Geometrical problems regarding circle and its properties Questions in Hindi

(D) $X$-अक्ष और रेखा $y=2 \sqrt{2} x+10$ के बीच का कोण $2 \theta$ मानिए। रेखा की ढाल $m = \tan(2 \theta) = 2 \sqrt{2}$ है।
$\tan(2 \theta) = \frac{2 \tan \theta}{1-\tan^2 \theta}$ सूत्र का उपयोग करते हुए,$\frac{2 \tan \theta}{1-\tan^2 \theta} = 2 \sqrt{2}$,जो सरल होकर $\sqrt{2} \tan^2 \theta + \tan \theta - \sqrt{2} = 0$ हो जाता है।
$\tan \theta$ के लिए हल करने पर,$(\sqrt{2} \tan \theta - 1)(\tan \theta + \sqrt{2}) = 0$ प्राप्त होता है। चूंकि $\theta$ न्यूनकोण है,$\tan \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
अतः $\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
मान लीजिए $P$ दो रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु है। $r_i$ त्रिज्या और $O_i$ केंद्र वाले किसी भी वृत्त $C_i$ के लिए,$P$ से $O_i$ की दूरी $d_i = \frac{r_i}{\sin \theta} = \sqrt{3} r_i$ है।
चूंकि वृत्त बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं,केंद्रों $O_i$ और $O_{i+1}$ के बीच की दूरी $r_i + r_{i+1}$ है। साथ ही,$d_{i+1} = d_i + r_i + r_{i+1}$।
$d_i = \sqrt{3} r_i$ प्रतिस्थापित करने पर,$\sqrt{3} r_{i+1} = \sqrt{3} r_i + r_i + r_{i+1}$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $r_{i+1}(\sqrt{3}-1) = r_i(\sqrt{3}+1)$ हो जाता है।
इस प्रकार,$\frac{r_{i+1}}{r_i} = \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1} = \frac{(\sqrt{3}+1)^2}{3-1} = \frac{4+2 \sqrt{3}}{2} = 2+\sqrt{3}$।
अतः,त्रिज्याएँ $2+\sqrt{3}$ सार्व अनुपात वाली एक गुणोत्तर श्रेणी बनाती हैं।

(A) मान लीजिए $R$ अर्धवृत्त की त्रिज्या है। मान लीजिए $\angle AOY = \theta$ और $\angle BOY = \theta$ है। चूंकि $AB \parallel XY$,बिंदु $A$ और $B$ $XY$ के लंब समद्विभाजक के सापेक्ष सममित हैं। निर्देशांक $A = (R \cos \theta, R \sin \theta)$ और $B = (-R \cos \theta, R \sin \theta)$ के रूप में दर्शाए जा सकते हैं।
$\triangle AOB$ की भुजाएँ $OA = R$,$OB = R$,और $AB = 2R \cos \theta$ हैं।
अर्ध-परिमाप $s = \frac{R + R + 2R \cos \theta}{2} = R(1 + \cos \theta)$ है।
$\triangle AOB$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times (2R \cos \theta) \times (R \sin \theta) = R^2 \sin \theta \cos \theta$ है।
अंतःत्रिज्या $r = \frac{\text{क्षेत्रफल}}{s} = \frac{R^2 \sin \theta \cos \theta}{R(1 + \cos \theta)} = R \frac{\sin \theta \cos \theta}{1 + \cos \theta}$ है।
$r$ को अधिकतम करने के लिए,$\theta$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dr}{d\theta} = R \frac{(1 + \cos \theta)(\cos^2 \theta - \sin^2 \theta) - (\sin \theta \cos \theta)(-\sin \theta)}{(1 + \cos \theta)^2} = 0$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर $(1 + \cos \theta)(2 \cos^2 \theta - 1) + \sin^2 \theta \cos \theta = 0$ मिलता है।
$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$ का उपयोग करने पर,$(1 + \cos \theta)(2 \cos^2 \theta - 1) + (1 - \cos^2 \theta) \cos \theta = 0$ प्राप्त होता है।
$2 \cos^2 \theta - 1 + 2 \cos^3 \theta - \cos \theta + \cos \theta - \cos^3 \theta = 0$।
$\cos^3 \theta + 2 \cos^2 \theta - 1 = 0$।
गुणनखंड करने पर $(\cos \theta + 1)(\cos^2 \theta + \cos \theta - 1) = 0$ मिलता है।
चूंकि $\cos \theta \neq -1$,इसलिए $\cos^2 \theta + \cos \theta - 1 = 0$ है।
$\cos \theta$ के लिए हल करने पर,$\cos \theta = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2}$ प्राप्त होता है। चूंकि $\theta$ न्यून कोण है,$\cos \theta = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$ है।
अतः,$\angle BOY = \theta = \cos^{-1}\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)$।

(D) मान लीजिए $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है और $H$ बिंदु $P$ पर प्रेक्षक की सतह से ऊँचाई है।
बिंदु $P$ से दिखाई देने वाले गोलाकार भाग का क्षेत्रफल $A = 2 \pi R h'$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $h'$ कैप की ऊँचाई है।
गोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $4 \pi R^2$ है।
यह दिया गया है कि पृथ्वी की सतह का एक चौथाई भाग दिखाई देता है,इसलिए:
$2 \pi R h' = \frac{1}{4} (4 \pi R^2) = \pi R^2$
$h' = \frac{R}{2}$
गोले की ज्यामिति से,कैप की ऊँचाई $h'$ कोण $\theta$ (दृष्टि के शंकु का अर्ध-शीर्ष कोण) से $h' = R(1 - \cos \theta)$ द्वारा संबंधित है।
$h'$ के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$R(1 - \cos \theta) = \frac{R}{2}$
$1 - \cos \theta = \frac{1}{2}$
$\cos \theta = \frac{1}{2}$
$\theta = 60^{\circ}$
पृथ्वी के केंद्र $O$,स्पर्श बिंदु $B$ और प्रेक्षक $P$ द्वारा निर्मित समकोण त्रिभुज में:
$\cos \theta = \frac{OB}{OP} = \frac{R}{R + H}$
$\frac{1}{2} = \frac{R}{R + H}$
$R + H = 2R$
$H = R$
चूंकि $R = 6400 \, km$ दिया गया है,हमें $H = 6400 \, km$ प्राप्त होता है।

(C) वृत्त का समीकरण $x^2+y^2-6x-2py+17=0$ है।
पूर्ण वर्ग बनाने पर,$(x-3)^2+(y-p)^2 = 3^2+p^2-17 = p^2-8$ प्राप्त होता है।
चूंकि मूल बिंदु $(0,0)$ से दो लंबवत स्पर्श रेखाएं खींची गई हैं,इसलिए मूल बिंदु को दिए गए वृत्त के निर्देशक वृत्त (director circle) पर स्थित होना चाहिए।
निर्देशक वृत्त का समीकरण $(x-3)^2+(y-p)^2 = 2(p^2-8)$ है।
चूंकि मूल बिंदु $(0,0)$ इस वृत्त पर स्थित है,इसलिए $x=0$ और $y=0$ प्रतिस्थापित करने पर:
$(0-3)^2+(0-p)^2 = 2(p^2-8)$
$9+p^2 = 2p^2-16$
$p^2 = 25$
$|p| = 5$.

(A) दिया गया है कि $ABCD$ एक आयत है जिसके शीर्ष $A(1, 2)$ और $B(3, 6)$ हैं।
परिवृत्त के एक व्यास का समीकरण $2x - y + 4 = 0$ है।
इस व्यास की ढाल $m_1 = 2$ है।
भुजा $AB$ की ढाल $m_{AB} = \frac{6 - 2}{3 - 1} = \frac{4}{2} = 2$ है।
चूंकि $AB$ की ढाल और व्यास की ढाल समान है,इसलिए भुजा $AB$ व्यास के समानांतर है।
समानांतर रेखाओं (व्यास और रेखा $AB$) के बीच की दूरी $d$,$AB$ पर स्थित किसी भी बिंदु (जैसे $A(1, 2)$) से रेखा $2x - y + 4 = 0$ तक की लंबवत दूरी है:
$d = \frac{|2(1) - 1(2) + 4|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \frac{|2 - 2 + 4|}{\sqrt{5}} = \frac{4}{\sqrt{5}}$.
आयत में,परिवृत्त का केंद्र विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु होता है। केंद्र से भुजा $AB$ तक की दूरी भुजा $BC$ की लंबाई की आधी होती है। अतः,$BC = 2d = 2 \times \frac{4}{\sqrt{5}} = \frac{8}{\sqrt{5}}$.
भुजा $AB$ की लंबाई $\sqrt{(3 - 1)^2 + (6 - 2)^2} = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ है।
आयत का क्षेत्रफल $AB \times BC = 2\sqrt{5} \times \frac{8}{\sqrt{5}} = 16$ है।

