TS EAMCET 2022 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) कण का स्थिति सदिश $\vec{r} = x\hat{i} + y\hat{j} = (4t + t^2)\hat{i} + (2t + \frac{t^2}{2})\hat{j}$ द्वारा दिया गया है।
वेग स्थिति सदिश का समय के सापेक्ष अवकलन है: $\vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt} = \frac{dx}{dt}\hat{i} + \frac{dy}{dt}\hat{j}$.
$x$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $v_x = \frac{d}{dt}(4t + t^2) = 4 + 2t$.
$y$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $v_y = \frac{d}{dt}(2t + \frac{t^2}{2}) = 2 + t$.
अतः,वेग सदिश $\vec{v} = (4 + 2t)\hat{i} + (2 + t)\hat{j} \text{ m/s}$ है।

(D) तय की जाने वाली कुल दूरी $2d$ है ($d$ दूरी धारा के विपरीत और $d$ दूरी धारा की दिशा में)।
स्थिर पानी में,व्यक्ति $2v$ की गति से तैरता है। $2d$ दूरी तय करने में लिया गया समय $t_0 = \frac{2d}{2v} = \frac{d}{v}$ है।
धारा की दिशा में तैरते समय,प्रभावी गति $v_{down} = v_m + v_r = 2v + v = 3v$ होती है। लिया गया समय $t_1 = \frac{d}{3v}$ है।
धारा के विपरीत तैरते समय,प्रभावी गति $v_{up} = v_m - v_r = 2v - v = v$ होती है। लिया गया समय $t_2 = \frac{d}{v}$ है।
कुल लिया गया समय $t = t_1 + t_2 = \frac{d}{3v} + \frac{d}{v} = \frac{d + 3d}{3v} = \frac{4d}{3v}$ है।
अतः,अनुपात $\frac{t}{t_0} = \frac{4d/3v}{d/v} = \frac{4}{3}$ है।

(A) माना बस की गति $V$ है और व्यक्ति की गति $V_o$ है। दो लगातार बसों के बीच की दूरी $d = V \cdot T$ है।
जब व्यक्ति बस की दिशा में चलता है,तो सापेक्ष गति $V - V_o$ होती है। बसों के उसके पास से गुजरने के बीच का समय अंतराल $t_1 = \frac{d}{V - V_o} = \frac{VT}{V - V_o}$ है।
इससे $V - V_o = \frac{VT}{t_1} \quad \dots (1)$ प्राप्त होता है।
जब व्यक्ति विपरीत दिशा में चलता है,तो सापेक्ष गति $V + V_o$ होती है। बसों के उसके पास से गुजरने के बीच का समय अंतराल $t_2 = \frac{d}{V + V_o} = \frac{VT}{V + V_o}$ है।
इससे $V + V_o = \frac{VT}{t_2} \quad \dots (2)$ प्राप्त होता है।
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$(V - V_o) + (V + V_o) = \frac{VT}{t_1} + \frac{VT}{t_2}$
$2V = VT \left( \frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} \right)$
$2 = T \left( \frac{t_1 + t_2}{t_1 t_2} \right)$
$T = \frac{2 t_1 t_2}{t_1 + t_2}$

(C) औसत वेग $V_1$ को कुल विस्थापन को कुल समय अंतराल से विभाजित करके परिभाषित किया जाता है।
दिया गया है $x(t) = \alpha t^3 + \beta t^2 + \gamma$.
$t = 1 \ s$ पर,$x(1) = \alpha(1)^3 + \beta(1)^2 + \gamma = \alpha + \beta + \gamma$.
$t = 3 \ s$ पर,$x(3) = \alpha(3)^3 + \beta(3)^2 + \gamma = 27\alpha + 9\beta + \gamma$.
विस्थापन $\Delta x = x(3) - x(1) = (27\alpha + 9\beta + \gamma) - (\alpha + \beta + \gamma) = 26\alpha + 8\beta$.
समय अंतराल $\Delta t = 3 - 1 = 2 \ s$.
$V_1 = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{26\alpha + 8\beta}{2} = 13\alpha + 4\beta$.
तात्क्षणिक वेग $V_2$ समय के सापेक्ष स्थिति का अवकलन है: $V(t) = \frac{dx}{dt} = 3\alpha t^2 + 2\beta t$.
$t = 3 \ s$ पर,$V_2 = 3\alpha(3)^2 + 2\beta(3) = 27\alpha + 6\beta$.
अनुपात $\frac{V_1}{V_2} = \frac{13\alpha + 4\beta}{27\alpha + 6\beta}$.

(C) वेग सदिश $\vec{V} = V_x \hat{i} + V_y \hat{j}$ द्वारा दिया गया है,जहाँ $V_x = 6 + 2t$ और $V_y = 4 + 2\sqrt{3}t$ है।
त्वरण $\vec{a}$ वेग का समय के सापेक्ष अवकलन है: $\vec{a} = \frac{d\vec{V}}{dt} = \frac{dV_x}{dt} \hat{i} + \frac{dV_y}{dt} \hat{j}$.
घटकों की गणना करने पर:
$a_x = \frac{d}{dt}(6 + 2t) = 2 \text{ m/s}^2$.
$a_y = \frac{d}{dt}(4 + 2\sqrt{3}t) = 2\sqrt{3} \text{ m/s}^2$.
अतः,त्वरण सदिश $\vec{a} = 2 \hat{i} + 2\sqrt{3} \hat{j} \text{ m/s}^2$ प्राप्त होता है।

(A) कण $A$ का वेग $x$-अक्ष के अनुदिश नियत है: $\vec{V}_A = 1 \hat{i} \,m/s$।
$y$-अक्ष के अनुदिश गति कर रहे कण $B$ के लिए, स्थिति $y = ct^2$ है।
कण $B$ का वेग $\vec{V}_B = \frac{dy}{dt} \hat{j} = 2ct \hat{j}$ है।
$t = 1 \,s$ और $c = 1 \,m/s^2$ पर, कण $B$ का वेग $\vec{V}_B = 2(1)(1) \hat{j} = 2 \hat{j} \,m/s$ है।
कण $B$ के सापेक्ष कण $A$ का आपेक्षिक वेग $\vec{V}_{AB} = \vec{V}_A - \vec{V}_B = 1 \hat{i} - 2 \hat{j} \,m/s$ है।
चाल आपेक्षिक वेग का परिमाण है: $|\vec{V}_{AB}| = \sqrt{(1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5} \,m/s$।

(B) प्रारंभिक वेग $u = 10 \,m/s$ और त्वरण $a = 2 \,m/s^2$ है।
समय अंतराल $\Delta t = 1 \,s$ के लिए गति के समीकरण $S = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करने पर:
$S_1$ के लिए ($t=3 \,s$ से $t=4 \,s$ का अंतराल):
$t=3 \,s$ पर वेग $v_3 = u + at = 10 + 2(3) = 16 \,m/s$ है।
$S_1 = v_3(1) + \frac{1}{2}a(1)^2 = 16(1) + \frac{1}{2}(2)(1)^2 = 16 + 1 = 17 \,m$.
$S_2$ के लिए ($t=4 \,s$ से $t=5 \,s$ का अंतराल):
$t=4 \,s$ पर वेग $v_4 = u + at = 10 + 2(4) = 18 \,m/s$ है।
$S_2 = v_4(1) + \frac{1}{2}a(1)^2 = 18(1) + \frac{1}{2}(2)(1)^2 = 18 + 1 = 19 \,m$.
अतः,अनुपात $\frac{S_2}{S_1} = \frac{19}{17}$ है।

(D) प्रारंभिक वेग के घटक इस प्रकार हैं:
$u_x = u \cos \theta = 40 \cos 30^{\circ} = 40 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 20 \sqrt{3} \ m \ s^{-1}$
$u_y = u \sin \theta = 40 \sin 30^{\circ} = 40 \times \frac{1}{2} = 20 \ m \ s^{-1}$
समय $t = 2.0 \ s$ में क्षैतिज विस्थापन $(x)$:
$x = u_x \times t = (20 \sqrt{3}) \times 2 = 40 \sqrt{3} \ m$
समय $t = 2.0 \ s$ में ऊर्ध्वाधर विस्थापन $(y)$:
$y = u_y \times t - \frac{1}{2} g t^2 = (20 \times 2) - \frac{1}{2} \times 10 \times (2)^2 = 40 - 20 = 20 \ m$
कुल विस्थापन $(S)$ इस प्रकार प्राप्त होता है:
$S = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{(40 \sqrt{3})^2 + (20)^2}$
$S = \sqrt{1600 \times 3 + 400} = \sqrt{4800 + 400} = \sqrt{5200}$
$S = \sqrt{400 \times 13} = 20 \sqrt{13} \ m$

(B) चूंकि पहाड़ी चिकनी है,इसलिए शीर्ष पर स्थितिज ऊर्जा उस बिंदु पर गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है जहाँ ऊँचाई $\frac{H}{2}$ है।
मान लीजिए $\frac{H}{2}$ ऊँचाई पर वेग $v$ है। ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार:
$mgH = mg(\frac{H}{2}) + \frac{1}{2}mv^2$
$mg(\frac{H}{2}) = \frac{1}{2}mv^2$
$v = \sqrt{gH}$
अब,वस्तु $h' = \frac{H}{2}$ की ऊँचाई से एक क्षैतिज प्रक्षेप्य के रूप में कार्य करती है।
जमीन तक पहुँचने में लगा समय है:
$t = \sqrt{\frac{2h'}{g}} = \sqrt{\frac{2(H/2)}{g}} = \sqrt{\frac{H}{g}}$
तय की गई क्षैतिज दूरी (परास) है:
$x = v \times t = \sqrt{gH} \times \sqrt{\frac{H}{g}} = H$

(B) प्रारंभिक वेग के घटक $u_x = 3 \text{ m s}^{-1}$ और $u_y = 4 \text{ m s}^{-1}$ हैं।
गति के समीकरणों का उपयोग करते हुए: $x = u_x t = 3t \Rightarrow t = \frac{x}{3}$.
$y = u_y t - \frac{1}{2} g t^2 = 4t - \frac{1}{2} (10) t^2 = 4t - 5t^2$.
$t = \frac{x}{3}$ को $y$ के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$y = 4 \left( \frac{x}{3} \right) - 5 \left( \frac{x}{3} \right)^2 = \frac{4x}{3} - \frac{5x^2}{9}$.
इसे $\frac{1}{9} [\beta x + \gamma x^2]$ के रूप में बदलने के लिए,हम $9$ से गुणा और भाग करते हैं:
$y = \frac{1}{9} [12x - 5x^2]$.
दिए गए रूप $\frac{1}{9} [\beta x + \gamma x^2]$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\beta = 12$ और $\gamma = -5$ प्राप्त होता है।

(A) मान लीजिए कि विमान $t=0$ पर प्रेक्षक $O$ के ठीक ऊपर $H$ ऊँचाई पर बिंदु $A$ पर है। समय $T$ के बाद,विमान बिंदु $B$ पर पहुँचता है जिससे क्षैतिज दूरी $AB = VT$ हो जाती है।
प्रेक्षण बिंदु $O$ पर पथ $AB$ द्वारा अंतरित कोण $\alpha$ है।
$t=0$ पर उन्नयन कोण $\theta_1 = 0$ है।
बिंदु $O$ पर रेखाखंड $AB$ द्वारा अंतरित कोण $\theta = \theta_2 - \theta_1$ है,जहाँ $\theta_2 = \tan^{-1}(\frac{VT}{H})$ और $\theta_1 = 0$ है।
अतः,अंतरित कोण $\tan^{-1}(\frac{VT}{H})$ है।

(B) वेग का क्षैतिज घटक $u_x = u \cos \theta = 20 \cos 30^{\circ} = 20 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3} \ m/s$ है।
वेग का ऊर्ध्वाधर घटक $u_y = u \sin \theta = 20 \sin 30^{\circ} = 20 \times \frac{1}{2} = 10 \ m/s$ है।
$t = 0.1 \ s$ समय के बाद,क्षैतिज विस्थापन $x = u_x t = 10\sqrt{3} \times 0.1 = \sqrt{3} \ m$ है।
ऊर्ध्वाधर विस्थापन $y = u_y t - \frac{1}{2}gt^2 = 10 \times 0.1 - \frac{1}{2} \times 10 \times (0.1)^2 = 1 - 0.05 = 0.95 \ m = \frac{19}{20} \ m$ है।
विस्थापन सदिश और क्षैतिज के बीच का कोण $\theta$,$\tan \theta = \frac{y}{x}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$\tan \theta = \frac{19/20}{\sqrt{3}} = \frac{19}{20\sqrt{3}}$ प्राप्त होता है।

(C) अधिकतम ऊँचाई $h = \frac{u^2 \sin^2 \alpha}{2g}$ द्वारा दी जाती है।
परास $R = \frac{u^2 \sin 2\alpha}{g} = \frac{2 u^2 \sin \alpha \cos \alpha}{g}$ द्वारा दी जाती है।
$h$ को $R$ से विभाजित करने पर:
$\frac{h}{R} = \frac{u^2 \sin^2 \alpha}{2g} \cdot \frac{g}{2 u^2 \sin \alpha \cos \alpha} = \frac{\tan \alpha}{4}$.
अतः,$\tan \alpha = \frac{4h}{R}$.
उड़ान का समय $T = \frac{2u \sin \alpha}{g}$ द्वारा दिया जाता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$T^2 = \frac{4u^2 \sin^2 \alpha}{g^2}$.
इस प्रकार,$\frac{g T^2}{8} = \frac{g}{8} \cdot \frac{4u^2 \sin^2 \alpha}{g^2} = \frac{u^2 \sin^2 \alpha}{2g} = h$.
अतः,$h = \frac{g T^2}{8}$.

