TS EAMCET 2022 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(A) ऊष्मागतिकी का शून्यवाँ नियम बताता है कि यदि दो निकाय अलग-अलग किसी तीसरे निकाय के साथ तापीय साम्यावस्था में हैं,तो वे एक-दूसरे के साथ भी तापीय साम्यावस्था में होते हैं।
यह नियम तापमान के मापन का आधार प्रदान करता है,क्योंकि यह हमें एक ऐसे गुण (तापमान) को परिभाषित करने की अनुमति देता है जो तापीय साम्यावस्था में रहने वाले सभी निकायों के लिए समान होता है।
इसलिए,शून्यवाँ नियम तापमान की मौलिक अवधारणा प्रदान करता है।
चूंकि कारण सही ढंग से बताता है कि शून्यवाँ नियम तापमान की अवधारणा की ओर क्यों ले जाता है,इसलिए $(A)$ सत्य है,$(R)$ सत्य है और $(R)$,$(A)$ की सही व्याख्या है।

(D) विमीय विश्लेषण के अनुसार समीकरण के दोनों पक्षों की विमाएँ समान होनी चाहिए और किसी भी घातांकीय फलन (exponential function) का घातांक विमाहीन होना चाहिए।
$(A) E = 2 E_0 \frac{L}{L_0}$
$LHS$: $[M L^2 T^{-2}]$
$RHS$: $[M L^2 T^{-2}] \times \frac{[L]}{[L]} = [M L^2 T^{-2}]$
स्थिति: विमीय रूप से सही।
$(B) E = E_0 e^{-\frac{2 L}{L_0}}$
घातांक: $\frac{[L]}{[L]} = [1]$ (विमाहीन)। सही।
$LHS$: $[M L^2 T^{-2}]$
$RHS$: $[M L^2 T^{-2}] \times [1] = [M L^2 T^{-2}]$
स्थिति: विमीय रूप से सही।
$(C) E = 2 L e^{-\frac{L}{E_0}}$
घातांक: $\frac{[L]}{[M L^2 T^{-2}]} = [M^{-1} L^{-1} T^2]$। चूंकि घातांक विमाहीन नहीं है,इसलिए यह व्यंजक अमान्य है।
$LHS$: $[M L^2 T^{-2}]$
प्री-फैक्टर: $[L]$
स्थिति: विमीय रूप से गलत।
$(D) E = 2 \left( \frac{E_0}{L_0} \right) e^{-\frac{L}{L_0}}$
घातांक: $\frac{[L]}{[L]} = [1]$। सही।
$LHS$: $[M L^2 T^{-2}]$
$RHS$: $\frac{[M L^2 T^{-2}]}{[L]} = [M L T^{-2}]$
स्थिति: विमीय रूप से गलत।
अतः,समीकरण $(C)$ और $(D)$ गलत हैं।

(B) नोएथर की प्रमेय (Noether's theorem) के अनुसार,संरक्षण के नियम प्रकृति की समरूपता के साथ गहराई से जुड़े हुए हैं।
प्रकृति में केवल चार मौलिक बल हैं: गुरुत्वाकर्षण बल,विद्युत चुम्बकीय बल,प्रबल नाभिकीय बल और दुर्बल नाभिकीय बल।
अतः,कथन $B$ सही है।

$(A)$ विमाओं का मिलान इस प्रकार है:
$(A)$ एंट्रॉपी $(S)$: $S = \frac{\Delta Q}{T}$। इसका मात्रक $J/K$ है, जो बोल्ट्ज़मैन नियतांक $(k_B)$ के मात्रक के समान है। अतः, $(A) \rightarrow (II)$।
$(B)$ यंग मापांक $(Y)$: $Y = \frac{\text{प्रतिबल}}{\text{विकृति}} = \frac{\text{बल}}{\text{क्षेत्रफल}}$। इसका मात्रक $N/m^2$ या $J/m^3$ है, जो ऊर्जा घनत्व $(U/V)$ के मात्रक के समान है। अतः, $(B) \rightarrow (III)$।
$(C)$ कोणीय संवेग $(L)$: $L = mvr$। इसका मात्रक $kg \cdot m^2/s$ है, जो प्लांक नियतांक $(h)$ के मात्रक के समान है। अतः, $(C) \rightarrow (IV)$।
$(D)$ क्षय नियतांक $(\lambda)$: $\lambda = \frac{1}{\text{समय}}$। इसका मात्रक $s^{-1}$ है, जो कोणीय वेग $(\omega)$ के मात्रक के समान है। अतः, $(D) \rightarrow (I)$।
इसलिए, सही मिलान $(A-II, B-III, C-IV, D-I)$ है।

