Geometrical problems regarding circle and its properties Questions in Gujarati

(B) આપેલ વક્રો છે: $x^2+y^2=4x$ $(i)$ અને $x^2+y^2=8$ $(ii)$.
બિંદુ $(2,2)$ આગળ વક્રો વચ્ચેનો ખૂણો શોધવા માટે,આપણે આ બિંદુએ સ્પર્શકોના ઢાળ શોધીએ છીએ.
વક્ર $(i)$ માટે,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $2x + 2y \frac{dy}{dx} = 4 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{2-x}{y}$.
$(2,2)$ આગળ,$m_1 = \frac{2-2}{2} = 0$.
વક્ર $(ii)$ માટે,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$.
$(2,2)$ આગળ,$m_2 = -\frac{2}{2} = -1$.
વક્રો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = \left| \frac{m_2 - m_1}{1 + m_1 m_2} \right|$ દ્વારા મળે છે.
$\tan \theta = \left| \frac{-1 - 0}{1 + 0 \times (-1)} \right| = |-1| = 1$.
આમ,$\theta = \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$.
આપેલ છે કે $\theta = \sin^{-1}(a)$,તેથી $\sin^{-1}(a) = \frac{\pi}{4}$.
તેથી,$a = \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

(B) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2-4x-6y-12=0$ છે. તેનું કેન્દ્ર $C_1(2,3)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = 5$ છે.
ધારો કે જરૂરી વર્તુળનું કેન્દ્ર $C_2(h, k)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = 3$ છે. તે આપેલ વર્તુળને બિંદુ $A(-1,-1)$ આગળ આંતરિક રીતે સ્પર્શે છે.
બિંદુ $A$ એ કેન્દ્રો $C_1$ અને $C_2$ ને જોડતી રેખાનું $5:3$ ના ગુણોત્તરમાં બાહ્ય વિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$(-1, -1) = \left( \frac{5h-6}{2}, \frac{5k-9}{2} \right)$
$h = \frac{4}{5}$ અને $k = \frac{7}{5}$ મળે.
જરૂરી વર્તુળનું સમીકરણ $(x-\frac{4}{5})^2 + (y-\frac{7}{5})^2 = 3^2$ થશે.
સાદુરૂપ આપતા $5x^2 + 5y^2 - 8x - 14y - 32 = 0$ મળે.
આમ,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(A) આપેલ વર્તુળોના સમીકરણો:
$S_1: (x-1)^2 + (y-3)^2 = r^2$ (કેન્દ્ર $C_1 = (1, 3)$,ત્રિજ્યા $r_1 = r$)
$S_2: x^2 + y^2 - 8x + 2y + 8 = 0$
$S_2$ માટે પૂર્ણવર્ગ બનાવતા:
$(x-4)^2 + (y+1)^2 = 3^2$ (કેન્દ્ર $C_2 = (4, -1)$,ત્રિજ્યા $r_2 = 3$)
બે વર્તુળો બે ભિન્ન બિંદુઓમાં છેદે તે માટે,તેમના કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d = C_1C_2$ એ $|r_1 - r_2| < d < r_1 + r_2$ નું પાલન કરવું જોઈએ.
$d = \sqrt{(4-1)^2 + (-1-3)^2} = 5$.
તેથી,$|r - 3| < 5 < r + 3$.
$r + 3 > 5$ પરથી,$r > 2$ મળે.
$|r - 3| < 5$ પરથી,$-2 < r < 8$ મળે.
આમ,$2 < r < 8$.
તેથી,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(A) વર્તુળોના સમીકરણો $x^2+y^2+4x-5=0$ અને $x^2+y^2+2\lambda y-4=0$ છે.
તેમને વ્યાપક સમીકરણ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ સાથે સરખાવતા:
પ્રથમ વર્તુળ માટે: $g_1=2, f_1=0, c_1=-5$.
બીજા વર્તુળ માટે: $g_2=0, f_2=\lambda, c_2=-4$.
બે વર્તુળો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ શોધવાનું સૂત્ર: $\cos \theta = \frac{2g_1g_2+2f_1f_2-c_1-c_2}{2\sqrt{g_1^2+f_1^2-c_1}\sqrt{g_2^2+f_2^2-c_2}}$.
અહીં $\theta = \frac{\pi}{3}$ આપેલ છે,તેથી $\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{2} = \frac{2(2)(0) + 2(0)(\lambda) - (-5) - (-4)}{2\sqrt{2^2+0^2-(-5)}\sqrt{0^2+\lambda^2-(-4)}}$.
$\frac{1}{2} = \frac{9}{2(3)\sqrt{\lambda^2+4}} = \frac{3}{2\sqrt{\lambda^2+4}}$.
$\sqrt{\lambda^2+4} = 3$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\lambda^2+4 = 9$.
$\lambda^2 = 5$,તેથી $\lambda = \pm \sqrt{5}$.

(B) આપેલ વર્તુળોના સમીકરણો:
$(x+a)^2+(y+b)^2 = a^2 \implies x^2+y^2+2ax+2by+b^2 = 0 \quad \dots (i)$
$(x+c)^2+(y+d)^2 = d^2 \implies x^2+y^2+2cx+2dy+c^2 = 0 \quad \dots (ii)$
સામાન્ય સ્વરૂપ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ સાથે સરખાવતા:
વર્તુળ $(i)$ માટે,$g_1=a, f_1=b, c_1=b^2$.
વર્તુળ $(ii)$ માટે,$g_2=c, f_2=d, c_2=c^2$.
જો વર્તુળો લંબરૂપે છેદતા હોય,તો શરત $2(g_1g_2 + f_1f_2) = c_1 + c_2$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$2(ac + bd) = b^2 + c^2$
$2ac + 2bd = b^2 + c^2$
$2ac - c^2 = b^2 - 2bd$
$c(2a - c) = b(b - 2d)$
આમ,$b(b-2d) = c(2a-c)$.

(B) બે વર્તુળો $x^2+y^2+2g_1x+2f_1y+c_1=0$ અને $x^2+y^2+2g_2x+2f_2y+c_2=0$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટેનું સૂત્ર $\cos \theta = \frac{d^2-r_1^2-r_2^2}{2r_1r_2}$ છે,જ્યાં $d$ એ કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર છે અને $r_1, r_2$ એ ત્રિજ્યાઓ છે.
વર્તુળ $C_1$ માટે: કેન્દ્ર $(6, 3)$ અને $r_1 = 2$.
વર્તુળ $C_2$ માટે: કેન્દ્ર $(-\frac{k}{2}, -3)$ અને $r_2 = \sqrt{\frac{k^2}{4}+68}$.
અંતર $d^2 = (6+\frac{k}{2})^2 + 36$.
$\cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ લેતા,ગણતરી કરતા $k^2 = 16$ મળે છે.
તેથી,$k = \pm 4$ થાય. આમ,$k$ ની કિંમત $-4$ છે.

