Geometrical problems regarding circle and its properties Questions in Gujarati

(D) વર્તુળ $S^{\prime}$ નું સમીકરણ $x^2+y^2-6x+6y+2=0$ છે. તેનું કેન્દ્ર $C^{\prime}(3, -3)$ અને ત્રિજ્યા $r^{\prime} = \sqrt{3^2+(-3)^2-2} = 4$ છે.
$S$ એ એકમ વર્તુળ હોવાથી,તેની ત્રિજ્યા $r = 1$ છે.
ધારો કે $S$ નું કેન્દ્ર $C(h, k)$ છે. $S$ અને $S^{\prime}$ બિંદુ $P(-1, -3)$ આગળ બહારથી સ્પર્શતા હોવાથી,$P$ એ $CC^{\prime}$ રેખાખંડનું $r:r^{\prime} = 1:4$ ગુણોત્તરમાં અંતઃવિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$-1 = \frac{4h + 3}{5} \implies h = -2$ અને $-3 = \frac{4k - 3}{5} \implies k = -3$.
તેથી $S$ નું કેન્દ્ર $C(-2, -3)$ છે.
$S$ નું સમીકરણ $(x+2)^2+(y+3)^2 = 1$ એટલે કે $x^2+y^2+4x+6y+12 = 0$ થાય.
સરખામણી કરતા $g=2, f=3, c=12$ મળે.
તેથી $g+f+c = 2+3+12 = 17$.

(B) વર્તુળ $x^2+y^2=1$ ની જીવા $x+y-1=0$ દ્વારા કેન્દ્ર આગળ આંતરાતો ખૂણો શોધવા માટે,આપણે નીચેના પગલાં અનુસરીએ છીએ:
પગલું $1$: વર્તુળ અને જીવા ઓળખો.
વર્તુળ $x^2+y^2=1$ નું કેન્દ્ર ઉગમબિંદુ $O(0,0)$ પર છે અને ત્રિજ્યા $r=1$ છે.
જીવા $x+y-1=0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પગલું $2$: ઉગમબિંદુથી જીવા સુધીનું લંબ અંતર $d$ શોધો.
$(0,0)$ થી $x+y-1=0$ સુધીનું અંતર $d = \frac{|1(0)+1(0)-1|}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ છે.
પગલું $3$: ખૂણો ગણો.
ધારો કે જીવા વર્તુળને $A$ અને $B$ બિંદુઓ પર છેદે છે. સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ $OAB$ માં,$O$ માંથી $AB$ પરનો લંબ $\angle AOB$ ને દુભાગે છે. ધારો કે $\angle AOB = 2\theta$.
ઉગમબિંદુ,જીવાનું મધ્યબિંદુ અને જીવાના એક અંત્યબિંદુ દ્વારા બનતા કાટકોણ ત્રિકોણમાં,આપણી પાસે $\cos(\theta) = \frac{d}{r} = \frac{1/\sqrt{2}}{1} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ છે.
આમ,$\theta = 45^{\circ}$ અથવા $\frac{\pi}{4}$ રેડિયન.
કેન્દ્ર આગળ આંતરાતો કુલ ખૂણો $\angle AOB = 2\theta = 2 \times 45^{\circ} = 90^{\circ}$ અથવા $\frac{\pi}{2}$ રેડિયન છે.

(A) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 - 4 x - 6 y + 9 = 0$ છે.
કેન્દ્ર $(2, 3)$ અને ત્રિજ્યા $r = 2$ છે.
રેખા $6 x + 8 y + \alpha = 0$ વર્તુળને બે ભિન્ન બિંદુઓમાં છેદે તે માટે કેન્દ્રથી રેખાનું લંબ અંતર ત્રિજ્યા કરતા ઓછું હોવું જોઈએ.
અંતર $d = \frac{|36 + \alpha|}{10} < 2 \Rightarrow |36 + \alpha| < 20$.
તેથી $-56 < \alpha < -16$.
$\alpha = 8k$ હોવાથી,$-56 < 8k < -16 \Rightarrow -7 < k < -2$.
$k$ ના શક્ય મૂલ્યો $-6, -5, -4, -3$ છે.
આમ,$S$ માં ઘટકોની સંખ્યા $4$ છે.

(B) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2+10x+8y-23=0$ છે. વર્તુળનું કેન્દ્ર $O$ એ $(-5, -4)$ છે.
$M$ એ જીવા $AB$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,રેખા $OM$ એ જીવા $AB$ ને લંબ છે.
$OM$ નો ઢાળ $m_1 = \frac{-4 - (-5/2)}{-5 - (-7/2)} = \frac{-4 + 2.5}{-5 + 3.5} = \frac{-1.5}{-1.5} = 1$ છે.
$OM \perp AB$ હોવાથી,જીવા $AB$ નો ઢાળ $m_2 = -1/m_1 = -1$ થાય.
બિંદુ $M\left(\frac{-7}{2}, \frac{-5}{2}\right)$ માંથી પસાર થતી અને $-1$ ઢાળ ધરાવતી રેખા $AB$ નું સમીકરણ:
$y - (-5/2) = -1(x - (-7/2))$
$y + 5/2 = -x - 7/2$
$x + y + 6 = 0$
$ax + by + 1 = 0$ સ્વરૂપમાં મેળવવા માટે,આપણે $-6$ વડે ભાગતા:
$\frac{1}{6}x + \frac{1}{6}y + 1 = 0$ મળે.
આને $ax + by + 1 = 0$ સાથે સરખાવતા,$a = 1/6$ અને $b = 1/6$ મળે.
તેથી,$3a + 3b = 3(1/6) + 3(1/6) = 1/2 + 1/2 = 1$.

(D) વર્તુળ $x^2+y^2=4$ માટે,કેન્દ્ર $(0,0)$ અને ત્રિજ્યા $r_1=2$ છે. રેખા $2x-2y-3=0$ પર કેન્દ્ર $(0,0)$ થી લંબ અંતર $p_1 = \frac{|2(0)-2(0)-3|}{\sqrt{2^2+(-2)^2}} = \frac{3}{\sqrt{8}}$ છે.
અંતઃખંડની લંબાઈ $d_1 = 2\sqrt{r_1^2-p_1^2} = 2\sqrt{4-\frac{9}{8}} = 2\sqrt{\frac{23}{8}}$ છે.
વર્તુળ $x^2+y^2-10x-14y+65=0$ માટે,કેન્દ્ર $(5,7)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = \sqrt{5^2+7^2-65} = \sqrt{25+49-65} = \sqrt{9} = 3$ છે.
રેખા $2x-2y-3=0$ પર કેન્દ્ર $(5,7)$ થી લંબ અંતર $p_2 = \frac{|2(5)-2(7)-3|}{\sqrt{2^2+(-2)^2}} = \frac{|10-14-3|}{\sqrt{8}} = \frac{7}{\sqrt{8}}$ છે.
તેથી,$d_2 = 2\sqrt{r_2^2-p_2^2} = 2\sqrt{9-\frac{49}{8}} = 2\sqrt{\frac{72-49}{8}} = 2\sqrt{\frac{23}{8}}$ છે.
આમ,$d_1=d_2$ થાય છે.