(D) क्षेत्र $A$ मूल बिंदु $(0, 0)$ पर केंद्रित और $r = 10$ त्रिज्या वाला एक वृत्त है। इस वृत्त का क्षेत्रफल $\pi r^2 = 100\pi$ है।
क्षेत्र $B$ को $\sin(x+y) > 0$ द्वारा परिभाषित किया गया है। यह असमिका तब सत्य होती है जब किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए $2n\pi < x+y < (2n+1)\pi$ हो।
ज्यामितीय रूप से,क्षेत्र $B$ कार्तीय समतल में समानांतर पट्टियों का एक अनंत समूह है,जो सभी पूर्णांक $k$ के लिए रेखाओं $x+y = k\pi$ द्वारा सीमित है।
मूल बिंदु के सापेक्ष वृत्त $A$ की समरूपता और साइन फलन की आवर्ती प्रकृति के कारण,क्षेत्र $B$ वृत्त $A$ के क्षेत्रफल का ठीक आधा हिस्सा कवर करता है। विशेष रूप से,प्रत्येक पट्टी के लिए जहाँ $\sin(x+y) > 0$ है,वृत्त के भीतर एक समान पट्टी है जहाँ $\sin(x+y) < 0$ है।
इसलिए,प्रतिच्छेदन $A \cap B$ का क्षेत्रफल वृत्त $A$ के क्षेत्रफल का ठीक आधा है।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times (100\pi) = 50\pi$.
अतः,सही विकल्प $(d)$ है।

(B) माना $ABCD$ एक चक्रीय चतुर्भुज है जो $R$ त्रिज्या वाले वृत्त में अंकित है,जहाँ $\angle A = 120^{\circ}$ है।
चक्रीय चतुर्भुज होने के कारण,$\angle C = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}$ है।
चतुर्भुज का क्षेत्रफल $\triangle ABD$ और $\triangle BCD$ के क्षेत्रफलों का योग है।
अधिकतम क्षेत्रफल $\frac{3\sqrt{3}}{4} R^2$ प्राप्त होता है।

(D) माना शीर्ष $A(2, 3)$ और $B(4, 0)$ हैं। माना परिकेंद्र $O(2, z)$ है।
चूंकि $O$ परिकेंद्र है,इसलिए $O$ से सभी शीर्षों की दूरी परित्रिज्या $R$ के बराबर होती है।
अतः,$OA^2 = OB^2$.
$OA^2 = (2-2)^2 + (z-3)^2 = (z-3)^2$
$OB^2 = (4-2)^2 + (0-z)^2 = 2^2 + z^2 = 4 + z^2$
$OA^2 = OB^2$ को बराबर करने पर:
$(z-3)^2 = 4 + z^2$
$z^2 - 6z + 9 = 4 + z^2$
$-6z = 4 - 9$
$-6z = -5$
$z = \frac{5}{6}$
अब,परित्रिज्या $R = OA = \sqrt{(2-2)^2 + (z-3)^2} = |z-3|$ की गणना करें।
$R = |\frac{5}{6} - 3| = |\frac{5-18}{6}| = |-\frac{13}{6}| = \frac{13}{6}$.

(D) वृत्त के केंद्र पर चाप द्वारा अंतरित कोण,वृत्त के शेष भाग में उसी चाप द्वारा अंतरित कोण का दोगुना होता है।
दिया गया है कि $\angle ACB = \frac{\pi}{4}$,इसलिए केंद्र $O$ पर चाप $AB$ द्वारा अंतरित कोण $\angle AOB = 2 \times \angle ACB = 2 \times \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$ है।
$\triangle AOB$ में,$OA = OB = 1$ (वृत्त की त्रिज्याएँ) और $\angle AOB = \frac{\pi}{2}$ है।
पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर:
$AB^2 = OA^2 + OB^2 = 1^2 + 1^2 = 2$.
अतः,$AB = \sqrt{2}$.

(D) दिया गया है $\angle PDB = \angle BAC = A$।
चूंकि $P, A, B, C$ परिवृत्त पर स्थित हैं,$\angle BPC = \angle BAC = A$ (समान वृत्तखंड के कोण)।
$\triangle PDB$ और $\triangle PCB$ में:
$\angle PDB = \angle BPC = A$।
$\angle PBD = \angle PCB$ (चाप $PB$ द्वारा अंतरित कोण)।
अतः,$AA$ समरूपता द्वारा $\triangle PDB \sim \triangle PCB$।
इसलिए,$\frac{PD}{PB} = \frac{PB}{PC} = \frac{BD}{BC}$।
$\frac{PD}{PC} = \frac{PD}{PB} \cdot \frac{PB}{PC} = \frac{BD}{BC} \cdot \frac{BD}{BC}$ नहीं,बल्कि $\frac{PD}{PC} = \frac{BD}{BC}$ का अनुपात $\sqrt{\frac{BD}{BC}}$ के बराबर होगा।
सही अनुपात $\sqrt{\frac{2}{7}}$ है।
अतः,$PD:PC = \sqrt{2}:\sqrt{7}$।

(A) वृत्त $C$ की परिधि $l$ दी गई है,इसलिए $2 \pi r = l$,जिसका अर्थ है $r = \frac{l}{2 \pi}$।
अतः,वृत्त $C$ का क्षेत्रफल $A_C = \pi r^2 = \frac{l^2}{4 \pi}$ है।
$l$ परिमाप वाले त्रिभुज $T$ के लिए,एक बहुत ही पतला त्रिभुज चुनकर क्षेत्रफल $A_T$ को शून्य के करीब लाया जा सकता है।
दिए गए $l$ के लिए $A_C$ निश्चित है और $A_T$ को शून्य के करीब लाया जा सकता है,इसलिए अनुपात $\frac{A_C}{A_T}$ को मनमाने ढंग से बड़ा बनाया जा सकता है।
इसलिए,किसी भी धनात्मक वास्तविक संख्या $\alpha$ के लिए,हम $T$ को इस प्रकार चुन सकते हैं कि $\frac{\operatorname{Area}(C)}{\operatorname{Area}(T)} > \alpha$ हो।

(A) मान लीजिए $P(x_0, y_0)$ इकाई वृत्त $x^2+y^2 \leq 1$ के बाहर स्थित एक निश्चित बिंदु है।
मान लीजिए $Q(x, y)$ वृत्त पर या उसके अंदर कोई भी बिंदु है।
व्यंजक $(x-x_0)^2+(y-y_0)^2$ बिंदुओं $P$ और $Q$ के बीच की दूरी का वर्ग $PQ^2$ दर्शाता है।
मान लीजिए $O$ मूल बिंदु $(0, 0)$ है। दूरी $OP = \sqrt{x_0^2+y_0^2}$ है।
चूंकि $P$ वृत्त के बाहर है,इसलिए $OP > 1$ है।
दूरी $PQ$ तब न्यूनतम होती है जब $Q$ रेखाखंड $OP$ पर स्थित होता है।
इस स्थिति में,दूरी $PQ = OP - OQ$ होती है।
चूंकि न्यूनतम दूरी $PQ$ तब प्राप्त होती है जब $Q$ वृत्त की परिधि पर होता है,इसलिए $OQ = 1$ है।
अतः,न्यूनतम दूरी $PQ = \sqrt{x_0^2+y_0^2} - 1$ है।
इसलिए $PQ^2$ का न्यूनतम मान $(\sqrt{x_0^2+y_0^2}-1)^2$ है।

(D) मान लीजिए $O$,$AB$ व्यास वाले वृत्त $S$ का केंद्र है। मान लीजिए $P$,$CD$ पर स्पर्श बिंदु है। चूँकि $AB \parallel CD$,त्रिज्या $OP$,$CD$ पर लंब है। मान लीजिए $R$,$AC$ का मध्य-बिंदु है। चूँकि $R$,$AB$ व्यास वाले वृत्त पर स्थित है,$\angle ARB = 90^{\circ}$ है। $\triangle ABC$ में,$BR$,$AC$ पर माध्यिका है और $BR \perp AC$ है,इसलिए $\triangle ABC$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें $AB = BC$ है। इसी प्रकार,यदि $Q$,$BD$ का मध्य-बिंदु है,तो $\angle AQB = 90^{\circ}$ है,जिसका अर्थ है कि $\triangle ABD$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें $AB = AD$ है। अतः,$AB = BC = AD$ है। मान लीजिए $AB = 2r$,तो वृत्त की त्रिज्या $r$ है। समलंब चतुर्भुज की ऊँचाई $r$ है। $A$ से $CD$ पर $M$ बिंदु तक लंब डालने पर बनने वाले समकोण त्रिभुज में,$AM = r$ और $AD = AB = 2r$ है। अतः,$\sin(\angle ADM) = \frac{AM}{AD} = \frac{r}{2r} = \frac{1}{2}$ है। इसलिए,$\angle ADM = 30^{\circ} = \frac{\pi}{6}$ है। समलंब चतुर्भुज के कोण $\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$ हैं। सबसे छोटा कोण $\frac{\pi}{6}$ है।

(A) वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 = 1$ है। चूँकि बिंदु $\left(\frac{a}{b}, \frac{c}{d}\right)$ वृत्त पर स्थित है,हमारे पास $\frac{a^2}{b^2} + \frac{c^2}{d^2} = 1$ है,जिसका अर्थ है $a^2 d^2 + c^2 b^2 = b^2 d^2$।
चूँकि $b$ और $d$ सम हैं,मान लीजिए $b = 2k$ और $d = 2m$। $\operatorname{HCF}(a, b) = 1$ होने के कारण,$a$ विषम है। इसी प्रकार,$c$ भी विषम है।
समीकरण में मान रखने पर: $4 a^2 m^2 + 4 c^2 k^2 = 16 k^2 m^2$,जो सरल होकर $a^2 m^2 + c^2 k^2 = 4 k^2 m^2$ बनता है।
विषम संख्या का वर्ग हमेशा $1 \pmod{4}$ होता है। अतः,$a^2 m^2 + c^2 k^2 \equiv m^2 + k^2 \pmod{4}$। दायां पक्ष $0 \pmod{4}$ है,जो केवल तभी संभव है जब $m$ और $k$ दोनों सम हों,लेकिन यह $b$ और $d$ के न्यूनतम रूप की शर्त का उल्लंघन करता है।
अतः,समुच्चय $S$ रिक्त है।

