Geometrical problems regarding circle and its properties Questions in Hindi

(A) माना $Q$ और $R$ केंद्र तथा $r_1 = 4$ और $r_2 = 1$ त्रिज्या वाले दो वृत्त एक-दूसरे को बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं। उनके केंद्रों के बीच की दूरी $QR = r_1 + r_2 = 4 + 1 = 5$ है।
माना उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएं बिंदु $P$ पर मिलती हैं। केंद्रों को जोड़ने वाली रेखा $QR$,$P$ से होकर गुजरती है।
माना $\alpha$ वह कोण है जिससे स्पर्श रेखाओं के बीच का कुल कोण $2\alpha$ है। बड़े वृत्त के केंद्र,स्पर्श बिंदु और $P$ द्वारा निर्मित समकोण त्रिभुज में,$\sin \alpha = \frac{r_1 - r_2}{QR} = \frac{4 - 1}{5} = \frac{3}{5}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\sin \alpha = \frac{3}{5}$,इसलिए $\cos \alpha = \sqrt{1 - (\frac{3}{5})^2} = \frac{4}{5}$ है।
स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण $\theta = 2\alpha$ है।
अतः,$\sin \theta = \sin(2\alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha = 2 \times \frac{3}{5} \times \frac{4}{5} = \frac{24}{25}$।

(D) दिए गए वृत्त हैं:
$S_1: x^2 + y^2 - 2y - 3 = 0$
केंद्र $C_1 = (0, 1)$,त्रिज्या $r_1 = \sqrt{0^2 + (-1)^2 - (-3)} = 2$.
$S_2: x^2 + y^2 - 8x - 18y + 93 = 0$
केंद्र $C_2 = (4, 9)$,त्रिज्या $r_2 = \sqrt{(-4)^2 + (-9)^2 - 93} = 2$.
चूंकि दोनों वृत्तों की त्रिज्या समान है,इसलिए दोनों को स्पर्श करने वाले सबसे छोटे वृत्त का केंद्र $C_1$ और $C_2$ को जोड़ने वाली रेखा का मध्य-बिंदु होगा।
मध्य-बिंदु $= \left( \frac{0 + 4}{2}, \frac{1 + 9}{2} \right) = (2, 5)$.

(B) दिए गए बिंदु $(x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_1, y_2)$ और $(x_2, y_1)$ हैं।
ये बिंदु निर्देशांक अक्षों के समानांतर भुजाओं वाले एक आयत के शीर्ष हैं।
प्रत्येक आयत एक चक्रीय चतुर्भुज होता है क्योंकि इसके सम्मुख कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
इसके अतिरिक्त,ये बिंदु $(x - x_1)(x - x_2) + (y - y_1)(y - y_2) = 0$ समीकरण वाले वृत्त पर स्थित हैं।
अतः,ये चारों बिंदु चक्रीय (concyclic) हैं।

(D) $x$-अक्ष पर स्थित बिंदुओं $(a, 0)$ और $(c, 0)$ तथा $y$-अक्ष पर स्थित बिंदुओं $(0, b)$ और $(0, d)$ के लिए,यदि $ac = bd$ है,तो ये चारों बिंदु एकवृतीय होते हैं।
अतः,दिए गए बिंदु एकवृतीय हैं।

(D) वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 = 8$ है,अतः त्रिज्या $r = 2\sqrt{2}$ है।
स्पर्श बिंदु $A(2, 2)$ प्राप्त होता है।
जीवा $AB$ की लंबाई $4$ होने के लिए,$B$ के निर्देशांक $(2, -2)$ या $(-2, 2)$ होंगे।

(B) कण $C_1$ वृत्त पर $(1, 0)$ से शुरू होता है।
प्रत्येक वृत्त $C_k$ पर,कण $k$ सेमी की चाप तय करता है।
केंद्र पर इस चाप द्वारा बनाया गया कोण $\theta_k = \frac{k}{k} = 1$ रेडियन है।
$C_k$ पर गति पूरी करने के बाद,कण त्रिज्यीय रूप से $C_{k+1}$ पर जाता है।
$n$ वृत्तों के बाद कुल कोण $\sum_{k=1}^{n} 1 = n$ रेडियन है।
कण धनात्मक $x$-अक्ष को तब पार करता है जब कुल कोण $2\pi$ का गुणज होता है।
चूंकि $2\pi \approx 6.28$,इसलिए पहली बार यह $n=7$ पर धनात्मक $x$-अक्ष को पार करेगा।

(A) केंद्र पर चाप द्वारा अंतरित कोण का सूत्र $\theta = \frac{l}{r}$ है,जहाँ $\theta$ रेडियन में कोण है,$l$ चाप की लंबाई है और $r$ त्रिज्या है।
दिया गया है कि चाप की लंबाई समान है,इसलिए $l_1 = l_2 = l$ मान लें।
हमें $\theta_1 = 75^{\circ}$ और $\theta_2 = 120^{\circ}$ दिया गया है।
डिग्री को रेडियन में बदलने पर: $\theta_1 = 75 \times \frac{\pi}{180} = \frac{5\pi}{12}$ रेडियन और $\theta_2 = 120 \times \frac{\pi}{180} = \frac{2\pi}{3}$ रेडियन।
चूँकि $r = \frac{l}{\theta}$,त्रिज्याओं का अनुपात $\frac{r_1}{r_2} = \frac{l/\theta_1}{l/\theta_2} = \frac{\theta_2}{\theta_1}$ होगा।
मान रखने पर: $\frac{r_1}{r_2} = \frac{2\pi/3}{5\pi/12} = \frac{2}{3} \times \frac{12}{5} = \frac{8}{5}$।
अतः,अनुपात $8:5$ है।

(B) माना अभीष्ट वृत्त की त्रिज्या $r$ है। चूँकि यह $y-$अक्ष को $(0,2)$ पर स्पर्श करता है,इसका केंद्र $(r, 2)$ है।
वृत्त $x^2 + y^2 = 16$ का केंद्र $O(0,0)$ और त्रिज्या $R = 4$ है।
चूँकि वृत्त आंतरिक रूप से स्पर्श करते हैं,उनके केंद्रों के बीच की दूरी उनकी त्रिज्याओं के अंतर के बराबर होनी चाहिए।
केंद्रों $(r, 2)$ और $(0, 0)$ के बीच की दूरी $\sqrt{r^2 + 2^2} = \sqrt{r^2 + 4}$ है।
आंतरिक स्पर्श के लिए,$\sqrt{r^2 + 4} = R - r = 4 - r$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $r^2 + 4 = (4 - r)^2$.
$r^2 + 4 = 16 - 8r + r^2$.
$8r = 12$.
$r = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$.

