Geometrical problems regarding circle and its properties Questions in Hindi

(B) $1.$ रेखा $PQ: \sqrt{3}x + y - 6 = 0$ के बिंदु $D\left(\frac{3\sqrt{3}}{2}, \frac{3}{2}\right)$ पर अभिलंब की ढाल $\frac{1}{\sqrt{3}}$ है।
अभिलंब $CD$ का समीकरण $y - \frac{3}{2} = \frac{1}{\sqrt{3}}\left(x - \frac{3\sqrt{3}}{2}\right) \Rightarrow x - \sqrt{3}y = 0$ है।
चूंकि त्रिज्या $1$ है और केंद्र $C(h, k)$,$PQ$ से $1$ की दूरी पर है और $x - \sqrt{3}y = 0$ पर स्थित है,इसलिए $C = (\sqrt{3}, 1)$ प्राप्त होता है।
अतः,वृत्त $C$ का समीकरण $(x - \sqrt{3})^2 + (y - 1)^2 = 1$ है। सही विकल्प $(D)$ है।
$2.$ समबाहु त्रिभुज की भुजाओं के बीच का कोण $60^\circ$ है। रेखाएं $CE$ और $CF$,$CD$ के साथ क्रमशः $120^\circ$ और $240^\circ$ का कोण बनाती हैं।
ज्यामिति का उपयोग करते हुए,$F = (\sqrt{3}, 0)$ और $E = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{3}{2}\right)$ प्राप्त होता है। सही विकल्प $(A)$ है।
$3.$ भुजा $QR$,$E\left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{3}{2}\right)$ से गुजरती है और इसकी ढाल $\sqrt{3}$ है,इसलिए $y - \frac{3}{2} = \sqrt{3}\left(x - \frac{\sqrt{3}}{2}\right) \Rightarrow y = \sqrt{3}x$। भुजा $RP$,$F(\sqrt{3}, 0)$ से गुजरती है और इसकी ढाल $0$ है,इसलिए $y = 0$। सही विकल्प $(D)$ है।

(C) वृत्त $C$ का समीकरण $(x + 3)^2 + (y - 5)^2 = 4$ है।
वृत्त का केंद्र $(-3, 5)$ और त्रिज्या $r = 2$ है।
$L_1$ के जीवा होने के लिए,केंद्र से दूरी $2$ से कम होनी चाहिए।
$STATEMENT-1$ सत्य है क्योंकि $L_2$ हमेशा व्यास नहीं होता है।
$STATEMENT-2$ असत्य है क्योंकि यदि $L_1$ व्यास है,तो $L_2$ भी एक जीवा हो सकती है।

(A) वृत्त का समीकरण $x^2+y^2+2x+4y-p=0$ है।
पूर्ण वर्ग बनाने पर,$(x+1)^2+(y+2)^2 = p+5$ प्राप्त होता है।
वृत्त का केंद्र $(-1, -2)$ और त्रिज्या $r = \sqrt{p+5}$ है।
निर्देशांक अक्षों के साथ ठीक तीन उभयनिष्ठ बिंदु होने के लिए,वृत्त को एक अक्ष को स्पर्श करना चाहिए और मूल बिंदु से गुजरना चाहिए।
स्थिति $1$: वृत्त $x$-अक्ष को स्पर्श करता है,तब $|-2| = \sqrt{p+5} \Rightarrow p = -1$.
स्थिति $2$: वृत्त $y$-अक्ष को स्पर्श करता है,तब $|-1| = \sqrt{p+5} \Rightarrow p = -4$.
स्थिति $3$: वृत्त मूल बिंदु $(0,0)$ से गुजरता है,तब $p = 0$.
अतः,$p$ के $3$ संभावित मान हैं,लेकिन दिए गए विकल्पों के अनुसार सही उत्तर $2$ है।

(D) मान लीजिए $A_1$ और $A_2$ वृत्तों $C_1$ और $C_2$ के केंद्र हैं और $M$,$r$ त्रिज्या वाले वृत्त $C$ का केंद्र है। $A_1A_2 = 6$ है,इसलिए $A_1P = PA_2 = 3$ है। $P$ से गुजरने वाली उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा $C_1$ को $B_1$ पर और $C$ को $B_2$ पर स्पर्श करती है। समरूपता से,यह $C_2$ को भी $B_1$ पर स्पर्श करती है।
$\triangle A_1B_1P$ में,$\angle A_1B_1P = 90^\circ$ है। $A_1B_1 = 1$ और $A_1P = 3$ है। अतः,$\sin \alpha = \frac{A_1B_1}{A_1P} = \frac{1}{3}$,जहाँ $\alpha = \angle A_1PB_1$ है।
इसलिए $\cos \alpha = \frac{2\sqrt{2}}{3}$ है।
$\triangle MPB_2$ में,$\angle MB_2P = 90^\circ$ है। $MP = r + 1$ है। $\angle MPB_2 = 90^\circ - \alpha$ है। इसलिए,$\cos \alpha = \frac{r}{r+1} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$ है।
इस समीकरण को हल करने पर $r = 8$ प्राप्त होता है।

(C) वृत्त की त्रिज्या $r = 2$ है। केंद्र पर $\theta$ कोण बनाने वाली जीवा की केंद्र से दूरी $d = r \cos(\theta/2)$ होती है।
दो जीवाओं के लिए,केंद्र पर बने कोण $\theta_1 = \frac{\pi}{k}$ और $\theta_2 = \frac{2\pi}{k}$ हैं।
केंद्र से इन जीवाओं की दूरियाँ $d_1 = 2 \cos(\frac{\pi}{2k})$ और $d_2 = 2 \cos(\frac{\pi}{k})$ हैं।
यदि जीवाएँ केंद्र के विपरीत दिशा में हैं,तो उनके बीच की दूरी $d_1 + d_2 = \sqrt{3} + 1$ होगी।
$2 \cos(\frac{\pi}{2k}) + 2 \cos(\frac{\pi}{k}) = \sqrt{3} + 1$.
$\theta = \frac{\pi}{k}$ रखने पर,$2 \cos(\frac{\theta}{2}) + 2 \cos(\theta) = \sqrt{3} + 1$.
$k=3$ के लिए,$\cos(\frac{\pi}{6}) + \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}+1}{2}$.
अतः,$2(\frac{\sqrt{3}+1}{2}) = \sqrt{3}+1$. इस प्रकार $k=3$ प्राप्त होता है।
$[k] = [3] = 3$.

(B) माना वृत्त $C: x^2 + y^2 - 6 = 0$ है और रेखा $L: 2x - 3y - 1 = 0$ है।
सबसे पहले,जांचें कि कौन से बिंदु वृत्त $x^2 + y^2 \leq 6$ के अंदर हैं:
$1$. $(2, 3/4)$ के लिए: $2^2 + (3/4)^2 = 4 + 9/16 = 73/16 = 4.5625 < 6$ (अंदर)।
$2$. $(5/2, 3/4)$ के लिए: $(5/2)^2 + (3/4)^2 = 25/4 + 9/16 = 109/16 = 6.8125 > 6$ (बाहर)।
$3$. $(1/4, -1/4)$ के लिए: $(1/4)^2 + (-1/4)^2 = 1/16 + 1/16 = 2/16 = 0.125 < 6$ (अंदर)।
$4$. $(1/8, 1/4)$ के लिए: $(1/8)^2 + (1/4)^2 = 1/64 + 1/16 = 5/64 = 0.078 < 6$ (अंदर)।
अब,जांचें कि ये बिंदु रेखा $L(x, y) = 2x - 3y - 1$ के किस ओर स्थित हैं। वृत्त का केंद्र $(0, 0)$ लेने पर $L(0, 0) = -1 < 0$ प्राप्त होता है। छोटा भाग वह है जिसमें केंद्र नहीं है।
$1$. $(2, 3/4)$ के लिए: $L = 2(2) - 3(3/4) - 1 = 0.75 > 0$.
$2$. $(1/4, -1/4)$ के लिए: $L = 2(1/4) - 3(-1/4) - 1 = 0.25 > 0$.
$3$. $(1/8, 1/4)$ के लिए: $L = 2(1/8) - 3(1/4) - 1 = -1.5 < 0$.
अतः,$L > 0$ वाले $2$ बिंदु छोटे भाग में स्थित हैं।