(C) माना क्षैतिज के साथ प्रक्षेपण कोण $\theta = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$ है। पहाड़ी का झुकाव कोण $\alpha = 30^{\circ}$ है।
ढलान की दिशा में प्रारंभिक वेग का घटक: $u_x = u \cos(\theta + \alpha) = 10 \cos(30^{\circ} + 30^{\circ}) = 10 \cos 60^{\circ} = 5 \text{ m/s}$.
ढलान के लंबवत प्रारंभिक वेग का घटक: $u_y = u \sin(\theta + \alpha) = 10 \sin(60^{\circ}) = 5\sqrt{3} \text{ m/s}$.
त्वरण के घटक: $a_x = g \sin 30^{\circ} = 5 \text{ m/s}^2$ और $a_y = -g \cos 30^{\circ} = -5\sqrt{3} \text{ m/s}^2$.
उड्डयन काल $T$ के लिए,ढलान के लंबवत विस्थापन शून्य होगा:
$0 = u_y T + \frac{1}{2} a_y T^2 \implies T = \frac{-2 u_y}{a_y} = 2 \text{ s}$.
दूरी $AB = u_x T + \frac{1}{2} a_x T^2 = 5(2) + \frac{1}{2}(5)(2^2) = 10 + 10 = 20 \text{ m}$.

(B) मान लीजिए कि व्यक्ति का वेग $\vec{v}_m = 6 \hat{i} \text{ km/h}$ है और बारिश का वेग $\vec{v}_r = -6\sqrt{3} \hat{j} \text{ km/h}$ है।
खुद को बचाने के लिए,व्यक्ति को छाता व्यक्ति के सापेक्ष बारिश के आपेक्षिक वेग $\vec{v}_{rm} = \vec{v}_r - \vec{v}_m$ की दिशा में रखना चाहिए।
$\vec{v}_{rm} = -6\sqrt{3} \hat{j} - 6 \hat{i} \text{ km/h}$।
ऊर्ध्वाधर के साथ कोण $\alpha$ का मान $\tan \alpha = \frac{|v_m|}{|v_r|} = \frac{6}{6\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $\tan \alpha = \frac{1}{\sqrt{3}}$,इसलिए $\alpha = 30^{\circ}$ है।
अतः,व्यक्ति को अपना छाता ऊर्ध्वाधर के साथ $30^{\circ}$ के कोण पर रखना चाहिए।

(B) मान लीजिए कार $A$ मूल बिंदु $(0, 0)$ पर है और उसका वेग $\vec{V}_A = 25 \hat{j} \ km/hr$ है। मान लीजिए कार $B$ बिंदु $(0, 50)$ पर है और उसका वेग $\vec{V}_B = -25 \hat{i} \ km/hr$ है।
$B$ के सापेक्ष $A$ का आपेक्षिक वेग $\vec{V}_{AB} = \vec{V}_A - \vec{V}_B = 25 \hat{j} - (-25 \hat{i}) = 25 \hat{i} + 25 \hat{j} \ km/hr$ है।
आपेक्षिक वेग का परिमाण $|\vec{V}_{AB}| = \sqrt{25^2 + 25^2} = 25\sqrt{2} \ km/hr$ है।
आपेक्षिक स्थिति सदिश $\vec{r}_{AB} = \vec{r}_A - \vec{r}_B = (0 - 0)\hat{i} + (0 - 50)\hat{j} = -50 \hat{j} \ km$ है।
निकटतम पहुँचने की दूरी तक पहुँचने में लगा समय $t = -\frac{\vec{r}_{AB} \cdot \vec{V}_{AB}}{|\vec{V}_{AB}|^2}$ द्वारा दिया जाता है।
$t = -\frac{(-50 \hat{j}) \cdot (25 \hat{i} + 25 \hat{j})}{(25\sqrt{2})^2} = -\frac{-1250}{1250} = 1 \ hr$.
अतः,लगा समय $60 \ min$ है।

(B) एक पूर्ण चक्कर के लिए कोणीय विस्थापन $2\pi \text{ रेडियन}$ होता है।
चूंकि मेरी-गो-राउंड $9$ चक्कर पूरे करता है,इसलिए कुल कोणीय विस्थापन $\Delta\theta = 9 \times 2\pi = 18\pi \text{ रेडियन}$ है।
लिया गया समय $\Delta t = 18 \text{ सेकंड}$ है।
कोणीय गति $\omega$ का सूत्र $\omega = \frac{\Delta\theta}{\Delta t}$ है।
मान रखने पर,$\omega = \frac{18\pi}{18} = \pi \text{ rad/s}$ प्राप्त होता है।

(B) अवमंदित दोलक का आयाम $A(t) = A_0 e^{-bt / 2m}$ द्वारा दिया जाता है।
यांत्रिक ऊर्जा $E$,आयाम के वर्ग के समानुपाती होती है,$E \propto A^2$.
इसलिए,$E(t) = E_0 e^{-bt / m}$.
हमें वह समय $t$ ज्ञात करना है जब $E(t) = E_0 / 4$ हो।
इस मान को समीकरण में रखने पर: $E_0 / 4 = E_0 e^{-bt / m}$.
यह सरल होकर $1/4 = e^{-bt / m}$ या $2^{-2} = e^{-bt / m}$ हो जाता है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (natural logarithm) लेने पर: $-2 \ln 2 = -bt / m$.
$t$ के लिए हल करने पर: $t = (2m \ln 2) / b$.
यहाँ $m = 200 \text{ g} = 0.2 \text{ kg}$,$b = 70 \text{ g/s} = 0.07 \text{ kg/s}$,और $\ln 2 = 0.7$ दिया गया है।
$t = (2 \times 0.2 \times 0.7) / 0.07 = 0.28 / 0.07 = 4 \text{ s}$.

(C) सरल लोलक का गोलक गुरुत्वीय त्वरण $(g)$ और कार की वृत्तीय गति के कारण अभिकेंद्र त्वरण $(a_c = v^2/R)$ दोनों का अनुभव करता है।
ये दोनों त्वरण एक-दूसरे के लंबवत हैं।
गोलक पर कार्य करने वाला प्रभावी त्वरण $(g')$ $g' = \sqrt{g^2 + a_c^2} = \sqrt{g^2 + (v^2/R)^2} = \sqrt{g^2 + v^4/R^2}$ है।
सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{L/g'}$ होता है।
मान रखने पर: $T = 2\pi \sqrt{L / \sqrt{g^2 + v^4/R^2}} = 2\pi \sqrt{1 / (g^2 + v^4/R^2)^{1/2}} = 2\pi / (g^2 + v^4/R^2)^{1/4}$।
इसे $T = 2\pi / \alpha^{1/4}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\alpha = g^2 + v^4/R^2$ प्राप्त होता है।
यहाँ $g = 10 \ m/s^2$,$v = 10 \ m/s$,और $R = 100 \ m$ दिया गया है:
$\alpha = (10)^2 + (10)^4 / (100)^2 = 100 + 10000 / 10000 = 100 + 1 = 101$।

(B) सरल आवर्त गति करने वाले पिंड की गतिज ऊर्जा $(KE)$ $KE = \frac{1}{2} m \omega^2 (A^2 - x^2)$ और कुल ऊर्जा $(TE)$ $TE = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2$ होती है।
प्रश्न के अनुसार,$KE = 75\% \text{ of } TE$ है,इसलिए:
$KE = \frac{3}{4} TE$
$\frac{1}{2} m \omega^2 (A^2 - x^2) = \frac{3}{4} (\frac{1}{2} m \omega^2 A^2)$
$A^2 - x^2 = \frac{3}{4} A^2$
$x^2 = A^2 - \frac{3}{4} A^2 = \frac{1}{4} A^2$
$x = \pm \frac{A}{2}$
माध्य स्थिति से शुरू करने वाले कण के लिए,विस्थापन $x = A \sin(\omega t)$ होता है।
$x = \frac{A}{2}$ रखने पर,$\frac{A}{2} = A \sin(\omega t) \Rightarrow \sin(\omega t) = \frac{1}{2}$.
इसका अर्थ है $\omega t = \frac{\pi}{6}$.
चूंकि $\omega = \frac{2\pi}{T}$,इसलिए $\frac{2\pi}{T} t = \frac{\pi}{6}$.
$t = \frac{T}{12}$.
$T = 4 \ s$ दिया गया है,इसलिए $t = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \ s$।

(B) $t=2 \ s$ पर मूल बिंदु से गुजरने वाले कण के लिए सरल आवर्त गति का समीकरण $x(t) = A \sin(\omega(t - 2))$ है।
दिया गया है $T = 16 \ s$,इसलिए कोणीय आवृत्ति $\omega = \frac{2 \pi}{T} = \frac{2 \pi}{16} = \frac{\pi}{8} \ rad/s$ है।
वेग का समीकरण $v(t) = \frac{dx}{dt} = A \omega \cos(\omega(t - 2))$ है।
$t = 4 \ s$ पर,$v = 4 \ m/s$:
$4 = A \left(\frac{\pi}{8}\right) \cos\left(\frac{\pi}{8}(4 - 2)\right)$
$4 = A \left(\frac{\pi}{8}\right) \cos\left(\frac{\pi}{4}\right)$
$4 = A \left(\frac{\pi}{8}\right) \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$
$A = \frac{4 \times 8 \times \sqrt{2}}{\pi} = \frac{32 \sqrt{2}}{\pi} \ m$.

(D) $S.H.M$ में स्थिति का समीकरण $x(t) = A \cos(\omega t + \phi)$ है,जहाँ $A = 5$ आयाम है।
$S.H.M$ निकाय की कुल यांत्रिक ऊर्जा $E = \frac{1}{2} k A^2 = 100 \ J$ है।
किसी भी समय $t$ पर स्थितिज ऊर्जा $U = \frac{1}{2} k x^2$ द्वारा दी जाती है।
$t = 0$ पर,स्थिति $x(0) = 5 \cos\left(0 + \frac{\pi}{4}\right) = 5 \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = 5 \times \frac{1}{\sqrt{2}}$ है।
स्थितिज ऊर्जा के सूत्र में $x(0)$ का मान रखने पर:
$U(0) = \frac{1}{2} k \left(5 \times \frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{1}{2} k \left(\frac{25}{2}\right) = \frac{1}{4} k (25)$.
चूँकि $E = \frac{1}{2} k A^2 = \frac{1}{2} k (5)^2 = \frac{25}{2} k = 100 \ J$,इसलिए $k = \frac{200}{25} = 8 \ J/m^2$ प्राप्त होता है।
$U(0)$ के व्यंजक में $k = 8$ रखने पर:
$U(0) = \frac{1}{4} \times 8 \times 25 = 2 \times 25 = 50 \ J$.

(C) गोले पर कार्य करने वाले बल गुरुत्वाकर्षण बल $mg$ (नीचे की ओर) और विद्युत बल $qE$ (ऊपर की ओर,क्योंकि विद्युत क्षेत्र ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर है और आवेश धनात्मक है) हैं।
परिणामी नीचे की ओर कार्य करने वाला बल $F = mg - qE$ है।
इसे $F = m(g - \frac{qE}{m})$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अतः,गुरुत्वीय त्वरण का प्रभावी मान $g' = g - \frac{qE}{m}$ है।
सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g'}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
$g'$ का मान रखने पर,$T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g - \frac{qE}{m}}}$ प्राप्त होता है।

(B) चूंकि बेलन बिना फिसले लुढ़कता है,इसलिए घर्षण द्वारा किया गया कार्य शून्य है। अतः,हम यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत को लागू कर सकते हैं।
शीर्ष पर,कुल ऊर्जा पूरी तरह से स्थितिज ऊर्जा है: $E_i = mgh$.
तल पर,कुल ऊर्जा स्थानांतरण और घूर्णन गतिज ऊर्जा का योग है: $E_f = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$.
एक ठोस बेलन के लिए,जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2}mR^2$ है और शुद्ध लोटनिक गति के लिए,$\omega = \frac{v}{R}$ है।
$E_i = E_f$ को बराबर करने पर:
$mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(\frac{1}{2}mR^2)(\frac{v}{R})^2$
$mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{4}mv^2 = \frac{3}{4}mv^2$
$v^2 = \frac{4gh}{3}$
$v = \sqrt{\frac{4 \times 10 \times 30}{3}} = \sqrt{400} = 20 \ m \ s^{-1}$.

(B) दिया गया है: त्रिज्या $r = 0.5 \ m$,जड़त्व आघूर्ण $I = 10 \ kg \cdot m^2$,प्रारंभिक कोणीय गति $\omega_0 = 70 \ rev/min = 70 \times \frac{2\pi}{60} \ rad/s = \frac{7\pi}{3} \ rad/s$,समय $t = 5.0 \ s$,अभिलंब बल $N = 88 \ N$.
अंतिम कोणीय गति $\omega = 0 \ rad/s$.
कोणीय त्वरण $\alpha = \frac{\omega - \omega_0}{t} = \frac{0 - 7\pi/3}{5} = -\frac{7\pi}{15} \ rad/s^2$.
टॉर्क का परिमाण $\tau = I|\alpha| = 10 \times \frac{7\pi}{15} = \frac{14\pi}{3} \ N \cdot m$.
साथ ही,टॉर्क $\tau = f_k \cdot r = \mu_k N \cdot r$.
दोनों की तुलना करने पर: $\mu_k N r = \frac{14\pi}{3} \implies \mu_k (88)(0.5) = \frac{14\pi}{3}$.
$\mu_k (44) = \frac{14 \times 3.14159}{3} \approx 14.66$.
$\mu_k = \frac{14.66}{44} \approx 0.333$.
अतः,गतिज घर्षण गुणांक लगभग $0.33$ है।

(C) मान लीजिए $M$ मीटर स्केल का द्रव्यमान है। मीटर स्केल का द्रव्यमान केंद्र $50.0 \,cm$ के निशान पर होता है।
जब स्केल $46.0 \,cm$ के निशान पर संतुलित होता है, तो स्केल के भार के कारण लगने वाला टॉर्क सिक्कों के कारण लगने वाले टॉर्क द्वारा संतुलित होना चाहिए।
चार सिक्कों का भार $W_c = 4 \times 2 \,g = 8 \,g$ है। यह $10.0 \,cm$ के निशान पर कार्य करता है।
पिवट $(46.0 \,cm)$ से सिक्कों की दूरी $d_1 = 46.0 \,cm - 10.0 \,cm = 36.0 \,cm$ है।
मीटर स्केल का भार $W_s = M \,g$ इसके द्रव्यमान केंद्र पर कार्य करता है, जो $50.0 \,cm$ के निशान पर है।
पिवट से द्रव्यमान केंद्र की दूरी $d_2 = 50.0 \,cm - 46.0 \,cm = 4.0 \,cm$ है।
घूर्णी संतुलन के लिए, क्लॉकवाइज टॉर्क को एंटी-क्लॉकवाइज टॉर्क के बराबर होना चाहिए:
$M \,g \times d_2 = W_c \times d_1$
$M \,g \times 4.0 \,cm = 8 \,g \times 36.0 \,cm$
$4 \,M = 8 \times 36$
$M = 2 \times 36 = 72 \,g$.

