रहती है,$r_{1}^{2} = r^{2} \Rightarrow 10-\alpha = \frac{2}{5}$।
अतः,$\alpha = \frac{48}{5}$।
इस प्रकार,$\alpha+6r^{2} = \frac{48}{5} + 6(\frac{2}{5}) = 12$।

(A) मान लीजिए वृत्त $C_1$ की त्रिज्या $2a$ है। केंद्र $C$ को मूल बिंदु $(0,0)$ पर और $AB$ को $X$-अक्ष पर रखें। तब $B = (2a, 0)$,$A = (-2a, 0)$,$C = (0, 0)$,और $D = (-a, 0)$ है।
चूंकि $E$,$C_1$ पर है और $EC \perp AB$ है,$E$ के निर्देशांक $(0, 2a)$ हैं।
चूंकि $F$,$C_2$ पर है (व्यास $AC$,केंद्र $D(-a, 0)$,त्रिज्या $a$) और $DF \perp AB$ है,$F$ के निर्देशांक $(-a, -a)$ हैं।
हमें $\sin \angle FEC$ ज्ञात करना है। मान लीजिए $\angle FEC = \theta$ है।
सदिश $\vec{EC} = C - E = (0, 0) - (0, 2a) = (0, -2a)$ है।
सदिश $\vec{EF} = F - E = (-a, -a) - (0, 2a) = (-a, -3a)$ है।
$\vec{EC}$ और $\vec{EF}$ के बीच का कोण $\theta$,$\cos \theta = \frac{\vec{EC} \cdot \vec{EF}}{|\vec{EC}| |\vec{EF}|}$ द्वारा दिया जाता है।
$\vec{EC} \cdot \vec{EF} = (0)(-a) + (-2a)(-3a) = 6a^2$ है।
$|\vec{EC}| = \sqrt{0^2 + (-2a)^2} = 2a$ है।
$|\vec{EF}| = \sqrt{(-a)^2 + (-3a)^2} = \sqrt{a^2 + 9a^2} = a\sqrt{10}$ है।
$\cos \theta = \frac{6a^2}{(2a)(a\sqrt{10})} = \frac{6}{2\sqrt{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}}$ है।
चूंकि $\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta = 1 - \frac{9}{10} = \frac{1}{10}$ है,इसलिए $\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{10}}$ है।

(B) समुच्चय $S = \{(x, y) : |x| + 2|y| = 1\}$ कार्तीय समतल में एक समचतुर्भुज को दर्शाता है जिसके शीर्ष $(1, 0), (-1, 0), (0, 1/2)$ और $(0, -1/2)$ हैं।
मूल बिंदु $(0, 0)$ पर केंद्र वाला सबसे छोटा वृत्त जिसका $S$ के साथ गैर-रिक्त प्रतिच्छेदन है,वह इस समचतुर्भुज के भीतर स्थित अंतःवृत्त है।
इस अंतःवृत्त की त्रिज्या $r$ मूल बिंदु $(0, 0)$ से समचतुर्भुज की किसी भी भुजा की लंबवत दूरी है।
प्रथम चतुर्थांश में स्थित भुजा पर विचार करें,जो रेखा $x + 2y = 1$ या $x + 2y - 1 = 0$ द्वारा दी गई है।
मूल बिंदु $(0, 0)$ से रेखा $Ax + By + C = 0$ की लंबवत दूरी $r = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ द्वारा दी जाती है।
$A = 1, B = 2, C = -1$ और $(x_0, y_0) = (0, 0)$ रखने पर:
$r = \frac{|1(0) + 2(0) - 1|}{\sqrt{1^2 + 2^2}} = \frac{|-1|}{\sqrt{1 + 4}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$.