(B) माना घनत्व $\rho = k C^a G^b h^c$ है।
विमीय सूत्र इस प्रकार हैं:
$[\rho] = M L^{-3}$
$[C] = L T^{-1}$
$[G] = M^{-1} L^3 T^{-2}$
$[h] = M L^2 T^{-1}$
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$M^1 L^{-3} T^0 = (L T^{-1})^a (M^{-1} L^3 T^{-2})^b (M L^2 T^{-1})^c$
$M^1 L^{-3} T^0 = M^{-b+c} L^{a+3b+2c} T^{-a-2b-c}$
$M, L$ और $T$ के घातांकों की तुलना करने पर:
$1$) $-b + c = 1 \implies c = 1 + b$
$2$) $a + 3b + 2c = -3$
$3$) $-a - 2b - c = 0 \implies a = -2b - c$
$c = 1 + b$ को $(3)$ में रखने पर: $a = -2b - (1 + b) = -3b - 1$
$a$ और $c$ को $(2)$ में रखने पर: $(-3b - 1) + 3b + 2(1 + b) = -3$
$-3b - 1 + 3b + 2 + 2b = -3$
$2b + 1 = -3 \implies 2b = -4 \implies b = -2$
अब $c$ का मान: $c = 1 + (-2) = -1$
अब $a$ का मान: $a = -3(-2) - 1 = 6 - 1 = 5$
अतः,घनत्व की विमा $[\rho] = C^5 G^{-2} h^{-1}$ है।

(A) दो क्रमिक निम्निष्ठों के बीच की दूरी तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के बराबर होती है। इसलिए,$\lambda = 2.7 \ m$ है।
आवृत्ति $f$ को प्रति इकाई समय में एक बिंदु से गुजरने वाली तरंगों की संख्या के रूप में परिभाषित किया जाता है।
यह दिया गया है कि $15.0 \ s$ में $5$ श्रृंग गुजरते हैं,इसलिए आवृत्ति $f = \frac{5}{15} = \frac{1}{3} \ s^{-1}$ है।
तरंग की चाल $v$ को संबंध $v = f \lambda$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$v = \frac{1}{3} \times 2.7 = 0.9 \ m \ s^{-1}$ प्राप्त होता है।

(A) मान लीजिए कि तार $A$ की आवृत्ति $f_A = f_0$ है और तार $B$ की आवृत्ति $f_B$ है।
प्रारंभ में,विस्पंद आवृत्ति $\Delta f_1 = |f_0 - f_B| > 0$ है।
जब तार $A$ में तनाव बढ़ाया जाता है,तो इसकी आवृत्ति $f_A$ बढ़कर $f_A'$ हो जाती है।
नई विस्पंद आवृत्ति $\Delta f_2 = |f_A' - f_B| < \Delta f_1$ है।
चूंकि तार $A$ की आवृत्ति बढ़ाने के बाद विस्पंद आवृत्ति कम हो गई,इसका मतलब है कि $f_A$,$f_B$ के करीब पहुंच रही थी।
इसलिए,$f_B$ का मान $f_A$ से अधिक होना चाहिए।
अतः,$\Delta f_1 = f_B - f_0$,जिससे $f_B = f_0 + \Delta f_1$ प्राप्त होता है।

(B) तरंग की तीव्रता $I$ उसके आयाम $A$ के वर्ग के समानुपाती होती है,अर्थात $I \propto A^2$।
$A_1$ और $A_2$ आयाम वाली दो तरंगों के लिए,अधिकतम तीव्रता $I_{max}$ संपोषी व्यतिकरण पर प्राप्त होती है,जहाँ $I_{max} \propto (A_1 + A_2)^2$।
न्यूनतम तीव्रता $I_{min}$ विनाशी व्यतिकरण पर प्राप्त होती है,जहाँ $I_{min} \propto (A_1 - A_2)^2$।
तीव्रताओं का अनुपात $\frac{I_{max}}{I_{min}} = \frac{9}{4}$ दिया गया है,इसलिए:
$\frac{(A_1 + A_2)^2}{(A_1 - A_2)^2} = \frac{9}{4}$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\frac{A_1 + A_2}{A_1 - A_2} = \frac{3}{2}$
तिर्यक गुणा करने पर:
$2(A_1 + A_2) = 3(A_1 - A_2)$
$2A_1 + 2A_2 = 3A_1 - 3A_2$
$5A_2 = A_1$
अतः,अनुपात $\frac{A_2}{A_1} = \frac{1}{5} = 0.2$ है।

(A) प्रारंभ में,'$L$' लंबाई के खुले पाइप के लिए,मूल आवृत्ति इस प्रकार है:
$f = \frac{V}{2L}$
जब नली को पानी में लंबवत इस प्रकार डुबोया जाता है कि उसकी आधी लंबाई पानी में डूब जाए,तो पानी की सतह के ऊपर हवा के स्तंभ की शेष लंबाई '$L/2$' होती है।
पानी की सतह एक बंद सिरे के रूप में कार्य करती है। इस प्रकार,अब यह नली एक सिरे पर बंद पाइप की तरह व्यवहार करती है जिसकी प्रभावी लंबाई '$L' = L/2$' है।
एक सिरे पर बंद पाइप की मूल आवृत्ति इस प्रकार है:
$f' = \frac{V}{4L'}$
'$L' = L/2$' प्रतिस्थापित करने पर:
$f' = \frac{V}{4(L/2)} = \frac{V}{2L} = f$
अतः,नई मूल आवृत्ति '$f$' ही रहेगी।

