TS EAMCET 2023 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A) ધારો કે દરેક ડગલાની લંબાઈ $d$ છે. પ્રારંભિક સ્થાન $(0, 0)$ છે.
$1$. $2$ ડગલાં પૂર્વમાં: સ્થાન $(2d, 0)$ થાય છે.
$2$. જમણી તરફ (દક્ષિણ) વળીને $4$ ડગલાં: સ્થાન $(2d, -4d)$ થાય છે.
$3$. જમણી તરફ (પશ્ચિમ) વળીને $6$ ડગલાં: સ્થાન $(2d - 6d, -4d) = (-4d, -4d)$ થાય છે.
$4$. જમણી તરફ (ઉત્તર) વળીને બાકીના ડગલાં ચાલે છે. અત્યાર સુધી કુલ $2 + 4 + 6 = 12$ ડગલાં ચાલ્યા છે. બાકી રહેલા ડગલાં $= 20 - 12 = 8$ ડગલાં ઉત્તરમાં.
અંતિમ સ્થાન $= (-4d, -4d + 8d) = (-4d, 4d)$.
અંતિમ સ્થાન બીજા ચરણમાં (પશ્ચિમ અને ઉત્તર) છે. $x$ અને $y$ યામ સમાન મૂલ્યના હોવાથી $(|-4d| = |4d|)$,આ સ્થાન પશ્ચિમથી ઉત્તર તરફ બરાબર $45^{\circ}$ ના ખૂણે છે,એટલે કે ઉત્તર-પશ્ચિમ દિશામાં છે.

(B) પક્ષીનો વેગ $v(t) = t - 2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
અંતર એ વેગના મૂલ્યનું સંકલન હોવાથી, આપણે ગણતરી કરીએ:
$\text{અંતર} = \int_{0}^{4} |v(t)| \text{ dt} = \int_{0}^{4} |t - 2| \text{ dt}$.
આપણે સંકલનને $t = 2 \text{ s}$ પર વિભાજિત કરીએ છીએ જ્યાં વેગની દિશા બદલાય છે:
$\text{અંતર} = \int_{0}^{2} -(t - 2) \text{ dt} + \int_{2}^{4} (t - 2) \text{ dt}$.
પ્રથમ ભાગની ગણતરી:
$\int_{0}^{2} (2 - t) \text{ dt} = [2t - \frac{t^2}{2}]_{0}^{2} = (4 - 2) - 0 = 2 \text{ m}$.
બીજા ભાગની ગણતરી:
$\int_{2}^{4} (t - 2) \text{ dt} = [\frac{t^2}{2} - 2t]_{2}^{4} = (8 - 8) - (2 - 4) = 0 - (-2) = 2 \text{ m}$.
કુલ અંતર $= 2 \text{ m} + 2 \text{ m} = 4 \text{ m}$.

(D) આપેલ છે કે પદાર્થ સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થાય છે,તેથી પ્રારંભિક વેગ $u = 0$.
ધારો કે સમાન પ્રવેગ $a$ છે.
$n$ સેકન્ડ પછીનો વેગ $v = u + at$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,$V = 0 + a(n)$,જે આપણને $a = \frac{V}{n}$ આપે છે.
છેલ્લી $t = 2 \text{ s}$ માં સ્થાનાંતર $S$ ની ગણતરી $S = v_{final}t - \frac{1}{2}at^2$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કરી શકાય છે,જ્યાં $v_{final} = V$.
$S = V(2) - \frac{1}{2} \left(\frac{V}{n}\right)(2)^2$.
$S = 2V - \frac{1}{2} \left(\frac{V}{n}\right)(4)$.
$S = 2V - \frac{2V}{n}$.
$S = 2V \left(1 - \frac{1}{n}\right) = \frac{2V(n-1)}{n}$.

(B) આપેલ છે: વિમાનનો વેગ,$u = 60 \ km/h = 60 \times \frac{5}{18} \ m/s = \frac{50}{3} \ m/s$.
વિમાનની ઊંચાઈ,$h = 490 \ m$.
ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ,$g = 9.8 \ m/s^2$.
બોમ્બને જમીન સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય $h = \frac{1}{2}gt^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,તેથી $t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$.
$t = \sqrt{\frac{2 \times 490}{9.8}} = \sqrt{\frac{980}{9.8}} = \sqrt{100} = 10 \ s$.
આ સમયમાં બોમ્બ દ્વારા કાપવામાં આવેલ આડું અંતર $R = u \times t$ છે.
$R = \left(\frac{50}{3}\right) \times 10 = \frac{500}{3} \ m$.

(C) પ્રારંભિક વેગ $u = 50 \ m/s$,ખૂણો $\theta = 30^{\circ}$,$g = 10 \ m/s^2$.
વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક $u_x = u \cos \theta = 50 \cos 30^{\circ} = 50 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 25\sqrt{3} \ m/s$.
વેગનો શિરોલંબ ઘટક $u_y = u \sin \theta = 50 \sin 30^{\circ} = 50 \times 0.5 = 25 \ m/s$.
કુલ અવધિ (Range) $R = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g} = \frac{50^2 \sin 60^{\circ}}{10} = \frac{2500 \times \sqrt{3}}{20} = 125\sqrt{3} \ m \approx 216.5 \ m$.
$t = 3 \ s$ માં કાપેલું સમક્ષિતિજ અંતર $x = u_x \times t = 25\sqrt{3} \times 3 = 75\sqrt{3} \ m \approx 129.9 \ m$.
દીવાલની પેલે પાર પથ્થર જ્યાં જમીન પર અથડાશે તે અંતર $R - x = 125\sqrt{3} - 75\sqrt{3} = 50\sqrt{3} \ m$.
$50 \times 1.732 = 86.6 \ m$.

(D) વેગ સદિશ $\vec{v}$ ને $X$ અને $Y$ અક્ષ પરના લંબ ઘટકોમાં વિભાજિત કરી શકાય છે.
આપેલ મૂલ્ય $v = 10 \ m/s$ અને ખૂણો $\theta = 60^{\circ}$ છે.
ઘટકો નીચે મુજબ છે:
$v_x = v \cos \theta = 10 \cos 60^{\circ} = 10 \times \frac{1}{2} = 5 \ m/s$
$v_y = v \sin \theta = 10 \sin 60^{\circ} = 10 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 5 \sqrt{3} \ m/s$
આમ,વેગ સદિશ $\vec{v} = v_x \hat{i} + v_y \hat{j} = 5 \hat{i} + 5 \sqrt{3} \hat{j} \ m/s$ થાય.

(D) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ માટે મહત્તમ સમક્ષિતિજ અવધિ $R_{\max}$ નું સૂત્ર $R_{\max} = \frac{u^2}{g}$ છે.
આપેલ છે કે $R_{\max} = 80 \,m$, તેથી $80 = \frac{u^2}{g}$, જેનો અર્થ છે કે $u^2 = 80g$.
જ્યારે દડાને સમાન વેગ $u$ સાથે શિરોલંબ ઉપરની તરફ ફેંકવામાં આવે, ત્યારે પ્રાપ્ત થતી મહત્તમ ઊંચાઈ $H$ માટે ગતિનું સમીકરણ $v^2 = u^2 - 2gH$ છે.
મહત્તમ ઊંચાઈએ, અંતિમ વેગ $v = 0$ થાય છે.
કિંમતો મૂકતા: $0 = u^2 - 2gH$.
$2gH = u^2$.
કારણ કે $u^2 = 80g$, તેથી $2gH = 80g$.
$H = \frac{80g}{2g} = 40 \,m$.

(B) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થના પથનું કાર્તેઝિયન સમીકરણ $y = x \tan \theta - \frac{g x^2}{2 u^2 \cos^2 \theta}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ પ્રારંભિક વેગ સદિશ $\vec{u} = \hat{i} + 2 \hat{j} \,ms^{-1}$ છે.
અહીં, સમક્ષિતિજ ઘટક $u_x = 1 \,ms^{-1}$ અને શિરોલંબ ઘટક $u_y = 2 \,ms^{-1}$ છે.
સમક્ષિતિજ સ્થાનાંતર $x = u_x t = 1 \cdot t$ છે, તેથી $t = x$.
શિરોલંબ સ્થાનાંતર $y = u_y t - \frac{1}{2} g t^2$ છે.
$y$ ના સમીકરણમાં $t = x$ મૂકતા:
$y = 2(x) - \frac{1}{2} (10) (x)^2$.
$y = 2x - 5x^2$.

(A) $R$ ત્રિજ્યાવાળા વર્તુળાકાર પથ પર $\omega$ કોણીય ઝડપથી ગતિ કરતા કણનો કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $a_c = R \omega^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધારો કે પ્રારંભિક કોણીય ઝડપ $\omega_1 = \omega$ છે અને અંતિમ કોણીય ઝડપ $\omega_2 = 2\omega$ છે.
પ્રારંભિક કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $a_1 = R \omega^2$ છે.
અંતિમ કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $a_2 = R \omega_2^2 = R (2\omega)^2 = 4 R \omega^2$ છે.
બંનેની સરખામણી કરતા,આપણને $a_2 = 4 a_1$ મળે છે.
તેથી,કેન્દ્રગામી પ્રવેગ પ્રારંભિક મૂલ્ય કરતા $4$ ગણો થાય છે.

(A) જ્યારે પ્રવાહી ધરાવતા નળાકાર પાત્રને તેની ઉભી ધરીની આસપાસ કોણીય વેગ $\omega$ સાથે ફેરવવામાં આવે છે, ત્યારે પ્રવાહીની સપાટી પેરાબોલોઇડનો આકાર ધારણ કરે છે।
ધારો કે $r$ એ પાત્રની ત્રિજ્યા છે અને $h$ એ કેન્દ્ર અને બાજુઓ પરના પ્રવાહીના સ્તર વચ્ચેનો ઊંચાઈનો તફાવત છે।
અક્ષથી $r$ અંતરે સપાટી પરના પ્રવાહીના કણ માટે, પરિભ્રમણ કરતા ફ્રેમમાં લાગતા બળો કેન્દ્રત્યાગી બળ $(m r \omega^2)$ અને ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $(mg)$ છે।
પ્રવાહીની સપાટીનો ઢાળ $\frac{dh}{dr} = \frac{r \omega^2}{g}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
આનું $r=0$ થી $r=R$ સુધી સંકલન કરતા:
$\int_0^h dh = \int_0^R \frac{\omega^2}{g} r dr$
$h = \frac{\omega^2 R^2}{2g}$
આપેલ છે કે $R = 0.05 \,m$, $\omega = 10 \,rad \,s^{-1}$, અને $g = 10 \,m \,s^{-2}$:
$h = \frac{(10)^2 \times (0.05)^2}{2 \times 10}$
$h = \frac{100 \times 0.0025}{20} = \frac{0.25}{20} = 0.0125 \,m$
$h = 125 \times 10^{-4} \,m$.

(B) જ્યારે કાર વધતી જતી ઝડપ સાથે વર્તુળાકાર માર્ગ પર ગતિ કરે છે ત્યારે તે બે પ્રકારના પ્રવેગ અનુભવે છે:
$1$. ત્રિજ્યાવર્તી (કેન્દ્રગામી) પ્રવેગ: $a_r = \frac{V^2}{r}$,જે વર્તુળાકાર માર્ગના કેન્દ્ર તરફ હોય છે.
$2$. સ્પર્શકીય પ્રવેગ: $a_t = a$,જે માર્ગના સ્પર્શકની દિશામાં હોય છે.
આ બંને પ્રવેગ એકબીજાને લંબ હોવાથી,પરિણામી પ્રવેગ $a_R$ સદિશ સરવાળા દ્વારા મળે છે:
$a_R = \sqrt{a_r^2 + a_t^2}$
કિંમતો મૂકતા:
$a_R = \sqrt{(\frac{V^2}{r})^2 + a^2}$
$a_R = \sqrt{\frac{V^4}{r^2} + a^2}$

(B) કેન્દ્રગામી બળનું સૂત્ર $F = \frac{m v^2}{R}$ છે.
અહીં આપેલ છે કે બંને કણો માટે દળ $m$ અને કેન્દ્રગામી બળ $F$ અચળ છે.
ઝડપ $v$ માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $v = \sqrt{\frac{F R}{m}}$ મળે છે.
જેহেতু $F$ અને $m$ અચળ છે,તેથી ઝડપ અને ત્રિજ્યા વચ્ચેનો સંબંધ $v \propto \sqrt{R}$ થાય છે.
ત્રિજ્યાઓનો ગુણોત્તર $\frac{R_1}{R_2} = \frac{1}{2}$ આપેલ છે.
તેથી,તેમની ઝડપનો ગુણોત્તર $\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{R_1}{R_2}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ થાય.
આમ,તેમની ઝડપનો ગુણોત્તર $1 : \sqrt{2}$ છે.