(C) माना समांतर चतुर्भुज के विकर्ण $d_1 = 10$ और $d_2 = 4$ हैं। विकर्णों के बीच का कोण $\theta$ है।
समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल $A = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin \theta = \frac{1}{2} \times 10 \times 4 \times \sin \theta = 20 \sin \theta$ है।
क्षेत्रफल अधिकतम तब होता है जब $\sin \theta = 1$,अर्थात $\theta = \frac{\pi}{2}$।
जब विकर्ण समकोण पर प्रतिच्छेद करते हैं,तो वह समचतुर्भुज होता है।
समचतुर्भुज की भुजा $s = \sqrt{(\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2} = \sqrt{5^2 + 2^2} = \sqrt{29}$ है।
परिमाप $P = 4s = 4\sqrt{29}$ है।
चूंकि $\sqrt{29} \approx 5.385$,इसलिए $P \approx 21.54$,जो $(21, 22]$ अंतराल में स्थित है।

(B) माना व्यास $AB = x$ है।
चूंकि $AB$ व्यास है,इसलिए $\angle ACB = 90^\circ$ और $\angle ADB = 90^\circ$ है।
$\triangle ACB$ में,$BC = \sqrt{x^2 - 1}$।
$\triangle ADB$ में,$AD = \sqrt{x^2 - 9}$।
चक्रीय चतुर्भुज $ACDB$ पर टॉलेमी प्रमेय लागू करने पर:
$AB \cdot CD + AC \cdot DB = AD \cdot BC$
$x(2) + (1)(3) = \sqrt{x^2 - 9} \cdot \sqrt{x^2 - 1}$
$2x + 3 = \sqrt{(x^2 - 9)(x^2 - 1)}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(2x + 3)^2 = (x^2 - 9)(x^2 - 1)$
$4x^2 + 12x + 9 = x^4 - 10x^2 + 9$
$x^4 - 14x^2 - 12x = 0$
चूंकि $x \neq 0$,इसलिए $x^3 - 14x - 12 = 0$ है।
माना $f(x) = x^3 - 14x - 12$ है।
$f(4) = -4$ है।
$f(4.1) = -0.479$ है।
$f(4.2) = 3.288$ है।
चूंकि $f(4.1) < 0$ और $f(4.2) > 0$ है,इसलिए मूल $[4.1, 4.2)$ अंतराल में स्थित है।

(D) आयत $R$,वृत्त $C$ और त्रिभुज $T$ की परिधियों पर उभयनिष्ठ बिंदुओं की अधिकतम संभावित संख्या $6$ है। इसे आकृतियों को इस प्रकार व्यवस्थित करके देखा जा सकता है कि उनकी सीमाएँ $6$ अलग-अलग बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करें,जैसा कि दी गई आकृति में दिखाया गया है।

(A) मान लीजिए कि प्रथम चतुर्थांश क्षेत्र $R$ में निहित सबसे बड़े वृत्त की त्रिज्या $r$ है। इस वृत्त का केंद्र $(r, r)$ पर होगा क्योंकि प्रथम चतुर्थांश में यथासंभव बड़ा होने के लिए इसे $x$-अक्ष और $y$-अक्ष दोनों को स्पर्श करना चाहिए।
यह वृत्त डिस्क $x^2+y^2 \leq 1$ की सीमा को भी आंतरिक रूप से स्पर्श करता है,जो मूल बिंदु $(0, 0)$ पर केंद्रित $1$ त्रिज्या वाला एक वृत्त है।
मूल बिंदु $(0, 0)$ से छोटे वृत्त के केंद्र $(r, r)$ तक की दूरी $\sqrt{r^2+r^2} = r\sqrt{2}$ है।
आंतरिक स्पर्श के लिए,केंद्रों के बीच की दूरी त्रिज्याओं के अंतर के बराबर होनी चाहिए: $1 - r = r\sqrt{2}$।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $1 = r(1+\sqrt{2})$ प्राप्त होता है,इसलिए $r = \frac{1}{\sqrt{2}+1} = \sqrt{2}-1$।
इस वृत्त का क्षेत्रफल $\pi r^2 = \pi(\sqrt{2}-1)^2 = \pi(2 + 1 - 2\sqrt{2}) = \pi(3-2\sqrt{2})$ है।