(B) प्रगामी तरंग का सामान्य समीकरण $y(x, t) = A \sin(kx - \omega t)$ है।
तरंग की चाल $v$,कोणीय आवृत्ति $\omega$ और तरंग संख्या $k$ के अनुपात द्वारा दी जाती है:
$v = \frac{\omega}{k} = \frac{t \text{ का गुणांक}}{x \text{ का गुणांक}}$.
प्रत्येक विकल्प के लिए चाल की गणना करने पर:
$(a)$ $v = \frac{2}{2} = 1.0 \text{ m/s}$
$(b)$ $v = \frac{3}{2} = 1.5 \text{ m/s}$
$(c)$ $v = \frac{2}{3} \approx 0.67 \text{ m/s}$
$(d)$ $v = \frac{2}{5} = 0.4 \text{ m/s}$
इन मानों की तुलना करने पर,विकल्प $(b)$ में दिए गए समीकरण के लिए तरंग की चाल सबसे अधिक है।

(C) खींचे हुए तार की मूल आवृत्ति $f = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $L$ लंबाई है, $T$ तनाव है और $\mu$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व है。
प्रारंभ में, $L_1 = 0.4 \,m$, $f_1 = 250 \,Hz$, और तनाव $T_1 = T$ है。
अतः, $250 = \frac{1}{2 \times 0.4} \sqrt{\frac{T}{\mu}} \quad ...(i)$
अंत में, $L_2 = 0.4 + 0.1 = 0.5 \,m$, और नया तनाव $T_2 = T/4$ है。
अतः, $f_2 = \frac{1}{2 \times 0.5} \sqrt{\frac{T/4}{\mu}} \quad ...(ii)$
समीकरण $(ii)$ को $(i)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{f_2}{250} = \frac{\frac{1}{2 \times 0.5} \sqrt{\frac{T}{4\mu}}}{\frac{1}{2 \times 0.4} \sqrt{\frac{T}{\mu}}} = \frac{0.4}{0.5} \times \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{4}{5} \times \frac{1}{2} = \frac{2}{5} = 0.4$
$f_2 = 250 \times 0.4 = 100 \,Hz$.

(D) प्रारंभिक गति $V = 36 \,km/h = 36 \times \frac{5}{18} = 10 \,m/s$.
त्रिज्यीय त्वरण $a_r = \frac{V^2}{R} = \frac{10^2}{50} = \frac{100}{50} = 2 \,m/s^2$.
स्पर्शरेखीय त्वरण $a_t = 0.5 \,m/s^2$.
कुल त्वरण $a_{net} = \sqrt{a_r^2 + a_t^2} = \sqrt{2^2 + 0.5^2} = \sqrt{4 + 0.25} = \sqrt{4.25} = \sqrt{\frac{17}{4}} = \frac{\sqrt{17}}{2} \,m/s^2$.
दिशा $\phi$ स्पर्शरेखीय सदिश के सापेक्ष $\tan \phi = \frac{a_r}{a_t} = \frac{2}{0.5} = 4$ द्वारा दी जाती है, इसलिए $\phi = \tan^{-1}(4)$.

(B) $\text{दिया गया है:}
\text{पानी का आयतन } V = 36 \,m^3
\text{समय } t = 30 \,min = 30 \times 60 \,s = 1800 \,s
\text{ऊंचाई } h = 50 \,m
\text{इनपुट शक्ति } P_{\text{in}} = 40 \,kW = 40,000 \,W
\text{पानी का घनत्व } \rho = 1000 \,kg/m^3
\text{गुरुत्वीय त्वरण } g = 10 \,m/s^2
\text{पानी का द्रव्यमान } m = V \times \rho = 36 \times 1000 = 36,000 \,kg
\text{पानी को ऊपर उठाने में किया गया कार्य } W = mgh = 36,000 \times 10 \times 50 = 18,000,000 \,J
\text{आउटपुट शक्ति } P_{\text{out}} = \frac{W}{t} = \frac{18,000,000}{1800} = 10,000 \,W = 10 \,kW
\text{दक्षता } \eta = \frac{P_{\text{out}}}{P_{\text{in}}} \times 100\% = \frac{10,000}{40,000} \times 100\% = 25\%$

(B) एक संरक्षी बल के लिए,बल $F$ और स्थितिज ऊर्जा $U$ के बीच का संबंध $F = -\frac{dU}{dx}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $U(x) = 5x^2 - 4x^3$।
वह स्थिति ज्ञात करने के लिए जहाँ बल शून्य है,हम $F = 0$ रखते हैं:
$0 = -\frac{d}{dx}(5x^2 - 4x^3)$
$0 = -(10x - 12x^2)$
$12x^2 - 10x = 0$
$2x(6x - 5) = 0$
इससे दो हल प्राप्त होते हैं: $x = 0 \ m$ या $x = 5/6 \ m$।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,सही स्थिति $5/6 \ m$ है।

(C) कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,शुद्ध बल द्वारा किया गया कार्य गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है:
$W = \Delta K = K_f - K_i$
यहाँ $m = 1 \ kg$,$c = 1$,$v = x^\alpha$,$x_i = 0 \ m$,$x_f = 4 \ m$,और $W = 128 \ J$ दिया गया है।
$x = 0$ पर,$v_i = 1 \times (0)^\alpha = 0$.
$x = 4$ पर,$v_f = 1 \times (4)^\alpha = 4^\alpha$.
इन मानों को कार्य-ऊर्जा समीकरण में रखने पर:
$128 = \frac{1}{2} m v_f^2 - \frac{1}{2} m v_i^2$
$128 = \frac{1}{2} (1) (4^\alpha)^2 - 0$
$128 = \frac{1}{2} (4^{2\alpha})$
$256 = 4^{2\alpha}$
चूँकि $256 = 2^8 = (2^2)^4 = 4^4$,इसलिए:
$4^4 = 4^{2\alpha}$
$2\alpha = 4$
$\alpha = 2$.