(B) વર્તુળ $x^2+y^2+2g_1x+2f_1y+c_1=0$ માટે,કેન્દ્ર $C_1(-g_1, -f_1)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = \sqrt{g_1^2+f_1^2-c_1}$ છે.
પ્રથમ વર્તુળ $x^2+y^2+4x-14y+28=0$ માટે,$g_1=2, f_1=-7, c_1=28$. કેન્દ્ર $C_1(-2, 7)$,$r_1 = \sqrt{4+49-28} = 5$.
બીજા વર્તુળ $x^2+y^2-12x-6y-4=0$ માટે,$g_2=-6, f_2=-3, c_2=-4$. કેન્દ્ર $C_2(6, 3)$,$r_2 = \sqrt{36+9-(-4)} = 7$.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d = \sqrt{(6 - (-2))^2 + (3 - 7)^2} = \sqrt{8^2 + (-4)^2} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}$.
વર્તુળો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટેનું સૂત્ર $\cos \theta = \left| \frac{r_1^2+r_2^2-d^2}{2r_1r_2} \right|$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\cos \theta = \left| \frac{25+49-80}{2 \times 5 \times 7} \right| = \left| \frac{-6}{70} \right| = \frac{3}{35}$.
તેથી,$\theta = \cos^{-1} \left(\frac{3}{35}\right)$.

(B) આપેલ વર્તુળો $C_1: x^2+y^2+2hx+2ky=0$ અને $C_2: x^2+y^2+2h'x+2k'y=0$ છે.
કેન્દ્રો $O_1 = (-h, -k)$ અને $O_2 = (-h', -k')$ છે.
ત્રિજ્યાઓ $r_1 = \sqrt{h^2+k^2}$ અને $r_2 = \sqrt{h'^2+k'^2}$ છે.
બંને વર્તુળો ઉગમબિંદુ $(0,0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી તેઓ એકબીજાને સ્પર્શે છે જો અને માત્ર જો તેમના કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર તેમની ત્રિજ્યાઓના સરવાળા અથવા તફાવત જેટલું હોય.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d = \sqrt{(h-h')^2 + (k-k')^2}$ છે.
સ્પર્શવાની શરત $d^2 = (r_1 \pm r_2)^2$ છે.
સાદું રૂપ આપતા,$(hk' - kh')^2 = 0$ મળે છે.
તેથી,$hk' = kh'$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{h'k}{hk'} = 1$.

(A) ધારો કે બે વર્તુળોની ત્રિજ્યા $r_1$ અને $r_2$ છે. દરેક વર્તુળ બીજાના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતું હોવાથી,તેમના કેન્દ્રો $c_1$ અને $c_2$ વચ્ચેનું અંતર તેમની ત્રિજ્યા જેટલું છે,એટલે કે $c_1 c_2 = r_1 = r_2 = d$.
બે કેન્દ્રો $c_1, c_2$ અને એક છેદબિંદુ $P$ દ્વારા બનતા ત્રિકોણને ધ્યાનમાં લો. આ ત્રિકોણની બાજુઓ $c_1 P = r_1$,$c_2 P = r_2$,અને $c_1 c_2 = d$ છે.
$r_1 = r_2 = d$ હોવાથી,આ ત્રિકોણ સમબાજુ છે જેની તમામ બાજુઓ $d$ છે.
આમ,ખૂણો $\angle P c_1 c_2 = 60^\circ = \frac{\pi}{3}$ અને $\angle P c_2 c_1 = 60^\circ = \frac{\pi}{3}$ છે.
છેદબિંદુ $P$ પર સ્પર્શકો વચ્ચેનો ખૂણો એ બે વર્તુળો વચ્ચેનો ખૂણો છે. આ ગોઠવણીમાં,સ્પર્શકો વચ્ચેનો ખૂણો $120^\circ = \frac{2 \pi}{3}$ છે.

(D) આપેલ વર્તુળ $S \equiv x^2+y^2-14x+6y+33=0$.
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા: $(x-7)^2 + (y+3)^2 = 49+9-33 = 25$.
તેથી,કેન્દ્ર $C = (7, -3)$ અને ત્રિજ્યા $r = 5$.
વર્તુળ $S' \equiv x^2+y^2=a^2$ માટે,કેન્દ્ર $C' = (0, 0)$ અને ત્રિજ્યા $r' = a$.
$4$ સામાન્ય સ્પર્શકો માટે,વર્તુળો અલગ હોવા જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $CC' > r + r'$.
$CC' = \sqrt{(7-0)^2 + (-3-0)^2} = \sqrt{49+9} = \sqrt{58} \approx 7.616$.
શરત: $7.616 > 5 + a$.
$a < 2.616$.
કારણ કે $a \in \mathbb{N}$,$a$ માટે શક્ય કિંમતો $1$ અને $2$ છે.
આમ,$a$ માટે $2$ શક્ય કિંમતો છે.

(D) આપેલ વર્તુળોના સમીકરણો:
$x^2 + y^2 - 6x + 4y + 9 = 0 \Rightarrow (x-3)^2 + (y+2)^2 = 2^2 \quad \dots(i)$
$x^2 + y^2 + 2x - 2y + 1 = 0 \Rightarrow (x+1)^2 + (y-1)^2 = 1^2 \quad \dots(ii)$
$(i)$ અને $(ii)$ પરથી,કેન્દ્રો અને ત્રિજ્યાઓ:
$C_1 = (3, -2), r_1 = 2$
$C_2 = (-1, 1), r_2 = 1$
કેન્દ્રો $C_1$ અને $C_2$ વચ્ચેનું અંતર:
$C_1C_2 = \sqrt{(3 - (-1))^2 + (-2 - 1)^2} = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = 5$
સામાન્ય સ્પર્શકની લંબાઈ $AB$ નું સૂત્ર:
$AB = \sqrt{(C_1C_2)^2 - (r_1 - r_2)^2}$
$AB = \sqrt{5^2 - (2 - 1)^2} = \sqrt{25 - 1} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$

(C) બિંદુ $(x_1, y_1)$ માંથી વર્તુળ $S: x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ પરના સ્પર્શકની લંબાઈ $\sqrt{S_1} = \sqrt{x_1^2+y_1^2+2gx_1+2fy_1+c}$ દ્વારા મળે છે.
પ્રથમ વર્તુળ $C_1: x^2+y^2+x+y-4=0$ માટે,$(1,2)$ માંથી સ્પર્શકની લંબાઈ $L_1$:
$L_1 = \sqrt{1^2+2^2+1+2-4} = \sqrt{4} = 2$.
બીજા વર્તુળ $C_2: 3x^2+3y^2-x-y-\lambda=0$ માટે,સમીકરણને $3$ વડે ભાગતા:
$x^2+y^2-\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}y-\frac{\lambda}{3}=0$.
$(1,2)$ માંથી સ્પર્શકની લંબાઈ $L_2$:
$L_2 = \sqrt{1^2+2^2-\frac{1}{3}-\frac{2}{3}-\frac{\lambda}{3}} = \sqrt{4-\frac{\lambda}{3}}$.
આપેલ ગુણોત્તર $\frac{L_1}{L_2} = \frac{3}{4}$ મુજબ:
$\frac{2}{\sqrt{4-\frac{\lambda}{3}}} = \frac{3}{4} \Rightarrow \sqrt{4-\frac{\lambda}{3}} = \frac{8}{3}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$4-\frac{\lambda}{3} = \frac{64}{9} \Rightarrow \frac{\lambda}{3} = 4-\frac{64}{9} = -\frac{28}{9}$.
તેથી,$\lambda = -\frac{28}{3}$.

