Equations of circle Questions in Gujarati

(B) વર્તુળ બિંદુઓ $A(3,4)$,$B(3,2)$ અને $C(1,4)$ માંથી પસાર થાય છે.
અહીં $AB$ એ શિરોલંબ રેખાખંડ $(x=3)$ છે અને $AC$ એ સમક્ષિતિજ રેખાખંડ $(y=4)$ છે,તેથી $A(3,4)$ આગળનો ખૂણો $90^\circ$ છે.
આમ,$BC$ એ વર્તુળનો વ્યાસ છે.
$BC$ નું મધ્યબિંદુ એ કેન્દ્ર $(h, k) = (\frac{3+1}{2}, \frac{2+4}{2}) = (2, 3)$ છે.
ત્રિજ્યા $r$ એ કેન્દ્ર $(2, 3)$ થી $(3, 4)$ સુધીનું અંતર છે:
$r = \sqrt{(3-2)^2 + (4-3)^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.
પ્રાચલ સમીકરણો $x = 2 + \sqrt{2} \cos \theta$ અને $y = 3 + \sqrt{2} \sin \theta$ છે.
$x = a + r \cos \theta$ અને $y = b + r \sin \theta$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 2$,$b = 3$ અને $r = \sqrt{2}$ મળે છે.
તેથી,$b^a \cdot r^a = 3^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 9 \cdot 2 = 18$.

(C) વર્તુળ બંને યામ અક્ષોને સ્પર્શે છે અને $(-6, 3)$ બિંદુમાંથી પસાર થાય છે,તેથી તેનું કેન્દ્ર $(-r, r)$ અને ત્રિજ્યા $r$ છે,જ્યાં $r > 0$.
વર્તુળનું સમીકરણ: $(x+r)^2 + (y-r)^2 = r^2$
$x^2 + 2xr + r^2 + y^2 - 2yr + r^2 = r^2$
$x^2 + y^2 + 2xr - 2yr + r^2 = 0$
બિંદુ $(-6, 3)$ મૂકતા:
$(-6)^2 + (3)^2 + 2(-6)r - 2(3)r + r^2 = 0$
$36 + 9 - 12r - 6r + r^2 = 0$
$r^2 - 18r + 45 = 0$
$(r - 3)(r - 15) = 0$
તેથી,$r = 3$ અથવા $r = 15$.
$r = 3$ માટે,સમીકરણ $x^2 + y^2 + 6x - 6y + 9 = 0$ મળે છે.

(D) ધારો કે વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-g, -f)$ છે.
કેન્દ્ર રેખા $x-y+3=0$ પર હોવાથી,$-g - (-f) + 3 = 0$,એટલે કે $g = f+3$.
વર્તુળ $(1,2)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $2g+4f+c = -5$ (સમીકરણ $1$).
વર્તુળ $(3,4)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $6g+8f+c = -25$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $2$ માંથી $1$ બાદ કરતા: $4g+4f = -20 \implies g+f = -5$ (સમીકરણ $3$).
$g = f+3$ ને સમીકરણ $3$ માં મૂકતા: $2f = -8 \implies f = -4$ અને $g = -1$.
સમીકરણ $1$ માં કિંમતો મૂકતા: $c = 13$.
ત્રિજ્યા $r = \sqrt{g^2+f^2-c} = \sqrt{1+16-13} = \sqrt{4} = 2$.

(A) સમીકરણ $x^2+2x-3=0$ માટે,બીજ $\alpha$ અને $\beta$ છે. વિએટાના સૂત્રો મુજબ,$\alpha+\beta = -2$ અને $\alpha\beta = -3$ થાય.
સમીકરણ $y^2-y-6=0$ માટે,બીજ $\gamma$ અને $\delta$ છે. વિએટાના સૂત્રો મુજબ,$\gamma+\delta = 1$ અને $\gamma\delta = -6$ થાય.
વ્યાસના અંત્યબિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ ધરાવતા વર્તુળનું સમીકરણ $(x-x_1)(x-x_2) + (y-y_1)(y-y_2) = 0$ છે.
આનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $x^2 - (x_1+x_2)x + x_1x_2 + y^2 - (y_1+y_2)y + y_1y_2 = 0$ મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$x^2 - (-2)x + (-3) + y^2 - (1)y + (-6) = 0$ મળે.
આમ,સાદું રૂપ આપતા $x^2 + y^2 + 2x - y - 9 = 0$ મળે છે.