(C) ऊर्ध्वाधर वृत्त को पूरा करने के लिए,तल पर न्यूनतम वेग $v = \sqrt{5Rg}$ होना चाहिए,जहाँ $R$ वृत्त की त्रिज्या है।
नत समतल के शीर्ष और तल के बीच यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम को लागू करने पर:
$P_1 + K_1 = P_2 + K_2$
$mgh + 0 = 0 + \frac{1}{2} m v^2$
$mgh = \frac{1}{2} m (\sqrt{5Rg})^2$
$mgh = \frac{1}{2} m (5Rg)$
$h = \frac{5R}{2}$
चूँकि $R = 2 \ m$ दिया गया है,इसलिए:
$h = \frac{5 \times 2}{2} = 5 \ m$

(C) ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,कुल प्रारंभिक यांत्रिक ऊर्जा उच्चतम बिंदु पर कुल अंतिम यांत्रिक ऊर्जा के बराबर होती है।
प्रारंभिक ऊर्जा: $E_i = K.E_{trans} + K.E_{rot} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$
ठोस गोले के लिए,$I = \frac{2}{5}mR^2$ और शुद्ध लोटनिक गति के लिए,$\omega = \frac{v}{R}$।
$E_i = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(\frac{2}{5}mR^2)(\frac{v}{R})^2 = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{5}mv^2 = \frac{7}{10}mv^2$
उच्चतम बिंदु पर,अंतिम गतिज ऊर्जा शून्य होती है,और स्थितिज ऊर्जा $mgh$ होती है।
अतः,$\frac{7}{10}mv^2 = mgh \Rightarrow h = \frac{7v^2}{10g}$
दिया गया है $v = 4 \ m/s$ और $g = 10 \ m/s^2$,तो $h = \frac{7 \times 4^2}{10 \times 10} = \frac{7 \times 16}{100} = 1.12 \ m$।
समतल के अनुदिश दूरी $\ell$ का मान $\ell = \frac{h}{\sin 30^{\circ}} = \frac{1.12}{0.5} = 2.24 \ m = 224 \ cm$ है।

(C) कथन $(I)$ का विश्लेषण: गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2}mv^2$ है। $K-x$ वक्र का ढाल $\frac{dK}{dx} = \frac{d}{dx}(\frac{1}{2}mv^2) = mv \frac{dv}{dx} = m \cdot a$ है। चूंकि $m$ स्थिर है,ढाल त्वरण $a$ के सीधे आनुपातिक है। अतः,कथन $(I)$ सत्य है।
कथन $(II)$ का विश्लेषण: प्रारंभिक वेग $u = 30 \ m/s$,ऊँचाई $h = 15 \ m$,$g = 10 \ m/s^2$ है। जमीन से टकराने से ठीक पहले का वेग $v^2 = u^2 + 2gh = 30^2 + 2(10)(15) = 900 + 300 = 1200 \ (m/s)^2$ है। टक्कर से पहले गतिज ऊर्जा $E_i = \frac{1}{2}m(1200)$ है। टक्कर के बाद,यह $15 \ m$ तक ऊपर जाती है,इसलिए टक्कर के बाद का वेग $v' = \sqrt{2gh} = \sqrt{2(10)(15)} = \sqrt{300} \ m/s$ है। टक्कर के बाद गतिज ऊर्जा $E_f = \frac{1}{2}m(300)$ है। ऊर्जा में हानि $\Delta E = E_i - E_f = \frac{1}{2}m(1200 - 300) = \frac{1}{2}m(900)$ है। प्रतिशत हानि $= (\frac{\Delta E}{E_i}) \times 100 = (\frac{900}{1200}) \times 100 = 75 \%$ है। अतः,कथन $(II)$ असत्य है।
कथन $(III)$ का विश्लेषण: $v^2 = u^2 + 2as$ से,जहाँ $u=0$ और $a = F/m$ है,हमें $v^2 = 2(F/m)s$ प्राप्त होता है। अतः $v = \sqrt{2Fs/m}$ है। वेग $\sqrt{m}$ के व्युत्क्रमानुपाती है,$m$ के सीधे आनुपातिक नहीं है। अतः,कथन $(III)$ असत्य है।

(A) सबसे पहले, नाव का त्वरण ज्ञात करें: $a = \frac{v-u}{t} = \frac{20-0}{5} = 4 \,m/s^2$.
इसके बाद, नाव द्वारा तय की गई दूरी ज्ञात करें: $S = ut + \frac{1}{2}at^2 = 0 + \frac{1}{2} \times 4 \times 5^2 = 50 \,m$.
औसत शक्ति का सूत्र $P_{av} = \frac{W}{t} = \frac{F_{boat} \times S}{t}$ है।
मान रखने पर: $45000 = \frac{F_{boat} \times 50}{5} = F_{boat} \times 10$.
अतः, नाव के इंजन द्वारा लगाया गया बल $F_{boat} = 4500 \,N$ है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार, कुल बल $F_{net} = F_{boat} - F_{drag} = ma$ होता है।
मान रखने पर: $4500 - F_{drag} = 1000 \times 4 = 4000 \,N$.
इसलिए, ड्रैग बल $F_{drag} = 4500 - 4000 = 500 \,N$ है।

