मान लीजिए $g(x) = \int_{x}^{2x} \frac{f(t)}{t} dt$ जहाँ $x > 0$ और $f$ एक सतत फलन है ताकि $f(2x) = f(x)$ हो। तो:

$\int_0^\pi \sin^5\left( \frac{x}{2} \right) \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $f$ एक अवकलनीय फलन है जो $x > 0$ के लिए $f(x) = \frac{2}{\sqrt{3}} \int_{0}^{\sqrt{3}} f \left(\frac{\lambda^{2} x}{3}\right) d\lambda$ और $f(1) = \sqrt{3}$ को संतुष्ट करता है। यदि $y = f(x)$ बिंदु $(\alpha, 6)$ से होकर गुजरता है,तो $\alpha$ का मान $.........$ है।

$\int_0^1 x^{3/2} \sqrt{1-x} \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $F(x) = \int_{x^2}^{x^3} \log t \, dt$ $(x > 0)$ है,तो $F'(x) = $

मान लीजिए $f : R \rightarrow R$ एक सतत विषम फलन है,जो केवल एक बिंदु पर शून्य होता है और $f(1) = \frac{1}{2}$ है। मान लीजिए कि $F(x) = \int_{-1}^x f(t) dt$ सभी $x \in [-1, 2]$ के लिए और $G(x) = \int_{-1}^x t|f(f(t))| dt$ सभी $x \in [-1, 2]$ के लिए है। यदि $\lim_{x \rightarrow 1} \frac{F(x)}{G(x)} = \frac{1}{14}$ है,तो $f\left(\frac{1}{2}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।