(A) સ્પ્રિંગ-બ્લોક સિસ્ટમનો આવર્તકાળ $T$ એ $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જો દળ $m$ ને $4m$ દ્વારા બદલવામાં આવે,તો નવો આવર્તકાળ $T'$ એ $T' = 2\pi \sqrt{\frac{4m}{k}} = 2 \times (2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}) = 2T$ થશે.
આવર્તકાળ બમણો થવાથી,ઘડિયાળને એક દોલન પૂર્ણ કરવામાં બમણો સમય લાગે છે.
આનો અર્થ એ છે કે ઘડિયાળ ધીમી ચાલે છે. દર $1 \text{ s}$ ના વાસ્તવિક સમય માટે,ઘડિયાળ માત્ર $0.5 \text{ s}$ નોંધે છે,એટલે કે તે દર $1 \text{ s}$ એ $0.5 \text{ s}$ ગુમાવે છે.

(B) હવામાં સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2 \pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે લોલક $\sigma$ ઘનતા ધરાવતા પ્રવાહીમાં દોલન કરે છે,ત્યારે ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે અસરકારક પ્રવેગ $g' = g \left(1 - \frac{\sigma}{\rho}\right)$ થાય છે,જ્યાં $\rho$ એ ગોળાની ઘનતા છે.
પાણીમાં આવર્તકાળ $T' = 2 \pi \sqrt{\frac{L}{g'}}$ છે.
આપેલ છે કે $T' = \sqrt{2} T$,તેથી $\sqrt{2} = \frac{T'}{T} = \sqrt{\frac{g}{g'}} = \sqrt{\frac{g}{g(1 - \sigma/\rho)}} = \frac{1}{\sqrt{1 - \sigma/\rho}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$2 = \frac{1}{1 - \sigma/\rho}$,જેનો અર્થ છે કે $1 - \frac{\sigma}{\rho} = \frac{1}{2}$.
આમ,$\frac{\sigma}{\rho} = \frac{1}{2}$.
પાણીની ઘનતા $\sigma = 1 \text{ g/cm}^3$ હોવાથી,ગોળાની સાપેક્ષ ઘનતા $\rho = 2$ થાય છે.

(B) આપેલ છે: બળ $F = 6.4 \,N$, સ્થાનાંતર $x = 0.1 \,m$, અને આવર્તકાળ $T = \frac{\pi}{4} \,s$.
સૌ પ્રથમ, હૂકના નિયમનો ઉપયોગ કરીને સ્પ્રિંગ અચળાંક $k$ શોધો: $F = kx$.
$6.4 = k \times 0.1 \implies k = 64 \,N/m$.
સ્પ્રિંગ-દળ તંત્રના આવર્તકાળનું સૂત્ર $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{\pi}{4} = 2\pi \sqrt{\frac{m}{64}}$.
બંને બાજુ $\pi$ વડે ભાગતા: $\frac{1}{4} = 2 \sqrt{\frac{m}{64}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{1}{16} = 4 \times \frac{m}{64}$.
$\frac{1}{16} = \frac{m}{16}$.
તેથી, $m = 1 \,kg$.

(C) $T$ તાપમાને તાપીય સંતુલનમાં રહેલા એક-પરિમાણીય હાર્મોનિક ઓસિલેટરની સરેરાશ ઉર્જા $E$ એ ઇક્વિપાર્ટિશન પ્રમેય મુજબ $E = k_B T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ક્લાસિકલ મર્યાદામાં જ્યાં $k_B T \gg h\nu$ હોય,ત્યાં સરેરાશ ઉર્જા $E = k_B T$ થાય છે.
અહીં $k_B = 1.38 \times 10^{-23} \ J K^{-1}$ અને $T = 300 \ K$ આપેલ છે.
તેથી,$E = (1.38 \times 10^{-23}) \times 300 = 4.14 \times 10^{-21} \ J$.

(A) $\text{સરળ આવર્ત ગતિમાં } x \text{ સ્થાનાંતરે કણની ગતિઊર્જા } K = \frac{1}{2} k(A^2 - x^2) \text{ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં } A \text{ એ કંપવિસ્તાર છે.}
\text{મહત્તમ ગતિઊર્જા } K_{max} = \frac{1}{2} kA^2 \text{ છે.}
\text{આપેલ છે કે } x = 4 \,cm \text{ પર,} K = \frac{1}{3} K_{max}.
\text{સમીકરણો મૂકતા: } \frac{1}{2} k(A^2 - 4^2) = \frac{1}{3} (\frac{1}{2} kA^2).
\text{બંને બાજુ } \frac{1}{2} k \text{ વડે ભાગતા: } A^2 - 16 = \frac{A^2}{3}.
\text{પદોને ગોઠવતા: } A^2 - \frac{A^2}{3} = 16.
\frac{2A^2}{3} = 16.
A^2 = \frac{16 \times 3}{2} = 24.
A = \sqrt{24} = 2\sqrt{6} \,cm.$

(A) દોરીના $n$-માં હાર્મોનિકની આવૃત્તિ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$f = \frac{n}{2\ell} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$
જ્યાં $T$ એ તણાવ છે અને $\mu$ એ રેખીય દળ ઘનતા છે.
દોરી $AB$ ના પ્રથમ હાર્મોનિક $(n=1)$ ની આવૃત્તિ:
$f_A = \frac{1}{2\ell} \sqrt{\frac{T_A}{\mu}}$
દોરી $CD$ ના બીજા હાર્મોનિક $(n=2)$ ની આવૃત્તિ:
$f_C = \frac{2}{2\ell} \sqrt{\frac{T_C}{\mu}} = \frac{1}{\ell} \sqrt{\frac{T_C}{\mu}}$
આપેલ છે કે $f_A = f_C$:
$\frac{1}{2\ell} \sqrt{\frac{T_A}{\mu}} = \frac{1}{\ell} \sqrt{\frac{T_C}{\mu}}$
$\frac{1}{2} \sqrt{T_A} = \sqrt{T_C}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$\frac{1}{4} T_A = T_C \implies T_A = 4T_C$
સળિયો રોટેશનલ સંતુલનમાં રહે તે માટે,બિંદુ $O$ ની આસપાસ કુલ ટોર્ક શૂન્ય હોવું જોઈએ:
$T_A \cdot x = T_C \cdot (L - x)$
$T_A = 4T_C$ મૂકતા:
$4T_C \cdot x = T_C \cdot (L - x)$
$4x = L - x$
$5x = L$
$x = \frac{L}{5}$

(C) આપેલ સ્થાનાંતરનું સમીકરણ $x = 4(\cos \pi t + \sin \pi t)$ છે.
કંપવિસ્તાર શોધવા માટે,આપણે સમીકરણને $x = A \sin(\omega t + \phi)$ સ્વરૂપમાં દર્શાવીએ.
$\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ વડે ગુણતા અને ભાગતા:
$x = 4 \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \cos \pi t + \frac{1}{\sqrt{2}} \sin \pi t \right)$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $\sin \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ અને $\cos \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ છે:
$x = 4 \sqrt{2} \left( \sin \frac{\pi}{4} \cos \pi t + \cos \frac{\pi}{4} \sin \pi t \right)$.
$x = 4 \sqrt{2} \sin \left( \pi t + \frac{\pi}{4} \right)$.
આને પ્રમાણિત $SHM$ સમીકરણ $x = A \sin(\omega t + \phi)$ સાથે સરખાવતા,કંપવિસ્તાર $A = 4 \sqrt{2}$ મળે છે.

(B) સરળ આવર્ત ગતિ માટેનું સામાન્ય સમીકરણ $x = A \cos(\omega t)$ છે.
આપેલ સમીકરણ $x = 2 \cos(t)$ ને સામાન્ય સમીકરણ સાથે સરખાવતા,આપણને કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 1 \text{ rad/s}$ મળે છે.
આવર્તકાળ $T$ અને કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ વચ્ચેનો સંબંધ $T = \frac{2 \pi}{\omega}$ છે.
$\omega$ ની કિંમત મૂકતા:
$T = \frac{2 \pi}{1} = 2 \pi \text{ s}$.
તેથી,કણનો આવર્તકાળ $2 \pi \text{ સેકન્ડ}$ છે.

(C) 'ગ્રાઉન્ડ ચક્કર'નું ફરવું એ એક એવી ભ્રમણ ગતિ છે જેમાં તેની ભ્રમણની સ્થિતિ બદલવા માટે સિસ્ટમ પર કોઈ બાહ્ય ટોર્ક કાર્ય કરતું નથી.
ભ્રમણ ગતિ માટે ન્યૂટનના બીજા નિયમ મુજબ,ટોર્ક $\tau$ એ કોણીય વેગમાન $L$ ના ફેરફારના દર જેટલું હોય છે,જે $\tau = \frac{dL}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
'ગ્રાઉન્ડ ચક્કર' પર કોઈ બાહ્ય ટોર્ક કાર્ય કરતું ન હોવાથી $(\tau = 0)$,કોણીય વેગમાનના ફેરફારનો દર શૂન્ય છે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dL}{dt} = 0$.
તેથી,કોણીય વેગમાન $L$ અચળ રહે છે.
આ ઘટના કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ પર આધારિત છે.

(C) રેખાનું સમીકરણ $y = x + a$ છે. તેને $y = mx + c$ સાથે સરખાવતા,ઢાળ $m_{slope} = 1$ મળે છે. $\tan \theta = m_{slope} = 1$ હોવાથી,ખૂણો $\theta = 45^{\circ}$ થાય.
વેગ સદિશ $\vec{v}$ એ ધન $x$-અક્ષ સાથે $45^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે. તેથી,$\vec{v} = v \cos 45^{\circ} \hat{i} + v \sin 45^{\circ} \hat{j} = \frac{v}{\sqrt{2}} (\hat{i} + \hat{j})$.
ઉગમબિંદુની સાપેક્ષે કોણીય વેગમાન $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} = m (\vec{r} \times \vec{v})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ થી રેખા $x - y + a = 0$ નું લંબ અંતર $d = \frac{|(1)(0) - (1)(0) + a|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{a}{\sqrt{2}}$ છે.
કોણીય વેગમાનનું મૂલ્ય $L = mvd = m v \left( \frac{a}{\sqrt{2}} \right) = \frac{mva}{\sqrt{2}}$ થાય.

(D) વર્તુળાકાર ગતિ કરતા કણનું કોણીય વેગમાન $L = I\omega$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ જડત્વની ચાકમાત્રા છે અને $\omega$ એ કોણીય વેગ છે.
ગતિ ઊર્જા $K = \frac{1}{2}I\omega^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે ગતિ ઊર્જાને કોણીય વેગમાનના પદમાં $K = \frac{1}{2}L\omega$ તરીકે દર્શાવી શકીએ છીએ.
આના પરથી,કોણીય વેગમાન $L = \frac{2K}{\omega}$ થાય.
આવૃત્તિ $f$ બમણી થતી હોવાથી,કોણીય વેગ $\omega = 2\pi f$ પણ બમણો થાય છે,તેથી $\omega_2 = 2\omega_1$.
ગતિ ઊર્જા અડધી થાય છે,તેથી $K_2 = \frac{K_1}{2}$.
હવે,નવા કોણીય વેગમાન $L_2$ ની ગણતરી કરતા:
$L_2 = \frac{2K_2}{\omega_2} = \frac{2(K_1/2)}{2\omega_1} = \frac{K_1}{2\omega_1} = \frac{1}{4} \left( \frac{2K_1}{\omega_1} \right) = \frac{L_1}{4}$.
તેથી,નવું કોણીય વેગમાન $\frac{L}{4}$ થશે.

(A) $M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા નક્કર ગોળાની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{2}{5} MR^2$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને ગોળાઓ માટે દળ $M$ સમાન હોવાથી,જડત્વની ચાકમાત્રા ત્રિજ્યાના વર્ગના સમપ્રમાણમાં છે,એટલે કે $I \propto R^2$.
આપેલ છે કે ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર $\frac{R_1}{R_2} = \frac{2}{3}$ છે.
તેથી,જડત્વની ચાકમાત્રાનો ગુણોત્તર $\frac{I_1}{I_2} = \left(\frac{R_1}{R_2}\right)^2 = \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}$ થાય.
આમ,ગુણોત્તર $4:9$ છે.

(D) સરક્યા વિના ગબડતી ગતિ માટે,વેગ $v = r \omega$ છે.
કુલ ગતિ ઉર્જા $E = K_{rot} + K_{trans} = \frac{1}{2} I \omega^2 + \frac{1}{2} m v^2$.
$v = r \omega$ મૂકતા,આપણને મળે $E = \frac{1}{2} I \omega^2 + \frac{1}{2} m r^2 \omega^2 = \frac{1}{2} (I + m r^2) \omega^2$.
ચાકગતિ ઉર્જા $K_{rot} = \frac{1}{2} I \omega^2$ છે.
આપેલ છે કે $K_{rot} = 50 \% \text{ of } E$,તેથી $K_{rot} = \frac{1}{2} E$.
પદો મૂકતા: $\frac{1}{2} I \omega^2 = \frac{1}{2} [\frac{1}{2} (I + m r^2) \omega^2]$.
$I = \frac{1}{2} I + \frac{1}{2} m r^2$.
$\frac{1}{2} I = \frac{1}{2} m r^2$,જે સૂચવે છે કે $I = m r^2$.
જડત્વની ચાકમાત્રા $I = m r^2$ એ પાતળી વર્તુળાકાર રીંગ માટે હોય છે.