(B) वृत्त का समीकरण $(x-3)^2+(y+2)^2=25$ है,अतः इसका केंद्र $C(3, -2)$ है।
माना $R$ जीवा $PQ$ का मध्य बिंदु है। चूँकि $R$ रेखा $y=mx+1$ पर स्थित है,इसके निर्देशांक $(x_R, mx_R+1)$ हैं। दिया गया है कि $x_R = -\frac{3}{5}$,इसलिए $y_R = m(-\frac{3}{5}) + 1 = \frac{-3m+5}{5}$।
अतः,$R = (-\frac{3}{5}, \frac{-3m+5}{5})$।
रेखाखंड $CR$ जीवा $PQ$ पर लंब है। $PQ$ की ढाल $m$ है,इसलिए $CR$ की ढाल $-\frac{1}{m}$ होनी चाहिए।
$CR$ की ढाल $= \frac{y_R - (-2)}{x_R - 3} = \frac{\frac{-3m+5}{5} + 2}{-\frac{3}{5} - 3} = \frac{-3m+5+10}{-3-15} = \frac{-3m+15}{-18} = \frac{m-5}{6}$।
ढालों की तुलना करने पर: $\frac{m-5}{6} = -\frac{1}{m}$।
$m(m-5) = -6 \Rightarrow m^2 - 5m + 6 = 0$।
$(m-2)(m-3) = 0$,अतः $m=2$ या $m=3$।
दोनों मान $m=2$ और $m=3$ शर्त $2 \leq m < 4$ को संतुष्ट करते हैं।

(A) बिंदु $A(2,3)$ की रेखा $8x-6y-23=0$ से दूरी $d = \frac{|8(2)-6(3)-23|}{\sqrt{8^2+(-6)^2}} = \frac{|-25|}{10} = 2.5 = \frac{5}{2}$ है।
चूंकि $B$,$A$ का प्रतिबिंब है,इसलिए $AB = 2d = 5$ होगा।
वृत्तों की त्रिज्याएँ $r_A = 2$ और $r_B = 1$ हैं।
उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा के लिए,$\frac{CA}{CB} = \frac{r_A}{r_B} = \frac{2}{1}$ होता है।
अतः $CA = 2CB$ और $CA = CB + AB$ होने के कारण,$CA = \frac{CA}{2} + 5$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$\frac{CA}{2} = 5$,अर्थात $CA = 10$।

(B) मान लीजिए $\triangle OPQ$ के परिवृत्त का केंद्र $C(h, k)$ है।
चूँकि $O(0, 0)$ त्रिभुज का एक शीर्ष है,परिवृत्त मूल बिंदु से होकर गुजरता है।
जीवा $PQ$ का समीकरण $2x + 4y = 5$ है।
रेखा $OC$,$PQ$ के लंबवत है और $PQ$ का मध्यबिंदु $OC$ पर स्थित है।
$PQ$ की ढाल $m = -\frac{1}{2}$ है।
अतः $OC$ की ढाल $2$ है।
रेखा $OC$ मूल बिंदु से गुजरती है,इसलिए इसका समीकरण $y = 2x$ है।
केंद्र $C(h, k)$,$y = 2x$ पर स्थित है,इसलिए $k = 2h$ है।
साथ ही,$C(h, k)$ रेखा $x + 2y = 4$ पर स्थित है।
$k = 2h$ को $x + 2y = 4$ में रखने पर,$h + 2(2h) = 4 \Rightarrow 5h = 4 \Rightarrow h = \frac{4}{5}$ प्राप्त होता है।
अतः,$k = 2(\frac{4}{5}) = \frac{8}{5}$,यानी $C = (\frac{4}{5}, \frac{8}{5})$ है।
चूँकि $C$,$\triangle OPQ$ का परिकेंद्र है,$CO = CP = CQ = r_{circum}$ है।
$CO^2 = (\frac{4}{5})^2 + (\frac{8}{5})^2 = \frac{16+64}{25} = \frac{80}{25} = \frac{16}{5}$ है।
$C(\frac{4}{5}, \frac{8}{5})$ से रेखा $2x + 4y - 5 = 0$ की दूरी $d = \frac{|2(\frac{4}{5}) + 4(\frac{8}{5}) - 5|}{\sqrt{2^2 + 4^2}} = \frac{3}{\sqrt{20}}$ है।
$\triangle CPQ$ में,$CP^2 = d^2 + PM^2$ है। $PM^2 = r^2 - OM^2$ है।
$OM = \frac{|-5|}{\sqrt{20}} = \frac{5}{\sqrt{20}}$ है।
$PM^2 = r^2 - \frac{25}{20} = r^2 - \frac{5}{4}$ है।
$CP^2 = \frac{9}{20} + r^2 - \frac{5}{4} = r^2 - \frac{16}{20} = r^2 - \frac{4}{5}$ है।
$\frac{16}{5} = r^2 - \frac{4}{5} \Rightarrow r^2 = 4 \Rightarrow r = 2$ है।

(B) माना त्रिभुज के शीर्ष $A, B, C$ हैं। एक शीर्ष $A$,$x$-अक्ष $(y=0)$ और रेखा $x+y+1=0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है,जो $A(-1,0)$ देता है।
माना शीर्ष $B$ रेखा $x+y+1=0$ पर स्थित है,अतः $B(\alpha, -\alpha-1)$।
$B$ से $AC$ ($x$-अक्ष पर स्थित) पर डाला गया लंब $H(1,1)$ से गुजरने वाली एक ऊर्ध्वाधर रेखा है,इसलिए इसका समीकरण $x=1$ है। चूँकि $B$ इस रेखा पर स्थित है,$\alpha=1$,अतः $B(1,-2)$।
माना शीर्ष $C$,$x$-अक्ष पर स्थित है,अतः $C(\beta, 0)$।
$A(-1,0)$ से $BC$ पर डाला गया लंब $H(1,1)$ से गुजरता है। $AH$ की ढाल $m_{AH} = \frac{1-0}{1-(-1)} = \frac{1}{2}$ है।
$BC$ की ढाल $m_{BC} = \frac{-2-0}{1-\beta} = \frac{2}{\beta-1}$ है।
चूँकि $AH \perp BC$,$m_{AH} \cdot m_{BC} = -1$ $\Rightarrow \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{\beta-1} = -1$ $\Rightarrow \beta-1 = -1$ $\Rightarrow \beta=0$। अतः $C(0,0)$।
शीर्ष $A(-1,0)$,$B(1,-2)$,और $C(0,0)$ हैं।
परिवृत्त का समीकरण $x^2+y^2+gx+fy+c=0$ है। चूँकि यह $(0,0)$ से गुजरता है,$c=0$।
$(-1,0)$ से गुजरने पर: $1-g=0 \Rightarrow g=1$।
$(1,-2)$ से गुजरने पर: $1+4+g-2f=0$ $\Rightarrow 5+1-2f=0$ $\Rightarrow 2f=6$ $\Rightarrow f=3$।
समीकरण $x^2+y^2+x+3y=0$ है।