(B) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 - 6x + 8y = 0$ છે.
તેને $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ સાથે સરખાવતા,કેન્દ્ર $C = (3, -4)$ અને ત્રિજ્યા $r = 5$ મળે છે.
કેન્દ્ર $(3, -4)$ થી રેખા $3x + 4y - 25 = 0$ નું લંબ અંતર $d = \frac{|3(3) + 4(-4) - 25|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{32}{5}$ છે.
રેખાથી વર્તુળનું લઘુત્તમ અંતર $d - r = \frac{32}{5} - 5 = \frac{7}{5}$ થાય.

(D) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2-4x-8y-5=0$ છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(2, 4)$ છે અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{2^2+4^2-(-5)} = \sqrt{25} = 5$ છે.
રેખા $3x-4y-m=0$ વર્તુળને બે ભિન્ન બિંદુઓમાં છેદે તે માટે,કેન્દ્રથી રેખાનું લંબ અંતર $d < r$ હોવું જોઈએ.
$d = \frac{|3(2)-4(4)-m|}{\sqrt{3^2+(-4)^2}} = \frac{|-10-m|}{5} = \frac{|m+10|}{5}$.
શરત $d < 5$ મુજબ,$|m+10| < 25$,એટલે કે $-25 < m+10 < 25$.
તેથી,$-35 < m < 15$.
આ અંતરાલમાં આવતા પૂર્ણાંકોની સંખ્યા $14 - (-34) + 1 = 49$ છે.

(A) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ: $x^2+y^2-6x-4y-12=0$.
કેન્દ્ર: $(3, 2)$ અને ત્રિજ્યા: $r = 5$.
રેખાઓ $x$-અક્ષને સમાંતર હોવાથી,તેનું સમીકરણ $y = k$ સ્વરૂપમાં હશે.
કેન્દ્ર $(3, 2)$ થી રેખા $y = k$ નું અંતર ત્રિજ્યા $5$ જેટલું હોવું જોઈએ.
તેથી,$|k - 2| = 5$.
આથી $k = 7$ અથવા $k = -3$.
રેખાઓના સમીકરણો $y = 7$ અને $y = -3$ છે.
રેખાઓની જોડ: $(y - 7)(y + 3) = 0$.
જેનું સાદું રૂપ $y^2 - 4y - 21 = 0$ થાય છે.

(C) ધારો કે વર્તુળની ત્રિજ્યા $r$ છે. વર્તુળ ચોથા ચરણમાં હોવાથી અને રેખાઓ $x=0$ તથા $y=0$ ને સ્પર્શતું હોવાથી,તેનું કેન્દ્ર $(r, -r)$ થાય,જ્યાં $r > 0$.
કેન્દ્ર $(r, -r)$ થી રેખા $3x+4y-12=0$ નું લંબ અંતર ત્રિજ્યા $r$ જેટલું હોવું જોઈએ.
લંબ અંતરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\left| \frac{3(r) + 4(-r) - 12}{\sqrt{3^2 + 4^2}} \right| = r$
$\left| \frac{3r - 4r - 12}{5} \right| = r$
$\left| \frac{-r - 12}{5} \right| = r$
$|r + 12| = 5r$
$r > 0$ હોવાથી,$r + 12 = 5r$ અથવા $r + 12 = -5r$.
કિસ્સો $1$: $4r = 12 \Rightarrow r = 3$.
કિસ્સો $2$: $6r = -12 \Rightarrow r = -2$ ($r > 0$ હોવાથી અમાન્ય).
આમ,ત્રિજ્યા $3$ એકમ છે.

(C) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2-8x-2y-8=0$ છે.
તેને વ્યાપક સ્વરૂપ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ સાથે સરખાવતા,$g=-4$,$f=-1$,અને $c=-8$ મળે છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-g, -f) = (4, 1)$ છે અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{g^2+f^2-c} = \sqrt{16+1+8} = \sqrt{25} = 5$ છે.
કેન્દ્ર $(4, 1)$ થી રેખા $x+y+1=0$ નું લંબ અંતર $d = \left|\frac{4+1+1}{\sqrt{1^2+1^2}}\right| = \frac{6}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}$ છે.
જીવાની લંબાઈ $2\sqrt{r^2-d^2}$ દ્વારા મળે છે.
લંબાઈ $= 2\sqrt{5^2 - (3\sqrt{2})^2} = 2\sqrt{25 - 18} = 2\sqrt{7}$ એકમ.

(A) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2=16$ છે,જે ઉગમબિંદુ $(0,0)$ પર કેન્દ્રિત અને $r=4$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ દર્શાવે છે.
ધારો કે બે બિંદુઓ $A = (4 \cos \theta, 4 \sin \theta)$ અને $B = (4 \cos (\theta+60^{\circ}), 4 \sin (\theta+60^{\circ}))$ છે.
આ બિંદુઓ વર્તુળ પરના બિંદુઓ છે જેમના ધ્રુવીય ખૂણા અનુક્રમે $\theta$ અને $\theta+60^{\circ}$ છે.
કેન્દ્ર $O(0,0)$ પર જીવા $AB$ દ્વારા આંતરેલો ખૂણો $\Delta \phi = (\theta+60^{\circ}) - \theta = 60^{\circ}$ છે.
જેમ કે $OA = OB = r = 4$ અને અંતર્ગત ખૂણો $\angle AOB = 60^{\circ}$ છે,તેથી $\triangle OAB$ એ સમબાજુ ત્રિકોણ છે.
તેથી,જીવા $AB$ ની લંબાઈ વર્તુળની ત્રિજ્યા જેટલી થાય.
$AB = r = 4$.

(D) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2-6x+2y-28=0$ છે.
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા,આપણને $(x-3)^2+(y+1)^2 = 28+9+1 = 38$ મળે છે.
આમ,વર્તુળની ત્રિજ્યા $r = \sqrt{38}$ છે.
$r$ ત્રિજ્યાવાળા વર્તુળમાં અંતર્ગત સમબાજુ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $A = \frac{3\sqrt{3}}{4} R^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $R$ એ પરિત્રિજ્યા છે.
અહીં,$R = r = \sqrt{38}$ છે.
તેથી,ક્ષેત્રફળ $\frac{3\sqrt{3}}{4} \times (\sqrt{38})^2 = \frac{3\sqrt{3}}{4} \times 38 = \frac{3\sqrt{3} \times 19}{2} = \frac{57\sqrt{3}}{2}$ ચોરસ એકમ છે.