(A) આપેલ વર્તુળ $x^2+y^2-6x-4y-12=0$ છે.
વર્ગ પૂર્ણ કરતા,$(x-3)^2+(y-2)^2 = 25$ મળે છે.
તેથી,આપેલ વર્તુળનું કેન્દ્ર $C(3, 2)$ અને તેની ત્રિજ્યા $r_1 = 5$ છે.
ધારો કે વર્તુળ $S$ નું કેન્દ્ર $B$ છે અને તેની ત્રિજ્યા $r_2 = 5$ છે.
બંને વર્તુળો $P(-1, -1)$ બિંદુએ સ્પર્શે છે. કેન્દ્રો $B$ અને $C$ વચ્ચેનું અંતર $BC = r_1 + r_2 = 5 + 5 = 10$ થાય.
ધારો કે $A$ એ વર્તુળ $C$ પરનું સ્પર્શક બિંદુ છે. $BA$ એ વર્તુળ $C$ નો સ્પર્શક હોવાથી,$\triangle BAC$ એ કાટકોણ ત્રિકોણ છે જ્યાં $\angle BAC = 90^{\circ}$.
$\triangle BAC$ માં,$BC$ કર્ણ છે,$AC$ એ આપેલ વર્તુળની ત્રિજ્યા $(5)$ છે,અને $AB$ એ સ્પર્શકની લંબાઈ છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$AB^2 + AC^2 = BC^2$.
$AB^2 + 5^2 = 10^2$.
$AB^2 + 25 = 100$.
$AB^2 = 75$.
$AB = \sqrt{75} = 5 \sqrt{3}$.

(B) આપેલ વર્તુળો:
$x^2+y^2-4x-2y+k=0$
કેન્દ્ર $C_1 = (2, 1)$,ત્રિજ્યા $r_1 = 2$
$x^2+y^2-6x-4y+l=0$
કેન્દ્ર $C_2 = (3, 2)$,ત્રિજ્યા $r_2 = 3$
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $C_1C_2 = \sqrt{(3-2)^2 + (2-1)^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \approx 1.414$.
ત્રિજ્યાઓનો સરવાળો $r_1 + r_2 = 2 + 3 = 5$.
ત્રિજ્યાઓનો તફાવત $|r_1 - r_2| = |2 - 3| = 1$.
અહીં $|r_1 - r_2| < C_1C_2 < r_1 + r_2$ (એટલે કે $1 < 1.414 < 5$) હોવાથી,વર્તુળો બે ભિન્ન બિંદુઓમાં છેદે છે.
તેથી,સામાન્ય સ્પર્શકોની સંખ્યા $2$ છે.

(D) વર્તુળ $x^2+y^2-2x+4y+4=0$ માટે,કેન્દ્ર $C_1 = (1, -2)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = \sqrt{1^2 + (-2)^2 - 4} = 1$ છે.
વર્તુળ $x^2+y^2+4x-2y+1=0$ માટે,કેન્દ્ર $C_2 = (-2, 1)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = \sqrt{(-2)^2 + 1^2 - 1} = 2$ છે.
કેન્દ્રો $C_1$ અને $C_2$ વચ્ચેનું અંતર $d = \sqrt{(-2-1)^2 + (1-(-2))^2} = \sqrt{18}$ છે.
સામાન્ય ત્રાંસા સ્પર્શકની લંબાઈ $L = \sqrt{d^2 - (r_1+r_2)^2}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$L = \sqrt{18 - (1+2)^2} = \sqrt{18 - 9} = \sqrt{9} = 3$.

(C) વર્તુળ $x^2+y^2+2x+8y-23=0$ માટે,કેન્દ્ર $C_1 = (-1, -4)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = \sqrt{(-1)^2 + (-4)^2 - (-23)} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$ છે.
વર્તુળ $x^2+y^2-4x-10y+19=0$ માટે,કેન્દ્ર $C_2 = (2, 5)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = \sqrt{(2)^2 + (5)^2 - 19} = \sqrt{10}$ છે.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d = C_1C_2 = \sqrt{(2 - (-1))^2 + (5 - (-4))^2} = \sqrt{3^2 + 9^2} = \sqrt{90} = 3\sqrt{10}$ છે.
અહીં $r_1 + r_2 = 2\sqrt{10} + \sqrt{10} = 3\sqrt{10}$ હોવાથી,$d = r_1 + r_2$ થાય છે.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર ત્રિજ્યાઓના સરવાળા જેટલું હોવાથી,બંને વર્તુળો એકબીજાને બહારથી સ્પર્શે છે.
જ્યારે બે વર્તુળો એકબીજાને બહારથી સ્પર્શે,ત્યારે તેમને કુલ $3$ સામાન્ય સ્પર્શકો હોય છે.

(D) આપેલ વર્તુળ $x^2 + y^2 - 2x - 6y + 6 = 0$ છે.
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા,$(x - 1)^2 + (y - 3)^2 = 4$ મળે.
આ વર્તુળનું કેન્દ્ર $(1, 3)$ અને ત્રિજ્યા $2$ છે.
માગેલ વર્તુળની જીવા એ આપેલ વર્તુળનો વ્યાસ હોવાથી,જીવા એ $(1, 1)$ અને $(1, 5)$ બિંદુઓને જોડતી રેખા છે.
માગેલ વર્તુળનું કેન્દ્ર $(2, 1)$ છે અને તે $(1, 1)$ માંથી પસાર થાય છે.
તેથી ત્રિજ્યા $r = \sqrt{(2 - 1)^2 + (1 - 1)^2} = 1$.

