Geometrical problems regarding circle and its properties Questions in Gujarati

(C) આપેલ વર્તુળોના સમીકરણો:
$C_1: x^2 + y^2 - 6x - 8y + 9 = 0$
$C_2: x^2 + y^2 = 1$
$C_1$ માટે,કેન્દ્ર $(3, 4)$ છે અને ત્રિજ્યા $R_1 = \sqrt{3^2 + 4^2 - 9} = 4$ છે.
$C_2$ માટે,કેન્દ્ર $(0, 0)$ છે અને ત્રિજ્યા $R_2 = 1$ છે.
કેન્દ્રો $C_1(3, 4)$ અને $C_2(0, 0)$ વચ્ચેનું અંતર $d = \sqrt{(3-0)^2 + (4-0)^2} = 5$ છે.
અહીં $R_1 + R_2 = 4 + 1 = 5$ છે.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d = R_1 + R_2$ હોવાથી,બંને વર્તુળો એકબીજાને બહારથી સ્પર્શે છે.
જ્યારે બે વર્તુળો એકબીજાને બહારથી સ્પર્શતા હોય,ત્યારે તેમને $3$ સામાન્ય સ્પર્શકો હોય છે.

(B) આપેલ વર્તુળો $x^{2}+y^{2}-y=0$ અને $x^{2}+y^{2}+y=0$ છે.
પ્રથમ વર્તુળ $x^{2}+y^{2}-y=0$ માટે,કેન્દ્ર $C_{1}(0, 1/2)$ અને ત્રિજ્યા $r_{1} = 1/2$ છે.
બીજા વર્તુળ $x^{2}+y^{2}+y=0$ માટે,કેન્દ્ર $C_{2}(0, -1/2)$ અને ત્રિજ્યા $r_{2} = 1/2$ છે.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $C_{1}C_{2} = \sqrt{(0-0)^{2} + (1/2 - (-1/2))^{2}} = 1$ છે.
અહીં $r_{1} + r_{2} = 1/2 + 1/2 = 1$ હોવાથી,$C_{1}C_{2} = r_{1} + r_{2}$ થાય છે.
આ શરત સૂચવે છે કે બંને વર્તુળો એકબીજાને બહારથી સ્પર્શે છે.
જ્યારે બે વર્તુળો એકબીજાને બહારથી સ્પર્શતા હોય,ત્યારે તેમને કુલ $3$ સામાન્ય સ્પર્શકો હોય છે.

(D) આપેલ વર્તુળોના સમીકરણો છે:
$C_{1}: x^{2}+y^{2}=4$,જેનું કેન્દ્ર $O_{1}=(0,0)$ અને ત્રિજ્યા $r_{1}=2$ છે.
$C_{2}: x^{2}+y^{2}-6x-8y-24=0$,જેનું કેન્દ્ર $O_{2}=(3,4)$ અને ત્રિજ્યા $r_{2}=\sqrt{3^{2}+4^{2}-(-24)}=\sqrt{9+16+24}=\sqrt{49}=7$ છે.
હવે,કેન્દ્રો $O_{1}$ અને $O_{2}$ વચ્ચેનું અંતર શોધો:
$d = \sqrt{(3-0)^{2}+(4-0)^{2}} = \sqrt{9+16} = 5$.
અંતર $d$ ની સરખામણી ત્રિજ્યાઓના સરવાળા અને તફાવત સાથે કરો:
$r_{1}+r_{2} = 2+7 = 9$.
$|r_{1}-r_{2}| = |2-7| = 5$.
અહીં $d = |r_{1}-r_{2}|$ હોવાથી,વર્તુળો એકબીજાને અંદરથી સ્પર્શે છે.
તેથી,સામાન્ય સ્પર્શકોની સંખ્યા $1$ છે.

(C) આપેલ વક્રો $x^{2}+y^{2}=4x$ અને $x^{2}+y^{2}=8$ છે.
પ્રથમ વક્ર $x^{2}+y^{2}=4x$ માટે,$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા $2x + 2y \frac{dy}{dx} = 4$ મળે,તેથી $\frac{dy}{dx} = \frac{2-x}{y}$.
બિંદુ $(2,2)$ પર,ઢાળ $m_{1} = \frac{2-2}{2} = 0$.
બીજા વક્ર $x^{2}+y^{2}=8$ માટે,$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા $2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0$ મળે,તેથી $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$.
બિંદુ $(2,2)$ પર,ઢાળ $m_{2} = -\frac{2}{2} = -1$.
વક્રો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = \left| \frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}m_{2}} \right|$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$\tan \theta = \left| \frac{0 - (-1)}{1 + (0)(-1)} \right| = \left| \frac{1}{1} \right| = 1$.
તેથી $\tan \theta = 1$ હોવાથી,$\theta = 45^{\circ}$ મળે.
આપેલ છે કે $\theta = \sin^{-1} a$,તેથી $\sin^{-1} a = 45^{\circ}$,જેનો અર્થ છે કે $a = \sin 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

(C) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $(x+1)^{2}+(y-3)^{2}=64$ છે.
તેને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $(x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}$ સાથે સરખાવતા,ત્રિજ્યા $r = \sqrt{64} = 8$ મળે છે.
વર્તુળમાં અંતર્ગત લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ ત્યારે મહત્તમ હોય છે જ્યારે તે ચોરસ હોય.
આ ચોરસનો વિકર્ણ એ વર્તુળના વ્યાસ જેટલો હોય છે,જે $d = 2r = 2 \times 8 = 16$ છે.
ધારો કે ચોરસની બાજુ $a$ છે. પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$a^{2} + a^{2} = d^{2}$.
$2a^{2} = 16^{2} = 256$.
$a^{2} = 128$.
તેથી,ચોરસનું ક્ષેત્રફળ $a^{2} = 128 \text{ ચોરસ એકમ}$ થાય.

(B) ત્રણ રેખાઓ $L_1=0, L_2=0, L_3=0$ માંથી પસાર થતા વર્તુળનું સમીકરણ $L_1 L_2 + \lambda L_2 L_3 + \mu L_3 L_1 = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $L_1: x+y-6=0$,$L_2: 2x+y-4=0$,$L_3: x+2y-5=0$ છે.
વર્તુળ માટે $x^2$ અને $y^2$ ના સહગુણકો સમાન હોવા જોઈએ અને $xy$ નો સહગુણક શૂન્ય હોવો જોઈએ.
આ શરતો લાગુ પાડતા,આપણને $\mu = 1$ અને $\lambda = -6/5$ મળે છે.
સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા અને સાદું રૂપ આપતા,આપણને $x^2+y^2-17x-19y+50=0$ મળે છે.

