यदि $a(\vec{\alpha} \times \vec{\beta}) + b(\vec{\beta} \times \vec{\gamma}) + c(\vec{\gamma} \times \vec{\alpha}) = \overrightarrow{0}$,जहाँ $a, b, c$ अशून्य अदिश हैं,तो सदिश $\vec{\alpha}, \vec{\beta}, \vec{\gamma}$ हैं

यदि तीन इकाई सदिश $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}$ समीकरण $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{0}$ को संतुष्ट करते हैं,तो $\overrightarrow{a}$ और $\overrightarrow{b}$ के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

कथन $(A)$: $a, b, c, d$ $4$ बिंदुओं के स्थिति सदिश हैं जैसे कि $2a - 3b + 7c - 6d = 0 \Rightarrow a, b, c, d$ समतलीय हैं।
कारण $(R)$: $a, b, c$ स्थिति सदिश वाले तीन बिंदुओं से गुजरने वाले समतल का सदिश समीकरण $r = (1 - x - y)a + xb + yc$ है।
निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?

मान लीजिए $a = i + 2j + k$,$b = i - j + k$,और $c = i + j - k$ है। $a$ और $b$ के समतल में स्थित एक सदिश का $c$ पर प्रक्षेप $\frac{1}{\sqrt{3}}$ है। तो,ऐसा एक सदिश है:

मान लीजिए $|\vec{a}|=2, |\vec{b}|=3$ और $\vec{a}$ तथा $\vec{b}$ के बीच का कोण $\frac{\pi}{3}$ है। यदि $2\vec{a}+3\vec{b}$ और $\vec{a}-\vec{b}$ आसन्न भुजाओं वाला एक समांतर चतुर्भुज बनाया जाता है,तो इसके छोटे विकर्ण की लंबाई क्या है?

मान लीजिए $a = 2\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$ और $b = 3\hat{i} - 2\hat{j} - 5\hat{k}$ दो सदिश हैं। तो $a$ के लंबवत सदिश पर $b$ का प्रक्षेप सदिश ज्ञात कीजिए।