(D) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2-4x+4y+3=0$ છે.
$x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ સાથે સરખાવતા,$g=-2, f=2, c=3$ મળે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $C(-g, -f) = (2, -2)$ અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{g^2+f^2-c} = \sqrt{4+4-3} = \sqrt{5}$ છે.
રેખાનું સમીકરણ $x-3y-13=0$ છે.
કેન્દ્ર $(2, -2)$ થી રેખા $x-3y-13=0$ નું લંબ અંતર $d = \frac{|(1)(2) - 3(-2) - 13|}{\sqrt{1^2+(-3)^2}} = \frac{|2+6-13|}{\sqrt{10}} = \frac{5}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{2}$ છે.
જીવાની લંબાઈ $2\sqrt{r^2-d^2} = 2\sqrt{5 - \frac{10}{4}} = 2\sqrt{2.5} = \sqrt{10}$ થાય.

(A) ધારો કે બિંદુઓ $A(2,0)$ અને $B(0,4)$ છે. બે બિંદુઓમાંથી પસાર થતા ન્યૂનતમ ત્રિજ્યાવાળા વર્તુળ માટે,તે બિંદુઓને જોડતો રેખાખંડ તેનો વ્યાસ બને છે.
વર્તુળનો વ્યાસ $AB = \sqrt{(0-2)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20}$ છે.
ત્રિજ્યા $r = \frac{\sqrt{20}}{2} = \sqrt{5}$ છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે,જે $(\frac{2+0}{2}, \frac{0+4}{2}) = (1, 2)$ છે.
કેન્દ્ર $(h, k)$ અને ત્રિજ્યા $r$ વાળા વર્તુળનું સમીકરણ $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$(x-1)^2 + (y-2)^2 = 5$ મળે છે.
વિસ્તરણ કરતા,$x^2 - 2x + 1 + y^2 - 4y + 4 = 5$ મળે છે.
સાદું રૂપ આપતા,$x^2 + y^2 - 2x - 4y = 0$ મળે છે.

(B) બે બિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ એ વર્તુળ $x^2+y^2=r^2$ ના સાપેક્ષમાં સંયુગ્મી હોય જો $x_1x_2 + y_1y_2 = r^2$ થાય.
આપેલ વર્તુળ $x^2+y^2=25$ માટે,$r^2=25$ છે.
બિંદુઓ $(1, a)$ અને $(b, 2)$ ને શરતમાં મૂકતા:
$(1)(b) + (a)(2) = 25$
$b + 2a = 25$
આપણે $4a + 2b$ ની કિંમત શોધવાની છે.
સમીકરણ $b + 2a = 25$ ને $2$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે:
$2(b + 2a) = 2(25)$
$2b + 4a = 50$
તેથી,$4a + 2b = 50$.

(C) આપેલ વર્તુળ $x^2+y^2-2x+4y-4=0$ છે.
કેન્દ્ર $(h, k) = (1, -2)$ અને ત્રિજ્યા $r = 3$ છે.
બિંદુ $P(\alpha, \beta)$ નું વર્તુળની સાપેક્ષમાં વ્યસ્ત બિંદુ $(l, m)$ માટે:
$l = h + \frac{r^2(\alpha-h)}{(\alpha-h)^2+(\beta-k)^2}$ અને $m = k + \frac{r^2(\beta-k)}{(\alpha-h)^2+(\beta-k)^2}$.
અહીં $(\alpha, \beta) = (3, 2)$,$(h, k) = (1, -2)$ અને $r^2 = 9$ છે.
છેદની કિંમત: $(\alpha-h)^2 + (\beta-k)^2 = 2^2 + 4^2 = 20$.
તેથી,$l = 1 + \frac{9}{20}(2) = 1 + \frac{18}{20} = \frac{38}{20}$.
$m = -2 + \frac{9}{20}(4) = -2 + \frac{36}{20} = -\frac{4}{20}$.
હવે,$2l + 19m = 2(\frac{38}{20}) + 19(-\frac{4}{20}) = \frac{76}{20} - \frac{76}{20} = 0$.

(B) બે બિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ એ વર્તુળ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ ના સાપેક્ષમાં સંયુગ્મી હોય જો $x_1x_2 + y_1y_2 + g(x_1+x_2) + f(y_1+y_2) + c = 0$ થાય.
આપેલ $P(2,3)$ અને $Q(-1,2)$ તથા વર્તુળ $x^2+y^2+2gx+3y-2=0$ માટે,$f = \frac{3}{2}$ અને $c = -2$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $(2)(-1) + (3)(2) + g(2-1) + \frac{3}{2}(3+2) - 2 = 0$.
$-2 + 6 + g + \frac{15}{2} - 2 = 0$.
$2 + g + 7.5 = 0 \Rightarrow g = -9.5 = -\frac{19}{2}$.
ત્રિજ્યા $r = \sqrt{g^2+f^2-c} = \sqrt{(-\frac{19}{2})^2 + (\frac{3}{2})^2 - (-2)}$.
$r = \sqrt{\frac{361}{4} + \frac{9}{4} + 2} = \sqrt{\frac{370}{4} + \frac{8}{4}} = \sqrt{\frac{378}{4}} = \sqrt{\frac{189}{2}} = \sqrt{\frac{9 \times 21}{2}} = \frac{3\sqrt{21}}{\sqrt{2}}$.

(D) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2-4x-6y+k=0$ છે. કેન્દ્ર $C(2, 3)$ છે.
આપેલ છે કે $CP \cdot CQ = r^2 = 4$.
વ્યસ્ત બિંદુઓ માટે $\vec{CQ} = \frac{r^2}{CP^2} \vec{CP}$ થાય.
અહીં $CP^2 = (1-2)^2 + (2-3)^2 = 2$.
તેથી $\vec{CQ} = \frac{4}{2} \vec{CP} = 2 \vec{CP}$.
$\vec{CP} = (1-2, 2-3) = (-1, -1)$.
તેથી $\vec{CQ} = 2(-1, -1) = (-2, -2)$.
$Q = C + (-2, -2) = (2-2, 3-2) = (0, 1)$.
આમ,$a=0$ અને $b=1$.
તેથી $2a = 2(0) = 0$.

(C) વર્તુળ પરના કોઈપણ બિંદુએ દોરેલ અભિલંબ હંમેશા તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે. અભિલંબ $(4,3)$ અને $(2,1)$ માંથી પસાર થાય છે.
આ અભિલંબનું સમીકરણ $y-1 = \frac{3-1}{4-2}(x-2)$ $\Rightarrow y-1 = 1(x-2)$ $\Rightarrow y = x-1 \dots(1)$ છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર આ અભિલંબ પર આવેલું છે. આપણને આપેલ છે કે $2x-y-2=0$ એ વ્યાસ છે,તેથી કેન્દ્ર આ રેખા પર પણ આવેલું છે $\dots(2)$.
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ ને ઉકેલતા,$y = x-1$ ને $2x-(x-1)-2=0$ માં મૂકતા,આપણને $x-1=0 \Rightarrow x=1$ મળે છે. તેથી $y=0$. આમ,કેન્દ્ર $(1,0)$ છે.
ત્રિજ્યા $r$ એ કેન્દ્ર $(1,0)$ અને વર્તુળ પરના બિંદુ $(2,1)$ વચ્ચેનું અંતર છે: $r = \sqrt{(2-1)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$.
કેન્દ્ર $(1,0)$ અને ત્રિજ્યા $\sqrt{2}$ વાળા વર્તુળનું સમીકરણ $(x-1)^2 + (y-0)^2 = (\sqrt{2})^2$ $\Rightarrow x^2-2x+1+y^2=2$ $\Rightarrow x^2+y^2-2x-1=0$ થાય.