(B) मान लीजिए कि तीनों वृत्तों के केंद्र $2$ भुजा की लंबाई वाला एक समबाहु त्रिभुज बनाते हैं। वृत्त के केंद्र से बड़े त्रिभुज $ABC$ की भुजा तक की दूरी $1$ है। त्रिभुज $ABC$ का कोण $60^{\circ}$ है क्योंकि वृत्त सममित रूप से व्यवस्थित हैं।
ज्यामिति के अनुसार,आधार $BC$ दो निचले वृत्तों के केंद्रों के बीच की दूरी $(2)$ और केंद्रों से शीर्ष $B$ और $C$ तक की दूरी के क्षैतिज प्रक्षेप का योग है। चूंकि त्रिज्या $1$ है और कोण $60^{\circ}$ है,केंद्र के प्रक्षेप से शीर्ष तक की दूरी $1 \cdot \cot(30^{\circ}) = \sqrt{3}$ है।
अतः,$BC = \sqrt{3} + 2 + \sqrt{3} = 2(1+\sqrt{3})$.
चूंकि $ABC$ एक समबाहु त्रिभुज है जिसकी भुजा $a = 2(1+\sqrt{3})$ है,परिवृत्त त्रिज्या $R = \frac{a}{2 \sin(60^{\circ})} = \frac{2(1+\sqrt{3})}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = 2(\frac{1}{\sqrt{3}} + 1)$ होगी।

(B) दो वृत्तों $S_1 = 0$ और $S_2 = 0$ की मूल अक्ष $S_1 - S_2 = 0$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है $S_1: x^2 + y^2 - 1 = 0$ और $S_2: x^2 + y^2 - 2x - 2y + 1 = 0$।
दोनों समीकरणों को घटाने पर: $(x^2 + y^2 - 1) - (x^2 + y^2 - 2x - 2y + 1) = 0$।
इसे सरल करने पर $2x + 2y - 2 = 0$,या $x + y = 1$ प्राप्त होता है।
रेखा $x + y = 1$ निर्देशांक अक्षों को $(1, 0)$ और $(0, 1)$ पर काटती है।
इस रेखा और निर्देशांक अक्षों द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल $A = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times 1 \times 1 = \frac{1}{2}$ है।
अतः,$\frac{1}{A} = \frac{1}{1/2} = 2$।

(C) प्रथम वृत्त $x^2 + y^2 - 2x + 4y - 4 = 0$ के लिए,केंद्र $C_1 = (1, -2)$ और त्रिज्या $r_1 = \sqrt{1^2 + (-2)^2 - (-4)} = \sqrt{1 + 4 + 4} = 3$ है।
दूसरे वृत्त $x^2 + y^2 - 8x - 4y + 16 = 0$ के लिए,केंद्र $C_2 = (4, 2)$ और त्रिज्या $r_2 = \sqrt{4^2 + 2^2 - 16} = \sqrt{16 + 4 - 16} = 2$ है।
केंद्रों $C_1$ और $C_2$ के बीच की दूरी $d = \sqrt{(4 - 1)^2 + (2 - (-2))^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = 5$ है।
चूंकि $d = r_1 + r_2$ $(5 = 3 + 2)$,इसलिए दोनों वृत्त एक-दूसरे को बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं।
जब दो वृत्त एक-दूसरे को बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं,तो उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाओं की संख्या $3$ होती है।

(A) वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 - 6x - 8y = 0$ है। केंद्र $(3, 4)$ है और त्रिज्या $R = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$ है।
केंद्र $(3, 4)$ से रेखा $4x - 3y + 15 = 0$ की लंबवत दूरी $p = \frac{|4(3) - 3(4) + 15|}{\sqrt{4^2 + (-3)^2}} = \frac{15}{5} = 3$ है।
जीवा $AB$ की लंबाई $= 2 \sqrt{R^2 - p^2} = 2 \sqrt{5^2 - 3^2} = 2 \times 4 = 8$ है।
$\Delta ABC$ का क्षेत्रफल तब अधिकतम होता है जब उसकी ऊँचाई अधिकतम हो। अधिकतम ऊँचाई $h = R + p = 5 + 3 = 8$ है।
अतः,अधिकतम क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times 8 \times 8 = 32 \ sq. \ units$ होगा।

(C) छोटे अर्धवृत्तों की त्रिज्या $R_1 = R_2 = 6 \ cm$ मानिए।
बड़े अर्धवृत्त की त्रिज्या $R = 12 \ cm$ मानिए।
अभीष्ट वृत्त की त्रिज्या $r$ और इसका केंद्र $D$ मानिए।
बड़े अर्धवृत्त के केंद्र $(C)$ से अभीष्ट वृत्त के केंद्र $D$ तक की दूरी $12 - r$ है।
छोटे अर्धवृत्त के केंद्र $(O_1)$ से केंद्र $D$ तक की दूरी $6 + r$ है।
$\Delta DO_1C$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$CD^2 + O_1C^2 = DO_1^2$
$(12 - r)^2 + 6^2 = (6 + r)^2$
$144 - 24r + r^2 + 36 = 36 + 12r + r^2$
$144 = 36r$
$r = 4 \ cm$.

(A) यह क्षेत्र दो असमिकाओं द्वारा परिभाषित है:
$1$. $x^2 + y^2 \leqslant 1$ (मूलबिंदु पर केंद्र और $1$ त्रिज्या वाले वृत्त का आंतरिक भाग)।
$2$. $x + y \geqslant 1$ (रेखा $x + y = 1$ के ऊपर या उस पर का भाग)।
इन दो क्षेत्रों का प्रतिच्छेदन एक वृत्तीय खंड है।
रेखा $x + y = 1$ बिंदुओं $(1, 0)$ और $(0, 1)$ से होकर गुजरती है।
मूलबिंदु $(0, 0)$ से रेखा $x + y - 1 = 0$ की लंबवत दूरी $d = \frac{|0 + 0 - 1|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ है।
$r = 1$ त्रिज्या वाले वृत्त में,केंद्र से $d$ दूरी पर स्थित जीवा द्वारा कटे वृत्तीय खंड का क्षेत्रफल $A = r^2 \cos^{-1}(\frac{d}{r}) - d\sqrt{r^2 - d^2}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
$r = 1$ और $d = \frac{1}{\sqrt{2}}$ रखने पर:
$A = (1)^2 \cos^{-1}(\frac{1/\sqrt{2}}{1}) - \frac{1}{\sqrt{2}} \sqrt{1 - (\frac{1}{\sqrt{2}})^2}$
$A = \cos^{-1}(\frac{1}{\sqrt{2}}) - \frac{1}{\sqrt{2}} \sqrt{1 - \frac{1}{2}}$
$A = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}$।