(B) $(1,1), (2,-1),$ અને $(3,2)$ માંથી પસાર થતા વર્તુળનું સમીકરણ:
$\left|\begin{array}{cccc} x^2+y^2 & x & y & 1 \\ 2 & 1 & 1 & 1 \\ 5 & 2 & -1 & 1 \\ 13 & 3 & 2 & 1 \end{array}\right| = 0$
નિશ્ચાયકનું સાદું રૂપ આપતા:
$x^2+y^2-5x-y+4 = 0$
વિકલ્પ $B$ માં આપેલા બિંદુઓ ચકાસતા,તે વર્તુળના સમીકરણનું સમાધાન કરે છે.

(C) ત્રિકોણની બાજુઓના સમીકરણો $2x+3y=10$,$y=x$ અને $y=0$ ($X$-અક્ષ) છે.
શિરોબિંદુઓ શોધવા માટે આ સમીકરણો ઉકેલતા:
$1$. $y=x$ અને $y=0$ નું છેદબિંદુ: $x=0, y=0$. તેથી,$B(0,0)$.
$2$. $2x+3y=10$ અને $y=0$ નું છેદબિંદુ: $2x=10 \Rightarrow x=5$. તેથી,$C(5,0)$.
$3$. $2x+3y=10$ અને $y=x$ નું છેદબિંદુ: $2x+3x=10$ $\Rightarrow 5x=10$ $\Rightarrow x=2, y=2$. તેથી,$A(2,2)$.
ધારો કે પરિવર્તનું સમીકરણ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ છે.
તે $(0,0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $c=0$.
તે $(5,0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $25+10g=0 \Rightarrow g=\frac{-5}{2}$.
તે $(2,2)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $8+4g+4f=0$.
$g=\frac{-5}{2}$ મૂકતા: $8+4(\frac{-5}{2})+4f=0$ $\Rightarrow 8-10+4f=0$ $\Rightarrow 4f=2$ $\Rightarrow f=\frac{1}{2}$.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-g, -f) = (\frac{5}{2}, \frac{-1}{2})$ છે.
ત્રિજ્યા $r = \sqrt{g^2+f^2-c} = \sqrt{(\frac{-5}{2})^2+(\frac{1}{2})^2-0} = \sqrt{\frac{25}{4}+\frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{13}{2}}$.

(A) ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $C(h, k)$ છે.
વર્તુળ ઉગમબિંદુથી $4$ એકમના અંતરે $Y-$અક્ષને સ્પર્શતું હોવાથી,કેન્દ્ર $C(\pm r, 4)$ છે,જ્યાં $r$ એ ત્રિજ્યા છે.
તેથી,વર્તુળનું સમીકરણ $(x \mp r)^2 + (y - 4)^2 = r^2$ છે.
આ વર્તુળ $X-$અક્ષ પર $6$ એકમનો અંતઃખંડ કાપે છે. $X-$અક્ષ પરના અંતઃખંડની લંબાઈ $2\sqrt{r^2 - k^2}$ છે,જ્યાં $k=4$.
આપેલ છે કે $2\sqrt{r^2 - 4^2} = 6$,તેથી $\sqrt{r^2 - 16} = 3$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$r^2 - 16 = 9$,જે $r^2 = 25$ આપે છે,તેથી $r = 5$.
કેન્દ્ર $C(\pm 5, 4)$ છે.
સમીકરણ $(x \mp 5)^2 + (y - 4)^2 = 25$ છે.
આનું વિસ્તરણ કરતા,$x^2 \mp 10x + 25 + y^2 - 8y + 16 = 25$.
$x^2 + y^2 \mp 10x - 8y + 16 = 0$.

(A) આપેલ વર્તુળ: $x^2+y^2-6x+12y+15=0$.
કેન્દ્ર $(3, -6)$ અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{30}$ છે.
આપેલ વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $A = 30\pi$ છે.
નવા વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $60\pi$ છે,તેથી $R^2 = 60$.
નવા વર્તુળનું સમીકરણ: $(x-3)^2 + (y+6)^2 = 60$.
$x^2+y^2-6x+12y-15=0$.

(D) આપેલ વર્તુળ $x^2+y^2-2x-4y-20=0$ છે.
તેનું કેન્દ્ર $(1, 2)$ છે.
ધારો કે માંગેલ વર્તુળનું કેન્દ્ર $(h, k)$ છે અને તેની ત્રિજ્યા $r=5$ છે.
વર્તુળો $(5, 5)$ બિંદુએ સ્પર્શતા હોવાથી,$(5, 5)$ એ કેન્દ્રો $(h, k)$ અને $(1, 2)$ ને જોડતા રેખાખંડનું મધ્યબિંદુ છે.
તેથી,$\frac{h+1}{2} = 5 \Rightarrow h = 9$.
અને $\frac{k+2}{2} = 5 \Rightarrow k = 8$.
માટે,માંગેલ વર્તુળનું સમીકરણ $(x-9)^2 + (y-8)^2 = 5^2$ થશે.
જેનું સાદું રૂપ $x^2 + y^2 - 18x - 16y + 120 = 0$ મળે છે.