(C) પૃથ્વી પર કોઈ બાહ્ય ટોર્ક લાગતું ન હોવાથી તેનું કોણીય વેગમાન સંરક્ષિત રહે છે.
$L = I \omega$
જ્યાં $I = \frac{2}{5} MR^2$ અને $\omega = \frac{2 \pi}{T}$ છે,તેથી:
$I_1 \omega_1 = I_2 \omega_2$
$\frac{2}{5} MR^2 \times \frac{2 \pi}{T_1} = \frac{2}{5} M(xR)^2 \times \frac{2 \pi}{T_2}$
સમાન પદોને દૂર કરતા:
$\frac{R^2}{T_1} = \frac{x^2 R^2}{T_2}$
$T_2 = T_1 x^2$
પૃથ્વીનો વર્તમાન પરિભ્રમણ સમય $T_1 = 24 \text{ કલાક}$ હોવાથી,નવો સમયગાળો:
$T_2 = 24 x^2 \text{ કલાક}$ થાય.

(A) ટોર્ક $\tau$ અને કોણીય વેગમાન $L$ વચ્ચેનો સંબંધ $\tau = \frac{dL}{dt}$ સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં પ્રારંભિક કોણીય વેગમાન $L_i = A_0$ અને અંતિમ કોણીય વેગમાન $L_f = 4 \,A_0$ આપેલ છે.
સમયગાળો $\Delta t = 4 \,s$ છે.
કોણીય વેગમાનમાં થતો ફેરફાર $\Delta L = L_f - L_i = 4 \,A_0 - A_0 = 3 \,A_0$ છે.
તેથી, ટોર્કનું મૂલ્ય $\tau = \frac{\Delta L}{\Delta t} = \frac{3 \,A_0}{4}$ થશે.

(C) ધારો કે પદાર્થની વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતા $c$ છે. આપેલી ઉષ્માનું સૂત્ર $Q = mc\Delta T$ છે.
$2m$ દળ ધરાવતી વસ્તુ માટે,પ્રારંભિક તાપમાન $T$ છે અને અંતિમ તાપમાન $2T$ છે. તાપમાનમાં થતો ફેરફાર $\Delta T_1 = 2T - T = T$ છે.
તેથી,આપેલી ઉષ્મા $Q = (2m)c(T) = 2mcT$ થાય.
$m$ દળ ધરાવતી વસ્તુ માટે,પ્રારંભિક તાપમાન $2T$ છે. ધારો કે અંતિમ તાપમાન $T_f$ છે. તાપમાનમાં થતો ફેરફાર $\Delta T_2 = T_f - 2T$ છે.
સમાન ઉષ્મા $Q$ આપવામાં આવતી હોવાથી,$Q = m c (T_f - 2T)$ મળે.
$Q$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $2mcT = mc(T_f - 2T)$.
બંને બાજુ $mc$ વડે ભાગતા: $2T = T_f - 2T$.
$T_f$ માટે ઉકેલતા: $T_f = 2T + 2T = 4T$.

(D) કેલરીમિતિના સિદ્ધાંત મુજબ, વરાળ દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા એ પાણી દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા જેટલી હોય છે.
પાણી દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા: $Q_{gain} = m_w c_w \Delta T_w = 100 \,g \times 1 \,cal/g^{\circ}C \times (90^{\circ}C - 24^{\circ}C) = 100 \times 66 = 6600 \,cal$.
વરાળ દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા: $Q_{lost} = m_s L_v + m_s c_w \Delta T_s = m_s(540) + m_s(1)(100^{\circ}C - 90^{\circ}C) = 540 m_s + 10 m_s = 550 m_s$.
બંનેને સરખાવતા: $550 m_s = 6600$.
$m_s = \frac{6600}{550} = 12 \,g$.

(A) બરફનું દળ,$m = 10 \,kg = 10^4 \,g$.
બરફની વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતા,$c = 0.5 \,cal \,g^{-1} \,^{\circ}C^{-1} = 2093.4 \,J \,kg^{-1} \,K^{-1}$.
બરફની ગલનગુપ્ત ઉષ્મા,$L = 80 \,cal \,g^{-1} = 334944 \,J \,kg^{-1}$.
જરૂરી કુલ ઉષ્મા ઉર્જા $Q$ એ બરફનું તાપમાન $0^{\circ}C$ સુધી વધારવા માટેની ઉષ્મા અને $0^{\circ}C$ પર બરફને ઓગાળવા માટેની ઉષ્માનો સરવાળો છે.
$Q = m c \Delta T + m L$
$Q = 10 \,kg \times 2093.4 \,J \,kg^{-1} \,K^{-1} \times (0 - (-10)) \,K + 10 \,kg \times 334944 \,J \,kg^{-1}$
$Q = 10 \times 2093.4 \times 10 + 3349440$
$Q = 209340 + 3349440$
$Q = 3558780 \,J \approx 357 \times 10^4 \,J$.

(C) પદાર્થનું તાપમાન વધારવા માટે જરૂરી ઉષ્મા ઉર્જા $\Delta Q = m c \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
દળ $m = d V$ હોવાથી (જ્યાં $d$ ઘનતા છે અને $V$ કદ છે),આપણને $\Delta Q = d V c \Delta T$ મળે છે.
એકમ કદ દીઠ જરૂરી ઉષ્મા ઉર્જા $\frac{\Delta Q}{V} = d c \Delta T$ છે.
આપેલ ઘનતાનો ગુણોત્તર $\frac{d_1}{d_2} = \frac{5}{6}$ અને વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતાનો ગુણોત્તર $\frac{c_1}{c_2} = \frac{3}{5}$ છે.
સમાન તાપમાન વધારા માટે,$\Delta T_1 = \Delta T_2 = \Delta T$ છે.
એકમ કદ દીઠ જરૂરી ઉષ્મા ઉર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{(\Delta Q/V)_1}{(\Delta Q/V)_2} = \frac{d_1 c_1 \Delta T}{d_2 c_2 \Delta T} = \frac{d_1}{d_2} \times \frac{c_1}{c_2}$ થશે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{5}{6} \times \frac{3}{5} = \frac{15}{30} = \frac{1}{2}$.

(A) $\text{કેલરીમિતિના સિદ્ધાંત મુજબ, પાણી દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા } = \text{ વરાળ દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા।}$
ધારો કે ઉમેરવામાં આવેલી વરાળનું દળ $m$ છે.
પાણી દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા: $Q_1 = m_w s_w \Delta T_w = 150 \times 1 \times (40 - 20) = 150 \times 20 = 3000 \,cal$.
વરાળ દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા: $Q_2 = m L_v + m s_w \Delta T_s = m \times 540 + m \times 1 \times (100 - 40) = m(540 + 60) = 600m \,cal$.
બંનેને સરખાવતા: $3000 = 600m$.
$m = \frac{3000}{600} = 5 \,g$.
$\text{40}^{\circ} C$ તાપમાને પાણીનું કુલ દળ એ પાણીનું પ્રારંભિક દળ અને ઘનીભૂત વરાળના દળનો સરવાળો છે: $150 \,g + 5 \,g = 155 \,g$.

(D) પ્રથમ સળિયાની લંબાઈમાં થતો ફેરફાર $\Delta \ell_1 = L(2 \alpha) \Delta T = 2 \,L \alpha \Delta T$ છે।
બીજા સળિયાની લંબાઈમાં થતો ફેરફાર $\Delta \ell_2 = (2 \,L)(\alpha)(\Delta T) = 2 \,L \alpha \Delta T$ છે।
સંયુક્ત સળિયાની લંબાઈમાં થતો કુલ ફેરફાર $\Delta l = \Delta l_1 + \Delta l_2 = 2 \,L \alpha \Delta T + 2 \,L \alpha \Delta T = 4 \,L \alpha \Delta T$ છે।
$3 \,L$ લંબાઈના સંયુક્ત સળિયા માટે,લંબાઈમાં થતો ફેરફાર $\Delta l = (3 \,L) \alpha_C \Delta T$ છે।
$\Delta l$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $4 \,L \alpha \Delta T = 3 \,L \alpha_C \Delta T$.
$\alpha_C$ માટે ઉકેલતા,આપણને $\alpha_C = \frac{4 \alpha}{3}$ મળે છે.

(D) જ્યારે તારનું પ્રસરણ અટકાવવામાં આવે ત્યારે તેમાં ઉદ્ભવતું થર્મલ સ્ટ્રેસ $\sigma$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\sigma = Y \alpha \Delta T$,જ્યાં $Y$ એ યંગ મોડ્યુલસ છે,$\alpha$ એ રેખીય પ્રસરણાંક છે અને $\Delta T$ એ તાપમાનમાં થતો ફેરફાર છે.
આપેલ છે કે $Y$,$L$ અને $\Delta T$ બંને તાર $A$ અને $B$ માટે સમાન છે,તેથી થર્મલ સ્ટ્રેસ એ રેખીય પ્રસરણાંકના સમપ્રમાણમાં છે: $\sigma \propto \alpha$.
આપેલ છે કે $\alpha_A = \frac{3}{2} \alpha_B$.
તેથી,થર્મલ સ્ટ્રેસનો ગુણોત્તર $\frac{\sigma_A}{\sigma_B} = \frac{\alpha_A}{\alpha_B} = \frac{\frac{3}{2} \alpha_B}{\alpha_B} = \frac{3}{2}$ થાય.
આમ,ગુણોત્તર $3: 2$ છે.

(D) આદર્શ વાયુ માટે,અવસ્થાનું સમીકરણ $PV = nRT$ છે.
અચળ દબાણ $P$ પર,તાપમાન $T$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $P \frac{dV}{dT} = nR$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dV}{dT} = \frac{nR}{P}$.
કદ પ્રસરણાંક $\gamma$ ની વ્યાખ્યા $\gamma = \frac{1}{V} \frac{dV}{dT}$ છે.
$\frac{dV}{dT} = \frac{nR}{P}$ મૂકતા,આપણને $\gamma = \frac{1}{V} \left( \frac{nR}{P} \right) = \frac{nR}{PV}$ મળે છે.
કારણ કે $PV = nRT$,તેથી $\gamma = \frac{nR}{nRT} = \frac{1}{T}$.
આપેલ તાપમાન $T = 27^{\circ} C = 27 + 273 = 300 \ K$.
તેથી,$\gamma = \frac{1}{300} \ K^{-1} \approx 0.00333 \ K^{-1} = 33 \times 10^{-4} \ K^{-1}$.

(D) ફેરનહીટ સ્કેલ $(F)$ અને સેલ્સિયસ સ્કેલ $(C)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{F-32}{9} = \frac{C}{5}$.
આપેલ છે કે ફેરનહીટમાં રીડિંગ એ સેલ્સિયસમાં રીડિંગ કરતા બમણું છે,તેથી $F = 2C$,જેનો અર્થ છે કે $C = \frac{F}{2}$.
તાપમાન રૂપાંતરના સૂત્રમાં $C = \frac{F}{2}$ મૂકતા:
$\frac{F-32}{9} = \frac{F/2}{5}$
$\frac{F-32}{9} = \frac{F}{10}$
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $10(F - 32) = 9F$.
$10F - 320 = 9F$.
$10F - 9F = 320$.
$F = 320^{\circ} F$.

(C) રેખીય પ્રસરણાંક $\alpha$ માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\alpha = \frac{\Delta L}{L \Delta T}$
આપેલ છે:
પ્રારંભિક લંબાઈ $L = 30 \ cm$
લંબાઈમાં ફેરફાર $\Delta L = 0.027 \ cm$
પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = 30^{\circ} C$
અંતિમ તાપમાન $T_2 = 105^{\circ} C$
તાપમાનમાં ફેરફાર $\Delta T = T_2 - T_1 = 105^{\circ} C - 30^{\circ} C = 75^{\circ} C$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$\alpha = \frac{0.027}{30 \times 75}$
$\alpha = \frac{0.027}{2250}$
$\alpha = 0.000012 /{ }^{\circ} C$
$\alpha = 12 \times 10^{-6} /{ }^{\circ} C$

(C) ફેરનહીટ $(F)$ અને કેલ્વિન $(K)$ સ્કેલ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$\frac{F - 32}{9} = \frac{K - 273.15}{5}$
ધારો કે જે તાપમાને બંને સ્કેલ સમાન મૂલ્ય ધરાવે છે તે $X$ છે.
સમીકરણમાં $F = X$ અને $K = X$ મૂકતા:
$\frac{X - 32}{9} = \frac{X - 273.15}{5}$
ચોકડી ગુણાકાર કરતા:
$5(X - 32) = 9(X - 273.15)$
$5X - 160 = 9X - 2458.35$
$X$ માટે ઉકેલતા:
$9X - 5X = 2458.35 - 160$
$4X = 2298.35$
$X = 574.5875 \approx 574.6$
આમ,તાપમાન $574.6^{\circ} F$ છે.

