क्षेत्र {(x,y) : x^2 + y^2 leqslant 1 leqslan | vedclass

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Question

(A) यह क्षेत्र दो असमिकाओं द्वारा परिभाषित है: $1$. $x^2 + y^2 \leqslant 1$ (मूलबिंदु पर केंद्र और $1$ त्रिज्या वाले वृत्त का आंतरिक भाग)। $2$. $x + y

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$\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}$

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(A) यह क्षेत्र दो असमिकाओं द्वारा परिभाषित है: $1$. $x^2 + y^2 \leqslant 1$ (मूलबिंदु पर केंद्र और $1$ त्रिज्या वाले वृत्त का आंतरिक भाग)। $2$. $x + y \geqslant 1$ (रेखा $x + y = 1$ के ऊपर या उस पर का भाग)। इन दो क्षेत्रों का प्रतिच्छेदन एक वृत्तीय खंड है। रेखा $x + y = 1$ बिंदुओं $(1, 0)$ और $(0, 1)$ से होकर गुजरती है। मूलबिंदु $(0, 0)$ से रेखा $x + y - 1 = 0$ की लंबवत दूरी $d = \frac{|0 + 0 - 1|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ है। $r = 1$ त्रिज्या वाले वृत्त में,केंद्र से $d$ दूरी पर स्थित जीवा द्वारा कटे वृत्तीय खंड का क्षेत्रफल $A = r^2 \cos^{-1}(\frac{d}{r}) - d\sqrt{r^2 - d^2}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है। $r = 1$ और $d = \frac{1}{\sqrt{2}}$ रखने पर: $A = (1)^2 \cos^{-1}(\frac{1/\sqrt{2}}{1}) - \frac{1}{\sqrt{2}} \sqrt{1 - (\frac{1}{\sqrt{2}})^2}$ $A = \cos^{-1}(\frac{1}{\sqrt{2}}) - \frac{1}{\sqrt{2}} \sqrt{1 - \frac{1}{2}}$ $A = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}$।

क्षेत्र $\{(x,y) : x^2 + y^2 \leqslant 1 \leqslant x + y\}$ का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

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