Chord of contact of tangent and common chord Questions in Gujarati

(A) સામાન્ય જીવાનું સમીકરણ $S_1 - S_2 = 0$ દ્વારા મળે છે.
$(x^2+y^2+2x+2y+1) - (x^2+y^2+\alpha x+3y+2) = 0$
$(2-\alpha)x - y - 1 = 0$.
પ્રથમ વર્તુળ $x^2+y^2+2x+2y+1=0$ માટે,કેન્દ્ર $(-1, -1)$ છે અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2 - 1} = 1$ છે.
કેન્દ્ર $(-1, -1)$ થી સામાન્ય જીવા $(2-\alpha)x - y - 1 = 0$ પરના લંબ અંતર $p$ માટે:
$p = \frac{|(2-\alpha)(-1) - (-1) - 1|}{\sqrt{(2-\alpha)^2 + (-1)^2}} = \frac{|\alpha-2+1-1|}{\sqrt{(2-\alpha)^2+1}} = \frac{|\alpha-2|}{\sqrt{\alpha^2-4\alpha+5}}$.
સામાન્ય જીવાની લંબાઈ $2\sqrt{r^2-p^2} = \frac{2}{\sqrt{5}}$ છે.
તેથી,$\sqrt{r^2-p^2} = \frac{1}{\sqrt{5}} \Rightarrow r^2-p^2 = \frac{1}{5}$.
કારણ કે $r=1$,આપણને $1 - p^2 = \frac{1}{5} \Rightarrow p^2 = \frac{4}{5}$ મળે છે.
$\frac{(\alpha-2)^2}{\alpha^2-4\alpha+5} = \frac{4}{5} \Rightarrow 5(\alpha^2-4\alpha+4) = 4(\alpha^2-4\alpha+5)$.
$5\alpha^2-20\alpha+20 = 4\alpha^2-16\alpha+20$.
$\alpha^2 - 4\alpha = 0 \Rightarrow \alpha(\alpha-4) = 0$.
$\alpha \neq 0$ હોવાથી,$\alpha = 4$ મળે છે.

(A) આપેલ વર્તુળો:
$S_1: x^2+y^2-6x-4y+13-c^2=0$
$S_2: x^2+y^2-4x-6y+13-c^2=0$
કેન્દ્રો $C_1(3,2)$ અને $C_2(2,3)$ છે અને ત્રિજ્યા $r_1=r_2=c$ છે.
સામાન્ય જીવાનું સમીકરણ $S_1-S_2=0$ દ્વારા મળે છે:
$(x^2+y^2-6x-4y+13-c^2)-(x^2+y^2-4x-6y+13-c^2)=0$
$-2x+2y=0 \Rightarrow x-y=0$.
ધારો કે $M$ એ સામાન્ય જીવા $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે. $C_1M$ એ $C_1(3,2)$ થી રેખા $x-y=0$ પરનું લંબ અંતર છે:
$C_1M = \frac{|3-2|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$\triangle AC_1M$ માં,$AM^2 = AC_1^2 - C_1M^2 = c^2 - (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = c^2 - \frac{1}{2}$.
$AM = \sqrt{c^2 - \frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{4c^2-2}}{2}$.
સામાન્ય જીવાની લંબાઈ $AB = 2AM = 2 \times \frac{\sqrt{4c^2-2}}{2} = \sqrt{4c^2-2}$.

