વર્તુળો ${x^2} + {(y - 1)^2} = 9$ અને ${(x - 1)^2} + {y^2} = 25$ ધ્યાનમાં લો. તેઓ એવી રીતે છે કે:

$1$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ $C$ એ સમબાજુ ત્રિકોણ $PQR$ માં અંતઃસ્થિત છે. $C$ ના બાજુઓ $PQ, QR, RP$ સાથેના સ્પર્શબિંદુઓ અનુક્રમે $D, E, F$ છે. રેખા $PQ$ નું સમીકરણ $\sqrt{3}x + y - 6 = 0$ છે અને બિંદુ $D$ એ $\left(\frac{3\sqrt{3}}{2}, \frac{3}{2}\right)$ છે. વધુમાં,આપેલ છે કે ઉગમબિંદુ અને $C$ નું કેન્દ્ર રેખા $PQ$ ની એક જ બાજુએ છે.
$1.$ વર્તુળ $C$ નું સમીકરણ છે
$(A) (x - 2\sqrt{3})^2 + (y - 1)^2 = 1$
$(B) (x - 2\sqrt{3})^2 + (y + \frac{1}{2})^2 = 1$
$(C) (x - \sqrt{3})^2 + (y + 1)^2 = 1$
$(D) (x - \sqrt{3})^2 + (y - 1)^2 = 1$
$2.$ બિંદુઓ $E$ અને $F$ છે
$(A) \left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{3}{2}\right), (\sqrt{3}, 0)$
$(B) \left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right), (\sqrt{3}, 0)$
$(C) \left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{3}{2}\right), \left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right)$
$(D) \left(\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right), \left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right)$
$3.$ બાજુઓ $QR, RP$ ના સમીકરણો છે
$(A) y = \frac{2}{\sqrt{3}}x + 1, y = -\frac{2}{\sqrt{3}}x - 1$
$(B) y = \frac{1}{\sqrt{3}}x, y = 0$
$(C) y = \frac{\sqrt{3}}{2}x + 1, y = -\frac{\sqrt{3}}{2}x - 1$
$(D) y = \sqrt{3}x, y = 0$
પ્રશ્ન $1, 2$ અને $3$ ના જવાબ આપો.

$r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળના વ્યાસ $PR$ ના અંત્યબિંદુઓ આગળના સ્પર્શકો $PQ$ અને $RS$ છે. જો $PS$ અને $RQ$ વર્તુળના પરિઘ પરના બિંદુ $X$ આગળ છેદે,તો $X$ માંથી પસાર થતી અને વ્યાસ $PR$ ને લંબ જીવાની લંબાઈ કેટલી થાય?

ધારો કે ઉગમબિંદુમાંથી વર્તુળ $x^2+y^2-6x-2py+17=0$ પર બે લંબ સ્પર્શકો દોરી શકાય છે,કોઈ વાસ્તવિક $p$ માટે. તો,$|p|$ ની કિંમત કેટલી થાય?

વર્તુળો $x^2+y^2-2x+4y+4=0$ અને $x^2+y^2+4x-2y+1=0$ ના સામાન્ય ત્રાંસા સ્પર્શકની લંબાઈ કેટલી છે?

જો $5$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ $S$ એ વર્તુળ $x^2+y^2-6x-4y-12=0$ ને $(-1,-1)$ બિંદુએ સ્પર્શતું હોય,તો વર્તુળ $S$ ના કેન્દ્રમાંથી આપેલ વર્તુળ પર દોરેલા સ્પર્શકની લંબાઈ શોધો.