(D) આપેલ રેખાઓ $L_1: x+y-4=0$,$L_2: x-y+2=0$ અને $L_3: y-2=0$ છે.
આ ત્રણ રેખાઓ એક ત્રિકોણ બનાવે છે.
ત્રણેય રેખાઓને સ્પર્શતું વર્તુળ એ ત્રિકોણનું અંતઃવૃત્ત (incircle) અથવા બહિર્વૃત્ત (excircle) હોય છે.
કોઈપણ ત્રિકોણ માટે,એક અંતઃવૃત્ત અને ત્રણ બહિર્વૃત્ત હોય છે.
તેથી,આપેલ ત્રણેય રેખાઓને સ્પર્શતા કુલ $1+3=4$ વર્તુળો મળે.

(A) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 - 2x - 4y - 4 = 0$ છે.
કેન્દ્ર $C(1, 2)$ અને ત્રિજ્યા $r = 3$ છે.
$P(-1, -1)$ થી $C(1, 2)$ નું અંતર $d = \sqrt{13}$ છે.
સ્પર્શકની લંબાઈ $L = \sqrt{d^2 - r^2} = \sqrt{13 - 9} = 2$ છે.
ત્રિકોણ $PAB$ નું ક્ષેત્રફળ $\frac{24}{13}$ મળે છે.

(B) વર્તુળના બે અભિલંબનું છેદબિંદુ એ વર્તુળનું કેન્દ્ર છે.
આપેલ અભિલંબના સમીકરણો:
$2x - 3y + 4 = 0$ ... $(i)$
$x + y - 3 = 0$ ... $(ii)$
સમીકરણ $(ii)$ ને $2$ વડે ગુણતા,$2x + 2y - 6 = 0$ ... $(iii)$
$(iii)$ માંથી $(i)$ બાદ કરતા:
$(2x + 2y - 6) - (2x - 3y + 4) = 0$
$5y - 10 = 0 \implies y = 2$
$y = 2$ ને $(ii)$ માં મૂકતા:
$x + 2 - 3 = 0 \implies x = 1$
તેથી,વર્તુળનું કેન્દ્ર $(1, 2)$ છે.
વર્તુળ $(4, 6)$ બિંદુમાંથી પસાર થાય છે.
ત્રિજ્યા $r$ એ $(1, 2)$ અને $(4, 6)$ વચ્ચેનું અંતર છે:
$r = \sqrt{(4 - 1)^2 + (6 - 2)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.
વર્તુળનો પરિઘ $2 \pi r = 2 \pi (5) = 10 \pi$ થાય.

(NONE) ત્રિકોણની બાજુઓને વ્યાસ તરીકે લઈને દોરેલા વર્તુળોનું રેડિકલ કેન્દ્ર એ ત્રિકોણનું લંબકેન્દ્ર (orthocentre) હોય છે.
ધારો કે લંબકેન્દ્ર $H = (-6,5)$.
ધારો કે $A = (3,2)$,$B = (2,1)$,અને $C = (x,y)$.
$BC$ નો ઢાળ $m_{BC} = \frac{y-1}{x-2}$ છે.
$AH \perp BC$ હોવાથી,$AH$ નો ઢાળ $m_{AH} = \frac{5-2}{-6-3} = -\frac{1}{3}$ છે.
તેથી,$m_{BC} = 3$.
આમ,$3x-y = 5$ $(1)$.
$AC$ નો ઢાળ $m_{AC} = \frac{y-2}{x-3}$ છે.
$BH \perp AC$ હોવાથી,$BH$ નો ઢાળ $m_{BH} = \frac{5-1}{-6-2} = -\frac{1}{2}$ છે.
તેથી,$m_{AC} = 2$.
આમ,$2x-y = -4$ $(2)$.
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ ઉકેલતા,$x = 9$ અને $y = 22$ મળે છે.
તેથી,$C = (9,22)$.

(B) વર્તુળ $x^2 + y^2 - 2x + 4y + c = 0$ માટે કેન્દ્ર $O(1, -2)$ છે.
બિંદુ $P(-1, 2)$ અને પ્રતિ બિંદુ $P'(\frac{1}{10}, \frac{-1}{5})$ છે.
સૂત્ર $OP \cdot OP' = r^2$ મુજબ,જ્યાં $r^2 = 5 - c$.
$OP = (-2, 4)$ અને $OP' = (-\frac{9}{10}, \frac{9}{5})$.
$OP \cdot OP' = (-2)(-\frac{9}{10}) + (4)(\frac{9}{5}) = 1.8 + 7.2 = 9$.
તેથી,$5 - c = 9$,જેનો અર્થ છે કે $c = -4$.

(A) ચાર વર્તુળોના કેન્દ્ર $(\pm r, \pm r)$ છે અને ત્રિજ્યા $r$ છે.
ધારો કે ઉગમબિંદુ $(0,0)$ પર કેન્દ્રિત અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ આ ચારેય વર્તુળોને સ્પર્શે છે.
ઉગમબિંદુથી કોઈપણ વર્તુળના કેન્દ્રનું અંતર $\sqrt{r^2 + r^2} = r\sqrt{2}$ છે.
બાહ્ય રીતે સ્પર્શતા વર્તુળ માટે,$R + r = r\sqrt{2} \implies R = r(\sqrt{2}-1)$.
આંતરિક રીતે સ્પર્શતા વર્તુળ માટે,$R - r = r\sqrt{2} \implies R = r(\sqrt{2}+1)$.
આમ,$r_1 = r(\sqrt{2}-1)$ અને $r_2 = r(\sqrt{2}+1)$.
તેથી,$r_1 + r_2 = r(\sqrt{2}-1 + \sqrt{2}+1) = 2r\sqrt{2}$.
માટે,$\frac{r_1+r_2}{r} = 2\sqrt{2}$.