(B) વર્તુળોના સમીકરણો:
$S_1: x^2+y^2-2ax=0$
$S_2: x^2+y^2-2by=0$
સામાન્ય જીવાનું સમીકરણ $S_1 - S_2 = 0$ દ્વારા મળે છે:
$(x^2+y^2-2ax) - (x^2+y^2-2by) = 0$
$-2ax + 2by = 0$
$ax - by = 0$
વર્તુળ $S_1$ નું કેન્દ્ર $C_1(a, 0)$ છે અને તેની ત્રિજ્યા $r_1 = a$ છે.
કેન્દ્ર $C_1(a, 0)$ થી સામાન્ય જીવા $ax - by = 0$ પરના લંબનું અંતર $d$:
$d = \frac{|a(a) - b(0)|}{\sqrt{a^2 + (-b)^2}} = \frac{a^2}{\sqrt{a^2+b^2}}$
સામાન્ય જીવાની લંબાઈ $2\sqrt{r_1^2 - d^2}$ છે:
$= 2\sqrt{a^2 - \left(\frac{a^2}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)^2}$
$= 2\sqrt{a^2 - \frac{a^4}{a^2+b^2}}$
$= 2\sqrt{\frac{a^2(a^2+b^2) - a^4}{a^2+b^2}}$
$= 2\sqrt{\frac{a^4 + a^2b^2 - a^4}{a^2+b^2}}$
$= 2\sqrt{\frac{a^2b^2}{a^2+b^2}}$
$= \frac{2ab}{\sqrt{a^2+b^2}}$

(D) આપેલ વર્તુળોના સમીકરણો:
$x^2+y^2-4y=0$ $(1)$
$x^2+y^2-8x-4y+11=0$ $(2)$
સમીકરણ $(2)$ માંથી $(1)$ બાદ કરતા,સામાન્ય જીવાનું સમીકરણ મળે છે:
$(x^2+y^2-8x-4y+11) - (x^2+y^2-4y) = 0$
$-8x+11=0$ $\Rightarrow 8x=11$ $\Rightarrow x=\frac{11}{8}$
પ્રથમ વર્તુળ $x^2+y^2-4y=0$ માટે,કેન્દ્ર $C(0, 2)$ અને ત્રિજ્યા $r = 2$ છે.
કેન્દ્ર $(0, 2)$ થી રેખા $x = \frac{11}{8}$ નું લંબ અંતર $d = |0 - \frac{11}{8}| = \frac{11}{8}$ છે.
જીવાની લંબાઈ $L = 2\sqrt{r^2 - d^2}$
$L = 2\sqrt{2^2 - (\frac{11}{8})^2} = 2\sqrt{4 - \frac{121}{64}} = 2\sqrt{\frac{135}{64}} = \frac{\sqrt{135}}{4} \text{ એકમ}$.

(C) ધારો કે બે વર્તુળોની ત્રિજ્યા $r_1 = 15$ અને $r_2 = 20$ છે. તેમના કેન્દ્રો $C_1$ અને $C_2$ વચ્ચેનું અંતર $d = 25$ છે.
અહીં $r_1^2 + r_2^2 = 15^2 + 20^2 = 225 + 400 = 625 = 25^2 = d^2$ થાય છે.
કેન્દ્ર વચ્ચેના અંતરનો વર્ગ એ ત્રિજ્યાઓના વર્ગોના સરવાળા જેટલો હોવાથી,$\triangle AC_1C_2$ એ કાટકોણ ત્રિકોણ છે જ્યાં $\angle C_1AC_2 = 90^\circ$ છે.
સામાન્ય જીવા $AB$ એ કેન્દ્રોને જોડતી રેખા $C_1C_2$ ને લંબ છે. ધારો કે છેદબિંદુ $D$ છે.
$\triangle AC_1C_2$ માં,કર્ણ $C_1C_2$ પરનો વેધ $AD$ એ સામાન્ય જીવાની લંબાઈના અડધા જેટલો છે.
ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળ પરથી: $\text{Area} = \frac{1}{2} \times r_1 \times r_2 = \frac{1}{2} \times d \times AD$.
$15 \times 20 = 25 \times AD$.
$AD = \frac{300}{25} = 12$.
તેથી,સામાન્ય જીવાની લંબાઈ $= 2 \times AD = 2 \times 12 = 24$ એકમ.