(D) વક્ર $y=x^2$ માટે $(2,4)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $\frac{y+4}{2} = 2x$ છે,જે $4x - y - 4 = 0$ થાય છે.
$(2,4)$ આગળ સ્પર્શતા અને $4x - y - 4 = 0$ સ્પર્શક ધરાવતા વર્તુળનું સમીકરણ $(x-2)^2 + (y-4)^2 + \lambda(4x - y - 4) = 0$ છે.
વર્તુળ $(0,1)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $(0-2)^2 + (1-4)^2 + \lambda(0-1-4) = 0$.
આથી $4 + 9 - 5\lambda = 0$,એટલે કે $\lambda = \frac{13}{5}$.
$\lambda$ ની કિંમત મૂકતા,વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 + x(\frac{52}{5} - 4) - y(8 + \frac{13}{5}) + (20 - \frac{52}{5}) = 0$ મળે છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-\frac{1}{2}(\frac{52}{5} - 4), \frac{1}{2}(8 + \frac{13}{5})) = (-\frac{16}{5}, \frac{53}{10})$ છે.

(B) આપેલ પ્રાચલ સમીકરણો:
$x = \frac{2at}{1+t^2}$
$y = \frac{a(1-t^2)}{1+t^2}$
$t = \tan \theta$ લેતા:
$x = a \sin 2\theta$
$y = a \cos 2\theta$
બંને સમીકરણોનો વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા:
$x^2 + y^2 = a^2 \sin^2 2\theta + a^2 \cos^2 2\theta$
$x^2 + y^2 = a^2(\sin^2 2\theta + \cos^2 2\theta)$
$x^2 + y^2 = a^2$
આ $a$ ત્રિજ્યાવાળા વર્તુળનું સમીકરણ છે.
તેથી,$a$ એ વર્તુળની ત્રિજ્યા છે.

(D) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $r=12 \cos \theta+5 \sin \theta$ છે.
$\cos \theta=\frac{x}{r}$ અને $\sin \theta=\frac{y}{r}$ મૂકતા:
$r = 12 \left(\frac{x}{r}\right) + 5 \left(\frac{y}{r}\right)$
$r^2 = 12x + 5y$
કારણ કે $r^2 = x^2 + y^2$,તેથી:
$x^2 + y^2 - 12x - 5y = 0$
આને વ્યાપક સમીકરણ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ સાથે સરખાવતા,$g = -6$ અને $f = -\frac{5}{2}$ મળે છે.
વર્તુળની ત્રિજ્યા $\sqrt{g^2 + f^2 - c}$ દ્વારા મળે છે:
ત્રિજ્યા $= \sqrt{(-6)^2 + \left(-\frac{5}{2}\right)^2 - 0}$
ત્રિજ્યા $= \sqrt{36 + \frac{25}{4}}$
ત્રિજ્યા $= \sqrt{\frac{144 + 25}{4}} = \sqrt{\frac{169}{4}} = \frac{13}{2}$.

(A) આપેલ વર્તુળ $x^2+y^2-6x+12y+15=0$ છે.
$x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ સાથે સરખાવતા,$g=-3, f=6, c=15$ મળે છે.
ત્રિજ્યા $r_1 = \sqrt{g^2+f^2-c} = \sqrt{(-3)^2+6^2-15} = \sqrt{9+36-15} = \sqrt{30}$.
આપેલ વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $A_1 = \pi r_1^2 = 30\pi$ છે.
ધારો કે સમકેન્દ્રી વર્તુળ $x^2+y^2-6x+12y+k=0$ છે.
તેની ત્રિજ્યા $r_2$ માટે $r_2^2 = g^2+f^2-k = 45-k$ થાય.
પ્રશ્ન મુજબ,નવા વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $A_2 = 2A_1 = 60\pi$ છે.
તેથી,$\pi r_2^2 = 60\pi$,જેનો અર્થ છે કે $r_2^2 = 60$.
$r_2^2 = 45-k$ મૂકતા,$45-k = 60$,તેથી $k = -15$.
આમ,વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2-6x+12y-15=0$ છે.