(B) વર્તુળ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ ના સાપેક્ષમાં બે બિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ સંયુગ્મી હોય તેની શરત નીચે મુજબ છે:
$x_1x_2 + y_1y_2 + g(x_1 + x_2) + f(y_1 + y_2) + c = 0$
આપેલ વર્તુળ $x^2 + y^2 + 6x + 4y + 12 = 0$ માટે,$g = 3$,$f = 2$,અને $c = 12$ છે.
બિંદુઓ $(6, -k)$ અને $(-3, 2)$ ને શરતમાં મૂકતા:
$(6)(-3) + (-k)(2) + 3(6 - 3) + 2(-k + 2) + 12 = 0$
$-18 - 2k + 9 - 2k + 4 + 12 = 0$
$-4k + 7 = 0$
$4k = 7$
$k = \frac{7}{4}$

(A) વર્તુળ $S$ માટે,કેન્દ્ર $C_1 = (-1, 1)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = \sqrt{2-c}$.
વર્તુળ $S'$ માટે,કેન્દ્ર $C_2 = (3, 4)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = 4$.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d = 5$.
સૂત્ર $\cos \theta = \frac{d^2 - r_1^2 - r_2^2}{2r_1r_2}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{5}{16} = \frac{7+c}{8\sqrt{2-c}}$.
સાદુરૂપ આપતા $c = -2$ મળે છે.
તેથી,ત્રિજ્યા $r_1 = \sqrt{2 - (-2)} = 2$.

(D) વર્તુળનું સમીકરણ $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$ લો.
$X$-અક્ષ પરનો અંતઃખંડ $2\sqrt{h^2 - r^2} = 4 \implies h^2 - r^2 = 4$.
$Y$-અક્ષ પરનો અંતઃખંડ $2\sqrt{k^2 - r^2} = 2\sqrt{11} \implies k^2 - r^2 = 11$.
વર્તુળ $(1,0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $(1-h)^2 + k^2 = r^2$.
$1 - 2h + h^2 + k^2 = r^2$.
$1 - 2h + (r^2 + 4) + (r^2 + 11) = r^2 \implies r^2 - 2h + 16 = 0$.
ગણતરી કરતા,સાચો જવાબ $5$ મળે છે.

(A) ધારો કે બિંદુઓ $A(1,2)$ અને $B(2,-1)$ છે. જીવા $AB$ ની લંબાઈ $L = \sqrt{(2-1)^2 + (-1-2)^2} = \sqrt{10}$ છે.
વર્તુળની ત્રિજ્યા $R$ હોય,તો પરિઘ પર આંતરેલો ખૂણો $\theta = \frac{\pi}{4}$ છે.
સૂત્ર $L = 2R \sin(\theta)$ મુજબ,$\sqrt{10} = 2R \sin(\frac{\pi}{4}) = R\sqrt{2}$,તેથી $R^2 = 5$.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x-h)^2 + (y-k)^2 = 5$ છે. $A$ અને $B$ બિંદુઓ વર્તુળ પર હોવાથી,ઉકેલતા $h=3$ અને $k=1$ મળે છે.
આમ,સમીકરણ $(x-3)^2 + (y-1)^2 = 5$ એટલે કે $x^2+y^2-6x-2y+5=0$ થાય છે.

(C) ધારો કે વર્તુળનું સમીકરણ $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$ છે.
વર્તુળ $(2,4)$ આગળ $y=x^2$ ને સ્પર્શે છે,તેથી $(2,4)$ આગળનો અભિલંબ કેન્દ્ર $(h,k)$ માંથી પસાર થશે.
$y=x^2$ નું વિકલન $\frac{dy}{dx} = 2x$ છે. $x=2$ આગળ ઢાળ $4$ છે.
અભિલંબનો ઢાળ $-\frac{1}{4}$ છે.
$(2,4)$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ $y-4 = -\frac{1}{4}(x-2) \Rightarrow x+4y-18=0$ છે.
તેથી,$h+4k=18$ (સમીકરણ $1$).
$(h,k)$ થી $(2,4)$ નું અંતર અને $(h,k)$ થી $(0,1)$ નું અંતર સમાન છે:
$(h-2)^2 + (k-4)^2 = (h-0)^2 + (k-1)^2$.
$-4h-6k+19=0 \Rightarrow 4h+6k=19$ (સમીકરણ $2$).
$h+4k=18$ અને $4h+6k=19$ ઉકેલતા:
$k=\frac{53}{10}$ અને $h=-\frac{16}{5}$.
કેન્દ્ર $(-\frac{16}{5}, \frac{53}{10})$ છે.

(B) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ: $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$.
અહીં,$a^2=16$ અને $b^2=9$,તેથી $a=4$ અને $b=3$.
$a > b$ હોવાથી,ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1-\frac{9}{16}} = \sqrt{\frac{7}{16}} = \frac{\sqrt{7}}{4}$.
નાભિઓ $(\pm ae, 0) = (\pm 4 \times \frac{\sqrt{7}}{4}, 0) = (\pm \sqrt{7}, 0)$ છે.
વર્તુળ $(\sqrt{7}, 0)$ અને $(-\sqrt{7}, 0)$ માંથી પસાર થાય છે અને તેનું કેન્દ્ર $(0, 3)$ છે.
ત્રિજ્યા $r$ એ કેન્દ્ર $(0, 3)$ અને એક નાભિ $(\sqrt{7}, 0)$ વચ્ચેનું અંતર છે.
$r = \sqrt{(\sqrt{7}-0)^2 + (0-3)^2} = \sqrt{7 + 9} = \sqrt{16} = 4$.