(B) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2-4x+1=0$ છે.
તેને $(x-2)^2+y^2=3$ તરીકે લખી શકાય.
તેથી,કેન્દ્ર $C = (2, 0)$ અને ત્રિજ્યાનો વર્ગ $r^2 = 3$ છે.
વર્તુળના સંદર્ભમાં બિંદુ $P(x_1, y_1)$ નું વ્યસ્ત બિંદુ $Q(h, k)$ શોધવાનું સૂત્ર:
$h = x_0 + \frac{r^2(x_1-x_0)}{(x_1-x_0)^2+(y_1-y_0)^2}$ અને $k = y_0 + \frac{r^2(y_1-y_0)}{(x_1-x_0)^2+(y_1-y_0)^2}$.
અહીં,$(x_0, y_0) = (2, 0)$,$(x_1, y_1) = (1, 2)$,અને $r^2 = 3$.
છેદ $(1-2)^2+(2-0)^2 = 1+4 = 5$ થાય.
તેથી,$h = 2 + \frac{3(-1)}{5} = 2 - \frac{3}{5} = \frac{7}{5}$.
અને $k = 0 + \frac{3(2)}{5} = \frac{6}{5}$.
આમ,$2h+k = 2(\frac{7}{5}) + \frac{6}{5} = \frac{14}{5} + \frac{6}{5} = \frac{20}{5} = 4$.

(A) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 - 2\alpha x + 6y + \alpha^2 - 16 = 0$ છે.
બિંદુ $(4, 2)$ માટે પાવર $9$ છે:
$16 + 4 - 8\alpha + 12 + \alpha^2 - 16 = 9
$ $\Rightarrow \alpha^2 - 8\alpha + 7 = 0$ $\Rightarrow \alpha = 1, 7$.
કિસ્સો $1$: $\alpha = 1$ માટે,$x$-અંતઃખંડ $8$ અને $y$-અંતઃખંડ $4\sqrt{6}$ મળે છે.
કિસ્સો $2$: $\alpha = 7$ માટે,$x$-અંતઃખંડ $8$ મળે છે અને $y$-અંતઃખંડ મળતો નથી.
કુલ સરવાળો $= 8 + 4\sqrt{6} + 8 = 16 + 4\sqrt{6}$.

(C) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 - 6x - 8y - 11 = 0$ છે.
વ્યાપક સ્વરૂપ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ સાથે સરખાવતા,$g = -3$ અને $f = -4$ મળે છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $C(-g, -f) = (3, 4)$ છે.
વર્તુળની ત્રિજ્યા $r = \sqrt{g^2 + f^2 - c} = \sqrt{(-3)^2 + (-4)^2 - (-11)} = \sqrt{9 + 16 + 11} = \sqrt{36} = 6$ છે.
બિંદુ $P(15, 9)$ અને કેન્દ્ર $C(3, 4)$ વચ્ચેનું અંતર $CP = \sqrt{(15 - 3)^2 + (9 - 4)^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$ છે.
બિંદુ $P$ થી વર્તુળનું સૌથી મોટું અંતર $CP + r = 13 + 6 = 19$ છે.

(A) $x^2+y^2+px+qy+r=0$ એ આપેલ વર્તુળને $(-1,-1)$ પર સ્પર્શે છે.
તેથી $(-1)^2+(-1)^2-p-q+r=0$
$\Rightarrow p+q-r=2$.

(B) આપેલ વર્તુળ $x^2+y^2-6x+6y+17=0$ છે. તેનું કેન્દ્ર $C_1 = (3, -3)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = \sqrt{3^2+(-3)^2-17} = 1$ છે.
રેખાઓ $x^2-3xy-3x+9y=0$ એ માંગેલ વર્તુળના અભિલંબ છે. અવયવ પાડતા: $(x-3)(x-3y) = 0$. તેથી,રેખાઓ $x=3$ અને $y=x/3$ છે. આ અભિલંબનું છેદબિંદુ માંગેલ વર્તુળનું કેન્દ્ર $C_2 = (3, 1)$ છે.
વર્તુળો બહારથી સ્પર્શતા હોવાથી,કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d = C_1C_2 = 4$ છે.
બહારના સ્પર્શ માટે,$d = r_1 + r_2$. તેથી,$4 = 1 + r_2$,જે $r_2 = 3$ આપે છે.
કેન્દ્ર $(3, 1)$ અને ત્રિજ્યા $3$ વાળા વર્તુળનું સમીકરણ $(x-3)^2 + (y-1)^2 = 3^2$ થાય.
વિસ્તરણ કરતા: $x^2 + y^2 - 6x - 2y + 1 = 0$.

(C) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2=25$ છે.
તેથી,કેન્દ્ર $O$ એ $(0,0)$ છે અને ત્રિજ્યા $r=5$ છે.
હવે,$QR$ નું અંતર શોધો:
$QR = \sqrt{(-4-3)^2 + (3-4)^2} = \sqrt{(-7)^2 + (-1)^2} = \sqrt{49+1} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$.
કેન્દ્ર $O$ હોવાથી,$OQ = OR = 5$.
$\triangle OQR$ માં કોસાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\cos(\angle QOR) = \frac{OQ^2 + OR^2 - QR^2}{2 \times OQ \times OR} = \frac{25 + 25 - 50}{2 \times 5 \times 5} = \frac{0}{50} = 0$.
આમ,$\angle QOR = \frac{\pi}{2}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે વર્તુળના કેન્દ્ર આગળ ચાપ દ્વારા બનતો ખૂણો એ વર્તુળના બાકીના ભાગ પરના કોઈપણ બિંદુએ તે જ ચાપ દ્વારા બનતા ખૂણા કરતા બમણો હોય છે.
તેથી,$\angle QOR = 2 \angle QPR$.
$\frac{\pi}{2} = 2 \angle QPR \implies \angle QPR = \frac{\pi}{4}$.

(A) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2-8x+10y+5=0$ છે. તેનું કેન્દ્ર $C(4, -5)$ છે.
ધારો કે જીવાનું મધ્યબિંદુ $P(h, k)$ છે. $P$ એ રેખા $2x+y+2=0$ પર હોવાથી,$2h+k+2=0$ ... $(i)$.
રેખાખંડ $CP$ એ જીવાને લંબ છે. જીવાનો ઢાળ $-2$ છે,તેથી $CP$ નો ઢાળ $\frac{1}{2}$ થાય.
$CP$ નો ઢાળ $\frac{k+5}{h-4} = \frac{1}{2}$ $\Rightarrow 2k+10 = h-4$ $\Rightarrow h-2k=14$ ... (ii).
સમીકરણો $(i)$ અને (ii) ઉકેલતા,$h=2$ અને $k=-6$ મળે છે.
તેથી,$k+4h = -6+4(2) = 2$.

