TS EAMCET 2024 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(D) $l$ લંબાઈ અને $\theta$ ખૂણા ધરાવતી ઢળતી સપાટી પર ગબડતા પદાર્થ માટે પ્રવેગ $a = \frac{g \sin \theta}{1 + K^2/R^2}$ છે.
ગતિના સમીકરણ $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ માં $u=0$ અને $s=l$ મૂકતા,$l = \frac{1}{2} \left( \frac{g \sin \theta}{1 + K^2/R^2} \right) t^2$ મળે.
આમ,$t = \sqrt{\frac{2l(1 + K^2/R^2)}{g \sin \theta}}$,જે સૂચવે છે કે $t \propto \sqrt{1 + K^2/R^2}$.
પોલા નળાકાર માટે,ચક્રાવર્તનની ત્રિજ્યા $K^2 = R^2$,તેથી $K^2/R^2 = 1$. એટલે કે $t_1 \propto \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.
નક્કર નળાકાર માટે,ચક્રાવર્તનની ત્રિજ્યા $K^2 = R^2/2$,તેથી $K^2/R^2 = 1/2$. એટલે કે $t_2 \propto \sqrt{1 + 1/2} = \sqrt{3/2}$.
ગુણોત્તર લેતા,$\frac{t_2}{t_1} = \frac{\sqrt{3/2}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
આપેલ છે કે $t_1 = 2 \ s$,તેથી $t_2 = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 2 = \sqrt{3} \approx 1.732 \ s$.

(B) સમાન દળ $m$ માટે,બે પ્રવાહી જેની વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_1, C_2$ અને પ્રારંભિક તાપમાન $T_1, T_2$ હોય,તેમના મિશ્રણનું અંતિમ તાપમાન $T_{mix} = \frac{T_1 C_1 + T_2 C_2}{C_1 + C_2}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
પ્રવાહી $A$ અને $B$ માટે:
$20 = \frac{15 C_A + 24 C_B}{C_A + C_B} \Rightarrow 20 C_A + 20 C_B = 15 C_A + 24 C_B \Rightarrow 5 C_A = 4 C_B \Rightarrow C_A = \frac{4}{5} C_B$.
પ્રવાહી $B$ અને $C$ માટે:
$26 = \frac{24 C_B + 30 C_C}{C_B + C_C} \Rightarrow 26 C_B + 26 C_C = 24 C_B + 30 C_C \Rightarrow 2 C_B = 4 C_C \Rightarrow C_B = 2 C_C$.
બધાને $C_C$ ના સ્વરૂપમાં દર્શાવતા:
$C_B = 2 C_C$
$C_A = \frac{4}{5} (2 C_C) = \frac{8}{5} C_C$
આમ,$C_A : C_B : C_C = \frac{8}{5} C_C : 2 C_C : C_C = 8 : 10 : 5$.

(B) આપેલ છે: $m_{\text{ice}} = 54 \ g$,$T_{\text{ice}} = -20^{\circ} C$,$m_{\text{steam}} = 25 \ g$,$T_{\text{steam}} = 100^{\circ} C$.
બરફને $0^{\circ} C$ સુધી લાવવા માટે જરૂરી ઉષ્મા: $Q_1 = m_{\text{ice}} \cdot c_{\text{ice}} \cdot \Delta T = 54 \times 2.1 \times 20 = 2268 \ J$.
બરફને $0^{\circ} C$ પર ઓગાળવા માટે જરૂરી ઉષ્મા: $Q_2 = m_{\text{ice}} \cdot L_f = 54 \times 334 = 18036 \ J$.
$-20^{\circ} C$ ના બરફને $0^{\circ} C$ ના પાણીમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે કુલ જરૂરી ઉષ્મા: $Q_{\text{total}} = Q_1 + Q_2 = 2268 + 18036 = 20304 \ J$.
$100^{\circ} C$ ની $25 \ g$ વરાળને $100^{\circ} C$ ના પાણીમાં રૂપાંતરિત કરવાથી મુક્ત થતી ઉષ્મા: $Q_{\text{condense}} = m_{\text{steam}} \cdot L_v = 25 \times 2260 = 56500 \ J$.
અહીં $Q_{\text{condense}} > Q_{\text{total}}$ હોવાથી,બધો બરફ ઓગળી જશે અને પાણીનું તાપમાન $100^{\circ} C$ સુધી વધશે.
$54 \ g$ પાણીનું તાપમાન $0^{\circ} C$ થી $100^{\circ} C$ સુધી વધારવા માટે જરૂરી ઉષ્મા: $Q_3 = m_{\text{ice}} \cdot c_{\text{water}} \cdot \Delta T = 54 \times 4.2 \times 100 = 22680 \ J$.
વરાળના સંઘનન માટે બાકી રહેલી ઉષ્મા: $Q_{\text{rem}} = Q_{\text{condense}} - (Q_{\text{total}} + Q_3) = 56500 - (20304 + 22680) = 13516 \ J$.
આ બાકી રહેલી ઉષ્મા દ્વારા સંઘનિત થયેલ વરાળનું દળ: $m_{\text{condensed}} = Q_{\text{rem}} / L_v = 13516 / 2260 \approx 6 \ g$.
પાણીનું અંતિમ દળ = $54 \ g$ (ઓગળેલો બરફ) + $(25 - 6) \ g$ (સંઘનિત વરાળ) = $73 \ g$.
વરાળનું અંતિમ દળ = $6 \ g$ (બાકી રહેલી વરાળ).
આમ,અંતિમ મિશ્રણમાં $100^{\circ} C$ તાપમાને $73 \ g$ પાણી અને $6 \ g$ વરાળ હશે.

(C) કેલરીમિતિના સિદ્ધાંત મુજબ,ગુમાવેલી ઉષ્મા $=$ મેળવેલી ઉષ્મા.
ધારો કે અંતિમ સંતુલન તાપમાન $T$ છે.
$74 \ g$ પાણી દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા $= m_w c_w (T_i - T) = 74 \times 1 \times (70 - T)$.
$37 \ g$ બરફને $0^{\circ} C$ પર ઓગળવા માટે જરૂરી ઉષ્મા $= m_i L_f = 37 \times 80$.
ઓગળેલા $37 \ g$ પાણીને $T$ તાપમાન સુધી પહોંચવા માટે જરૂરી ઉષ્મા $= m_i c_w (T - 0) = 37 \times 1 \times T$.
ગુમાવેલી અને મેળવેલી ઉષ્માને સરખાવતા:
$74(70 - T) = 37 \times 80 + 37T$.
$37$ વડે ભાગતા:
$2(70 - T) = 80 + T$.
$140 - 2T = 80 + T$.
$3T = 60$.
$T = 20^{\circ} C$.

(A) પાણી માટે,$m_1 = 360 \ g$,$T_1 = 40^{\circ} C$,$T_f = 100^{\circ} C$.
પાણીને $100^{\circ} C$ સુધી પહોંચવા માટે જરૂરી ઉષ્મા $H_1 = m_1 C_w (T_f - T_1) = 360 \times 1 \times (100 - 40) = 21600 \ cal$.
સંતુલન સમયે,$100^{\circ} C$ પર વરાળ દ્વારા મુક્ત થતી ઉષ્મા એ પાણી દ્વારા જરૂરી ઉષ્મા જેટલી હોય છે.
ધારો કે $m'$ એ વરાળનું દળ છે જેનું સંઘનન થાય છે. $m' \times L = H_1 \implies m' \times 540 = 21600 \implies m' = 40 \ g$.
બાકી રહેલ વરાળનું દળ $m_s = 60 - 40 = 20 \ g$.
પાણીનું કુલ દળ $m_w = 360 + 40 = 400 \ g$.
વરાળ અને પાણીના દળનો ગુણોત્તર $m_s : m_w = 20 : 400 = 1 : 20$ છે.

(C) કેલરીમિતિના સિદ્ધાંત મુજબ,ગુમાવેલી ઉષ્મા = મેળવેલી ઉષ્મા.
ધારો કે અંતિમ તાપમાન $T$ છે.
$70^{\circ} C$ તાપમાન ધરાવતા $74 \ g$ પાણી દ્વારા $T$ તાપમાન સુધી પહોંચવા માટે ગુમાવેલી ઉષ્મા $Q_{lost} = m_w c_w (70 - T) = 74 \times 1 \times (70 - T)$ છે.
$0^{\circ} C$ તાપમાન ધરાવતા $37 \ g$ બરફ દ્વારા પીગળવા અને $T$ તાપમાન સુધી પહોંચવા માટે મેળવેલી ઉષ્મા $Q_{gained} = m_i L_f + m_i c_w (T - 0) = 37 \times 80 + 37 \times 1 \times T$ છે.
બંનેને સરખાવતા: $74(70 - T) = 2960 + 37T$.
$5180 - 74T = 2960 + 37T$.
$111T = 2220$.
$T = 20^{\circ} C$.