(A) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2-6x+8y-5=0$ છે.
$x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ સાથે સરખાવતા,$g=-3, f=4, c=-5$ મળે.
કેન્દ્ર $C = (-g, -f) = (3, -4)$.
ત્રિજ્યા $r = \sqrt{g^2+f^2-c} = \sqrt{(-3)^2+4^2-(-5)} = \sqrt{9+16+5} = \sqrt{30}$.
રેખાનું સમીકરણ $2x-y-5=0$ છે.
કેન્દ્ર $(3, -4)$ થી રેખાનું લંબ અંતર $d$ નીચે મુજબ છે:
$d = \frac{|2(3)-(-4)-5|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}} = \frac{|6+4-5|}{\sqrt{5}} = \frac{5}{\sqrt{5}} = \sqrt{5}$.
જીવાની લંબાઈ $2\sqrt{r^2-d^2}$ દ્વારા મળે છે.
લંબાઈ $= 2\sqrt{(\sqrt{30})^2-(\sqrt{5})^2} = 2\sqrt{30-5} = 2\sqrt{25} = 2 \times 5 = 10$ એકમ.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) $M(a, b)$ માંથી પસાર થતી રેખાનો ઢાળ $\theta$ ખૂણે લઈએ.
રેખાના પ્રચલ સમીકરણો $x = a + r \cos \theta$ અને $y = b + r \sin \theta$ છે,જ્યાં $r$ એ $M$ થી અંતર છે.
આ કિંમતોને વર્તુળના સમીકરણ $x^2 + y^2 = k^2$ માં મૂકતા:
$(a + r \cos \theta)^2 + (b + r \sin \theta)^2 = k^2$
$a^2 + 2ar \cos \theta + r^2 \cos^2 \theta + b^2 + 2br \sin \theta + r^2 \sin^2 \theta = k^2$
$r^2 + 2r(a \cos \theta + b \sin \theta) + (a^2 + b^2 - k^2) = 0$
આ $r$ માં દ્વિઘાત સમીકરણ છે જેના બીજ $r_1$ અને $r_2$ એ અંતર $MC$ અને $MD$ દર્શાવે છે.
બીજનો ગુણાકાર $r_1 \cdot r_2$ એ દ્વિઘાત સમીકરણના અચળ પદ જેટલો થાય.
તેથી,$MC \times MD = a^2 + b^2 - k^2$.

(B) બાજુઓના સમીકરણો નીચે મુજબ છે:
$y=0$ ... $(i)$
$y=x$ ... (ii)
$2x+3y=10$ ... (iii)
$(i)$ અને (iii) ને ઉકેલતા શિરોબિંદુ $A(5,0)$ મળે છે.
$(i)$ અને (ii) ને ઉકેલતા શિરોબિંદુ $B(0,0)$ મળે છે.
(ii) અને (iii) ને ઉકેલતા શિરોબિંદુ $C(2,2)$ મળે છે.
ધારો કે વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ ... (iv) છે.
તે $B(0,0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $c=0$.
તે $A(5,0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $25+10g=0 \Rightarrow g=-5/2$.
તે $C(2,2)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $4+4+4g+4f=0 \Rightarrow g+f+2=0$.
$g=-5/2$ મૂકતા,આપણને $-5/2+f+2=0 \Rightarrow f=1/2$ મળે છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-g, -f) = (5/2, -1/2)$ છે.

(A) વર્તુળનું આપેલ સમીકરણ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ $(c>0)$ છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-g, -f)$ છે અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{g^2+f^2-c}$ છે.
વર્તુળ બંને યામ અક્ષોને સ્પર્શતું હોવાથી,કેન્દ્રનું અક્ષોથી અંતર ત્રિજ્યા જેટલું થાય,તેથી $|-g| = |-f| = r = \sqrt{c}$.
વર્તુળ ત્રીજા ચરણમાં હોવાથી,કેન્દ્ર $(-\sqrt{c}, -\sqrt{c})$ થશે.
આમ,વર્તુળનું સમીકરણ $(x+\sqrt{c})^2 + (y+\sqrt{c})^2 = c$ થાય.
વર્તુળ $x$-અક્ષને $(-\sqrt{c}, 0)$ બિંદુએ અને $y$-અક્ષને $(0, -\sqrt{c})$ બિંદુએ સ્પર્શે છે.
ધારો કે આ બિંદુઓ $A(-\sqrt{c}, 0)$ અને $B(0, -\sqrt{c})$ છે.
આ બિંદુઓ રેખા $x+y+\sqrt{c}=0$ પર આવેલા છે કે નહીં તે ચકાસીએ:
બિંદુ $A$ માટે: $-\sqrt{c} + 0 + \sqrt{c} = 0$ (સાચું).
બિંદુ $B$ માટે: $0 - \sqrt{c} + \sqrt{c} = 0$ (સાચું).
આમ,રેખા દ્વારા વર્તુળ પર અંતઃખંડિત જીવા એ રેખાખંડ $AB$ છે.
જીવા $AB$ ની લંબાઈ $\sqrt{(0 - (-\sqrt{c}))^2 + (-\sqrt{c} - 0)^2} = \sqrt{(\sqrt{c})^2 + (-\sqrt{c})^2} = \sqrt{c+c} = \sqrt{2c}$ થાય.

(B) વર્તુળનું કેન્દ્ર $(h, k) = (1, 1)$ છે.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x-1)^2 + (y-1)^2 = r^2$ છે,જ્યાં $r$ ત્રિજ્યા છે.
કેન્દ્ર $(1, 1)$ થી રેખા $x+y+1=0$ નું લંબ અંતર $d = \frac{|1+1+1|}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{3}{\sqrt{2}}$ છે.
જીવાની લંબાઈ $L = 4\sqrt{2}$ છે,તેથી અડધી જીવાની લંબાઈ $a = \frac{L}{2} = 2\sqrt{2}$ છે.
સંબંધ $r^2 = d^2 + a^2$ નો ઉપયોગ કરતા,$r^2 = (\frac{3}{\sqrt{2}})^2 + (2\sqrt{2})^2 = \frac{9}{2} + 8 = 12.5$.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x-1)^2 + (y-1)^2 = 12.5$ છે,જેનું સાદું રૂપ $2x^2+2y^2-4x-4y-21=0$ થાય છે.

