मान लीजिए I = int_{pi / 4}^{pi / 3} frac{sin | vedclass

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Question

(A) फलन $f(x) = \frac{\sin x}{x}$ पर विचार करें।$x \in [\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}]$ के लिए,अवकलज $f'(x) = \frac{x \cos x - \sin x}{x^2} = \frac{\co

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$\frac{\sqrt{3}}{8} \leq I \leq \frac{\sqrt{2}}{6}$

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(A) फलन $f(x) = \frac{\sin x}{x}$ पर विचार करें।$x \in [\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}]$ के लिए,अवकलज $f'(x) = \frac{x \cos x - \sin x}{x^2} = \frac{\cos x (x - 	an x)}{x^2}$ है।चूंकि $x \in (0, \frac{\pi}{2})$ के लिए $	an x > x$ होता है,इसलिए $f'(x) इसलिए,सभी $x \in [\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}]$ के लिए $f(\frac{\pi}{3}) \leq f(x) \leq f(\frac{\pi}{4})$ प्राप्त होता है।मानों की गणना करने पर: $f(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sin(\pi/3)}{\pi/3} = \frac{3\sqrt{3}}{2\pi}$ और $f(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sin(\pi/4)}{\pi/4} = \frac{2\sqrt{2}}{\pi}$।असमिका का समाकलन करने पर: $\int_{\pi/4}^{\pi/3} f(\frac{\pi}{3}) dx \leq \int_{\pi/4}^{\pi/3} f(x) dx \leq \int_{\pi/4}^{\pi/3} f(\frac{\pi}{4}) dx$।$\frac{3\sqrt{3}}{2\pi} (\frac{\pi}{12}) \leq I \leq \frac{2\sqrt{2}}{\pi} (\frac{\pi}{12})$।$\frac{\sqrt{3}}{8} \leq I \leq \frac{\sqrt{2}}{6}$।

मान लीजिए $I = \int_{\pi / 4}^{\pi / 3} \frac{\sin x}{x} dx$. तो

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$\int\limits_{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{x^2}{1 + \tan x + \sqrt{1 + \tan^2 x}} \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

$0 \le x \le \frac{\pi}{2}$ के लिए,$\int_{0}^{\sin^{2}x} \sin^{-1}(\sqrt{t}) \, dt + \int_{0}^{\cos^{2}x} \cos^{-1}(\sqrt{t}) \, dt$ का मान ज्ञात कीजिए।

फलन $F(x) = \int_0^x \log \left( \frac{1 - t}{1 + t} \right) \,dt$ है

$\int_{-5}^{5} \left[ \frac{e^{x} + e^{-x}}{e^{x} - e^{-x}} \right] dx = $

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