(B) આપેલ છે: જાડાઈ $\Delta x = 5 \ mm = 5 \times 10^{-3} \ m$,ક્ષેત્રફળ $A = 5 \ cm^2 = 5 \times 10^{-4} \ m^2$,તાપમાનનો તફાવત $\Delta T = 14^{\circ} C$,ઉષ્મા વહનનો દર $Q = 42 \ J/s = 42 \ W$.
સ્થાયી અવસ્થામાં ઉષ્મા વહનનું સૂત્ર $Q = \frac{K A \Delta T}{\Delta x}$ છે.
ઉષ્મીય વાહકતા $K$ માટે સૂત્ર બનાવતા: $K = \frac{Q \Delta x}{A \Delta T}$.
કિંમતો મૂકતા: $K = \frac{42 \times 5 \times 10^{-3}}{5 \times 10^{-4} \times 14}$.
સાદુરૂપ આપતા: $K = \frac{42 \times 10^{-3}}{10^{-4} \times 14} = \frac{3 \times 10^{-3}}{10^{-4}} = 3 \times 10 = 30 \ W \ m^{-1} \ K^{-1}$.

(C) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્સર્જિત ઉર્જા $E$ એ પદાર્થની સપાટીના ક્ષેત્રફળ $A$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે,જ્યાં તાપમાન $T$ અને ઉત્સર્જકતા $e$ અચળ રહે છે.
$E = e \sigma A T^4 \implies E \propto A$
$r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા નક્કર ગોળા માટે,સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $A_{sphere} = 4 \pi r^2$ છે.
જ્યારે ગોળાને બે અર્ધગોળાઓમાં કાપવામાં આવે છે,ત્યારે દરેક અર્ધગોળાની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $2 \pi r^2$ અને સપાટ વર્તુળાકાર પાયાનું ક્ષેત્રફળ $\pi r^2$ હોય છે.
તેથી,એક અર્ધગોળાનું કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $A_{hemisphere} = 2 \pi r^2 + \pi r^2 = 3 \pi r^2$ થાય.
એક અર્ધગોળા દ્વારા ઉત્સર્જિત ઉર્જા અને આખા ગોળા દ્વારા ઉત્સર્જિત ઉર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{E_{hemisphere}}{E_{sphere}} = \frac{A_{hemisphere}}{A_{sphere}} = \frac{3 \pi r^2}{4 \pi r^2} = \frac{3}{4}$ છે.

(D) નળાકાર સળિયામાંથી વહેતા ઉષ્માના પ્રવાહનો દર $H = \frac{kA \Delta \theta}{\ell}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k$ એ ઉષ્મા વાહકતા છે,$A = \pi r^2$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે,$\Delta \theta$ એ તાપમાનનો તફાવત છે અને $\ell$ એ લંબાઈ છે.
દ્રવ્ય સમાન હોવાથી,$k_A = k_B$.
આપેલ છે: $\frac{\Delta \theta_A}{\Delta \theta_B} = \frac{2}{3}$,$\frac{H_A}{H_B} = \frac{5}{9}$,અને $\frac{r_A}{r_B} = \frac{1}{2}$.
સૂત્ર $\frac{H_A}{H_B} = \left( \frac{r_A}{r_B} \right)^2 \left( \frac{\Delta \theta_A}{\Delta \theta_B} \right) \left( \frac{\ell_B}{\ell_A} \right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{5}{9} = \left( \frac{1}{2} \right)^2 \left( \frac{2}{3} \right) \left( \frac{\ell_B}{\ell_A} \right)$
$\frac{5}{9} = \left( \frac{1}{4} \right) \left( \frac{2}{3} \right) \left( \frac{\ell_B}{\ell_A} \right)$
$\frac{5}{9} = \frac{2}{12} \left( \frac{\ell_B}{\ell_A} \right) = \frac{1}{6} \left( \frac{\ell_B}{\ell_A} \right)$
$\frac{\ell_B}{\ell_A} = \frac{5}{9} \times 6 = \frac{30}{9} = \frac{10}{3}$
તેથી,$\frac{\ell_A}{\ell_B} = \frac{3}{10}$.

(C) ફેરનહીટ $(F)$ અને સેલ્સિયસ $(C)$ તાપમાન માપક્રમ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે: $F = \frac{9}{5} C + 32$.
પ્રશ્ન મુજબ,ફેરનહીટ માપક્રમ પરનું તાપમાન સેલ્સિયસ માપક્રમ પરના તાપમાન કરતાં બમણું છે,તેથી $F = 2C$,જેનો અર્થ છે કે $C = \frac{F}{2}$.
આ કિંમતને સૂત્રમાં મૂકતા: $F = \frac{9}{5} \left( \frac{F}{2} \right) + 32$.
$F = \frac{9F}{10} + 32$.
આખા સમીકરણને $10$ વડે ગુણતા: $10F = 9F + 320$.
$10F - 9F = 320$.
તેથી,$F = 320^{\circ} F$.

(C) આદર્શ વાયુની કુલ આંતરિક ઉર્જા $U$ નું સૂત્ર $U = n \frac{f}{2} R T$ છે.
દ્વિ-પરમાણ્વિક વાયુ માટે,મુક્તિના અંશો (degrees of freedom) $f = 5$ છે.
આપેલ છે: મોલની સંખ્યા $n = 4$,તાપમાન $T = 27^{\circ} C = 27 + 273 = 300 \ K$,અને $R = 8.31 \ J \ mol^{-1} \ K^{-1}$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$U = 4 \times \frac{5}{2} \times 8.31 \times 300$
$U = 2 \times 5 \times 8.31 \times 300$
$U = 10 \times 2493 = 24930 \ J$
$U = 24.93 \ kJ$.

(D) અચળ દબાણે,$W = P \Delta V = nR \Delta T$,જે સૂચવે છે કે $W \propto \Delta T$.
આપેલ છે કે $W_1 = W$ અને $W_2 = 2W$,તેથી $\frac{(\Delta T)_2}{(\Delta T)_1} = \frac{W_2}{W_1} = 2$,એટલે કે $(\Delta T)_2 = 2(\Delta T)_1$.
એક પરમાણ્વીય વાયુ માટે,મુક્તિના અંશો (degrees of freedom) $f_1 = 3$ છે. આપેલી ઉષ્મા $Q_1 = \Delta U_1 + W_1 = \frac{f_1}{2} nR(\Delta T)_1 + nR(\Delta T)_1 = (\frac{3}{2} + 1) nR(\Delta T)_1 = \frac{5}{2} nR(\Delta T)_1$.
દ્વિ-પરમાણ્વીય વાયુ માટે,મુક્તિના અંશો $f_2 = 5$ છે. આપેલી ઉષ્મા $Q_2 = \Delta U_2 + W_2 = \frac{f_2}{2} nR(\Delta T)_2 + 2W = \frac{5}{2} nR(2(\Delta T)_1) + 2nR(\Delta T)_1 = (5 + 2) nR(\Delta T)_1 = 7nR(\Delta T)_1$.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{Q_1}{Q_2} = \frac{\frac{5}{2} nR(\Delta T)_1}{7nR(\Delta T)_1} = \frac{5}{14}$ થાય.
આમ,$Q_1 : Q_2 = 5 : 14$.

(A) રિવર્સિબલ હીટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1} = 0.5$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આના પરથી,આપણને $\frac{T_2}{T_1} = 1 - 0.5 = 0.5$ મળે છે.
તે જ તાપમાન વચ્ચે કાર્ય કરતા રેફ્રિજરેટરનો પરફોર્મન્સ ગુણાંક $(COP)$ $\beta = \frac{T_2}{T_1 - T_2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અંશ અને છેદને $T_1$ વડે ભાગતા,આપણને $\beta = \frac{T_2/T_1}{1 - T_2/T_1}$ મળે છે.
$\frac{T_2}{T_1} = 0.5$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $\beta = \frac{0.5}{1 - 0.5} = \frac{0.5}{0.5} = 1$ મળે છે.

(D) અચળ દબાણે દ્વિ-પરમાણ્વિક વાયુ માટે:
$1$. થયેલ કાર્ય $dW = P dV = nR dT$ છે.
$2$. આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $dU = n C_v dT$ છે. દ્વિ-પરમાણ્વિક વાયુ માટે અચળ કદે વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_v = \frac{5}{2} R$ હોવાથી,$dU = n \left( \frac{5}{2} R \right) dT$ થાય.
$3$. શોષાયેલી ઉષ્મા $dQ = n C_p dT$ છે. દ્વિ-પરમાણ્વિક વાયુ માટે અચળ દબાણે વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_p = \frac{7}{2} R$ હોવાથી,$dQ = n \left( \frac{7}{2} R \right) dT$ થાય.
$4$. ગુણોત્તર $dW : dU : dQ$ નીચે મુજબ છે:
$dW : dU : dQ = nR dT : n \left( \frac{5}{2} R \right) dT : n \left( \frac{7}{2} R \right) dT$
$nR dT$ વડે ભાગતા:
$1 : \frac{5}{2} : \frac{7}{2}$
સાદું રૂપ આપવા માટે $2$ વડે ગુણતા:
$2 : 5 : 7$.