(C) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2-4x+6y-12=0$ છે. તેને $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ સાથે સરખાવતા,$g=-2, f=3, c=-12$ મળે છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-g, -f) = (2, -3)$ છે અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{g^2+f^2-c} = \sqrt{(-2)^2+3^2-(-12)} = \sqrt{4+9+12} = \sqrt{25} = 5$ છે.
કેન્દ્ર $(2, -3)$ થી રેખા $4x+3y+1=0$ નું લંબ અંતર $d = \frac{|4(2)+3(-3)+1|}{\sqrt{4^2+3^2}} = \frac{|8-9+1|}{\sqrt{16+9}} = \frac{0}{5} = 0$ છે.
લંબ અંતર $d=0$ હોવાથી,રેખા વર્તુળના કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે,જેનો અર્થ છે કે જીવા એ વ્યાસ છે.
જીવાની લંબાઈ $2 \times \sqrt{r^2-d^2} = 2 \times \sqrt{5^2-0^2} = 2 \times 5 = 10$ છે.

(C) વર્તુળ $x^2+y^2=61$ નું કેન્દ્ર $O(0,0)$ અને ત્રિજ્યા $r=\sqrt{61}$ છે.
$PA=PB=10$ હોવાથી,$P$ એ જીવા $AB$ ના લંબદ્વિભાજક પર છે. કેન્દ્ર $O$ પણ જીવા $AB$ ના લંબદ્વિભાજક પર છે. તેથી,રેખા $OP$ એ રેખા $l$ ને લંબ છે.
$OP$ નો ઢાળ $m_{OP} = \frac{6-0}{-5-0} = -\frac{6}{5}$ છે.
$l \perp OP$ હોવાથી,રેખા $l$ નો ઢાળ $m_l = \frac{5}{6}$ થાય.
રેખા $l$ નું સમીકરણ $5x-6y+k=0$ ધારો.
કેન્દ્ર $O(0,0)$ થી જીવા $AB$ નું અંતર $d = \frac{|k|}{\sqrt{61}}$ છે.
ગણતરી કરતા $d = \frac{11}{\sqrt{61}}$ મળે છે,તેથી $|k|=11$. વિકલ્પ $(c)$ $5x-6y+11=0$ સાચો છે.

(A) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2=r^2$ છે,જેનું કેન્દ્ર $(0,0)$ અને ત્રિજ્યા $r$ છે.
રેખાનું સમીકરણ $mx-y+c=0$ છે.
રેખા વર્તુળને બે ભિન્ન બિંદુઓમાં છેદે છે જો કેન્દ્ર $(0,0)$ થી રેખા પરના લંબનું અંતર ત્રિજ્યા $r$ કરતા ઓછું હોય.
લંબ અંતર $d$ નીચે મુજબ છે:
$d = \left| \frac{m(0) - (0) + c}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} \right| = \frac{|c|}{\sqrt{m^2+1}}$.
બે ભિન્ન બિંદુઓ માટે,$d < r$ હોવું જોઈએ:
$\frac{|c|}{\sqrt{m^2+1}} < r$
$|c| < r \sqrt{m^2+1}$
$-r \sqrt{m^2+1} < c < r \sqrt{m^2+1}$.

(A) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 - 4x - 6y + c = 0$ છે. કેન્દ્ર $C(2, 3)$ અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{13 - c}$ છે.
બિંદુ $P(-1, -1)$ થી કેન્દ્ર $C$ સુધીનું અંતર $d = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$ છે.
સ્પર્શકો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 2\alpha$ છે,જ્યાં $\sin \alpha = \frac{r}{d}$.
$\cos \theta = 1 - 2\sin^2 \alpha$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$-\frac{7}{25} = 1 - 2\sin^2 \alpha \implies \sin^2 \alpha = \frac{16}{25} \implies \sin \alpha = \frac{4}{5}$.
તેથી,$\frac{r}{5} = \frac{4}{5}$,એટલે કે $r = 4$.

(A) વર્તુળ પ્રથમ ચરણમાં બંને અક્ષોને સ્પર્શતું હોવાથી,તેનું કેન્દ્ર $(r, r)$ અને ત્રિજ્યા $r$ છે,જ્યાં $r > 0$.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x-r)^2 + (y-r)^2 = r^2$ છે.
કેન્દ્ર $(r, r)$ થી રેખા $4x+3y-6=0$ નું અંતર ત્રિજ્યા $r$ જેટલું હોવું જોઈએ.
તેથી,$\frac{|7r-6|}{5} = r$.
આનાથી બે કિસ્સા મળે છે: $r = 3$ અથવા $r = 1/2$.
જો $r = 3$ હોય,તો સમીકરણ $x^2+y^2-6x-6y+9=0$ મળે છે.
જો $r = 1/2$ હોય,તો સમીકરણ $4x^2+4y^2-4x-4y+1=0$ મળે છે.
રેખા $4x+3y-6=0$ ની નીચે રહેલા કેન્દ્ર માટે,$4x+3y-6 < 0$ હોવું જોઈએ,જે $r = 1/2$ માટે સાચું છે.
તેથી,સાચો જવાબ $4x^2+4y^2-4x-4y+1=0$ છે.

(D) આપેલ રેખાઓ $L_1: 3x - 4y + 4 = 0$ અને $L_2: 6x - 8y - 7 = 0$ છે.
$L_2$ ને $3x - 4y - 3.5 = 0$ તરીકે લખી શકાય.
રેખાઓ સમાંતર હોવાથી,તેમની વચ્ચેનું અંતર એ વર્તુળનો વ્યાસ છે.
બે સમાંતર રેખાઓ $ax + by + c_1 = 0$ અને $ax + by + c_2 = 0$ વચ્ચેનું અંતર $d = \frac{|c_1 - c_2|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ છે.
અહીં,$a = 3, b = -4, c_1 = 4, c_2 = -3.5$.
$d = \frac{|4 - (-3.5)|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{7.5}{5} = 1.5$.
વ્યાસ $D = 1.5 = \frac{3}{2}$ હોવાથી,ત્રિજ્યા $r = \frac{3}{4}$ થાય.
વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = \pi \left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{9\pi}{16}$ ચોરસ એકમ.

(A) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2-6x-4y-11=0$ છે.
તેને $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ સાથે સરખાવતા,કેન્દ્ર $C = (-g, -f) = (3, 2)$ મળે છે.
$PA$ અને $PB$ એ $P(1, 8)$ બિંદુમાંથી દોરેલા સ્પર્શકો હોવાથી,$\angle PAC$ અને $\angle PBC$ એ $90^{\circ}$ છે.
આમ,બિંદુઓ $P, A, C$ અને $B$ એ $PC$ વ્યાસ ધરાવતા વર્તુળ પર આવેલા છે.
$P, A$ અને $B$ માંથી પસાર થતા વર્તુળનું કેન્દ્ર એ વ્યાસ $PC$ નું મધ્યબિંદુ છે.
મધ્યબિંદુ $= \left(\frac{1+3}{2}, \frac{8+2}{2}\right) = \left(\frac{4}{2}, \frac{10}{2}\right) = (2, 5)$.

