मान लीजिए f(x) एक निरंतर आवर्ती फलन है जिसका | vedclass

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Question

(B) $T$ आवर्तकाल वाले आवर्ती फलन $f(x)$ के लिए,$T$ लंबाई के किसी भी अंतराल पर समाकलन स्थिर होता है।मान लीजिए $I(a) = \int_{a}^{a+T} f(x) \, dx$.लीबनीज

Vedclass · Accepted Answer

$I$,$a$ पर निर्भर नहीं करता है

Vedclass · Answer

(B) $T$ आवर्तकाल वाले आवर्ती फलन $f(x)$ के लिए,$T$ लंबाई के किसी भी अंतराल पर समाकलन स्थिर होता है।मान लीजिए $I(a) = \int_{a}^{a+T} f(x) \, dx$.लीबनीज़ नियम का उपयोग करके $a$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:$\frac{dI}{da} = f(a+T) \cdot \frac{d}{da}(a+T) - f(a) \cdot \frac{d}{da}(a)$चूंकि $f(x)$ का आवर्तकाल $T$ है,इसलिए $f(a+T) = f(a)$.अतः,$\frac{dI}{da} = f(a) - f(a) = 0$.चूंकि अवकलज $0$ है,इसलिए $I$,$a$ से स्वतंत्र है और $I = \int_{0}^{T} f(x) \, dx$ है।

मान लीजिए $f(x)$ एक निरंतर आवर्ती फलन है जिसका आवर्तकाल $T$ है। मान लीजिए $I = \int_{a}^{a+T} f(x) \, dx$. तो

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$\int_0^1 {\log \sin \left( {\frac{\pi }{2}x} \right)} \,dx = $

$\int_1^3 \left[ \tan^{-1} \left( \frac{x}{x^2-1} \right) + \tan^{-1} \left( \frac{x^2-1}{x} \right) \right] dx =$

$ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin ^{1000} x}{\sin ^{1000} x+\cos ^{1000} x} \, dx $ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $[x]$ महत्तम पूर्णांक $\leq x$ है,तो समाकलन $\int_{-0.9}^{0.9} \left( [x^2] + \log \left( \frac{2-x}{2+x} \right) \right) dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

निश्चित समाकलन का मान ज्ञात कीजिए: $\int_{\frac{1}{2}}^{2} \frac{x^2 \ln x}{(1+x^2)^3} dx$

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