(A) मान लीजिए वृत्त का केंद्र $O(0,0)$ है। $A = (1, 0)$,$B = (\cos \theta, \sin \theta)$,और $P = (\cos(\theta/2), \sin(\theta/2))$ है।
$\triangle AOB$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \sin \theta$ है।
$\triangle APB$ का क्षेत्रफल $= \sin(\theta/2)(1 - \cos(\theta/2))$ है।
दिया गया है कि $\frac{\frac{1}{2} \sin \theta}{\sin(\theta/2)(1 - \cos(\theta/2))} = \sqrt{5} + 2$ है।
अतः,$\frac{\cos(\theta/2)}{1 - \cos(\theta/2)} = \sqrt{5} + 2$ है।
हल करने पर,$\cos(\theta/2) = \frac{\sqrt{5} + 1}{4}$ प्राप्त होता है।
अब,$2\theta$ के लिए अनुपात $\frac{\cos \theta}{1 - \cos \theta}$ है।
$\cos \theta = 2\cos^2(\theta/2) - 1 = \frac{\sqrt{5} - 1}{4}$ प्राप्त होता है।
अतः,अनुपात $= \frac{(\sqrt{5} - 1)/4}{1 - (\sqrt{5} - 1)/4} = \frac{1}{\sqrt{5}}$।

(D) दिया गया है कि $\angle AOB = \theta$ और त्रिज्या $OF = OA = OB = d$ है।
$\triangle ODB$ में,$BD = OB \sin \theta = d \sin \theta$ है।
चूंकि $E$,$BD$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $ED = \frac{1}{2} BD = \frac{d}{2} \sin \theta$ है।
मान लीजिए $F$,चाप $AB$ पर एक बिंदु है ताकि $EF \parallel OA$ हो। मान लीजिए $FM \perp OA$ जहाँ $M$,$OA$ पर है। तब $FM = ED = \frac{d}{2} \sin \theta$ है।
$\triangle OFM$ में,$\sin \alpha = \frac{FM}{OF} = \frac{\frac{d}{2} \sin \theta}{d} = \frac{1}{2} \sin \theta$,जहाँ $\alpha = \angle AOF$ है।
अतः,$\alpha = \sin^{-1}(\frac{1}{2} \sin \theta)$ प्राप्त होता है।
चाप $AF$ की लंबाई $d \alpha$ है और चाप $AB$ की लंबाई $d \theta$ है।
चाप $AF$ की लंबाई और चाप $AB$ की लंबाई का अनुपात $\frac{d \alpha}{d \theta} = \frac{\alpha}{\theta} = \frac{\sin^{-1}(\frac{1}{2} \sin \theta)}{\theta}$ है।

(B) माना $O$ वृत्त $C_1$ का केंद्र है और $O'$ वृत्त $C_2$ का केंद्र है। केंद्रों को जोड़ने वाली रेखा को $x$-अक्ष मानिए।
चूंकि वृत्त एक-दूसरे को स्पर्श करते हैं,उनके केंद्रों के बीच की दूरी $R-r$ है।
माना $M$,$P$ का $OO'$ रेखा पर प्रक्षेप है। चूंकि $l$,$C_1$ को $P$ पर स्पर्श करती है,$PM \perp OO'$,इसलिए $PM = r$ है।
माना $N$,$B$ का $OO'$ रेखा पर प्रक्षेप है। चूंकि $l$,$OO'$ के समानांतर है,$BN = PM = r$ है।
$\triangle O'NB$ में,$O'B = R$ और $BN = r$ है।
दिया गया है $R^2 = 2r^2$,इसलिए $R = \sqrt{2}r$ है।
तब $O'N = \sqrt{O'B^2 - BN^2} = \sqrt{2r^2 - r^2} = r$ है।
चूंकि $O'N = BN = r$ है,$\triangle O'NB$ एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज है,इसलिए $\angle BO'N = 45^{\circ}$ है।
इसी प्रकार,$\angle AO'M = 45^{\circ}$ है।
अतः,$\angle AO'B = 180^{\circ} - (45^{\circ} + 45^{\circ}) = 90^{\circ}$ है।
जीवा $AB$ द्वारा केंद्र $O'$ पर बनाया गया कोण $90^{\circ}$ है।
उसी जीवा $AB$ द्वारा वृत्त $C_2$ की परिधि पर किसी भी बिंदु $O$ पर बनाया गया कोण केंद्र पर बने कोण का आधा होता है।
इसलिए,$\angle AOB = \frac{1}{2} \angle AO'B = \frac{1}{2} \times 90^{\circ} = 45^{\circ}$।