(C) વ્યાસની રેખાઓનું છેદબિંદુ એ વર્તુળનું કેન્દ્ર છે. $2x + y = 7$ અને $x + 3y = 11$ સમીકરણો ઉકેલતા:
પ્રથમ સમીકરણ પરથી,$y = 7 - 2x$.
બીજા સમીકરણમાં મૂકતા: $x + 3(7 - 2x) = 11$ $\Rightarrow x + 21 - 6x = 11$ $\Rightarrow -5x = -10$ $\Rightarrow x = 2$.
તેથી $y = 7 - 2(2) = 3$. આમ,કેન્દ્ર $(h, k) = (2, 3)$ છે.
વર્તુળ $(5, 7)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી ત્રિજ્યા $r$ એ $(2, 3)$ અને $(5, 7)$ વચ્ચેનું અંતર છે:
$r = \sqrt{(5 - 2)^2 + (7 - 3)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = 5$.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ છે:
$(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 5^2$
$x^2 - 4x + 4 + y^2 - 6y + 9 = 25$
$x^2 + y^2 - 4x - 6y - 12 = 0$.

(A) ધારો કે વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2+2gx+2fy=0$ છે કારણ કે તે ઉગમબિંદુ $(0,0)$ માંથી પસાર થાય છે.
$x$-અક્ષ પરનો અંતઃખંડ $2|g|=4$ $\Rightarrow |g|=2$ $\Rightarrow g = \pm 2$ છે.
$y$-અક્ષ પરનો અંતઃખંડ $2|f|=8$ $\Rightarrow |f|=4$ $\Rightarrow f = \pm 4$ છે.
આ કિંમતોને સામાન્ય સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $x^2+y^2 \pm 2(2)x \pm 2(4)y=0$ મળે છે.
આમ,જરૂરી સમીકરણો $x^2+y^2 \pm 4x \pm 8y=0$ છે.

(C) આપેલ રેખાઓ $2x - 3y = 5$ અને $3x - 4y = 7$ વર્તુળના વ્યાસ હોવાથી,તેમનું છેદબિંદુ વર્તુળનું કેન્દ્ર $(h, k)$ થશે.
સમીકરણો ઉકેલતા:
$2x - 3y = 5$ $(i)$
$3x - 4y = 7$ (ii)
સમીકરણ $(i)$ ને $3$ વડે અને (ii) ને $2$ વડે ગુણતા:
$6x - 9y = 15$
$6x - 8y = 14$
બાદબાકી કરતા $y = -1$ મળે છે.
$y = -1$ ને $(i)$ માં મૂકતા: $2x - 3(-1) = 5$ $\Rightarrow 2x + 3 = 5$ $\Rightarrow x = 1$.
તેથી,કેન્દ્ર $(1, -1)$ અને ત્રિજ્યા $r = 7$ છે.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ મુજબ:
$(x - 1)^2 + (y + 1)^2 = 7^2$
$x^2 - 2x + 1 + y^2 + 2y + 1 = 49$
$x^2 + y^2 - 2x + 2y - 47 = 0$.

(A) આપેલ છે,ત્રિજ્યા $r = 3$.
વર્તુળ ચોથા ચરણમાં છે અને બંને અક્ષોને સ્પર્શે છે,તેથી તેનું કેન્દ્ર $(h, k) = (3, -3)$ થશે.
વર્તુળનું પ્રમાણિત સમીકરણ $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$(x-3)^2 + (y+3)^2 = 3^2$.
$(x-3)^2 + (y+3)^2 = 9$.
વિસ્તરણ કરતા: $(x^2 - 6x + 9) + (y^2 + 6y + 9) = 9$.
$x^2 + y^2 - 6x + 6y + 18 = 9$.
$x^2 + y^2 - 6x + 6y + 9 = 0$.

(C) કેન્દ્ર $(h, k)$ ના કાર્તેઝિયન યામ $h = r_0 \cos \theta_0$ અને $k = r_0 \sin \theta_0$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $(r_0, \theta_0) = (2, \frac{\pi}{2})$ છે.
આમ,$h = 2 \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$ અને $k = 2 \sin(\frac{\pi}{2}) = 2$ થાય.
કેન્દ્ર $(0, 2)$ છે અને ત્રિજ્યા $a = 3$ છે.
વર્તુળનું કાર્તેઝિયન સમીકરણ $(x - h)^2 + (y - k)^2 = a^2$ છે,જે $(x - 0)^2 + (y - 2)^2 = 3^2$ બને છે.
આનું સાદું રૂપ $x^2 + y^2 - 4y + 4 = 9$ અથવા $x^2 + y^2 - 4y = 5$ થાય છે.
ધ્રુવીય રૂપાંતરણો $x^2 + y^2 = r^2$ અને $y = r \sin \theta$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણને મળે છે:
$r^2 - 4(r \sin \theta) = 5$.
તેથી,ધ્રુવીય સમીકરણ $r^2 - 4r \sin \theta = 5$ છે.