(A) ધારો કે ઉગમબિંદુ $(0,0)$ માંથી પસાર થતા ચલ વર્તુળ $S=0$ નું સમીકરણ $x^2+y^2+2gx+2fy=0$ છે.
વર્તુળ રેખા $x-y=0$ ને સ્પર્શતું હોવાથી,કેન્દ્ર $(-g, -f)$ થી રેખાનું લંબ અંતર ત્રિજ્યા $\sqrt{g^2+f^2}$ જેટલું થાય.
$\frac{|-g+f|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}} = \sqrt{g^2+f^2} \Rightarrow \frac{(g-f)^2}{2} = g^2+f^2$.
$g^2+f^2-2gf = 2g^2+2f^2$ $\Rightarrow g^2+f^2+2gf = 0$ $\Rightarrow (g+f)^2 = 0$ $\Rightarrow f = -g$.
$f = -g$ ને વર્તુળના સમીકરણમાં મૂકતા,$S = x^2+y^2+2gx-2gy = 0$ મળે.
$S=0$ અને $x^2+y^2+6x+8y-7=0$ ની સામાન્ય જીવાનું સમીકરણ $S_1 - S_2 = 0$ દ્વારા મળે છે.
$(x^2+y^2+2gx-2gy) - (x^2+y^2+6x+8y-7) = 0$.
$(2g-6)x - (2g+8)y + 7 = 0$.
$2g(x-y) - (6x+8y-7) = 0$.
આ રેખાઓની સંહતિ દર્શાવે છે જે $x-y=0$ અને $6x+8y-7=0$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થાય છે.
આ સમીકરણો ઉકેલતા: $x=y$,તેથી $6x+8x-7=0$ $\Rightarrow 14x=7$ $\Rightarrow x=\frac{1}{2}$.
આમ,નિશ્ચિત બિંદુ $\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$ છે.

(B) વર્તુળોના સમીકરણો $S_1 \equiv x^2+y^2+2x+3y+1=0$ અને $S_2 \equiv x^2+y^2+4x+3y+2=0$ છે.
વર્તુળો $A$ અને $B$ માં છેદતા હોવાથી,સામાન્ય જીવા $AB$ નું સમીકરણ $S_1 - S_2 = 0$ થાય.
$(x^2+y^2+2x+3y+1) - (x^2+y^2+4x+3y+2) = 0$
$-2x - 1 = 0 \Rightarrow x = -\frac{1}{2}$.
$AB$ ને વ્યાસ તરીકે ધરાવતા વર્તુળનું સમીકરણ $2x^2+2y^2+2x+6y+1 = 0$ મળે છે.

(C) બે વર્તુળોની રેડિકલ અક્ષ તેમના તમામ સામાન્ય સ્પર્શકોને દુભાગે છે.
પ્રથમ,$A(1, 1)$ અને $B(0, 1)$ નું મધ્યબિંદુ $M$ શોધો:
$M = \left(\frac{1}{2}, 1\right)$.
ત્યારબાદ,$C\left(\frac{3}{5}, \frac{4}{5}\right)$ અને $D\left(-\frac{1}{5}, \frac{7}{5}\right)$ નું મધ્યબિંદુ $N$ શોધો:
$N = \left(\frac{1}{5}, \frac{11}{10}\right)$.
રેડિકલ અક્ષ $M$ અને $N$ માંથી પસાર થાય છે. રેખા $MN$ નો ઢાળ $m$:
$m = -\frac{1}{3}$.
રેખા $MN$ નું સમીકરણ:
$y - 1 = -\frac{1}{3}\left(x - \frac{1}{2}\right)$
$2x + 6y = 7$.

(A) આપેલ વર્તુળ $S^{\prime} \equiv x^2+y^2-2x+2y-7=0$ છે.
કેન્દ્ર $C_1(1, -1)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = 3$ છે.
રેખાઓ $5x^2-xy-5x+y=0$ એટલે કે $(x-1)(5x-y)=0$ છે.
તેથી,$S=0$ નું કેન્દ્ર $C_2(1, 5)$ છે.
બહારથી સ્પર્શતા હોવાથી,$C_1C_2 = r_1 + r_2$ $\Rightarrow 6 = 3 + r_2$ $\Rightarrow r_2 = 3$.
$S=0$ નું સમીકરણ: $(x-1)^2 + (y-5)^2 = 9 \Rightarrow x^2 + y^2 - 2x - 10y + 17 = 0$.
$C_1(1, -1)$ માટે સ્પર્શક જીવાનું સમીકરણ $T=0$ છે.
$x(1) + y(-1) - 1(x+1) - 5(y-1) + 17 = 0$.
$-6y + 21 = 0 \Rightarrow 2y-7=0$.