(B) $27^{\circ} C$ તાપમાને લોખંડની રીંગનો વ્યાસ $d_i = 5 \ m$ છે.
લાકડાના પૈડાનો વ્યાસ $d_w = 5.012 \ m$ છે.
આપણે લોખંડની રીંગને $5.012 \ m$ વ્યાસ સુધી વિસ્તૃત કરવાની જરૂર છે.
રેખીય પ્રસરણના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $d_w = d_i(1 + \alpha \Delta T)$.
$\Delta T = \frac{d_w - d_i}{d_i \alpha} = \frac{5.012 - 5}{5 \times 1.2 \times 10^{-5}} = \frac{0.012}{6 \times 10^{-5}} = \frac{1.2 \times 10^{-2}}{6 \times 10^{-5}} = 0.2 \times 10^3 = 200^{\circ} C$.
અંતિમ તાપમાન $T_2 = T_1 + \Delta T = 27^{\circ} C + 200^{\circ} C = 227^{\circ} C$.

(B) બે તાપમાનના માપક્રમો વચ્ચેનો સંબંધ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\frac{\text{માપક્રમ પરનું વાંચન} - \text{LFP}}{\text{UFP} - \text{LFP}} = \text{અચળ}$
સેલ્સિયસ માપક્રમ માટે,લોઅર ફિક્સ્ડ પોઈન્ટ $(LFP)$ $0^{\circ} C$ છે અને અપર ફિક્સ્ડ પોઈન્ટ $(UFP)$ $100^{\circ} C$ છે.
નવા માપક્રમ $X$ માટે,$LFP$ $20^{\circ} X$ છે અને $UFP$ $110^{\circ} X$ છે.
ધારો કે નવા માપક્રમ પરનું તાપમાન $z^{\circ} X$ છે જે $40^{\circ} C$ ને અનુરૂપ છે.
$\frac{z - 20}{110 - 20} = \frac{40 - 0}{100 - 0}$
$\frac{z - 20}{90} = \frac{40}{100}$
$\frac{z - 20}{90} = 0.4$
$z - 20 = 0.4 \times 90$
$z - 20 = 36$
$z = 36 + 20 = 56^{\circ} X$
તેથી,$40^{\circ} C$ એ $56^{\circ} X$ ને અનુરૂપ છે.

(B) આપેલ છે: $n = 2 \text{ મોલ}$,$\gamma = 4/3$,$T_1 = 327^{\circ} C = 600 \text{ K}$.
પગલું $1$: સમોષ્મી વિસ્તરણ.
$T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}$.
અહીં $V_2 = 8 V_1$ આપેલ છે,તેથી $T_2 = T_1 (V_1/V_2)^{\gamma-1} = 600 \times (1/8)^{(4/3 - 1)} = 600 \times (1/8)^{1/3} = 600 \times (1/2) = 300 \text{ K}$.
સમોષ્મી પ્રક્રિયામાં થયેલ કાર્ય: $W_1 = \frac{nR(T_1 - T_2)}{\gamma - 1} = \frac{2R(600 - 300)}{4/3 - 1} = \frac{2R(300)}{1/3} = 1800 R$.
પગલું $2$: સમકદ પ્રક્રિયા.
સમકદ પ્રક્રિયામાં કદ અચળ રહે છે,તેથી થયેલ કાર્ય $W_2 = 0$.
કુલ કાર્ય $W = W_1 + W_2 = 1800 R + 0 = 1800 R$.

(C) આઈસોબેરિક પ્રક્રિયા માટે, દબાણ અચળ રહે છે $(P = \text{constant})$.
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ, $\Delta Q = \Delta U + \Delta W$.
ડાયટોમિક વાયુ માટે, મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્માઓ $C_p = \frac{7}{2}R$ અને $C_v = \frac{5}{2}R$ છે.
આપવામાં આવેલી ઉષ્મા $\Delta Q = n C_p \Delta T$ છે.
થયેલું કાર્ય $\Delta W = n R \Delta T$ છે.
કાર્યમાં રૂપાંતરિત ઉષ્માનો અંશ $\frac{\Delta W}{\Delta Q} = \frac{n R \Delta T}{n C_p \Delta T} = \frac{R}{C_p} = \frac{R}{\frac{7}{2}R} = \frac{2}{7}$ છે.
આને ટકામાં ફેરવતા: $\frac{2}{7} \times 100 \approx 28.6 \%$.
તેથી, કાર્યમાં રૂપાંતરિત ઉષ્માની ટકાવારી $28.6 \%$ છે.

(B) સમતાપી પ્રક્રિયા માટે,આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ છે. તાપમાન $T$ અચળ હોવાથી,$P = \frac{nRT}{V}$ થાય.
પાત્ર $A$ માટે,દબાણમાં ફેરફાર $\Delta P_A = P_{initial} - P_{final} = \frac{n_A RT}{V} - \frac{n_A RT}{2V} = \frac{n_A RT}{2V}$ છે.
આપેલ છે કે $\Delta P_A = 2\Delta P$,તેથી $2\Delta P = \frac{n_A RT}{2V}$ ... $(1)$.
પાત્ર $B$ માટે,દબાણમાં ફેરફાર $\Delta P_B = P_{initial} - P_{final} = \frac{n_B RT}{V} - \frac{n_B RT}{2V} = \frac{n_B RT}{2V}$ છે.
આપેલ છે કે $\Delta P_B = 3\Delta P$,તેથી $3\Delta P = \frac{n_B RT}{2V}$ ... $(2)$.
સમીકરણ $(1)$ ને $(2)$ વડે ભાગતા:
$\frac{2\Delta P}{3\Delta P} = \frac{n_A RT / 2V}{n_B RT / 2V} = \frac{n_A}{n_B}$.
આમ,$\frac{n_A}{n_B} = \frac{2}{3}$.
કારણ કે $n = \frac{m}{M}$ (જ્યાં $M$ મોલર દળ છે),$\frac{m_A / M}{m_B / M} = \frac{2}{3}$,જે સૂચવે છે કે $\frac{m_A}{m_B} = \frac{2}{3}$.
તેથી,$3m_A = 2m_B$.

(A) એક પરમાણ્વીય વાયુ માટે,અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_v = \frac{3}{2}R$ અને અચળ દબાણ પર $C_p = \frac{5}{2}R$ છે.
જ્યારે અચળ દબાણે ઉષ્મા $Q$ આપવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ આપેલી ઉષ્મા $Q = n C_p \Delta T$ થાય છે.
આંતરિક ઊર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = n C_v \Delta T$ છે.
આંતરિક ઊર્જા વધારવા માટે વપરાતી ઉષ્માનો અંશ $\frac{\Delta U}{Q} = \frac{n C_v \Delta T}{n C_p \Delta T} = \frac{C_v}{C_p}$ છે.
આપેલ છે કે $\gamma = \frac{C_p}{C_v} = \frac{5}{3}$,તેથી $\frac{C_v}{C_p} = \frac{3}{5}$.
વપરાતી ઉષ્મા ઊર્જાની ટકાવારી = $\frac{3}{5} \times 100 = 60\%$.

(B) ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $dU$ એ $dU = dQ - dW$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $dQ$ એ તંત્રને આપવામાં આવેલી ઉષ્મા છે અને $dW$ એ તંત્ર દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય છે.
આપેલ છે કે તંત્ર દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય તેની આંતરિક ઉર્જામાં થયેલા ઘટાડા જેટલું છે,તેથી $dW = -dU$ થાય.
આ કિંમતને પ્રથમ નિયમના સમીકરણમાં મૂકતા:
$dU = dQ - (-dU)$
$dU = dQ + dU$
$dQ = 0$
જેથી ઉષ્માનો વિનિમય $dQ$ શૂન્ય હોવાથી,આ પ્રક્રિયા એડિયાબેટિક (નિરુદ્ધોષ્મ) પ્રક્રિયા છે.

(C) સ્પ્રિંગ અચળાંક $k$ નું પરિમાણ $k = \frac{F}{x}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,તેથી તેનો એકમ $\frac{N}{m} = \frac{kg \cdot m/s^2}{m} = kg \cdot s^{-2}$ છે. તેનું પારિમાણિક સૂત્ર $[M L^0 T^{-2}]$ છે.
પૃષ્ઠ ઉર્જા એટલે એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ ઉર્જા: $\text{પૃષ્ઠ ઉર્જા} = \frac{\text{ઉર્જા}}{\text{ક્ષેત્રફળ}} = \frac{J}{m^2} = \frac{N \cdot m}{m^2} = \frac{N}{m}$.
આમ,પૃષ્ઠ ઉર્જાનો એકમ પણ $\frac{N}{m}$ છે,જે પારિમાણિક સૂત્ર $[M L^0 T^{-2}]$ ને અનુરૂપ છે.
બંનેના પારિમાણિક સૂત્રો સમાન હોવાથી,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(A) આપેલ છે: $v_2 = \frac{n}{m^2} v_1$ અને $a_2 = \frac{a_1}{mn}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $a = \frac{v}{t}$,તેથી $\frac{a_2}{a_1} = \frac{v_2}{v_1} \times \frac{t_1}{t_2}$.
આપેલ ગુણોત્તર મૂકતા: $\frac{1}{mn} = \frac{n}{m^2} \times \frac{t_1}{t_2}$.
$t_2$ માટે ગોઠવતા: $t_2 = \frac{n}{m^2} \times mn \times t_1 = \frac{n^2}{m} t_1$.
હવે,આપણે જાણીએ છીએ કે $v = \frac{S}{t}$,તેથી $\frac{v_2}{v_1} = \frac{S_2}{S_1} \times \frac{t_1}{t_2}$.
જાણીતી કિંમતો મૂકતા: $\frac{n}{m^2} = \frac{S_2}{S_1} \times \frac{t_1}{(n^2/m)t_1} = \frac{S_2}{S_1} \times \frac{m}{n^2}$.
$S_2$ માટે ઉકેલતા: $S_2 = S_1 \times \frac{n}{m^2} \times \frac{n^2}{m} = S_1 \times \frac{n^3}{m^3} = \left(\frac{n}{m}\right)^3 S_1$.

(D) કાર્યક્ષમતા $\eta$ એ પરિમાણરહિત રાશિ છે. લઘુગણકીય વિધેયનો આર્ગ્યુમેન્ટ પણ પરિમાણરહિત હોવો જોઈએ,તેથી $\frac{\beta x}{kT} = 1$ (પરિમાણરહિત).
$\eta$ પરિમાણરહિત હોવાથી,$[\eta] = [M^0 L^0 T^0]$.
$\frac{\beta x}{kT} = 1$ પરથી,આપણને $\beta = \frac{kT}{x}$ મળે છે.
આપેલ છે કે $k = [M L^2 T^{-2} K^{-1}]$ અને $T = [K]$,તેથી $\beta = \frac{[M L^2 T^{-2} K^{-1}][K]}{[L]} = [M L T^{-2}]$.
આ બળનું પારિમાણિક સૂત્ર છે,તેથી વિકલ્પ $A$ સાચો છે.
$\eta = \frac{\alpha \beta}{\sin \theta} \cdot \text{અચળાંક}$ હોવાથી,અને $\eta$ તથા $\sin \theta$ પરિમાણરહિત હોવાથી,$[\alpha \beta] = [1]$,જેનો અર્થ છે કે $[\alpha] = [\beta^{-1}] = [M^{-1} L^{-1} T^2]$.
વિકલ્પ $D$ જણાવે છે કે $[\alpha] = [\beta]$,જે ખોટું છે.
વિકલ્પ $B$ માટે,$[\alpha^{-1} x] = [\beta x] = [M L T^{-2}][L] = [M L^2 T^{-2}]$,જે ઉર્જાનું પારિમાણિક સૂત્ર છે. આમ,$B$ સાચો છે.
વિકલ્પ $C$ માટે,$[\eta^{-1} \sin \theta] = [1] = [\alpha \beta]$,જે સાચું છે.

(B) પ્રકૃતિમાં મૂળભૂત બળોની સાપેક્ષ પ્રબળતા નીચે મુજબ છે:
$1$. સ્ટ્રોંગ ન્યુક્લિયર બળ: $1$
$2$. વિદ્યુતચુંબકીય બળ: $10^{-2}$
$3$. નિર્બળ ન્યુક્લિયર બળ: $10^{-13}$
$4$. ગુરુત્વાકર્ષણ બળ: $10^{-39}$
અહીં $F_1$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ છે,$F_2$ એ નિર્બળ ન્યુક્લિયર બળ છે અને $F_3$ એ વિદ્યુતચુંબકીય બળ છે:
$F_1 = 10^{-39}$
$F_2 = 10^{-13}$
$F_3 = 10^{-2}$
આ મૂલ્યોની સરખામણી કરતા,આપણને $10^{-39} < 10^{-13} < 10^{-2}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $F_1 < F_2 < F_3$.

(D) ગુરુત્વાકર્ષણ બળની સાપેક્ષ પ્રબળતા $F_1 \approx 10^{-39}$ છે.
નિર્બળ ન્યુક્લિયર બળની સાપેક્ષ પ્રબળતા $F_2 \approx 10^{-13}$ છે.
ગુણોત્તર $\frac{F_2}{F_1}$ શોધવા માટે,આપણે ગણતરી કરીએ:
$\frac{F_2}{F_1} = \frac{10^{-13}}{10^{-39}} = 10^{-13 - (-39)} = 10^{26}$.
તેથી,ગુણોત્તર $10^{26}$ છે.