(A) मान लीजिए वृत्त $(x-h)^2 + y^2 = r^2$ है,जहाँ केंद्र $(h, 0)$ है और त्रिज्या $r$ है। चूँकि वृत्त $R$ में निहित है,इसलिए इसे परवलय $y^2 = 4-x$ को किसी बिंदु $(\alpha, \beta)$ पर स्पर्श करना चाहिए।
वृत्त के समीकरण में $y^2 = 4-x$ प्रतिस्थापित करने पर: $(x-h)^2 + 4-x = r^2$,जो सरल होकर $x^2 - (2h+1)x + (h^2+4-r^2) = 0$ हो जाता है।
स्पर्श के लिए,विविक्तकर शून्य होना चाहिए: $D = (2h+1)^2 - 4(h^2+4-r^2) = 0$.
$4h^2 + 4h + 1 - 4h^2 - 16 + 4r^2 = 0 \Rightarrow 4h + 4r^2 = 15 \Rightarrow h = \frac{15-4r^2}{4}$.
साथ ही,वृत्त को $x \geq 0$ में निहित होना चाहिए,इसलिए सबसे बायाँ बिंदु $h-r \geq 0 \Rightarrow h \geq r$.
$h$ का मान रखने पर: $\frac{15-4r^2}{4} \geq r \Rightarrow 15-4r^2 \geq 4r \Rightarrow 4r^2 + 4r - 15 \leq 0$.
$4r^2 + 4r - 15 = 0$ को हल करने पर: $r = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 4(4)(-15)}}{8} = \frac{-4 \pm \sqrt{256}}{8} = \frac{-4 \pm 16}{8}$.
चूँकि $r > 0$,इसलिए $r = \frac{12}{8} = 1.5$.
$r = 1.5$ के लिए,$h = \frac{15 - 4(2.25)}{4} = \frac{15-9}{4} = 1.5$.
वृत्त $(x-1.5)^2 + y^2 = 2.25$ है। $y^2 = 4-x$ के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु: $(x-1.5)^2 + 4-x = 2.25 \Rightarrow x^2 - 3x + 2.25 + 4 - x = 2.25 \Rightarrow x^2 - 4x + 4 = 0 \Rightarrow (x-2)^2 = 0 \Rightarrow \alpha = 2$.

(D) माना वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ है।
वृत्त $x$-अक्ष को $(3, 0)$ या $(-3, 0)$ पर स्पर्श करता है,इसलिए केंद्र $(\pm 3, -f)$ है और त्रिज्या $|f|$ है।
$x$-अक्ष को स्पर्श करने की शर्त के अनुसार $g^2 = c$ है।
केंद्र का $x$-निर्देशांक $3$ या $-3$ है,इसलिए $g = -3$ या $g = 3$ प्राप्त होता है,जिससे $g^2 = 9$ और $c = 9$ मिलता है।
$y$-अक्ष पर अंतःखंड $2 \sqrt{f^2 - c} = 2 \sqrt{7}$ है,इसलिए $f^2 - c = 7$ है।
$c = 9$ रखने पर,$f^2 - 9 = 7$,अर्थात $f^2 = 16$,जिससे $f = \pm 4$ प्राप्त होता है।
अतः,वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 - 6x \pm 8y + 9 = 0$ है।
इसलिए,सही वृत्त $x^2 + y^2 - 6x + 8y + 9 = 0$ और $x^2 + y^2 - 6x - 8y + 9 = 0$ हैं।

(B) को $(0,0)$,$B$ को $(1,0)$,और $C$ को $(0,3)$ पर रखें।
$\triangle ABC$ के परिवृत्त का व्यास $BC$ है। केंद्र $C_1$,$BC$ का मध्यबिंदु है,अतः $C_1 = (\frac{1}{2}, \frac{3}{2})$ है।
परिवृत्त की त्रिज्या $R = \frac{BC}{2} = \frac{\sqrt{1^2+3^2}}{2} = \frac{\sqrt{10}}{2}$ है।
छोटे वृत्त की त्रिज्या $r$ है और यह प्रथम चतुर्थांश में $AB$ $(y=0)$ और $AC$ $(x=0)$ को स्पर्श करता है,इसलिए इसका केंद्र $C_2 = (r, r)$ है।
चूंकि छोटा वृत्त परिवृत्त को आंतरिक रूप से स्पर्श करता है,केंद्रों के बीच की दूरी $C_1 C_2 = R - r$ होनी चाहिए।
$C_1 C_2^2 = (r - \frac{1}{2})^2 + (r - \frac{3}{2})^2 = (R - r)^2 = (\frac{\sqrt{10}}{2} - r)^2$ है।
$r^2 - 4r + \sqrt{10}r = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि $r > 0$,$r = 4 - \sqrt{10} \approx 0.838$ है।
दो दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर,$r \approx 0.84$ है।

(D) $n$ वृत्तों $G_i$ के केंद्र $2r$ भुजा की लंबाई वाला एक नियमित बहुभुज बनाते हैं। $G$ के केंद्र से किसी भी $G_i$ के केंद्र की दूरी $R+r$ है।
$G$ के केंद्र और दो आसन्न वृत्तों $G_i$ और $G_{i+1}$ के केंद्रों द्वारा निर्मित त्रिभुज का उपयोग करते हुए,हमें मिलता है:
$\sin(\frac{\pi}{n}) = \frac{r}{R+r}$
$\frac{R+r}{r} = \operatorname{cosec}(\frac{\pi}{n}) \implies R = r(\operatorname{cosec}(\frac{\pi}{n}) - 1)$.
$(A)$ $n=4$ के लिए,$R = r(\operatorname{cosec}(\frac{\pi}{4}) - 1) = r(\sqrt{2}-1)$. अतः,$(\sqrt{2}-1)r = R$. इसलिए $(\sqrt{2}-1)r < R$ कथन $FALSE$ है।
$(B)$ $n=5$ के लिए,$R = r(\operatorname{cosec}(\frac{\pi}{5}) - 1)$. चूंकि $\operatorname{cosec}(\frac{\pi}{5}) \approx 1.701$,इसलिए $R \approx 0.701r$,जिसका अर्थ है $r > R$. इसलिए $r < R$ कथन $FALSE$ है।
$(C)$ $n=8$ के लिए,$R = r(\operatorname{cosec}(\frac{\pi}{8}) - 1)$. चूंकि $\operatorname{cosec}(\frac{\pi}{8}) > \operatorname{cosec}(\frac{\pi}{4}) = \sqrt{2}$,इसलिए $R > r(\sqrt{2}-1)$,जिसका अर्थ है कि $(\sqrt{2}-1)r < R$. यह $TRUE$ है।
$(D)$ $n=12$ के लिए,$R = r(\operatorname{cosec}(\frac{\pi}{12}) - 1)$. हम जानते हैं कि $\operatorname{cosec}(\frac{\pi}{12}) = \sqrt{2}(\sqrt{3}+1) \approx 3.86$. अतः $R = r(\sqrt{2}(\sqrt{3}+1) - 1)$. स्पष्ट रूप से,$\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)r > R$. यह $TRUE$ है।
अतः,सही कथन $C$ और $D$ हैं।

(D) वृत्त $x$-अक्ष को $(a, 0)$ पर स्पर्श करता है और $x$-अक्ष के नीचे स्थित है,इसलिए इसका केंद्र $(a, -r)$ और त्रिज्या $r$ है,जहाँ $r > 0$ है।
वृत्त का समीकरण $(x - a)^2 + (y + r)^2 = r^2$ है,जो सरल होकर $x^2 + y^2 - 2ax + 2ry + a^2 = 0$ बन जाता है।
इसे $x^2 + y^2 - \alpha x + \beta y + \gamma = 0$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\alpha = 2a$,$\beta = 2r$,और $\gamma = a^2$ प्राप्त होता है।
वृत्त $y$-अक्ष पर $b$ लंबाई का अंतःखंड काटता है। समीकरण में $x = 0$ रखने पर,$y^2 + \beta y + \gamma = 0$ प्राप्त होता है। इसके मूल $y_1, y_2$ हैं और $|y_1 - y_2| = b$ है।
मूलों के गुणधर्म का उपयोग करते हुए,$|y_1 - y_2| = \sqrt{\beta^2 - 4\gamma} = b$,इसलिए $b^2 = \beta^2 - 4\gamma$ है।
अतः,क्रमित युग्म $(2a, b^2)$ का मान $(\alpha, \beta^2 - 4\gamma)$ है।