(A) किसी पदार्थ द्वारा अवशोषित ऊष्मा का सूत्र है: $H = m s \Delta T$,जहाँ $H$ ऊष्मा है,$m$ द्रव्यमान है,$s$ विशिष्ट ऊष्मा धारिता है और $\Delta T$ तापमान में परिवर्तन है।
दिए गए मान हैं: $H = 2100.0 \ J$,$s = 900 \ J \ kg^{-1} K^{-1}$,और $\Delta T = 2^{\circ} C = 2 \ K$.
द्रव्यमान $m$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $m = \frac{H}{s \Delta T}$.
मान रखने पर: $m = \frac{2100}{900 \times 2} = \frac{2100}{1800} = 1.166... \ kg$.
दो दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर,हमें $m \approx 1.16 \ kg$ प्राप्त होता है।

(C) पानी की गलन की गुप्त ऊष्मा $(L_f)$ $= 80 \ cal/g$ है।
ईथर के वाष्पीकरण की गुप्त ऊष्मा $(L_v)$ $= 90 \ cal/g$ है।
माना ईथर का द्रव्यमान $m$ है।
$0^{\circ} C$ पर $5 \ g$ पानी को जमाने के लिए,पानी से निकाली गई ऊष्मा $Q = m_{water} \times L_f = 5 \ g \times 80 \ cal/g = 400 \ cal$ है।
यह ऊष्मा ईथर द्वारा वाष्पित होते समय अवशोषित की जाती है: $Q = m \times L_v$।
ऊष्मा को बराबर करने पर: $400 \ cal = m \times 90 \ cal/g$।
$m = \frac{400}{90} \ g \approx 4.44 \ g$।
दिए गए विकल्पों के अनुसार निकटतम मान $4.5 \ g$ है।

(A) अवशोषित ऊष्मा का सूत्र $\Delta Q = n C \Delta T$ है,जहाँ $n$ मोलों की संख्या है,$C$ मोलर विशिष्ट ऊष्मा है और $\Delta T$ तापमान में परिवर्तन है।
सबसे पहले,$CO_2$ के मोलों की संख्या $n$ की गणना करें:
$n = \frac{\text{द्रव्यमान}}{\text{मोलर द्रव्यमान}} = \frac{176 \text{ g}}{44 \text{ g/mol}} = 4 \text{ मोल}$.
दिया गया है कि $\Delta Q = 3600 \text{ J}$ और $\Delta T = 30^{\circ} C - 0^{\circ} C = 30 \text{ K}$.
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$3600 = 4 \times C \times 30$
$3600 = 120 \times C$
$C = \frac{3600}{120} = 30 \text{ J mol}^{-1} K^{-1}$.

(C) $h$ ऊँचाई से गिरने पर पानी द्वारा खोई गई स्थितिज ऊर्जा $\Delta U = mgh$ द्वारा दी जाती है।
प्रश्न के अनुसार,इस ऊर्जा का $10 \%$ पानी के तापमान को बढ़ाने के लिए ऊष्मा $(\Delta Q)$ में परिवर्तित हो जाता है।
अतः,$\Delta Q = 0.1 \times \Delta U$.
ऊष्मा और स्थितिज ऊर्जा के सूत्रों को प्रतिस्थापित करने पर: $ms \Delta T = 0.1 \times mgh$.
दोनों पक्षों से द्रव्यमान $m$ को हटाने पर: $s \Delta T = 0.1 \times gh$.
$\Delta T$ के लिए सूत्र व्यवस्थित करने पर: $\Delta T = \frac{0.1 \times g \times h}{s}$.
दिए गए मानों को रखने पर: $\Delta T = \frac{0.1 \times 10 \times 20}{4000}$.
$\Delta T = \frac{20}{4000} = \frac{1}{200} = 0.005^{\circ} C$.

(C) सबसे पहले,पानी का द्रव्यमान ज्ञात करें: $m = V \times \rho = 3 \times 10^{-3} \text{ m}^3 \times 1000 \text{ kg/m}^3 = 3 \text{ kg}$.
तापमान बढ़ाने के लिए आवश्यक ऊष्मा: $\Delta Q = m S \Delta T = 3 \times 4200 \times (80 - 0) = 1,008,000 \text{ J}$.
हीटर की शक्ति: $P = \frac{V^2}{R} = \frac{200^2}{50} = \frac{40000}{50} = 800 \text{ W}$.
आवश्यक समय: $t = \frac{\Delta Q}{P} = \frac{1,008,000}{800} = 1260 \text{ s}$.
मिनटों में परिवर्तन: $t = \frac{1260}{60} = 21 \text{ min}$.

(A) माना $30^{\circ} C$ तापमान पर तांबे की रिंग का क्षेत्रफल $A_c$ और स्टील की छड़ का क्षेत्रफल $A_s$ है।
दिया गया है: $A_c = 9.98 \ cm^2$,$A_s = 10 \ cm^2$.
रेखीय प्रसार गुणांक: $\alpha_c = 17 \times 10^{-6} /{ }^{\circ} C$,$\alpha_s = 11 \times 10^{-6} /{ }^{\circ} C$.
क्षेत्रफल प्रसार गुणांक: $\beta_c = 2\alpha_c = 34 \times 10^{-6} /{ }^{\circ} C$,$\beta_s = 2\alpha_s = 22 \times 10^{-6} /{ }^{\circ} C$.
रिंग को छड़ पर चढ़ाने के लिए,नए तापमान $T = T_0 + \Delta T$ पर रिंग का क्षेत्रफल छड़ के क्षेत्रफल के बराबर या उससे अधिक होना चाहिए।
$A_c(1 + \beta_c \Delta T) = A_s(1 + \beta_s \Delta T)$
$9.98(1 + 34 \times 10^{-6} \Delta T) = 10(1 + 22 \times 10^{-6} \Delta T)$
$9.98 + 9.98 \times 34 \times 10^{-6} \Delta T = 10 + 10 \times 22 \times 10^{-6} \Delta T$
$(339.32 - 220) \times 10^{-6} \Delta T = 10 - 9.98$
$119.32 \times 10^{-6} \Delta T = 0.02$
$\Delta T = \frac{0.02}{119.32 \times 10^{-6}} \approx 167.6^{\circ} C$.

(B) दिया गया है: क्षेत्रफल $A = 0.2 \,m^2$,मोटाई $d = 2.0 \,cm = 0.02 \,m$,ऊष्मीय चालकता $K = 120 \,J s^{-1} m^{-1} K^{-1}$,गुप्त ऊष्मा $L = 2 \times 10^6 \,J/kg$,और पानी उबलने की दर $dm/dt = 3.0 \,kg/min = 3.0/60 \,kg/s = 0.05 \,kg/s$.
बर्तन के आधार से ऊष्मा चालन की दर: $\frac{dQ}{dt} = \frac{KA(T - T_{water})}{d}$.
पानी उबालने के लिए आवश्यक ऊष्मा की दर: $\frac{dQ}{dt} = L \frac{dm}{dt}$.
दोनों को बराबर करने पर: $\frac{KA}{d} (T - 100) = L \frac{dm}{dt}$.
मान रखने पर: $\frac{120 \times 0.2}{0.02} (T - 100) = (2 \times 10^6) \times 0.05$.
$1200 (T - 100) = 100,000$.
$T - 100 = \frac{100,000}{1200} = 83.33$.
$T \approx 183.33^{\circ} C$. अतः,तापमान लगभग $183^{\circ} C$ है।

(C) किसी पदार्थ की विशिष्ट ऊष्मा धारिता को पदार्थ के इकाई द्रव्यमान का तापमान $1 \text{ K}$ बढ़ाने के लिए आवश्यक ऊष्मा की मात्रा के रूप में परिभाषित किया जाता है।
यह एक आंतरिक गुण है जो पदार्थ की प्रकृति और उसकी अवस्था पर निर्भर करता है।
प्रायोगिक अवलोकन दर्शाते हैं कि पानी सहित अधिकांश पदार्थों की विशिष्ट ऊष्मा धारिता तापमान के साथ बदलती है।
इसलिए, यह कथन कि पानी की विशिष्ट ऊष्मा धारिता तापमान के साथ नहीं बदलती है, गलत है।
अतः, विकल्प $C$ सही उत्तर है।

(D) न्यूटन के शीतलन नियम के अनुसार, तापमान परिवर्तन की दर $\frac{d\theta}{dt} = -k(\theta - \theta_0)$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $\theta_0$ आसपास का तापमान है。
इसका समाकलन करने पर, हमें $\ln\left(\frac{\theta_1 - \theta_0}{\theta_2 - \theta_0}\right) = kt$ प्राप्त होता है。
प्रथम स्थिति के लिए: $\theta_1 = 100^{\circ} C$, $\theta_2 = 40^{\circ} C$, $\theta_0 = 10^{\circ} C$, $t = 10$ मिनट。
$kt_1 = \ln\left(\frac{100-10}{40-10}\right) = \ln\left(\frac{90}{30}\right) = \ln 3 = 1.1$।
अतः, $k(10) = 1.1 \Rightarrow k = 0.11 \text{ min}^{-1}$।
दूसरी स्थिति के लिए: $\theta_1 = 70^{\circ} C$, $\theta_2 = 20^{\circ} C$, $\theta_0 = 10^{\circ} C$。
$kt_2 = \ln\left(\frac{70-10}{20-10}\right) = \ln\left(\frac{60}{10}\right) = \ln 6 = 1.8$।
$k = 0.11$ रखने पर: $0.11 \times t_2 = 1.8$।
$t_2 = \frac{1.8}{0.11} \approx 16.36$ मिनट。
अतः, लगा समय लगभग $16.3$ मिनट है।

(A) मान लीजिए कि एक निश्चित तापमान पर स्टील और तांबे की छड़ों की लंबाई $L_s$ और $L_c$ है। उनकी लंबाई का अंतर $L_s - L_c = 4 \ cm$ दिया गया है,जो किसी भी तापमान पर स्थिर रहता है।
इसका अर्थ है कि तापमान में परिवर्तन $\Delta T$ के कारण दोनों छड़ों की लंबाई में होने वाला परिवर्तन समान होना चाहिए।
इसलिए,$\Delta L_s = \Delta L_c$।
रेखीय प्रसार के सूत्र $\Delta L = \alpha L \Delta T$ का उपयोग करने पर,हमें $\alpha_s L_s \Delta T = \alpha_c L_c \Delta T$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों से $\Delta T$ को हटाने पर,हमारे पास $\alpha_s L_s = \alpha_c L_c$ है।
दिए गए मानों को रखने पर: $(1.1 \times 10^{-5}) L_s = (1.7 \times 10^{-5}) L_c$।
अतः,अनुपात $\frac{L_s}{L_c} = \frac{1.7 \times 10^{-5}}{1.1 \times 10^{-5}} = \frac{17}{11}$ है।

(B) तापमान में परिवर्तन $\Delta T = 230^{\circ} C - 30^{\circ} C = 200^{\circ} C$ है।
जब छेद वाली धातु की शीट को गर्म किया जाता है,तो छेद उसी तरह फैलता है जैसे कि वह उसी पदार्थ का एक ठोस टुकड़ा हो।
रेखीय प्रसार का सूत्र $L = L_0(1 + \alpha \Delta T)$ है।
दिए गए मानों को रखने पर: $L = 5 \times (1 + 2 \times 10^{-5} \times 200)$.
$L = 5 \times (1 + 400 \times 10^{-5}) = 5 \times (1 + 0.004) = 5 \times 1.004 = 5.02 \ cm$.

(C) संयुक्त छड़ की लंबाई में परिवर्तन व्यक्तिगत छड़ों की लंबाई में हुए परिवर्तनों का योग है।
$\Delta l = \Delta l_A + \Delta l_B$
रेखीय प्रसार के सूत्र $\Delta l = l \alpha \Delta T$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $l = 0.5 \ m$,$\Delta T = 230^{\circ} C - 30^{\circ} C = 200^{\circ} C$,$\alpha_A = 2.0 \times 10^{-5} /^{\circ} C$,और $\alpha_B = 1.0 \times 10^{-5} /^{\circ} C$ है:
$\Delta l = (l_A \alpha_A \Delta T) + (l_B \alpha_B \Delta T)$
$\Delta l = l \Delta T (\alpha_A + \alpha_B)$
$\Delta l = 0.5 \times 200 \times (2.0 \times 10^{-5} + 1.0 \times 10^{-5})$
$\Delta l = 100 \times (3.0 \times 10^{-5})$
$\Delta l = 3.0 \times 10^{-3} \ m = 3 \ mm$
अतः,लंबाई में परिवर्तन $3 \ mm$ है।

(D) कथन $(I)$ सत्य है: कैलोरीमीटर वास्तव में एक उपकरण है जिसका उपयोग भौतिक या रासायनिक प्रक्रियाओं में शामिल ऊष्मा को मापने के लिए किया जाता है।
कथन $(II)$ असत्य है: स्केटिंग करते समय,स्केट द्वारा बर्फ पर लगाया गया दबाव बर्फ के गलनांक को कम कर देता है (Regelation),जिससे यह पानी की एक पतली परत में पिघल जाता है जो स्नेहक (lubricant) के रूप में कार्य करता है। यह कथन गलत तरीके से इसे तापमान में वृद्धि के कारण बताता है।
कथन $(III)$ सत्य है: कैलोरीमीटर जैसी एक पृथक प्रणाली में,गर्म निकाय द्वारा खोई गई ऊष्मा ठंडे निकाय द्वारा प्राप्त ऊष्मा के बराबर होती है,जिसका अर्थ है कि प्रणाली की कुल आंतरिक ऊर्जा संरक्षित रहती है।
इसलिए,कथन $(I)$ और $(III)$ सत्य हैं,जबकि कथन $(II)$ असत्य है।

(A) ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$\Delta Q = \Delta U + W$।
अतः,$\Delta U = \Delta Q - W$।
जल के प्रावस्था परिवर्तन के लिए दी गई ऊष्मा $\Delta Q = m L = 1 \ kg \times 2000 \ kJ/kg = 2000 \ kJ$ है।
प्रावस्था परिवर्तन के दौरान आयतन में परिवर्तन $\Delta V = V_{final} - V_{initial} = 2.001 \ m^3 - 0.001 \ m^3 = 2 \ m^3$ है।
भाप द्वारा किया गया कार्य $W = P \Delta V = (1.00 \times 10^5 \ Pa) \times (2 \ m^3) = 2 \times 10^5 \ J = 200 \ kJ$ है।
इन मानों को ऊर्जा समीकरण में रखने पर: $\Delta U = 2000 \ kJ - 200 \ kJ = 1800 \ kJ$।

(D) समदाबीय प्रक्रिया के लिए,किया गया कार्य $W = P \Delta V = nR \Delta T = 200 \ J$ द्वारा दिया जाता है।
गैस को दी गई ऊष्मा $\Delta Q = n C_P \Delta T$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि $C_P = \frac{7}{2} R$ दिया गया है,हम इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$\Delta Q = n \left( \frac{7}{2} R \right) \Delta T = \frac{7}{2} (nR \Delta T)$.
$nR \Delta T = 200 \ J$ का मान रखने पर:
$\Delta Q = \frac{7}{2} \times 200 \ J = 7 \times 100 \ J = 700 \ J$.