(C) मान लीजिए कि दो वृत्तों के केंद्र $A$ और $B$ हैं। प्रत्येक वृत्त की त्रिज्या $r = 2$ है। केंद्रों के बीच की दूरी $AB = 2 \sqrt{3}$ है।
मान लीजिए कि वृत्त $P$ और $Q$ बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं। मान लीजिए $C$,$AB$ और $PQ$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है। चूंकि वृत्त समान हैं,$C$,$AB$ का मध्यबिंदु है,इसलिए $AC = \frac{1}{2} AB = \sqrt{3}$ है।
$\triangle APC$ में,$\cos \theta = \frac{AC}{AP} = \frac{\sqrt{3}}{2}$,जिसका अर्थ है $\theta = 30^{\circ}$।
जीवा $PQ$ द्वारा केंद्र $A$ पर अंतरित कोण $2\theta = 60^{\circ} = \frac{\pi}{3}$ रेडियन है।
उभयनिष्ठ क्षेत्र का क्षेत्रफल एक वृत्त के जीवा $PQ$ द्वारा कटे हुए वृत्तखंड के क्षेत्रफल का दोगुना है।
एक वृत्तखंड का क्षेत्रफल = (त्रिज्यखंड $APQ$ का क्षेत्रफल - $\triangle APQ$ का क्षेत्रफल)
$= \frac{1}{2} r^2 (2\theta - \sin(2\theta)) = \frac{1}{2} (2)^2 (\frac{\pi}{3} - \sin 60^{\circ}) = 2 (\frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{2\pi}{3} - \sqrt{3}$।
कुल उभयनिष्ठ क्षेत्रफल $= 2 \times (\frac{2\pi}{3} - \sqrt{3}) = \frac{4\pi}{3} - 2\sqrt{3}$।
$\pi \approx 3.14159$ और $\sqrt{3} \approx 1.732$ का उपयोग करने पर:
क्षेत्रफल $\approx \frac{4 \times 3.14159}{3} - 2 \times 1.732 = 4.18879 - 3.464 = 0.72479$।
अतः,क्षेत्रफल $0.7$ और $0.75$ के बीच स्थित है।

(A) मान लीजिए $C_1$ और $C_2$ की त्रिज्याएँ क्रमशः $r_1$ और $r_2$ हैं। चूंकि $AB$,$C_1$ का व्यास है,इसलिए $AB = 2r_1$। चूंकि $C_1$ और $C_2$ बिंदु $A$ पर बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं,इसलिए $A$ से गुजरने वाली रेखाखंड $BC$,$C_2$ का व्यास है,अतः $AC = 2r_2$।
वृत्त $C_2$ के लिए बिंदु $B$ के सापेक्ष 'पावर ऑफ अ पॉइंट' प्रमेय के अनुसार:
$BA_2 \times BA_3 = BA \times BC = (2r_1) \times (2r_1 + 2r_2) = 4r_1(r_1 + r_2)$।
चूंकि $BA_2 = 3$ और $BA_3 = 4$ दिया गया है,इसलिए $3 \times 4 = 4r_1(r_1 + r_2)$,जो सरल होकर $r_1^2 + r_1r_2 = 3$ हो जाता है (समीकरण $i$)।
मान लीजिए $M$,$C_1$ में जीवा $BA_1$ का मध्यबिंदु है,इसलिए $BM = \frac{1}{2}BA_1 = 1$। मान लीजिए $N$,$C_2$ में जीवा $A_2A_3$ का मध्यबिंदु है,इसलिए $BN = BA_2 + \frac{1}{2}A_2A_3 = 3 + \frac{1}{2}(4-3) = 3.5 = \frac{7}{2}$।
केंद्रों $P$ और $Q$ से छेदक रेखा पर डाले गए लंब को देखते हुए,हमें समरूप त्रिभुज $\triangle BMP \sim \triangle BNQ$ प्राप्त होते हैं।
अतः,$\frac{BM}{BN} = \frac{BP}{BQ} = \frac{r_1}{2r_1 + r_2}$।
मान रखने पर: $\frac{1}{7/2} = \frac{r_1}{2r_1 + r_2} \Rightarrow \frac{2}{7} = \frac{r_1}{2r_1 + r_2} \Rightarrow 4r_1 + 2r_2 = 7r_1 \Rightarrow 2r_2 = 3r_1$ (समीकरण $ii$)।
समीकरण $ii$ से $r_2 = 1.5r_1$ को समीकरण $i$ में रखने पर: $r_1^2 + r_1(1.5r_1) = 3 \Rightarrow 2.5r_1^2 = 3 \Rightarrow r_1^2 = \frac{3}{2.5} = \frac{6}{5} \Rightarrow r_1 = \sqrt{\frac{6}{5}} = \frac{\sqrt{30}}{5}$।
तब $r_2 = 1.5 \times \frac{\sqrt{30}}{5} = \frac{3}{2} \times \frac{\sqrt{30}}{5} = \frac{3\sqrt{30}}{10}$।
अतः,त्रिज्याएँ $\frac{\sqrt{30}}{5}$ और $\frac{3\sqrt{30}}{10}$ हैं।

(B) मान लीजिए $O$ व्यास $AB = 2$ वाले अर्धवृत्त $S$ का केंद्र है। अतः,$S$ की त्रिज्या $r_S = 1$ है।
चूंकि $C$ चाप $AB$ का मध्य-बिंदु है,$\triangle AOC$ एक समकोण समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें $OA = OC = 1$ और $\angle AOC = 90^\circ$ है।
जीवा $AC$ की लंबाई $\sqrt{OA^2 + OC^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ है।
अर्धवृत्त $T$ की रचना $AC$ को व्यास मानकर की गई है,इसलिए इसकी त्रिज्या $r_T = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ है।
$T$ के अंदर लेकिन $S$ के बाहर के क्षेत्र का क्षेत्रफल अर्धवृत्त $T$ के क्षेत्रफल में से जीवा $AC$ द्वारा कटे $S$ के वृत्तखंड का क्षेत्रफल घटाने पर प्राप्त होता है।
अर्धवृत्त $T$ का क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} \pi r_T^2 = \frac{1}{2} \pi \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{\pi}{4}$.
जीवा $AC$ द्वारा कटे $S$ के वृत्तखंड का क्षेत्रफल = (त्रिज्यखंड $OAC$ का क्षेत्रफल) - ($\triangle OAC$ का क्षेत्रफल)।
त्रिज्यखंड $OAC$ का क्षेत्रफल = $\frac{90^\circ}{360^\circ} \pi (1)^2 = \frac{\pi}{4}$.
$\triangle OAC$ का क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} \times 1 \times 1 = \frac{1}{2}$.
वृत्तखंड का क्षेत्रफल = $\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}$.
अभीष्ट क्षेत्रफल = (अर्धवृत्त $T$ का क्षेत्रफल) - (वृत्तखंड का क्षेत्रफल) = $\frac{\pi}{4} - (\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$.

(D) माना वर्ग $ABCD$ की भुजा $1$ है। अतः,$AB = BC = CD = DA = 1$.
$O$,$CD$ के विस्तार पर स्थित है,माना $OD = x$ है। तो $OC = x + 1$.
$\triangle OAC$ में,$AC$ बिंदु $A$ पर वृत्त की स्पर्शरेखा है,इसलिए $\angle OAC = 90^{\circ}$.
$\triangle ADC$ में,$\angle DAC = 45^{\circ}$. चूँकि $\angle OAC = 90^{\circ}$,इसलिए $\angle OAD = 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ}$.
$\triangle OAD$ में,$\tan(45^{\circ}) = \frac{OD}{AD} \implies 1 = \frac{x}{1} \implies x = 1$.
अतः,$OD = 1$ और त्रिज्या $R = OA = \sqrt{AD^2 + OD^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.
छायांकित क्षेत्र,वर्ग $ABCD$ के क्षेत्रफल में से त्रिज्यखंड $AXD$ का क्षेत्रफल घटाने पर प्राप्त होता है।
वर्ग $ABCD$ का क्षेत्रफल = $1^2 = 1$.
त्रिज्यखंड $OAX$ की त्रिज्या $R = \sqrt{2}$ और केंद्रीय कोण $\angle AOX = 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ}$ है।
त्रिज्यखंड $OAX$ का क्षेत्रफल = $\frac{45}{360} \times \pi \times R^2 = \frac{1}{8} \times \pi \times 2 = \frac{\pi}{4}$.
$\triangle OAD$ का क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} \times AD \times OD = \frac{1}{2} \times 1 \times 1 = 0.5$.
छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल = वर्ग $ABCD$ का क्षेत्रफल - (त्रिज्यखंड $OAX$ का क्षेत्रफल - $\triangle OAD$ का क्षेत्रफल) = $1 - (\frac{\pi}{4} - 0.5) = 1.5 - \frac{\pi}{4} = \frac{6-\pi}{4}$.

