यदि दो वृत्तों के समान लंबाई वाले चाप अपने केंद्रों पर क्रमश: $60^{\circ}$ तथा $75^{\circ}$ के कोण बनाते हों, तो उनकी त्रिज्याओं का अनुपात ज्ञात कीजिए।

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Let the radii of the two circles be $r_{1}$ and $r_{2} .$ Let an arc of length $l$ subtend an angle of  $60^{\circ}$ at the centre of the circle of radius $r_{1},$ while let an arc of length/subtend an angle of  $75^{\circ}$ at the centre of the circle of radius $r_{2}$

Now, $60^{\circ}=\frac{\pi}{3}$ radian and $75^{\circ}=\frac{5 \pi}{12}$ radian

We know that in a circle of radius $r$ unit, if an arc of length $l$ unit subtends an angle $\theta$ radian at the centre then

$\theta=\frac{l}{r}$ or $l=r \theta$

$\therefore l=\frac{r_{1} \pi}{3}$ and $l=\frac{r_{2} 5 \pi}{12}$

$\Rightarrow \frac{r_{1} \pi}{3}=\frac{r_{2} 5 \pi}{12}$

$\Rightarrow r_{1}=\frac{r_{2} 5}{4}$

$\Rightarrow \frac{r_{1}}{r_{2}}=\frac{5}{4}$

Thus, the ratio of the radii is $5: 4 $

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सिद्ध कीजिए: $\cos ^{2} x+\cos ^{2}\left(x+\frac{\pi}{3}\right)+\cos ^{2}\left(x-\frac{\pi}{3}\right)=\frac{3}{2}$

निम्नलिखित प्रत्येक प्रश्न में $\sin \frac{x}{2}, \cos \frac{x}{2}$ तथा $\tan \frac{x}{2},$ ज्ञात कीजिए

$\tan x=-\frac{4}{3}, x$ द्वितीय चतुर्थांश में है

निम्नलिखित डिग्री माप के संगत रेडियन माप ज्ञात कीजिए

$-47^{\circ} 30^{\prime}$

निम्नलिखित को सिद्ध कीजिए

$\cos \left(\frac{3 \pi}{4}+x\right)-\cos \left(\frac{3 \pi}{4}-x\right)=-\sqrt{2} \sin x$

सिद्ध कीजिए

$(\sin 3 x+\sin x) \sin x+(\cos 3 x-\cos x) \cos x=0$