(C) ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार गैस द्वारा अवशोषित ऊष्मा $Q = \Delta U + W$ है।
मोनोएटॉमिक गैस के लिए,आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = n C_{V} \Delta T = n \left(\frac{3}{2} R\right) \Delta T = \frac{3}{2} (P_{f} V_{f} - P_{i} V_{i})$ है।
प्रारंभिक स्थिति $(P_{i}, V_{i}) = (P_{o}, V_{o})$ और अंतिम स्थिति $(P_{f}, V_{f}) = (3 P_{o}, 3 V_{o})$ दी गई है।
$\Delta U = \frac{3}{2} (3 P_{o} \cdot 3 V_{o} - P_{o} V_{o}) = \frac{3}{2} (9 P_{o} V_{o} - P_{o} V_{o}) = \frac{3}{2} (8 P_{o} V_{o}) = 12 P_{o} V_{o}$।
किया गया कार्य $W$,$P-V$ ग्राफ के नीचे का क्षेत्रफल है। चूंकि दबाव $(P_{o}, V_{o})$ से $(3 P_{o}, 3 V_{o})$ तक आयतन के साथ रैखिक रूप से बदलता है,इसलिए यह क्षेत्रफल एक समलंब चतुर्भुज (trapezoid) है।
$W = \text{Area} = \frac{1}{2} (P_{i} + P_{f}) (V_{f} - V_{i}) = \frac{1}{2} (P_{o} + 3 P_{o}) (3 V_{o} - V_{o}) = \frac{1}{2} (4 P_{o}) (2 V_{o}) = 4 P_{o} V_{o}$।
अतः,कुल अवशोषित ऊष्मा $Q = \Delta U + W = 12 P_{o} V_{o} + 4 P_{o} V_{o} = 16 P_{o} V_{o}$ है।

(A) समदाबी प्रक्रिया के लिए, दी गई ऊष्मा $\Delta Q = n C_P \Delta T = 700 \,J$ है।
आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = n C_V \Delta T$ है।
द्विपरमाणुक गैस के लिए, रुद्धोष्म गुणांक $\gamma = \frac{C_P}{C_V} = 1.4 = \frac{7}{5}$ है।
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार, $\Delta Q = \Delta U + W$, इसलिए गैस द्वारा किया गया कार्य $W = \Delta Q - \Delta U$ है।
चूंकि $\Delta U = n C_V \Delta T = n \left(\frac{C_P}{\gamma}\right) \Delta T = \frac{\Delta Q}{\gamma}$, इसलिए:
$W = \Delta Q - \frac{\Delta Q}{\gamma} = \Delta Q \left(1 - \frac{1}{\gamma}\right)$.
मान रखने पर:
$W = 700 \left(1 - \frac{5}{7}\right) = 700 \left(\frac{2}{7}\right) = 200 \,J$.

(A) एक चक्रीय प्रक्रम के लिए,आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = 0$ होता है।
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$,जिसका अर्थ है कि $\Delta Q = \Delta W$।
चक्रीय प्रक्रम में किया गया कार्य $\Delta W$,$P-V$ वक्र द्वारा घेरे गए क्षेत्रफल के बराबर होता है।
प्रक्रम $1 \rightarrow 2 \rightarrow 3 \rightarrow 1$ द्वारा बने त्रिभुज का क्षेत्रफल है:
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई}$
आधार $= 2V - V = V$
ऊंचाई $= 2P - P = P$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times V \times P = \frac{PV}{2}$।
चूंकि चक्र दक्षिणावर्त (clockwise) दिशा में है,इसलिए निकाय द्वारा किया गया कार्य धनात्मक है,जिसका अर्थ है कि ऊष्मा अवशोषित होती है। अतः,निकाय द्वारा मुक्त की गई ऊष्मा की मात्रा $-\frac{PV}{2}$ है।

(C) समदाबीय प्रक्रिया के लिए,किया गया कार्य $W = P \Delta V = n R \Delta T = 100 J$ द्वारा दिया जाता है।
एकपरमाणुक गैस के लिए,स्थिर दाब पर मोलर ऊष्मा धारिता $C_P = \frac{5}{2} R$ होती है।
गैस को दी गई ऊष्मा $Q = n C_P \Delta T$ द्वारा दी जाती है।
$C_P$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $Q = n (\frac{5}{2} R) \Delta T = \frac{5}{2} (n R \Delta T)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $n R \Delta T = 100 J$,इसलिए $Q = \frac{5}{2} \times 100 J = 250 J$ है।

(B) एक चक्रीय प्रक्रिया में किया गया कुल कार्य $P-V$ ग्राफ द्वारा घेरे गए क्षेत्रफल के बराबर होता है।
चूंकि चक्र वामावर्त (anti-clockwise) दिशा में है,इसलिए किया गया कार्य ऋणात्मक है।
त्रिभुज $ABC$ का क्षेत्रफल इस प्रकार है:
$Area = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई}$
$Area = \frac{1}{2} \times (2V_1 - V_1) \times (3P_1 - P_1)$
$Area = \frac{1}{2} \times V_1 \times 2P_1 = P_1 V_1$
चूंकि चक्र वामावर्त है,इसलिए किया गया कार्य $-P_1 V_1$ है। हालाँकि,दिए गए विकल्पों को देखते हुए,यहाँ कार्य का परिमाण पूछा गया है।
अतः,किए गए कुल कार्य का परिमाण $P_1 V_1$ है।

(B) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,तापमान और आयतन के बीच संबंध $T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}$ है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $T V^{\gamma-1} = (T/2) (4V)^{\gamma-1}$।
दोनों पक्षों को $T V^{\gamma-1}$ से विभाजित करने पर,हमें $1 = (1/2) (4)^{\gamma-1}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $2 = 4^{\gamma-1}$।
चूंकि $4 = 2^2$,इसलिए $2^1 = (2^2)^{\gamma-1} = 2^{2\gamma-2}$।
घातांकों की तुलना करने पर: $1 = 2\gamma - 2$,जिससे $2\gamma = 3$,और $\gamma = 3/2$ प्राप्त होता है।
रुद्धोष्म प्रक्रिया में किया गया कार्य $W = \frac{nR(T_1 - T_2)}{\gamma - 1}$ होता है।
$T_1 = T$,$T_2 = T/2$,और $\gamma = 3/2$ रखने पर: $W = \frac{nR(T - T/2)}{3/2 - 1} = \frac{nR(T/2)}{1/2} = nRT$।
आदर्श गैस के लिए $PV = nRT$ होता है,इसलिए $W = PV$ प्राप्त होता है।
$W = \alpha PV$ की तुलना $W = PV$ से करने पर,हमें $\alpha = 1$ प्राप्त होता है।

(C) मान लीजिए प्रारंभिक अवस्था $A$ है जो $(P_0, V_0, T_0)$ है।
समतापीय प्रक्रिया $A \to B$ में, तापमान स्थिर रहता है, इसलिए $B$ पर अवस्था $(P', 8V_0, T_0)$ है।
रुद्धोष्म प्रक्रिया $B \to C$ में, गैस को $V_0$ आयतन तक संकुचित किया जाता है। रुद्धोष्म संबंध $T V^{\gamma-1} = \text{नियतांक}$ है।
प्रक्रिया $B \to C$ के लिए:
$T_0 (8V_0)^{\gamma-1} = T'' (V_0)^{\gamma-1}$
यहाँ $\gamma = 4/3$ दिया गया है, इसलिए $\gamma - 1 = 1/3$ है।
$T_0 (8V_0)^{1/3} = T'' (V_0)^{1/3}$
$T_0 \cdot 8^{1/3} = T''$
$T'' = 2 T_0$
प्रति अणु औसत गतिज ऊर्जा $U_{av} = \frac{3}{2} k_B T$ द्वारा दी जाती है, जिसका अर्थ है $U_{av} \propto T$।
इसलिए, अंतिम अवस्था में औसत गतिज ऊर्जा का प्रारंभिक अवस्था से अनुपात है:
$\frac{(U_{av})_f}{(U_{av})_i} = \frac{T''}{T_0} = \frac{2 T_0}{T_0} = 2$.

(C) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,तापमान $T$ और आयतन $V$ के बीच का संबंध $TV^{\gamma-1} = \text{constant}$ द्वारा दिया जाता है।
मान लीजिए कि प्रारंभिक तापमान $T_1 = T$ और प्रारंभिक आयतन $V_1 = V$ है।
प्रश्न के अनुसार,अंतिम आयतन $V_2 = 2V$ और अंतिम तापमान $T_2 = T/2$ है।
इन मानों को रुद्धोष्म संबंध में रखने पर:
$T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}$
$T \cdot V^{\gamma-1} = (T/2) \cdot (2V)^{\gamma-1}$
दोनों पक्षों को $T \cdot V^{\gamma-1}$ से विभाजित करने पर:
$1 = (1/2) \cdot 2^{\gamma-1}$
$2 = 2^{\gamma-1}$
चूंकि आधार समान हैं,इसलिए घातांक भी समान होने चाहिए:
$1 = \gamma - 1$
$\gamma = 2$.

(C) कथन सत्य है क्योंकि,ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$\Delta U = Q - W$। यह समीकरण दर्शाता है कि ऊष्मा $(Q)$ और कार्य $(W)$ दोनों ऊर्जा स्थानांतरण के तरीके हैं जो किसी निकाय की आंतरिक ऊर्जा $(\Delta U)$ को बदलते हैं।
हालाँकि,कारण असत्य है। ऊष्मागतिकी में,अवस्था चर (state variables) वे गुण हैं जो केवल निकाय की वर्तमान अवस्था पर निर्भर करते हैं,जैसे कि दबाव $(P)$,आयतन $(V)$,तापमान $(T)$ और आंतरिक ऊर्जा $(U)$। ऊष्मा और कार्य पथ फलन (path functions) हैं,जिसका अर्थ है कि उनके मान उस प्रक्रिया या पथ पर निर्भर करते हैं जिसे एक अवस्था तक पहुँचने के लिए अपनाया गया है,न कि केवल स्वयं अवस्था पर।
इसलिए,$(A)$ सत्य है लेकिन $(R)$ असत्य है।

(B) हम जानते हैं कि एक विद्युतचुंबकीय तरंग के लिए,विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र के आयामों के बीच संबंध $E_0 = B_0 c$ होता है।
यहाँ $B_0 = 2 \times 10^{-8} \text{ T}$ और $c = 3 \times 10^8 \text{ m/s}$ दिया गया है।
अतः,$E_0 = (2 \times 10^{-8}) \times (3 \times 10^8) = 6 \text{ V m}^{-1}$।
तरंग के संचरण की दिशा $\vec{E} \times \vec{B}$ सदिश की दिशा द्वारा दी जाती है।
यहाँ,तरंग $-\hat{j}$ दिशा में संचरित हो रही है और चुंबकीय क्षेत्र $\hat{k}$ दिशा में है।
मान लीजिए $\vec{E}$ की दिशा $\hat{n}$ है। तो $\hat{n} \times \hat{k} = -\hat{j}$।
चूंकि $\hat{i} \times \hat{k} = -\hat{j}$ होता है,इसलिए विद्युत क्षेत्र $\hat{i}$ दिशा में होना चाहिए।
तरंग का चरण (phase) समान रहता है,इसलिए कोसाइन फलन का तर्क $\pi \times 10^{15}(t + \frac{y}{c})$ रहेगा।
अतः,$\vec{E} = (6) \cos [\pi \times 10^{15}(t + \frac{y}{c})] \hat{i} \text{ V m}^{-1}$।

(B) सतह पर प्रकाश पुंज द्वारा लगाया गया बल संवेग परिवर्तन की दर के बराबर होता है।
$P$ शक्ति वाले पुंज के लिए जो लंबवत आपतित होता है:
$1$. अवशोषित भाग $(70 \%)$ के कारण बल: $F_{abs} = \frac{P_{abs}}{c} = \frac{0.7 P}{c}$
$2$. परावर्तित भाग $(30 \%)$ के कारण बल: $F_{ref} = \frac{2 P_{ref}}{c} = \frac{2 \times 0.3 P}{c} = \frac{0.6 P}{c}$
कुल बल $F = F_{abs} + F_{ref} = \frac{0.7 P + 0.6 P}{c} = \frac{1.3 P}{c}$
यहाँ $P = 10 \ W$ और $c = 3 \times 10^8 \ m/s$ दिया गया है:
$F = \frac{1.3 \times 10}{3 \times 10^8} = \frac{13}{3} \times 10^{-8} \ N \approx 4.33 \times 10^{-8} \ N$.