(C) $Y$-અક્ષને $(0,3)$ પર સ્પર્શતા વર્તુળનું સમીકરણ $(x-a)^2 + (y-3)^2 = a^2$ છે,જેનું સાદું રૂપ $x^2 + y^2 - 2ax - 6y + 9 = 0$ થાય છે.
$X$-અક્ષ પરના અંતઃખંડની લંબાઈ $8$ એકમ હોવાથી,$2\sqrt{g^2 - c} = 8$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $g = -a$ અને $c = 9$.
$2\sqrt{(-a)^2 - 9} = 8$ $\Rightarrow \sqrt{a^2 - 9} = 4$ $\Rightarrow a^2 - 9 = 16$ $\Rightarrow a^2 = 25$ $\Rightarrow a = \pm 5$.
કેન્દ્ર $C(a, 3)$ બીજા ચરણમાં હોવાથી,$a$ ઋણ હોવું જોઈએ,તેથી $a = -5$.
આમ,કેન્દ્ર $C(-5, 3)$ છે.
બિંદુ $(-2, -1)$ થી $C(-5, 3)$ નું અંતર $\sqrt{(-2 - (-5))^2 + (-1 - 3)^2} = \sqrt{(3)^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ થાય.

(A) આપેલ વર્તુળ $x^2+y^2=4$ છે,જેને $x^2+y^2=2^2$ તરીકે લખી શકાય.
આ ઉગમબિંદુ $(0,0)$ પર કેન્દ્ર અને ત્રિજ્યા $r=2$ ધરાવતું વર્તુળ છે.
આકૃતિ પરથી,ઉગમબિંદુને રેખા $L$ અને વર્તુળના છેદબિંદુઓ સાથે જોડતી રેખાઓ યામ અક્ષો છે.
છેદબિંદુઓ $A(2,0)$ અને $B(0,2)$ છે.
$(2,0)$ અને $(0,2)$ માંથી પસાર થતી રેખા $L$ નું સમીકરણ અંતઃખંડ સ્વરૂપમાં $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$ છે.
$a=2$ અને $b=2$ મૂકતા,આપણને $\frac{x}{2}+\frac{y}{2}=1$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $x+y=2$ થાય છે.

(C) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 - 2x + 4y - 20 = 0$ છે.
વ્યાપક સમીકરણ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ સાથે સરખાવતા,$g = -1$,$f = 2$ અને $c = -20$ મળે છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-g, -f) = (1, -2)$ છે.
ચકાસો કે રેખા $4x - 3y - 10 = 0$ કેન્દ્ર $(1, -2)$ માંથી પસાર થાય છે કે નહીં:
$4(1) - 3(-2) - 10 = 4 + 6 - 10 = 0$.
રેખા કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી હોવાથી,અંતઃખંડ એ વર્તુળનો વ્યાસ છે.
ત્રિજ્યા $r = \sqrt{g^2 + f^2 - c} = \sqrt{(-1)^2 + (2)^2 - (-20)} = \sqrt{1 + 4 + 20} = \sqrt{25} = 5$.
અંતઃખંડની લંબાઈ (વ્યાસ) $2r = 2 \times 5 = 10$ છે.

(A) ધારો કે બિંદુઓ $A(1, 2)$, $B(5, 2)$, અને $C(5, -2)$ છે.
આ બિંદુઓને આલેખતા, આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $AB$ એ $4$ લંબાઈનો આડો રેખાખંડ છે અને $BC$ એ $4$ લંબાઈનો ઊભો રેખાખંડ છે.
$AB \perp BC$ હોવાથી, $\triangle ABC$ એ $B$ આગળ કાટખૂણો ધરાવતો કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓમાંથી પસાર થતા વર્તુળ માટે, કર્ણ એ વર્તુળનો વ્યાસ હોય છે.
કર્ણ $AC = \sqrt{(5-1)^2 + (-2-2)^2} = \sqrt{4^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$ છે.
તેથી, વર્તુળનો વ્યાસ $4\sqrt{2}$ છે.
ત્રિજ્યા $r$ એ વ્યાસની અડધી હોય છે, તેથી $r = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$.
વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $\pi r^2 = \pi(2\sqrt{2})^2 = \pi(8) = 8\pi$ થાય.

(D) આપેલ સ્પર્શકોના સમીકરણો:
$E_1: 3x - 4y + 4 = 0$
$E_2: 6x - 8y - 7 = 0 \Rightarrow 3x - 4y - \frac{7}{2} = 0$
બંને રેખાઓનો ઢાળ $\frac{3}{4}$ હોવાથી,સ્પર્શકો સમાંતર છે.
બે સમાંતર રેખાઓ $ax + by + c_1 = 0$ અને $ax + by + c_2 = 0$ વચ્ચેનું અંતર $d = \left| \frac{c_1 - c_2}{\sqrt{a^2 + b^2}} \right|$ છે.
અહીં,$a = 3, b = -4, c_1 = 4, c_2 = -\frac{7}{2}$.
$d = \left| \frac{4 - (-\frac{7}{2})}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} \right| = \left| \frac{\frac{15}{2}}{5} \right| = \frac{3}{2}$.
વર્તુળના બે સમાંતર સ્પર્શકો વચ્ચેનું અંતર એ વર્તુળના વ્યાસ જેટલું હોય છે.
તેથી,વ્યાસ $= \frac{3}{2}$.
ત્રિજ્યા $= \frac{\text{વ્યાસ}}{2} = \frac{3/2}{2} = \frac{3}{4}$.