(D) આપેલ છે કે વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતાઓનો ગુણોત્તર $\gamma = 1.5 = 3/2$ છે.
એડિયાબેટિક પ્રક્રિયા માટે,$P_i V_i^\gamma = P_f V_f^\gamma$. આપેલ છે કે $V_f = 2V_i$ અને $P_f = P_1$,તેથી $P_{i,ad} V_i^{1.5} = P_1 (2V_i)^{1.5}$.
આમ,$P_{i,ad} = P_1 (2)^{1.5} = P_1 (2\sqrt{2})$.
આઈસોથર્મલ પ્રક્રિયા માટે,$P_i V_i = P_f V_f$. આપેલ છે કે $V_f = 2V_i$ અને $P_f = P_2$,તેથી $P_{i,iso} V_i = P_2 (2V_i)$.
આમ,$P_{i,iso} = 2P_2$.
જો $P_1 = P_2$ હોય,તો પ્રારંભિક દબાણનો ગુણોત્તર $\frac{P_{i,ad}}{P_{i,iso}} = \frac{P_1 (2\sqrt{2})}{2P_1} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} : 1$ થાય.

(A) આપેલ સમીકરણ $m \frac{d^2 x}{dt^2} + b \frac{dx}{dt} + kx = 0$ છે.
પરિમાણોની સમાનતાના સિદ્ધાંત મુજબ,સમીકરણના દરેક પદના પરિમાણો સમાન હોવા જોઈએ.
તેથી,$m \frac{d^2 x}{dt^2}$,$b \frac{dx}{dt}$,અને $kx$ ના પરિમાણો સમાન છે.
$b \frac{dx}{dt}$ અને $kx$ ના પરિમાણોને સરખાવતા:
$[b] [v] = [k] [x] \implies [b] = [k] [x] / [v] = [k] [x] / ([x] / [t]) = [k] [t]$.
તેથી,$[b] = [k] [T]$.
હવે,$\frac{b}{\sqrt{km}}$ પદને ધ્યાનમાં લો.
આ પદમાં $[b] = [k] [T]$ મૂકતા:
$\frac{[b]}{\sqrt{[k][m]}} = \frac{[k][T]}{\sqrt{[k][m]}}$.
અહીં $k = F/x = ma/x$ હોવાથી,$k$ ના પરિમાણો $[M T^{-2}]$ છે.
વળી,ડેમ્પ્ડ ઓસિલેટરની કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \sqrt{k/m}$ સાથે સંબંધિત છે,તેથી $\sqrt{k/m}$ ના પરિમાણો $[T^{-1}]$ થાય છે.
અથવા,$[b] = [k] [T]$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{b}{\sqrt{km}} = \frac{k T}{\sqrt{km}} = \sqrt{\frac{k}{m}} T = [T^{-1}] [T] = [M^0 L^0 T^0]$.

(B) રિડક્શનિઝમ એ એક વૈજ્ઞાનિક અભિગમ છે જે જટિલ સિસ્ટમને તેના મૂળભૂત,સરળ ઘટકોમાં વિભાજિત કરીને અને તેમની વચ્ચેની આંતરક્રિયાઓને સમજીને સમજાવવાનો પ્રયાસ કરે છે. આ ઘટક ભાગોનો અભ્યાસ કરીને,કોઈ પણ મોટી સિસ્ટમના મેક્રોસ્કોપિક ગુણધર્મો મેળવી શકે છે.

(A) ભૌતિક નિયમો સંરક્ષણના સિદ્ધાંતો પર આધારિત છે. સંરક્ષિત રાશિઓ અદિશ (જેમ કે ઉર્જા,દળ અથવા વિદ્યુતભાર) અથવા સદિશ (જેમ કે રેખીય વેગમાન અથવા કોણીય વેગમાન) હોઈ શકે છે. તેથી,એવું વિધાન કે બધી જ સંરક્ષિત રાશિઓ અનિવાર્યપણે અદિશ હોય છે,તે ખોટું છે.

(D) ખેંચાયેલી દોરીમાં લંબગત તરંગની ઝડપનું સૂત્ર $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ છે,જ્યાં $T$ એ તણાવ છે અને $\mu$ એ રેખીય દળ ઘનતા છે.
કારણ કે $\mu = \text{ક્ષેત્રફળ} \times \text{ઘનતા} = (\pi r^2) \rho$,તેથી ઝડપ $v = \sqrt{\frac{T}{\pi r^2 \rho}}$ થાય છે.
આપેલ છે કે બંને દોરીઓ માટે તણાવ $T$ અને ત્રિજ્યા $r$ સમાન છે,તેથી $v \propto \frac{1}{\sqrt{\rho}}$ મળે.
ધારો કે $\rho_A = \rho$. તો $\rho_B = \rho + 0.02\rho = 1.02\rho$ થાય.
દોરી '$B$' માં ઝડપ $v_B = \sqrt{\frac{T}{\pi r^2 (1.02\rho)}} = \frac{1}{\sqrt{1.02}} \sqrt{\frac{T}{\pi r^2 \rho}}$ થશે.
તેથી,$v_B = \frac{v}{\sqrt{1.02}}$ મળે.

(C) આપેલ આવૃત્તિઓ $f_1 = n-1$,$f_2 = n$ અને $f_3 = n+1$ છે.
બીટ્સ એ ધ્વનિ સ્ત્રોતોની આવૃત્તિઓના તફાવતને કારણે ઉત્પન્ન થાય છે.
પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્પન્ન થતા બીટ્સની સંખ્યા સિસ્ટમમાં હાજર મહત્તમ અને ન્યૂનતમ આવૃત્તિ વચ્ચેના તફાવત દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.
$\text{ઉત્પન્ન થતા બીટ્સ} = f_{\text{max}} - f_{\text{min}} = (n+1) - (n-1) = 2 \text{ બીટ્સ/સેકન્ડ}$.
ત્રણેય સ્ત્રોતો એકસાથે કંપન કરી રહ્યા હોવાથી,વ્યતિકરણની ભાત $2 \text{ Hz}$ ની બીટ આવૃત્તિ આપે છે.
તેથી,ઉત્પન્ન થતા બીટ્સની સંખ્યા $2$ છે અને સંભળાતા બીટ્સની સંખ્યા પણ $2$ છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણો $y_1 = 5 \sin(400 \pi t)$ અને $y_2 = 8 \sin(408 \pi t)$ છે.
આને પ્રમાણિત સમીકરણ $y = A \sin(\omega t)$ સાથે સરખાવતા,આપણને કોણીય આવૃત્તિઓ $\omega_1 = 400 \pi \text{ rad/s}$ અને $\omega_2 = 408 \pi \text{ rad/s}$ મળે છે.
આવૃત્તિઓ $f_1$ અને $f_2$ એ $f = \frac{\omega}{2 \pi}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$f_1 = \frac{400 \pi}{2 \pi} = 200 \text{ Hz}$ અને $f_2 = \frac{408 \pi}{2 \pi} = 204 \text{ Hz}$.
બીટ આવૃત્તિ $|f_2 - f_1| = |204 - 200| = 4 \text{ બીટ્સ પ્રતિ સેકન્ડ}$ છે.
પ્રતિ મિનિટ બીટ્સની સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે $60$ વડે ગુણાકાર કરીએ છીએ:
$\text{બીટ્સ પ્રતિ મિનિટ} = 4 \times 60 = 240 \text{ બીટ્સ/મિનિટ}$.

(D) કારની ઝડપ $v_s = 54 \ km/h = 15 \ m/s$ છે.
વ્યક્તિ કાર અને દીવાલની વચ્ચે ઉભો છે.
સીધો કારમાંથી આવતા અવાજની આવૃત્તિ (સ્ત્રોત સ્થિર અવલોકનકાર તરફ ગતિ કરે છે) $f_1 = f \left( \frac{v}{v - v_s} \right)$ છે.
દીવાલ પરથી પરાવર્તિત થઈને આવતા અવાજની આવૃત્તિ એ કારના પ્રતિબિંબમાંથી આવતા અવાજ સમાન છે,જે અવલોકનકાર તરફ સમાન ઝડપ $v_s$ થી ગતિ કરે છે. તેથી,$f_2 = f \left( \frac{v}{v - v_s} \right)$.
આમ,$f_1 = f_2$ હોવાથી,આવૃત્તિઓ વચ્ચેનો તફાવત $f_2 - f_1 = 0 \ Hz$ થાય.

(A) ડોપ્લર અસરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$1$) જ્યારે ટ્રેન નજીક આવે ત્યારે આવૃત્તિ: $f_{\text{app}} = f_0 \times \frac{v}{v - v_s}$
$2$) જ્યારે ટ્રેન દૂર જાય ત્યારે આવૃત્તિ: $f_{\text{rec}} = f_0 \times \frac{v}{v + v_s}$
આપેલ છે: $v = 330 \text{ m/s}$,$v_s = 108 \text{ km/h} = 108 \times \frac{5}{18} = 30 \text{ m/s}$.
આવૃત્તિમાં તફાવત $\Delta f = f_{\text{app}} - f_{\text{rec}} = f_0 \left( \frac{v}{v - v_s} - \frac{v}{v + v_s} \right)$.
$\Delta f = f_0 \left( \frac{v(v + v_s) - v(v - v_s)}{v^2 - v_s^2} \right) = f_0 \left( \frac{2 v v_s}{v^2 - v_s^2} \right)$.
ટકાવારી ફેરફાર = $\frac{\Delta f}{f_0} \times 100 = \left( \frac{2 v v_s}{v^2 - v_s^2} \right) \times 100$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{2 \times 330 \times 30}{330^2 - 30^2} \times 100 = \frac{19800}{108900 - 900} \times 100 = \frac{19800}{108000} \times 100 = \frac{11}{60} \times 100 \approx 18.33 \%$.