(A) विद्युतचुंबकीय तरंग के संचरण की दिशा पॉइंटिंग सदिश (Poynting vector) की दिशा द्वारा दी जाती है,जो $\vec{E} \times \vec{B}$ की दिशा है।
सबसे पहले,हम विद्युत और चुंबकीय क्षेत्रों के लिए इकाई सदिश ज्ञात करते हैं:
$\hat{E} = \frac{\hat{i} + \hat{j}}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{\hat{i} + \hat{j}}{\sqrt{2}}$
$\hat{B} = \frac{\hat{i} - \hat{j}}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{\hat{i} - \hat{j}}{\sqrt{2}}$
संचरण की दिशा $\hat{n}$,$\hat{E} \times \hat{B}$ द्वारा दी जाती है:
$\hat{n} = \left( \frac{\hat{i} + \hat{j}}{\sqrt{2}} \right) \times \left( \frac{\hat{i} - \hat{j}}{\sqrt{2}} \right)$
$\hat{n} = \frac{1}{2} [(\hat{i} \times \hat{i}) - (\hat{i} \times \hat{j}) + (\hat{j} \times \hat{i}) - (\hat{j} \times \hat{j})]$
क्रॉस प्रोडक्ट के नियमों $\hat{i} \times \hat{i} = 0$,$\hat{j} \times \hat{j} = 0$,$\hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}$,और $\hat{j} \times \hat{i} = -\hat{k}$ का उपयोग करते हुए:
$\hat{n} = \frac{1}{2} [0 - \hat{k} - \hat{k} - 0] = \frac{1}{2} [-2\hat{k}] = -\hat{k}$.

(B) विद्युतचुंबकीय तरंग की तीव्रता $I$ और चुंबकीय क्षेत्र के आयाम $B_0$ के बीच का संबंध इस प्रकार है: $I = \frac{B_0^2}{2 \mu_0} c$.
दिया गया है: $I = 2.1 \times 10^{15} \ W/m^2$,$c = 3 \times 10^8 \ m/s$,और $\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \ T \cdot m/A$.
मान रखने पर: $2.1 \times 10^{15} = \frac{B_0^2 \times 3 \times 10^8}{2 \times 4 \pi \times 10^{-7}}$.
$2.1 \times 10^{15} = \frac{B_0^2 \times 3 \times 10^8}{8 \pi \times 10^{-7}}$.
$B_0^2 = \frac{2.1 \times 10^{15} \times 8 \pi \times 10^{-7}}{3 \times 10^8} = \frac{16.8 \pi \times 10^8}{3 \times 10^8} = 5.6 \pi \approx 5.6 \times 3.14 = 17.584 \approx 17.64$.
$B_0 = \sqrt{17.64} = 4.2 \ T$.

(B) विद्युत चुम्बकीय तरंग की औसत तीव्रता $I$ और चुंबकीय क्षेत्र के आयाम $B_0$ के बीच का संबंध इस प्रकार है: $I = \frac{B_0^2 C}{2 \mu_0}$.
दिया गया है,$I = \frac{6}{\pi} \times 10^3 \text{ W/m}^2$,$C = 3 \times 10^8 \text{ m/s}$,और $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \text{ T m/A}$.
$B_0^2$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $B_0^2 = \frac{2 \mu_0 I}{C}$.
मान रखने पर: $B_0^2 = \frac{2 \times (4\pi \times 10^{-7}) \times (\frac{6}{\pi} \times 10^3)}{3 \times 10^8}$.
व्यंजक को सरल करने पर: $B_0^2 = \frac{8\pi \times 10^{-7} \times 6 \times 10^3}{\pi \times 3 \times 10^8} = \frac{48 \times 10^{-4}}{3 \times 10^8} = 16 \times 10^{-12}$.
वर्गमूल लेने पर: $B_0 = \sqrt{16 \times 10^{-12}} = 4 \times 10^{-6} \text{ T}$.

(B) दिया गया है: $E_0 = 150 \text{ V/m}$,$f = 30 \text{ MHz} = 30 \times 10^6 \text{ Hz}$.
$1$. चुंबकीय क्षेत्र का आयाम: $B_0 = \frac{E_0}{c} = \frac{150}{3 \times 10^8} = 5 \times 10^{-7} \text{ T}$.
$2$. कोणीय आवृत्ति: $\omega = 2\pi f = 2\pi \times 30 \times 10^6 = 60\pi \times 10^6 \text{ rad/s} = 6\pi \times 10^7 \text{ rad/s}$.
$3$. तरंग संख्या: $k = \frac{\omega}{c} = \frac{6\pi \times 10^7}{3 \times 10^8} = 0.2\pi = \frac{\pi}{5} \text{ rad/m}$.
$4$. दिशा: तरंग $\hat{i}$ ($x$-अक्ष) दिशा में संचरित होती है और $\vec{E}$,$\hat{j}$ ($y$-अक्ष) दिशा में है। $\vec{B}$ को $\vec{E}$ और संचरण की दिशा दोनों के लंबवत होना चाहिए,इसलिए $\vec{B}$,$z$-अक्ष की दिशा में होगा।
$5$. तरंग समीकरण: $\vec{B} = B_0 \sin(kx - \omega t) \hat{k} = 5 \times 10^{-7} \sin \left[\pi \left(\frac{x}{5} - 6 \times 10^7 t\right)\right] \hat{z} \text{ T}$.

$(A)$ माना आवेश $q_1 = +10 \mu C$, $q_2 = -10 \mu C$ हैं और परीक्षण आवेश $q_0 = 5 \mu C$ है। $q_1$ और $q_2$ के बीच की दूरी $d = 10 \text{ cm} = 0.1 \text{ m}$ है。
परीक्षण आवेश $q_0$ मध्य बिंदु पर रखा गया है, इसलिए प्रत्येक आवेश से इसकी दूरी $r = 5 \text{ cm} = 0.05 \text{ m}$ है。
$q_1$ द्वारा $q_0$ पर लगाया गया बल $F_1 = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q_1 q_0}{r^2}$ (प्रतिकर्षण, $q_2$ की दिशा में)।
$q_2$ द्वारा $q_0$ पर लगाया गया बल $F_2 = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{|q_2| q_0}{r^2}$ (आकर्षण, $q_2$ की दिशा में)।
चूंकि दोनों बल एक ही दिशा में हैं, इसलिए कुल बल $F = F_1 + F_2 = 2 \times \frac{9 \times 10^9 \times 10 \times 10^{-6} \times 5 \times 10^{-6}}{(0.05)^2}$ होगा。
$F = 2 \times \frac{9 \times 10^9 \times 50 \times 10^{-12}}{25 \times 10^{-4}} = 2 \times \frac{450 \times 10^{-3}}{25 \times 10^{-4}} = 2 \times 18 \times 10 = 360 \text{ N}$।

(C) शीर्ष $B$ पर स्थित $2q$ आवेश को दो $+q$ आवेशों में विभाजित किया जा सकता है। एक $+q$ आवेश शीर्ष $A$ पर स्थित $-q$ आवेश के साथ द्विध्रुव बनाता है,और दूसरा $+q$ आवेश शीर्ष $C$ पर स्थित $-q$ आवेश के साथ द्विध्रुव बनाता है।
माना $AB = d_1$ और $BC = d_2$ है।
त्रिभुज से,$d_1 = 10 \cos 30^{\circ} = 10 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} \text{ cm}$ और $d_2 = 10 \sin 30^{\circ} = 10 \times \frac{1}{2} = 5 \text{ cm}$ है।
द्विध्रुव आघूर्ण $p_1$ ($BA$ की दिशा में) $q \times d_1 = 5\sqrt{3}q \text{ C-cm}$ है।
द्विध्रुव आघूर्ण $p_2$ ($BC$ की दिशा में) $q \times d_2 = 5q \text{ C-cm}$ है।
चूंकि ये दोनों द्विध्रुव एक-दूसरे के लंबवत हैं,इसलिए परिणामी द्विध्रुव आघूर्ण $P$ होगा:
$P = \sqrt{p_1^2 + p_2^2} = \sqrt{(5\sqrt{3}q)^2 + (5q)^2} = \sqrt{75q^2 + 25q^2} = \sqrt{100q^2} = 10q \text{ C-cm}$.

(C) घर्षणहीन नत समतल पर ब्लॉक के स्थिर रहने के लिए, नत समतल की दिशा में नीचे की ओर कार्य करने वाले गुरुत्वाकर्षण बल का घटक, समतल के ऊपर की ओर कार्य करने वाले विद्युत बल द्वारा संतुलित होना चाहिए。
$mg \sin \theta = qE$
$E = \frac{mg \sin \theta}{q}$
दिया गया है: $m = 5 \, g = 5 \times 10^{-3} \, kg$, $q = 5 \, \mu C = 5 \times 10^{-6} \, C$, $\theta = 60^{\circ}$, $g = 10 \, m/s^2$.
$E = \frac{5 \times 10^{-3} \times 10 \times \sin(60^{\circ})}{5 \times 10^{-6}}$
$E = \frac{5 \times 10^{-2} \times \frac{\sqrt{3}}{2}}{5 \times 10^{-6}}$
$E = 10^4 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \, N/C$
अतः, विद्युत क्षेत्र का परिमाण $\frac{\sqrt{3}}{2} \times 10^4 \, N/C$ है।

(B) गॉस के नियम के अनुसार,किसी बंद सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\phi_{\text{net}} = \frac{q}{\epsilon_0}$ होता है।
चूंकि आवेश $q = 6 \mu C = 6 \times 10^{-6} \ C$ घन के केंद्र पर स्थित है,इसलिए फ्लक्स सभी $6$ फलकों से समान रूप से वितरित होगा।
अतः,प्रत्येक फलक से गुजरने वाला फ्लक्स $\phi_{\text{face}} = \frac{\phi_{\text{net}}}{6} = \frac{q}{6 \epsilon_0}$ होगा।
दिया गया है $\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} = 9 \times 10^9 \ Nm^2 C^{-2}$,इसलिए $\frac{1}{\epsilon_0} = 36 \pi \times 10^9 \ Nm^2 C^{-2}$ होगा।
मान रखने पर: $\phi_{\text{face}} = \frac{6 \times 10^{-6}}{6} \times (36 \pi \times 10^9) = 10^{-6} \times 36 \pi \times 10^9 = 36 \pi \times 10^3 \ Nm^2 / C$।

(A) $r$ दूरी पर स्थित दो आवेशों $q$ और $e$ के निकाय की स्थितिज ऊर्जा $U = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q e}{r}$ होती है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,स्थितिज ऊर्जा में कमी गतिज ऊर्जा में वृद्धि के बराबर होती है:
$\Delta U = \Delta K$
$\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} q e \left( \frac{1}{r_i} - \frac{1}{r_f} \right) = \frac{1}{2} m v^2$
दिया गया है: $q = 20 \times 10^{-9} \ C$,$e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$,$r_i = 4 \ m$,$r_f = 2 \ m$,$m = 9 \times 10^{-31} \ kg$,$k = 9 \times 10^9 \ N \ m^2 \ C^{-2}$।
मान रखने पर:
$9 \times 10^9 \times 20 \times 10^{-9} \times 1.6 \times 10^{-19} \times \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{2} \right) = \frac{1}{2} \times 9 \times 10^{-31} \times v^2$
नोट: चूंकि इलेक्ट्रॉन प्रतिकर्षण अनुभव करता है,हम कार्य का परिमाण $W = k q e (\frac{1}{r_f} - \frac{1}{r_i})$ लेते हैं:
$9 \times 10^9 \times 20 \times 10^{-9} \times 1.6 \times 10^{-19} \times (0.5 - 0.25) = 0.5 \times 9 \times 10^{-31} \times v^2$
$9 \times 20 \times 1.6 \times 10^{-19} \times 0.25 = 4.5 \times 10^{-31} \times v^2$
$72 \times 10^{-19} \times 0.25 = 4.5 \times 10^{-31} \times v^2$
$18 \times 10^{-19} = 4.5 \times 10^{-31} \times v^2$
$v^2 = \frac{18 \times 10^{-19}}{4.5 \times 10^{-31}} = 4 \times 10^{12}$
$v = 2 \times 10^6 \ m \ s^{-1}$।

(A) एक बड़ी आवेशित प्लेट के कारण विद्युत क्षेत्र $E = \frac{\sigma}{2\epsilon_{0}}$ होता है।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय का उपयोग करते हुए,इलेक्ट्रॉन पर विद्युत क्षेत्र द्वारा किया गया कार्य उसकी गतिज ऊर्जा में हुई कमी के बराबर होना चाहिए।
$W = \Delta K$
$F \cdot d = K_{initial}$
$(qE)d = K_{initial}$
$q \left( \frac{\sigma}{2\epsilon_{0}} \right) d = K_{initial}$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$q = 1.6 \times 10^{-19} \ C$
$\sigma = 8.85 \times 10^{-6} \ C \ m^{-2}$
$\epsilon_{0} = 8.85 \times 10^{-12} \ C^{2} \ N^{-1} \ m^{-2}$
$K_{initial} = 8 \times 10^{-17} \ J$
गणना के अनुसार,यदि हम $E = \frac{\sigma}{\epsilon_{0}}$ लेते हैं (जैसे कि दो प्लेटों के बीच),तो $d = 0.5 \ mm$ प्राप्त होता है। अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) मान लीजिए कि छल्लों के केंद्र $A$ और $B$ हैं। उनके बीच की दूरी $d = \sqrt{3} R$ है।
छल्ले $1$ (आवेश $q$) के कारण केंद्र $A$ पर विभव $V_{A1} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q}{R}$ है।
छल्ले $2$ (आवेश $-q$) के कारण केंद्र $A$ पर विभव $V_{A2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{-q}{\sqrt{R^2 + d^2}} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{-q}{\sqrt{R^2 + 3R^2}} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{-q}{2R}$ है।
$A$ पर कुल विभव $V_A = V_{A1} + V_{A2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} (\frac{q}{R} - \frac{q}{2R}) = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q}{2R}$ है।
इसी प्रकार,छल्ले $2$ (आवेश $-q$) के कारण केंद्र $B$ पर विभव $V_{B2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{-q}{R}$ है।
छल्ले $1$ (आवेश $q$) के कारण केंद्र $B$ पर विभव $V_{B1} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q}{\sqrt{R^2 + d^2}} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q}{2R}$ है।
$B$ पर कुल विभव $V_B = V_{B1} + V_{B2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} (\frac{q}{2R} - \frac{q}{R}) = -\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q}{2R}$ है।
विभवांतर का परिमाण $|V_A - V_B| = |\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q}{2R} - (-\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q}{2R})| = |\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{2q}{2R}| = \frac{q}{4 \pi \varepsilon_0 R}$ है।