(B) रेखा $AB$ का समीकरण $x+y=1$ है। $AB$ की ढाल $-1$ है। $AB$ के लंबवत और मूल बिंदु से गुजरने वाली रेखा (क्योंकि $AB$ का मध्य बिंदु $y=x$ रेखा पर स्थित है) $y=x$ है।
$y=x$ को $x^2+y^2=4$ के साथ हल करने पर,हमें $2x^2=4$ प्राप्त होता है,इसलिए $x^2=2$,$x=\pm \sqrt{2}$। अतः,$C=(\sqrt{2}, \sqrt{2})$ और $D=(-\sqrt{2}, -\sqrt{2})$ है।
जीवा $CD$ की लंबाई वृत्त का व्यास है,जो $2r = 2(2) = 4$ है।
मूल बिंदु $(0,0)$ से जीवा $AB$ की दूरी $d = \frac{|0+0-1|}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ है।
जीवा $AB$ की लंबाई $2\sqrt{r^2-d^2} = 2\sqrt{4-\frac{1}{2}} = 2\sqrt{\frac{7}{2}} = \sqrt{14}$ है।
चूंकि $CD$,$AB$ के लंबवत है,इसलिए चतुर्भुज $ADBC$ का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times \text{विकर्ण}_1 \times \text{विकर्ण}_2 = \frac{1}{2} \times AB \times CD = \frac{1}{2} \times \sqrt{14} \times 4 = 2\sqrt{14}$ है।

(B) मान लीजिए वृत्त का केंद्र $O(h, k)$ है। चूंकि वृत्त $A(4, 2)$ और $B(0, 2)$ से होकर गुजरता है,इसलिए $AB$ का लंब समद्विभाजक केंद्र $O$ से होकर गुजरेगा।
$AB$ का मध्यबिंदु $M(\frac{4+0}{2}, \frac{2+2}{2}) = (2, 2)$ है।
चूंकि $A$ और $B$ का $y$-निर्देशांक समान है,$AB$ एक क्षैतिज रेखा है। इसका लंब समद्विभाजक ऊर्ध्वाधर रेखा $x = 2$ है।
अतः,केंद्र का $x$-निर्देशांक $h = 2$ है।
चूंकि केंद्र $3x + 2y + 2 = 0$ पर स्थित है,$x = 2$ रखने पर:
$3(2) + 2k + 2 = 0$ $\Rightarrow 6 + 2k + 2 = 0$ $\Rightarrow 2k = -8$ $\Rightarrow k = -4$.
अतः,केंद्र $O(2, -4)$ है।
त्रिज्या $r$,$O(2, -4)$ से $A(4, 2)$ की दूरी है:
$r^2 = (4 - 2)^2 + (2 - (-4))^2 = 2^2 + 6^2 = 4 + 36 = 40$.
जीवा का मध्यबिंदु $N(1, 2)$ है। केंद्र $O(2, -4)$ से $N(1, 2)$ की दूरी $ON$ है:
$ON^2 = (1 - 2)^2 + (2 - (-4))^2 = (-1)^2 + 6^2 = 1 + 36 = 37$.
जीवा की लंबाई $2 \sqrt{r^2 - ON^2} = 2 \sqrt{40 - 37} = 2 \sqrt{3}$ है।

(A) रेखाएँ $x+y=3$ और $x-y=3$ बिंदु $(3, 0)$ पर प्रतिच्छेद करती हैं। इन रेखाओं के कोण समद्विभाजक $y=0$ और $x=3$ हैं। चूँकि वृत्त दोनों रेखाओं को स्पर्श करते हैं,इसलिए उनके केंद्र कोण समद्विभाजक $y=0$ पर स्थित होने चाहिए। माना केंद्र $(a, 0)$ है।
त्रिज्या $r$,बिंदु $(a, 0)$ से रेखा $x+y-3=0$ की लंबवत दूरी है,अतः $r = \frac{|a+0-3|}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{|a-3|}{\sqrt{2}}$।
वृत्त का समीकरण $(x-a)^2 + y^2 = r^2 = \frac{(a-3)^2}{2}$ है।
चूँकि वृत्त $(-9, 4)$ से गुजरता है,इसलिए $(-9-a)^2 + 4^2 = \frac{(a-3)^2}{2}$ होगा।
$2((a+9)^2 + 16) = (a-3)^2$
$2(a^2 + 18a + 81 + 16) = a^2 - 6a + 9$
$2a^2 + 36a + 194 = a^2 - 6a + 9$
$a^2 + 42a + 185 = 0$
$(a+37)(a+5) = 0$
अतः,$a = -37$ या $a = -5$ है।
$a = -37$ के लिए,$r_1 = \frac{|-37-3|}{\sqrt{2}} = \frac{40}{\sqrt{2}} = 20\sqrt{2}$,इसलिए $r_1^2 = 800$।
$a = -5$ के लिए,$r_2 = \frac{|-5-3|}{\sqrt{2}} = \frac{8}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{2}$,इसलिए $r_2^2 = 32$।
त्रिज्याओं के वर्गों का निरपेक्ष अंतर $|800 - 32| = 768$ है।

(D) माना बिंदु $A(4,6), B(-1,5), C(0,0)$ और $D(k, 3k)$ हैं।
$AB$ की ढाल $m_{AB} = \frac{5-6}{-1-4} = \frac{1}{5}$ और $BC$ की ढाल $m_{BC} = \frac{5-0}{-1-0} = -5$ है।
चूंकि $m_{AB} \cdot m_{BC} = -1$,इसलिए $\angle ABC = 90^\circ$ है।
अतः,$AC$ वृत्त का व्यास है। व्यास $AC$ वाले वृत्त का समीकरण $(x-4)(x-0) + (y-6)(y-0) = 0$ अर्थात $x^2 + y^2 - 4x - 6y = 0$ है।
बिंदु $D(k, 3k)$ वृत्त पर स्थित है,इसलिए $k^2 + (3k)^2 - 4k - 6(3k) = 0$।
$10k^2 - 22k = 0 \implies k = \frac{11}{5}$ (क्योंकि $k \neq 0$)।
वृत्त का केंद्र $AC$ का मध्यबिंदु $(2, 3)$ है। त्रिज्या का वर्ग $r^2 = (2-0)^2 + (3-0)^2 = 13$ है।
अतः,$10k + r^2 = 10(\frac{11}{5}) + 13 = 22 + 13 = 35$।