(A) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $r = \sqrt{3} \sin \theta + \cos \theta$ છે.
બંને બાજુ $r$ વડે ગુણતા,આપણને $r^2 = \sqrt{3} (r \sin \theta) + (r \cos \theta)$ મળે છે.
ધ્રુવીયથી કાર્તેઝિયન રૂપાંતરણ $x = r \cos \theta$ અને $y = r \sin \theta$ તથા $r^2 = x^2 + y^2$ નો ઉપયોગ કરતા,સમીકરણ નીચે મુજબ બને છે:
$x^2 + y^2 = x + \sqrt{3} y$.
પદોને ગોઠવતા,$x^2 - x + y^2 - \sqrt{3} y = 0$.
આને સામાન્ય સ્વરૂપ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ સાથે સરખાવતા,$2g = -1 \Rightarrow g = -\frac{1}{2}$ અને $2f = -\sqrt{3} \Rightarrow f = -\frac{\sqrt{3}}{2}$,જ્યાં $c = 0$.
ત્રિજ્યા $\sqrt{g^2 + f^2 - c} = \sqrt{(-\frac{1}{2})^2 + (-\frac{\sqrt{3}}{2})^2 - 0}$ દ્વારા મળે છે.
ત્રિજ્યા $= \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}} = \sqrt{1} = 1$.

(C) આપેલ વર્તુળનું ધ્રુવીય સમીકરણ $r^2-4r(\cos \theta+\sin \theta)-4=0$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $x=r \cos \theta$,$y=r \sin \theta$,અને $r^2=x^2+y^2$.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$x^2+y^2-4(x+y)-4=0$
$x^2+y^2-4x-4y-4=0$
આને વર્તુળના સામાન્ય સમીકરણ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $2g=-4 \Rightarrow g=-2$ અને $2f=-4 \Rightarrow f=-2$ મળે છે.
તેથી,વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-g, -f) = (2, 2)$ છે.

(B) રેખાનું સમીકરણ $3x - 2y + 6 = 0$ છે.
$X$-અંતઃખંડ $(A)$ શોધવા માટે,$y = 0$ મૂકતા: $3x + 6 = 0 \Rightarrow x = -2$. તેથી,$A = (-2, 0)$.
$Y$-અંતઃખંડ $(B)$ શોધવા માટે,$x = 0$ મૂકતા: $-2y + 6 = 0 \Rightarrow y = 3$. તેથી,$B = (0, 3)$.
ત્રિજ્યા $r = AB = \sqrt{(0 - (-2))^2 + (3 - 0)^2} = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$.
કેન્દ્ર $(h, k) = (-2, 0)$ અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{13}$ ધરાવતા વર્તુળનું સમીકરણ $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ છે.
$(x - (-2))^2 + (y - 0)^2 = (\sqrt{13})^2$
$(x + 2)^2 + y^2 = 13$
$x^2 + 4x + 4 + y^2 = 13$
$x^2 + y^2 + 4x - 9 = 0$.

(B) ધારો કે વર્તુળની ત્રિજ્યા $r$ છે. વર્તુળ પ્રથમ ચરણમાં છે અને બંને યામ અક્ષોને સ્પર્શે છે,તેથી તેનું કેન્દ્ર $(r, r)$ થાય.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x - r)^2 + (y - r)^2 = r^2$ છે.
વર્તુળ રેખા $4x + 3y - 12 = 0$ ને સ્પર્શે છે. કેન્દ્ર $(r, r)$ થી રેખાનું લંબ અંતર ત્રિજ્યા $r$ જેટલું હોવું જોઈએ:
$\frac{|4r + 3r - 12|}{\sqrt{4^2 + 3^2}} = r$
$\frac{|7r - 12|}{5} = r$
આનાથી બે કિસ્સા મળે છે:
$1) 7r - 12 = 5r$ $\Rightarrow 2r = 12$ $\Rightarrow r = 6$
$2) 7r - 12 = -5r$ $\Rightarrow 12r = 12$ $\Rightarrow r = 1$
આપણે મોટા વર્તુળની ત્રિજ્યા શોધવાની હોવાથી,ત્રિજ્યા $6$ છે.

(B) વર્તુળ ત્રીજા ચરણમાં બંને યામ અક્ષોને સ્પર્શે છે,તેથી તેનું કેન્દ્ર બંને અક્ષોથી ઋણ દિશામાં $5$ એકમ દૂર હોવું જોઈએ.
તેથી,વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-5, -5)$ છે.
વર્તુળની ત્રિજ્યા $r = 5$ આપેલી છે.
કેન્દ્ર $(h, k)$ અને ત્રિજ્યા $r$ ધરાવતા વર્તુળનું પ્રમાણિત સમીકરણ $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$ છે.
$h = -5$,$k = -5$,અને $r = 5$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$(x - (-5))^2 + (y - (-5))^2 = 5^2$
$(x+5)^2 + (y+5)^2 = 25$.