(C) વર્તુળની બહારના બિંદુ $A$ માટે,જો $A$ માંથી પસાર થતી છેદિકા વર્તુળને $C$ અને $B$ બિંદુઓમાં છેદે,તો $A$ માંથી વર્તુળ પર દોરેલા સ્પર્શક $AT$ ની લંબાઈ 'પાવર ઓફ અ પોઈન્ટ' પ્રમેય દ્વારા મળે છે: $AT^2 = AC \cdot AB$.
પ્રથમ,અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને $AC$ અને $AB$ ના અંતર શોધો:
$AC = \sqrt{(5-3)^2 + (0-1)^2} = \sqrt{2^2 + (-1)^2} = \sqrt{4+1} = \sqrt{5}$
$AB = \sqrt{(7-3)^2 + (-1-1)^2} = \sqrt{4^2 + (-2)^2} = \sqrt{16+4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$
હવે,આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકો:
$AT^2 = AC \cdot AB = \sqrt{5} \cdot 2\sqrt{5} = 2 \cdot 5 = 10$
$AT = \sqrt{10}$ એકમ.

(C) ધારો કે વર્તુળ બિંદુઓ $A(2,2)$ અને $B(9,9)$ માંથી પસાર થાય છે અને $X$-અક્ષને $P$ બિંદુએ સ્પર્શે છે.
પાવર ઓફ અ પોઈન્ટ પ્રમેય મુજબ,$OP$ એ ઉગમબિંદુ $O$ માંથી વર્તુળનો સ્પર્શક છે અને $OAB$ એ છેદિકા રેખા છે,તેથી:
$OP^2 = OA \cdot OB$
ઉગમબિંદુ $O(0,0)$ થી $OA$ અને $OB$ ના અંતરની ગણતરી કરતા:
$OA = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$
$OB = \sqrt{9^2 + 9^2} = \sqrt{81 + 81} = \sqrt{162} = 9\sqrt{2}$
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$OP^2 = (2\sqrt{2}) \cdot (9\sqrt{2}) = 18 \cdot 2 = 36$
$OP = \sqrt{36} = 6$
આમ,$OP = 6$.

(D) વર્તુળનું સમીકરણ $S: x^2 + y^2 + 8x - 6y + k = 0$ છે.
બહારના બિંદુ $(x_1, y_1)$ માંથી વર્તુળ $S = 0$ પર દોરેલા સ્પર્શકની લંબાઈ $\sqrt{S_1}$ છે,જ્યાં $S_1 = x_1^2 + y_1^2 + 8x_1 - 6y_1 + k$.
આપેલ બિંદુ $(-2, 3)$ અને સ્પર્શકની લંબાઈ $4$ એકમ છે:
$4 = \sqrt{(-2)^2 + (3)^2 + 8(-2) - 6(3) + k}$
$4 = \sqrt{4 + 9 - 16 - 18 + k}$
$4 = \sqrt{k - 21}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$16 = k - 21$
$k = 16 + 21 = 37$.

(D) બિંદુ $(x_1, y_1)$ માંથી વર્તુળ $S: x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ પરના સ્પર્શકની લંબાઈ $\sqrt{S_1} = \sqrt{x_1^2+y_1^2+2gx_1+2fy_1+c}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ વર્તુળ $C_1: x^2+y^2+x+y-4=0$ માટે,$(1,2)$ માંથી સ્પર્શકની લંબાઈ $L_1$ છે:
$L_1 = \sqrt{1^2+2^2+1+2-4} = \sqrt{1+4+1+2-4} = \sqrt{4} = 2$.
બીજા વર્તુળ $C_2: 3x^2+3y^2-x-y-k=0$ માટે,તેને પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં ફેરવતા $x^2+y^2-\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}y-\frac{k}{3}=0$ મળે.
$(1,2)$ માંથી સ્પર્શકની લંબાઈ $L_2$ છે:
$L_2 = \sqrt{1^2+2^2-\frac{1}{3}(1)-\frac{1}{3}(2)-\frac{k}{3}} = \sqrt{1+4-\frac{1}{3}-\frac{2}{3}-\frac{k}{3}} = \sqrt{5-1-\frac{k}{3}} = \sqrt{4-\frac{k}{3}}$.
આપેલ ગુણોત્તર $\frac{L_1}{L_2} = \frac{4}{3}$ મુજબ:
$\frac{2}{\sqrt{4-\frac{k}{3}}} = \frac{4}{3} \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{4-\frac{k}{3}}} = \frac{2}{3}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$\frac{1}{4-\frac{k}{3}} = \frac{4}{9} \Rightarrow 4-\frac{k}{3} = \frac{9}{4}$.
$\frac{k}{3} = 4 - \frac{9}{4} = \frac{16-9}{4} = \frac{7}{4}$.
$k = 3 \times \frac{7}{4} = \frac{21}{4}$.

(C) ધારો કે બિંદુ $P = (f, g)$ છે.
વર્તુળ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ માટે $(x_1, y_1)$ બિંદુથી સ્પર્શકની લંબાઈ $\sqrt{x_1^2+y_1^2+2gx_1+2fy_1+c}$ છે.
વર્તુળ $S: x^2+y^2-6=0$ માટે,સ્પર્શકની લંબાઈ $L_1 = \sqrt{f^2+g^2-6}$ છે.
વર્તુળ $S': x^2+y^2+3x+3y=0$ માટે,સ્પર્શકની લંબાઈ $L_2 = \sqrt{f^2+g^2+3f+3g}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$L_1 = 2L_2$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$L_1^2 = 4L_2^2$.
$f^2+g^2-6 = 4(f^2+g^2+3f+3g)$.
$f^2+g^2-6 = 4f^2+4g^2+12f+12g$.
$3f^2+3g^2+12f+12g+6 = 0$.
$3$ વડે ભાગતા,$f^2+g^2+4f+4g+2 = 0$.
આમ,$f^2+g^2+4f+4g+2$ ની કિંમત $0$ છે.