(A) વર્તુળ બંને યામ અક્ષોને સ્પર્શતું હોવાથી,તેનું કેન્દ્ર $(h, k)$ માટે $|h| = |k| = r$ થાય,જ્યાં $r$ ત્રિજ્યા છે.
તેથી,કેન્દ્ર $(r, r), (r, -r), (-r, r),$ અથવા $(-r, -r)$ હોઈ શકે.
કેન્દ્ર $x-2y-3=0$ રેખા પર આવેલું છે.
કિસ્સો $1$: કેન્દ્ર $(r, r)$ હોય તો $r-2r-3=0$ $\Rightarrow -r=3$ $\Rightarrow r=-3$. જે શક્ય નથી.
કિસ્સો $2$: કેન્દ્ર $(r, -r)$ હોય તો $r-2(-r)-3=0$ $\Rightarrow 3r=3$ $\Rightarrow r=1$. કેન્દ્ર $(1, -1)$ છે.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x-1)^2+(y+1)^2=1^2 \Rightarrow x^2+y^2-2x+2y+1=0$ થાય.

(A) ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $O = (c, 0)$ છે.
વર્તુળ પરના બિંદુઓ $A = (0, a)$ અને $B = (b, h)$ છે.
$O$ એ કેન્દ્ર હોવાથી,$O$ થી $A$ નું અંતર અને $O$ થી $B$ નું અંતર સમાન થાય,તેથી $OA^2 = OB^2$.
$OA^2 = (c - 0)^2 + (0 - a)^2 = c^2 + a^2$.
$OB^2 = (c - b)^2 + (0 - h)^2 = (c - b)^2 + h^2$.
બંને અંતરોને સરખાવતા:
$c^2 + a^2 = (c - b)^2 + h^2$.
$c^2 + a^2 = c^2 - 2bc + b^2 + h^2$.
$a^2 = -2bc + b^2 + h^2$.
$2bc = b^2 + h^2 - a^2$.
$c = \frac{b^2 - a^2 + h^2}{2b}$.

(A) ધારો કે વર્તુળ $A(1, \lambda)$,$B(\lambda, 1)$ અને $C(\lambda, \lambda)$ માંથી પસાર થાય છે.
બિંદુઓ $B(\lambda, 1)$ અને $C(\lambda, \lambda)$ નો $x$-યામ સમાન હોવાથી,$BC$ નો લંબદ્વિભાજક સમક્ષિતિજ રેખા $y = \frac{1+\lambda}{2}$ છે.
બિંદુઓ $A(1, \lambda)$ અને $C(\lambda, \lambda)$ નો $y$-યામ સમાન હોવાથી,$AC$ નો લંબદ્વિભાજક શિરોલંબ રેખા $x = \frac{1+\lambda}{2}$ છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર આ લંબદ્વિભાજકોનું છેદબિંદુ છે.
તેથી,કેન્દ્ર $\left(\frac{1+\lambda}{2}, \frac{1+\lambda}{2}\right)$ છે.

(B) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2-x+3y=0$ છે. તેનું કેન્દ્ર $C = (\frac{1}{2}, -\frac{3}{2})$ છે.
ધારો કે ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખા $L_1$ એ $y = mx$ છે,એટલે કે $mx - y = 0$.
રેખા $L_2$ એ $x + y - 1 = 0$ છે.
વર્તુળ દ્વારા $L_1$ અને $L_2$ પર બનાવેલા અંતઃખંડો સમાન હોવાથી,કેન્દ્ર $C$ થી આ રેખાઓના લંબ અંતર સમાન હોવા જોઈએ.
કેન્દ્ર $C(\frac{1}{2}, -\frac{3}{2})$ થી $L_1$ નું લંબ અંતર $d_1 = \frac{|m(\frac{1}{2}) - (-\frac{3}{2})|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = \frac{|\frac{m+3}{2}|}{\sqrt{m^2+1}}$ છે.
કેન્દ્ર $C(\frac{1}{2}, -\frac{3}{2})$ થી $L_2$ નું લંબ અંતર $d_2 = \frac{|\frac{1}{2} - \frac{3}{2} - 1|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|-2|}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$ છે.
$d_1^2 = d_2^2$ લેતા,$\frac{(m+3)^2}{4(m^2+1)} = 2$.
$(m+3)^2 = 8(m^2+1) \Rightarrow m^2 + 6m + 9 = 8m^2 + 8$.
$7m^2 - 6m - 1 = 0$.
$(7m+1)(m-1) = 0$,તેથી $m = 1$ અથવા $m = -\frac{1}{7}$.
$m = 1$ માટે,$L_1$ એ $y = x$ અથવા $x - y = 0$ છે.
$m = -\frac{1}{7}$ માટે,$L_1$ એ $y = -\frac{1}{7}x$ અથવા $x + 7y = 0$ છે.

(C) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2+4x-4y+4=0$ છે.
તેને વ્યાપક સ્વરૂપ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $g=2$,$f=-2$,અને $c=4$ મળે છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-g, -f) = (-2, 2)$ છે.
વર્તુળની ત્રિજ્યા $r = \sqrt{g^2+f^2-c} = \sqrt{2^2+(-2)^2-4} = \sqrt{4+4-4} = \sqrt{4} = 2$ છે.
કેન્દ્રના $x$-યામનું નિરપેક્ષ મૂલ્ય $|-2| = 2$ (જે ત્રિજ્યા જેટલું છે) અને કેન્દ્રના $y$-યામનું નિરપેક્ષ મૂલ્ય $|2| = 2$ (જે પણ ત્રિજ્યા જેટલું છે) હોવાથી,વર્તુળ $X$-અક્ષ અને $Y$-અક્ષ બંનેને સ્પર્શે છે.

(C) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2-6x+4y-12=0$ છે.
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા,$(x-3)^2+(y+2)^2=5^2$ મળે.
કેન્દ્ર $(h, k) = (3, -2)$ અને ત્રિજ્યા $r=5$ છે.
પ્રાચલિત યામ $x=3+5\cos\theta$ અને $y=-2+5\sin\theta$ છે.
બિંદુ $A$ માટે $\theta=30^{\circ}$ લેતા,$A = (3+\frac{5\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$.
બિંદુ $B$ માટે $\theta=90^{\circ}$ લેતા,$B = (3, 3)$.
જીવા $AB$ નો ઢાળ $m = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ છે.
બિંદુ $B(3, 3)$ નો ઉપયોગ કરીને સમીકરણ $y-3 = -\frac{1}{\sqrt{3}}(x-3)$ મળે.
તેથી,$x+\sqrt{3}y-3(1+\sqrt{3}) = 0$.