(B) ધારો કે $v$ એ ધ્વનિની ઝડપ છે અને $f = 102 \ Hz$ એ ઉદગમની આવૃત્તિ છે.
ઉદગમ સ્થિર હોવાથી $(v_s = 0)$,ઉદગમથી $v_o$ ઝડપથી દૂર જતા અવલોકનકાર દ્વારા સંભળાતી આવૃત્તિ $f'$ ડોપ્લર અસરના સૂત્ર દ્વારા મળે છે: $f' = f \left( \frac{v - v_o}{v} \right)$.
બંને અવલોકનકારો ઉદગમથી $v_o = 10 \% \text{ of } v = \frac{v}{10}$ ઝડપથી દૂર જઈ રહ્યા હોવાથી,અવલોકનકાર $1$ દ્વારા સંભળાતી આવૃત્તિ:
$f_1 = f \left( \frac{v - v/10}{v} \right) = f \left( \frac{0.9v}{v} \right) = 0.9f$.
તે જ રીતે,અવલોકનકાર $2$ દ્વારા સંભળાતી આવૃત્તિ:
$f_2 = f \left( \frac{v - v/10}{v} \right) = f \left( \frac{0.9v}{v} \right) = 0.9f$.
તેથી,અવલોકનકારો દ્વારા સંભળાતી આવૃત્તિઓનો ગુણોત્તર:
$\frac{f_1}{f_2} = \frac{0.9f}{0.9f} = 1: 1$.

(A) ધારો કે $v$ એ ધ્વનિની ઝડપ છે અને $l$ એ પાઇપની લંબાઈ છે.
ઓપન ઓર્ગન પાઇપ માટે,મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_{o} = \frac{v}{2l}$ છે.
ક્લોઝ્ડ ઓર્ગન પાઇપ માટે,મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_{c} = \frac{v}{4l}$ છે.
આપેલ છે કે આ મૂળભૂત આવૃત્તિઓ વચ્ચેનો તફાવત $100 \ Hz$ છે:
$f_{o} - f_{c} = 100 \ Hz \implies \frac{v}{2l} - \frac{v}{4l} = 100 \ Hz \implies \frac{v}{4l} = 100 \ Hz$.
ઓપન પાઇપનો બીજો હાર્મોનિક $f_{2,o} = 2 \times f_{o} = 2 \times \frac{v}{2l} = \frac{v}{l}$ છે.
ક્લોઝ્ડ પાઇપનો ત્રીજો હાર્મોનિક $f_{3,c} = 3 \times f_{c} = 3 \times \frac{v}{4l} = \frac{3v}{4l}$ છે.
આ આવૃત્તિઓ વચ્ચેનો તફાવત:
$f_{2,o} - f_{3,c} = \frac{v}{l} - \frac{3v}{4l} = \frac{4v - 3v}{4l} = \frac{v}{4l}$.
કારણ કે $\frac{v}{4l} = 100 \ Hz$,તેથી જરૂરી તફાવત $100 \ Hz$ છે.

(C) આપેલ છે: પથ તફાવત $\Delta x = 50 \ cm = 0.5 \ m$,કળા તફાવત $\Delta \phi = 1.8 \pi$,ધ્વનિની ઝડપ $v = 340 \ ms^{-1}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે પથ તફાવત અને કળા તફાવત વચ્ચેનો સંબંધ $\Delta x = \frac{\lambda}{2 \pi} \cdot \Delta \phi$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $0.5 = \frac{\lambda}{2 \pi} \times 1.8 \pi$.
$0.5 = \lambda \times 0.9 \Rightarrow \lambda = \frac{0.5}{0.9} = \frac{5}{9} \ m$.
આવૃત્તિ $f$ એ $f = \frac{v}{\lambda}$ દ્વારા મળે છે.
$f = \frac{340}{5/9} = \frac{340 \times 9}{5} = 68 \times 9 = 612 \ Hz$.

(B) આપેલ છે: ત્રિજ્યા $r = 9 \ km = 9000 \ m$,ઝડપ $v = 540 \ kmh^{-1} = 540 \times \frac{5}{18} = 150 \ ms^{-1}$,ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 10 \ ms^{-2}$.
સમક્ષિતિજ લૂપમાં ઉડતા વિમાન માટે બેન્કિંગ ખૂણો $\theta$ નીચે મુજબ મળે: $\tan \theta = \frac{v^2}{rg}$.
કિંમતો મૂકતા: $\tan \theta = \frac{150 \times 150}{9000 \times 10} = \frac{22500}{90000} = \frac{1}{4}$.
તેથી,$\theta = \tan^{-1}(0.25) = \cot^{-1}(4)$.

(D) ધારો કે પદાર્થ સ્થિર થાય તે પહેલાં '$s$' અંતર સુધી ઉપર તરફ સરકે છે.
પ્રાપ્ત થયેલી ઊંચાઈ $h = s \sin \theta$ છે.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,બધા બળો દ્વારા થયેલું કુલ કાર્ય ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે:
$W_{friction} + W_{gravity} = K_f - K_i$
$-\mu mg \cos \theta \cdot s - mg \sin \theta \cdot s = 0 - E$
$\mu mgs \cos \theta + mgs \sin \theta = E$
$s(mg(\mu \cos \theta + \sin \theta)) = E$
$s = \frac{E}{mg(\mu \cos \theta + \sin \theta)}$
ઘર્ષણ વિરુદ્ધ થયેલું કાર્ય $W_{against\ friction} = |W_{friction}| = \mu mg \cos \theta \cdot s$ છે.
'$s$' ની કિંમત મૂકતા:
$W_{against\ friction} = \mu mg \cos \theta \cdot \left( \frac{E}{mg(\mu \cos \theta + \sin \theta)} \right)$
$W_{against\ friction} = \frac{\mu E \cos \theta}{\sin \theta + \mu \cos \theta}$

(C) આપેલ છે: દળ $m = 4 \ kg$. વેગ સદિશ $\vec{v} = (2 \hat{i} - 4 \hat{j} - \hat{k}) \ ms^{-1}$.
પ્રથમ,વેગનું મૂલ્ય $v = |\vec{v}| = \sqrt{(2)^2 + (-4)^2 + (-1)^2}$ શોધો.
$v = \sqrt{4 + 16 + 1} = \sqrt{21} \ ms^{-1}$.
ગતિઊર્જા $K.E.$ નું સૂત્ર $K.E. = \frac{1}{2} mv^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $K.E. = \frac{1}{2} \times 4 \times (\sqrt{21})^2$.
$K.E. = 2 \times 21 = 42 \ J$.

(B) ધારો કે પદાર્થનું દળ $m$ છે અને પ્રારંભિક વેગ $u$ છે. મહત્તમ ઊંચાઈ $h$ પર,કુલ ઊર્જા $E = mgh$ છે.
જમીનથી $y = 0.4h$ ઊંચાઈએ,સ્થિતિઊર્જા $PE = mgy = mg(0.4h) = 0.4mgh$ થાય.
ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,કુલ ઊર્જા અચળ રહે છે.
તેથી,$KE + PE = E$.
$KE = E - PE = mgh - 0.4mgh = 0.6mgh$.
ગતિઊર્જા અને સ્થિતિઊર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{KE}{PE} = \frac{0.6mgh}{0.4mgh} = \frac{0.6}{0.4} = \frac{3}{2}$ થાય.
આમ,ગુણોત્તર $3: 2$ છે.

(A) બાહ્ય ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં રહેલી વિદ્યુતપ્રવાહિત કોઈલના દોલનનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{I_{moment}}{MB}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I_{moment}$ એ જડત્વની ચાકમાત્રા છે અને $M$ એ ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ છે.
ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ $M = NIA$ હોવાથી,$M \propto I$ થાય.
તેથી,$T \propto \frac{1}{\sqrt{M}} \propto \frac{1}{\sqrt{I}}$.
અહીં $I_1 = 2.5 \ A$ અને $I_2 = 10 \ A$ આપેલ છે,તેથી:
$\frac{T_2}{T_1} = \sqrt{\frac{I_1}{I_2}} = \sqrt{\frac{2.5}{10}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$.
આમ,$T_2 = \frac{T_1}{2} = \frac{T}{2}$.

(D) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં ગજિયા ચુંબક પર લાગતું ટોર્ક $\tau = MB \sin \theta$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $M$ એ ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ છે અને $\theta$ એ ચુંબકીય મોમેન્ટ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર વચ્ચેનો ખૂણો છે.
પ્રારંભિક ટોર્ક $\tau_1 = MB \sin 30^{\circ} = MB \times 0.5$.
અંતિમ ટોર્ક $\tau_2 = MB \sin 45^{\circ} = MB \times \frac{1}{\sqrt{2}} \approx MB \times 0.707$.
ટોર્કનો ગુણોત્તર $\frac{\tau_2}{\tau_1} = \frac{\sin 45^{\circ}}{\sin 30^{\circ}} = \frac{1/\sqrt{2}}{1/2} = \sqrt{2} \approx 1.414$ છે.
તેથી,$\tau_2 = 1.414 \tau_1$.
ટોર્કમાં થતો ટકાવારી વધારો $\frac{\tau_2 - \tau_1}{\tau_1} \times 100 = (1.414 - 1) \times 100 = 41.4 \%$ છે.
આમ,ટોર્ક $41.4 \%$ વધે છે.