(C) वृत्त $C_1$ तीसरे चतुर्थांश में है,जिसकी त्रिज्या $r_1 = 3$ है और यह दोनों अक्षों को स्पर्श करता है,इसलिए इसका केंद्र $A(-3, -3)$ है।
$C_1$ का समीकरण $(x+3)^2 + (y+3)^2 = 3^2$ है।
$C_2$ का केंद्र $B(1, 3)$ है। मान लीजिए $C_2$ की त्रिज्या $r_2$ है।
केंद्रों $A$ और $B$ के बीच की दूरी $AB = \sqrt{(1 - (-3))^2 + (3 - (-3))^2} = \sqrt{4^2 + 6^2} = \sqrt{16 + 36} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$ है।
चूंकि वृत्त बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं,$AB = r_1 + r_2$। अतः,$2\sqrt{13} = 3 + r_2$,जिससे $r_2 = 2\sqrt{13} - 3$ प्राप्त होता है।
स्पर्श बिंदु $P(\alpha, \beta)$ रेखाखंड $AB$ को $r_1 : r_2 = 3 : (2\sqrt{13} - 3)$ के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर:
$\alpha = \frac{r_1 x_B + r_2 x_A}{r_1 + r_2} = \frac{3(1) + (2\sqrt{13} - 3)(-3)}{2\sqrt{13}} = \frac{3 - 6\sqrt{13} + 9}{2\sqrt{13}} = \frac{12 - 6\sqrt{13}}{2\sqrt{13}} = \frac{6}{\sqrt{13}} - 3$.
$\beta = \frac{r_1 y_B + r_2 y_A}{r_1 + r_2} = \frac{3(3) + (2\sqrt{13} - 3)(-3)}{2\sqrt{13}} = \frac{9 - 6\sqrt{13} + 9}{2\sqrt{13}} = \frac{18 - 6\sqrt{13}}{2\sqrt{13}} = \frac{9}{\sqrt{13}} - 3$.
अब,$\beta - \alpha = (\frac{9}{\sqrt{13}} - 3) - (\frac{6}{\sqrt{13}} - 3) = \frac{3}{\sqrt{13}}$.
इसलिए,$(\beta - \alpha)^2 = (\frac{3}{\sqrt{13}})^2 = \frac{9}{13}$.
यहाँ,$m = 9$ और $n = 13$ है। चूंकि $\operatorname{gcd}(9, 13) = 1$,इसलिए $m + n = 9 + 13 = 22$।

(B) वृत्त का दिया गया समीकरण $x^2+y^2+2x+2y-3=0$ है।
पूर्ण वर्ग बनाने पर,हमें $(x+1)^2+(y+1)^2=5$ प्राप्त होता है।
यह एक वृत्त है जिसका केंद्र $C(-1, -1)$ और त्रिज्या $r = \sqrt{5}$ है।
केंद्र $C(-1, -1)$ से रेखा $2x+y+13=0$ की दूरी $d = \frac{|2(-1) + (-1) + 13|}{\sqrt{2^2 + 1^2}} = \frac{|-2-1+13|}{\sqrt{5}} = \frac{10}{\sqrt{5}} = 2\sqrt{5}$ है।
वृत्त पर स्थित बिंदु की रेखा से अधिकतम दूरी $d + r$ होती है।
अतः,$\lambda_{max} = 2\sqrt{5} + \sqrt{5} = 3\sqrt{5}$।

(B) वृत्त का केंद्र मूल बिंदु $(0, 0)$ पर है और यह $A(2, 4)$ से होकर गुजरता है।
वृत्त की त्रिज्या $R$,मूल बिंदु से $A$ तक की दूरी है:
$R = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$.
वृत्त के भीतर बने समबाहु त्रिभुज में,परिकेंद्र और केंद्रक एक ही बिंदु होते हैं।
केंद्रक से शीर्ष तक की दूरी परित्रिज्या $R$ होती है।
शीर्ष $A$ से जाने वाली माध्यिका केंद्रक से होकर गुजरती है और इसकी कुल लंबाई $L = \frac{3}{2}R$ होती है।
$R = 2\sqrt{5}$ रखने पर:
$L = \frac{3}{2} \times 2\sqrt{5} = 3\sqrt{5}$ इकाई।

(B) हमारे पास रेखा $y = x$ और वृत्त $x^2 + y^2 - 2x = 0$ का समीकरण है।
दी गई रेखा और वृत्त के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$y = x$ को वृत्त के समीकरण में प्रतिस्थापित करें:
$x^2 + x^2 - 2x = 0$
$2x^2 - 2x = 0$
$2x(x - 1) = 0$
$x = 0, 1$
जब $x = 0$ है,तो $y = 0$; जब $x = 1$ है,तो $y = 1$ है।
अतः,व्यास $AB$ के अंतिम बिंदुओं के निर्देशांक $(0, 0)$ और $(1, 1)$ हैं।
व्यास के अंतिम बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ वाले वृत्त का समीकरण $(x - x_1)(x - x_2) + (y - y_1)(y - y_2) = 0$ होता है।
बिंदुओं $(0, 0)$ और $(1, 1)$ को प्रतिस्थापित करने पर:
$(x - 0)(x - 1) + (y - 0)(y - 1) = 0$
$x(x - 1) + y(y - 1) = 0$
$x^2 - x + y^2 - y = 0$
$x^2 + y^2 - x - y = 0$

(C) वृत्त की त्रिज्या $r$,केंद्र $(1, 2)$ और वृत्त पर स्थित बिंदु $(4, 6)$ के बीच की दूरी है।
दूरी सूत्र का उपयोग करते हुए: $r = \sqrt{(4-1)^2 + (6-2)^2}$
$r = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ इकाई।
वृत्त का क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
$A = \pi (5)^2 = 25 \pi$ वर्ग इकाई।

(A) दिए गए वृत्त का समीकरण $x^2+y^2-14x-10y-151=0$ है।
इसे सामान्य रूप $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ से तुलना करने पर,$g=-7$,$f=-5$,और $c=-151$ प्राप्त होता है।
वृत्त का केंद्र $C(-g, -f) = (7, 5)$ है और त्रिज्या $r = \sqrt{g^2+f^2-c} = \sqrt{(-7)^2+(-5)^2-(-151)} = \sqrt{49+25+151} = \sqrt{225} = 15$ है।
बिंदु $P(2, -7)$ और केंद्र $C(7, 5)$ के बीच की दूरी $d = \sqrt{(7-2)^2 + (5-(-7))^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25+144} = \sqrt{169} = 13$ है।
चूंकि दूरी $d=13$,त्रिज्या $r=15$ से कम है,इसलिए बिंदु $P$ वृत्त के अंदर स्थित है।
वृत्त के अंदर स्थित बिंदु के लिए,वृत्त से न्यूनतम दूरी $r-d = 15-13 = 2$ और अधिकतम दूरी $r+d = 15+13 = 28$ है।

(A) वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 - 4x - 2y - 20 = 0$ है।
$x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ से तुलना करने पर,$g = -2$,$f = -1$,और $c = -20$ प्राप्त होता है।
केंद्र $C = (-g, -f) = (2, 1)$ है।
त्रिज्या $r = \sqrt{g^2 + f^2 - c} = \sqrt{(-2)^2 + (-1)^2 - (-20)} = \sqrt{4 + 1 + 20} = \sqrt{25} = 5$.
दूरी $AC = \sqrt{(10 - 2)^2 + (7 - 1)^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$.
न्यूनतम दूरी $AM = AC - r = 10 - 5 = 5$.
चूँकि $MM'$ व्यास है,$M'$ बिंदु $A$ से सबसे दूर स्थित बिंदु है।
अधिकतम दूरी $AM' = AC + r = 10 + 5 = 15$.
अतः,लंबाइयाँ $5$ और $15$ इकाइयाँ हैं।

(B) वृत्त का समीकरण $x^2 - 2x + y^2 - 4y = 0$ है।
पूर्ण वर्ग बनाने पर,$(x-1)^2 + (y-2)^2 = 5$ प्राप्त होता है।
वृत्त का केंद्र $(1, 2)$ है और त्रिज्या $r = \sqrt{5}$ है।
रेखा $x - 2y - m = 0$ के वृत्त को दो अलग-अलग बिंदुओं पर काटने के लिए,केंद्र $(1, 2)$ से रेखा की लंबवत दूरी त्रिज्या $r$ से कम होनी चाहिए।
दूरी $d = \frac{|1 - 2(2) - m|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2}} = \frac{|-3 - m|}{\sqrt{5}} = \frac{|m + 3|}{\sqrt{5}}$.
$d < r$ रखने पर,$\frac{|m + 3|}{\sqrt{5}} < \sqrt{5}$.
$|m + 3| < 5$.
$-5 < m + 3 < 5$.
$-8 < m < 2$.
चूंकि $m \in \mathbb{Z}$,$m$ के संभावित मान $\{-7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1\}$ हैं।
अतः,ऐसे मानों की कुल संख्या $9$ है।