(B) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2-12x-16y=0$ છે. તેનું કેન્દ્ર $C(6, 8)$ અને ત્રિજ્યા $r = 10$ છે.
સ્પર્શકો વચ્ચેનો ખૂણો $60^{\circ}$ હોવાથી,કેન્દ્રથી જીવા પરના લંબનું અંતર $d = r \cos(30^{\circ})$ થશે નહીં,પરંતુ $d = r \cos(60^{\circ}/2) = r \cos(30^{\circ})$ એ ખોટું છે. સાચું અંતર $d = r \cos(30^{\circ})$ નથી,પરંતુ $d = r \sin(30^{\circ}) = 10 \times \frac{1}{2} = 5$ છે.
રેખા $5x-5y+k=0$ નું કેન્દ્ર $(6, 8)$ થી અંતર $d = \frac{|5(6)-5(8)+k|}{\sqrt{5^2+(-5)^2}} = \frac{|k-10|}{5\sqrt{2}}$ છે.
તેથી,$\frac{|k-10|}{5\sqrt{2}} = 5 \Rightarrow |k-10| = 25\sqrt{2}$.
આમ,$k = 10 \pm 25\sqrt{2} = 5(2 \pm 5\sqrt{2})$.

(B) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2-4x+6y-12=0$ છે.
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા,$(x-2)^2+(y+3)^2 = 25 = 5^2$ મળે.
તેથી કેન્દ્ર $(2, -3)$ અને ત્રિજ્યા $r = 5$ છે.
પેરામેટ્રિક યામ $x = 2 + 5\cos\theta$ અને $y = -3 + 5\sin\theta$ છે.
બિંદુ $P$ માટે $\theta = \frac{\pi}{3}$,$P = (\frac{9}{2}, -3 + \frac{5\sqrt{3}}{2})$.
બિંદુ $Q$ માટે $\theta = \frac{2\pi}{3}$,$Q = (-\frac{1}{2}, -3 + \frac{5\sqrt{3}}{2})$.
અંતર $PQ = \sqrt{(\frac{9}{2} - (-\frac{1}{2}))^2 + 0^2} = 5$.

(A) ધારો કે વ્યાસ $PR = 2r$ છે. $PQ$ અને $RS$ એ $P$ અને $R$ પરના સ્પર્શકો હોવાથી,$PQ \perp PR$ અને $RS \perp PR$ થાય.
ધારો કે $\angle PRQ = \theta$. $\triangle PQR$ માં,$\tan \theta = \frac{PQ}{PR}$,તેથી $PR = PQ \cot \theta$.
$X$ એ વર્તુળ પર છે અને $PR$ વ્યાસ હોવાથી,$\angle PXR = 90^{\circ}$ થાય.
$\triangle PXR$ માં,$\angle XPR = 90^{\circ} - \theta$ અને $\angle XRP = \theta$.
$\triangle PXS$ માં,$\angle XPS = 90^{\circ} - \theta$ અને $\angle XSP = \theta$. આમ,$\tan \theta = \frac{RS}{PR}$,તેથી $PR = RS \tan \theta$.
$PR$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$PQ \cot \theta = RS \tan \theta$
$\tan^2 \theta = \frac{PQ}{RS} \Rightarrow \tan \theta = \sqrt{\frac{PQ}{RS}}$.
આ કિંમતને $PR = RS \tan \theta$ માં મૂકતા:
$PR = RS \cdot \sqrt{\frac{PQ}{RS}} = \sqrt{PQ \cdot RS}$.
$PR = 2r$ હોવાથી,$2r = \sqrt{PQ \cdot RS}$ મળે.

(C) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2-4x-2y-11=0$ છે.
પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં: $(x-2)^2+(y-1)^2 = 16$.
તેથી,કેન્દ્ર $C(2,1)$ અને ત્રિજ્યા $r = 4$ છે.
બિંદુ $P(4,5)$ માંથી દોરેલા સ્પર્શકની લંબાઈ $AP = \sqrt{4^2+5^2-4(4)-2(5)-11} = \sqrt{4} = 2$ છે.
ચતુષ્કોણ $PACB$ એ બે એકરૂપ કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle PAC$ અને $\triangle PBC$ નો બનેલો છે.
$\triangle PAC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times AC \times AP = \frac{1}{2} \times 4 \times 2 = 4$.
ચતુષ્કોણ $PACB$ નું કુલ ક્ષેત્રફળ $= 2 \times 4 = 8 \text{ ચોરસ એકમ}$.

(D) આપેલ રેખાઓ $L_1: 3x - 4y + 5 = 0$ અને $L_2: 6x - 8y - 9 = 0$ છે.
$L_2$ ને $3x - 4y - \frac{9}{2} = 0$ તરીકે લખી શકાય.
રેખાઓ સમાંતર હોવાથી,તેમની વચ્ચેનું અંતર એ વર્તુળનો વ્યાસ છે.
બે સમાંતર રેખાઓ $ax + by + c_1 = 0$ અને $ax + by + c_2 = 0$ વચ્ચેનું અંતર $d = \frac{|c_1 - c_2|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ છે.
અહીં,$d = \frac{|5 - (-9/2)|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{9.5}{5} = \frac{19}{10}$.
વ્યાસ $2r = d$ હોવાથી,$2r = \frac{19}{10}$,એટલે કે $r = \frac{19}{20}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $(h, k)$ અને ત્રિજ્યા $r$ છે. વર્તુળ રેખાઓ $4x-3y-24=0$ અને $4x+3y-42=0$ ને સ્પર્શતું હોવાથી,$(h, k)$ થી આ રેખાઓનું લંબ અંતર $r$ થાય.
$r = \left|\frac{4h-3k-24}{5}\right| = \left|\frac{4h+3k-42}{5}\right|$
વળી,વર્તુળ $(2, 8)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $r^2 = (h-2)^2 + (k-8)^2$.
અંતરની સમાનતા પરથી,$4h-3k-24 = \pm(4h+3k-42)$.
કિસ્સો $1$: $4h-3k-24 = 4h+3k-42$ $\Rightarrow 6k = 18$ $\Rightarrow k = 3$.
ત્રિજ્યાના સમીકરણમાં $k=3$ મૂકતા:
$r^2 = \left(\frac{4h-3(3)-24}{5}\right)^2 = \left(\frac{4h-33}{5}\right)^2$
$(h-2)^2 + (3-8)^2 = (h-2)^2 + 25$ સાથે સરખાવતા:
$\frac{(4h-33)^2}{25} = (h-2)^2 + 25$
$(4h-33)^2 = 25(h^2-4h+4+25) = 25(h^2-4h+29)$
$16h^2 - 264h + 1089 = 25h^2 - 100h + 725$
$9h^2 + 164h - 364 = 0$
$(h-2)(9h+182) = 0$
$h \le 8$ હોવાથી,આપણે $h=2$ લઈએ છીએ. આમ,કેન્દ્ર $(2, 3)$ છે અને $r^2 = (2-2)^2 + (3-8)^2 = 25$.
સમીકરણ $(x-2)^2 + (y-3)^2 = 25 \Rightarrow x^2+y^2-4x-6y-12=0$ છે.