(C) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2-4x-6y+11=0$ છે.
વ્યાપક સ્વરૂપ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $2g=-4 \Rightarrow g=-2$ અને $2f=-6 \Rightarrow f=-3$ મળે છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-g, -f) = (2, 3)$ છે.
ધારો કે વ્યાસનું બીજું અંત્યબિંદુ $(h, k)$ છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર એ વ્યાસનું મધ્યબિંદુ હોવાથી:
$\frac{h+3}{2} = 2$ $\Rightarrow h+3 = 4$ $\Rightarrow h = 1$
$\frac{k+4}{2} = 3$ $\Rightarrow k+4 = 6$ $\Rightarrow k = 2$
આમ,વ્યાસનું બીજું અંત્યબિંદુ $(1, 2)$ છે.

(B) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2-2x-6y-15=0$ છે.
તેને વ્યાપક સ્વરૂપ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $g=-1$ અને $f=-3$ મળે છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-g, -f) = (1, 3)$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે વર્તુળનું કેન્દ્ર એ વ્યાસનું મધ્યબિંદુ છે.
ધારો કે વ્યાસના બીજા અંત્યબિંદુના યામ $(a, b)$ છે.
એક અંત્યબિંદુ $(4, 1)$ આપેલ છે,તેથી મધ્યબિંદુના સૂત્ર મુજબ:
$1 = \frac{4+a}{2}$ $\Rightarrow 2 = 4+a$ $\Rightarrow a = -2$.
$3 = \frac{1+b}{2}$ $\Rightarrow 6 = 1+b$ $\Rightarrow b = 5$.
આમ,બીજા અંત્યબિંદુના યામ $(-2, 5)$ છે.

(D) ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $C(x, y)$ છે.
વર્તુળ બિંદુઓ $A(5, 7)$ અને $B(2, 3)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી અંતર $CA$ અને $CB$ એ ત્રિજ્યા $r = 2.5$ જેટલા છે.
$CA^2 = CB^2 = r^2 = (2.5)^2 = 6.25$.
અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$(x - 5)^2 + (y - 7)^2 = 6.25$ ---$(1)$
$(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 6.25$ ---$(2)$
સમીકરણ $(1)$ માંથી $(2)$ બાદ કરતા:
$(x - 5)^2 - (x - 2)^2 + (y - 7)^2 - (y - 3)^2 = 0$
$(x^2 - 10x + 25 - x^2 + 4x - 4) + (y^2 - 14y + 49 - y^2 + 6y - 9) = 0$
$-6x + 21 - 8y + 40 = 0$
$6x + 8y = 61$
વિકલ્પો તપાસતા:
$(3.5, 5)$ માટે: $6(3.5) + 8(5) = 21 + 40 = 61$. આ સમીકરણનું સમાધાન કરે છે.
હવે ત્રિજ્યા તપાસતા: $(3.5 - 2)^2 + (5 - 3)^2 = (1.5)^2 + (2)^2 = 2.25 + 4 = 6.25 = (2.5)^2$.
આમ,કેન્દ્ર $(3.5, 5)$ છે.

(B) ધારો કે વર્તુળનું સમીકરણ $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ છે.
વર્તુળ $(2,0)$,$(1,-2)$ અને $(-1,1)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,આપણને મળે:
$(2-a)^2+b^2=r^2$
$(1-a)^2+(-2-b)^2=r^2$
$(-1-a)^2+(1-b)^2=r^2$
આ સમીકરણો ઉકેલતા,$a=\frac{3}{14}$,$b=-\frac{5}{14}$ અને $r^2=\frac{325}{98}$ મળે છે.
વર્તુળનું સમીકરણ $\left(x-\frac{3}{14}\right)^2+\left(y+\frac{5}{14}\right)^2=\frac{325}{98}$ છે.
ધારો કે $S(x,y) = \left(x-\frac{3}{14}\right)^2+\left(y+\frac{5}{14}\right)^2-\frac{325}{98}$.
બિંદુ $(1,2)$ માટે,$S(1,2) = \left(1-\frac{3}{14}\right)^2+\left(2+\frac{5}{14}\right)^2-\frac{325}{98} = \frac{121}{196}+\frac{1089}{196}-\frac{650}{196} = \frac{560}{196} > 0$.
$S(1,2) > 0$ હોવાથી,બિંદુ $(1,2)$ વર્તુળની બહાર આવેલું છે.

(D) વર્તુળનું આપેલ સમીકરણ $x^2 + y^2 - 14x - 10y - 151 = 0$ છે.
વર્ગ પૂર્ણ કરતા,આપણને $(x - 7)^2 + (y - 5)^2 = 225$ મળે છે.
તેથી,કેન્દ્ર $C = (7, 5)$ અને ત્રિજ્યા $r = 15$ છે.
ધારો કે $P = (2, -7)$. બિંદુ $P$ થી કેન્દ્ર $C$ નું અંતર $d = \sqrt{(7 - 2)^2 + (5 - (-7))^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = 13$ છે.
અહીં $d < r$ હોવાથી,બિંદુ $P$ વર્તુળની અંદર આવેલું છે.
સૌથી ટૂંકું અંતર $r - d = 15 - 13 = 2$ છે.
સૌથી મોટું અંતર $r + d = 15 + 13 = 28$ છે.
તેથી,સૌથી મોટા અને સૌથી ટૂંકા અંતરનો ગુણોત્તર $28 : 2 = 14 : 1$ છે.

(C) આપેલ વર્તુળો $S_1 \equiv x^2 + y^2 + 8x + 2y + 10 = 0$ અને $S_2 \equiv x^2 + y^2 + 7x + 3y + 10 = 0$ છે.
રેડિકલ ધરીનું સમીકરણ $S_1 - S_2 = 0$ દ્વારા મળે છે.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $(x^2 + y^2 + 8x + 2y + 10) - (x^2 + y^2 + 7x + 3y + 10) = 0$.
આનું સાદું રૂપ $x - y = 0$ એટલે કે $y = x$ મળે છે.
રેખા $y = x$ ના સંદર્ભમાં બિંદુ $(x_0, y_0)$ નું પ્રતિબિંબ $(y_0, x_0)$ થાય છે.
તેથી,રેખા $y = x$ ના સંદર્ભમાં બિંદુ $(3, 4)$ નું પ્રતિબિંબ $(4, 3)$ છે.