(A) બિંદુઓ $(1, 1)$ અને $(2, 0)$ વર્તુળ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ પર આવેલા છે.
$(1, 1)$ મૂકતા: $1 + 1 + 2g + 2f + c = 0 \Rightarrow 2g + 2f + c = -2$ ...$(i)$
$(2, 0)$ મૂકતા: $4 + 0 + 4g + 0 + c = 0 \Rightarrow 4g + c = -4$ ...$(ii)$
$(ii)$ માંથી $(i)$ બાદ કરતા: $(4g + c) - (2g + 2f + c) = -4 - (-2)$ $\Rightarrow 2g - 2f = -2$ $\Rightarrow f = g + 1$.
$(ii)$ પરથી,$c = -4 - 4g$.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-g, -f) = (-g, -(g + 1))$ છે અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{g^2 + f^2 - c} = \sqrt{2g^2 + 6g + 5}$ છે.
કેન્દ્ર $(-g, -g - 1)$ થી રેખા $3x - y - 1 = 0$ નું અંતર ત્રિજ્યા $r$ જેટલું છે:
$\left|\frac{3(-g) - (-g - 1) - 1}{\sqrt{3^2 + (-1)^2}}\right| = r$ $\Rightarrow \left|\frac{-2g}{\sqrt{10}}\right| = \sqrt{2g^2 + 6g + 5}$.
$\frac{4g^2}{10} = 2g^2 + 6g + 5 \Rightarrow 8g^2 + 30g + 25 = 0$.
$(4g + 5)(2g + 5) = 0 \Rightarrow g = -\frac{5}{4}$ અથવા $g = -\frac{5}{2}$.

(A) $(3, -7)$ અને $(-5, 3)$ ને જોડતા રેખાખંડના ત્રિભાજન બિંદુઓ $P$ અને $Q$ છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$P = \left( \frac{1}{3}, -\frac{11}{3} \right)$
$Q = \left( -\frac{7}{3}, -\frac{1}{3} \right)$
$PQ$ એ $R$ પર $90^{\circ}$ નો ખૂણો આંતરે છે,તેથી $PQ$ એ વર્તુળનો વ્યાસ છે.
વર્તુળનું સમીકરણ: $(x - \frac{1}{3})(x + \frac{7}{3}) + (y + \frac{11}{3})(y + \frac{1}{3}) = 0$
$x^2 + y^2 + 2x + 4y + \frac{4}{9} = 0$
ત્રિજ્યા $= \sqrt{1^2 + 2^2 - \frac{4}{9}} = \frac{\sqrt{41}}{3}$.

(B) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ છે।
વર્તુળ ધન $X$ અને $Y$ અક્ષને સ્પર્શતું હોવાથી, તેનું કેન્દ્ર $(r, r)$ અને ત્રિજ્યા $r$ હશે, જ્યાં $r > 0$.
તેથી, સમીકરણ $(x - r)^2 + (y - r)^2 = r^2$ બને છે, જેનું સાદું રૂપ $x^2 + y^2 - 2rx - 2ry + r^2 = 0$ થાય છે।
$x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ સાથે સરખાવતા, આપણને $g = -r$ અને $f = -r$ મળે છે।
બિંદુ $(2, 4)$ વર્તુળ પર હોવાથી, આપણે તેને સમીકરણમાં મૂકીએ:
$(2 - r)^2 + (4 - r)^2 = r^2$
$4 - 4r + r^2 + 16 - 8r + r^2 = r^2$
$r^2 - 12r + 20 = 0$
$(r - 10)(r - 2) = 0$
તેથી, બે શક્ય ત્રિજ્યાઓ $r_1 = 10$ અને $r_2 = 2$ છે।
બે વર્તુળોના ક્ષેત્રફળ $A_1 = \pi(10)^2 = 100\pi$ અને $A_2 = \pi(2)^2 = 4\pi$ છે।
તેમના ક્ષેત્રફળનો તફાવત $100\pi - 4\pi = 96\pi$ છે।

(B) આપેલ વર્તુળનું ધ્રુવીય સમીકરણ $r^2-8r(\sqrt{3} \cos \theta + \sin \theta) + 15 = 0$ છે.
$r \cos \theta = x$ અને $r \sin \theta = y$ મૂકતા,અને $r^2 = x^2 + y^2$ હોવાથી,સમીકરણ નીચે મુજબ બને છે:
$x^2 + y^2 - 8(\sqrt{3}x + y) + 15 = 0$
$x^2 + y^2 - 8\sqrt{3}x - 8y + 15 = 0$.
આને વર્તુળના સામાન્ય સમીકરણ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ સાથે સરખાવતા,$g = -4\sqrt{3}$,$f = -4$,અને $c = 15$ મળે છે.
ત્રિજ્યા $R = \sqrt{g^2 + f^2 - c}$ દ્વારા મળે છે.
$R = \sqrt{(-4\sqrt{3})^2 + (-4)^2 - 15} = \sqrt{48 + 16 - 15} = \sqrt{49} = 7$.