(C) माना गोले '$1$' और गोले '$2$' पर अंतिम आवेश क्रमशः $q_1$ और $q_2$ हैं।
आवेश संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार,$q_1 + q_2 = q$ है।
जब उन्हें एक चालक तार से जोड़ा जाता है,तो दोनों गोलों का विभव समान हो जाता है,इसलिए $V_1 = V_2$ होगा।
विभव के सूत्र $V = \frac{Kq}{R}$ का उपयोग करने पर,$\frac{Kq_1}{R} = \frac{Kq_2}{3R}$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर $q_2 = 3q_1$ प्राप्त होता है।
इस मान को आवेश संरक्षण के समीकरण में रखने पर: $q_1 + 3q_1 = q \Rightarrow 4q_1 = q \Rightarrow q_1 = \frac{q}{4}$ और $q_2 = \frac{3q}{4}$ प्राप्त होता है।
पृष्ठीय आवेश घनत्व $\sigma = \frac{q}{A} = \frac{q}{4\pi r^2}$ द्वारा दिया जाता है।
इसलिए,$\sigma_1 = \frac{q_1}{4\pi R^2} = \frac{q/4}{4\pi R^2} = \frac{q}{16\pi R^2}$ है।
और $\sigma_2 = \frac{q_2}{4\pi (3R)^2} = \frac{3q/4}{4\pi (9R^2)} = \frac{3q}{144\pi R^2} = \frac{q}{48\pi R^2}$ है।
अनुपात $\frac{\sigma_1}{\sigma_2} = \frac{q / 16\pi R^2}{q / 48\pi R^2} = \frac{48}{16} = 3$ है।

(C) मान लीजिए कि दो गोलों की त्रिज्याएँ $R_1 = 4R$ और $R_2 = 7R$ हैं। जब वे संपर्क में होते हैं,तो वे समान विभव $V$ प्राप्त करते हैं।
चूंकि $V = \frac{Kq}{R}$,इसलिए $\frac{Kq_1}{R_1} = \frac{Kq_2}{R_2}$ होता है।
इसका अर्थ है $\frac{q_1}{4R} = \frac{q_2}{7R}$,अतः $\frac{q_1}{q_2} = \frac{4}{7}$।
कुल आवेश $q = q_1 + q_2 = 8.8 \times 10^{-7} \text{ C}$ है।
$q_2 = \frac{7}{4}q_1$ प्रतिस्थापित करने पर,$q_1 + \frac{7}{4}q_1 = 8.8 \times 10^{-7} \text{ C}$।
$\frac{11}{4}q_1 = 8.8 \times 10^{-7} \text{ C} \Rightarrow q_1 = \frac{4}{11} \times 8.8 \times 10^{-7} = 3.2 \times 10^{-7} \text{ C}$।
छोटे गोले से $r = 60 \text{ m}$ की दूरी पर विभव $V = \frac{Kq_1}{r}$ होगा।
$V = \frac{9 \times 10^9 \times 3.2 \times 10^{-7}}{60} = \frac{28.8 \times 10^2}{60} = 48 \text{ V}$।

(D) प्रतिरोधकता $\rho$ का सूत्र $\rho = \frac{m}{ne^2\tau}$ है,जहाँ $\tau$ विश्रांति काल (relaxation time) है।
माध्य मुक्त पथ $\lambda$ का सूत्र $\lambda = v_d \tau$ है,जहाँ $v_d$ अपवाह चाल है।
प्रतिरोधकता के सूत्र से,$\tau = \frac{m}{ne^2\rho}$।
इस मान को माध्य मुक्त पथ के सूत्र में रखने पर:
$\lambda = v_d \left( \frac{m}{ne^2\rho} \right) = \frac{m v_d}{ne^2\rho}$।
दिया गया है: $m = 9 \times 10^{-31} \ kg$,$v_d = 1.6 \times 10^6 \ m/s$,$n = 9 \times 10^{28} \ m^{-3}$,$e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$,और $\rho = 1 \times 10^{-8} \ \Omega \cdot m$।
$\lambda = \frac{(9 \times 10^{-31}) \times (1.6 \times 10^6)}{(9 \times 10^{28}) \times (1.6 \times 10^{-19})^2 \times (1 \times 10^{-8})}$।
$\lambda = \frac{14.4 \times 10^{-25}}{9 \times 10^{28} \times 2.56 \times 10^{-38} \times 10^{-8}} = \frac{14.4 \times 10^{-25}}{23.04 \times 10^{-18}} = 0.625 \times 10^{-7} \ m = 62.5 \ nm$।

(A) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 1 \ g = 10^{-3} \ kg$,दूरी $r = 1 \ m$,आवेश $q = 1 \ fC = 10^{-15} \ C$.
$1$. गुरुत्वाकर्षण बल: $F_g = \frac{G m_1 m_2}{r^2} = \frac{(6.67 \times 10^{-11}) \times (10^{-3}) \times (10^{-3})}{1^2} = 6.67 \times 10^{-17} \ N$.
$2$. स्थिर-विद्युत बल: $F_e = \frac{k q_1 q_2}{r^2} = \frac{(9 \times 10^9) \times (10^{-15}) \times (10^{-15})}{1^2} = 9 \times 10^{-21} \ N$.
दोनों की तुलना करने पर,$F_g > F_e$ $(6.67 \times 10^{-17} \ N > 9 \times 10^{-21} \ N)$.
अतः,गुरुत्वाकर्षण बल प्रभावी बल है।

(B) प्रकृति में चार मूलभूत बल होते हैं: गुरुत्वाकर्षण बल,दुर्बल नाभिकीय बल,विद्युतचुंबकीय बल और प्रबल नाभिकीय बल।
इनमें से,प्रबल नाभिकीय बल सबसे शक्तिशाली बल है,जो नाभिक को एक साथ रखने के लिए न्यूक्लियॉन (प्रोटॉन और न्यूट्रॉन) के बीच कार्य करता है।

(A) चूंकि दोनों तारों में धारा एक ही दिशा में बहती है,इसलिए उनके बीच चुंबकीय बल आकर्षक होगा।
निचले तार को हवा में लटकाए रखने के लिए,प्रति इकाई लंबाई पर लगने वाला ऊपर की ओर चुंबकीय बल,प्रति इकाई लंबाई पर लगने वाले नीचे की ओर गुरुत्वाकर्षण बल को संतुलित करना चाहिए।
मान लीजिए $I_1 = 160 \ A$ ऊपरी तार में धारा है,$I_2$ निचले तार में धारा है,$d = 4 \ cm = 4 \times 10^{-2} \ m$ दूरी है,और $\lambda = 10 \ g \ m^{-1} = 10 \times 10^{-3} \ kg \ m^{-1}$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व है।
संतुलन के लिए शर्त है:
$F_{magnetic} = F_{gravitational}$
$\frac{\mu_0 I_1 I_2}{2 \pi d} = \lambda g$
$I_2$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$I_2 = \frac{2 \pi d \lambda g}{\mu_0 I_1}$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$I_2 = \frac{2 \pi \times (4 \times 10^{-2}) \times (10 \times 10^{-3}) \times 10}{4 \pi \times 10^{-7} \times 160}$
$I_2 = \frac{8 \pi \times 10^{-3} \times 10}{4 \pi \times 10^{-7} \times 160} = \frac{8 \times 10^{-2}}{4 \times 10^{-7} \times 160} = \frac{2 \times 10^5}{160} = \frac{200000}{160} = 125 \ A$
अतः,निचले तार में धारा $125 \ A$ है।

(A) दो समानांतर धारावाही चालकों के बीच प्रति इकाई लंबाई पर लगने वाला बल इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\frac{F}{l} = \frac{\mu_0 i_1 i_2}{2 \pi d}$.
दिया गया है: $l = 50 \ m$,$d = 0.2 \ m$,$F = 1 \ N$,और $\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \ T \cdot m/A$.
मान लीजिए कि दूसरे चालक में धारा $i$ है। तो पहले चालक में धारा $i_1 = 2i$ होगी।
सूत्र में मान रखने पर:
$\frac{1}{50} = \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times (2i) \times i}{2 \pi \times 0.2}$
$\frac{1}{50} = 2 \times 10^{-7} \times \frac{2i^2}{0.2}$
$0.02 = 2 \times 10^{-6} \times i^2$
$i^2 = \frac{0.02}{2 \times 10^{-6}} = 0.01 \times 10^6 = 10^4$
$i = \sqrt{10^4} = 100 \ A$.
अतः,दूसरे चालक में धारा $100 \ A$ है।

(A) तार $b$ के कारण तार $a$ पर प्रति इकाई लंबाई बल $f_{ab} = \frac{\mu_0 i_a i_b}{2 \pi d_1}$ है। चूंकि धाराएं समान दिशा में हैं,इसलिए यह बल आकर्षण का है।
तार $c$ के कारण तार $a$ पर प्रति इकाई लंबाई बल $f_{ac} = \frac{\mu_0 i_a i_c}{2 \pi (d_1 + d_2)}$ है। चूंकि धाराएं विपरीत दिशा में हैं,इसलिए यह बल प्रतिकर्षण का है।
दिया गया है $d_2 = 2 d_1$,$i_b = i_a$ और $i_c = 4 i_a$,तो तार $a$ पर प्रति इकाई लंबाई कुल बल:
$f_{net} = f_{ab} - f_{ac} = \frac{\mu_0 i_a^2}{2 \pi d_1} - \frac{\mu_0 i_a (4 i_a)}{2 \pi (d_1 + 2 d_1)}$
$f_{net} = \frac{\mu_0 i_a^2}{2 \pi d_1} - \frac{4 \mu_0 i_a^2}{2 \pi (3 d_1)} = \frac{\mu_0 i_a^2}{2 \pi d_1} \left( 1 - \frac{4}{3} \right) = \frac{\mu_0 i_a^2}{2 \pi d_1} \left( -\frac{1}{3} \right)$
$l$ लंबाई पर लगने वाले बल का परिमाण $F = |f_{net}| \times l = \frac{\mu_0 i_a^2 l}{6 \pi d_1}$ है।

(A) अनंत लंबाई के धारावाही तार के कारण $r$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 i}{2 \pi r}$ द्वारा दिया जाता है।
$x_1 = 1 \text{ cm} = 10^{-2} \text{ m}$ पर स्थित तार के लिए,मूल बिंदु $(0,0)$ पर चुंबकीय क्षेत्र धनात्मक $y$-अक्ष की दिशा में है (दाएं हाथ के नियम का उपयोग करते हुए): $\vec{B}_1 = \frac{\mu_0 i}{2 \pi (10^{-2})} \hat{j}$।
$x_2 = 2 \text{ cm} = 2 \times 10^{-2} \text{ m}$ पर स्थित तार के लिए,मूल बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र भी धनात्मक $y$-अक्ष की दिशा में है: $\vec{B}_2 = \frac{\mu_0 i}{2 \pi (2 \times 10^{-2})} \hat{j}$।
मूल बिंदु पर कुल चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B} = \vec{B}_1 + \vec{B}_2 = \frac{\mu_0 i}{2 \pi} \left[ \frac{1}{10^{-2}} + \frac{1}{2 \times 10^{-2}} \right] \hat{j} = \frac{\mu_0 i}{2 \pi \times 10^{-2}} \left[ 1 + \frac{1}{2} \right] \hat{j} = \frac{\mu_0 i}{2 \pi \times 10^{-2}} \left( \frac{3}{2} \right) \hat{j}$।
दिया गया है कि $B_0$ केवल पहले तार के कारण क्षेत्र का परिमाण है: $B_0 = \frac{\mu_0 i}{2 \pi \times 10^{-2}}$।
अतः,अनुपात $B / B_0 = \frac{3}{2}$ है।

(A) चुंबकीय द्विध्रुव की भूमध्यरेखीय स्थिति पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र इस प्रकार है:
$B_{\text{equator}} = \frac{\mu_0}{4 \pi} \times \frac{M}{r^3}$
दिया गया है:
चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण $M = 27 \times 10^{22} \ A \ m^2$
त्रिज्या $r = 300 \ km = 300 \times 10^3 \ m = 3 \times 10^5 \ m$
स्थिरांक $\frac{\mu_0}{4 \pi} = 10^{-7} \ T \ m/A$
मान रखने पर:
$B_{\text{equator}} = 10^{-7} \times \frac{27 \times 10^{22}}{(3 \times 10^5)^3}$
$B_{\text{equator}} = 10^{-7} \times \frac{27 \times 10^{22}}{27 \times 10^{15}}$
$B_{\text{equator}} = 10^{-7} \times 10^7 = 1 \ T$
अतः,भूमध्य रेखा पर चुंबकीय क्षेत्र $1 \ T$ है।

(A) दिया गया है:
आंतरिक त्रिज्या $r_1 = 24 \ cm = 0.24 \ m$
बाहरी त्रिज्या $r_2 = 26 \ cm = 0.26 \ m$
फेरों की संख्या $N = 2000$
धारा $I = 12 \ A$
टोरोइड की औसत त्रिज्या $r$ इस प्रकार है:
$r = \frac{r_1 + r_2}{2} = \frac{24 + 26}{2} = 25 \ cm = 0.25 \ m$
टोरोइड के कोर के अंदर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र:
$B = \mu_0 n I$
जहाँ $n$ प्रति इकाई लंबाई फेरों की संख्या है,$n = \frac{N}{2 \pi r}$.
मान रखने पर:
$B = \mu_0 \left( \frac{N}{2 \pi r} \right) I$
$B = (4 \pi \times 10^{-7}) \times \left( \frac{2000}{2 \pi \times 0.25} \right) \times 12$
$B = (2 \times 10^{-7}) \times \left( \frac{2000}{0.25} \right) \times 12$
$B = (2 \times 10^{-7}) \times 8000 \times 12$
$B = 192000 \times 10^{-7} \ T$
$B = 1.92 \times 10^{-2} \ T$

(A) केंद्र $O$ पर चुंबकीय क्षेत्र,मुड़े हुए भाग और सीधे भाग के कारण उत्पन्न क्षेत्रों का सदिश योग है।
$1$. मुड़े हुए भाग के कारण चुंबकीय क्षेत्र:
चाप द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण $\theta = 2\pi - 2\phi = 2\pi - \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{2}$ है।
$B_{\text{arc}} = \frac{\mu_0 I \theta}{4\pi R} = \frac{10^{-7} \times 5 \times (3\pi/2)}{0.1} = 50 \times 10^{-7} \times 1.5 \times 3.14 \approx 23.55 \mu\text{T}$.
$2$. सीधे भाग के कारण चुंबकीय क्षेत्र:
$O$ से सीधे तार की दूरी $d = R \cos(45^{\circ}) = R/\sqrt{2}$ है।
तार के सिरों द्वारा $O$ पर अंतरित कोण $\phi_1 = 45^{\circ}$ और $\phi_2 = 45^{\circ}$ हैं।
$B_{\text{straight}} = \frac{\mu_0 I}{4\pi d} (\sin 45^{\circ} + \sin 45^{\circ}) = \frac{10^{-7} \times 5}{0.1/\sqrt{2}} \times (1/\sqrt{2} + 1/\sqrt{2}) = \frac{10^{-7} \times 5 \times \sqrt{2}}{0.1} \times \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{10^{-6} \times 5 \times 2}{0.1} = 10 \mu\text{T}$.
$3$. कुल चुंबकीय क्षेत्र:
चूंकि दोनों क्षेत्र एक ही दिशा में (पृष्ठ के अंदर की ओर) हैं,$B_{\text{net}} = B_{\text{arc}} + B_{\text{straight}} = 23.55 \mu\text{T} + 10 \mu\text{T} = 33.55 \mu\text{T} \approx 33.6 \mu\text{T}$.