(D) વર્તુળનું આપેલ સમીકરણ $x^2 + y^2 - 4x - 2y - 20 = 0$ છે.
પ્રમાણિત સ્વરૂપ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $g = -2$,$f = -1$,અને $c = -20$ મળે છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $C = (-g, -f) = (2, 1)$ છે.
ત્રિજ્યા $r = \sqrt{g^2 + f^2 - c} = \sqrt{(-2)^2 + (-1)^2 - (-20)} = \sqrt{4 + 1 + 20} = \sqrt{25} = 5$ છે.
ધારો કે બિંદુ $P = (10, 7)$ છે. બિંદુ $P$ અને કેન્દ્ર $C$ વચ્ચેનું અંતર $d = \sqrt{(10 - 2)^2 + (7 - 1)^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$ છે.
અંતર $d = 10$ એ ત્રિજ્યા $r = 5$ કરતા વધારે હોવાથી,બિંદુ વર્તુળની બહાર આવેલું છે.
વર્તુળથી બિંદુનું લઘુત્તમ અંતર $d - r = 10 - 5 = 5$ એકમ છે.

(C) વર્તુળ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ ની સાપેક્ષ બિંદુ $(x_1, y_1)$ નો પાવર $x_1^2 + y_1^2 + 2gx_1 + 2fy_1 + c$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ બિંદુ $(1, 6)$ અને વર્તુળ $x^2 + y^2 + 4x - 6y - a = 0$ માટે,પાવર:
$1^2 + 6^2 + 4(1) - 6(6) - a = -16$
$1 + 36 + 4 - 36 - a = -16$
$5 - a = -16$
$a = 5 + 16$
$a = 21$

(C) બિંદુ $(x_1, y_1)$ વર્તુળ $x^2+y^2-r^2=0$ ની અંદર હોય તે માટેની શરત $x_1^2+y_1^2-r^2 < 0$ છે.
આપેલ બિંદુ $(\lambda, 1+\lambda)$ અને વર્તુળ $x^2+y^2-1=0$ માટે:
$\lambda^2 + (1+\lambda)^2 - 1 < 0$
$\lambda^2 + 1 + 2\lambda + \lambda^2 - 1 < 0$
$2\lambda^2 + 2\lambda < 0$
$2\lambda(\lambda+1) < 0$
$2$ વડે ભાગતા,આપણને $\lambda(\lambda+1) < 0$ મળે છે.
આ અસમતા ત્યારે જ સાચી ઠરે જ્યારે $\lambda$ એ $-1$ અને $0$ ની વચ્ચે હોય.
તેથી,$-1 < \lambda < 0$.

(C) ધારો કે વર્તુળ પરનું બિંદુ $(h, k)$ છે. તે $x^2+y^2=4$ પર હોવાથી,$h^2+k^2=4$ મળે.
રેખા $4x+3y-12=0$ થી $(h, k)$ નું અંતર $\frac{|4h+3k-12|}{\sqrt{4^2+3^2}} = \frac{4}{5}$ છે.
આથી $|4h+3k-12|=4$,એટલે કે $4h+3k=16$ અથવા $4h+3k=8$.
કિસ્સો $1$: $4h+3k=16$ માટે ઉકેલ વાસ્તવિક નથી.
કિસ્સો $2$: $4h+3k=8$ માટે $25h^2-64h+28=0$ મળે છે.
આ સમીકરણ ઉકેલતા $h=2$ અથવા $h=\frac{14}{25}$ મળે.
તેથી,બિંદુઓ $(2,0)$ અને $(\frac{14}{25}, \frac{48}{25})$ છે.

(B) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2-6x-10y+p=0$ છે.
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા,$(x-3)^2+(y-5)^2 = 34-p$ મળે.
વર્તુળના અસ્તિત્વ માટે,$34-p > 0$,તેથી $p < 34$.
કેન્દ્ર $(3,5)$ છે અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{34-p}$ છે.
બિંદુ $(1,4)$ વર્તુળની અંદર હોવાથી,$1^2+4^2-6(1)-10(4)+p < 0$ $\Rightarrow 1+16-6-40+p < 0$ $\Rightarrow p < 29$ $(i)$.
વર્તુળ યામ અક્ષોને છેદતું કે સ્પર્શતું ન હોવાથી,કેન્દ્ર $(3,5)$ થી અક્ષોનું અંતર ત્રિજ્યા $r$ કરતા વધારે હોવું જોઈએ.
$y$-અક્ષથી અંતર $|3| = 3$ છે,તેથી $r < 3$ $\Rightarrow \sqrt{34-p} < 3$ $\Rightarrow 34-p < 9$ $\Rightarrow p > 25$ (ii).
$x$-અક્ષથી અંતર $|5| = 5$ છે,તેથી $r < 5$ $\Rightarrow \sqrt{34-p} < 5$ $\Rightarrow 34-p < 25$ $\Rightarrow p > 9$ (iii).
$(i)$,(ii) અને (iii) ને જોડતા,આપણને $25 < p < 29$ મળે છે.

(C) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 - 4x - 2y - 20 = 0$ છે.
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા,આપણને $(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 25$ મળે છે.
આ વર્તુળનું કેન્દ્ર $C(2, 1)$ અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{25} = 5$ છે.
બિંદુ $K(10, 7)$ અને કેન્દ્ર $C(2, 1)$ વચ્ચેનું અંતર $CK = \sqrt{(10 - 2)^2 + (7 - 1)^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$ છે.
વર્તુળથી બિંદુ $K$ નું મહત્તમ અંતર $CK + r = 10 + 5 = 15 \text{ એકમ}$ છે.
આમ,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(B) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2-2x+4y-93=0$ છે.
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા,$(x-1)^2+(y+2)^2 = 98$ મળે છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(h, k) = (1, -2)$ અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{98} = 7\sqrt{2}$ છે.
યામ અક્ષોને સમાંતર બાજુઓ ધરાવતા અંતર્ગત ચોરસના શિરોબિંદુઓ $(h \pm r\cos(\pi/4), k \pm r\sin(\pi/4))$ દ્વારા મળે છે.
$\cos(\pi/4) = \sin(\pi/4) = 1/\sqrt{2}$ હોવાથી,શિરોબિંદુઓ $(1 \pm 7, -2 \pm 7)$ થાય.
શક્ય શિરોબિંદુઓ $(8, 5), (8, -9), (-6, 5)$ અને $(-6, -9)$ છે.
આપેલ વિકલ્પોમાંથી,$(8, 5)$ એ સાચું શિરોબિંદુ છે.