(C) मान लीजिए व्यास $PR = 2r$ है। चूँकि $PQ$ और $RS$ क्रमशः $P$ और $R$ पर स्पर्श रेखाएँ हैं,इसलिए $PQ \perp PR$ और $RS \perp PR$ है।
चूँकि $X$ वृत्त पर स्थित है और $PR$ व्यास है,इसलिए $\angle PXR = 90^{\circ}$ है।
$\triangle PXR$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$(PR)^2 = (PX)^2 + (RX)^2$ है।
स्पर्श रेखाओं की ज्यामिति से,$PQ \cdot RS = (PR)^2$ प्राप्त होता है।
अतः,$PQ \cdot RS = (PX)^2 + (RX)^2$ है।

(D) वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 + 4x + 2y - 4 = 0$ है।
केंद्र $C(-2, -1)$ और त्रिज्या $r = 3$ है।
बिंदु $P(1, 1/2)$ और केंद्र के बीच की दूरी $d = \frac{3\sqrt{5}}{2}$ है।
यदि स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण $\theta$ है,तो $\sin(\theta/2) = \frac{r}{d} = \frac{2}{\sqrt{5}}$.
इसलिए,$\cos \theta = \cos^2(\theta/2) - \sin^2(\theta/2) = \frac{1}{5} - \frac{4}{5} = -\frac{3}{5}$.
अतः,$\theta = \cos^{-1}(-3/5)$.

(A) वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 + 12x - 20y + 120 = 0$ है।
इसे मानक रूप में लिखने पर: $(x + 6)^2 + (y - 10)^2 = 16 = 4^2$.
वृत्त का केंद्र $B(-6, 10)$ है और त्रिज्या $r = 4$ है।
बिंदु $P(2, 5)$ लें। $x-$अक्ष को स्पर्श करने वाले सबसे छोटे पथ के लिए,$P$ का $x-$अक्ष पर प्रतिबिंब $P'(2, -5)$ प्राप्त करें।
$P$ से वृत्त तक की सबसे छोटी दूरी जो $x-$अक्ष को स्पर्श करती है,वह $P'$ से केंद्र $B$ की दूरी में से त्रिज्या $r$ को घटाने पर प्राप्त होती है।
दूरी $P'B = \sqrt{(-6 - 2)^2 + (10 - (-5))^2} = \sqrt{(-8)^2 + 15^2} = \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17$.
सबसे छोटे पथ की लंबाई $P'B - r = 17 - 4 = 13$ है।

(D) दिया गया है कि $C_1$ की त्रिज्या $r_1 = r$ और $C_2$ की त्रिज्या $r_2 = \frac{r}{2}$ है।
चूंकि $r = \frac{1}{3} PQ$,इसलिए $PQ = 3r$ है।
चित्र के अनुसार,$AB$ एक अनुप्रस्थ (transverse) उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा है। इसकी लंबाई का सूत्र $L = \sqrt{d^2 - (r_1 + r_2)^2}$ है।
मान रखने पर: $d = 3r, r_1 = r, r_2 = \frac{r}{2}$।
$AB = \sqrt{(3r)^2 - (r + \frac{r}{2})^2}$
$AB = \sqrt{9r^2 - (\frac{3r}{2})^2}$
$AB = \sqrt{9r^2 - \frac{9r^2}{4}}$
$AB = \sqrt{\frac{36r^2 - 9r^2}{4}} = \sqrt{\frac{27r^2}{4}} = \frac{3\sqrt{3}}{2} r$.

(B) माना $O$ संकेंद्रित वृत्तों का केंद्र है। $S_1$ की दो समानांतर स्पर्श रेखाएँ $S_1$ को $M$ और $N$ बिंदुओं पर स्पर्श करती हैं। चूँकि स्पर्श रेखाएँ समानांतर हैं,$MN$,$S_1$ का व्यास है,इसलिए $OM = ON = 1$ है।
माना स्पर्श रेखाएँ $S_2$ को $A$ और $B$ बिंदुओं पर काटती हैं। $\triangle OMA$ में,$OM = 1$ और $OA = 2$ ($S_2$ की त्रिज्या)।
चूँकि $AM$,$S_1$ की स्पर्श रेखा है,$\angle OMA = 90^\circ$ है। अतः,$\cos(\angle MOA) = \frac{OM}{OA} = \frac{1}{2}$ है।
इसलिए,$\angle MOA = \frac{\pi}{3}$ है।
इसी प्रकार,दूसरी स्पर्श रेखा के लिए,$\angle NOB = \frac{\pi}{3}$ है।
केंद्र पर चाप $AB$ द्वारा बनाया गया कोण $\angle AOB = \pi - (\angle MOA + \angle NOB) = \pi - (\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{3}) = \frac{\pi}{3}$ है।
चाप $AB$ की लंबाई $= r \cdot \theta = 2 \cdot \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$ है।

(D) दिया गया समीकरण $(x - 2)(x - 4) + (y - 3)(y - 5) = 0$ एक ऐसे वृत्त को दर्शाता है जिसके व्यास के अंतिम बिंदु $A(2, 3)$ और $B(4, 5)$ हैं।
व्यास $AB$ की लंबाई $\sqrt{(4 - 2)^2 + (5 - 3)^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ है।
$\Delta ABC$ का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \sqrt{2}$ द्वारा दिया जाता है।
$AB$ को आधार लेने पर,आधार की लंबाई $2\sqrt{2}$ है।
अतः,$\frac{1}{2} \times (2\sqrt{2}) \times h = \sqrt{2}$,जिसे सरल करने पर $h = 1$ प्राप्त होता है।
ऊंचाई $h$ बिंदु $C$ से व्यास $AB$ तक की लंबवत दूरी को दर्शाती है।
वृत्त की त्रिज्या $r = \frac{AB}{2} = \sqrt{2} \approx 1.414$ है,और चूंकि आवश्यक ऊंचाई $h = 1$ त्रिज्या से कम है,इसलिए $AB$ के दोनों ओर $1$ इकाई की दूरी पर $AB$ के समानांतर दो जीवाएं प्राप्त होती हैं।
इनमें से प्रत्येक दो जीवाएं वृत्त को दो अलग-अलग बिंदुओं पर काटती हैं।
इसलिए,बिंदु $C$ के लिए कुल $2 + 2 = 4$ संभावित स्थान हैं।