(B) शक्ति $P$ कार्य करने की दर है,जिसे $P = F \cdot v$ द्वारा परिभाषित किया जाता है।
चूंकि $F = m \cdot a = m \frac{dv}{dt}$,इसलिए $P = m \frac{dv}{dt} \cdot v$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $P \cdot dt = m \cdot v \cdot dv$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int_{0}^{t} P \cdot dt = \int_{0}^{v} m \cdot v \cdot dv$।
चूंकि $P$ और $m$ स्थिर हैं,इसलिए $P \cdot t = m \cdot \frac{v^2}{2}$ प्राप्त होता है।
$v$ के लिए हल करने पर,$v^2 = \frac{2Pt}{m}$,जिसका अर्थ है कि $v = \sqrt{\frac{2P}{m}} \cdot t^{\frac{1}{2}}$।
अतः,$v \propto t^{\frac{1}{2}}$।

(B) दिया गया द्रव्यमान $m = 250 \ g = 0.25 \ kg$,डोरी की लंबाई $l = 50 \ cm = 0.5 \ m$,और अधिकतम तनाव $T_{\max} = 72 \ N$ है।
क्षैतिज वृत्ताकार गति के लिए,डोरी में तनाव आवश्यक अभिकेंद्री बल प्रदान करता है।
$T = m \omega^2 R$.
यहाँ,वृत्ताकार पथ की त्रिज्या $R$ डोरी की लंबाई $l$ के बराबर है (यह मानते हुए कि डोरी क्षैतिज रहती है)।
$T_{\max} = m \omega_{\max}^2 l$.
मान रखने पर:
$72 = 0.25 \times \omega_{\max}^2 \times 0.5$.
$72 = 0.125 \times \omega_{\max}^2$.
$\omega_{\max}^2 = \frac{72}{0.125} = 576$.
$\omega_{\max} = \sqrt{576} = 24 \ rad/s$.

(D) फोटॉन की ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda}$ द्वारा दी जाती है।
$p-n$ जंक्शन के लिए सिग्नल का पता लगाने हेतु,आपतित फोटॉन की ऊर्जा बैंड गैप ऊर्जा $(E_g = 2.8 \ eV)$ से अधिक या उसके बराबर होनी चाहिए।
यदि $E < E_g$ है,तो फोटॉन वैलेंस बैंड से कंडक्शन बैंड में इलेक्ट्रॉन को उत्तेजित नहीं कर सकता है,और इसलिए इसका पता नहीं लगाया जा सकता है।
$h = 6 \times 10^{-34} \ J \cdot s$ और $c = 3 \times 10^8 \ m/s$ का उपयोग करने पर,हमें $hc = 18 \times 10^{-26} \ J \cdot m$ प्राप्त होता है।
$E_g$ को जूल में बदलने पर: $2.8 \ eV = 2.8 \times 1.6 \times 10^{-19} \ J = 4.48 \times 10^{-19} \ J$.
थ्रेशोल्ड तरंगदैर्ध्य $\lambda_0 = \frac{hc}{E_g} = \frac{18 \times 10^{-26}}{4.48 \times 10^{-19}} \approx 4.017 \times 10^{-7} \ m = 401.7 \ \text{nm}$.
कोई भी तरंगदैर्ध्य $\lambda > \lambda_0$ के लिए ऊर्जा $E < E_g$ होगी और इसका पता नहीं लगाया जा सकेगा।
दिए गए विकल्पों में से,$600 \ nm$ ही एकमात्र तरंगदैर्ध्य है जो $401.7 \ nm$ से अधिक है।

(C) अर्धचालक में इलेक्ट्रॉन-होल युग्म बनाने के लिए आवश्यक फोटॉन की ऊर्जा कम से कम बैंड गैप ऊर्जा $(E_g)$ के बराबर होनी चाहिए।
$E_g = 0.6 eV$
हम जानते हैं कि फोटॉन की ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda}$ द्वारा दी जाती है।
अधिकतम तरंगदैर्ध्य $(\lambda_{max})$ ज्ञात करने के लिए,हम फोटॉन की ऊर्जा को बैंड गैप ऊर्जा के बराबर रखते हैं:
$E_g = \frac{hc}{\lambda_{max}}$
$\lambda_{max} = \frac{hc}{E_g}$
दिया गया है कि $hc = 1242 eV-nm$ और $E_g = 0.6 eV$:
$\lambda_{max} = \frac{1242}{0.6} nm = 2070 nm$
यदि तरंगदैर्ध्य $2070 nm$ से अधिक है,तो फोटॉन की ऊर्जा $0.6 eV$ से कम होगी,जो इलेक्ट्रॉन को वैलेंस बैंड से कंडक्शन बैंड में उत्तेजित करने के लिए अपर्याप्त है। इसलिए,$2070 nm$ अधिकतम तरंगदैर्ध्य है।