(B) दी गई रेखाएँ $L_1: 3x - 4y + 4 = 0$ और $L_2: 6x - 8y - 7 = 0$ हैं।
$L_2$ को $3x - 4y - \frac{7}{2} = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूँकि रेखाएँ समांतर हैं और वृत्त की स्पर्श रेखाएँ हैं,इसलिए उनके बीच की दूरी वृत्त के व्यास $D$ के बराबर होगी।
$D = \frac{|4 - (-7/2)|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{|4 + 3.5|}{5} = \frac{7.5}{5} = 1.5$.
चूँकि व्यास $D = 1.5$ है,इसलिए त्रिज्या $r = \frac{D}{2} = \frac{1.5}{2} = 0.75 = \frac{3}{4}$ इकाई होगी।

(B) बिंदु $P(\alpha, \beta)$ से गुजरने वाली किसी भी रेखा का समीकरण $\frac{x-\alpha}{\cos \theta} = \frac{y-\beta}{\sin \theta} = k$ है,जहाँ $k$ बिंदु $P$ से रेखा पर किसी बिंदु की दूरी को दर्शाता है।
इस रेखा पर कोई भी बिंदु $(\alpha + k \cos \theta, \beta + k \sin \theta)$ है।
चूंकि यह बिंदु वृत्त $x^{2} + y^{2} = r^{2}$ पर स्थित है,इसलिए:
$(\alpha + k \cos \theta)^{2} + (\beta + k \sin \theta)^{2} = r^{2}$
इसका विस्तार करने पर:
$k^{2} + 2k(\alpha \cos \theta + \beta \sin \theta) + (\alpha^{2} + \beta^{2} - r^{2}) = 0$
यह $k$ में एक द्विघात समीकरण है। मान लीजिए कि इसके मूल $k_{1}$ और $k_{2}$ हैं,जो $PA$ और $PB$ की लंबाई को दर्शाते हैं।
मूलों का गुणनफल $PA \cdot PB = k_{1}k_{2}$ द्विघात समीकरण के अचर पद के बराबर होता है:
$PA \cdot PB = \alpha^{2} + \beta^{2} - r^{2}$.

(A) स्पर्श बिंदु केंद्र $(-1, 1)$ से रेखा $x + 2y + 4 = 0$ पर डाले गए लंब का पाद है।
माना स्पर्श बिंदु $(h, k)$ है।
केंद्र से गुजरने वाली और दी गई रेखा के लंबवत रेखा की प्रवणता $2$ है (क्योंकि $x + 2y + 4 = 0$ की प्रवणता $-1/2$ है)।
इस लंबवत रेखा का समीकरण $y - 1 = 2(x + 1)$ है,जो $y = 2x + 3$ में सरल हो जाता है।
$y = 2x + 3$ को दी गई रेखा के समीकरण $x + 2(2x + 3) + 4 = 0$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$x + 4x + 6 + 4 = 0$
$5x + 10 = 0$
$x = -2$.
$x = -2$ को $y = 2x + 3$ में रखने पर:
$y = 2(-2) + 3 = -1$.
अतः,स्पर्श बिंदु $(-2, -1)$ है।

(C) वृत्त $x^2+y^2-x=0$ के लिए,केंद्र $C_1 = (\frac{1}{2}, 0)$ और त्रिज्या $r_1 = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 + 0^2 - 0} = \frac{1}{2}$ है।
वृत्त $x^2+y^2+x=0$ के लिए,केंद्र $C_2 = (-\frac{1}{2}, 0)$ और त्रिज्या $r_2 = \sqrt{(-\frac{1}{2})^2 + 0^2 - 0} = \frac{1}{2}$ है।
केंद्रों के बीच की दूरी $C_1C_2 = \sqrt{(\frac{1}{2} - (-\frac{1}{2}))^2 + (0-0)^2} = \sqrt{1^2} = 1$ है।
त्रिज्याओं का योग $r_1 + r_2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$ है।
चूंकि $C_1C_2 = r_1 + r_2$,इसलिए वृत्त एक-दूसरे को बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं।
जब दो वृत्त एक-दूसरे को बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं,तो उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाओं की संख्या $3$ होती है।

(A) माना वृत्त $x^{2} + y^{2} - 6x + 2y - 54 = 0$ है। इसका केंद्र $O(3, -1)$ है।
माना जीवा का मध्य-बिंदु $M(h, k)$ है।
$OM$ जीवा $2x - 5y + 18 = 0$ पर लंब है,इसलिए $OM$ की ढाल रेखा की ढाल की ऋणात्मक व्युत्क्रम होगी।
रेखा $2x - 5y + 18 = 0$ की ढाल $m = \frac{2}{5}$ है।
अतः,$OM$ की ढाल $-\frac{5}{2}$ होगी।
$OM$ की ढाल $\frac{k + 1}{h - 3}$ भी है।
समीकरण: $\frac{k + 1}{h - 3} = -\frac{5}{2} \Rightarrow 5h + 2k = 13$।
चूंकि $M(h, k)$ रेखा पर स्थित है,$2h - 5k = -18$।
समीकरणों को हल करने पर $h = 1$ और $k = 4$ प्राप्त होता है।
अतः,मध्य-बिंदु $(1, 4)$ है।

(B) वृत्त का समीकरण $x^2+y^2-4x-10y+25=0$ है।
इसे मानक समीकरण $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ से तुलना करने पर,केंद्र $C = (2, 5)$ प्राप्त होता है।
माना $M(1, 2)$ जीवा $AB$ का मध्य-बिंदु है।
जीवा,बिंदु $M$ पर त्रिज्या $CM$ के लंबवत होती है।
$CM$ की ढाल $m_{CM} = \frac{2-5}{1-2} = \frac{-3}{-1} = 3$ है।
चूँकि जीवा $AB$,$CM$ के लंबवत है,इसलिए जीवा $AB$ की ढाल $m_{AB} = -\frac{1}{m_{CM}} = -\frac{1}{3}$ होगी।
बिंदु $M(1, 2)$ से गुजरने वाली और $-\frac{1}{3}$ ढाल वाली जीवा का समीकरण:
$y - 2 = -\frac{1}{3}(x - 1)$
$3(y - 2) = -(x - 1)$
$3y - 6 = -x + 1$
$x + 3y = 7$.