(D) $236$ દળ ક્રમાંક ધરાવતા ન્યુક્લિયસના ક્ષયમાં,$\alpha$-કણ $(m_{\alpha} = 4)$ અને ડોટર ન્યુક્લિયસ $(m_d = 232)$ ઉત્પન્ન થાય છે.
આપેલ છે કે $\alpha$-કણની ગતિ ઉર્જા $(KE)_{\alpha} = E$ છે.
વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$\alpha$-કણ અને ડોટર ન્યુક્લિયસના વેગમાનના મૂલ્યો સમાન હોય છે: $P_{\alpha} = P_d = P$.
ગતિ ઉર્જાનું સૂત્ર $KE = \frac{P^2}{2m}$ છે,જે દર્શાવે છે કે $KE \propto \frac{1}{m}$.
તેથી,ગતિ ઉર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{(KE)_d}{(KE)_{\alpha}} = \frac{m_{\alpha}}{m_d} = \frac{4}{232} = \frac{1}{58}$ થાય.
આમ,$(KE)_d = \frac{E}{58}$.
આ પ્રક્રિયામાં મુક્ત થતી કુલ ઉર્જા $(Q)$ એ નીપજોની ગતિ ઉર્જાનો સરવાળો છે: $Q = (KE)_{\alpha} + (KE)_d = E + \frac{E}{58} = \frac{59 E}{58}$.

(D) પ્રતિ વિખંડન મુક્ત થતી ઉર્જા $E = 200 \text{ MeV} = 200 \times 10^6 \times 1.6 \times 10^{-19} \text{ J} = 3.2 \times 10^{-11} \text{ J}$.
પાવર $P = 128 \text{ W} = 128 \text{ J/s}$.
ધારો કે પ્રતિ સેકન્ડ વિખંડનની સંખ્યા $n$ છે.
તેથી,$P = n \times E$.
$n = \frac{P}{E} = \frac{128}{3.2 \times 10^{-11}}$.
$n = \frac{1280}{3.2} \times 10^{10} = 400 \times 10^{10} = 4 \times 10^{12} \text{ વિખંડન/સેકન્ડ}$.

(C) ન્યુટ્રોન મલ્ટિપ્લિકેશન ફેક્ટર $K$ (જેને $k$ તરીકે પણ દર્શાવવામાં આવે છે) એ આપેલ પેઢીમાં ઉત્પન્ન થયેલા ન્યુટ્રોનની સંખ્યા અને અગાઉની પેઢીમાં ઉત્પન્ન થયેલા ન્યુટ્રોનની સંખ્યાના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
જ્યારે $K = 1$ હોય,ત્યારે ન્યુટ્રોન ઉત્પન્ન થવાનો દર એ ન્યુટ્રોન ગુમાવવાના દર જેટલો હોય છે,જેનો અર્થ છે કે શૃંખલા પ્રતિક્રિયા (chain reaction) અચળ પાવર સ્તરે સ્વયં-ટકી રહે છે.
આ સ્થિતિને ન્યુક્લિયર રિએક્ટરની ક્રિટિકલ સ્થિતિ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.
જો $K < 1$ હોય,તો રિએક્ટર સબક્રિટિકલ છે અને શૃંખલા પ્રતિક્રિયા બંધ થઈ જાય છે.
જો $K > 1$ હોય,તો રિએક્ટર સુપરક્રિટિકલ છે અને પાવર સ્તર ઘાતાંકીય રીતે વધે છે.

(A) તત્વનું સરેરાશ દળ તેના આઈસોટોપ્સની સાપેક્ષ વિપુલતાના આધારે તેમના દળના ભારિત સરેરાશ (weighted average) દ્વારા ગણવામાં આવે છે.
આપેલ વિપુલતાનો ગુણોત્તર $2:3:5$ છે,તેથી કુલ ભાગ $2 + 3 + 5 = 10$ થાય.
દરેક આઈસોટોપનો અપૂર્ણાંક ભાગ:
આઈસોટોપ $A$ માટે: $2/10 = 0.2$
આઈસોટોપ $B$ માટે: $3/10 = 0.3$
આઈસોટોપ $C$ માટે: $5/10 = 0.5$
સરેરાશ દળનું સૂત્ર: $\text{સરેરાશ દળ} = (\text{અપૂર્ણાંક}_A \times m_1) + (\text{અપૂર્ણાંક}_B \times m_2) + (\text{અપૂર્ણાંક}_C \times m_3)$.
કિંમતો મૂકતા: $\text{સરેરાશ દળ} = 0.2 m_1 + 0.3 m_2 + 0.5 m_3$.

(D) આપેલ અર્ધ-આયુષ્ય $T_{1/2} = 12 \text{ મિનિટ}$ છે.
$28 \%$ ક્ષય સમયે, બાકી રહેલો જથ્થો $100 - 28 = 72 \%$ છે.
$82 \%$ ક્ષય સમયે, બાકી રહેલો જથ્થો $100 - 82 = 18 \%$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થનો જથ્થો એક અર્ધ-આયુષ્ય સમયમાં અડધો થઈ જાય છે.
$72 \%$ થી શરૂ કરીને, એક અર્ધ-આયુષ્ય $(12 \text{ મિનિટ})$ પછી, જથ્થો $72 / 2 = 36 \%$ થાય છે.
બીજા એક અર્ધ-આયુષ્ય $(12 \text{ મિનિટ})$ પછી, જથ્થો $36 / 2 = 18 \%$ થાય છે.
તેથી, કુલ સમયગાળો $12 + 12 = 24 \text{ મિનિટ}$ છે.

(A) સમય $t$ પછી બાકી રહેલા રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થનું દળ $M = M_0 (1/2)^{t/T_{1/2}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $M_0$ પ્રારંભિક દળ છે અને $T_{1/2}$ અર્ધ-આયુષ્ય છે.
પદાર્થ $A$ માટે: $M_A = M_{0A} (1/2)^{t/T}$.
પદાર્થ $B$ માટે: $M_B = M_{0B} (1/2)^{t/2T}$.
આપેલ છે કે પ્રારંભિક દળનો ગુણોત્તર $M_{0A} / M_{0B} = 8/1$ અને બાકી રહેલા દળનો ગુણોત્તર $M_A / M_B = 4/1$ છે.
તેથી,$\frac{M_A}{M_B} = \frac{M_{0A}}{M_{0B}} \cdot \frac{(1/2)^{t/T}}{(1/2)^{t/2T}} = 4/1$.
કિંમતો મૂકતા: $8 \cdot (1/2)^{t/T - t/2T} = 4$.
$8 \cdot (1/2)^{t/2T} = 4$.
$(1/2)^{t/2T} = 4/8 = 1/2$.
$(1/2)^{t/2T} = (1/2)^1$.
ઘાતાંકની સરખામણી કરતા,$t/2T = 1$,જેનો અર્થ છે કે $t = 2T$.

(A) ધારો કે ઉત્સર્જિત $\alpha$-કણોની સંખ્યા $n_{\alpha}$ છે અને ઉત્સર્જિત $\beta^{-}$-કણોની સંખ્યા $n_{\beta}$ છે.
દળ ક્રમાંક માટે: $238 = 214 + 4n_{\alpha} \implies 4n_{\alpha} = 24 \implies n_{\alpha} = 6$.
પરમાણુ ક્રમાંક માટે: $92 = 82 + 2n_{\alpha} - 1n_{\beta}$.
$n_{\alpha} = 6$ મૂકતા: $92 = 82 + 2(6) - n_{\beta} \implies 92 = 82 + 12 - n_{\beta} \implies 92 = 94 - n_{\beta} \implies n_{\beta} = 2$.
આમ,$\alpha$-કણોની સંખ્યા $6$ છે અને $\beta^{-}$-કણોની સંખ્યા $2$ છે.

(B) ન્યુક્લિયસનો $\beta$-ક્ષય નીચે મુજબ દર્શાવવામાં આવે છે:
${ }_{Z}^{A} X \longrightarrow{ }_{Z+1}^{A} Y+{ }_{-1}^{0} e + \bar{\nu}$
આ પ્રક્રિયામાં,દળ ક્રમાંક $A$ અચળ રહે છે,જ્યારે પરમાણુ ક્રમાંક $Z$ માં $1$ નો વધારો થાય છે.
પિતૃ ન્યુક્લિયસ $X$ અને પુત્રી ન્યુક્લિયસ $Y$ બંને માટે દળ ક્રમાંક $A$ સમાન હોવાથી,તેઓ સમભારીકો (isobars) છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) બાહ્ય ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત કોઈલના દોલનનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MB}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ જડત્વની ચાકમાત્રા,$M$ એ ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ અને $B$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર છે.
ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = NIA$ હોવાથી,$M \propto I_{curr}$ થાય.
તેથી,$T \propto \frac{1}{\sqrt{M}} \propto \frac{1}{\sqrt{I_{curr}}}$.
અહીં $I_{curr1} = 2.5 \ A$ અને $I_{curr2} = 10 \ A$ આપેલ છે,તેથી $\frac{T_2}{T_1} = \sqrt{\frac{I_{curr1}}{I_{curr2}}} = \sqrt{\frac{2.5}{10}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$.
આમ,$T_2 = \frac{T_1}{2} = \frac{T}{2}$ થાય.