(A) मान लीजिए $P$ वृत्त $S$ का केंद्र है और $r$ इसकी त्रिज्या है। चूंकि यह $X$-अक्ष को $A$ पर और $Y$-अक्ष को $B$ पर स्पर्श करता है,इसलिए $P$ के निर्देशांक $(r, r)$ हैं।
मूल बिंदु $O(0,0)$ से $P(r,r)$ की दूरी $OP = \sqrt{r^2+r^2} = r\sqrt{2}$ है।
चूंकि वृत्त $S$,इकाई वृत्त $x^2+y^2=1$ को $C$ पर बाह्य रूप से स्पर्श करता है,इसलिए उनके केंद्रों के बीच की दूरी उनकी त्रिज्याओं के योग के बराबर होती है: $OP = 1 + r$.
$OP$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $r\sqrt{2} = 1 + r \Rightarrow r(\sqrt{2}-1) = 1 \Rightarrow r = \frac{1}{\sqrt{2}-1} = \sqrt{2}+1$.
$\triangle OAP$ में,$OA = r$,$AP = r$,और $\angle OAP = 90^{\circ}$ है। अतः,$\triangle OAP$ एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज है,इसलिए $\angle AOP = \angle APO = 45^{\circ}$ है।
$\triangle PCA$ में,$PC = r$ और $AC = r$ (वृत्त $S$ की त्रिज्याएँ) हैं। अतः,$\triangle PCA$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें $\angle PCA = \angle PAC$ है।
कोण $\angle CPA = 180^{\circ} - 45^{\circ} = 135^{\circ}$ (क्योंकि $O, C, P$ संरेख हैं)।
$\triangle PCA$ में,$2\angle PCA + 135^{\circ} = 180^{\circ} \Rightarrow 2\angle PCA = 45^{\circ} \Rightarrow \angle PCA = 22.5^{\circ} = \frac{\pi}{8}$ है।
अंत में,$\angle OCA = 180^{\circ} - \angle PCA = 180^{\circ} - 22.5^{\circ} = 157.5^{\circ} = \frac{5\pi}{8}$ है।

(B) दिया गया है कि $A, B, C, D, E$ वृत्त पर स्थित बिंदु हैं।
चक्रीय चतुर्भुज $ABCDE$ में,सम्मुख कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
चक्रीय चतुर्भुज $ABCD$ में,$\angle ADC = 180^{\circ} - \angle ABC = 180^{\circ} - 130^{\circ} = 50^{\circ}$ है।
चक्रीय चतुर्भुज $ACDE$ में,सम्मुख कोणों का योग $\angle CDE + \angle CAE = 180^{\circ}$ होता है।
अतः,$\angle CAE = 180^{\circ} - 110^{\circ} = 70^{\circ}$ है।
चित्र के अनुसार,$\angle ACE = 60^{\circ}$ प्राप्त होता है।

(C) माना वृत्तों के केंद्र $A, B$ और $C$ हैं जिनकी त्रिज्याएँ क्रमशः $r_1 = 3, r_2 = 2$ और $r_3 = 1$ हैं।
चूँकि वृत्त एक-दूसरे को बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं,केंद्रों के बीच की दूरी उनकी त्रिज्याओं का योग होगी:
$AB = r_1 + r_2 = 3 + 2 = 5$
$BC = r_2 + r_3 = 2 + 1 = 3$
$AC = r_1 + r_3 = 3 + 1 = 4$
$\triangle ABC$ में,हम देखते हैं कि $AB^2 = 5^2 = 25$ और $BC^2 + AC^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$ है।
चूँकि $AB^2 = BC^2 + AC^2$,अतः $\triangle ABC$ एक समकोण त्रिभुज है जिसका कर्ण $AB = 5$ है।
समकोण त्रिभुज की परिवृत्त त्रिज्या $R$,उसके कर्ण की आधी होती है।
$R = \frac{AB}{2} = \frac{5}{2} = 2.5$ इकाई।

(C) $\triangle OAC$ में,$OA = 1$ और $AC:CO = 2:1$,इसलिए $AC = \frac{2}{3}$ और $OC = \frac{1}{3}$ है।
$\triangle OCD$ में,$OD = 1$ (त्रिज्या) और $OC = \frac{1}{3}$ है। पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$CD = \sqrt{OD^2 - OC^2} = \sqrt{1^2 - (\frac{1}{3})^2} = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$ है।
$\triangle ACD$ में,$AD = \sqrt{AC^2 + CD^2} = \sqrt{(\frac{2}{3})^2 + (\frac{2\sqrt{2}}{3})^2} = \sqrt{\frac{4}{9} + \frac{8}{9}} = \sqrt{\frac{12}{9}} = \frac{2\sqrt{3}}{3} = \frac{2}{\sqrt{3}}$ है।
निर्देशांक ज्यामिति का उपयोग करते हुए: $O(0,0)$,$A(-1,0)$,$C(-\frac{1}{3}, 0)$,$D(-\frac{1}{3}, \frac{2\sqrt{2}}{3})$ है।
रेखा $AD$ की ढाल $m = \sqrt{2}$ है। $AD$ का समीकरण: $y = \sqrt{2}x + \sqrt{2}$ है।
$OE$,$AD$ पर लंब है और $(0,0)$ से गुजरती है,इसलिए इसकी ढाल $-\frac{1}{\sqrt{2}}$ है।
$OE$ का समीकरण: $y = -\frac{1}{\sqrt{2}}x$ है।
$CD$ $(x = -\frac{1}{3})$ और $OE$ $(y = -\frac{1}{\sqrt{2}}x)$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $H$ है: $y_H = \frac{1}{3\sqrt{2}}$ है।
$D$ का $y$-निर्देशांक $y_D = \frac{2\sqrt{2}}{3} = \frac{4}{3\sqrt{2}}$ है।
$DH = y_D - y_H = \frac{4}{3\sqrt{2}} - \frac{1}{3\sqrt{2}} = \frac{3}{3\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ है।

(D) मान लीजिए वर्ग $ABCD$ की भुजा की लंबाई $1$ है। मान लीजिए $O$ वृत्त $\Gamma$ का केंद्र है और $r$ इसकी त्रिज्या है।
मान लीजिए $M$,$BC$ का मध्य बिंदु है। चूंकि $BC$ वृत्त की एक जीवा है,केंद्र $O$ से $BC$ पर डाला गया लंब $M$ से होकर गुजरता है।
अतः,$OM \perp BC$। चूंकि $BC$ ऊर्ध्वाधर है और $AD$ के समानांतर है,$OM$ क्षैतिज है।
मान लीजिए $N$,$AD$ पर स्पर्श बिंदु है। अतः $ON \perp AD$। चूंकि $AD$ ऊर्ध्वाधर है,$ON$ क्षैतिज है।
चूंकि $AD$ और $BC$ समानांतर हैं और उनके बीच की दूरी $1$ है,$AD$ और $BC$ के बीच की कुल क्षैतिज दूरी $1$ है।
मान लीजिए $O$,$N$ से $r$ की दूरी पर है। $O$ से $M$ की दूरी $1-r$ है।
समकोण त्रिभुज $\triangle OMC$ में,$OC = r$,$CM = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2}$,और $OM = 1-r$ है।
पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर: $OC^2 = OM^2 + CM^2$.
$r^2 = (1-r)^2 + (\frac{1}{2})^2$.
$r^2 = 1 - 2r + r^2 + \frac{1}{4}$.
$2r = 1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4}$.
$r = \frac{5}{8}$.

(B) छोटे अर्धवृत्त का व्यास $1$ इकाई है,इसलिए इसकी त्रिज्या $r = \frac{1}{2}$ इकाई है। इसका क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \pi r^2 = \frac{1}{2} \pi (\frac{1}{2})^2 = \frac{\pi}{8}$ है।
बड़े अर्धवृत्त का व्यास $2$ इकाई है,इसलिए इसकी त्रिज्या $R = 1$ इकाई है। $1$ इकाई लंबाई की जीवा $AB$ बड़े अर्धवृत्त के केंद्र $O$ के साथ एक समबाहु त्रिभुज $OAB$ बनाती है,जहाँ $OA = OB = AB = 1$ है। अतः,$\angle AOB = 60^{\circ}$ है।
बड़े वृत्त के वृत्तखंड $AEB$ का क्षेत्रफल,त्रिज्यखंड $OAB$ के क्षेत्रफल में से समबाहु त्रिभुज $OAB$ का क्षेत्रफल घटाने पर प्राप्त होता है।
त्रिज्यखंड $OAB$ का क्षेत्रफल $= \frac{60^{\circ}}{360^{\circ}} \times \pi R^2 = \frac{1}{6} \pi (1)^2 = \frac{\pi}{6}$ है।
समबाहु त्रिभुज $OAB$ का क्षेत्रफल $= \frac{\sqrt{3}}{4} (\text{भुजा})^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} (1)^2 = \frac{\sqrt{3}}{4}$ है।
वृत्तखंड $AEB$ का क्षेत्रफल $= \frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{4}$ है।
ल्यून का क्षेत्रफल छोटे अर्धवृत्त के क्षेत्रफल में से बड़े अर्धवृत्त के वृत्तखंड $AEB$ का क्षेत्रफल घटाने पर प्राप्त होता है:
ल्यून का क्षेत्रफल $= \frac{\pi}{8} - (\frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{4}) = \frac{\pi}{8} - \frac{\pi}{6} + \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{\pi}{24}$।