(C) આપેલ વર્તુળ $x^2+y^2-2x+2y=0$ છે. કેન્દ્ર $C(1, -1)$ છે અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{2}$ છે.
બિંદુ $P(-1, 1)$ અને કેન્દ્ર $C(1, -1)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $x+y=0$ છે.
પ્રતિવર્તી બિંદુ $Q$ હંમેશા કેન્દ્ર અને આપેલ બિંદુને જોડતી રેખા પર હોય છે.
તેથી,$Q$ બિંદુ $x+y=0$ રેખા પર આવેલું છે.

(D) ધારો કે $O(h, k)$ એ $A(2,3)$,$B(3,-1)$ અને $C(-3,2)$ માંથી પસાર થતા વર્તુળનું કેન્દ્ર છે.
કેન્દ્ર હોવાથી,$OA = OB = OC$ (વર્તુળની ત્રિજ્યાઓ).
$OA^2 = OC^2 \Rightarrow (h-2)^2 + (k-3)^2 = (h+3)^2 + (k-2)^2$
$h^2 - 4h + 4 + k^2 - 6k + 9 = h^2 + 6h + 9 + k^2 - 4k + 4$
$-4h - 6k = 6h - 4k$
$10h + 2k = 0 \Rightarrow k = -5h \quad ... (i)$
$OA^2 = OB^2 \Rightarrow (h-2)^2 + (k-3)^2 = (h-3)^2 + (k+1)^2$
$h^2 - 4h + 4 + k^2 - 6k + 9 = h^2 - 6h + 9 + k^2 + 2k + 1$
$-4h - 6k + 13 = -6h + 2k + 10$
$2h - 8k = -3 \quad ... (ii)$
$(i)$ ને $(ii)$ માં મૂકતા:
$2h - 8(-5h) = -3$
$2h + 40h = -3$ $\Rightarrow 42h = -3$ $\Rightarrow h = -\frac{1}{14}$
$k = -5h = -5(-\frac{1}{14}) = \frac{5}{14}$
હવે,$2k - 4h$ ની ગણતરી કરતા:
$2(\frac{5}{14}) - 4(-\frac{1}{14}) = \frac{10}{14} + \frac{4}{14} = \frac{14}{14} = 1$

(C) આપેલ છે કે બિંદુ $P(\alpha, 1)$ એ રેખા $y=1$ પર છે. ધારો કે જીવા $PQ$ છે અને તેનું મધ્યબિંદુ $x$-અક્ષ પર $M(h, 0)$ છે.
વર્તુળ $x^2+y^2-\alpha x-y=0$ માટે મધ્યબિંદુ $(h, k)$ વાળી જીવાનું સમીકરણ $T=S_1$ છે.
અહીં,$T = xh + yk - \frac{\alpha}{2}(x+h) - \frac{1}{2}(y+k)$ અને $S_1 = h^2+k^2-\alpha h-k$.
મધ્યબિંદુ $(h, 0)$ હોવાથી,$T = xh - \frac{\alpha}{2}(x+h) - \frac{1}{2}y$ અને $S_1 = h^2-\alpha h$.
તેથી,$xh - \frac{\alpha}{2}x - \frac{\alpha}{2}h - \frac{1}{2}y = h^2-\alpha h$.
આ જીવા $P(\alpha, 1)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,$x=\alpha$ અને $y=1$ મૂકતા:
$\alpha h - \frac{\alpha^2}{2} - \frac{\alpha h}{2} - \frac{1}{2} = h^2 - \alpha h$.
$2$ વડે ગુણતા: $2\alpha h - \alpha^2 - \alpha h - 1 = 2h^2 - 2\alpha h$.
પદોને ગોઠવતા: $2h^2 - 3\alpha h + \alpha^2 + 1 = 0$.
બે ભિન્ન જીવાઓ માટે,$h$ માંના દ્વિઘાત સમીકરણના બે ભિન્ન વાસ્તવિક ઉકેલો હોવા જોઈએ.
તેથી,વિવેચક $D > 0$:
$(-3\alpha)^2 - 4(2)(\alpha^2+1) > 0$.
$9\alpha^2 - 8\alpha^2 - 8 > 0$.
$\alpha^2 - 8 > 0 \Rightarrow \alpha^2 > 8$.

(C) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2=a^2$ છે અને જીવાનું સમીકરણ $x+y=1$ છે.
ઉગમબિંદુને વર્તુળ અને જીવાના છેદબિંદુઓ સાથે જોડતી રેખાઓની જોડીનું સમીકરણ મેળવવા માટે,જીવાના સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને વર્તુળના સમીકરણને સમઘાત બનાવતા:
$x^2+y^2=a^2(1)^2$
$x^2+y^2=a^2(x+y)^2$
$x^2+y^2=a^2(x^2+y^2+2xy)$
$(1-a^2)x^2 - 2a^2xy + (1-a^2)y^2 = 0$.
જીવા ઉગમબિંદુ આગળ કાટખૂણો આંતરે છે,તેથી $x^2$ અને $y^2$ ના સહગુણકોનો સરવાળો શૂન્ય થવો જોઈએ:
$(1-a^2) + (1-a^2) = 0$
$2(1-a^2) = 0$
$1-a^2 = 0$
$a^2 = 1$
$a$ એ ત્રિજ્યા દર્શાવે છે,તેથી $a=1$.

(C) જીવાનું સમીકરણ $y = 2x + 3$ છે.
વર્તુળના સમીકરણ $x^2 + y^2 + 6x - 4y + 4 = 0$ માં આ કિંમત મૂકતા:
$x^2 + (2x + 3)^2 + 6x - 4(2x + 3) + 4 = 0$
$5x^2 + 10x + 1 = 0$.
મધ્યબિંદુનો $x$-યામ $a$ એ બીજનો સરેરાશ છે: $a = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{-10/5}{2} = -1$.
કારણ કે $(a, b)$ એ જીવા $y = 2x + 3$ પર આવેલું છે,તેથી $b = 2a + 3 = 2(-1) + 3 = 1$.
આમ,$2a + 3b = 2(-1) + 3(1) = -2 + 3 = 1$.

(B) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2-4x-8y+16=0$ છે.
આપેલ જીવાનું મધ્યબિંદુ $(x_1, y_1) = (1,3)$ છે.
મધ્યબિંદુ $(x_1, y_1)$ વાળી જીવાનું સમીકરણ $T = S_1$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $x(1) + y(3) - 2(x+1) - 4(y+3) + 16 = 1^2 + 3^2 - 4(1) - 8(3) + 16$.
$x + 3y - 2x - 2 - 4y - 12 + 16 = 1 + 9 - 4 - 24 + 16$.
$-x - y + 2 = -2$.
$-x - y = -4$,એટલે કે $x + y = 4$.
આ જીવા યામ અક્ષોને $A(0,4)$ અને $B(4,0)$ બિંદુએ છેદે છે.
જીવા અને યામ અક્ષો દ્વારા બનતો ત્રિકોણ કાટકોણ ત્રિકોણ છે,જેમાં પાયો $OB = 4$ અને વેધ $OA = 4$ છે.
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times 4 \times 4 = 8$.