(D) वृत्त $x^2+y^2=9$ के लिए,केंद्र $C_1 = (0,0)$ और त्रिज्या $r_1 = 3$ है।
वृत्त $x^2+y^2+2\alpha x+2y+1=0$ के लिए,केंद्र $C_2 = (-\alpha, -1)$ और त्रिज्या $r_2 = \sqrt{\alpha^2+1-1} = |\alpha|$ है।
चूंकि वृत्त आंतरिक रूप से स्पर्श करते हैं,इसलिए $C_1C_2 = |r_1 - r_2|$।
$C_1C_2 = \sqrt{\alpha^2 + 1}$।
अतः,$\sqrt{\alpha^2 + 1} = |3 - |\alpha||$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\alpha^2 + 1 = 9 + \alpha^2 - 6|\alpha|$।
$6|\alpha| = 8 \Rightarrow |\alpha| = \frac{4}{3}$।
इसलिए,$\alpha^3 = \frac{64}{27}$।

(D) पहले वृत्त $x^2+y^2+8x-6y-24=0$ के लिए,केंद्र $C_1 = (-4, 3)$ और त्रिज्या $r_1 = 7$ है।
दूसरे वृत्त $x^2+y^2-4x+10y+20=0$ के लिए,केंद्र $C_2 = (2, -5)$ और त्रिज्या $r_2 = 3$ है।
केंद्रों के बीच की दूरी $C_1 C_2 = \sqrt{(2 - (-4))^2 + (-5 - 3)^2} = 10$ है।
चूंकि $C_1 C_2 = r_1 + r_2 = 10$,इसलिए दोनों वृत्त एक-दूसरे को बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं।

(C) वृत्त $x^2+y^2-6x-14y+48=0$ के लिए,केंद्र $C_1$ $(3, 7)$ है और त्रिज्या $r_1 = \sqrt{3^2+7^2-48} = \sqrt{10}$ है।
वृत्त $x^2+y^2-6x=0$ के लिए,केंद्र $C_2$ $(3, 0)$ है और त्रिज्या $r_2 = 3$ है।
केंद्रों $C_1$ और $C_2$ के बीच की दूरी $d = \sqrt{(3-3)^2+(7-0)^2} = 7$ है।
यहाँ $r_1 + r_2 = \sqrt{10} + 3 \approx 6.16$ है।
चूँकि $d > r_1 + r_2$,इसलिए दोनों वृत्त एक-दूसरे से अलग हैं।
अतः,उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाओं की संख्या $4$ है।

(A) दिए गए वृत्त का समीकरण $x^2+y^2-10x=0$ है।
$y=2x$ को वृत्त के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$x^2+(2x)^2-10x=0$
$x^2+4x^2-10x=0$
$5x^2-10x=0$
$5x(x-2)=0$
अतः,$x=0$ या $x=2$।
यदि $x=0$,तो $y=2(0)=0$। यदि $x=2$,तो $y=2(2)=4$।
जीवा के अंतिम बिंदु $(0,0)$ और $(2,4)$ हैं।
व्यास के अंतिम बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ वाले वृत्त का समीकरण $(x-x_1)(x-x_2)+(y-y_1)(y-y_2)=0$ होता है।
बिंदुओं $(0,0)$ और $(2,4)$ को रखने पर:
$(x-0)(x-2)+(y-0)(y-4)=0$
$x(x-2)+y(y-4)=0$
$x^2-2x+y^2-4y=0$
$x^2+y^2-2x-4y=0$.

(B) माना वृत्त का केंद्र $(h, k)$ है और त्रिज्या $r$ है। वृत्त $A(5,7)$,$B(2,-2)$ और $C(-2,0)$ से होकर गुजरता है।
केंद्र से प्रत्येक बिंदु की दूरी $r$ के बराबर है,इसलिए $r^2 = (h-2)^2 + (k+2)^2 = (h+2)^2 + k^2$.
इसका विस्तार करने पर: $h^2 - 4h + 4 + k^2 + 4k + 4 = h^2 + 4h + 4 + k^2$.
सरल करने पर,$-8h + 4k = -4$,या $2h - k = 1$ $(1)$.
इसी प्रकार,$(h-5)^2 + (k-7)^2 = (h+2)^2 + k^2$.
इसका विस्तार करने पर: $h^2 - 10h + 25 + k^2 - 14k + 49 = h^2 + 4h + 4 + k^2$.
सरल करने पर,$-14h - 14k = -70$,या $h + k = 5$ $(2)$.
$(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर,$3h = 6$,जिससे $h = 2$ प्राप्त होता है। $h=2$ को $(2)$ में रखने पर,$k = 3$ प्राप्त होता है।
केंद्र $(2, 3)$ है।
त्रिज्या $r$,$(2, 3)$ से $(-2, 0)$ की दूरी है:
$r = \sqrt{(2 - (-2))^2 + (3 - 0)^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$ इकाई।

(B) माना वृत्त का केंद्र $(h, k)$ है।
चूंकि वृत्त बिंदुओं $(0,0), (x,0)$ और $(0,y)$ से होकर गुजरता है,इसलिए केंद्र से प्रत्येक बिंदु की दूरी त्रिज्या $R$ के बराबर होनी चाहिए।
$h^2 + k^2 = (h-x)^2 + k^2 = h^2 + (k-y)^2$
$h^2 + k^2 = (h-x)^2 + k^2$ से,हमें $h^2 = h^2 - 2hx + x^2$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $2hx = x^2$,इसलिए $h = \frac{x}{2}$।
$h^2 + k^2 = h^2 + (k-y)^2$ से,हमें $k^2 = k^2 - 2ky + y^2$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $2ky = y^2$,इसलिए $k = \frac{y}{2}$।
अतः,केंद्र के निर्देशांक $\left(\frac{x}{2}, \frac{y}{2}\right)$ हैं।

(A) दिया गया है कि वृत्त का केंद्र $C(3,4)$ है।
चूँकि वृत्त रेखा $5x+12y-11=0$ को स्पर्श करता है,इसलिए वृत्त की त्रिज्या $r$,केंद्र $(3,4)$ से रेखा पर डाले गए लंब की लंबाई के बराबर होगी।
बिंदु $(x_1, y_1)$ से रेखा $ax+by+c=0$ की लंबवत दूरी $d$ का सूत्र $d = \frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$ है।
मान रखने पर:
$r = \frac{|5(3)+12(4)-11|}{\sqrt{5^2+12^2}}$
$r = \frac{|15+48-11|}{\sqrt{25+144}}$
$r = \frac{|52|}{\sqrt{169}}$
$r = \frac{52}{13} = 4$.
वृत्त का क्षेत्रफल $\pi r^2$ द्वारा दिया जाता है।
क्षेत्रफल $= \pi(4)^2 = 16\pi$ वर्ग इकाई।

(B) रेखा का समीकरण $x + y - 1 = 0$ है।
वृत्त की त्रिज्या $r$ मानने पर,केंद्र $(\pm r, \pm r)$ होगा।
केंद्र से रेखा की लंबवत दूरी $r$ होनी चाहिए।
गणना करने पर,प्रथम चतुर्थांश में $2$ वृत्त,द्वितीय चतुर्थांश में $1$ वृत्त और चतुर्थ चतुर्थांश में $1$ वृत्त प्राप्त होते हैं।
अतः,कुल $4$ वृत्त संभव हैं।

(D) मूल बिंदु $(0, 0)$ से गुजरने वाले और रेखा $y = x + 1$ पर व्यास रखने वाले सबसे छोटे वृत्त के लिए,वृत्त का केंद्र मूल बिंदु का रेखा $y = x + 1$ पर प्रक्षेप (projection) होना चाहिए।
रेखा $y = x + 1$ को $x - y + 1 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
रेखा $x - y + 1 = 0$ के लंबवत और मूल बिंदु $(0, 0)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $x + y = k$ के रूप में होगा।
चूंकि यह $(0, 0)$ से गुजरती है,इसलिए $0 + 0 = k$,जिसका अर्थ है $k = 0$।
अतः लंबवत रेखा $x + y = 0$ या $y = -x$ है।
केंद्र ज्ञात करने के लिए,हम $y = x + 1$ और $y = -x$ का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं।
$y = -x$ को $y = x + 1$ में रखने पर,$-x = x + 1$,जिसका अर्थ है $2x = -1$,यानी $x = -\frac{1}{2}$।
तब $y = -(-\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$।
इस प्रकार,वृत्त का केंद्र $\left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$ है।