(A) કાચના સ્લેબ માટે,સમતુલ્ય કેન્દ્રલંબાઈ $F = \infty$ હોય છે.
$f_1$ અને $f_2$ કેન્દ્રલંબાઈ ધરાવતા બે પાતળા લેન્સ $d$ અંતરે રાખેલા હોય,તો તેમની સમતુલ્ય કેન્દ્રલંબાઈ $F$ માટેનું સૂત્ર:
$\frac{1}{F} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2} - \frac{d}{f_1 f_2}$
આ સંયોજન કાચના સ્લેબ તરીકે વર્તે છે,તેથી $F = \infty$ લેતા,$\frac{1}{F} = 0$ થાય.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા:
$0 = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2} - \frac{d}{f_1 f_2}$
$0 = \frac{f_2 + f_1}{f_1 f_2} - \frac{d}{f_1 f_2}$
$\frac{d}{f_1 f_2} = \frac{f_1 + f_2}{f_1 f_2}$
$d = f_1 + f_2$
આમ,લેન્સ વચ્ચેનું અંતર $f_1 + f_2$ હોવું જોઈએ.

(B) આપેલ છે,લેન્સનો પાવર $P = 2 \ D$.
લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f = \frac{1}{P} = \frac{100}{2} = 50 \ cm$ છે.
નજીકના બિંદુની ખામી (હાઈપરમેટ્રોપિયા) ધરાવતી વ્યક્તિ માટે,લેન્સ પ્રમાણિત નજીકના બિંદુ $(u = -25 \ cm)$ પર મૂકેલી વસ્તુનું પ્રતિબિંબ વ્યક્તિના વાસ્તવિક નજીકના બિંદુ $(v)$ પર બનાવે છે.
લેન્સના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{50} = \frac{1}{v} - \frac{1}{-25}$.
$\frac{1}{50} = \frac{1}{v} + \frac{1}{25}$.
$\frac{1}{v} = \frac{1}{50} - \frac{1}{25} = \frac{1 - 2}{50} = -\frac{1}{50}$.
તેથી,$v = -50 \ cm$.
આમ,નજીકનું બિંદુ $50 \ cm$ છે.

(C) પાતળા બહિર્ગોળ લેન્સ માટે,$P = +4 \ D$,$\mu_{\ell} = \frac{3}{2}$,$\mu_m = \frac{5}{3}$.
$P = \frac{1}{f_a}$ હોવાથી,$f_a = \frac{1}{4} \ m = 25 \ cm$ મળે.
હવામાં,લેન્સ મેકરનું સૂત્ર $\frac{1}{f_a} = (\mu_{\ell} - 1) \left(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}\right)$ ... $(i)$ છે.
પ્રવાહી માધ્યમમાં,કેન્દ્રલંબાઈ $f_m$ માટે $\frac{1}{f_m} = \left(\frac{\mu_{\ell}}{\mu_m} - 1\right) \left(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}\right)$ ... (ii) છે.
સમીકરણ (ii) ને $(i)$ વડે ભાગતા,$\frac{f_a}{f_m} = \frac{(\mu_{\ell} - 1)}{(\frac{\mu_{\ell}}{\mu_m} - 1)}$ મળે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{f_a}{f_m} = \frac{(\frac{3}{2} - 1)}{(\frac{3/2}{5/3} - 1)} = \frac{1/2}{(9/10 - 1)} = \frac{1/2}{-1/10} = -5$.
તેથી,$f_m = -5 \times f_a = -5 \times 25 \ cm = -125 \ cm$.
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે લેન્સ $125 \ cm$ કેન્દ્રલંબાઈ ધરાવતા અંતર્ગોળ લેન્સ તરીકે વર્તે છે.

(C) સમતલ-બહિર્ગોળ લેન્સ માટે,વક્રતા ત્રિજ્યા $R$,છિદ્રની ત્રિજ્યા $r$ અને જાડાઈ $t$ વચ્ચેનો સંબંધ ભૂમિતિ પરથી મળે છે: $R^2 = r^2 + (R-t)^2$. કારણ કે $t$ ખૂબ નાનું છે,$R^2 = r^2 + R^2 - 2Rt + t^2 \approx r^2 + R^2 - 2Rt$,જેનું સાદું રૂપ $R = \frac{r^2}{2t}$ થાય છે.
લેન્સ મેકર્સ ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{f} = (n-1) \left(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}\right)$. સમતલ-બહિર્ગોળ લેન્સ માટે,$R_1 = R$ અને $R_2 = \infty$,તેથી $\frac{1}{f} = (n-1) \frac{1}{R}$,જે આપે છે $R = f(n-1)$.
$R$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $f(n-1) = \frac{r^2}{2t}$.
અહીં $f = 73.5 \ cm$,$n = \frac{5}{3}$,અને વ્યાસ $d = 8.4 \ cm$ હોવાથી $r = \frac{d}{2} = 4.2 \ cm$.
કિંમતો મૂકતા: $73.5 \times \left(\frac{5}{3} - 1\right) = \frac{(4.2)^2}{2t}$.
$73.5 \times \frac{2}{3} = \frac{17.64}{2t} \Rightarrow 49 = \frac{8.82}{t}$.
$t = \frac{8.82}{49} \ cm = 0.18 \ cm = 1.8 \ mm$.

(C) બહિર્ગોળ લેન્સ માટે,સ્થાનાંતરની રીત મુજબ,જ્યારે વસ્તુ અને પડદા વચ્ચેનું અંતર નિશ્ચિત હોય,ત્યારે લેન્સના બે એવા સ્થાન મળે છે જ્યાં પડદા પર સ્પષ્ટ પ્રતિબિંબ રચાય છે.
ધારો કે $h_0$ એ વસ્તુની ઊંચાઈ છે,$h_1$ એ પ્રથમ પ્રતિબિંબની ઊંચાઈ છે અને $h_2$ એ બીજા પ્રતિબિંબની ઊંચાઈ છે.
આ ઊંચાઈઓ વચ્ચેનો સંબંધ $h_0 = \sqrt{h_1 \times h_2}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: $h_0 = 12 \ cm$ અને $h_1 = 18 \ cm$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$12 = \sqrt{18 \times h_2}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$144 = 18 \times h_2$
$h_2 = \frac{144}{18} = 8 \ cm$.
તેથી,બીજા પ્રતિબિંબની ઊંચાઈ $8 \ cm$ છે.

(B) આપેલ છે:
ઓબ્જેક્ટિવનો વ્યાસ,$d = 3.6 \ m$
પ્રકાશની તરંગલંબાઇ,$\lambda = 540 \ nm = 540 \times 10^{-9} \ m$
ટેલિસ્કોપની વિભેદન સીમા $(d\theta)$ શોધવાનું સૂત્ર:
$d\theta = \frac{1.22 \lambda}{d}$
કિંમતો મૂકતા:
$d\theta = \frac{1.22 \times 540 \times 10^{-9} \ m}{3.6 \ m}$
$d\theta = \frac{658.8 \times 10^{-9}}{3.6} \ rad$
$d\theta = 183 \times 10^{-9} \ rad$
$d\theta = 1.83 \times 10^{-7} \ rad$

(D) પ્રિઝમ માટે,ખૂણાઓ વચ્ચેનો સંબંધ $A + \delta = i + e$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A$ એ પ્રિઝમનો ખૂણો છે,$\delta$ એ વિચલનકોણ છે,$i$ એ આપાતકોણ છે અને $e$ એ નિર્ગમનકોણ છે.
આપેલ છે કે પ્રિઝમ સમબાજુ છે,તેથી પ્રિઝમનો ખૂણો $A = 60^{\circ}$ છે.
આપાતકોણ $i$ અને નિર્ગમનકોણ $e$ બંને પ્રિઝમના ખૂણાના $70 \%$ છે.
તેથી,$i = e = 0.70 \times 60^{\circ} = 42^{\circ}$.
આ કિંમતોને $A + \delta = i + e$ સૂત્રમાં મૂકતા:
$60^{\circ} + \delta = 42^{\circ} + 42^{\circ}$
$60^{\circ} + \delta = 84^{\circ}$
$\delta = 84^{\circ} - 60^{\circ} = 24^{\circ}$.
આમ,વિચલનકોણ $24^{\circ}$ છે.

(A) પાતળા પ્રિઝમ માટે,લઘુત્તમ વિચલન કોણ $\delta$ નું સૂત્ર $\delta = A(\mu - 1)$ છે,જ્યાં $A$ એ પ્રિઝમનો ખૂણો છે અને $\mu$ એ આસપાસના માધ્યમની સાપેક્ષમાં પ્રિઝમનો વક્રીભવનાંક છે.
$1$. જ્યારે પ્રિઝમ હવામાં હોય:
હવાની સાપેક્ષમાં પ્રિઝમનો વક્રીભવનાંક $\mu_1 = \frac{3}{2}$ છે.
તેથી,લઘુત્તમ વિચલન કોણ $\delta_1 = A(\frac{3}{2} - 1) = A(\frac{1}{2}) = \frac{A}{2}$ થાય.
$2$. જ્યારે પ્રિઝમ પાણીમાં હોય:
પાણીનો વક્રીભવનાંક $\mu_w = \frac{4}{3}$ છે. પાણીની સાપેક્ષમાં પ્રિઝમનો વક્રીભવનાંક $\mu_2 = \frac{\mu_g}{\mu_w} = \frac{3/2}{4/3} = \frac{9}{8}$ થાય.
તેથી,લઘુત્તમ વિચલન કોણ $\delta_2 = A(\frac{9}{8} - 1) = A(\frac{1}{8}) = \frac{A}{8}$ થાય.
$3$. લઘુત્તમ વિચલન કોણનો ગુણોત્તર:
$\frac{\delta_1}{\delta_2} = \frac{A/2}{A/8} = \frac{8}{2} = \frac{4}{1}$.
આમ,ગુણોત્તર $4: 1$ છે.