(A) सबसे छोटे वृत्त के लिए,बिंदु $(1, 2)$ और रेखा $x + y - 7 = 0$ पर उसके प्रक्षेप को जोड़ने वाला रेखाखंड व्यास के रूप में कार्य करता है।
रेखा $x + y - 7 = 0$ (ढाल $-1$) के लंबवत रेखाखंड की ढाल $1$ होगी।
अतः,$(1, 2)$ और $(h, k)$ को जोड़ने वाली रेखा की ढाल $\frac{k - 2}{h - 1} = 1 \implies k = h + 1$ है।
चूंकि बिंदु $(h, k)$ रेखा पर स्थित है,$h + (h + 1) - 7 = 0 \implies 2h = 6 \implies h = 3, k = 4$ है।
वृत्त का समीकरण: $(x - 1)(x - 3) + (y - 2)(y - 4) = 0 \implies x^2 + y^2 - 4x - 6y + 11 = 0$ है।
यहाँ $g = -2, f = -3, c = 11$ है।
$(g + 2f + 3c) = -2 + 2(-3) + 3(11) = -2 - 6 + 33 = 25$।

(A) समीकरण $z\bar{z} = 1$ एक वृत्त को दर्शाता है जिसकी त्रिज्या $r = 1$ है।
समीकरण $(4 - 3i)z + (4 + 3i)\bar{z} - 15 = 0$ को $8x + 6y - 15 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
केंद्र $(0, 0)$ से रेखा $8x + 6y - 15 = 0$ की लंबवत दूरी $d = \frac{|-15|}{\sqrt{8^2 + 6^2}} = \frac{15}{10} = 1.5$ है।
वृत्त और रेखा के बीच की न्यूनतम दूरी $|d - r| = |1.5 - 1| = 0.5 = 1/2$ है।

(B) मान लीजिए $AC = 3x$ और $CB = x$ है। तब $AB = 4x$ होगा।
बिंदु $C$ पर पावर ऑफ पॉइंट प्रमेय के अनुसार,$AC \cdot CB = CD \cdot CE$ है।
मान लीजिए $h_1 = 3$ और $h_2 = 2$ रेखा $AB$ से $D$ और $E$ की लंबवत दूरियाँ हैं।
$\triangle D C B'$ में,$CD = \frac{3}{\sin \alpha}$ है।
$\triangle E C B''$ में,$CE = \frac{2}{\sin \alpha}$ है।
अतः,$(3x)(x) = \frac{6}{\sin^2 \alpha} \implies 3x^2 = \frac{6}{\sin^2 \alpha} \implies x = \frac{\sqrt{2}}{\sin \alpha}$ है।
$AB = 4x = \frac{4\sqrt{2}}{\sin \alpha}$ है।
$AB$ को न्यूनतम होने के लिए,$\sin \alpha = 1$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $\alpha = \frac{\pi}{2}$।
अतः $r = 4\sqrt{2}$ है।
$r\alpha = (4\sqrt{2}) \cdot \frac{\pi}{2} = 2\sqrt{2}\pi$ है।

(D) वृत्त $C_1: x^2 + y^2 - 4x + 6y + 1 = 0$ के लिए,केंद्र $(2, -3)$ है और त्रिज्या $r = \sqrt{2^2 + (-3)^2 - 1} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ है।
$C_2$ का केंद्र $(2, -3)$ का $x$-अक्ष पर प्रतिबिंब $(2, 3)$ है। $C_2$ की त्रिज्या भी $2\sqrt{3}$ है।
केंद्रों के बीच की दूरी $d = \sqrt{(2-2)^2 + (3 - (-3))^2} = 6$ है।
$C_1$ का वह क्षेत्रफल जो $C_2$ में उभयनिष्ठ नहीं है = $C_1$ का कुल क्षेत्रफल - प्रतिच्छेदन (intersection) का क्षेत्रफल।
प्रतिच्छेदन का क्षेत्रफल $= 2r^2 \cos^{-1}(\frac{d}{2r}) - \frac{d}{2} \sqrt{4r^2 - d^2} = 24(\frac{\pi}{6}) - 3\sqrt{12} = 4\pi - 6\sqrt{3}$।
अभीष्ट क्षेत्रफल $= 12\pi - (4\pi - 6\sqrt{3}) = 8\pi + 6\sqrt{3}$।

(D) माना $A, B, C$ पर केंद्रित वृत्तों की त्रिज्याएँ क्रमशः $r_1, r_2, r_3$ हैं।
चूंकि वृत्त एक-दूसरे को बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं, इसलिए:
$r_1 + r_2 = AB = 3$
$r_1 + r_3 = AC = 4$
$r_2 + r_3 = BC = 5$
इन तीनों समीकरणों को जोड़ने पर: $2(r_1 + r_2 + r_3) = 3 + 4 + 5 = 12$, अतः $r_1 + r_2 + r_3 = 6$ प्राप्त होता है।
अब, हम व्यक्तिगत त्रिज्याएँ ज्ञात करते हैं:
$r_3 = (r_1 + r_2 + r_3) - (r_1 + r_2) = 6 - 3 = 3$
$r_2 = (r_1 + r_2 + r_3) - (r_1 + r_3) = 6 - 4 = 2$
$r_1 = (r_1 + r_2 + r_3) - (r_2 + r_3) = 6 - 5 = 1$
तीनों वृत्तों के क्षेत्रफलों का योग $\pi r_1^2 + \pi r_2^2 + \pi r_3^2 = \pi(1^2 + 2^2 + 3^2) = \pi(1 + 4 + 9) = 14\pi$ है।