(B) मान लीजिए $r$ वृत्त की त्रिज्या है। वृत्त का केंद्र $1$ और $2$ लंबाई की जीवाओं द्वारा केंद्र पर कोण बनाता है।
मान लीजिए $2\theta$ केंद्र पर $1$ लंबाई की जीवा द्वारा बनाया गया कोण है,और $2\alpha$ केंद्र पर $2$ लंबाई की जीवा द्वारा बनाया गया कोण है।
अतः,$\sin \theta = \frac{1/2}{r} = \frac{1}{2r}$ और $\sin \alpha = \frac{1}{r}$ है।
केंद्र के चारों ओर कोणों का योग $3(2\theta) + 3(2\alpha) = 360^{\circ}$ है,जिसका अर्थ है $\theta + \alpha = 60^{\circ}$।
दोनों पक्षों का कोसाइन लेने पर,$\cos(\theta + \alpha) = \cos(60^{\circ}) = \frac{1}{2}$।
सूत्र $\cos(\theta + \alpha) = \cos \theta \cos \alpha - \sin \theta \sin \alpha = \frac{1}{2}$ का उपयोग करते हुए।
चूंकि $\sin \theta = \frac{1}{2r}$,$\cos \theta = \sqrt{1 - \frac{1}{4r^2}} = \frac{\sqrt{4r^2-1}}{2r}$ है।
चूंकि $\sin \alpha = \frac{1}{r}$,$\cos \alpha = \sqrt{1 - \frac{1}{r^2}} = \frac{\sqrt{r^2-1}}{r}$ है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $\frac{\sqrt{4r^2-1}}{2r} \cdot \frac{\sqrt{r^2-1}}{r} - \frac{1}{2r} \cdot \frac{1}{r} = \frac{1}{2}$।
$\frac{\sqrt{(4r^2-1)(r^2-1)}}{2r^2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2r^2} = \frac{r^2+1}{2r^2}$।
$\sqrt{(4r^2-1)(r^2-1)} = r^2+1$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(4r^2-1)(r^2-1) = (r^2+1)^2$।
$4r^4 - 5r^2 + 1 = r^4 + 2r^2 + 1$।
$3r^4 = 7r^2 \Rightarrow r^2 = \frac{7}{3}$।
अतः,$r = \sqrt{\frac{7}{3}}$।

(B) वृत्त $C$ का समीकरण $x^2+y^2=1$ है।
रेखा $L_t$,$(0,1)$ और $(t,0)$ से गुजरती है। इसका समीकरण $\frac{x}{t} + \frac{y}{1} = 1$ है,जो $y = 1 - \frac{x}{t}$ में सरल होता है।
वृत्त के समीकरण में $y$ का मान रखने पर: $x^2 + (1 - \frac{x}{t})^2 = 1$.
$x^2 + 1 - \frac{2x}{t} + \frac{x^2}{t^2} = 1$.
$x^2(1 + \frac{1}{t^2}) = \frac{2x}{t}$.
$x^2(\frac{t^2+1}{t^2}) = \frac{2x}{t} \implies x = 0$ या $x = \frac{2t}{1+t^2}$.
बिंदु $(0,1)$,$x=0$ के अनुरूप है। दूसरे बिंदु $Q_t$ के लिए $x = \frac{2t}{1+t^2}$ है।
तब $y = 1 - \frac{2}{1+t^2} = \frac{t^2-1}{t^2+1}$.
मान लीजिए $t = \tan \theta$. तो $x = \sin 2\theta$ और $y = -\cos 2\theta$.
$t \in [1, 1+\sqrt{2}]$ के लिए,$\theta \in [\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{8}]$.
कोण $2\theta$,$\frac{\pi}{2}$ से $\frac{3\pi}{4}$ तक बदलता है।
मूल बिंदु पर अंतरित कोण: $\frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4}$.