(A) વર્તુળનું સમીકરણ શોધવા માટે,આપણે ધ્રુવીય યામોને કાર્તેઝિયન યામોમાં ફેરવીએ છીએ,જ્યાં $x = r \cos \theta$,$y = r \sin \theta$ અને $r^2 = x^2 + y^2$ છે.
વિકલ્પ $A$ માટે: $r = 2 \sin \theta$.
બંને બાજુ $r$ વડે ગુણતા,$r^2 = 2r \sin \theta$ મળે.
$r^2 = x^2 + y^2$ અને $r \sin \theta = y$ મૂકતા,$x^2 + y^2 = 2y$ મળે.
આ સમીકરણ $x^2 + (y - 1)^2 = 1$ તરીકે લખી શકાય,જે એક વર્તુળ દર્શાવે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $x^{2} - 10x + y^{2} + 21 = 0$.
$x$ ના વાસ્તવિક બીજ માટે,વિવેચક $D \geq 0$ હોવો જોઈએ.
સમીકરણને $x$ માં દ્વિઘાત તરીકે લેતા: $x^{2} - 10x + (y^{2} + 21) = 0$.
$D = (-10)^{2} - 4(1)(y^{2} + 21) \geq 0$.
$100 - 4y^{2} - 84 \geq 0$ $\Rightarrow 16 - 4y^{2} \geq 0$ $\Rightarrow y^{2} \leq 4$.
તેથી,$-2 \leq y \leq 2$.
તે જ રીતે,$y$ ના વાસ્તવિક બીજ માટે,સમીકરણને $y$ માં દ્વિઘાત તરીકે લેતા: $y^{2} + (x^{2} - 10x + 21) = 0$.
કારણ કે $y^{2} = -x^{2} + 10x - 21$,$y$ વાસ્તવિક હોવા માટે $y^{2} \geq 0$.
$-x^{2} + 10x - 21 \geq 0 \Rightarrow x^{2} - 10x + 21 \leq 0$.
$(x-7)(x-3) \leq 0 \Rightarrow 3 \leq x \leq 7$.

(A) ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $(a, 0)$ છે જ્યાં $a > 0$ છે કારણ કે તે $x$-અક્ષની ધન બાજુ પર છે.
આપેલ ત્રિજ્યા $r = \sqrt{17}$ હોવાથી,વર્તુળનું સમીકરણ $(x - a)^{2} + (y - 0)^{2} = r^{2}$ થશે.
કિંમતો મૂકતા,$(x - a)^{2} + y^{2} = 17$ મળે.
વર્તુળ $(0, 1)$ બિંદુમાંથી પસાર થાય છે,તેથી $x = 0$ અને $y = 1$ મૂકતા:
$(0 - a)^{2} + 1^{2} = 17$
$a^{2} + 1 = 17$
$a^{2} = 16$
$a > 0$ હોવાથી,$a = 4$ મળે.
$a = 4$ ને વર્તુળના સમીકરણમાં મૂકતા:
$(x - 4)^{2} + y^{2} = 17$
$x^{2} - 8x + 16 + y^{2} = 17$
$x^{2} + y^{2} - 8x - 1 = 0$.