(A) माना वृत्त $S: x^2 + y^2 - 3x + 1 = 0$ और रेखा $L: 2x - y - 2 = 0$ है।
बिंदु $(m, 1)$ के वृत्त के अंदर स्थित होने के लिए,$S(m, 1) < 0$:
$m^2 + 1^2 - 3m + 1 < 0$ $\Rightarrow m^2 - 3m + 2 < 0$ $\Rightarrow (m-1)(m-2) < 0$ $\Rightarrow m \in (1, 2)$.
बिंदु $(m, 1)$ के रेखा $L$ के उस ओर स्थित होने के लिए जिस ओर वृत्त का केंद्र $(1.5, 0)$ है:
$L(1.5, 0) = 2(1.5) - 0 - 2 = 1 > 0$.
अतः,छोटे क्षेत्र के लिए हमें $L(m, 1) < 0$ की आवश्यकता है:
$2m - 1 - 2 < 0$ $\Rightarrow 2m < 3$ $\Rightarrow m < 1.5$.
$m \in (1, 2)$ और $m < 1.5$ को मिलाने पर,हमें $m \in (1, 1.5)$ प्राप्त होता है।
अंतराल $(1, 1.5)$ में कोई पूर्णांक नहीं है।
इसलिए,पूर्णांकों की संख्या $0$ है।

(D) दिया गया वक्र $|x - 1| + |y - 4| = 6$ है। यह एक वर्ग को दर्शाता है जिसका केंद्र $(1, 4)$ है।
वर्ग की भुजाएँ रेखाओं $\pm(x - 1) \pm(y - 4) = 6$ द्वारा दी जाती हैं। एक भुजा $(x - 1) + (y - 4) = 6$ है,जो $x + y - 11 = 0$ के रूप में सरल होती है।
इस वक्र को स्पर्श करने वाले वृत्त की त्रिज्या $r$,केंद्र $(1, 4)$ से रेखा $x + y - 11 = 0$ की लंबवत दूरी है:
$r = \left| \frac{1 + 4 - 11}{\sqrt{1^2 + 1^2}} \right| = \left| \frac{-6}{\sqrt{2}} \right| = 3\sqrt{2}$.
केंद्र $(1, 4)$ और त्रिज्या $r = 3\sqrt{2}$ वाले वृत्त का समीकरण है:
$(x - 1)^2 + (y - 4)^2 = (3\sqrt{2})^2$
$x^2 + y^2 - 2x - 8y - 1 = 0$.

(C) निर्देशांक $A(0, 0)$,$B(1, \sqrt{3})$,और $C(2, 0)$ हैं।
यहाँ $AB = 2$,$BC = 2$,और $AC = 2$ है,इसलिए $\Delta ABC$ एक समबाहु त्रिभुज है।
ज्यामिति के अनुसार,रेखा $BP$,$BC$ पर लंब है।
$BC$ की ढाल $m_{BC} = \frac{0-\sqrt{3}}{2-1} = -\sqrt{3}$ है।
चूँकि $BP \perp BC$,इसलिए $BP$ की ढाल $m_{BP} = -\frac{1}{m_{BC}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ है।

(C) माना कि दो वृत्तों की त्रिज्याएँ $r_1 = 2$ और $r_2 = 4$ हैं। केंद्रों के बीच की दूरी $d = r_1 + r_2 = 2 + 4 = 6$ है।
त्रिभुज $\triangle QPR$ में,कोण $\angle QPR = 90^\circ$ है क्योंकि $P$ पर उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा कोण $\angle QPR$ को समद्विभाजित करती है।
अतः,$QR^2 = PQ^2 + PR^2$ है।
उभयनिष्ठ बाह्य स्पर्शरेखा $QR$ की लंबाई $\sqrt{d^2 - (r_2 - r_1)^2} = \sqrt{6^2 - (4 - 2)^2} = \sqrt{36 - 4} = \sqrt{32}$ द्वारा दी जाती है।
इसलिए,$QR^2 = 32$ है।
हमें $PQ^2 + QR^2 + RP^2 = (PQ^2 + PR^2) + QR^2 = QR^2 + QR^2 = 2 \times QR^2$ का मान ज्ञात करना है।
मान रखने पर,हमें $2 \times 32 = 64$ प्राप्त होता है।

(B) दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{(x - 2)^2}{3^2} + \frac{(y + 2)^2}{2^2} = 1$ है। इसका केंद्र $(2, -2)$ है और अर्ध-अक्ष $a=3, b=2$ हैं।
वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 - 4x + 2y + 4 = 0$ है। पूर्ण वर्ग बनाने पर: $(x-2)^2 + (y+1)^2 = 1$। इसका केंद्र $(2, -1)$ और त्रिज्या $r=1$ है।
केंद्रों के बीच की दूरी $d = \sqrt{(2-2)^2 + (-1 - (-2))^2} = 1$ है।
दोनों वक्र बिंदु $(2, 0)$ पर एक-दूसरे को स्पर्श करते हैं। अतः,उनकी उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाओं की संख्या $1$ है।

(B) बिंदु $P(-1, 3)$ की वृत्त $x^2 + y^2 - 2x + 4y - 8 = 0$ के सापेक्ष शक्ति $PA \times PB = (PT)^2$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $PT$ बिंदु $P$ से वृत्त पर स्पर्शरेखा की लंबाई है।
बिंदु की शक्ति की गणना करने पर:
$(PT)^2 = (-1)^2 + (3)^2 - 2(-1) + 4(3) - 8$
$(PT)^2 = 1 + 9 + 2 + 12 - 8 = 16$
अतः,$PA \times PB = 16$.
धनात्मक वास्तविक संख्याओं $PA$ और $PB$ के लिए समांतर माध्य-गुणोत्तर माध्य $(AM \geq GM)$ असमिका का उपयोग करने पर:
$\frac{PA + PB}{2} \geq \sqrt{PA \times PB}$
$PA + PB \geq 2 \sqrt{16}$
$PA + PB \geq 2 \times 4 = 8$
$PA + PB$ का न्यूनतम मान $8$ है।

(D) माना बिंदु $P$ है $\left( \frac{1 + \sqrt{2} a}{2}, \frac{1 - \sqrt{2} a}{2} \right)$। ध्यान दें कि $P$ वृत्त $2x^2 + 2y^2 - (1 + \sqrt{2} a)x - (1 - \sqrt{2} a)y = 0$ पर स्थित है।
माना रेखा $x + y = 0$ जीवा $PQ$ को बिंदु $M(h, -h)$ पर समद्विभाजित करती है।
चूंकि $M$,$PQ$ का मध्यबिंदु है,इसलिए $Q$ के निर्देशांक $(2h - x_P, -2h - y_P)$ होंगे।
$Q$ को वृत्त के समीकरण में रखने और सरल करने पर,हमें $h$ में एक द्विघात समीकरण प्राप्त होता है: $8h^2 - 6\sqrt{2}ah + 1 + 2a^2 = 0$।
जीवाओं के भिन्न होने के लिए,इस द्विघात समीकरण का विविक्तकर $\Delta > 0$ होना चाहिए।
$\Delta = (-6\sqrt{2}a)^2 - 4(8)(1 + 2a^2) > 0$
$72a^2 - 32 - 64a^2 > 0$
$8a^2 - 32 > 0$
$a^2 - 4 > 0$
$(a - 2)(a + 2) > 0$
अतः,$a \in (-\infty, -2) \cup (2, \infty)$।

