समतल ell x+my=0 को समतल z=0 के साथ उसकी प्रति | vedclass

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Question

(A) माना घूर्णन के बाद समतल का समीकरण $P_{3}: \ell x+my+nz=0$ है।समतल $P_{1}: \ell x+my=0$ और $P_{2}: z=0$ की प्रतिच्छेदन रेखा वह रेखा है जहाँ $\ell x

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$\ell x+my \pm z 	an \alpha \sqrt{\ell^{2}+m^{2}}=0$

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(A) माना घूर्णन के बाद समतल का समीकरण $P_{3}: \ell x+my+nz=0$ है।समतल $P_{1}: \ell x+my=0$ और $P_{2}: z=0$ की प्रतिच्छेदन रेखा वह रेखा है जहाँ $\ell x+my=0$ और $z=0$ है।अभिलंब सदिश $\vec{n}_{1} = (\ell, m, 0)$ और $\vec{n}_{3} = (\ell, m, n)$ हैं।समतलों $P_{1}$ और $P_{3}$ के बीच का कोण $\alpha$,$\cos \alpha = \frac{|\vec{n}_{1} \cdot \vec{n}_{3}|}{|\vec{n}_{1}| |\vec{n}_{3}|}$ द्वारा दिया जाता है।$\cos \alpha = \frac{|\ell^{2}+m^{2}|}{\sqrt{\ell^{2}+m^{2}} \sqrt{\ell^{2}+m^{2}+n^{2}}} = \sqrt{\frac{\ell^{2}+m^{2}}{\ell^{2}+m^{2}+n^{2}}}$.दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\cos^{2} \alpha = \frac{\ell^{2}+m^{2}}{\ell^{2}+m^{2}+n^{2}}$.$\Rightarrow \cos^{2} \alpha (\ell^{2}+m^{2}+n^{2}) = \ell^{2}+m^{2}$.$\Rightarrow n^{2} \cos^{2} \alpha = (\ell^{2}+m^{2})(1 - \cos^{2} \alpha) = (\ell^{2}+m^{2}) \sin^{2} \alpha$.$\Rightarrow n^{2} = (\ell^{2}+m^{2}) 	an^{2} \alpha$.$\Rightarrow n = \pm \sqrt{\ell^{2}+m^{2}} 	an \alpha$.$n$ का मान $P_{3}$ के समीकरण में रखने पर,हमें $\ell x+my \pm z \sqrt{\ell^{2}+m^{2}} 	an \alpha = 0$ प्राप्त होता है।

समतल $\ell x+my=0$ को समतल $z=0$ के साथ उसकी प्रतिच्छेदन रेखा के परितः $\alpha$ कोण से घुमाया जाता है। नए समतल का समीकरण क्या होगा?

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$(-1, 2, 3)$ और $(3, -5, 6)$ बिंदुओं को जोड़ने वाली रेखा को समकोण पर समद्विभाजित करने वाले समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए।

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बिंदुओं $(1, 2, -3)$ और $(2, -2, 1)$ से गुजरने वाले और $X$-अक्ष के समानांतर समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए।

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