(B) સાચી જોડ નીચે મુજબ છે:
$A$) $X$-rays નો ઉપયોગ સ્ફટિક બંધારણના અભ્યાસ માટે થાય છે કારણ કે તેમની તરંગલંબાઇ સ્ફટિકોમાં આંતર-પરમાણુ અંતર સાથે તુલનાત્મક હોય છે. તેથી,$A \rightarrow R$.
$B$) $UV$-rays નો ઉપયોગ ફોરેન્સિક લેબોરેટરીમાં ફિંગર પ્રિન્ટ્સ શોધવા અને દસ્તાવેજોનું વિશ્લેષણ કરવા માટે થાય છે. તેથી,$B \rightarrow Q$.
$C$) Radio waves નો ઉપયોગ $TV$ અને રેડિયો કોમ્યુનિકેશન સિસ્ટમમાં વ્યાપકપણે થાય છે. તેથી,$C \rightarrow S$.
$D$) $IR$-rays (ઇન્ફ્રારેડ કિરણો) નો ઉપયોગ $TV$ રિમોટ જેવા ઇલેક્ટ્રોનિક ઉપકરણો માટે રિમોટ સ્વીચોમાં થાય છે. તેથી,$D \rightarrow P$.
તેથી,સાચો ક્રમ $A \rightarrow R, B \rightarrow Q, C \rightarrow S, D \rightarrow P$ છે.

(A) આપેલ આવૃત્તિ, $f = 3 \text{ GHz} = 3 \times 10^9 \text{ Hz}$.
પ્રકાશની ઝડપ, $c = 3 \times 10^8 \text{ m/s}$.
તરંગલંબાઈ $\lambda$, આવૃત્તિ $f$ અને પ્રકાશની ઝડપ $c$ વચ્ચેનો સંબંધ $\lambda = \frac{c}{f}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\lambda = \frac{3 \times 10^8}{3 \times 10^9} = 10^{-1} \text{ m} = 0.1 \text{ m}$.

(D) ખોટું છે કારણ કે વિદ્યુતચુંબકીય $(EM)$ તરંગોને મુસાફરી કરવા માટે કોઈ માધ્યમની જરૂર હોતી નથી; તેથી,તેઓ શૂન્યાવકાશમાં મુસાફરી કરી શકે છે.
$B$ ખોટું છે કારણ કે $EM$ તરંગો લંબગત તરંગો છે,સંગત (longitudinal) તરંગો નથી.
$C$ ખોટું છે કારણ કે $EM$ તરંગો પ્રવેગિત વિદ્યુતભાર દ્વારા ઉત્પન્ન થાય છે,સમાન વેગથી ગતિ કરતા વિદ્યુતભાર દ્વારા નહીં.
$D$ સાચું છે કારણ કે $EM$ તરંગો અવકાશમાં પ્રસરણ પામતી વખતે ઉર્જા અને વેગમાન બંનેનું વહન કરે છે.

(C) માધ્યમમાં વિદ્યુતચુંબકીય તરંગની ઝડપનું સૂત્ર $v = \frac{c}{\sqrt{\mu_r \epsilon_r}}$ છે,જ્યાં $c$ એ શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ છે,$\mu_r$ એ સાપેક્ષ પરમીએબિલિટી છે અને $\epsilon_r$ એ સાપેક્ષ પરમિટિવિટી છે.
આપેલ છે: $v = 1.5 \times 10^8 \ m/s$,$c = 3 \times 10^8 \ m/s$,અને $\epsilon_r = 2$.
કિંમતો મૂકતા: $1.5 \times 10^8 = \frac{3 \times 10^8}{\sqrt{\mu_r \times 2}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(1.5)^2 = \frac{3^2}{2\mu_r} \Rightarrow 2.25 = \frac{9}{2\mu_r}$.
$\mu_r$ માટે ઉકેલતા: $2\mu_r = \frac{9}{2.25} = 4 \Rightarrow \mu_r = 2$.
મેગ્નેટિક સસેપ્ટિબિલિટી $\chi_m$ અને સાપેક્ષ પરમીએબિલિટી વચ્ચેનો સંબંધ $\mu_r = 1 + \chi_m$ છે.
તેથી,$\chi_m = \mu_r - 1 = 2 - 1 = 1$.

(B) $r$ અંતરે રહેલા $Q$ વિદ્યુતભારને કારણે ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{k|Q|}{r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. બધા વિદ્યુતભારો કેન્દ્રથી સમાન અંતરે $r$ પર હોવાથી,$nq$ વિદ્યુતભારને કારણે ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર $n$ ના પ્રમાણમાં હોય છે.
ધારો કે સ્થાન $1$ પર રહેલા $-q$ વિદ્યુતભારને કારણે ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}_1$ છે,જે વિદ્યુતભાર તરફ દિશા ધરાવે છે (કારણ કે તે ઋણ છે).
પરિણામી વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}_{net}$ એ બધા ક્ષેત્રોનો સદિશ સરવાળો છે: $\vec{E}_{net} = \sum_{n=1}^{12} \vec{E}_n$.
નોંધો કે સ્થાન $n$ પરનો વિદ્યુતભાર $-nq$ છે. વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}_n$ કેન્દ્રથી સ્થાન $n$ તરફ દિશા ધરાવે છે.
આપણે સામસામેના વિદ્યુતભારોની જોડી બનાવી શકીએ: $(n)$ અને $(n+6)$. આ બેને કારણે પરિણામી ક્ષેત્ર $\vec{E}_{net, n} = \vec{E}_n + \vec{E}_{n+6} = \frac{k}{r^2} [(-n\hat{r}_n) + (-(n+6)\hat{r}_{n+6})]$ છે.
કારણ કે $\hat{r}_{n+6} = -\hat{r}_n$,તેથી $\vec{E}_{net, n} = \frac{k}{r^2} [-n\hat{r}_n + (n+6)\hat{r}_n] = \frac{6k}{r^2} \hat{r}_n$.
આનો અર્થ એ છે કે દરેક જોડી $(n, n+6)$ નું પરિણામી ક્ષેત્ર સ્થાન $n+6$ તરફ દિશા ધરાવે છે.
આવી $6$ જોડીઓ છે: $(1,7), (2,8), (3,9), (4,10), (5,11), (6,12)$.
પરિણામી ક્ષેત્ર $\vec{E}_{net} = \frac{6k}{r^2} [\hat{r}_7 + \hat{r}_8 + \hat{r}_9 + \hat{r}_{10} + \hat{r}_{11} + \hat{r}_{12}]$ છે.
આ એકમ સદિશો ઘડિયાળના $7, 8, 9, 10, 11, 12$ અંકો તરફ નિર્દેશ કરે છે. આ સદિશોનું પરિણામી સદિશ $9$ અને $10$ ની વચ્ચેની દિશામાં હોય છે,જે $9:30$ સમય દર્શાવે છે.

(D) પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા $\sigma$ ધરાવતા વાહક ગોળાની સપાટીની નજીક વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ નું સૂત્ર $E = \frac{\sigma}{\epsilon_0}$ છે.
બંને ગોળાઓ સમાન પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા ધરાવતા હોવાથી,$\sigma_1 = \sigma_2 = \sigma$ થાય.
તેથી,પ્રથમ ગોળાની સપાટીની નજીક વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_1 = \frac{\sigma}{\epsilon_0}$ છે.
તે જ રીતે,બીજા ગોળાની સપાટીની નજીક વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_2 = \frac{\sigma}{\epsilon_0}$ છે.
બંનેની સરખામણી કરતા,આપણને $E_1 = E_2$ મળે છે.
આમ,વિદ્યુતક્ષેત્રોનો ગુણોત્તર $\frac{E_1}{E_2} = \frac{1}{1}$ થાય.

(A) વિદ્યુતક્ષેત્ર $\overrightarrow{E} = 24 \hat{i} + 30 \hat{j} + 28 \hat{k} \text{ NC}^{-1}$ આપેલ છે.
ક્ષેત્રફળ $yz$ સમતલ પર હોવાથી,તેનો ક્ષેત્રફળ સદિશ $\vec{A}$ એ $x$-અક્ષની દિશામાં હશે.
તેથી,$\vec{A} = 20 \hat{i} \text{ m}^2$.
વિદ્યુત ફ્લક્સ $\Phi_E$ એ વિદ્યુતક્ષેત્ર અને ક્ષેત્રફળ સદિશનો અદિશ ગુણાકાર છે: $\Phi_E = \overrightarrow{E} \cdot \vec{A}$.
કિંમતો મૂકતા: $\Phi_E = (24 \hat{i} + 30 \hat{j} + 28 \hat{k}) \cdot (20 \hat{i})$.
અદિશ ગુણાકારના ગુણધર્મ $\hat{i} \cdot \hat{i} = 1$ અને $\hat{i} \cdot \hat{j} = \hat{i} \cdot \hat{k} = 0$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\Phi_E = 24 \times 20 = 480 \text{ Nm}^2 \text{C}^{-1}$.

(D) પોલા ગોળાકાર કવચ પરનો કુલ વિદ્યુતભાર $q$ એ પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા $\sigma$ અને ગોળાના પૃષ્ઠફળ $(4 \pi r^2)$ ના ગુણાકાર જેટલો હોય છે: $q = \sigma \times 4 \pi r^2$.
ગોસના નિયમ મુજબ,સમઘનની બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi_{total} = \frac{q}{\varepsilon_0}$ છે.
સમઘન એ સંમિત બંધ સપાટી હોવાથી અને વિદ્યુતભાર તેના કેન્દ્રમાં હોવાથી,ફ્લક્સ સમઘનની તમામ $6$ સપાટીઓમાંથી સમાન રીતે વહેંચાય છે.
તેથી,સમઘનની એક સપાટીમાંથી પસાર થતું વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi' = \frac{1}{6} \times \frac{q}{\varepsilon_0}$ થશે.
$q$ ની કિંમત મૂકતા: $\phi' = \frac{1}{6} \times \frac{\sigma \times 4 \pi r^2}{\varepsilon_0} = \frac{2 \pi r^2 \sigma}{3 \varepsilon_0}$.

(C) વિદ્યુત ક્ષેત્ર $\vec{E}$ અને વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $\vec{E} = -\nabla V = -\left( \frac{\partial V}{\partial x} \hat{i} + \frac{\partial V}{\partial y} \hat{j} \right)$ છે.
આપેલ છે કે $V = \frac{1}{2}y^2 - 2x$.
આંશિક વિકલન કરતા:
$\frac{\partial V}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (\frac{1}{2}y^2 - 2x) = -2$.
$\frac{\partial V}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (\frac{1}{2}y^2 - 2x) = y$.
તેથી,$\vec{E} = -(-2 \hat{i} + y \hat{j}) = 2 \hat{i} - y \hat{j}$.
બિંદુ $(x = 1 \text{ m}, y = 1 \text{ m})$ પર:
$\vec{E} = 2 \hat{i} - (1) \hat{j} = 2 \hat{i} - \hat{j} \text{ V m}^{-1}$.

(C) આપેલ છે: વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = 500 \ NC^{-1}$,વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V = 30 \ V$.
બિંદુવત વિદ્યુતભાર માટે વિદ્યુતક્ષેત્ર અને સ્થિતિમાન વચ્ચેનો સંબંધ $E = \frac{V}{r}$ છે.
તેથી,અંતર $r = \frac{V}{E} = \frac{30}{500} = 0.06 \ m$.
વિદ્યુતસ્થિતિમાનનું સૂત્ર $V = \frac{kq}{r}$ છે,જ્યાં $k = 9 \times 10^9 \ Nm^2C^{-2}$.
વિદ્યુતભાર $q$ માટે સૂત્ર બનાવતા: $q = \frac{V \cdot r}{k}$.
કિંમતો મૂકતા: $q = \frac{30 \times 0.06}{9 \times 10^9} = \frac{1.8}{9 \times 10^9} = 0.2 \times 10^{-9} \ C$.
આમ,$q = 2 \times 10^{-10} \ C$.

(D) આપેલ છે: $Q_1 = +2 \times 10^{-6} \ C$, $Q_2 = -4 \times 10^{-6} \ C$, અંતર $d = 3 \ m$. ધારો કે $P$ એ $Q_1$ થી $r_1$ અંતરે અને $Q_2$ થી $r_2$ અંતરે છે. $P$ તેમની વચ્ચે હોવાથી, $r_1 + r_2 = 3 \ m$. ધારો કે $r_2 = x$, તો $r_1 = 3 - x$.
વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \left( \frac{Q_1}{r_1} + \frac{Q_2}{r_2} \right) = 0$.
$\frac{2 \times 10^{-6}}{3 - x} + \frac{-4 \times 10^{-6}}{x} = 0 \Rightarrow \frac{2}{3 - x} = \frac{4}{x} \Rightarrow x = 6 - 2x \Rightarrow 3x = 6 \Rightarrow x = 2 \ m$.
તેથી, $r_2 = 2 \ m$ અને $r_1 = 1 \ m$.
$Q_1$ ને લીધે $P$ આગળ વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_1 = \frac{k |Q_1|}{r_1^2} = \frac{9 \times 10^9 \times 2 \times 10^{-6}}{1^2} = 18000 \ N/C$ ($Q_2$ ની દિશામાં).
$Q_2$ ને લીધે $P$ આગળ વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_2 = \frac{k |Q_2|}{r_2^2} = \frac{9 \times 10^9 \times 4 \times 10^{-6}}{2^2} = 9000 \ N/C$ ($Q_2$ ની દિશામાં).
બંને ક્ષેત્રો એક જ દિશામાં હોવાથી, કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = E_1 + E_2 = 18000 + 9000 = 27000 \ N/C$.