(B) આપેલ છે: વક્રીભવનાંક $\mu = 1.6$,લઘુત્તમ વિચલન કોણ $\delta_m = 4.2^{\circ}$.
નાના ખૂણાવાળા પ્રિઝમ માટે,વિચલન કોણ $\delta$,વક્રીભવનાંક $\mu$ અને પ્રિઝમ કોણ $A$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે: $\delta = (\mu - 1)A$.
આ સૂત્રમાં આપેલી કિંમતો મૂકતા:
$4.2^{\circ} = (1.6 - 1)A$
$4.2^{\circ} = (0.6)A$
$A = \frac{4.2^{\circ}}{0.6} = 7^{\circ}$.
તેથી,પ્રિઝમનો ખૂણો $7^{\circ}$ છે.

(A) પગલું $1$: લોડ રઝિસ્ટરમાંથી વહેતો પ્રવાહ $(I_L)$
ઝેનર ડાયોડ વોલ્ટેજને $30 \text{ V}$ પર નિયંત્રિત કરતું હોવાથી,લોડ રઝિસ્ટર $(R_L = 6 \text{ k}\Omega)$ પરનો વોલ્ટેજ પણ $30 \text{ V}$ રહેશે.
લોડ રઝિસ્ટરમાંથી વહેતો પ્રવાહ,$I_L$:
$I_L = \frac{V_Z}{R_L} = \frac{30 \text{ V}}{6 \text{ k}\Omega} = 5 \text{ mA}$
પગલું $2$: સર્કિટમાં કુલ પ્રવાહ $(I_{\text{total}})$
સ્ત્રોત દ્વારા પૂરો પાડવામાં આવતો કુલ પ્રવાહ,$I_{\text{total}}$:
$I_{\text{total}} = \frac{V_{\text{in}} - V_Z}{R_{\text{total}}}$
જ્યાં $R_{\text{total}} = 5 \text{ k}\Omega + 2 \text{ k}\Omega = 7 \text{ k}\Omega$.
મહત્તમ $I_{\text{total}}$ માટે,આપણે મહત્તમ ઇનપુટ વોલ્ટેજ $V_{\text{in}} = 100 \text{ V}$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$I_{\text{total}} = \frac{100 \text{ V} - 30 \text{ V}}{7 \text{ k}\Omega} = \frac{70 \text{ V}}{7 \text{ k}\Omega} = 10 \text{ mA}$
પગલું $3$: ઝેનર ડાયોડનો મહત્તમ પ્રવાહ $(I_{Z \max})$
ઝેનર ડાયોડનો પ્રવાહ $I_Z$ એ કુલ પ્રવાહ અને લોડ પ્રવાહ વચ્ચેનો તફાવત છે:
$I_{Z \max} = I_{\text{total}} - I_L = 10 \text{ mA} - 5 \text{ mA} = 5 \text{ mA}$
અંતિમ જવાબ:
ઝેનર ડાયોડમાંથી વહેતો મહત્તમ પ્રવાહ $5 \text{ mA}$ છે.

(A) ટ્રાન્ઝિસ્ટર તેના એક્ટિવ રિજન (સક્રિય વિસ્તાર) માં એમ્પ્લીફાયર તરીકે કાર્ય કરે છે.
એક્ટિવ રિજનમાં,એમિટર-બેઝ જંકશન ફોરવર્ડ બાયસ્ડ હોય છે અને કલેક્ટર-બેઝ જંકશન રિવર્સ બાયસ્ડ હોય છે.
આ ગોઠવણી ટ્રાન્ઝિસ્ટરને કરંટ અને વોલ્ટેજ ગેઇન પ્રદાન કરવાની મંજૂરી આપે છે,જે તેને એમ્પ્લીફિકેશનના હેતુઓ માટે યોગ્ય બનાવે છે.
તેનાથી વિપરીત,કટ-ઓફ રિજન ઓપન સ્વીચ ($OFF$ સ્થિતિ) તરીકે કાર્ય કરે છે,અને સેચ્યુરેશન રિજન ક્લોઝ્ડ સ્વીચ ($ON$ સ્થિતિ) તરીકે કાર્ય કરે છે.

(A) કોમન એમિટર કોન્ફિગરેશનમાં ટ્રાન્ઝિસ્ટર માટે, વોલ્ટેજ ગેઇન $A_V$ એ કરંટ ગેઇન $\beta$ અને રેઝિસ્ટન્સ ગેઇન $R_C/R_B$ ના ગુણાકાર જેટલો હોય છે.
$A_V = \beta \times \frac{R_C}{R_B}$
આપેલ છે: $A_V = 160$, $R_B = 1 \text{ k}\Omega$, $R_C = 4 \text{ k}\Omega$, અને $\Delta I_B = 100 \mu A$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\beta = \frac{\Delta I_C}{\Delta I_B}$.
આ કિંમતને વોલ્ટેજ ગેઇનના સૂત્રમાં મૂકતા:
$A_V = \left(\frac{\Delta I_C}{\Delta I_B}\right) \times \frac{R_C}{R_B}$
$160 = \left(\frac{\Delta I_C}{100 \times 10^{-6} \text{ A}}\right) \times \left(\frac{4 \text{ k}\Omega}{1 \text{ k}\Omega}\right)$
$160 = \left(\frac{\Delta I_C}{100 \times 10^{-6}}\right) \times 4$
$40 = \frac{\Delta I_C}{100 \times 10^{-6}}$
$\Delta I_C = 40 \times 100 \times 10^{-6} \text{ A} = 4000 \times 10^{-6} \text{ A} = 4 \times 10^{-3} \text{ A} = 4 \text{ mA}$.
આમ, આઉટપુટ પ્રવાહમાં ફેરફાર $4 \text{ mA}$ છે.

(B) આ સર્કિટમાં એક $NOR$ ગેટ છે જેની પાછળ એક $AND$ ગેટ અને એક $OR$ ગેટ જોડાયેલા છે.
ધારો કે $NOR$ ગેટનું આઉટપુટ $C = \overline{A + B}$ છે.
આપેલ છે કે $A = 1$ અને $B = 1$,તેથી $NOR$ ગેટનું આઉટપુટ $C = \overline{1 + 1} = \overline{1} = 0$ થશે.
આઉટપુટ $y_1$ એ $AND$ ગેટનું આઉટપુટ છે જેના ઇનપુટ $A$ અને $C$ છે. તેથી,$y_1 = A \cdot C = 1 \cdot 0 = 0$.
આઉટપુટ $y_2$ એ $OR$ ગેટનું આઉટપુટ છે જેના ઇનપુટ $B$ અને $C$ છે. તેથી,$y_2 = B + C = 1 + 0 = 1$.
આમ,$y_1 = 0$ અને $y_2 = 1$ મળે છે.

(B) આ સર્કિટમાં એક $NOR$ ગેટ અને એક $NAND$ ગેટનો સમાવેશ થાય છે.
$1$. $NOR$ ગેટ માટેના ઇનપુટ $A=1$ અને $B=0$ છે. $NOR$ ગેટનું આઉટપુટ $y_2 = \overline{A+B} = \overline{1+0} = \overline{1} = 0$ થાય છે.
$2$. $NAND$ ગેટ માટેના ઇનપુટ $A=1$ અને $NOR$ ગેટનું આઉટપુટ $y_2=0$ છે. $NAND$ ગેટનું આઉટપુટ $y_1 = \overline{A \cdot y_2} = \overline{1 \cdot 0} = \overline{0} = 1$ થાય છે.
તેથી,$y_1$ અને $y_2$ ના મૂલ્યો અનુક્રમે $1$ અને $0$ છે.

(D) રેક્ટિફાયર $AC$ ને ધબકતા (pulsating) $DC$ માં રૂપાંતરિત કરે છે. રિપલ્સ દૂર કરવા અને સરળ અથવા સ્થિર $DC$ આઉટપુટ મેળવવા માટે,આઉટપુટ ટર્મિનલ્સ પર સમાંતરમાં એક કેપેસિટર જોડવામાં આવે છે. કેપેસિટર પલ્સના શિખર દરમિયાન ચાર્જ થઈને અને ખીણ (valley) દરમિયાન ડિસ્ચાર્જ થઈને ફિલ્ટર તરીકે કાર્ય કરે છે,જેનાથી વોલ્ટેજમાં થતા ફેરફારોને દૂર કરી શકાય છે.