(B) दिया गया है:
$n = 70 \text{ turns } cm^{-1} = 7000 \text{ turns } m^{-1}$
$r = 2.5 \text{ cm} = 0.025 \text{ m}$
$v = 4.4 \times 10^6 \text{ m s}^{-1}$
$m = 9 \times 10^{-31} \text{ kg}$
$q = 1.6 \times 10^{-19} \text{ C}$
वृत्तीय गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल चुंबकीय लॉरेंज बल द्वारा प्रदान किया जाता है:
$\frac{mv^2}{r} = qvB$
एक लंबी परिनालिका के लिए, चुंबकीय क्षेत्र $B$ का मान है:
$B = \mu_0 n I$
बल के समीकरण में $B$ का मान रखने पर:
$\frac{mv^2}{r} = qv(\mu_0 n I)$
धारा $I$ के लिए हल करने पर:
$I = \frac{mv}{q \mu_0 n r}$
मान रखने पर:
$I = \frac{(9 \times 10^{-31}) \times (4.4 \times 10^6)}{(1.6 \times 10^{-19}) \times (4 \pi \times 10^{-7}) \times (7000) \times (0.025)}$
$I = 0.1125 \text{ A} = 112.5 \text{ mA}$

(C) सोलेनोइड के अंदर किसी भी बिंदु पर सोलेनोइड के कारण चुंबकीय क्षेत्र उसकी अक्ष की दिशा में होता है: $B_s = \mu_0 n I_s$. यहाँ $n = 10 \text{ turns/cm} = 1000 \text{ turns/m}$ और $I_s = 7 \times 10^{-3} \text{ A}$ है। अतः, $B_s = 4\pi \times 10^{-7} \times 1000 \times 7 \times 10^{-3} = 28\pi \times 10^{-7} \text{ T}$.
$r = 5 \text{ cm} = 0.05 \text{ m}$ की दूरी पर सीधे चालक के कारण चुंबकीय क्षेत्र स्पर्शरेखीय दिशा में होता है: $B_c = \frac{\mu_0 I_c}{2\pi r}$.
परिणामी चुंबकीय क्षेत्र अक्ष के साथ $\theta = 60^{\circ}$ का कोण बनाता है। इसलिए, $\tan(60^{\circ}) = \frac{B_c}{B_s}$.
$\sqrt{3} = \frac{\mu_0 I_c / (2\pi r)}{\mu_0 n I_s} = \frac{I_c}{2\pi r n I_s}$.
$I_c = \sqrt{3} \times 2\pi r n I_s = 1.7 \times 2 \times 3.14 \times 0.05 \times 1000 \times 7 \times 10^{-3}$.
$I_c = 1.7 \times 6.28 \times 0.05 \times 7 = 3.7366 \text{ A} \approx 3.74 \text{ A}$.

(A) कथन $(I)$: इलेक्ट्रॉन पर चुंबकीय बल $\vec{F}_m = q(\vec{v} \times \vec{B}) = 0$ है क्योंकि वेग $\vec{v}$ चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ के समानांतर है। विद्युत बल $\vec{F}_e = q\vec{E} = -e\vec{E}$ है। चूंकि इलेक्ट्रॉन ऋणात्मक रूप से आवेशित है,इसलिए विद्युत बल विद्युत क्षेत्र की दिशा के विपरीत कार्य करता है। जैसे-जैसे इलेक्ट्रॉन क्षेत्र की दिशा में आगे बढ़ता है,विद्युत बल उसकी गति के विपरीत कार्य करता है,जिससे उसका वेग कम हो जाता है। अतः,कथन $(I)$ सत्य है।
कथन $(II)$: एक ही दिशा में $i$ धारा ले जाने वाले दो समानांतर तारों के लिए,मध्य बिंदु पर प्रत्येक तार द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र परिमाण में समान लेकिन दिशा में विपरीत होता है (दाएं हाथ के नियम का उपयोग करके)। इसलिए,कुल चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}_{\text{net}} = \vec{B}_1 + \vec{B}_2 = 0$ है। अतः,कथन $(II)$ सत्य है।
कथन $(III)$: एक समान चुंबकीय क्षेत्र में स्थिर धारा ले जाने वाली आयताकार कुंडली के लिए,विपरीत भुजाओं पर लगने वाले बल समान और विपरीत होते हैं,जिसके परिणामस्वरूप नेट बल शून्य होता है। अतः,कथन $(III)$ सत्य है।
इसलिए,सभी कथन सत्य हैं।

(C) $R$ त्रिज्या और $\theta$ (रेडियन में) कोण अंतरित करने वाले वृत्ताकार चाप के कारण केंद्र $O$ पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 i \theta}{4 \pi R}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$\theta = 30^{\circ} = \frac{\pi}{6} \text{ रेडियन}$.
सीधे खंड $AB$ और $CD$ केंद्र $O$ से होकर गुजरते हैं,इसलिए उनके कारण चुंबकीय क्षेत्र शून्य है $(B_{AB} = 0, B_{CD} = 0)$.
चाप $AD$ (त्रिज्या $R_1 = 0.01 \text{ m}$) के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B_{AD} = \frac{\mu_0 i}{4 \pi R_1} \times \frac{\pi}{6} = \frac{\mu_0 i}{24 R_1}$ (बाहर की ओर,$\odot$).
चाप $BC$ (त्रिज्या $R_2 = 0.02 \text{ m}$) के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B_{BC} = \frac{\mu_0 i}{4 \pi R_2} \times \frac{\pi}{6} = \frac{\mu_0 i}{24 R_2}$ (अंदर की ओर,$\otimes$).
परिणामी चुंबकीय क्षेत्र $B_{net} = B_{AD} - B_{BC} = \frac{\mu_0 i}{24} \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
मान रखने पर: $B_{net} = \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times (1.2 / \pi)}{24} \left( \frac{1}{0.01} - \frac{1}{0.02} \right) = \frac{4.8 \times 10^{-7}}{24} (100 - 50) = 0.2 \times 10^{-7} \times 50 = 10 \times 10^{-7} \text{ T} = 1 \mu \text{T}$.

(A) चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं निरंतर होती हैं और बंद लूप बनाती हैं क्योंकि प्रकृति में कोई पृथक चुंबकीय आवेश (चुंबकीय मोनोपोल) मौजूद नहीं है।
चुंबकत्व के लिए गॉस के नियम के अनुसार,किसी भी बंद सतह से गुजरने वाला कुल चुंबकीय फ्लक्स शून्य होता है,जिसका अर्थ है कि चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं निरंतर होनी चाहिए और उनका कोई आदि या अंत नहीं हो सकता है।
चूंकि चुंबकीय मोनोपोल मौजूद नहीं हैं,इसलिए चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं किसी एक बिंदु से शुरू नहीं हो सकती हैं और न ही किसी एक बिंदु पर समाप्त हो सकती हैं,इस प्रकार वे बंद लूप बनाती हैं।
इसलिए,कारण कथन की सही व्याख्या है।

(A) दिया गया है: चुंबकीय क्षेत्र $B = 200 \ G = 200 \times 10^{-4} \ T = 0.02 \ T$.
कोण $\theta = 30^{\circ}$.
बल आघूर्ण $\tau = 0.012 \ Nm$.
चुंबकीय सुई पर कार्य करने वाले बल आघूर्ण का सूत्र $\tau = mB \sin \theta$ है।
मान रखने पर: $0.012 = m \times 0.02 \times \sin 30^{\circ}$.
चूंकि $\sin 30^{\circ} = 0.5$,इसलिए $0.012 = m \times 0.02 \times 0.5$.
$0.012 = m \times 0.01$.
$m = \frac{0.012}{0.01} = 1.2 \ Am^2$.

(C) कण $x$-अक्ष के अनुदिश अचर वेग $v$ से गति करता है,इसलिए $x = vt$,जिसका अर्थ है $t = x/v$.
$y$-अक्ष पर,कण एक अचर बल $F = qE$ का अनुभव करता है,जिससे त्वरण $a = qE/m$ प्राप्त होता है।
गति के समीकरण $y = u_y t + \frac{1}{2} a_y t^2$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $u_y = 0$ है:
$y = \frac{1}{2} (\frac{qE}{m}) (\frac{x}{v})^2 = (\frac{qE}{2mv^2}) x^2$.
यह समीकरण $y = kx^2$ के रूप में है,जो एक परवलय को दर्शाता है।
अतः,कण का प्रक्षेप पथ परवलयाकार होगा।

(C) माना $\phi$ नमन कोण है।
क्षैतिज घटक $B_H$,कुल चुंबकीय क्षेत्र $B$ और नमन कोण $\phi$ के बीच संबंध $B_H = B \cos \phi$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\cos \phi = \frac{B_H}{B} = \frac{86.6}{100} = 0.866$.
चूंकि $\cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866$,इसलिए $\phi = 30^{\circ}$ है।
अतः,नमन कोण $30^{\circ}$ है।

(B) छड़ चुंबक की अक्षीय रेखा पर चुंबकीय क्षेत्र का सूत्र इस प्रकार है:
$B_{\text{axial}} = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{2M}{d^3}$
दिए गए मान हैं:
$B_{\text{axial}} = 5 \times 10^{-8} \ T$
$d = 1 \ m$
$\frac{\mu_0}{4 \pi} = 10^{-7} \ T \ m/A$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$5 \times 10^{-8} = 10^{-7} \times \frac{2 \times M}{1^3}$
$5 \times 10^{-8} = 10^{-7} \times 2M$
$M = \frac{5 \times 10^{-8}}{2 \times 10^{-7}}$
$M = \frac{5}{20} = 0.25 \ A \ m^2$
अतः,छड़ चुंबक का चुंबकीय आघूर्ण $0.25 \ A \ m^2$ है।

(C) चुम्बकीय फ्लक्स $\phi$ का सूत्र $\phi = B \cdot A$ है,जहाँ $B$ चुम्बकीय क्षेत्र है और $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
$B = \frac{\phi}{A} = \frac{2.4 \pi \times 10^{-5} \ Wb}{2 \times 10^{-5} \ m^2} = 1.2 \pi \ T$.
अब,चुम्बकीय क्षेत्र $B$ और चुम्बकन क्षेत्र $H$ के बीच का संबंध $B = \mu H$ है।
$\mu = \frac{B}{H} = \frac{1.2 \pi \ T}{2400 \ A/m} = 5 \pi \times 10^{-4} \ T \cdot m/A$.
सापेक्ष पारगम्यता $\mu_r$ का सूत्र $\mu_r = \frac{\mu}{\mu_0}$ है।
$\mu_r = \frac{5 \pi \times 10^{-4}}{4 \pi \times 10^{-7}} = 1250$.
चूँकि $\mu_r = 1 + \chi$,इसलिए चुम्बकीय प्रवृत्ति $\chi = \mu_r - 1 = 1250 - 1 = 1249$ होगी।

(A) $L$ लंबाई का एक स्पोक जब $B$ चुंबकीय क्षेत्र में $\omega$ कोणीय वेग से घूमता है,तो उसमें प्रेरित emf $(e)$ का सूत्र है: $e = \frac{1}{2} B \omega L^2$.
दिया गया है:
$B = H_{e} = 0.4 \text{ G} = 0.4 \times 10^{-4} \text{ T}$.
$L = 40 \text{ cm} = 0.4 \text{ m}$.
आवृत्ति $f = 180 \text{ rev/min} = 3 \text{ Hz}$.
कोणीय वेग $\omega = 2 \pi f = 6 \pi \text{ rad/s}$.
मान रखने पर:
$e = \frac{1}{2} \times (0.4 \times 10^{-4}) \times (6 \pi) \times (0.4)^2$.
$e = 0.2 \times 10^{-4} \times 6 \pi \times 0.16$.
$e = 0.192 \pi \times 10^{-4} \text{ V} = 192 \pi \times 10^{-7} \text{ V}$.
चूंकि सभी स्पोक्स समानांतर में जुड़े होते हैं,इसलिए कुल प्रेरित emf एक स्पोक के बराबर ही रहता है।

(C) टोरोइड की औसत त्रिज्या $r_m$ की गणना इस प्रकार की जाती है:
$r_m = \frac{0.24 + 0.26}{2} = 0.25 \ m$
टोरोइड के अंदर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र है:
$B = \mu_0 n I = \frac{\mu_0 N I}{2 \pi r_m}$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$N = 2500$,$I = 10 \ A$,$r_m = 0.25 \ m$,और $\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \ T \cdot m/A$
$B = \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 2500 \times 10}{2 \pi \times 0.25}$
$B = \frac{2 \times 10^{-7} \times 25000}{0.25} = \frac{5 \times 10^{-3}}{0.25} = 20 \times 10^{-3} = 2 \times 10^{-2} \ T$

(C) मोलों की संख्या $n = \frac{m}{M} = \frac{N}{N_A}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $m$ द्रव्यमान है,$M$ मोलर द्रव्यमान है,$N$ परमाणुओं की संख्या है और $N_A$ एवोगाड्रो संख्या है।
दिया गया है $m = 1 \text{ mg} = 10^{-3} \text{ g}$,$M = 240 \text{ g/mol}$,और $N_A = 6 \times 10^{23} \text{ atoms/mol}$.
परमाणुओं की संख्या $N$:
$N = \frac{10^{-3}}{240} \times 6 \times 10^{23} = 2.5 \times 10^{18} \text{ परमाणु}$.
प्रति विखंडन मुक्त ऊर्जा $E_f = 200 \text{ MeV} = 200 \times 10^6 \times 1.6 \times 10^{-19} \text{ J} = 3.2 \times 10^{-11} \text{ J}$.
कुल मुक्त ऊर्जा $E = N \times E_f = 2.5 \times 10^{18} \times 3.2 \times 10^{-11} \text{ J} = 8.0 \times 10^7 \text{ J}$.