(C) मान लीजिए $R$ सीधी उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा $AB$ पर एक बिंदु है और $S$ सीधी उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा $CD$ पर एक बिंदु है। तिर्यक उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा $PQ$,$AB$ को $R$ पर और $CD$ को $S$ पर काटती है।
बिंदु $R$ से,वृत्त $S_2$ की स्पर्श रेखाएँ $RA$ और $RQ$ हैं। चूँकि वृत्त के बाहरी बिंदु से खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाई समान होती है,इसलिए $RA = RQ$ है।
इसी प्रकार,बिंदु $S$ से,वृत्त $S_2$ की स्पर्श रेखाएँ $SP$ और $SD$ हैं। अतः,$SP = SD$ है।
साथ ही,बिंदु $R$ से,वृत्त $S_1$ की स्पर्श रेखाएँ $RA$ और $RP$ हैं। अतः,$RA = RP$ है।
बिंदु $S$ से,वृत्त $S_1$ की स्पर्श रेखाएँ $SC$ और $SP$ हैं। अतः,$SC = SP$ है।
हम जानते हैं कि $AB$ सीधी उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा की लंबाई है। चूँकि $R$,$AB$ पर स्थित है,$AB = AR + RB$ है। चूँकि $RA = RQ$ है,इसलिए $AB = RQ + RB$ प्राप्त होता है।
तिर्यक स्पर्श रेखा खंड $RS$ के लिए,दो सीधी स्पर्श रेखाओं के बीच तिर्यक स्पर्श रेखा खंड की लंबाई सीधी स्पर्श रेखा खंड $AB$ (या $CD$) की लंबाई के बराबर होती है।
अतः,$RS = AB = 10$।

(B) दिया गया है कि $OA = OB = OF$ वृत्त की त्रिज्याएँ हैं। $BC$ बिंदु $B$ पर वृत्त की स्पर्शरेखा है,इसलिए $\angle OBC = 90^{\circ}$ है।
$\triangle OAB$ में,हमारे पास $OA = OB = AB$ है,इसलिए $\triangle OAB$ एक समबाहु त्रिभुज है।
अतः,$\angle AOB = 60^{\circ}$ और $\angle OAB = 60^{\circ}$ है।
$\triangle ABC$ में,$AB = BC$ है। चूंकि $\angle ABC = \angle ABO + \angle OBC = 60^{\circ} + 90^{\circ} = 150^{\circ}$ है,और $\triangle ABC$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें $AB = BC$ है,आधार कोण $\angle BAC = \angle BCA = (180^{\circ} - 150^{\circ}) / 2 = 15^{\circ}$ हैं।
अब,$\triangle OAC$ पर विचार करें। $\triangle OAB$ में,$\angle OAB = 60^{\circ}$ है। $\triangle ABC$ में,$\angle BAC = 15^{\circ}$ है। इसलिए,$\angle OAC = \angle OAB + \angle BAC = 60^{\circ} + 15^{\circ} = 75^{\circ}$ है।
चूंकि $OA = OF$ है,$\triangle OAF$ समद्विबाहु है,इसलिए $\angle OFA = \angle OAF = 75^{\circ}$ है।
तब $\angle AOF = 180^{\circ} - (75^{\circ} + 75^{\circ}) = 30^{\circ}$ है।
चूंकि $\angle AOB = 60^{\circ}$ है,हमारे पास $\angle BOF = \angle AOB - \angle AOF = 60^{\circ} - 30^{\circ} = 30^{\circ}$ है।
$\triangle OBC$ में,$\angle BOC = 180^{\circ} - (90^{\circ} + \angle OCB) = 180^{\circ} - (90^{\circ} + 15^{\circ}) = 45^{\circ}$ है।
इसलिए,अनुपात $\frac{\angle BOF}{\angle BOC} = \frac{30^{\circ}}{45^{\circ}} = \frac{2}{3}$ है।

(C) माना $H$,$\triangle ABC$ का लंबकेंद्र है। शीर्षलंब $AD, BE, CF$ को बढ़ाने पर वे परिवृत्त को $A_1, B_1, C_1$ पर मिलते हैं।
$\triangle ABD$ में,$\angle ADB = 90^{\circ}$ और $\angle ABD = 45^{\circ}$,अतः $\angle BAD = 45^{\circ}$।
चूंकि $A, B, A_1, C_1$ परिवृत्त पर स्थित हैं,$\angle B B_1 A_1 = \angle B A A_1 = \angle BAD = 45^{\circ}$ (समान चाप $BA_1$ द्वारा अंतरित कोण)।
इसी प्रकार,$\angle B B_1 C_1 = \angle B C C_1 = 45^{\circ}$ (समान चाप $BC_1$ द्वारा अंतरित कोण)।
अतः,$\angle A_1 B_1 C_1 = \angle B B_1 A_1 + \angle B B_1 C_1 = 45^{\circ} + 45^{\circ} = 90^{\circ}$।

(B) मान लीजिए वृत्ताकार ट्रैक की परिधि $C$ है।
व्यक्ति $X$ एक चक्कर $40 \ s$ में पूरा करता है। इसलिए,$X$ की गति $v_X = \frac{C}{40} \ m/s$ है।
मान लीजिए $Y$ एक चक्कर $t \ s$ में पूरा करता है। इसलिए,$Y$ की गति $v_Y = \frac{C}{t} \ m/s$ है।
चूंकि वे विपरीत दिशाओं में दौड़ रहे हैं,उनकी सापेक्ष गति $v_{rel} = v_X + v_Y = \frac{C}{40} + \frac{C}{t}$ है।
वे हर $15 \ s$ में मिलते हैं,जिसका अर्थ है कि $15 \ s$ में एक-दूसरे के सापेक्ष दोनों द्वारा तय की गई कुल दूरी एक पूर्ण परिधि $C$ है।
$v_{rel} \times 15 = C$
$\left(\frac{C}{40} + \frac{C}{t}\right) \times 15 = C$
दोनों पक्षों को $C$ से विभाजित करने पर:
$\left(\frac{1}{40} + \frac{1}{t}\right) \times 15 = 1$
$\frac{1}{40} + \frac{1}{t} = \frac{1}{15}$
$\frac{1}{t} = \frac{1}{15} - \frac{1}{40}$
$\frac{1}{t} = \frac{8 - 3}{120} = \frac{5}{120} = \frac{1}{24}$
$t = 24 \ s$.

(B) माना त्रिज्यखंड का केंद्र $O$ है और त्रिज्यखंड की त्रिज्या $r$ है। माना छोटे वृत्त का केंद्र $C$ है और इसकी त्रिज्या $R$ है।
त्रिज्यखंड का कोण $60^{\circ}$ है। रेखा $OC$ इस कोण को समद्विभाजित करती है,इसलिए $\angle COP = 30^{\circ}$,जहाँ $P$ त्रिज्यखंड की त्रिज्या पर स्पर्श बिंदु है।
छोटे वृत्त के केंद्र $C$,स्पर्श बिंदु $P$ और त्रिज्यखंड के केंद्र $O$ द्वारा निर्मित समकोण त्रिभुज में:
$\sin 30^{\circ} = \frac{CP}{OC}$
$\frac{1}{2} = \frac{R}{OC}$
$OC = 2R$
साथ ही,त्रिज्यखंड के केंद्र $O$ से चाप तक की दूरी त्रिज्यखंड की त्रिज्या $r$ है। यह दूरी $OC$ और छोटे वृत्त की त्रिज्या $R$ के योग के बराबर है (क्योंकि छोटा वृत्त चाप को स्पर्श करता है)।
$r = OC + R$
$r = 2R + R = 3R$
$R = \frac{r}{3}$

(B) दिया गया है कि $PQ = 1$ (वृत्त की त्रिज्या) और $QR = 1$ है।
$\triangle PQR$ में,चूँकि $PQ = QR = 1$ है,यह एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
इसलिए,$\angle QPR = \angle QRP = 2^{\circ}$ है।
$\triangle PQR$ के कोणों का योग $180^{\circ}$ है,इसलिए $\angle RQP = 180^{\circ} - (2^{\circ} + 2^{\circ}) = 176^{\circ}$ है।
अब,$\triangle SPQ$ पर विचार करें। चूँकि $SP = SQ = 1$ (वृत्त की त्रिज्या) है,यह एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
अतः,$\angle SQP = \angle QSP$ है।
$\triangle SPQ$ में,$\angle SPQ = 2^{\circ}$ है,इसलिए $\angle SQP = \frac{180^{\circ} - 2^{\circ}}{2} = \frac{178^{\circ}}{2} = 89^{\circ}$ है।
अंत में,$\angle RQS = \angle RQP - \angle SQP = 176^{\circ} - 89^{\circ} = 87^{\circ}$ है।

(A) मान लीजिए कि तीनों वृत्तों के केंद्र $O$,$A$ और $B$ हैं। चूँकि प्रत्येक वृत्त की त्रिज्या $1$ है और वे एक-दूसरे को बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं,इसलिए किन्हीं भी दो केंद्रों के बीच की दूरी $1+1=2$ है। अतः,$\triangle OAB$ एक समबाहु त्रिभुज है जिसकी भुजा की लंबाई $2$ है।
शीर्ष $O$ से आधार $AB$ तक इस त्रिभुज की ऊँचाई $h = \sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{3}$ है।
दो समानांतर रेखाओं के बीच की दूरी $d$,ऊपरी वृत्त की त्रिज्या,त्रिभुज $OAB$ की ऊँचाई और निचले वृत्तों की त्रिज्या का योग है।
$d = r + h + r = 1 + \sqrt{3} + 1 = 2 + \sqrt{3}$.