(C) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2-6x-8y+9=0$ છે.
તેનું કેન્દ્ર $C=(3,4)$ અને ત્રિજ્યા $R=\sqrt{3^2+4^2-9}=\sqrt{9+16-9}=\sqrt{16}=4$ છે.
ધારો કે $AB$ એ $2\sqrt{3}$ લંબાઈની જીવા છે. કેન્દ્ર $C(3,4)$ થી જીવા $2x+3y+k=0$ પરના લંબ અંતર $CM$ નું સૂત્ર $CM = \frac{|2(3)+3(4)+k|}{\sqrt{2^2+3^2}} = \frac{|6+12+k|}{\sqrt{4+9}} = \frac{|18+k|}{\sqrt{13}}$ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle ACM$ માં,$AC^2 = CM^2 + AM^2$,જ્યાં $AM = \frac{AB}{2} = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$4^2 = \left(\frac{|18+k|}{\sqrt{13}}\right)^2 + (\sqrt{3})^2$.
$16 = \frac{(18+k)^2}{13} + 3$.
$13 = \frac{(18+k)^2}{13} \Rightarrow (18+k)^2 = 169$.
વર્ગમૂળ લેતા,$18+k = \pm 13$.
કિસ્સો $1$: $18+k = 13 \Rightarrow k = -5$.
કિસ્સો $2$: $18+k = -13 \Rightarrow k = -31$.
આમ,$k$ ની એક કિંમત $-5$ છે.

(A) ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $C(h, k)$ છે. $C$ ત્રીજા ચરણમાં હોવાથી,$h < 0$ અને $k < 0$ છે.
રેખા $AB$ બિંદુઓ $(1, 2)$ અને $(2, 1)$ માંથી પસાર થાય છે. રેખા $AB$ નું સમીકરણ $x + y - 3 = 0$ છે.
$C(h, k)$ નું $AB$ થી અંતર $\frac{|h + k - 3|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{7}{\sqrt{2}}$ છે.
$C$ ત્રીજા ચરણમાં હોવાથી,$h + k - 3 < 0$ છે,તેથી $-(h + k - 3) = 7 \Rightarrow h + k = -4$.
$C$ એ $A(1, 2)$ અને $B(2, 1)$ થી સમાન અંતરે હોવાથી,$CA^2 = CB^2 \Rightarrow (h-1)^2 + (k-2)^2 = (h-2)^2 + (k-1)^2$.
આનાથી $h = k$ મળે છે.
$h = k$ ને $h + k = -4$ માં મૂકતા,$2h = -4 \Rightarrow h = -2, k = -2$ મળે છે. તેથી $C = (-2, -2)$.
ત્રિજ્યા $R = CA = \sqrt{(-2-1)^2 + (-2-2)^2} = 5$ છે.
$P(1, -2)$ નું $C(-2, -2)$ થી અંતર $\sqrt{(1 - (-2))^2 + (-2 - (-2))^2} = 3$ છે.
$3 < 5$ હોવાથી,બિંદુ $P(1, -2)$ વર્તુળ $S$ ની અંદર આવેલું છે.

(D) ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $O(h, k)$ અને ત્રિજ્યા $r$ છે. $L_1$ સ્પર્શક હોવાથી,$(h, k)$ થી $3x - 4y - 8 = 0$ નું લંબ અંતર $r$ છે.
$\frac{|3h - 4k - 8|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = r \Rightarrow |3h - 4k - 8| = 5r$. $L_1$ સ્પર્શક હોવાથી,$r = 2$,તેથી $|3h - 4k - 8| = 10$.
વળી,$(h, k)$ થી $L_2 \equiv x + y - 1 = 0$ નું અંતર $\sqrt{2}$ છે.
$\frac{|h + k - 1|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \sqrt{2} \Rightarrow |h + k - 1| = 2$.
આપેલ છે કે $h^2 + k^2 = 13$. આ સમીકરણો ઉકેલતા,આપણને $(h, k) = (3, 2)$ અથવા $(-2, 3)$ મળે છે.
$(h, k) = (3, 2)$ માટે,જીવા $L_2$ નું મધ્યબિંદુ $(\alpha, \beta)$ એ કેન્દ્ર $(3, 2)$ નો $x + y - 1 = 0$ પરનો પ્રક્ષેપ છે.
$\frac{\alpha - 3}{1} = \frac{\beta - 2}{1} = -\frac{3 + 2 - 1}{1^2 + 1^2} = -\frac{4}{2} = -2$.
$\alpha = 3 - 2 = 1, \beta = 2 - 2 = 0$. તેથી,$\alpha + \beta = 1$.
$r = 2$ આપેલ હોવાથી,$\alpha + \beta + r = 1 + 2 = 3$.

(D) વર્તુળ $S=0$ માટે $(x_1, y_1)$ મધ્યબિંદુ ધરાવતી જીવાનું સમીકરણ $T=S_1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$S = x^2+y^2-9=0$ અને $(x_1, y_1) = (1, 2)$ છે.
$T = x(1) + y(2) - 9 = x+2y-9$.
$S_1 = (1)^2 + (2)^2 - 9 = 1+4-9 = -4$.
$T=S_1$ ને સરખાવતા,આપણને $x+2y-9 = -4$ મળે છે.
તેથી,$x+2y-5=0$.

(A) આપેલ વર્તુળો $S_1: x^2+y^2-4x-6y-3=0$ અને $S_2: x^2+y^2+8x-4y+11=0$ છે.
$x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ સાથે સરખાવતા:
$S_1$ માટે: $g_1 = -2, f_1 = -3, c_1 = -3$.
$S_2$ માટે: $g_2 = 4, f_2 = -2, c_2 = 11$.
બે વર્તુળો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ શોધવાનું સૂત્ર: $\cos \theta = \frac{|2g_1g_2 + 2f_1f_2 - c_1 - c_2|}{2\sqrt{g_1^2+f_1^2-c_1}\sqrt{g_2^2+f_2^2-c_2}}$.
કિંમતો મૂકતા:
અંશ: $|-16 + 12 + 3 - 11| = 12$.
છેદ: $2\sqrt{16}\sqrt{9} = 24$.
તેથી,$\cos \theta = \frac{12}{24} = \frac{1}{2}$.
આમ,$\theta = \frac{\pi}{3}$.