(C) $n-p-n$ ट्रांजिस्टर में,उत्सर्जक (Emitter) को भारी रूप से डोप किया जाता है ताकि बड़ी संख्या में आवेश वाहक (charge carriers) प्रदान किए जा सकें। आधार (Base) बहुत पतला और हल्के रूप से डोप किया होता है ताकि उत्सर्जक से आने वाले अधिकांश आवेश वाहक संग्राहक (Collector) तक पहुँच सकें। संग्राहक मध्यम रूप से डोप किया होता है और संचालन के दौरान उत्पन्न गर्मी को नष्ट करने के लिए आकार में सबसे बड़ा होता है। इसलिए,यह कथन कि संग्राहक हल्के रूप से डोप किया गया है,गलत है।

(D) $\text{AND}$ गेट का आउटपुट $Y = A \cdot B$ के रूप में लिखा जाता है।
$\text{NAND}$ गेट एक $\text{AND}$ गेट और उसके बाद एक $\text{NOT}$ गेट का संयोजन है। इसलिए,$\text{NAND}$ गेट का आउटपुट $Y = \overline{A \cdot B}$ होता है।
डी मॉर्गन के प्रमेय के अनुसार,$Y = \overline{A} + \overline{B}$ होता है।
$\text{NAND}$ गेट के लिए सत्यता सारणी (Truth Table) नीचे दी गई है:

$A$	$B$	$Y$
$0$	$0$	$1$
$0$	$1$	$1$
$1$	$0$	$1$
$1$	$1$	$0$

दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,जब $A=1$ और $B=1$ होता है,तो आउटपुट $Y=0$ प्राप्त होता है।

(A) मान लीजिए कि इनपुट $A$ और $B$ हैं। इस परिपथ में एक $AND$ गेट और एक $OR$ गेट है,जिनके आउटपुट को एक अंतिम $OR$ गेट में भेजा जाता है।
मान लीजिए $AND$ गेट का आउटपुट $Y_1 = A \cdot B$ है।
मान लीजिए पहले $OR$ गेट का आउटपुट $Y_2 = A + B$ है।
अंतिम आउटपुट $X$,$Y_1$ और $Y_2$ का $OR$ ऑपरेशन है:
$X = Y_1 + Y_2 = (A \cdot B) + (A + B)$.
बूलियन सर्वसमिका $(A \cdot B) + A + B = A + B$ का उपयोग करने पर,हमें $X = A + B$ प्राप्त होता है।
सत्यता सारणी (Truth Table):

$A, B$	$Y_1 = A \cdot B$	$Y_2 = A + B$	$X = Y_1 + Y_2$
$0, 0$	$0$	$0$	$0$
$0, 1$	$0$	$1$	$1$
$1, 0$	$0$	$1$	$1$
$1, 1$	$1$	$1$	$1$

चूंकि आउटपुट $X$,$OR$ गेट की सत्यता सारणी का पालन करता है,इसलिए यह परिपथ $OR$ गेट की तरह व्यवहार करता है।

(D) दिए गए परिपथ में दो बफर (या बफर के रूप में कार्य करने के लिए श्रेणीक्रम में जुड़े दो $NOT$ गेट) और उसके बाद एक $NAND$ गेट है।
$1$. इनपुट $A$ एक बफर से होकर गुजरता है,इसलिए आउटपुट $A$ प्राप्त होता है।
$2$. इनपुट $B$ एक बफर से होकर गुजरता है,इसलिए आउटपुट $B$ प्राप्त होता है।
$3$. इन दोनों आउटपुट $A$ और $B$ को एक $NAND$ गेट में दिया जाता है।
$4$. $A$ और $B$ इनपुट वाले $NAND$ गेट का आउटपुट $Y = \overline{A \cdot B}$ होता है।
$5$. यह $NAND$ गेट की परिभाषा है।
अतः,यह परिपथ एक $NAND$ गेट के समतुल्य है।

(D) दिए गए सर्किट में दो $NAND$ गेट हैं जो $NOT$ गेट के रूप में कार्य कर रहे हैं (क्योंकि उनके इनपुट शॉर्ट किए गए हैं) और उसके बाद एक $NAND$ गेट है।
मान लीजिए इनपुट $A$ और $B$ हैं।
पहले दो $NAND$ गेट इनपुट को इनवर्ट करके $\bar{A}$ और $\bar{B}$ उत्पन्न करते हैं।
अंतिम $NAND$ गेट इन्हें इनपुट के रूप में लेता है,इसलिए आउटपुट $Y = \overline{\bar{A} \cdot \bar{B}}$ द्वारा दिया जाता है।
डी मॉर्गन के प्रमेय का उपयोग करते हुए,$\overline{\bar{A} \cdot \bar{B}} = \overline{\bar{A}} + \overline{\bar{B}} = A + B$।
यह एक $OR$ गेट के लिए बूलियन व्यंजक है।
इसलिए,यह सर्किट एक $OR$ गेट की तरह व्यवहार करता है।

(A) $p-$ प्रकार के अर्धचालक में,एक आंतरिक अर्धचालक में त्रिसंयोजी अशुद्धियाँ (जैसे बोरॉन,एल्युमिनियम,आदि) मिलाई जाती हैं।
ये त्रिसंयोजी परमाणु वैलेंस बैंड में होलों की अधिकता पैदा करते हैं।
इसलिए,होल बहुसंख्यक आवेश वाहक के रूप में कार्य करते हैं,जबकि इलेक्ट्रॉन अल्पसंख्यक आवेश वाहक के रूप में कार्य करते हैं।