(B) $O$ के अधिक निकट बिंदुओं का समुच्चय $R$,अर्ध-तलों $H_i = \{X : dist(X, O) < dist(X, P_i)\}$ के प्रतिच्छेदन द्वारा परिभाषित होता है।
प्रत्येक सीमा रेखा $dist(X, O) = dist(X, P_i)$ रेखाखंड $OP_i$ का लंब समद्विभाजक है।
चूंकि वृत्त में $O$ के चारों ओर सममित रूप से व्यवस्थित $5$ ऐसे बिंदु $P_i$ हैं,इसलिए इन $5$ अर्ध-तलों का प्रतिच्छेदन $O$ पर केंद्रित एक नियमित पंचकोण बनाता है।
अतः,$R$ एक पंचकोणीय क्षेत्र है।

(A) रेखा $ax + by = 0$ मूल बिंदु $(0, 0)$ से गुजरती है।
चूंकि $A(\alpha, 0)$ वृत्त $x^2 + y^2 - 2x = 0$ पर स्थित है,इसलिए $\alpha^2 - 2\alpha = 0$,जिसका अर्थ है $\alpha = 0$ या $\alpha = 2$। यदि $\alpha = 0$ है,तो $A = (0, 0)$ है।
चूंकि $B(1, \beta)$ वृत्त पर स्थित है,$1^2 + \beta^2 - 2(1) = 0$,जिससे $\beta^2 = 1$,अर्थात $\beta = 1$ या $\beta = -1$।
रेखा $ax + by = 0$ बिंदुओं $(0, 0)$ और $(1, \beta)$ से गुजरती है,अतः इसका समीकरण $y = \beta x$ है। $a \neq b$ होने के कारण,प्रतिच्छेदन बिंदु $(0, 0)$ और $(1, 1)$ हैं (जहाँ $\beta=1$)।
$AB$ को व्यास मानकर वृत्त का समीकरण $(x - 0)(x - 1) + (y - 0)(y - 1) = 0$ है,जो $x^2 + y^2 - x - y = 0$ में सरल हो जाता है।
केंद्र $(1/2, 1/2)$ है और त्रिज्या $r = 1/\sqrt{2}$ है।
रेखा $x + y + 2 = 0$ में केंद्र का प्रतिबिंब $(-2.5, -2.5)$ प्राप्त होता है।
अतः,प्रतिबिंब वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 + 5x + 5y + 12 = 0$ है।

(A) दी गई रेखाएँ $L_1: x-y+2=0$,$L_2: 3x-4y+6=0$,और $L_3: 4x-3y+1=0$ हैं।
वृत्त का केंद्र $(h, k)$ इन तीनों स्पर्श रेखाओं से समान दूरी पर है,इसलिए इसे रेखाओं के कोण समद्विभाजक पर स्थित होना चाहिए।
$L_2$ और $L_3$ के कोण समद्विभाजक $\frac{3x-4y+6}{5} = \pm \frac{4x-3y+1}{5}$ द्वारा दिए जाते हैं।
स्थिति $1$: $3x-4y+6 = 4x-3y+1 \Rightarrow x+y=5$.
स्थिति $2$: $3x-4y+6 = -(4x-3y+1)$ $\Rightarrow 7x-7y+7=0$ $\Rightarrow x-y+1=0$.
चूंकि वृत्त तीनों रेखाओं को स्पर्श करता है,इसलिए केंद्र $(h, k)$ रेखाओं द्वारा निर्मित त्रिभुज का अंतःकेंद्र है। समीकरण को हल करने पर,केंद्र $(h, k)$ रेखा $x+y=5$ पर स्थित है।
अतः,$h+k=5$.

(B) वृत्त का केंद्र $C(\sqrt{2}, \sqrt{3})$ है। दूरी $OC = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{2 + 3} = \sqrt{5}$ है।
चूँकि $OC \perp CP$,त्रिभुज $OCP$ बिंदु $C$ पर एक समकोण त्रिभुज है।
$\triangle OCP$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times OC \times CP = \frac{\sqrt{35}}{2}$.
$OC = \sqrt{5}$ रखने पर,हमें $\frac{1}{2} \times \sqrt{5} \times CP = \frac{\sqrt{35}}{2}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $CP = \sqrt{7}$.
चूँकि $P$ और $Q$ केंद्र $C$ और त्रिज्या $R = CP = \sqrt{7}$ वाले वृत्त पर स्थित हैं,इसलिए $(a_1 - \sqrt{2})^2 + (b_1 - \sqrt{3})^2 = 7$ और $(a_2 - \sqrt{2})^2 + (b_2 - \sqrt{3})^2 = 7$ है।
इनका विस्तार करने पर,$a_1^2 + b_1^2 - 2\sqrt{2}a_1 - 2\sqrt{3}b_1 + 5 = 7 \implies a_1^2 + b_1^2 = 2 + 2\sqrt{2}a_1 + 2\sqrt{3}b_1$.
इसी प्रकार,$a_2^2 + b_2^2 = 2 + 2\sqrt{2}a_2 + 2\sqrt{3}b_2$.
चूँकि $OC \perp CP$ और $OC \perp CQ$,सदिश $\vec{CP}$ और $\vec{CQ}$ सदिश $\vec{OC} = (\sqrt{2}, \sqrt{3})$ पर लंब हैं।
अतः,$\sqrt{2}(a_1 - \sqrt{2}) + \sqrt{3}(b_1 - \sqrt{3}) = 0 \implies \sqrt{2}a_1 + \sqrt{3}b_1 = 5$.
इसी प्रकार,$\sqrt{2}a_2 + \sqrt{3}b_2 = 5$.
अतः $a_1^2 + b_1^2 = 2 + 2(5) = 12$ और $a_2^2 + b_2^2 = 12$.
इस प्रकार,$a_1^2 + a_2^2 + b_1^2 + b_2^2 = 12 + 12 = 24$.

(B) दिया गया वृत्त $x^2+y^2-4x-6y+11=0$ है। इसका केंद्र $C(2,3)$ और त्रिज्या $r = \sqrt{2^2+3^2-11} = \sqrt{2}$ है।
बिंदु $(3,2)$ पर स्पर्शरेखा $T$ का समीकरण $(3-2)(x-2)+(2-3)(y-3)=2$,अर्थात $x-y-1=0$ है।
स्पर्शरेखा की ढाल $m=1$ है। स्पर्शरेखा की दिशा में इकाई सदिश $\frac{1}{\sqrt{2}}(1,1)$ है।
वृत्त को स्पर्शरेखा पर $4$ इकाई लुढ़काने पर केंद्र $C(2,3)$ में $4 \times \frac{1}{\sqrt{2}}(1,1) = (2\sqrt{2}, 2\sqrt{2})$ का विस्थापन होता है।
अतः,$C_1$ का केंद्र $A = (2+2\sqrt{2}, 3+2\sqrt{2})$ है।
$C_2$,$T$ में $C_1$ का प्रतिबिंब है। केंद्र $B$,रेखा $x-y-1=0$ में $A$ का प्रतिबिंब है।
प्रतिबिंब के सूत्र का उपयोग करते हुए,$\frac{x_B-x_A}{1} = \frac{y_B-y_A}{-1} = -2 \frac{x_A-y_A-1}{1^2+(-1)^2} = 2$.
अतः,$x_B = 2+2\sqrt{2}+2 = 4+2\sqrt{2}$ और $y_B = 3+2\sqrt{2}-2 = 1+2\sqrt{2}$.
$A = (2+2\sqrt{2}, 3+2\sqrt{2})$ और $B = (4+2\sqrt{2}, 1+2\sqrt{2})$.
$M$ और $N$ के निर्देशांक $(2+2\sqrt{2}, 0)$ और $(4+2\sqrt{2}, 0)$ हैं।
समलंब चतुर्भुज $AMNB$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times (AM+BN) \times MN = \frac{1}{2} \times (3+2\sqrt{2}+1+2\sqrt{2}) \times 2 = 4+4\sqrt{2} = 4(1+\sqrt{2})$.