(C) $R = 1$ त्रिज्या वाले वृत्त में अंकित एक नियमित षट्भुज के लिए,भुजा की लंबाई त्रिज्या के बराबर होती है,इसलिए $A_0A_1 = A_1A_2 = 1$.
रेखाखंड $A_0A_4$ वृत्त की एक जीवा है। एक नियमित षट्भुज में,केंद्र पर बनने वाला कोण $60^\circ$ होता है। $A_0A_4$ जीवा केंद्र पर $120^\circ$ का कोण बनाती है।
जीवा की लंबाई के सूत्र $2R \sin(\theta/2)$ का उपयोग करने पर,$A_0A_4 = 2(1) \sin(120^\circ/2) = 2 \sin(60^\circ) = 2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$.
अतः,$A_0A_1$,$A_1A_2$ और $A_0A_4$ की लंबाइयों का गुणनफल $(1) \times (1) \times (\sqrt{3}) = \sqrt{3}$ है।

(A) माना वृत्त की त्रिज्या $R$ है। माना त्रिभुज के कोण $A, B, C$ हैं। त्रिभुज का क्षेत्रफल $Area = 2R^2 \sin A \sin B \sin C$ द्वारा दिया जाता है।
एक निश्चित वृत्त के लिए,क्षेत्रफल तब अधिकतम होता है जब $\sin A \sin B \sin C$ अधिकतम हो।
चूँकि $A+B+C = \pi$,गुणनफल $\sin A \sin B \sin C$ तब अधिकतम होता है जब $A = B = C = \frac{\pi}{3}$ हो।
अतः,त्रिभुज एक समबाहु त्रिभुज होना चाहिए।

(C) दो बिंदुओं से गुजरने वाले वृत्त की त्रिज्या न्यूनतम होने के लिए,उन दो बिंदुओं को जोड़ने वाला रेखाखंड वृत्त का व्यास होना चाहिए।
दिए गए बिंदु $A(1, 0)$ और $B(0, 1)$ हैं।
व्यास के अंत बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ वाले वृत्त का समीकरण $(x - x_1)(x - x_2) + (y - y_1)(y - y_2) = 0$ होता है।
दिए गए बिंदुओं को प्रतिस्थापित करने पर:
$(x - 1)(x - 0) + (y - 0)(y - 1) = 0$
$x(x - 1) + y(y - 1) = 0$
$x^2 - x + y^2 - y = 0$
$x^2 + y^2 - x - y = 0$

(B) चूंकि $\angle ACB = 90^{\circ}$,बिंदु $C$ व्यास $AB$ वाले एक वृत्त पर स्थित है।
व्यास $AB$ की लंबाई $= \sqrt{(3 - (-2))^2 + (5 - (-7))^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = 13$ है।
वृत्त की त्रिज्या $R = \frac{13}{2}$ है।
$\Delta ABC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times 13 \times h = \frac{82}{3}$ है।
अतः,ऊंचाई $h = \frac{164}{39} \approx 4.2$ है।
चूंकि त्रिभुज की अधिकतम संभव ऊंचाई (जो वृत्त की त्रिज्या है) $R = 6.5$ है,और $h < R$ है,इसलिए व्यास $AB$ के दोनों ओर ऊंचाई के लिए दो संभावित स्थान हैं।
प्रत्येक ऊंचाई $h < R$ के लिए,वृत्त पर दो बिंदु $C$ हैं जो क्षेत्रफल की शर्त को पूरा करते हैं।
इसलिए,ऐसे $2$ बिंदु $C$ संभव हैं।

(D) दिया गया समीकरण $(x - 2)(x - 4) + (y - 3)(y - 5) = 0$ एक वृत्त को दर्शाता है जिसका व्यास $AB$ है,जहाँ $A = (2, 3)$ और $B = (4, 5)$ है।
व्यास $AB$ की लंबाई $= \sqrt{(4 - 2)^2 + (5 - 3)^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ है।
$\Delta ABC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \times AB \times h = \sqrt{2}$ है।
$AB = 2\sqrt{2}$ रखने पर,हमें $\frac{1}{2} \times 2\sqrt{2} \times h = \sqrt{2}$ प्राप्त होता है,जो सरल करने पर $\sqrt{2} \times h = \sqrt{2}$ देता है,इसलिए $h = 1$ है।
ऊँचाई $h$ बिंदु $C$ से रेखाखंड $AB$ की लंबवत दूरी है। वृत्त की त्रिज्या $r = \frac{AB}{2} = \sqrt{2} \approx 1.414$ है,और चूँकि $h = 1 < r$ है,इसलिए $AB$ से $1$ इकाई की दूरी पर स्थित दो रेखाएँ वृत्त को काटती हैं।
इनमें से प्रत्येक दो रेखाएँ वृत्त को दो अलग-अलग बिंदुओं पर काटती हैं। इसलिए,बिंदु $C$ के लिए $4$ संभावित स्थितियाँ हैं।

(B) दिया गया वक्र $xy = c$ और वृत्त $x^2 + y^2 = 1$ है।
चूंकि वक्र एक-दूसरे को स्पर्श करते हैं,इसलिए वे स्पर्श बिंदुओं पर एक उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा साझा करते हैं।
समरूपता द्वारा,यदि $P(x, y)$ एक स्पर्श बिंदु है,तो $Q(-x, -y)$ भी एक स्पर्श बिंदु है।
दोनों बिंदु $P$ और $Q$ वृत्त $x^2 + y^2 = 1$ पर स्थित हैं।
रेखाखंड $PQ$ मूल बिंदु $O(0, 0)$ से होकर गुजरता है क्योंकि बिंदु मूल बिंदु के सापेक्ष सममित हैं।
चूंकि $P$ और $Q$ वृत्त पर हैं और रेखा $PQ$ वृत्त के केंद्र से होकर गुजरती है,इसलिए $PQ$ वृत्त का व्यास है।
वृत्त $x^2 + y^2 = 1$ की त्रिज्या $r = 1$ है।
अतः,स्पर्श बिंदुओं $P$ और $Q$ के बीच की दूरी वृत्त का व्यास है,जो $2r = 2(1) = 2$ है।