(A) पदार्थों की प्रतिरोधकता को इस प्रकार वर्गीकृत किया गया है:
$1$. चालक (धातु): $10^{-8} \Omega \cdot m$ से $10^{-6} \Omega \cdot m$ तक।
$2$. अर्धचालक: $10^{-5} \Omega \cdot m$ से $10^6 \Omega \cdot m$ तक।
$3$. कुचालक: $10^6 \Omega \cdot m$ से $10^{18} \Omega \cdot m$ तक।
दी गई पदार्थ की प्रतिरोधकता $10^8 \Omega \cdot m$ है,जो कुचालकों की श्रेणी में आती है।
अतः,यह पदार्थ एक कुचालक है।

(C) दिया गया है कि दाता परमाणुओं (आर्सेनिक) की सांद्रता $N_D = 4.5 \times 10^{21} \ m^{-3}$ है।
चूंकि आर्सेनिक एक पंच-संयोजी अशुद्धि है,इलेक्ट्रॉनों की संख्या $n_e \approx N_D = 4.5 \times 10^{21} \ m^{-3}$ होगी।
आंतरिक वाहक सांद्रता $n_i = 1.5 \times 10^{16} \ m^{-3}$ है।
द्रव्यमान क्रिया के नियम (law of mass action) का उपयोग करते हुए,$n_e \cdot n_h = n_i^2$,होल्स की संख्या $n_h$ इस प्रकार है:
$n_h = \frac{n_i^2}{n_e} = \frac{(1.5 \times 10^{16})^2}{4.5 \times 10^{21}} = \frac{2.25 \times 10^{32}}{4.5 \times 10^{21}} = 0.5 \times 10^{11} = 5 \times 10^{10} \ m^{-3}$.
इलेक्ट्रॉनों की संख्या और होल्स की संख्या का अनुपात है:
$\frac{n_e}{n_h} = \frac{4.5 \times 10^{21}}{5 \times 10^{10}} = 0.9 \times 10^{11} = 9 \times 10^{10}$.

(D) एक $RC$ परिपथ में,समय $t$ पर संधारित्र पर आवेश $q(t) = q_0(1 - e^{-t/RC})$ द्वारा दिया जाता है।
चूँकि चरघातांकी फलन (exponential function) की घात विमाहीन होनी चाहिए,इसलिए पद $t/RC$ विमाहीन होना चाहिए।
अतः,$RC$ की विमाएँ समय $t$ की विमाओं के बराबर होनी चाहिए।
इस प्रकार,$RC$ परिपथ का समय नियतांक $\tau = RC$ है,जिसकी विमा समय के समान होती है।

(B) गतिशीलता $\mu$ को अनुगमन वेग $v_d$ और आरोपित विद्युत क्षेत्र $E$ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है, जो सूत्र $\mu = \frac{e \tau}{m}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ, $e$ आवेश है (मात्रक: $A \cdot s$), $\tau$ विश्रांति काल है (मात्रक: $s$), और $m$ द्रव्यमान है (मात्रक: $kg$)।
इन मात्रकों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: $\mu$ का मात्रक = $\frac{(A \cdot s) \cdot s}{kg} = \frac{A \cdot s^2}{kg}$।
इसे $kg^{-1} \,s^2 \,A$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(B) नाभिकीय भौतिकी में,$\beta$-क्षय एक प्रकार का रेडियोधर्मी क्षय है जिसमें परमाणु के नाभिक से एक बीटा कण (तेज ऊर्जावान इलेक्ट्रॉन या पॉज़िट्रॉन) उत्सर्जित होता है,जो मूल न्यूक्लाइड को उस न्यूक्लाइड के आइसोबार में बदल देता है।
बीटा क्षय दुर्बल नाभिकीय बल (weak nuclear force) द्वारा संचालित एक मौलिक प्रक्रिया है,जो न्यूक्लियॉन के भीतर क्वार्क्स के रूपांतरण (जैसे,एक डाउन क्वार्क का अप क्वार्क में बदलना) की अनुमति देता है।

(C) जब प्रकाश तरंग $\mu$ अपवर्तनांक वाले माध्यम में प्रवेश करती है,तो उसकी तरंगदैर्ध्य $\lambda^{\prime} = \frac{\lambda}{\mu}$ हो जाती है।
$\text{YDSE}$ में फ्रिंज चौड़ाई का सूत्र $\beta = \frac{\lambda^{\prime} D}{d}$ है।
दिया गया है: $\lambda = 550 \times 10^{-9} \ m$,$D = 0.6 \ m$,$d = 0.2 \times 10^{-3} \ m$,और $\mu = \frac{11}{9}$.
मान रखने पर:
$\beta = \frac{(\lambda / \mu) D}{d} = \frac{\lambda D}{\mu d} = \frac{550 \times 10^{-9} \times 0.6}{(11/9) \times 0.2 \times 10^{-3}}$.
$\beta = \frac{550 \times 10^{-9} \times 0.6 \times 9}{11 \times 0.2 \times 10^{-3}} = \frac{330 \times 10^{-9} \times 9}{2.2 \times 10^{-3}} = \frac{2970 \times 10^{-9}}{2.2 \times 10^{-3}} = 1350 \times 10^{-6} \ m = 1.35 \ mm$.