(C) બિંદુઓ $(2,0)$,$(0,3)$,અને $(0,0)$ ઉગમબિંદુ $(0,0)$ પર કાટકોણ ત્રિકોણ બનાવે છે કારણ કે $x$-અક્ષ અને $y$-અક્ષ વચ્ચેનો ખૂણો $90^{\circ}$ છે.
$(2,0)$ અને $(0,3)$ ને જોડતા રેખાખંડ દ્વારા $(0,0)$ આગળ બનતો ખૂણો $90^{\circ}$ હોવાથી,આ રેખાખંડ વર્તુળનો વ્યાસ છે.
વ્યાસના અંત્યબિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ હોય તેવા વર્તુળનું સમીકરણ $(x-x_1)(x-x_2) + (y-y_1)(y-y_2) = 0$ છે.
$(2,0)$ અને $(0,3)$ બિંદુઓ મૂકતા,આપણને મળે:
$(x-2)(x-0) + (y-0)(y-3) = 0$
$x^2 - 2x + y^2 - 3y = 0$
$x^2 + y^2 - 2x - 3y = 0$
બિંદુ $(2k, 3k)$ આ વર્તુળ પર આવેલું હોવાથી,તે સમીકરણનું સમાધાન કરશે:
$(2k)^2 + (3k)^2 - 2(2k) - 3(3k) = 0$
$4k^2 + 9k^2 - 4k - 9k = 0$
$13k^2 - 13k = 0$
$13k(k - 1) = 0$
આથી $k = 0$ અથવા $k = 1$ મળે.
જો $k = 0$ હોય,તો બિંદુ $(2k, 3k)$ એ $(0,0)$ બને,જે આપેલ બિંદુ $(0,0)$ થી ભિન્ન નથી.
તેથી,ચાર બિંદુઓ ભિન્ન રહે તે માટે $k = 1$ હોવું જોઈએ.

(C) ધારો કે વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ છે.
વર્તુળ ઉગમબિંદુ $(0,0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $c = 0$.
તે $(2,6)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $4 + 36 + 4g + 12f = 0$,જે $g + 3f = -10$ માં પરિણમે છે.
તે $(6,2)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $36 + 4 + 12g + 4f = 0$,જે $3g + f = -10$ માં પરિણમે છે.
સમીકરણો $g + 3f = -10$ અને $3g + f = -10$ ને ઉકેલતા,આપણને $g = f = -2.5$ મળે છે.
વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 - 5x - 5y = 0$ છે.
$x$-અક્ષ સાથેના છેદબિંદુ માટે,$y = 0$ મૂકતા: $x^2 - 5x = 0$,જે $x(x - 5) = 0$ આપે છે.
આમ,છેદબિંદુઓ $(0,0)$ અને $(5,0)$ છે.
$P \neq (0,0)$ હોવાથી,$P$ એ $(5,0)$ છે.
$OP$ ની લંબાઈ $5$ છે.

(B) સમબાજુ ત્રિકોણમાં,અંતઃકેન્દ્ર,મધ્યકેન્દ્ર,પરિકેન્દ્ર અને લંબકેન્દ્ર એક જ બિંદુ પર હોય છે. ધારો કે અંતઃકેન્દ્ર $G(1, 1)$ છે.
અંતઃકેન્દ્ર $G(1, 1)$ થી બાજુ $3x + 4y + 3 = 0$ નું લંબ અંતર એ અંતઃત્રિજ્યા $r$ છે:
$r = \frac{|3(1) + 4(1) + 3|}{\sqrt{3^{2} + 4^{2}}} = \frac{|3 + 4 + 3|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{10}{5} = 2$.
સમબાજુ ત્રિકોણમાં,પરિત્રિજ્યા $R$ એ અંતઃત્રિજ્યા $r$ કરતા બમણી હોય છે. તેથી,$R = 2r = 2(2) = 4$.
પરિવર્તુળનું કેન્દ્ર $(1, 1)$ અને ત્રિજ્યા $R = 4$ છે.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} = 4^{2}$ થશે.
$x^{2} - 2x + 1 + y^{2} - 2y + 1 = 16$.
$x^{2} + y^{2} - 2x - 2y + 2 = 16$.
$x^{2} + y^{2} - 2x - 2y - 14 = 0$.

(A) ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $(r, r)$ છે કારણ કે તે પ્રથમ ચરણમાં છે અને અક્ષો પર સમાન અંતઃખંડ કાપે છે.
વર્તુળ યામ અક્ષોને બરાબર ત્રણ બિંદુઓમાં છેદે તે માટે,તે ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ માંથી પસાર થવું જોઈએ અને તેનું સમીકરણ $(x-r)^2 + (y-r)^2 = r^2$ થાય.
આનું વિસ્તરણ કરતા,$x^2 + y^2 - 2rx - 2ry + r^2 = 0$ મળે.
કેન્દ્ર $(r, r)$ થી રેખા $x + y - 1 = 0$ નું અંતર $d = \frac{|2r - 1|}{\sqrt{2}}$ છે.
જીવાની લંબાઈ $\sqrt{14}$ હોવાથી,$2\sqrt{r^2 - d^2} = \sqrt{14}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$4(r^2 - d^2) = 14$,એટલે કે $r^2 - d^2 = 3.5$.
$d^2 = \frac{(2r-1)^2}{2}$ મૂકતા,$r^2 - \frac{4r^2 - 4r + 1}{2} = 3.5$.
આ સમીકરણ ઉકેલતા $r=3$ મળે છે,તેથી $r^2 = 9$.