(A) પોલા વાહક ગોળા માટે,વિદ્યુતભાર સંપૂર્ણપણે તેની બહારની સપાટી પર રહેલો હોય છે.
ગોળાની અંદર વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય $(E = 0)$ હોય છે.
વિદ્યુતક્ષેત્ર એ સ્થિતિમાનના ઋણ પ્રચલન $(E = -\frac{dV}{dr})$ જેટલું હોવાથી,જો $E = 0$ હોય,તો ગોળાની અંદરના ભાગમાં સ્થિતિમાન $V$ અચળ રહે છે.
તેથી,ગોળાની અંદરના કોઈપણ બિંદુએ સ્થિતિમાન તેની સપાટી પરના સ્થિતિમાન જેટલું જ હોય છે.
આપેલ છે કે સપાટી પરનું સ્થિતિમાન $V$ છે,તેથી કેન્દ્રથી $\frac{R}{3}$ અંતરે (જે ગોળાની અંદર છે) સ્થિતિમાન પણ $V$ જ રહેશે.

(B) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં રહેલા વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત તાર પર લાગતું બળ $\vec{F} = I(\vec{L}_{eff} \times \vec{B})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\vec{L}_{eff}$ એ શરૂઆતના બિંદુ $P$ થી અંતિમ બિંદુ $Q$ સુધીનો અસરકારક સ્થાનાંતર સદિશ છે.
આકૃતિ પરથી,તાર ત્રણ ભાગોનો બનેલો છે. કુલ સ્થાનાંતર સદિશ $\vec{L}_{eff}$ એ આ ભાગોનો સદિશ સરવાળો છે.
આડું સ્થાનાંતર $= 6 \ cm = 0.06 \ m$ (જમણી તરફ).
ઊભું સ્થાનાંતર $= 4 \ cm + 4 \ cm = 8 \ cm = 0.08 \ m$ (ઉપરની તરફ).
તેથી,અસરકારક લંબાઈનું મૂલ્ય $L_{eff} = \sqrt{(0.06)^2 + (0.08)^2} = \sqrt{0.0036 + 0.0064} = \sqrt{0.01} = 0.1 \ m$ છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 5 \ T$ એ તારના સમતલને લંબ છે.
બળનું મૂલ્ય $F = I L_{eff} B \sin(90^\circ) = 10 \ A \times 0.1 \ m \times 5 \ T \times 1 = 5 \ N$ થાય.

(D) બે સમાંતર તાર જેમાંથી $i_1$ અને $i_2$ પ્રવાહ વહે છે અને $r$ અંતરે રહેલા છે,તેમની વચ્ચે એકમ લંબાઈ દીઠ લાગતું બળ $f = \frac{\mu_0 i_1 i_2}{2 \pi r}$ છે.
તાર $A$ માં પ્રવાહની દિશાને ધન લેતા,તાર $A$ અને $B$ ને કારણે તાર $C$ પર એકમ લંબાઈ દીઠ લાગતું બળ:
$\vec{F} = \left( \frac{\mu_0 (3i)(2i)}{2 \pi (2d)} \right) - \left( \frac{\mu_0 (i)(2i)}{2 \pi d} \right) = \frac{\mu_0 i^2}{2 \pi d} \left( \frac{3}{2} - 2 \right) = -\frac{\mu_0 i^2}{4 \pi d}$.
આમ,$\vec{F} = -\frac{\mu_0 i^2}{4 \pi d}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{\mu_0 i^2}{4 \pi d} = -\vec{F}$.
હવે,જો તાર $B$ ને દૂર કરવામાં આવે,તો તાર $C$ ને કારણે તાર $A$ પર એકમ લંબાઈ દીઠ લાગતું બળ:
$f_A = \frac{\mu_0 (3i)(2i)}{2 \pi (2d)} = \frac{6 \mu_0 i^2}{4 \pi d} = 3 \left( \frac{\mu_0 i^2}{2 \pi d} \right) = 6 \left( \frac{\mu_0 i^2}{4 \pi d} \right)$.
$\frac{\mu_0 i^2}{4 \pi d} = -\vec{F}$ મૂકતા,આપણને $f_A = -3\vec{F}$ મળે છે.

(B) પ્રવાહ ધારિત તાર પર લાગતું ચુંબકીય બળ $\vec{F} = I(\vec{L} \times \vec{B})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
'$a$' લંબાઈ ધરાવતી લૂપની નીચેની બાજુ માટે,ચુંબકીય બળ $F = IaB$ છે.
ફ્લેમિંગના ડાબા હાથના નિયમ મુજબ,જો પ્રવાહ ડાબેથી જમણે વહેતો હોય,તો બળ ઉપરની તરફ લાગે છે. જો પ્રવાહ જમણેથી ડાબે વહેતો હોય,તો બળ નીચેની તરફ લાગે છે.
ધારો કે સ્પ્રિંગ બેલેન્સનું પ્રારંભિક રીડિંગ $W_1 = mg - F$ છે (ઉપરની તરફ બળ ધારતા).
જ્યારે પ્રવાહની દિશા ઉલટાવવામાં આવે છે,ત્યારે બળ $F' = -F$ (નીચેની તરફ બળ) થઈ જાય છે.
સ્પ્રિંગ બેલેન્સનું નવું રીડિંગ $W_2 = mg + F$ થાય છે.
સ્પ્રિંગ બેલેન્સના રીડિંગમાં થતો ફેરફાર $\Delta W = |W_2 - W_1| = |(mg + F) - (mg - F)| = 2F = 2IaB$ છે.

(C) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં ચુંબકીય ડાયપોલની સ્થિતિ ઉર્જા $U = -m \cdot B = -mB \cos \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $\theta$ એ ચુંબકીય મોમેન્ટ સદિશ $m$ (જે $\hat{n}$ ની દિશામાં છે) અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
$(i)$ અભિવિન્યાસ $I$ માટે, ખૂણો $\theta = 180^{\circ}$ છે। તેથી, $U_I = -mB \cos 180^{\circ} = mB$.
(ii) અભિવિન્યાસ $II$ માટે, ખૂણો $\theta = 90^{\circ}$ છે। તેથી, $U_{II} = -mB \cos 90^{\circ} = 0$.
(iii) અભિવિન્યાસ $III$ માટે, ખૂણો $\theta$ એ $0^{\circ}$ અને $90^{\circ}$ ની વચ્ચે છે (લઘુકોણ)। તેથી, $U_{III} = -mB \cos \theta$, જે ઋણ છે ($-mB$ અને $0$ ની વચ્ચે)।
(iv) અભિવિન્યાસ $IV$ માટે, ખૂણો $\theta$ એ $90^{\circ}$ અને $180^{\circ}$ ની વચ્ચે છે (ગુરુકોણ)। તેથી, $U_{IV} = -mB \cos \theta$, જે ધન છે ($0$ અને $mB$ ની વચ્ચે)।
મૂલ્યોની સરખામણી કરતા: $U_I = mB$, $U_{IV} > 0$, $U_{II} = 0$, અને $U_{III} < 0$.
તેથી, સ્થિતિ ઉર્જાનો ઘટતો ક્રમ $I > IV > II > III$ છે।

(D) કોઅર્સિવિટી $H$ એ પદાર્થને ડિમેગ્નેટાઈઝ કરવા માટે જરૂરી ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા છે. સોલેનોઈડ માટે, ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા $H = nI$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $n$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા છે અને $I$ એ વિદ્યુત પ્રવાહ છે.
આપેલ છે:
કોઅર્સિવિટી $H = 4 \times 10^3 \text{ A m}^{-1}$
સોલેનોઈડની લંબાઈ $L = 12 \text{ cm} = 0.12 \text{ m}$
આંટાની સંખ્યા $N = 60$
સૌ પ્રથમ, એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા $n = \frac{N}{L} = \frac{60}{0.12} = 500 \text{ turns m}^{-1}$ ગણો.
હવે, પ્રવાહ $I = \frac{H}{n}$ શોધવા માટે સૂત્ર $H = nI$ નો ઉપયોગ કરો.
$I = \frac{4 \times 10^3}{500} = \frac{4000}{500} = 8 \text{ A}$.
આમ, જરૂરી પ્રવાહ $8 \text{ A}$ છે.

(C) આપેલ છે: વિદ્યુતપ્રવાહ $i = 18 \,A$ અને અંતર $a = 12 \,cm = 0.12 \,m$.
લાંબા સીધા તારથી $a$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$B = \frac{\mu_0 i}{2 \pi a}$
કિંમતો મૂકતા:
$B = \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 18}{2 \pi \times 0.12}$
$B = \frac{2 \times 10^{-7} \times 18}{0.12}$
$B = \frac{36 \times 10^{-7}}{0.12}$
$B = 300 \times 10^{-7} \,T = 3 \times 10^{-5} \,T$.

(A) $i$ વિદ્યુતપ્રવાહ ધરાવતા લાંબા સીધા તારથી $r$ લંબ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$B = \frac{\mu_0 i}{2 \pi r}$
અહીં આપેલ કિંમતો $i = 1 \,A$ અને $r = 1 \,m$ છે.
શૂન્યાવકાશની પરમીએબિલિટી $\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \,T \cdot m/A$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$B = \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 1}{2 \pi \times 1}$
$B = 2 \times 10^{-7} \,T$.

(A) ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં ચુંબકીય ઉર્જા ઘનતા $u_B$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$u_B = \frac{B^2}{2 \mu_0}$
ઉર્જા ઘનતા એ એકમ કદ દીઠ ઉર્જા તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ હોવાથી $(u_B = \frac{U}{V})$,કદ $V$ માં સંગ્રહિત કુલ ઉર્જા $U$ નીચે મુજબ મળે:
$U = u_B \times V$
$L$ લંબાઈ અને $A$ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ ધરાવતા સોલેનોઈડનું કદ $V = A \times L$ થાય.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે:
$U = \left( \frac{B^2}{2 \mu_0} \right) \times (A L) = \frac{1}{2 \mu_0} B^2 AL$

(B) સોલેનોઈડની લંબાઈ, $L = 80 \,cm = 0.8 \,m$.
કુલ આંટાની સંખ્યા, $N = 5 \times 400 = 2000$.
પ્રવાહ, $i = 8 \,A$.
એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા, $n = \frac{N}{L} = \frac{2000}{0.8} = 2500 \,turns/m$.
લાંબા સોલેનોઈડની અંદર તેના કેન્દ્ર પાસે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \mu_0 ni$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા:
$B = (4 \pi \times 10^{-7} \,T \cdot m/A) \times (2500 \,m^{-1}) \times (8 \,A)$.
$B = 4 \times 3.14159 \times 10^{-7} \times 20000$.
$B = 12.566 \times 10^{-3} \times 2 = 2.513 \times 10^{-2} \,T$.
આમ, ચુંબકીય ક્ષેત્રનું મૂલ્ય આશરે $2.5 \times 10^{-2} \,T$ છે.

(B) એમ્પિયરના સર્કિટલ નિયમ મુજબ,કોઈપણ બંધ ગાળાની આસપાસ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ નું રેખીય સંકલન એ ગાળા દ્વારા ઘેરાયેલા કુલ વિદ્યુતપ્રવાહ $i_{\text{enclosed}}$ ના $\mu_0$ ગણું હોય છે.
$\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 i_{\text{enclosed}}$
પાતળી દીવાલવાળા પાઇપની અંદરના કોઈપણ બિંદુ માટે,આપણે એક એમ્પેરિયન લૂપ (વર્તુળ) પસંદ કરી શકીએ છીએ જે સંપૂર્ણપણે પાઇપની અંદર હોય.
કારણ કે વિદ્યુતપ્રવાહ $i$ ફક્ત પાઇપની દીવાલોમાંથી જ વહે છે,આ લૂપ દ્વારા ઘેરાયેલો વિદ્યુતપ્રવાહ $i_{\text{enclosed}} = 0$ થાય છે.
તેથી,$\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = 0$,જે સૂચવે છે કે પાઇપની અંદરના કોઈપણ બિંદુ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ શૂન્ય છે.

(B) બાયો-સાવરના નિયમ મુજબ,$Id\vec{l}$ પ્રવાહ ખંડ દ્વારા $\vec{r}$ સ્થાન સદિશ પર ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $dB$ નીચે મુજબ છે:
$dB = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I(d\vec{l} \times \vec{r})}{r^3} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{Idl r \sin \theta}{r^3}$
જ્યાં $\theta$ એ પ્રવાહ ખંડ $Id\vec{l}$ અને સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $dB$ શૂન્ય થવા માટે,$\sin \theta$ પદ શૂન્ય હોવું જોઈએ.
આ ત્યારે થાય છે જ્યારે $\theta = 0^{\circ}$ અથવા $\theta = 180^{\circ}$ હોય.
તેથી,પ્રવાહ ખંડ અને સ્થાન સદિશ વચ્ચેનો ખૂણો $0^{\circ}$ અથવા $180^{\circ}$ હોઈ શકે છે.