(A) कोणीय फ्रिंज चौड़ाई $\beta_{\theta}$ का सूत्र $\beta_{\theta} = \frac{\lambda}{d}$ है,जहाँ $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है और $d$ स्लिट के बीच की दूरी है।
चूँकि $\beta_{\theta} \propto \lambda$,जब प्रणाली को पानी में डुबोया जाता है,तो तरंगदैर्ध्य बदलकर $\lambda' = \frac{\lambda}{\mu}$ हो जाती है।
इसलिए,नई कोणीय चौड़ाई $\beta_{\theta}' = \frac{\beta_{\theta}}{\mu}$ होगी।
दिया गया है कि $\beta_{\theta} = 0.2^{\circ}$ और $\mu = \frac{4}{3}$,अतः नई कोणीय चौड़ाई $\beta_{\theta}' = 0.2^{\circ} \times \frac{3}{4} = 0.15^{\circ}$ है।
कोणीय चौड़ाई में परिवर्तन $\Delta \beta_{\theta} = \beta_{\theta} - \beta_{\theta}' = 0.2^{\circ} - 0.15^{\circ} = 0.05^{\circ}$ होगा।

(B) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में $m$ वें क्रम के उच्चिष्ठ (maximum) की स्थिति $y = \frac{m \lambda D}{d}$ द्वारा दी जाती है।
लाल प्रकाश के $m$ वें क्रम और नीले प्रकाश के $(m+1)$ वें क्रम के संपाती होने के लिए,उनकी स्थितियाँ समान होनी चाहिए:
$y_{\text{red}} = y_{\text{blue}}$
$\frac{m \lambda_1 D}{d} = \frac{(m+1) \lambda_2 D}{d}$
$m \lambda_1 = (m+1) \lambda_2$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$m(780 \ nm) = (m+1)(520 \ nm)$
$780m = 520m + 520$
$780m - 520m = 520$
$260m = 520$
$m = \frac{520}{260} = 2$
अतः,लाल प्रकाश का $2$ रा क्रम नीले प्रकाश के $3$ रे क्रम के साथ संपाती होता है।

(A) डबल-स्लिट प्रयोग में फ्रिंज की कोणीय चौड़ाई $\theta = \frac{\lambda}{d}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\lambda$ प्रकाश की तरंग दैर्ध्य है और $d$ स्लिट के बीच की दूरी है।
चूंकि $d$ स्थिर रहता है,कोणीय चौड़ाई तरंग दैर्ध्य के सीधे आनुपातिक होती है: $\theta \propto \lambda$.
जब उपकरण को $\mu$ अपवर्तनांक वाले माध्यम में डुबोया जाता है,तो प्रकाश की तरंग दैर्ध्य बदलकर $\lambda' = \frac{\lambda}{\mu}$ हो जाती है।
इसलिए,नई कोणीय चौड़ाई $\theta'$ का मान $\theta' = \frac{\theta}{\mu}$ होगा।
दिया गया है $\theta = 0.15^{\circ}$ और $\mu = \frac{5}{3}$,अतः:
$\theta' = \frac{0.15^{\circ}}{5/3} = 0.15^{\circ} \times \frac{3}{5} = 0.03^{\circ} \times 3 = 0.09^{\circ}$.

(A) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में $n^{\text{वें}}$ क्रम के उच्चिष्ठ की स्थिति का सूत्र है: $Y_n = \frac{n \lambda D}{d}$.
चूंकि दोनों प्रकाश स्रोतों के लिए स्थिति $Y_n$ समान रहती है,इसलिए हम समीकरणों की तुलना कर सकते हैं:
$Y_n = \frac{n_1 \lambda_1 D}{d} = \frac{n_2 \lambda_2 D}{d}$.
यह सरल होकर प्राप्त होता है: $n_1 \lambda_1 = n_2 \lambda_2$.
यहाँ $n_1 = 12$,$\lambda_1 = 6000 \ Å$,और $\lambda_2 = 4800 \ Å$ दिया गया है,मान रखने पर:
$12 \times 6000 = n_2 \times 4800$.
$n_2 = \frac{12 \times 6000}{4800} = \frac{72000}{4800} = 15$.
अतः,उसी बिंदु पर $15^{\text{वां}}$ क्रम का उच्चिष्ठ दिखाई देगा।

(C) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में फ्रिंज चौड़ाई $\beta$ का सूत्र $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ है,जहाँ $\lambda$ तरंगदैर्ध्य है,$D$ स्लिट और पर्दे के बीच की दूरी है,और $d$ दो स्लिटों के बीच की दूरी है।
सूत्र से,हम देख सकते हैं कि $\beta \propto \frac{\lambda}{d}$ है।
मान लीजिए प्रारंभिक फ्रिंज चौड़ाई $\beta_1 = \frac{\lambda_1 D}{d_1}$ है।
प्रश्न के अनुसार,नई तरंगदैर्ध्य $\lambda_2 = 4\lambda_1$ और नई स्लिट दूरी $d_2 = \frac{d_1}{2}$ है।
नई फ्रिंज चौड़ाई $\beta_2 = \frac{\lambda_2 D}{d_2} = \frac{(4\lambda_1) D}{(d_1/2)} = 8 \times \frac{\lambda_1 D}{d_1} = 8\beta_1$ होगी।
अतः,दो उच्चिष्ठों के बीच की दूरी मूल मान का $8$ गुना हो जाएगी।