(B) બે બિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ એ વર્તુળ $x^2+y^2=r^2$ ના સાપેક્ષમાં સંયુગ્મી હોય જો $x_1x_2 + y_1y_2 = r^2$ થાય.
આપેલ બિંદુઓ $(1, a)$ અને $(b, 2)$ તથા વર્તુળ $x^2+y^2=25$ માટે,$r^2=25$ છે.
શરતમાં યામો મૂકતા,આપણને $(1)(b) + (a)(2) = 25$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ $b + 2a = 25$ થાય છે.
આપણે $4a + 2b$ ની કિંમત શોધવાની છે.
સમીકરણ $2a + b = 25$ ને $2$ વડે ગુણતા,આપણને $2(2a + b) = 2(25)$ મળે,જે $4a + 2b = 50$ છે.

(B) આપેલ વર્તુળ: $x^2+y^2+6x+4y-12=0$.
$x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ સાથે સરખાવતા,$g=3, f=2, c=-12$ મળે.
કેન્દ્ર $O = (-g, -f) = (-3, -2)$.
ત્રિજ્યા $R = \sqrt{g^2+f^2-c} = \sqrt{3^2+2^2-(-12)} = \sqrt{9+4+12} = \sqrt{25} = 5$.
ધારો કે $P = (2, -14)$. અંતર $OP = \sqrt{(2 - (-3))^2 + (-14 - (-2))^2} = \sqrt{5^2 + (-12)^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$.
લઘુત્તમ અંતર $d = OP - R = 13 - 5 = 8$.
સ્પર્શકની લંબાઈ $l = \sqrt{OP^2 - R^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$.
તેથી,$\sqrt{d+l} = \sqrt{8+12} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$.

(A) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2+4x-10y-7=0$ છે.
તેને $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ સાથે સરખાવતા,$g=2$,$f=-5$,અને $c=-7$ મળે છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $C(-g, -f) = (-2, 5)$ અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{g^2+f^2-c} = \sqrt{2^2+(-5)^2-(-7)} = \sqrt{4+25+7} = \sqrt{36} = 6$ છે.
ધારો કે $P$ એ બિંદુ $(4, -3)$ છે. કેન્દ્ર $C(-2, 5)$ અને બિંદુ $P(4, -3)$ વચ્ચેનું અંતર $d = \sqrt{(4 - (-2))^2 + (-3 - 5)^2} = \sqrt{6^2 + (-8)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$ છે.
બિંદુથી વર્તુળનું ન્યૂનતમ અંતર $|d - r| = |10 - 6| = 4$ છે.
બિંદુથી વર્તુળનું મહત્તમ અંતર $d + r = 10 + 6 = 16$ છે.
ન્યૂનતમ અને મહત્તમ અંતરનો સરવાળો $4 + 16 = 20$ થાય.

(C) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 - 4x - 6y + 9 = 0$ છે.
તેને $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ સાથે સરખાવતા,$g = -2$,$f = -3$,અને $c = 9$ મળે છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $C(-g, -f) = (2, 3)$ છે અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{(-2)^2 + (-3)^2 - 9} = 2$ છે.
ધારો કે $P(1, 3)$ એ આપેલ બિંદુ છે.
વર્તુળના સંદર્ભમાં $P$ નું પ્રતિવર્તી બિંદુ $P'(x', y')$ શોધવા માટેનું સૂત્ર:
$x' - h = \frac{r^2(x_1 - h)}{(x_1 - h)^2 + (y_1 - k)^2}$ અને $y' - k = \frac{r^2(y_1 - k)}{(x_1 - h)^2 + (y_1 - k)^2}$,જ્યાં $(h, k) = (2, 3)$.
કિંમતો મૂકતા:
$x' - 2 = \frac{4(1 - 2)}{(1 - 2)^2 + (3 - 3)^2} = -4 \implies x' = -2$.
$y' - 3 = \frac{4(3 - 3)}{(1 - 2)^2 + (3 - 3)^2} = 0 \implies y' = 3$.
આમ,પ્રતિવર્તી બિંદુ $(-2, 3)$ છે.

(D) ધારો કે આપેલ બિંદુ $P(4, -3)$ છે અને આપેલ વર્તુળ $x^2 + y^2 + 4x - 10y - 7 = 0$ છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $C(-2, 5)$ છે અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{(-2)^2 + (5)^2 - (-7)} = \sqrt{4 + 25 + 7} = \sqrt{36} = 6$ છે.
બિંદુ $P$ અને કેન્દ્ર $C$ વચ્ચેનું અંતર $CP = \sqrt{(4 - (-2))^2 + (-3 - 5)^2} = \sqrt{6^2 + (-8)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$ છે.
બિંદુથી વર્તુળનું મહત્તમ અંતર $d_{max} = CP + r = 10 + 6 = 16$ છે.
બિંદુથી વર્તુળનું ન્યૂનતમ અંતર $d_{min} = |CP - r| = |10 - 6| = 4$ છે.
ન્યૂનતમ અને મહત્તમ અંતરનો સરવાળો $d_{max} + d_{min} = 16 + 4 = 20$ થાય.

(B) ધારો કે વ્યાસના અંત્યબિંદુઓ $A(2\cos\theta, 2\sin\theta)$ અને $B(-2\cos\theta, -2\sin\theta)$ છે.
રેખા $x+y+1=0$ પરના લંબની લંબાઈ $d = \frac{|x_1+y_1+1|}{\sqrt{2}}$ છે.
ગુણાકાર $P = d_1 d_2 = \frac{|1-4(\cos\theta+\sin\theta)^2|}{2} = \frac{3+4\sin(2\theta)}{2}$ મળે છે.
$P$ મહત્તમ થાય તે માટે $\sin(2\theta) = 1$ હોવું જોઈએ,તેથી $\theta = \frac{\pi}{4}$.
આ કિંમત મૂકતા,અંત્યબિંદુઓ $(\sqrt{2}, \sqrt{2})$ અને $(-\sqrt{2}, -\sqrt{2})$ મળે છે.