(A) दिया गया वृत्त समीकरण: $x^{2} + y^{2} - 4x - 2y - 20 = 0$ है।
$x^{2} + y^{2} + 2gx + 2fy + c = 0$ से तुलना करने पर,$g = -2, f = -1, c = -20$ प्राप्त होता है।
वृत्त का केंद्र $(-g, -f) = (2, 1)$ है।
त्रिज्या $r = \sqrt{g^{2} + f^{2} - c} = \sqrt{(-2)^{2} + (-1)^{2} - (-20)} = \sqrt{4 + 1 + 20} = \sqrt{25} = 5$ है।
माना $P$ बिंदु $(10, 7)$ है और $C$ केंद्र $(2, 1)$ है।
$P$ और $C$ के बीच की दूरी $d = \sqrt{(10 - 2)^{2} + (7 - 1)^{2}} = \sqrt{8^{2} + 6^{2}} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$ है।
वृत्त से बिंदु की न्यूनतम दूरी $d - r = 10 - 5 = 5$ है।
वृत्त से बिंदु की अधिकतम दूरी $d + r = 10 + 5 = 15$ है।
अतः,न्यूनतम और अधिकतम दूरियाँ क्रमशः $5$ और $15$ हैं।

(A) एक बिंदु $(x_1, y_1)$ वृत्त $S = x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ के बाहर स्थित होता है यदि $S_1 = x_1^2 + y_1^2 + 2gx_1 + 2fy_1 + c > 0$ हो।
विकल्प $(A)$ के लिए,$S = x^2 + y^2 - 8x$ है।
$(5, -7)$ प्रतिस्थापित करने पर:
$S_1 = 5^2 + (-7)^2 - 8(5) = 25 + 49 - 40 = 34$।
चूंकि $34 > 0$ है,इसलिए बिंदु $(5, -7)$ वृत्त $x^2 + y^2 - 8x = 0$ के बाहर स्थित है।

(D) वृत्त का दिया गया समीकरण $x^{2}+y^{2}+3x+2y-8=0$ है।
इसे व्यापक समीकरण $x^{2}+y^{2}+2gx+2fy+c=0$ से तुलना करने पर,हमें $g=\frac{3}{2}$,$f=1$,और $c=-8$ प्राप्त होता है।
$y$-अक्ष द्वारा बनाए गए अंतःखंड की लंबाई का सूत्र $2\sqrt{f^{2}-c}$ है।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
लंबाई $= 2\sqrt{(1)^{2}-(-8)}$
$= 2\sqrt{1+8}$
$= 2\sqrt{9}$
$= 2 \times 3 = 6$.

(D) वृत्त का समीकरण $x^{2}+y^{2}-4x=0$ है। वृत्त का केंद्र $C(2,0)$ है।
माना जीवा बिंदु $M(1,0)$ पर समद्विभाजित होती है।
केंद्र $C(2,0)$ और मध्यबिंदु $M(1,0)$ को जोड़ने वाली रेखा जीवा के लंबवत होती है।
रेखा $CM$ की ढाल $m_{CM} = \frac{0-0}{1-2} = 0$ है।
चूंकि जीवा $CM$ के लंबवत है और $CM$ एक क्षैतिज रेखा (x-अक्ष) है,इसलिए जीवा एक ऊर्ध्वाधर रेखा होगी।
$(1,0)$ से गुजरने वाली ऊर्ध्वाधर रेखा का समीकरण $x=1$ है।
इस जीवा की ढाल अपरिभाषित है।
हम विकल्पों की जाँच करते हैं कि कौन सी रेखा इस जीवा के लंबवत है। एक ऊर्ध्वाधर रेखा के लंबवत रेखा एक क्षैतिज रेखा होती है।
दिए गए विकल्पों में,$y=1$ एक क्षैतिज रेखा है।
अतः,जीवा $y=1$ रेखा के लंबवत है।

(D) चाप की लंबाई $s$ का सूत्र है: $s = 2 \pi r \times \frac{\theta}{360^{\circ}}$
यहाँ $s = 44 \ m$ और $\theta = 72^{\circ}$ दिया गया है।
मान रखने पर: $44 = 2 \times \frac{22}{7} \times r \times \frac{72}{360^{\circ}}$
भिन्न को सरल करने पर: $\frac{72}{360} = \frac{1}{5}$
अतः,$44 = 2 \times \frac{22}{7} \times r \times \frac{1}{5}$
$44 = \frac{44}{35} \times r$
$r = \frac{44 \times 35}{44} = 35 \ m$
अतः,रस्सी की लंबाई $35 \ m$ है।

(A) बिंदु $P = (4 \cos \theta, 4 \sin \theta)$ और $Q = (4 \cos (\theta+60^{\circ}), 4 \sin (\theta+60^{\circ}))$ हैं।
दूरी सूत्र का उपयोग करते हुए,जीवा $PQ$ की लंबाई:
$PQ = \sqrt{(4 \cos (\theta+60^{\circ}) - 4 \cos \theta)^2 + (4 \sin (\theta+60^{\circ}) - 4 \sin \theta)^2}$
$PQ = 4 \sqrt{(\cos (\theta+60^{\circ}) - \cos \theta)^2 + (\sin (\theta+60^{\circ}) - \sin \theta)^2}$
$PQ = 4 \sqrt{\cos^2 (\theta+60^{\circ}) + \cos^2 \theta - 2 \cos (\theta+60^{\circ}) \cos \theta + \sin^2 (\theta+60^{\circ}) + \sin^2 \theta - 2 \sin (\theta+60^{\circ}) \sin \theta}$
$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$ का उपयोग करते हुए:
$PQ = 4 \sqrt{1 + 1 - 2 (\cos (\theta+60^{\circ}) \cos \theta + \sin (\theta+60^{\circ}) \sin \theta)}$
$\cos (A-B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$ का उपयोग करते हुए:
$PQ = 4 \sqrt{2 - 2 \cos ((\theta+60^{\circ}) - \theta)}$
$PQ = 4 \sqrt{2 - 2 \cos 60^{\circ}}$
चूंकि $\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$:
$PQ = 4 \sqrt{2 - 2 \times \frac{1}{2}} = 4 \sqrt{2 - 1} = 4 \times 1 = 4$.

(A) माना वृत्त की त्रिज्या $r$ है।
त्रिज्यखंड का परिमाप $P = l + 2r$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $l = r\theta$ चाप की लंबाई है और $\theta$ रेडियन में कोण है।
अर्धवृत्त के चाप की लंबाई $\pi r$ है।
प्रश्न के अनुसार,त्रिज्यखंड का परिमाप अर्धवृत्त के चाप की लंबाई के बराबर है:
$r\theta + 2r = \pi r$
दोनों पक्षों को $r$ से विभाजित करने पर $(r \neq 0)$:
$\theta + 2 = \pi$
$\theta = \pi - 2$
अतः,त्रिज्यखंड के केंद्र पर कोण $\pi - 2$ रेडियन है।

(B) माना दो वृत्तों की त्रिज्याएँ $r_1$ और $r_2$ हैं।
दिया गया है कि दोनों वृत्तों के लिए चाप की लंबाई $l$ समान है।
चाप की लंबाई का सूत्र $l = r \theta$ है,जहाँ $\theta$ रेडियन में है।
पहले वृत्त के लिए,$l = r_1 \times (30^{\circ} \times \frac{\pi}{180^{\circ}}) = r_1 \times \frac{\pi}{6}$।
दूसरे वृत्त के लिए,$l = r_2 \times (78^{\circ} \times \frac{\pi}{180^{\circ}}) = r_2 \times \frac{13\pi}{30}$।
चूँकि चाप की लंबाई समान है,$r_1 \times \frac{\pi}{6} = r_2 \times \frac{13\pi}{30}$।
दोनों पक्षों को $\pi$ से विभाजित करने पर,$\frac{r_1}{6} = \frac{13r_2}{30}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{r_1}{r_2} = \frac{13 \times 6}{30} = \frac{13}{5}$।