(D) दिया गया वृत्त $x^2 + y^2 + 2x - 4y - 4 = 0$ है।
इसका केंद्र $O_1 = (-1, 2)$ और त्रिज्या $r_1 = 3$ है।
माना वृत्त $C$ का केंद्र $O_2 = (h, k)$ और त्रिज्या $r_2 = 3$ है।
चूंकि वृत्त बिंदु $P(2, 2)$ पर बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं,इसलिए $P$ रेखाखंड $O_1O_2$ का मध्यबिंदु है।
$(2, 2) = \left( \frac{-1 + h}{2}, \frac{2 + k}{2} \right).$
अतः,$h = 5$ और $k = 2.$
वृत्त $C$ का समीकरण $(x - 5)^2 + (y - 2)^2 = 3^2$ अर्थात $x^2 + y^2 - 10x - 4y + 20 = 0$ है।
$x-$अक्ष पर काटे गए अंतःखंड की लंबाई $2\sqrt{g^2 - c} = 2\sqrt{(-5)^2 - 20} = 2\sqrt{5}$ होगी।

(B) वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 - 5x - y + 5 = 0$ है।
पूर्ण वर्ग बनाने पर,$(x - 5/2)^2 + (y - 1/2)^2 = 3/2$ प्राप्त होता है।
वृत्त का केंद्र $C = (5/2, 1/2)$ और त्रिज्या $r = \sqrt{3/2}$ है।
$PQ$ की दूरी तब अधिकतम होती है जब $Q$,$P$ और $C$ से गुजरने वाली रेखा पर स्थित हो।
$PC$ की दूरी $\sqrt{(5/2 - 0)^2 + (1/2 - (-2))^2} = \frac{5\sqrt{2}}{2}$ है।
$PQ$ की अधिकतम दूरी $PC + r = \frac{5\sqrt{2} + \sqrt{6}}{2}$ है।
अतः,$(PQ)^2$ का अधिकतम मान $\left( \frac{5\sqrt{2} + \sqrt{6}}{2} \right)^2 = 14 + 5\sqrt{3}$ है।

(B) वृत्त का व्यास $4 \, \text{units}$ है,इसलिए त्रिज्या $r = 2 \, \text{units}$ है।
मान लीजिए कि जीवाओं द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण $2\theta$ और $2\phi$ हैं।
दिया है $2\theta = \cos^{-1}(1/7) \Rightarrow \cos(2\theta) = 1/7$।
सूत्र $\cos(2\theta) = 2\cos^2\theta - 1$ का उपयोग करने पर,$2\cos^2\theta - 1 = 1/7$ $\Rightarrow 2\cos^2\theta = 8/7$ $\Rightarrow \cos^2\theta = 4/7$ $\Rightarrow \cos\theta = 2/\sqrt{7}$।
केंद्र से पहली जीवा की दूरी $d_1 = r \cos\theta = 2 \times (2/\sqrt{7}) = 4/\sqrt{7}$ है।
दिया है $2\phi = \sec^{-1}(7)$ $\Rightarrow \sec(2\phi) = 7$ $\Rightarrow \cos(2\phi) = 1/7$।
सूत्र $\cos(2\phi) = 2\cos^2\phi - 1$ का उपयोग करने पर,$2\cos^2\phi - 1 = 1/7$ $\Rightarrow 2\cos^2\phi = 8/7$ $\Rightarrow \cos^2\phi = 4/7$ $\Rightarrow \cos\phi = 2/\sqrt{7}$।
केंद्र से दूसरी जीवा की दूरी $d_2 = r \cos\phi = 2 \times (2/\sqrt{7}) = 4/\sqrt{7}$ है।
चूँकि जीवाएँ केंद्र के विपरीत ओर स्थित हैं,उनके बीच की कुल दूरी $d_1 + d_2 = 4/\sqrt{7} + 4/\sqrt{7} = 8/\sqrt{7}$ है।

(B) वृत्तों के समीकरण हैं:
$C_1: x^2 + y^2 - 10x - 10y + \lambda = 0$,केंद्र $O_1 = (5, 5)$ और त्रिज्या $r_1 = \sqrt{50 - \lambda}$.
$C_2: x^2 + y^2 - 4x - 4y + 6 = 0$,केंद्र $O_2 = (2, 2)$ और त्रिज्या $r_2 = \sqrt{2}$.
केंद्रों के बीच की दूरी $d = O_1O_2 = 3\sqrt{2}$.
दो उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाओं के लिए,शर्त $|r_1 - r_2| < d < r_1 + r_2$ है।
$|\sqrt{50 - \lambda} - \sqrt{2}| < 3\sqrt{2} < \sqrt{50 - \lambda} + \sqrt{2}$.
इसे हल करने पर,हमें $\lambda > 18$ और $\lambda < 42$ प्राप्त होता है।
अतः,अभीष्ट अंतराल $(18, 42)$ है।

(D) वृत्त $x^2 + y^2 = 16$ के लिए,केंद्र $C_1 = (0, 0)$ और त्रिज्या $r_1 = 4$ है।
वृत्त $x^2 + y^2 - 2y = 0$ के लिए,इसे $x^2 + (y - 1)^2 = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है,इसलिए केंद्र $C_2 = (0, 1)$ और त्रिज्या $r_2 = 1$ है।
केंद्रों के बीच की दूरी $d = \sqrt{(0 - 0)^2 + (1 - 0)^2} = 1$ है।
त्रिज्याओं का योग $r_1 + r_2 = 4 + 1 = 5$ है।
त्रिज्याओं का अंतर $|r_1 - r_2| = |4 - 1| = 3$ है।
चूँकि $d < |r_1 - r_2|$ (क्योंकि $1 < 3$),छोटा वृत्त बड़े वृत्त के पूरी तरह अंदर स्थित है।
इसलिए,इन दो वृत्तों के लिए कोई उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा नहीं है।

(A) माना दिया गया वृत्त $S_1: x^2 + y^2 + 4x - 6y - 12 = 0$ है। इसका केंद्र $A(-2, 3)$ और त्रिज्या $r_1 = 5$ है।
माना वृत्त $C$ का केंद्र $B(h, k)$ और त्रिज्या $r_2$ है।
स्पर्श बिंदु $O(1, -1)$ है। चूंकि वृत्त बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं,केंद्र $A, O, B$ संरेख हैं और $O, AB$ को $r_1 : r_2$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर,$r_2 = 5$ प्राप्त होता है।