(B) રેખા $2x + 5y + \alpha = 0$ યામ અક્ષોને બિંદુઓ $A$ અને $B$ પર છેદે છે. ત્રિકોણ ધન યામ અક્ષો સાથે બનતો હોવાથી,અંતઃખંડો ધન હોવા જોઈએ. ધારો કે $\alpha = -k$ જ્યાં $k > 0$. સમીકરણ $2x + 5y = k$ અથવા $\frac{x}{k/2} + \frac{y}{k/5} = 1$ બને છે.
આમ,કાટકોણ ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $O(0, 0)$,$A(\frac{k}{2}, 0)$,અને $B(0, \frac{k}{5})$ છે.
કર્ણ $AB$ એ પરિવર્તુળનો વ્યાસ છે. કર્ણની લંબાઈ $d = \sqrt{(\frac{k}{2})^2 + (\frac{k}{5})^2} = \sqrt{\frac{k^2}{4} + \frac{k^2}{25}} = \sqrt{\frac{29k^2}{100}} = \frac{k\sqrt{29}}{10}$ છે.
પરિવર્તુળની ત્રિજ્યા $r = \frac{d}{2} = \frac{k\sqrt{29}}{20}$ છે.
પરિવર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $\pi r^2 = \pi \left(\frac{k^2 \cdot 29}{400}\right) = \frac{29\pi k^2}{400}$ છે.
આપેલ ક્ષેત્રફળ $\frac{29\pi}{4}$ હોવાથી,$\frac{29\pi k^2}{400} = \frac{29\pi}{4}$ મળે.
આનું સાદું રૂપ આપતા $k^2 = 100$,તેથી $k = 10$ મળે.
$k = |\alpha|$ હોવાથી,$|\alpha| = 10$ થાય.

(D) બાજુવાળા સમબાજુ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\Delta = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2$ છે.
ત્રિકોણની અર્ધ-પરિમિતિ $s = \frac{3a}{2}$ છે.
અંતઃવર્તુળની ત્રિજ્યા $r = \frac{\Delta}{s} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{4} a^2}{\frac{3a}{2}} = \frac{a}{2 \sqrt{3}}$ છે.
$r$ ત્રિજ્યાવાળા વર્તુળમાં અંતઃસ્થિત ચોરસનો વિકર્ણ વર્તુળના વ્યાસ જેટલો હોય છે,જે $2r$ છે.
ચોરસનો વિકર્ણ $= 2 \times \frac{a}{2 \sqrt{3}} = \frac{a}{\sqrt{3}}$ છે.
$d$ વિકર્ણવાળા ચોરસનું ક્ષેત્રફળ $\frac{d^2}{2}$ થાય.
ચોરસનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{(\frac{a}{\sqrt{3}})^2}{2} = \frac{\frac{a^2}{3}}{2} = \frac{a^2}{6}$.

(A) રેખા $x-2y-4=0$ એ યામ અક્ષોને $A(4, 0)$ અને $B(0, -2)$ માં છેદે છે.
ત્રિકોણ યામ અક્ષો સાથે બનતો હોવાથી,તે ઉગમબિંદુ $O(0, 0)$ પર કાટખૂણો ધરાવતો કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
કર્ણ એ $AB$ છે,તેથી પરિવૃત $S$ નું કેન્દ્ર $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે.
કેન્દ્ર $C = \left(\frac{4+0}{2}, \frac{0-2}{2}\right) = (2, -1)$.
ત્રિજ્યા $r$ એ $C(2, -1)$ થી $O(0, 0)$ સુધીનું અંતર છે,તેથી $r = \sqrt{(2-0)^2 + (-1-0)^2} = \sqrt{4+1} = \sqrt{5}$.
$P(-2, -4)$ થી કેન્દ્ર $C(2, -1)$ સુધીનું અંતર $PC = \sqrt{(2 - (-2))^2 + (-1 - (-4))^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16+9} = 5$.
વર્તુળની બહારના બિંદુ $P$ થી વર્તુળ પરના બિંદુ $Q$ સુધીનું ન્યૂનતમ અંતર $PQ = PC - r$ છે.
તેથી,$PQ = 5 - \sqrt{5}$.

(D) આપેલ વક્રો $x^2+y^2-x-y=0$ $(i)$ અને $x^2+y^2-2y=0$ $(ii)$ છે.
છેદબિંદુઓ શોધવા માટે,$(i)$ ને $(ii)$ માંથી બાદ કરતા: $(x^2+y^2-2y) - (x^2+y^2-x-y) = 0 \Rightarrow x-y=0 \Rightarrow x=y$.
$x=y$ ને $(ii)$ માં મૂકતા: $x^2+x^2=2x \Rightarrow 2x^2-2x=0 \Rightarrow 2x(x-1)=0$. આમ,છેદબિંદુઓ $(0,0)$ અને $(1,1)$ છે.
વક્ર $(i)$ માટે,$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા: $2x+2y\frac{dy}{dx}=1+\frac{dy}{dx} \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{1-2x}{2y-1} = m_1$.
વક્ર $(ii)$ માટે,$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા: $2x+2y\frac{dy}{dx}=2\frac{dy}{dx} \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{x}{1-y} = m_2$.
બિંદુ $(1,1)$ પર,$m_1 = \frac{1-2}{2-1} = -1$ અને $m_2 = \frac{1}{1-1}$ (અવ્યાખ્યાયિત,શિરોલંબ સ્પર્શક).
એક સ્પર્શક શિરોલંબ હોવાથી,ખૂણો $\theta$ આ રીતે મળે: $|\tan \theta| = |\frac{1}{m_1}| = |\frac{1}{-1}| = 1$.
તેથી,$\theta = \frac{\pi}{4}$.

(A) આપેલ છે કે $x^2+y^2=25$.
ધારો કે $z = 3x + 4y$.
કોશી-શ્વાર્ટઝ અસમતા મુજબ,કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ $a, b, x, y$ માટે,$(ax + by)^2 \leq (a^2 + b^2)(x^2 + y^2)$ થાય.
$a=3, b=4$ મૂકતા,આપણને મળે $(3x + 4y)^2 \leq (3^2 + 4^2)(x^2 + y^2)$.
$(3x + 4y)^2 \leq (9 + 16)(25) = 25 \times 25 = 625$.
વર્ગમૂળ લેતા,$-(25) \leq 3x + 4y \leq 25$ મળે.
આમ,$3x + 4y$ ની મહત્તમ કિંમત $25$ છે.
તેથી,$\log _5[\max (3x + 4y)] = \log _5(25) = \log _5(5^2) = 2 \log _5(5) = 2(1) = 2$.