(C) द्रव्यमान संख्या $A$ के संदर्भ में परमाणु नाभिक की त्रिज्या $R = R_0 A^{1/3}$ द्वारा दी जाती है।
जैसे-जैसे द्रव्यमान संख्या $A$ बढ़ती है,नाभिक का द्रव्यमान $(M \approx A \cdot m_p)$ और नाभिक का आयतन $(V = \frac{4}{3} \pi R^3 = \frac{4}{3} \pi R_0^3 A)$ दोनों बढ़ते हैं।
न्यूक्लियॉन की संख्या बढ़ने के साथ बंधन ऊर्जा भी बदलती है।
हालाँकि,नाभिकीय घनत्व $\rho$ इस प्रकार है:
$\rho = \frac{\text{नाभिक का द्रव्यमान}}{\text{नाभिक का आयतन}} = \frac{m A}{\frac{4}{3} \pi R^3} = \frac{m A}{\frac{4}{3} \pi (R_0 A^{1/3})^3} = \frac{m A}{\frac{4}{3} \pi R_0^3 A} = \frac{3m}{4 \pi R_0^3}$.
चूँकि $m$ (औसत न्यूक्लियॉन द्रव्यमान) और $R_0$ स्थिरांक हैं,इसलिए नाभिकीय घनत्व द्रव्यमान संख्या $A$ से स्वतंत्र है और स्थिर रहता है।

(D) नाभिक का घनत्व सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\rho = \frac{\text{द्रव्यमान}}{\text{आयतन}}$.
नाभिक का द्रव्यमान $M = A \times m_p$,जहाँ $A$ द्रव्यमान संख्या है और $m_p \approx 1.6 \times 10^{-27} \text{ kg}$ है।
नाभिक का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi R^3$,जहाँ $R = R_0 A^{1/3}$ है।
$V$ का मान रखने पर: $V = \frac{4}{3} \pi (R_0 A^{1/3})^3 = \frac{4}{3} \pi R_0^3 A$.
घनत्व $\rho = \frac{A \times m_p}{\frac{4}{3} \pi R_0^3 A} = \frac{3 m_p}{4 \pi R_0^3}$.
मान रखने पर: $\rho = \frac{3 \times 1.6 \times 10^{-27}}{4 \times 3.14 \times (1.2 \times 10^{-15})^3}$.
$\rho = \frac{4.8 \times 10^{-27}}{12.56 \times 1.728 \times 10^{-45}} \approx 2.2 \times 10^{17} \text{ kg m}^{-3}$.

(B) नाभिक की त्रिज्या का सूत्र $R = R_0 A^{1/3}$ है,जहाँ $R_0$ एक स्थिरांक है और $A$ द्रव्यमान संख्या है।
मान लीजिए $A_1 = 189$ द्रव्यमान संख्या वाले नाभिक की त्रिज्या $R_1$ है,तो $R_1 = R_0 (189)^{1/3}$ होगा।
मान लीजिए दूसरे नाभिक की द्रव्यमान संख्या $A_2$ है और उसकी त्रिज्या $R_2$ है,तो $R_2 = R_0 (A_2)^{1/3}$ होगा।
प्रश्न के अनुसार,$R_2 = \frac{1}{3} R_1$ है।
मान रखने पर,$R_0 (A_2)^{1/3} = \frac{1}{3} R_0 (189)^{1/3}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों से $R_0$ को हटाने पर,$(A_2)^{1/3} = \frac{1}{3} (189)^{1/3}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का घन करने पर,$A_2 = (\frac{1}{3})^3 \times 189$ प्राप्त होता है।
$A_2 = \frac{1}{27} \times 189 = 7$ है।
अतः,द्रव्यमान संख्या $7$ है।

(C) नाभिकीय बल एक लघु-परास का बल है जो नाभिक के भीतर न्यूक्लियॉन (प्रोटॉन और न्यूट्रॉन) के बीच कार्य करता है।
यह तभी प्रभावी होता है जब दो न्यूक्लियॉन के बीच की दूरी लगभग $1$ फर्मी हो, जो $10^{-15} \,m$ के बराबर है।
इस दूरी से अधिक होने पर, नाभिकीय बल तेजी से घटता है और नगण्य हो जाता है।
अतः, नाभिकीय बल की परास $10^{-15} \,m$ है।

(A) नाभिक की त्रिज्या $R = R_0 A^{1/3}$ द्वारा दी जाती है।
नाभिक का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi R^3$ होता है।
$R$ का मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $V = \frac{4}{3} \pi (R_0 A^{1/3})^3 = \frac{4}{3} \pi R_0^3 A$।
दिया गया है $R_0 \simeq 1.0 \times 10^{-15} \ m$,$\pi \simeq 3$,और $A = 27$:
$V = \frac{4}{3} \times 3 \times (1.0 \times 10^{-15} \ m)^3 \times 27$।
$V = 4 \times 10^{-45} \times 27 \ m^3 = 108 \times 10^{-45} \ m^3$।
चूंकि $1 \ \text{Å} = 10^{-10} \ m$,इसलिए $1 \ m = 10^{10} \ \text{Å}$,और $1 \ m^3 = 10^{30} \ (\text{Å})^3$।
$V = 108 \times 10^{-45} \times 10^{30} \ (\text{Å})^3 = 108 \times 10^{-15} \ (\text{Å})^3 \approx 1 \times 10^{-13} \ (\text{Å})^3$।

(D) क्रांतिक कोण $\theta_{c}$ वह आपतन कोण है जिसके लिए अपवर्तन कोण $90^{\circ}$ होता है।
यह निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\sin \theta_{c} = \frac{n_2}{n_1}$
यहाँ $n_1 = 2$ और $n_2 = \sqrt{3}$ दिया गया है,इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\sin \theta_{c} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
चूंकि $\sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ होता है,इसलिए:
$\theta_{c} = 60^{\circ}$

(A) दिया गया है: अपवर्तनांक $\mu = 1.5$,वस्तु की दूरी $u = -60 \ cm$,प्रतिबिंब की दूरी $v = +120 \ cm$ है।
समतल-उत्तल लेंस के लिए,माना उत्तल पृष्ठ की त्रिज्या $R_1 = -R$ (क्योंकि यह वस्तु की ओर है) और समतल पृष्ठ की त्रिज्या $R_2 = \infty$ है।
लेंस मेकर सूत्र का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$
$\frac{1}{f} = (1.5 - 1) \left( \frac{1}{-R} - \frac{1}{\infty} \right) = 0.5 \left( -\frac{1}{R} \right) = -\frac{1}{2R}$
अतः,$f = -2R$ है।
लेंस सूत्र का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$
$\frac{1}{120} - \frac{1}{-60} = \frac{1}{-2R}$
$\frac{1}{120} + \frac{1}{60} = -\frac{1}{2R}$
$\frac{1 + 2}{120} = -\frac{1}{2R}$
$\frac{3}{120} = -\frac{1}{2R} \Rightarrow \frac{1}{40} = -\frac{1}{2R}$
$2R = -40 \ cm$। चूँकि $R$ त्रिज्या का परिमाण है,इसलिए $R = 20 \ cm$ होगा।

(D) दीवार पर स्थित बिंदु $A$ से प्रकाश की किरणें कांच से होकर गुजरती हैं और गोलाकार सतह पर हवा में अपवर्तित होती हैं।
गोलाकार सतह पर अपवर्तन के लिए सूत्र $\frac{\mu_2}{v} - \frac{\mu_1}{u} = \frac{\mu_2 - \mu_1}{R}$ है।
यहाँ, प्रकाश कांच $(\mu_1 = 1.5)$ से हवा $(\mu_2 = 1.0)$ में जा रहा है।
वस्तु की दूरी $u$, ध्रुव $X$ से $A$ की दूरी है। चूँकि $XA = 3 \text{ cm}$ है और प्रकाश $A$ से $X$ की ओर यात्रा करता है, इसलिए $u = -3 \text{ cm}$ है।
गोलाकार सतह (कांच की तरफ से देखने पर) के लिए वक्रता त्रिज्या $R = -5 \text{ cm}$ है क्योंकि वक्रता केंद्र ध्रुव $X$ के बाईं ओर स्थित है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\frac{1.0}{v} - \frac{1.5}{-3} = \frac{1.0 - 1.5}{-5}$
$\frac{1}{v} + 0.5 = \frac{-0.5}{-5} = 0.1$
$\frac{1}{v} = 0.1 - 0.5 = -0.4$
$v = -\frac{1}{0.4} = -2.5 \text{ cm}$.
ऋणात्मक चिह्न दर्शाता है कि प्रतिबिंब $I$, ध्रुव $X$ के बाईं ओर $2.5 \text{ cm}$ की दूरी पर बनता है।
प्रेक्षक $O$ की ध्रुव $X$ से दूरी $OX = OA - XA = 8 - 3 = 5 \text{ cm}$ है।
अतः, प्रेक्षक $O$ से $A$ की आभासी दूरी $OI = OX + XI = 5 \text{ cm} + 2.5 \text{ cm} = 7.5 \text{ cm}$ है।

(A) लेंस मेकर सूत्र का उपयोग करते हुए:
$\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$
दिया गया है: $f = \frac{20}{3} \ cm$,$R_1 = 5 \ cm$,$R_2 = -10 \ cm$ (द्वि-उत्तल लेंस के लिए)।
मान रखने पर:
$\frac{3}{20} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{-10} \right)$
$\frac{3}{20} = (\mu - 1) \left( \frac{2 + 1}{10} \right)$
$\frac{3}{20} = (\mu - 1) \left( \frac{3}{10} \right)$
$\mu - 1 = \frac{3}{20} \times \frac{10}{3}$
$\mu - 1 = \frac{1}{2}$
$\mu = 1 + 0.5 = 1.5$

(C) हवा में लेंस की फोकस दूरी लेंस मेकर सूत्र द्वारा दी जाती है: $\frac{1}{f_a} = (\mu_g - 1) \left( \frac{2}{R} \right) = 25^{-1} \ cm^{-1}$।
जब इसे पानी में डुबोया जाता है,तो नई फोकस दूरी $f_w$ इस प्रकार होती है: $\frac{1}{f_w} = \left( \frac{\mu_g}{\mu_w} - 1 \right) \left( \frac{2}{R} \right)$।
अनुपात लेने पर: $\frac{f_w}{f_a} = \frac{\mu_g - 1}{\frac{\mu_g}{\mu_w} - 1} = \frac{1.5 - 1}{\frac{1.5}{4/3} - 1} = \frac{0.5}{1.125 - 1} = \frac{0.5}{0.125} = 4$।
अतः,$f_w = 4 \times f_a = 4 \times 25 \ cm = 100 \ cm$।
फोकस दूरी में निरपेक्ष परिवर्तन $|f_w - f_a| = |100 \ cm - 25 \ cm| = 75 \ cm$ है।

(B) कांच के स्लैब के कारण प्रतिबिंब की स्थिति में आभासी विस्थापन $d = t(1 - \frac{1}{\mu})$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$d = 1.4(1 - \frac{5}{7}) = 1.4(\frac{2}{7}) = 0.4 \ cm$.
सबसे पहले,लेंस की फोकस दूरी $f$ की गणना करें: $u = -20 \ cm$ और $v = 5 \ cm$.
लेंस सूत्र $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$ का उपयोग करने पर,$\frac{1}{f} = \frac{1}{5} - \frac{1}{-20} = \frac{5}{20} = \frac{1}{4}$. अतः,$f = 4 \ cm$.
जब कांच का स्लैब डाला जाता है,तो प्रतिबिंब अभी भी $v = 5 \ cm$ पर पर्दे पर बनना चाहिए। हालाँकि,स्लैब प्रतिबिंब को लेंस की ओर $d = 0.4 \ cm$ विस्थापित कर देता है। इसलिए,प्रभावी प्रतिबिंब दूरी $v' = 5 - 0.4 = 4.6 \ cm$ हो जाती है।
नई वस्तु दूरी $u'$ के लिए फिर से लेंस सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{1}{f} = \frac{1}{v'} - \frac{1}{u'}$.
$\frac{1}{4} = \frac{1}{4.6} - \frac{1}{u'} \Rightarrow \frac{1}{u'} = \frac{1}{4.6} - \frac{1}{4} = \frac{-0.6}{18.4}$.
$u' = -\frac{18.4}{0.6} \approx -30.66 \ cm \approx 30.7 \ cm$.

(C) डायनेमिक प्रतिरोध $r_d$ को $r_d = \frac{dV}{dI}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
दिया गया है $I = I_0 \left( e^{\frac{V}{2 V_T}} - 1 \right)$.
$I \gg I_0$ के लिए,हम $I \approx I_0 e^{\frac{V}{2 V_T}}$ का अनुमान लगा सकते हैं।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $\ln(I/I_0) = \frac{V}{2 V_T}$,जिसका अर्थ है $V = 2 V_T \ln(I/I_0)$.
$I$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{dV}{dI} = 2 V_T \cdot \frac{1}{I/I_0} \cdot \frac{1}{I_0} = \frac{2 V_T}{I}$.
अतः,$r_d(I) = \frac{2 V_T}{I}$.
हमें $\alpha$ ज्ञात करना है ताकि $r_d(1000 I_0) = \alpha r_d(10 I_0)$ हो।
$r_d$ के लिए व्यंजक प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{2 V_T}{1000 I_0} = \alpha \cdot \frac{2 V_T}{10 I_0}$.
$\frac{1}{1000} = \alpha \cdot \frac{1}{10}$.
$\alpha = \frac{10}{1000} = \frac{1}{100}$.