(B) वृत्त का दिया गया समीकरण $x^2 + y^2 - 6x - 8y + (25 - a^2) = 0$ है।
इसे मानक रूप $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ से तुलना करने पर,हमें $g = -3$,$f = -4$,और $c = 25 - a^2$ प्राप्त होता है।
वृत्त का केंद्र $(-g, -f) = (3, 4)$ है और त्रिज्या $r = \sqrt{g^2 + f^2 - c}$ है।
$r = \sqrt{(-3)^2 + (-4)^2 - (25 - a^2)} = \sqrt{9 + 16 - 25 + a^2} = \sqrt{a^2} = |a|$.
चूंकि वृत्त $x$-अक्ष को स्पर्श करता है,इसलिए त्रिज्या केंद्र के $y$-निर्देशांक के निरपेक्ष मान के बराबर होनी चाहिए।
अतः,$|a| = |4|$,जिसका अर्थ है कि $a = \pm 4$।

(A) वृत्त $x^2 + y^2 - 6x + 2y = 0$ के लिए,केंद्र $(3, -1)$ है और त्रिज्या $r = \sqrt{3^2 + (-1)^2 - 0} = \sqrt{10}$ है।
जाँचें कि क्या केंद्र $(3, -1)$ रेखा $2x + y = 5$ पर स्थित है: $2(3) + (-1) = 6 - 1 = 5$। चूँकि केंद्र रेखा पर स्थित है,इसलिए रेखा वृत्त का व्यास (और इस प्रकार अभिलंब) है। अतः,कथन $2$ सत्य है।
कथन $1$ के लिए,रेखा $2x + y = 5$ पर केंद्र वाले और $\sqrt{10}$ त्रिज्या वाले अनंत वृत्त संभव हैं। इसलिए,कथन $1$ असत्य है।

(D) मान लीजिए कि पहला वृत्त $C_1$ है जिसकी त्रिज्या $r_1 = 1$ है और केंद्र $(0,0)$ पर है।
मान लीजिए कि दूसरा वृत्त $C_2$ है जिसकी त्रिज्या $r_2$ है और केंद्र $(h,k)$ पर है।
$C_2$ का चाप $C_1$ की परिधि पर $60^o$ का कोण बनाता है।
अंतर्निहित कोण प्रमेय के अनुसार,यदि चाप केंद्र से गुजरने वाले वृत्त का हिस्सा है,तो $C_1$ के केंद्र पर बनने वाला कोण $120^o$ होगा।
हालाँकि,दूसरे वृत्त के केंद्र की स्थिति पहले वृत्त के सापेक्ष निश्चित नहीं है।
केंद्रों के बीच की दूरी या प्रतिच्छेदन द्वारा बनी जीवा की लंबाई जाने बिना,त्रिज्या $r_2$ को विशिष्ट रूप से निर्धारित नहीं किया जा सकता है।
अतः,दी गई जानकारी $r_2$ ज्ञात करने के लिए अपर्याप्त है।

(B) वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 + 3x = 0$ है।
इसका केंद्र $B = \left( -\frac{3}{2}, 0 \right)$ है और त्रिज्या $\frac{3}{2}$ है।
रेखा $y = mx + 1$,$y$-अक्ष को $A(0, 1)$ पर काटती है।
चूंकि दो प्रतिच्छेदन बिंदु $x$-अक्ष से समान दूरी पर और विपरीत दिशाओं में हैं,इसलिए रेखा को वृत्त के केंद्र $B$ से गुजरना चाहिए।
$B\left( -\frac{3}{2}, 0 \right)$ को $y = mx + 1$ में रखने पर:
$0 = m\left( -\frac{3}{2} \right) + 1$
$\frac{3}{2}m = 1$
$3m = 2$
$3m - 2 = 0$.

(C) दिए गए वृत्त $C_1: x^2 + y^2 - 8x - 2y + 1 = 0$ और $C_2: x^2 + y^2 + 6x + 8y = 0$ हैं।
$C_1$ के लिए,केंद्र $(4, 1)$ है और त्रिज्या $r_1 = \sqrt{4^2 + 1^2 - 1} = \sqrt{16} = 4$ है।
$C_2$ के लिए,केंद्र $(-3, -4)$ है और त्रिज्या $r_2 = \sqrt{(-3)^2 + (-4)^2 - 0} = \sqrt{25} = 5$ है।
केंद्रों के बीच की दूरी $d = \sqrt{(4 - (-3))^2 + (1 - (-4))^2} = \sqrt{7^2 + 5^2} = \sqrt{49 + 25} = \sqrt{74}$ है।
चूंकि $\sqrt{49} < \sqrt{74} < \sqrt{81}$,इसलिए $7 < d < 9$ है।
साथ ही,$r_1 + r_2 = 4 + 5 = 9$ और $|r_1 - r_2| = |4 - 5| = 1$ है।
चूंकि $|r_1 - r_2| < d < r_1 + r_2$,वृत्त दो अलग-अलग बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं।
अतः,उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाओं की संख्या $2$ है।

(A) माना तीन वृत्तों की त्रिज्याएँ क्रमशः $b, a, c$ हैं,जहाँ $a$ सबसे छोटे वृत्त की त्रिज्या है जो $b$ और $c$ त्रिज्या वाले दो बड़े वृत्तों के बीच स्थित है।
बाह्य रूप से स्पर्श करने वाले $r_1$ और $r_2$ त्रिज्या वाले दो वृत्तों के बीच उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा की लंबाई $L = \sqrt{(r_1+r_2)^2 - (r_1-r_2)^2} = 2\sqrt{r_1r_2}$ द्वारा दी जाती है।
माना वृत्तों के $x$-अक्ष के साथ स्पर्श बिंदु क्रमशः $A, B, C$ हैं।
दूरी $AB = 2\sqrt{ab}$ ($b$ और $a$ त्रिज्या वाले वृत्तों के बीच)।
दूरी $BC = 2\sqrt{ac}$ ($a$ और $c$ त्रिज्या वाले वृत्तों के बीच)।
दूरी $AC = 2\sqrt{bc}$ ($b$ और $c$ त्रिज्या वाले वृत्तों के बीच)।
चूंकि सबसे छोटा वृत्त अन्य दो के बीच में है,इसलिए $AC = AB + BC$ है।
$2\sqrt{bc} = 2\sqrt{ab} + 2\sqrt{ac}$.
दोनों पक्षों को $2\sqrt{abc}$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{1}{\sqrt{a}} = \frac{1}{\sqrt{c}} + \frac{1}{\sqrt{b}}$.