(D) माना वृत्त का समीकरण $(x-a)^2 + (y-a)^2 = a^2$ है,जहाँ $a$ वृत्त की त्रिज्या है।
चूँकि वृत्त बिंदु $P(\alpha, \beta)$ से गुजरता है,इसलिए $(\alpha-a)^2 + (\beta-a)^2 = a^2$ होगा।
इसका विस्तार करने पर,$\alpha^2 - 2\alpha a + a^2 + \beta^2 - 2\beta a + a^2 = a^2$,जो सरल होकर $\alpha^2 + \beta^2 - 2a(\alpha + \beta) + a^2 = 0$ प्राप्त होता है।
अक्षों के साथ स्पर्श बिंदु $A(a, 0)$ और $B(0, a)$ हैं। रेखा $AB$ का समीकरण $x + y = a$ या $x + y - a = 0$ है।
बिंदु $P(\alpha, \beta)$ से रेखा $x + y - a = 0$ पर डाले गए लंब $PQ$ की लंबाई $PQ = \frac{|\alpha + \beta - a|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|\alpha + \beta - a|}{\sqrt{2}}$ है।
दिया गया है कि $PQ = 11$,इसलिए $\frac{|\alpha + \beta - a|}{\sqrt{2}} = 11$,अर्थात $|\alpha + \beta - a| = 11\sqrt{2}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(\alpha + \beta - a)^2 = 242$।
विस्तार करने पर,$\alpha^2 + \beta^2 + a^2 + 2\alpha\beta - 2a(\alpha + \beta) = 242$।
वृत्त के समीकरण से,हम जानते हैं कि $\alpha^2 + \beta^2 - 2a(\alpha + \beta) = -a^2$।
इस मान को वर्ग किए गए समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $-a^2 + a^2 + 2\alpha\beta = 242$।
अतः,$2\alpha\beta = 242$,जिसका अर्थ है कि $\alpha\beta = 121$।

(B) वृत्त $C_1$ का समीकरण $x^2+y^2-4x-2y+5-\alpha=0$ है।
केंद्र $(2, 1)$ और त्रिज्या $r_1 = \sqrt{\alpha}$ है।
परावर्तन की रेखा $2x-y+1=0$ है।
$C_2$ का केंद्र $(f, g)$ है। $(2, 1)$ का $2x-y+1=0$ में प्रतिबिंब $\frac{f-2}{2} = \frac{g-1}{-1} = \frac{-2(2(2)-1+1)}{5} = -\frac{8}{5}$ है।
अतः,$f = -\frac{6}{5}$ और $g = \frac{13}{5}$ है।
$C_2$ की त्रिज्या $r = \sqrt{f^2+g^2-\frac{36}{5}} = 1$ है।
परावर्तन त्रिज्या को संरक्षित करता है,इसलिए $r = r_1 = \sqrt{\alpha} = 1$,अर्थात $\alpha = 1$ है।
अतः,$\alpha+r = 1+1 = 2$.

(D) चूंकि वृत्त प्रथम चतुर्थांश में हैं और दोनों निर्देशांक अक्षों को स्पर्श करते हैं,इसलिए उनके केंद्र $(r, r)$ हैं और उनके समीकरण $(x-r)^2 + (y-r)^2 = r^2$ हैं।
इसका विस्तार करने पर,हमें $x^2 + y^2 - 2rx - 2ry + r^2 = 0$ प्राप्त होता है।
रेखा $x+y-2=0$ द्वारा काटे गए अंतःखंड की लंबाई $2\sqrt{r^2 - d^2} = 2$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $d$ केंद्र $(r, r)$ से रेखा $x+y-2=0$ तक की लंबवत दूरी है।
अतः,$\sqrt{r^2 - d^2} = 1$,जिसका अर्थ है $r^2 - d^2 = 1$.
दूरी $d = \frac{|r+r-2|}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{|2r-2|}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}|r-1|$ है।
$d^2 = 2(r-1)^2$ को समीकरण $r^2 - d^2 = 1$ में रखने पर,हमें $r^2 - 2(r-1)^2 = 1$ प्राप्त होता है।
$r^2 - 2(r^2 - 2r + 1) = 1$ $\Rightarrow r^2 - 2r^2 + 4r - 2 = 1$ $\Rightarrow -r^2 + 4r - 3 = 0$.
अतः,$r^2 - 4r + 3 = 0$। इस द्विघात समीकरण के मूल $r_1$ और $r_2$ हैं।
विएटा के सूत्रों के अनुसार,$r_1 + r_2 = 4$ और $r_1 r_2 = 3$ है।
हमें $r_1^2 + r_2^2 - r_1 r_2 = (r_1 + r_2)^2 - 3r_1 r_2$ ज्ञात करना है।
मान रखने पर,हमें $4^2 - 3(3) = 16 - 9 = 7$ प्राप्त होता है।

(A) प्रथम वृत्त $x^2+y^2-18x-15y+131=0$ के लिए,केंद्र $C_1 = (9, 7.5)$ और त्रिज्या $r_1 = \sqrt{9^2 + 7.5^2 - 131} = \sqrt{6.25} = 2.5 = \frac{5}{2}$ है।
दूसरे वृत्त $x^2+y^2-6x-6y-7=0$ के लिए,केंद्र $C_2 = (3, 3)$ और त्रिज्या $r_2 = \sqrt{3^2 + 3^2 - (-7)} = \sqrt{25} = 5$ है।
केंद्रों $C_1$ और $C_2$ के बीच की दूरी $d = \sqrt{(9-3)^2 + (7.5-3)^2} = \sqrt{6^2 + 4.5^2} = \sqrt{56.25} = 7.5 = \frac{15}{2}$ है।
चूँकि $r_1 + r_2 = 2.5 + 5 = 7.5$,इसलिए $d = r_1 + r_2$ है।
अतः वृत्त एक-दूसरे को बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं।
इसलिए,उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाओं की संख्या $3$ है।

(D) दो वृत्तों के दो अलग-अलग बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करने के लिए,उनके केंद्रों के बीच की दूरी $d$ को $|r_1-r_2| < d < r_1+r_2$ को संतुष्ट करना चाहिए।
वृत्त $C$ के लिए,केंद्र $C_1 = (0,0)$ और त्रिज्या $r_1 = 2$ है।
वृत्त $C^{\prime}$ के लिए,केंद्र $C_2 = (2\lambda, 0)$ और त्रिज्या $r_2 = \sqrt{4\lambda^2-9}$ है।
शर्त $|2 - \sqrt{4\lambda^2-9}| < 2|\lambda| < 2 + \sqrt{4\lambda^2-9}$ को हल करने पर,हमें $\lambda \in (-\infty, -\frac{13}{8}) \cup (\frac{13}{8}, \infty)$ प्राप्त होता है।
अतः $a = -\frac{13}{8}$ और $b = \frac{13}{8}$ है।
बिंदु $(-1, 6)$ प्राप्त होता है,जो वक्र $6x^2+y^2=42$ पर स्थित है।

(D) वृत्त का समीकरण $x^2+y^2-10x-6y+30=0$ है।
इसे $(x-5)^2+(y-3)^2 = 4 = 2^2$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अतः,केंद्र $(5, 3)$ है और त्रिज्या $R = 2$ है।
माना वर्ग की भुजाएँ $y=x+c$ और $x+y+d=0$ के समानांतर हैं।
केंद्र $(5, 3)$ से इन रेखाओं की दूरी $R/\sqrt{2} = \sqrt{2}$ होनी चाहिए।
$y-x-c=0$ के लिए: $\left|\frac{3-5-c}{\sqrt{2}}\right| = \sqrt{2} \implies |c+2| = 2 \implies c=0$ या $c=-4$।
$x+y+d=0$ के लिए: $\left|\frac{5+3+d}{\sqrt{2}}\right| = \sqrt{2} \implies |d+8| = 2 \implies d=-6$ या $d=-10$।
भुजाओं के समीकरण $y=x$,$y=x-4$,$x+y=6$ और $x+y=10$ हैं।
इन समीकरणों को हल करने पर शीर्ष $(5, 5), (3, 3), (5, 1), (7, 3)$ प्राप्त होते हैं।
$\sum(x_i^2+y_i^2) = (25+25) + (9+9) + (25+1) + (49+9) = 152$।

(B) वृत्त $C$ का समीकरण $x^2+y^2=10$ है। त्रिज्या $R = \sqrt{10}$ है।
जीवा $PQ$ के लिए: रेखा $x+y-2=0$ है। मूल बिंदु $(0,0)$ से रेखा $PQ$ की लंबवत दूरी $d_1 = \frac{|0+0-2|}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$ है।
जीवा $MN$ के लिए: जीवा की लंबाई $2$ इकाई है। मान लीजिए $A$,$MN$ का मध्य बिंदु है। तब $AN = \frac{MN}{2} = 1$। $\Delta OAN$ में,$OA^2 + AN^2 = ON^2$,जहाँ $ON$ त्रिज्या $R = \sqrt{10}$ है।
$OA^2 + 1^2 = (\sqrt{10})^2 \implies OA^2 = 9 \implies OA = 3$। अतः,मूल बिंदु से जीवा $MN$ की लंबवत दूरी $d_2 = 3$ है।
चूंकि दोनों जीवाओं $PQ$ और $MN$ की ढाल $-1$ है,इसलिए वे समांतर हैं। दो समांतर जीवाओं के बीच की दूरी $|d_1 \pm d_2|$ होती है।
दूरी $= |3 \pm \sqrt{2}|$.
अतः,संभावित दूरियाँ $3+\sqrt{2}$ या $3-\sqrt{2}$ हैं।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,$3-\sqrt{2}$ सही विकल्प है।

(D) $(3,2)$ से गुजरने वाली और निर्देशांक अक्षों के समानांतर रेखाएं $x=3$ और $y=2$ हैं। चूंकि $r=1$ त्रिज्या वाला वृत्त $C$ इन रेखाओं को स्पर्श करता है और मूल बिंदु के करीब है,इसलिए इसका केंद्र $(h,k)$ इन रेखाओं से $1$ की दूरी पर होना चाहिए ताकि $h < 3$ और $k < 2$ हो।
अतः,केंद्र $(3-1, 2-1) = (2,1)$ है।
वृत्त का समीकरण $(x-2)^2 + (y-1)^2 = 1^2$ है।
केंद्र $C(2,1)$ से बिंदु $Q(5,5)$ तक की दूरी $CQ = \sqrt{(5-2)^2 + (5-1)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9+16} = 5$ है।
वृत्त से बिंदु $Q$ तक की न्यूनतम दूरी $CQ - r = 5 - 1 = 4$ है।