(B) આપેલ છે:
કોઈલનું ક્ષેત્રફળ, $A = 2 \,cm^2 = 2 \times 10^{-4} \,m^2$
આંટાની સંખ્યા, $n = 1000$
પ્રવાહ, $I = 1 \,A$
પ્રવાહધારિત કોઈલની ચુંબકીય મોમેન્ટ $M$ શોધવાનું સૂત્ર:
$M = nIA$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$M = (1000) \times (1) \times (2 \times 10^{-4})$
$M = 10^3 \times 2 \times 10^{-4}$
$M = 2 \times 10^{-1} \,Am^2$
$M = 0.2 \,Am^2$
આમ, ચુંબકીય મોમેન્ટ $0.2 \,Am^2$ છે.

(B) ગજિયા ચુંબકનો દોલનનો આવર્તકાળ $T = 2 \pi \sqrt{\frac{I}{MH}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ જડત્વની ચાકમાત્રા છે,$M$ એ ચુંબકીય મોમેન્ટ છે અને $H$ એ પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો સમક્ષિતિજ ઘટક છે.
આપેલ છે કે $T_1 = 2 \,s$ અને $M_1 = M$.
બીજા ચુંબક માટે,$M_2 = 4M$ અને જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ સમાન રહે છે કારણ કે ચુંબકો આકાર અને કદમાં સમાન છે.
ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{T_1}{T_2} = \sqrt{\frac{M_2}{M_1}} = \sqrt{\frac{4M}{M}} = \sqrt{4} = 2$.
તેથી,$\frac{2}{T_2} = 2$,જે આપણને $T_2 = 1 \,s$ આપે છે.

(A) તારની લંબાઈ $L$ એ વર્તુળાકાર લૂપનો પરિઘ બનાવે છે,તેથી $L = 2 \pi r$,જ્યાં $r$ એ લૂપની ત્રિજ્યા છે.
આના પરથી,ત્રિજ્યા $r = \frac{L}{2 \pi}$ મળે છે.
વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત લૂપની ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = iA$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A$ એ લૂપનું ક્ષેત્રફળ છે.
ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = \pi \left( \frac{L}{2 \pi} \right)^2 = \pi \left( \frac{L^2}{4 \pi^2} \right) = \frac{L^2}{4 \pi}$ થાય.
ચુંબકીય મોમેન્ટના સૂત્રમાં આ કિંમત મૂકતા,આપણને $M = i \times \frac{L^2}{4 \pi} = \frac{i L^2}{4 \pi}$ મળે છે.

(C) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ચુંબકીય ડાયપોલને ફેરવવા માટે બાહ્ય ટોર્ક દ્વારા કરવામાં આવતું કાર્ય $W$ એ સ્થિતિ ઊર્જામાં થતા ફેરફાર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $W = U_f - U_i = -MB \cos \theta_f - (-MB \cos \theta_i) = MB(\cos \theta_i - \cos \theta_f)$.
આપેલ છે: ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = 2 \text{ A m}^2$, ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 0.3 \text{ T}$.
શરૂઆતમાં, ચુંબક ક્ષેત્ર સાથે ગોઠવાયેલ છે, તેથી $\theta_i = 0^\circ$.
અંતે, ચુંબક ક્ષેત્રને લંબ છે, તેથી $\theta_f = 90^\circ$.
કિંમતો મૂકતા:
$W = MB(\cos 0^\circ - \cos 90^\circ)$
$W = 2 \times 0.3 \times (1 - 0)$
$W = 0.6 \times 1 = 0.6 \text{ J}$.

(A) વિદ્યુતભારનો વેગ $\vec{v} = 2 \hat{i} \ m/s$ છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B} = (2 \hat{i} + 2 \hat{j} + 3 \hat{k}) \ T$ છે.
ગતિમાન વિદ્યુતભાર પર લાગતું ચુંબકીય બળ $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\vec{F} = q(2 \hat{i}) \times (2 \hat{i} + 2 \hat{j} + 3 \hat{k})$
$\vec{F} = q [ (2 \hat{i} \times 2 \hat{i}) + (2 \hat{i} \times 2 \hat{j}) + (2 \hat{i} \times 3 \hat{k}) ]$
કારણ કે $\hat{i} \times \hat{i} = 0$,$\hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}$,અને $\hat{i} \times \hat{k} = -\hat{j}$:
$\vec{F} = q [ 0 + 4 \hat{k} - 6 \hat{j} ]$
$\vec{F} = q(4 \hat{k} - 6 \hat{j})$.
આ બળ સદિશ $y-z$ સમતલમાં છે.

(C) ચુંબકીય ક્ષેત્ર '$B$' માં '$V$' વેગ સાથે ગતિ કરતા '$q$' વિદ્યુતભાર પર લાગતું બળ લોરેન્ટ્ઝ બળના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\vec{F} = q(\vec{V} \times \vec{B})$.
વાહક સળિયા માટે,ધન વિદ્યુતભાર વાહકો (હોલ્સ) પ્રેરિત પ્રવાહ '$i$' ની દિશામાં બળ અનુભવે છે.
આપેલ આકૃતિમાં,વેગ '$V$' જમણી તરફ છે અને પ્રવાહ '$i$' ઉપરની તરફ છે.
સદિશ ગુણાકાર $\vec{V} \times \vec{B}$ માટે જમણા હાથના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
જો આપણે આપણી આંગળીઓને '$V$' (જમણી તરફ) ની દિશામાં રાખીએ અને તેમને '$B$' (કાગળની અંદર) ની દિશામાં વાળીએ,તો અંગૂઠો ઉપરની તરફ નિર્દેશ કરે છે,જે પ્રવાહ '$i$' ની દિશા છે.
તેથી,ચુંબકીય ક્ષેત્ર '$B$' કાગળના સમતલને લંબ અને કાગળની અંદરની તરફ હોવું જોઈએ.

(A) રીંગની ત્રિજ્યા $R = 40 \, cm = 0.4 \, m$ છે. કોણીય ઝડપ $\omega = 20 \, rad \, s^{-1}$ છે।
જ્યારે ધાતુની રીંગ આડી સપાટી પર ગબડે છે, ત્યારે તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ $v = R\omega = 0.4 \times 20 = 8 \, m/s$ થાય છે।
ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વાહકમાં ઉત્પન્ન થતું e.m.f. $\varepsilon = \int (\vec{v} \times \vec{B}) \cdot d\vec{l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
ગબડતી રીંગ માટે, લૂપમાંથી પસાર થતું કુલ ફ્લક્સ બદલાતું નથી, અથવા બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વ્યાસ પર ઉત્પન્ન થતું ગતિકીય e.m.f. સંમિતિને કારણે એકબીજાને નાબૂદ કરે છે।
ચોક્કસ રીતે કહીએ તો, ઉત્તર-દક્ષિણ દિશામાં ગબડતી રીંગ માટે, પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો ઉર્ધ્વ ઘટક $(B_V)$ રીંગના સમતલને લંબ હોય છે, પરંતુ રીંગ તેના પોતાના સમતલમાં ગતિ કરતી હોવાથી, રીંગ દ્વારા કોઈ ફ્લક્સ કપાતું નથી।
સમક્ષિતિજ ઘટક $(B_H)$ જમીનને સમાંતર હોય છે। જેમ રીંગ ગબડે છે, તેમ કોઈપણ વ્યાસ પર ઉત્પન્ન થતું e.m.f. શૂન્ય હોય છે કારણ કે રીંગના એક અર્ધભાગમાં ઉત્પન્ન થતો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત બીજા અર્ધભાગ દ્વારા બરાબર સંતુલિત થઈ જાય છે।
તેથી, રીંગમાં ઉત્પન્ન થતું કુલ e.m.f. $0$ છે।

(C) આપેલ છે: પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો ઉર્ધ્વ ઘટક,$B_v = 0.5 \times 10^{-4} \,T$.
પાંખની લંબાઈ,$\ell = 4 \,m$.
વેગ,$v = 360 \,km/h = 360 \times \frac{5}{18} = 100 \,m/s$.
પાંખના છેડાઓ વચ્ચે ઉદ્ભવતું ગતિકીય emf $(\varepsilon)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$\varepsilon = B_v \cdot v \cdot \ell$
કિંમતો મૂકતા:
$\varepsilon = (0.5 \times 10^{-4}) \times 100 \times 4$
$\varepsilon = 0.5 \times 10^{-4} \times 400$
$\varepsilon = 200 \times 10^{-4} \,V$
$\varepsilon = 20 \times 10^{-3} \,V$.

(C) વિમાનની ઝડપ $v = 540 \,km/h = 540 \times \frac{5}{18} \,m/s = 150 \,m/s$ છે.
પાંખોની લંબાઈ $l = 20 \,m$ છે.
પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો સમક્ષિતિજ ઘટક $B_H = 2.5 \sqrt{3} \times 10^{-4} \,T$ છે.
નમનકોણ $\delta = 30^{\circ}$ છે.
પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો શિરોલંબ ઘટક $B_V = B_H \tan \delta = (2.5 \sqrt{3} \times 10^{-4}) \times \tan 30^{\circ} = 2.5 \sqrt{3} \times 10^{-4} \times \frac{1}{\sqrt{3}} = 2.5 \times 10^{-4} \,T$ થાય.
પાંખો વચ્ચે પ્રેરિત થતો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત (ગતિકીય $EMF$) $E = B_V \cdot l \cdot v$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $E = (2.5 \times 10^{-4} \,T) \times (20 \,m) \times (150 \,m/s)$
$E = 2.5 \times 10^{-4} \times 3000 = 7500 \times 10^{-4} = 0.75 \,V$.

(B) બાહ્ય ચુંબકીય ક્ષેત્ર લગાડવાથી પદાર્થ કેટલા પ્રમાણમાં ચુંબકીય બને છે,તેને મેગ્નેટિક સસેપ્ટિબિલિટી કહેવામાં આવે છે,જેને $\chi_m$ વડે દર્શાવવામાં આવે છે.
ફેરોમેગ્નેટિક પદાર્થો માટે,મેગ્નેટિક સસેપ્ટિબિલિટી ખૂબ જ વધારે અને ધન હોય છે,જેનો અર્થ છે કે $\chi_m > 1$.
આ ઊંચું મૂલ્ય દર્શાવે છે કે આ પદાર્થો બાહ્ય ચુંબકીય ક્ષેત્ર દ્વારા પ્રબળ રીતે આકર્ષાય છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) કાયમી ચુંબક માટે યોગ્ય પદાર્થોમાં ઉચ્ચ રિટૅન્ટિવિટી (ધારણશક્તિ) હોવી જોઈએ જેથી તેઓ ચુંબકીય ક્ષેત્રને મજબૂતીથી જાળવી શકે.
તેમની પાસે ઉચ્ચ કોર્સિવિટી (કોર્સિવ ફોર્સ) હોવી જોઈએ જેથી બાહ્ય ચુંબકીય ક્ષેત્રો,તાપમાનમાં ફેરફાર અથવા સામાન્ય યાંત્રિક નુકસાન દ્વારા તેમનું ચુંબકીયકરણ સરળતાથી નાશ ન પામે.
તેમની પાસે ઉચ્ચ પરમીબિલિટી પણ હોવી જોઈએ જેથી સરળતાથી ચુંબકીયકરણ થઈ શકે.

(D) સાપેક્ષ પરમિયેબિલિટી $\mu_r$ અને મેગ્નેટિક સસેપ્ટિબિલિટી $\chi$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\mu_r = 1 + \chi$.
ફેરોમેગ્નેટિક પદાર્થો માટે,મેગ્નેટિક સસેપ્ટિબિલિટી $\chi$ એ ખૂબ મોટી ધન કિંમત છે,સામાન્ય રીતે $\chi >> 1$.
પરિણામે,સાપેક્ષ પરમિયેબિલિટી $\mu_r$ પણ $1$ કરતા ઘણી મોટી હોય છે (એટલે કે,$\mu_r >> 1$).
તેથી,ફેરોમેગ્નેટિક પદાર્થ માટે સાચી શરત $\chi >> 1$ છે.

(C) આઈન્સ્ટાઈનના દળ-ઉર્જા તુલ્યતાના સિદ્ધાંત મુજબ,$m$ દળને સમતુલ્ય ઉર્જા $E$ એ $E = mc^2$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $c$ એ શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ છે.
અહીં આપેલ દળ $m = 1 \,kg$ અને પ્રકાશની ઝડપ $c = 3 \times 10^8 \,m/s$ છે.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$E = 1 \,kg \times (3 \times 10^8 \,m/s)^2$
$E = 1 \times 9 \times 10^{16} \,J$
$E = 9 \times 10^{16} \,J$.