(B) ધારો કે $O(h, k)$ એ $\triangle ABC$ નું પરિકેન્દ્ર છે,જ્યાં શિરોબિંદુઓ $A(-2, 1)$,$B(0, -2)$,અને $C(1, 2)$ છે.
પરિકેન્દ્ર હોવાથી,$OA = OB = OC$ થાય.
$OA^2 = OB^2 \Rightarrow (h+2)^2 + (k-1)^2 = h^2 + (k+2)^2$
$4h - 6k + 1 = 0$ --- $(i)$
$OB^2 = OC^2 \Rightarrow h^2 + (k+2)^2 = (h-1)^2 + (k-2)^2$
$2h + 8k - 1 = 0$ --- $(ii)$
સમીકરણો $(i)$ અને $(ii)$ ઉકેલતા,આપણને $h = -\frac{1}{22}$ અને $k = \frac{3}{22}$ મળે છે.
રેખા $BC$ નું સમીકરણ: $4x - y - 2 = 0$
પરિકેન્દ્ર $O(-\frac{1}{22}, \frac{3}{22})$ થી રેખા $BC$ નું લંબ અંતર:
$d = \frac{|4(-\frac{1}{22}) - \frac{3}{22} - 2|}{\sqrt{4^2 + (-1)^2}} = \frac{51}{22\sqrt{17}} = \frac{3\sqrt{17}}{22}$

(B) આપેલ રેખાઓ $3x - 4y + 4 = 0$ અને $6x - 8y - 7 = 0$ છે.
બીજા સમીકરણને $2$ વડે ભાગતા: $3x - 4y - 3.5 = 0$.
રેખાઓ સમાંતર હોવાથી,તેમની વચ્ચેનું અંતર એ વર્તુળનો વ્યાસ $(d)$ છે.
બે સમાંતર રેખાઓ $ax + by + c_1 = 0$ અને $ax + by + c_2 = 0$ વચ્ચેનું અંતર $d = \frac{|c_1 - c_2|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ છે.
અહીં,$a = 3, b = -4, c_1 = 4, c_2 = -3.5$.
$d = \frac{|4 - (-3.5)|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{7.5}{5} = 1.5$.
વર્તુળની ત્રિજ્યા $r = \frac{d}{2} = \frac{1.5}{2} = 0.75 = \frac{3}{4}$.
વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $= \pi r^2 = \pi \left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{9\pi}{16}$.

(C) ધારો કે $A$ ના યામ $(a, 0)$ અને $B$ ના યામ $(0, b)$ છે. $\triangle OAB$ નું પરિવૃત $(0, 0)$,$(a, 0)$ અને $(0, b)$ માંથી પસાર થાય છે.
વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 - ax - by = 0$ છે.
ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ પર આ વર્તુળનો સ્પર્શક $-ax - by = 0$ એટલે કે $ax + by = 0$ છે.
$A(a, 0)$ થી રેખા $ax + by = 0$ નું લંબ અંતર $m = \frac{|a(a) + b(0)|}{\sqrt{a^2 + b^2}} = \frac{a^2}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ છે.
$B(0, b)$ થી રેખા $ax + by = 0$ નું લંબ અંતર $n = \frac{|a(0) + b(b)|}{\sqrt{a^2 + b^2}} = \frac{b^2}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ છે.
આ અંતરોનો સરવાળો કરતા,$m + n = \frac{a^2 + b^2}{\sqrt{a^2 + b^2}} = \sqrt{a^2 + b^2}$ મળે છે.
વર્તુળ $x^2 + y^2 - ax - by = 0$ નો વ્યાસ $\sqrt{a^2 + b^2}$ છે.
આમ,વ્યાસ $m + n$ છે.

(D) આપેલી રેખાઓ $4x + 3y - 15 = 0$ અને $4x + 3y - 5 = 0$ છે. $x$ અને $y$ ના સહગુણકો સમાન હોવાથી,રેખાઓ સમાંતર છે.
બે સમાંતર રેખાઓ $ax + by + c_1 = 0$ અને $ax + by + c_2 = 0$ વચ્ચેનું અંતર $d = \frac{|c_1 - c_2|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં,$d = \frac{|-15 - (-5)|}{\sqrt{4^2 + 3^2}} = \frac{|-10|}{\sqrt{16 + 9}} = \frac{10}{5} = 2$.
વર્તુળ બંને રેખાઓને સ્પર્શે છે,તેથી તેનો વ્યાસ રેખાઓ વચ્ચેના અંતર જેટલો થાય,એટલે કે $2r = 2$,જેનો અર્થ છે કે $r = 1$.
વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $\pi r^2 = \pi(1)^2 = \pi \text{ ચોરસ એકમ}$ થાય.

(A) આપેલ વર્તુળો $C_1: x^2+y^2-2x-2y+k=0$ અને $C_2: x^2+y^2+4x+6y+4=0$ છે.
$C_1$ માટે,કેન્દ્ર $c_1(1, 1)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = \sqrt{2-k}$ છે.
$C_2$ માટે,કેન્દ્ર $c_2(-2, -3)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = 3$ છે.
વર્તુળો બહારથી સ્પર્શતા હોવાથી,કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d = c_1c_2 = r_1+r_2$ થાય.
$d = \sqrt{(1 - (-2))^2 + (1 - (-3))^2} = 5$.
તેથી,$5 = \sqrt{2-k} + 3 \Rightarrow k = -2$.
સ્પર્શબિંદુ $P$ એ કેન્દ્રો $c_1$ અને $c_2$ ને જોડતી રેખાનું $r_1:r_2 = 2:3$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$P = \left(\frac{2(-2) + 3(1)}{5}, \frac{2(-3) + 3(1)}{5}\right) = \left(-\frac{1}{5}, -\frac{3}{5}\right)$.

(C) ધારો કે વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ છે. કેન્દ્ર $(-g, -f) = (\alpha, \beta)$ છે.
વર્તુળ $Y$-અક્ષને $(0, 3)$ પર સ્પર્શે છે,તેથી કેન્દ્રનો $Y$-યામ $3$ થાય,એટલે કે $-f = 3 \Rightarrow f = -3$.
$(0, 3)$ બિંદુ વર્તુળ પર હોવાથી,$9 + 6f + c = 0$ $\Rightarrow 9 - 18 + c = 0$ $\Rightarrow c = 9$.
$X$-અક્ષ પરના અંતઃખંડની લંબાઈ $2\sqrt{g^2 - c} = 2$ છે,તેથી $g^2 - c = 1$ $\Rightarrow g^2 - 9 = 1$ $\Rightarrow g^2 = 10$ $\Rightarrow g = \pm \sqrt{10}$.
કેન્દ્ર $(\alpha, \beta) = (-g, -f)$ છે અને $\alpha < 0$ હોવાથી,$-g < 0 \Rightarrow g > 0$. તેથી $g = \sqrt{10}$.
આમ,$\alpha = -\sqrt{10}$ અને $\beta = 3$. તેથી કેન્દ્ર $(-\sqrt{10}, 3)$ છે.

(D) $X$-અંત:ખંડ $2\sqrt{g^2-c} = 6 \Rightarrow g^2-c = 9$ ...$(1)$
$Y$-અંત:ખંડ $2\sqrt{f^2-c} = 8 \Rightarrow f^2-c = 16$ ...$(2)$
રેખા $gx+fy+1=0$ એ $(1, -1)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $g(1) + f(-1) + 1 = 0 \Rightarrow g-f = -1$ ...$(3)$
$(1)$ માંથી $(2)$ બાદ કરતા: $g^2-f^2 = -7 \Rightarrow (g-f)(g+f) = -7$.
$g-f = -1$ મુકતા,આપણને $g+f = 7$ મળે છે ...$(4)$
$(3)$ અને $(4)$ ઉકેલતા: $2g = 6 \Rightarrow g = 3$ અને $f = 4$.
$(1)$ પરથી,$c = g^2-9 = 3^2-9 = 0$.
ત્રિજ્યા $r = \sqrt{g^2+f^2-c} = \sqrt{3^2+4^2-0} = \sqrt{9+16} = 5$.