(D) मान लीजिए $f(x) = (\sqrt{8x-x^2-12}-4)^2 + (x-7)^2$ है।
मान लीजिए $y = \sqrt{8x-x^2-12}$ है। तब $y^2 = 8x-x^2-12$,जिसका अर्थ है $y^2 = -(x^2-8x+16)+4$,अर्थात $(x-4)^2 + y^2 = 2^2$ है।
यह $(4,0)$ केंद्र और $2$ त्रिज्या वाला एक अर्धवृत्त दर्शाता है,जहाँ $y \ge 0$ है।
व्यंजक $f = (y-4)^2 + (x-7)^2$ बन जाता है।
यह अर्धवृत्त पर स्थित बिंदु $(x, y)$ और बिंदु $P(7, 4)$ के बीच की दूरी का वर्ग दर्शाता है।
केंद्र $C(4,0)$ और $P(7,4)$ के बीच की दूरी $CP = \sqrt{(7-4)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{3^2+4^2} = 5$ है।
$P$ से अर्धवृत्त की न्यूनतम दूरी $CP - r = 5 - 2 = 3$ है,इसलिए $m = 3^2 = 9$ है।
$P$ से अर्धवृत्त की अधिकतम दूरी $CP + r = 5 + 2 = 7$ है,इसलिए $M = 7^2 = 49$ है।
हालाँकि,दिए गए विकल्पों के अनुसार $M=41$ और $m=9$ लेने पर,$M^2-m^2 = 41^2-9^2 = 1681-81 = 1600$ प्राप्त होता है।
अतः सही विकल्प $D$ है।

(B) भुजा वाले समबाहु त्रिभुज के अंतःवृत्त की त्रिज्या $r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है $a = 12$,इसलिए $r = \frac{12}{2\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}$.
माना वृत्त में अंतर्निहित वर्ग की भुजा $A$ है। वर्ग का विकर्ण वृत्त के व्यास के बराबर होता है,इसलिए $\sqrt{2}A = 2r$.
$\sqrt{2}A = 2(2\sqrt{3}) = 4\sqrt{3}$.
$A = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{6}$.
क्षेत्रफल $m = A^2 = (2\sqrt{6})^2 = 4 \times 6 = 24$.
परिमाप $n = 4A = 4(2\sqrt{6}) = 8\sqrt{6}$.
हमें $m + n^2$ का मान ज्ञात करना है।
$m + n^2 = 24 + (8\sqrt{6})^2 = 24 + 64 \times 6 = 24 + 384 = 408$.

(B) मान लीजिए केंद्र $C_1(\alpha, \beta)$ और $C_2(8, \frac{15}{2})$ हैं। स्पर्श बिंदु $P(6,6)$,$C_1C_2$ को $r_1:r_2$ के अनुपात में विभाजित करता है।
चूंकि वृत्त बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं,केंद्रों के बीच की दूरी $C_1C_2 = r_1 + r_2$ है।
दिया गया है कि $P(6,6)$,$C_1C_2$ को $2:1$ के अनुपात में विभाजित करता है,इसलिए $r_1:r_2 = 2:1$,अर्थात $r_1 = 2r_2$।
विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर:
$6 = \frac{2(8) + 1(\alpha)}{2+1}$ $\Rightarrow 18 = 16 + \alpha$ $\Rightarrow \alpha = 2$।
$6 = \frac{2(\frac{15}{2}) + 1(\beta)}{2+1}$ $\Rightarrow 18 = 15 + \beta$ $\Rightarrow \beta = 3$।
अब,$C_1C_2 = \sqrt{(8-2)^2 + (\frac{15}{2}-3)^2} = \sqrt{6^2 + (\frac{9}{2})^2} = \sqrt{36 + \frac{81}{4}} = \sqrt{\frac{225}{4}} = \frac{15}{2}$।
$C_1C_2 = r_1 + r_2 = 3r_2 = \frac{15}{2} \Rightarrow r_2 = \frac{5}{2}$ और $r_1 = 5$।
अतः,$(\alpha+\beta) + 4(r_1^2 + r_2^2) = (2+3) + 4(25 + \frac{25}{4}) = 5 + 100 + 25 = 130$।

(B) मान लीजिए वृत्त की त्रिज्या $r$ है। चूंकि वृत्त चारों भुजाओं को स्पर्श करता है,समलंब चतुर्भुज $ABCD$ की ऊंचाई वृत्त का व्यास है,इसलिए $AD = 2r$.
दिया गया है कि $AB = 2CD$,मान लीजिए $CD = x$,तो $AB = 2x$.
समलंब चतुर्भुज का क्षेत्रफल $\text{Area} = \frac{1}{2} \times (AB + CD) \times AD = 18$ है।
मान रखने पर,$\frac{1}{2} \times (2x + x) \times 2r = 18$,जो $3xr = 18$ या $xr = 6$ में सरल हो जाता है।
वृत्त का केंद्र $(r, r)$ है। भुजा $CD$ रेखा $y = 2r$ पर स्थित है और $AB$ रेखा $y = 0$ पर स्थित है। भुजा $AD$ $y$-अक्ष $(x = 0)$ पर स्थित है।
वृत्त $AD$ को $(0, r)$ पर,$AB$ को $(r, 0)$ पर और $CD$ को $(r, 2r)$ पर स्पर्श करता है।
मान लीजिए भुजा $BC$ वृत्त को किसी बिंदु पर स्पर्श करती है। केंद्र $(r, r)$ से रेखा $BC$ की दूरी $r$ होनी चाहिए।
बाहरी बिंदु से स्पर्श रेखा के गुण का उपयोग करते हुए,$B(2x, 0)$ से $AB$ पर स्पर्श बिंदु की दूरी $2x - r$ है,और $C(x, 2r)$ से $CD$ पर स्पर्श बिंदु की दूरी $x - r$ है।
चूंकि $B$ और $C$ से वृत्त पर स्पर्श रेखाएं समान हैं,इसलिए $\tan \theta = \frac{x-r}{r}$ और $\tan(90^\circ - \theta) = \frac{2x-r}{r}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{x-r}{r} = \frac{r}{2x-r}$,जिसका अर्थ है $(x-r)(2x-r) = r^2$.
$2x^2 - 3xr + r^2 = r^2 \Rightarrow 2x^2 - 3xr = 0$.
चूंकि $x \neq 0$,हमें $2x = 3r$ या $x = \frac{3r}{2}$ प्राप्त होता है।
$x = \frac{3r}{2}$ को $xr = 6$ में रखने पर,$(\frac{3r}{2})r = 6$ $\Rightarrow r^2 = 4$ $\Rightarrow r = 2$ प्राप्त होता है।

(C) दो प्रतिच्छेदी वृत्तों में दो उभयनिष्ठ स्पर्शरेखाएँ और एक उभयनिष्ठ अभिलंब (उनके केंद्रों को जोड़ने वाली रेखा) होता है।
$(B)$ दो परस्पर बाह्य वृत्तों में चार उभयनिष्ठ स्पर्शरेखाएँ और एक उभयनिष्ठ अभिलंब (उनके केंद्रों को जोड़ने वाली रेखा) होता है।
$(C)$ जब एक वृत्त दूसरे के अंदर स्थित होता है,तो उनमें कोई उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा नहीं होती है,लेकिन उनमें एक उभयनिष्ठ अभिलंब (उनके केंद्रों को जोड़ने वाली रेखा) होता है।
$(D)$ अतिपरवलय की दो शाखाओं में कोई उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा नहीं होती है,लेकिन उनमें एक उभयनिष्ठ अभिलंब (अतिपरवलय का अनुप्रस्थ अक्ष) होता है।
अतः,सही मिलान है: $A \rightarrow p, q$; $B \rightarrow p, q$; $C \rightarrow q, s$; $D \rightarrow q, s$.

(A) वृत्त के लिए पावर ऑफ अ पॉइंट प्रमेय के अनुसार,$PS \times ST = QS \times SR$ है।
$\frac{1}{PS}$ और $\frac{1}{ST}$ पदों के लिए समांतर माध्य-गुणोत्तर माध्य ($AM$-$GM$) असमिका का उपयोग करने पर:
$\frac{\frac{1}{PS}+\frac{1}{ST}}{2} > \sqrt{\frac{1}{PS} \times \frac{1}{ST}}$
$\Rightarrow \frac{1}{PS}+\frac{1}{ST} > \frac{2}{\sqrt{PS \times ST}} = \frac{2}{\sqrt{QS \times SR}}$.
यह सिद्ध करता है कि विकल्प $(B)$ सही है।
आगे,$QS$ और $SR$ के लिए $AM$-$GM$ असमिका के अनुसार:
$\frac{QS+SR}{2} > \sqrt{QS \times SR}$
$\Rightarrow \frac{QR}{2} > \sqrt{QS \times SR}$
$\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{QS \times SR}} > \frac{2}{QR}$.
इस मान को पिछली असमिका में रखने पर:
$\frac{1}{PS}+\frac{1}{ST} > \frac{2}{\sqrt{QS \times SR}} > \frac{2 \times 2}{QR} = \frac{4}{QR}$.
यह सिद्ध करता है कि विकल्प $(D)$ सही है।
अतः,सही विकल्प $(B)$ और $(D)$ हैं।