(C) પરમાણુ વિખંડન અને સંલયનમાં, ન્યુક્લિયસના દળમાં થતા ફેરફારને કારણે ઊર્જા મુક્ત થાય છે।
આઈન્સ્ટાઈનના દળ-ઊર્જા સમતુલ્યતાના સિદ્ધાંત મુજબ, દળનું ઊર્જામાં અને ઊર્જાનું દળમાં રૂપાંતર થઈ શકે છે, જે $E = mc^2$ સમીકરણ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે।
વિખંડનમાં, એક ભારે ન્યુક્લિયસ હલકા ન્યુક્લિયસમાં વિભાજિત થાય છે, અને સંલયનમાં, હલકા ન્યુક્લિયસ જોડાઈને ભારે ન્યુક્લિયસ બનાવે છે।
બંને પ્રક્રિયાઓમાં, નીપજોનું કુલ દળ પ્રક્રિયકોના કુલ દળ કરતા થોડું ઓછું હોય છે।
આ દળ ક્ષતિ $(\Delta m)$ ને $E = (\Delta m)c^2$ સમીકરણ મુજબ ઊર્જામાં રૂપાંતરિત કરવામાં આવે છે।
તેથી, પરમાણુ વિખંડન અને સંલયન બંનેને આઈન્સ્ટાઈનના દળ-ઊર્જા સમીકરણ દ્વારા સમજાવી શકાય છે।

(C) ન્યુક્લિયર પ્રક્રિયામાં દળ ક્રમાંક અને પરમાણુ ક્રમાંક બંનેનું સંરક્ષણ થાય છે.
આપેલ પ્રક્રિયા: ${ }_{13} Al^{27} + { }_2 He^4 \rightarrow { }_0 n^1 + X$
દળ ક્રમાંક $(A)$ નું સંરક્ષણ:
$27 + 4 = 1 + A_X$
$31 = 1 + A_X \Rightarrow A_X = 30$
પરમાણુ ક્રમાંક $(Z)$ નું સંરક્ષણ:
$13 + 2 = 0 + Z_X$
$15 = Z_X$
પરમાણુ ક્રમાંક $15$ હોવાથી,તત્વ ફોસ્ફરસ $(P)$ છે.
તેથી,$X = { }_{15} P^{30}$.
આમ,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(D) $235 \text{ g}$ $U^{235}$ માં પરમાણુઓની સંખ્યા એવોગેડ્રો આંક,$N_A = 6.02 \times 10^{23}$ જેટલી હોય છે.
દરેક ન્યુક્લિયસ દીઠ મુક્ત થતી ઉર્જા $= 188 \text{ MeV} = 188 \times 1.6 \times 10^{-13} \text{ J} = 3.008 \times 10^{-11} \text{ J}$.
કુલ મુક્ત થતી ઉર્જા $= N_A \times \text{દરેક ન્યુક્લિયસ દીઠ ઉર્જા}$.
કુલ ઉર્જા $= (6.02 \times 10^{23}) \times (3.008 \times 10^{-11} \text{ J}) \approx 18.11 \times 10^{12} \text{ J}$.

(B) શરૂઆતનું ન્યુક્લિયસ ${ }_{Z}^{A} X$ છે.
પ્રથમ $\alpha$-ક્ષય પછી,ન્યુક્લિયસ $P$ બને છે: ${ }_{Z-2}^{A-4} P$.
$P$ ના $\beta$-ક્ષય પછી,ન્યુક્લિયસ $Q$ બને છે: ${ }_{Z-2+1}^{A-4} Q = { }_{Z-1}^{A-4} Q$.
$Q$ ના બીજા $\alpha$-ક્ષય પછી,ન્યુક્લિયસ $R$ બને છે: ${ }_{Z-1-2}^{A-4-4} R = { }_{Z-3}^{A-8} R$.
ન્યુક્લિયસ ${ }_{Z'}^{A'} R$ માં ન્યુટ્રોનની સંખ્યા $N = A' - Z'$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ન્યુક્લિયસ $R$ માટે,$A' = A-8$ અને $Z' = Z-3$.
તેથી,$N = (A-8) - (Z-3) = A - 8 - Z + 3 = A - Z - 5$.

(D) ન્યુક્લિયર રિએક્ટરમાં,વિખંડન દરમિયાન ઉત્પન્ન થતા ઝડપી ન્યુટ્રોન ઉચ્ચ ગતિજ ઉર્જા ધરાવે છે.
શૃંખલા પ્રતિક્રિયા જાળવી રાખવા માટે,આ ન્યુટ્રોનને થર્મલ ઉર્જા સુધી ધીમા કરવા જરૂરી છે જેથી તેઓ $U^{235}$ ન્યુક્લિયસમાં વધુ વિખંડનનું કારણ બની શકે.
ભારે પાણી $(D_2O)$ નો ઉપયોગ મોડરેટર તરીકે થાય છે કારણ કે તે ન્યુટ્રોનને નોંધપાત્ર રીતે શોષ્યા વિના સ્થિતિસ્થાપક અથડામણો દ્વારા આ ઝડપી ન્યુટ્રોનની ગતિને ધીમી કરવામાં અસરકારક છે.

(A) પાવર $P = 5 \text{ mW} = 5 \times 10^{-3} \text{ W}$.
પ્રતિ વિખંડન મુક્ત થતી ઉર્જા $E = 200 \text{ MeV} = 200 \times 10^6 \times 1.6 \times 10^{-19} \text{ J} = 3.2 \times 10^{-11} \text{ J}$.
ધારો કે પ્રતિ સેકન્ડ થતા વિખંડનની સંખ્યા $n$ છે.
પાવર $P = n \times E$.
તેથી,$n = \frac{P}{E} = \frac{5 \times 10^{-3} \text{ J/s}}{3.2 \times 10^{-11} \text{ J/fission}}$.
$n = \frac{5}{3.2} \times 10^8 = 1.5625 \times 10^8 \text{ fissions/s}$.
આમ,પ્રતિ સેકન્ડ થતા વિખંડનની સંખ્યા $1.56 \times 10^8$ છે.

(D) દળ-ક્રમાંક ધરાવતા ન્યુક્લિયસની ત્રિજ્યા $R = R_0 A^{1/3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $R_0$ એ અચળાંક છે.
ન્યુક્લિયસ ગોળાકાર છે તેમ ધારતા,તેનું પૃષ્ઠફળ $S = 4 \pi R^2$ દ્વારા મળે છે.
$R$ નું સૂત્ર $S$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$S = 4 \pi (R_0 A^{1/3})^2$
$S = 4 \pi R_0^2 A^{2/3}$
અહીં $4 \pi R_0^2$ એ અચળ હોવાથી,$S \propto A^{2/3}$ થાય છે.

(C) ન્યુક્લિયસની ત્રિજ્યા $R = R_0 A^{1/3}$ સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A$ એ દળ-ક્રમાંક છે.
આપેલ છે કે $A_1 = 27$ માટે $R_1 = R$ અને $A_2$ માટે $R_2 = 2R$.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{R_1}{R_2} = \left(\frac{A_1}{A_2}\right)^{1/3}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{R}{2R} = \left(\frac{27}{A_2}\right)^{1/3}$.
$\frac{1}{2} = \left(\frac{27}{A_2}\right)^{1/3}$.
બંને બાજુ ઘન કરતા: $\frac{1}{8} = \frac{27}{A_2}$.
$A_2 = 27 \times 8 = 216$.
ખૂબ ઊંચા દળ-ક્રમાંક ધરાવતા ન્યુક્લિયસ (જેમ કે $A=216$) સામાન્ય રીતે અસ્થાયી હોય છે અને વધુ સ્થાયી અવસ્થા પ્રાપ્ત કરવા માટે રેડિયોએક્ટિવ ક્ષય અથવા વિખંડન પ્રક્રિયા અનુભવે છે.

(A) $\alpha$-ક્ષયની પ્રક્રિયાને આ રીતે દર્શાવી શકાય: $X \rightarrow Y + \alpha$ .
અહીં,$X$ એ પિતૃ ન્યુક્લિયસ છે,$Y$ એ પુત્રી ન્યુક્લિયસ છે,અને $\alpha$ એ $\alpha$-કણ $(_{2}He^{4})$ છે.
પ્રક્રિયામાં દળ ક્ષતિ $\Delta m$ એ પ્રારંભિક દળ અને અંતિમ દળ વચ્ચેનો તફાવત છે: $\Delta m = m_x - (m_y + m_a) = m_x - m_y - m_a$ .
આઈન્સ્ટાઈનના દળ-ઊર્જા સમતુલ્યતાના સિદ્ધાંત મુજબ,મુક્ત થતી ઊર્જા (જે નીપજોની કુલ ગતિઊર્જા તરીકે મળે છે) $Q = \Delta m c^2$ છે.
તેથી,મેળવેલી કુલ ગતિઊર્જા $Q = (m_x - m_y - m_a) c^2$ થશે.

(C) તત્વ $X$ માટે,અર્ધ-આયુષ્ય $(t_{1/2})_X = \frac{0.693}{\lambda_X}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તત્વ $Y$ માટે,સરેરાશ આયુષ્ય $(\tau)_Y = \frac{1}{\lambda_Y}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $(t_{1/2})_X = (\tau)_Y$,તેથી $\frac{0.693}{\lambda_X} = \frac{1}{\lambda_Y}$.
આ સૂચવે છે કે $\lambda_X = 0.693 \lambda_Y$,જેનો અર્થ છે કે $\lambda_X < \lambda_Y$.
ક્ષય દર $R = \lambda N$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. શરૂઆતમાં $N_X = N_Y$ હોવાથી અને $\lambda_Y > \lambda_X$ હોવાથી,$Y$ નો ક્ષય દર $X$ કરતા વધારે છે $(R_Y > R_X)$.
તેથી,$Y$ એ $X$ કરતા ઝડપથી ક્ષય પામે છે.

(D) ધારો કે પદાર્થ $B$ નો અર્ધ-આયુષ્ય સમય $T_B = T$ છે. તો પદાર્થ $A$ નો અર્ધ-આયુષ્ય સમય $T_A = 2T$ થશે.
સમય $t$ પછી,બાકી રહેલા ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N(t) = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T_{1/2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વિતેલો સમય $t = 3 T_A = 3(2T) = 6T$ છે.
આ સમયે,$A$ ના ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N_A(t) = N_A \left(\frac{1}{2}\right)^3$ છે.
આ સમયે,$B$ ના ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N_B(t) = N_B \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T_B} = N_B \left(\frac{1}{2}\right)^{6T/T} = N_B \left(\frac{1}{2}\right)^6$ છે.
આપેલ છે કે $N_A(t) = N_B(t)$,તેથી $N_A \left(\frac{1}{2}\right)^3 = N_B \left(\frac{1}{2}\right)^6$.
તેથી,$\frac{N_A}{N_B} = \frac{(1/2)^6}{(1/2)^3} = \left(\frac{1}{2}\right)^{6-3} = \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}$.

(C) જ્યારે લેન્સનો ઉપરનો અડધો ભાગ ઢાંકી દેવામાં આવે છે,ત્યારે લેન્સનો બાકી રહેલો નીચેનો અડધો ભાગ હજુ પણ પદાર્થનું સંપૂર્ણ પ્રતિબિંબ તે જ સ્થાને રચે છે. આનું કારણ એ છે કે લેન્સ પરનો દરેક બિંદુ પ્રતિબિંબ રચવામાં ફાળો આપે છે. જો કે,લેન્સમાંથી પસાર થતા પ્રકાશનો કુલ જથ્થો ઘટી જતો હોવાથી,પ્રતિબિંબની તીવ્રતા ઘટે છે.

(C) આપેલ છે: બે બહિર્ગોળ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f_1 = 20 \,cm$ અને $f_2 = 30 \,cm$ છે.
જ્યારે બે પાતળા લેન્સને સંપર્કમાં મૂકવામાં આવે,ત્યારે સમતુલ્ય કેન્દ્રલંબાઈ $F$ શોધવાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\frac{1}{F} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1}{F} = \frac{1}{20} + \frac{1}{30}$
$\frac{1}{F} = \frac{3 + 2}{60} = \frac{5}{60}$
$\frac{1}{F} = \frac{1}{12}$
તેથી,$F = 12 \,cm$.

(B) સૂર્ય અનંત અંતરે છે, તેથી $u = \infty$.
પ્રકાશ અરીસાથી $32 \,cm$ ની ઊંચાઈએ કેન્દ્રિત થાય છે. અરીસાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{f} = \frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{32} + \frac{1}{\infty} \Rightarrow f = 32 \,cm$.
જ્યારે ટાંકીને $20 \,cm$ ની ઊંચાઈ સુધી પાણીથી ભરવામાં આવે છે, ત્યારે પ્રકાશના કિરણો પાણીની સપાટી પર વક્રીભવન પામે છે.
અરીસો તળિયેથી $32 \,cm$ અંતરે પ્રતિબિંબ બનાવશે. પાણીની સપાટી $20 \,cm$ પર હોવાથી, પાણીની સપાટીથી આ પ્રતિબિંબનું અંતર $BO = 32 \,cm - 20 \,cm = 12 \,cm$ છે.
આ પ્રતિબિંબ પાણીની સપાટી માટે આભાસી વસ્તુ તરીકે કાર્ય કરે છે. વક્રીભવનને કારણે, પાણીની સપાટીથી આભાસી ઊંચાઈ $BI$ નીચે મુજબ મળે છે:
$BI = \frac{BO}{\mu} = \frac{12}{4/3} = 12 \times \frac{3}{4} = 9 \,cm$.
આમ, સૂર્યપ્રકાશ પાણીની સપાટીથી $9 \,cm$ ઉપર કેન્દ્રિત થાય છે.