(C) બે વર્તુળો $S_1 = 0$ અને $S_2 = 0$ ની સામાન્ય જીવાનું સમીકરણ $S_1 - S_2 = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જો $x^2$ અને $y^2$ ના સહગુણકો સમાન હોય.
આપેલ $S_1 = px^2 + py^2 + 2g'x + 2f'y + d = 0$ ને $p$ વડે ભાગતા:
$\frac{S_1}{p} = x^2 + y^2 + \frac{2g'}{p}x + \frac{2f'}{p}y + \frac{d}{p} = 0$.
હવે,સામાન્ય જીવાનું સમીકરણ $\frac{S_1}{p} - S_2 = 0$ થાય.
$p$ વડે ગુણતા,આપણને $S_1 - pS_2 = 0$ મળે છે.

(D) આપેલ વર્તુળોના સમીકરણો $x^{2}+y^{2}-4x-4y=0$ અને $2x^{2}+2y^{2}=32$ છે.
બીજા સમીકરણને સાદું રૂપ આપતા,$x^{2}+y^{2}=16$ મળે છે.
સામાન્ય જીવાનું સમીકરણ બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરવાથી મળે છે: $(x^{2}+y^{2}-4x-4y) - (x^{2}+y^{2}-16) = 0$.
આથી $-4x-4y+16=0$,એટલે કે $x+y=4$ મળે છે.
ધારો કે ઉગમબિંદુ $O(0,0)$ છે. વર્તુળ $x^{2}+y^{2}-4x-4y=0$ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થાય છે.
પ્રથમ વર્તુળનું કેન્દ્ર $C(2,2)$ છે અને ત્રિજ્યા $r = 2\sqrt{2}$ છે.
કેન્દ્ર $C(2,2)$ થી રેખા $x+y-4=0$ નું લંબ અંતર $d = \frac{|2+2-4|}{\sqrt{1^{2}+1^{2}}} = 0$ છે.
આમ,સામાન્ય જીવા એ પ્રથમ વર્તુળનો વ્યાસ છે.
વર્તુળનો વ્યાસ પરિઘ પરના કોઈપણ બિંદુ આગળ કાટખૂણો આંતરે છે. તેથી,ઉગમબિંદુ આગળ આંતરેલો ખૂણો $\frac{\pi}{2}$ છે.

(C) આપેલ વર્તુળોના સમીકરણો:
$C_{1}: x^{2}+y^{2}=4$ (કેન્દ્ર $C_{1} = (0,0)$,ત્રિજ્યા $r_{1} = 2$)
$C_{2}: (x-2)^{2}+y^{2}=1$ (કેન્દ્ર $C_{2} = (2,0)$,ત્રિજ્યા $r_{2} = 1$)
ધારો કે $N$ એ સામાન્ય જીવા $PQ$ અને કેન્દ્રોને જોડતી રેખા $C_{1}C_{2}$ નું છેદબિંદુ છે.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા:
$(x^{2}+y^{2}) - ((x-2)^{2}+y^{2}) = 4 - 1$
$4x - 4 = 3 \implies x = \frac{7}{4}$
$N$ એ $x$-અક્ષ પર હોવાથી,$N$ ના યામ $(\frac{7}{4}, 0)$ છે.
અંતર $C_{1}N = \frac{7}{4}$ અને $C_{2}N = |2 - \frac{7}{4}| = \frac{1}{4}$.
બંને ત્રિકોણ $\Delta C_{1}PQ$ અને $\Delta C_{2}PQ$ નો પાયો $PQ$ સમાન છે.
તેથી,તેમના ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર તેમના વેધના ગુણોત્તર જેટલો થાય:
$\frac{\text{Area}(\Delta C_{1}PQ)}{\text{Area}(\Delta C_{2}PQ)} = \frac{C_{1}N}{C_{2}N} = \frac{7/4}{1/4} = 7: 1$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.