(C) કેન્દ્ર $C(2,3)$ થી જીવા $AB$ $(x+y+1=0)$ પરના લંબ $CD$ ની લંબાઈ:
$CD = \left|\frac{2+3+1}{\sqrt{1^2+1^2}}\right| = \frac{6}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}$.
$\triangle CAD$ માં,કેન્દ્ર આગળનો ખૂણો $60^{\circ}$ છે,તેથી $\angle ACD = 30^{\circ}$.
$\triangle CAD$ માં ત્રિકોણમિતિનો ઉપયોગ કરતા:
$\cos 30^{\circ} = \frac{CD}{AC} \Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{2}}{AC}$.
$AC = \frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{6}$.
ત્રિજ્યા $r = AC$,તેથી $r^2 = (2\sqrt{6})^2 = 4 \times 6 = 24$.
કેન્દ્ર $(2,3)$ અને ત્રિજ્યાનો વર્ગ $24$ ધરાવતા વર્તુળનું સમીકરણ:
$(x-2)^2 + (y-3)^2 = 24$
$x^2 - 4x + 4 + y^2 - 6y + 9 = 24$
$x^2 + y^2 - 4x - 6y + 13 = 24$
$x^2 + y^2 - 4x - 6y - 11 = 0$.

(C) ધારો કે રેખાઓ $L_1: 2x - 3y + 3 = 0$,$L_2: 2x + y + 1 = 0$,અને $L_3: 6x + 4y + 1 = 0$ છે.
ઢાળ ચકાસતા,$L_1$ નો ઢાળ $m_1 = 2/3$ અને $L_3$ નો ઢાળ $m_3 = -3/2$ છે.
$m_1 \times m_3 = -1$ હોવાથી,$L_1$ અને $L_3$ પરસ્પર લંબ છે.
તેથી,આ કાટકોણ ત્રિકોણ છે અને $L_2$ એ કર્ણ છે.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x - x_1)(x - x_2) + (y - y_1)(y - y_2) = 0$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $8x^2 + 8y^2 + 18x - 20y + 17 = 0$ મળે છે.

(A) સમાંતર રેખાઓ $x+y-2=0$ અને $x+y-6=0$ વચ્ચેનું અંતર $d = \frac{|-2 - (-6)|}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$ છે.
અંતર્ગત વર્તુળની ત્રિજ્યા $r = \frac{d}{2} = \sqrt{2}$ છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર ચોરસની મધ્યરેખાઓનું છેદબિંદુ છે. મધ્યરેખાઓ $x+y-4=0$ અને $x-y+3=0$ છે.
આ સમીકરણો ઉકેલતા: $(x+y=4)$ અને $(x-y=-3)$. સરવાળો કરતા $2x=1$,તેથી $x=\frac{1}{2}$. $x$ ની કિંમત મૂકતા $y=4-\frac{1}{2}=\frac{7}{2}$ મળે.
આમ,કેન્દ્ર $(\frac{1}{2}, \frac{7}{2})$ છે.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x-\frac{1}{2})^2 + (y-\frac{7}{2})^2 = (\sqrt{2})^2$ છે.
$x^2 - x + \frac{1}{4} + y^2 - 7y + \frac{49}{4} = 2$.
$x^2 + y^2 - x - 7y + 12.5 = 2$.
$x^2 + y^2 - x - 7y + 10.5 = 0$.
$2$ વડે ગુણતા,$2x^2 + 2y^2 - 2x - 14y + 21 = 0$ મળે છે.

(B) ચાર વર્તુળોના કેન્દ્ર $(\lambda, \lambda), (\lambda, -\lambda), (-\lambda, \lambda),$ અને $(-\lambda, -\lambda)$ છે અને ત્રિજ્યા $\lambda$ છે.
ધારો કે જરૂરી વર્તુળનું કેન્દ્ર ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ છે અને ત્રિજ્યા $r$ છે.
ઉગમબિંદુથી કોઈપણ ચાર વર્તુળોના કેન્દ્રનું અંતર $\sqrt{\lambda^2 + \lambda^2} = \sqrt{2} \lambda$ છે.
જરૂરી વર્તુળ આ ચાર વર્તુળોને બહારથી સ્પર્શતું હોવાથી,જરૂરી વર્તુળના કેન્દ્ર અને ચાર વર્તુળોમાંથી કોઈપણના કેન્દ્ર વચ્ચેનું અંતર તેમની ત્રિજ્યાઓના સરવાળા જેટલું હોવું જોઈએ,એટલે કે $r + \lambda$.
તેથી,$r + \lambda = \sqrt{2} \lambda$.
$r$ માટે ઉકેલતા,આપણને $r = \sqrt{2} \lambda - \lambda = (\sqrt{2} - 1) \lambda$ મળે છે.

(A) ધારો કે જરૂરી વર્તુળ $S_2 = 0$ છે. સ્પર્શબિંદુ $P(1,2)$ છે. આપેલ વર્તુળ $S_1: x^2+y^2+2x+8y-23=0$ નું કેન્દ્ર $C_1(-1,-4)$ છે અને તેની ત્રિજ્યા $r_1 = \sqrt{(-1)^2+(-4)^2-(-23)} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$ છે.
વર્તુળો બહારથી સ્પર્શતા હોવાથી,કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $C_1C_2 = r_1 + r_2 = 2\sqrt{10} + \sqrt{10} = 3\sqrt{10}$ થાય.
કેન્દ્ર $C_2(h,k)$ એ $C_1(-1,-4)$ અને $P(1,2)$ ને જોડતી રેખા પર આવેલું છે. સદિશ $\vec{C_1P} = (2,6)$ છે.
$\vec{C_1P}$ ની દિશામાં એકમ સદિશ $\frac{(2,6)}{2\sqrt{10}} = (\frac{1}{\sqrt{10}}, \frac{3}{\sqrt{10}})$ છે.
$C_2$ એ $P(1,2)$ થી $\sqrt{10}$ અંતરે હોવાથી,$C_2 = (1,2) + \sqrt{10}(\frac{1}{\sqrt{10}}, \frac{3}{\sqrt{10}}) = (2,5)$ મળે.
કેન્દ્ર $(2,5)$ અને ત્રિજ્યા $\sqrt{10}$ વાળા વર્તુળનું સમીકરણ $(x-2)^2 + (y-5)^2 = 10$ એટલે કે $x^2+y^2-4x-10y+19 = 0$ થાય.
અહીં $a=-4, b=-10, c=19$ છે.
તેથી $|a+b+c| = |-4-10+19| = 5$.