(D) રેક્ટિફાયર $AC$ ને પલ્સિંગ $DC$ માં રૂપાંતરિત કરે છે. સ્થિર $DC$ આઉટપુટ મેળવવા માટે,ફિલ્ટર સર્કિટનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે. આઉટપુટ ટર્મિનલ્સ સાથે સમાંતરમાં જોડાયેલ કેપેસિટર ફિલ્ટર તરીકે કાર્ય કરે છે કારણ કે તે પલ્સિંગ $DC$ ના પીક દરમિયાન ચાર્જ થાય છે અને જ્યારે વોલ્ટેજ ઘટે છે ત્યારે ડિસ્ચાર્જ થાય છે,જેનાથી આઉટપુટ સ્મૂધ થાય છે અને સ્થિર $DC$ વોલ્ટેજ મળે છે.

(C) $\text{આંતરિક અર્ધવાહક માટે, દ્રવ્યમાન ક્રિયાનો નિયમ જણાવે છે કે } n_i^2 = n_e n_h, \text{ જ્યાં } n_i \text{ એ આંતરિક વાહક સાંદ્રતા છે, } n_e \text{ એ ઇલેક્ટ્રોન સાંદ્રતા છે અને } n_h \text{ એ હોલ સાંદ્રતા છે.}
\text{આપેલ છે કે } n_i = 6 \times 10^{15} \,m^{-3} \text{ અને ડોપ્ડ ઇલેક્ટ્રોન સાંદ્રતા } n_e = 4 \times 10^{22} \,m^{-3}.
\text{આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:}
(6 \times 10^{15})^2 = (4 \times 10^{22}) \times n_h
36 \times 10^{30} = 4 \times 10^{22} \times n_h
n_h = \frac{36 \times 10^{30}}{4 \times 10^{22}}
n_h = 9 \times 10^8 \,m^{-3}$.

(C) $n$-ટાઈપ સેમિકન્ડક્ટર એ શુદ્ધ સેમિકન્ડક્ટરમાં પેન્ટાવેલેન્ટ અશુદ્ધિ ઉમેરીને બનાવવામાં આવે છે. જોકે મુક્ત ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા હોલ્સની સંખ્યા કરતા વધારે હોય છે,પરંતુ કુલ ઋણ વીજભાર (ઇલેક્ટ્રોન) ની સંખ્યા કુલ ધન વીજભાર (ન્યુક્લિયસમાં રહેલા પ્રોટોન અને આયોનાઇઝ્ડ ડોનર પરમાણુઓ) દ્વારા બરાબર સંતુલિત હોય છે. તેથી,$n$-ટાઈપ સેમિકન્ડક્ટરનો ચોખ્ખો વીજભાર શૂન્ય હોય છે,જે તેને વિદ્યુતની દ્રષ્ટિએ તટસ્થ બનાવે છે.

(C) બ્રુસ્ટરનો નિયમ જણાવે છે કે બ્રુસ્ટર ખૂણો $i_p$ એ માધ્યમના વક્રીભવનાંક $\mu$ સાથે નીચે મુજબ સંબંધિત છે: $i_p = \tan ^{-1}(\mu)$.
અહીં આપેલ છે કે કાચનો વક્રીભવનાંક $\mu = 1.5$ છે.
સૂત્રમાં $\mu$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને મળે છે $i_p = \tan ^{-1}(1.5)$.
કારણ કે $1.5 = \frac{3}{2}$,તેથી બ્રુસ્ટર ખૂણો $i_p = \tan ^{-1}\left(\frac{3}{2}\right)$ થશે.

(D) આપેલ છે: બલ્બનો પાવર $P = 60 \ W$,કાર્યક્ષમતા $\eta = 16 \% = 0.16$,અંતર $r = 2 \ m$.
પ્રથમ,$r$ અંતરે બલ્બ દ્વારા ઉત્સર્જિત વિદ્યુતચુંબકીય વિકિરણની તીવ્રતાની ગણતરી કરો:
વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો તરીકે ઉત્સર્જિત પાવર $P_{rad} = \eta \times P = 0.16 \times 60 = 9.6 \ W$.
$r$ અંતરે તીવ્રતા $I = \frac{P_{rad}}{4 \pi r^2} = \frac{9.6}{4 \pi (2)^2} = \frac{9.6}{16 \pi} = \frac{0.6}{\pi} \ W/m^2$.
વિદ્યુતચુંબકીય તરંગની તીવ્રતા અને મહત્તમ વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_0$ વચ્ચેનો સંબંધ $I = \frac{1}{2} c \epsilon_0 E_0^2$ છે.
તીવ્રતા માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\frac{0.6}{\pi} = \frac{1}{2} c \epsilon_0 E_0^2$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \epsilon_0}}$ અને $\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} = 9 \times 10^9$,તેથી $\epsilon_0 = \frac{1}{36 \pi \times 10^9}$.
$c = 3 \times 10^8 \ m/s$ નો ઉપયોગ કરતા,$E_0^2 = \frac{2 \times I}{c \epsilon_0} = \frac{2 \times 0.6 / \pi}{3 \times 10^8 \times (1 / (36 \pi \times 10^9))}$.
$E_0^2 = \frac{1.2}{\pi} \times \frac{36 \pi \times 10^9}{3 \times 10^8} = 1.2 \times 12 \times 10 = 144$.
તેથી,$E_0 = \sqrt{144} = 12 \ Vm^{-1}$.

(A) ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં પ્રકાશની તીવ્રતા $I = I_{max} \cos^2(\frac{\pi \Delta x}{\lambda})$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\Delta x$ એ પથ તફાવત છે.
પ્રથમ બિંદુ માટે,$\Delta x_1 = 2000 \ Å$ અને $\lambda = 6000 \ Å$.
કળા તફાવત $\phi_1 = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x_1 = \frac{2\pi}{6000} \times 2000 = \frac{2\pi}{3} = 120^{\circ}$.
તીવ્રતા $I_1 = I_{max} \cos^2(\frac{120^{\circ}}{2}) = I_{max} \cos^2(60^{\circ}) = I_{max} (1/2)^2 = I_{max}/4$.
બીજા બિંદુ માટે,$\Delta x_2 = 1000 \ Å$.
કળા તફાવત $\phi_2 = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x_2 = \frac{2\pi}{6000} \times 1000 = \frac{\pi}{3} = 60^{\circ}$.
તીવ્રતા $I_2 = I_{max} \cos^2(\frac{60^{\circ}}{2}) = I_{max} \cos^2(30^{\circ}) = I_{max} (\sqrt{3}/2)^2 = 3I_{max}/4$.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{I_1}{I_2} = \frac{I_{max}/4}{3I_{max}/4} = \frac{1}{3}$.
આમ,$I_1: I_2 = 1: 3$.

(A) વ્યતિકરણ ભાતમાં તીવ્રતા $I_{res} = I_{max} \cos^2(\frac{\phi}{2})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\phi$ એ કળા તફાવત છે.
પથ તફાવત $\Delta x = \lambda$ માટે,કળા તફાવત $\phi_1 = \frac{2\pi}{\lambda} \cdot \lambda = 2\pi$ થાય.
તીવ્રતા $I = I_{max} \cos^2(\frac{2\pi}{2}) = I_{max} \cos^2(\pi) = I_{max}(1)^2 = I_{max}$ થાય.
પથ તફાવત $\Delta x = \frac{\lambda}{3}$ માટે,કળા તફાવત $\phi_2 = \frac{2\pi}{\lambda} \cdot \frac{\lambda}{3} = \frac{2\pi}{3}$ થાય.
આ બિંદુએ તીવ્રતા $I' = I_{max} \cos^2(\frac{\phi_2}{2}) = I_{max} \cos^2(\frac{2\pi/3}{2}) = I_{max} \cos^2(\frac{\pi}{3})$ થાય.
કારણ કે $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$,તેથી $I' = I_{max} (\frac{1}{2})^2 = \frac{I_{max}}{4}$ મળે.
અહીં $I_{max} = I$ હોવાથી,તીવ્રતા $\frac{I}{4}$ થશે.

(A) સમાન વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ માં વિદ્યુતભારિત કણનો પ્રવેગ $a = \frac{qE}{m}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કણો સ્થિર સ્થિતિ $(u = 0)$ થી શરૂ થતા હોવાથી,$t$ સમય પછીનો વેગ $v = at = \left(\frac{qE}{m}\right)t$ થાય.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,વિદ્યુતક્ષેત્ર દ્વારા થયેલું કાર્ય $W$ એ ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર $\Delta K$ જેટલું હોય છે:
$W = \Delta K = \frac{1}{2}mv^2$.
$v$ નું સૂત્ર મૂકતા:
$W = \frac{1}{2}m\left(\frac{qEt}{m}\right)^2 = \frac{q^2 E^2 t^2}{2m}$.
અહીં $E$ અને $t$ બંને કણો માટે સમાન હોવાથી,$W \propto \frac{q^2}{m}$ થાય.
પ્રોટોન માટે,$q_p = e$ અને $m_p = m$. $\alpha$-કણ માટે,$q_\alpha = 2e$ અને $m_\alpha = 4m$.
તેથી,ગુણોત્તર:
$\frac{W_p}{W_\alpha} = \left(\frac{q_p}{q_\alpha}\right)^2 \left(\frac{m_\alpha}{m_p}\right) = \left(\frac{e}{2e}\right)^2 \left(\frac{4m}{m}\right) = \left(\frac{1}{4}\right) \times 4 = 1: 1$.