NEET 2019 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(C) સરેરાશ ઝડપ એટલે કુલ કાપેલું અંતર અને કુલ સમયનો ગુણોત્તર.
ધારો કે $X$ અને $Y$ વચ્ચેનું અંતર $d$ છે.
$X$ થી $Y$ સુધી જવા માટે લાગતો સમય $t_1 = \frac{d}{v_1}$ છે.
$Y$ થી $X$ સુધી પાછા આવવા માટે લાગતો સમય $t_2 = \frac{d}{v_2}$ છે.
કુલ અંતર $= d + d = 2d$.
કુલ સમય $= t_1 + t_2 = \frac{d}{v_1} + \frac{d}{v_2}$.
સરેરાશ ઝડપ $\bar v = \frac{\text{કુલ અંતર}}{\text{કુલ સમય}} = \frac{2d}{\frac{d}{v_1} + \frac{d}{v_2}}$.
અંશ અને છેદમાંથી $d$ ને દૂર કરતા,આપણને $\bar v = \frac{2}{\frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2}}$ મળે છે.
આને ફરીથી ગોઠવતા $\frac{2}{\bar v} = \frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2}$ મળે છે.

(C) અચળ દબાણે અવસ્થા બદલાતી વખતે થતું કાર્ય $W = P \Delta V$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $P = 10^5\,Pa$ (વાતાવરણીય દબાણ),$V_{liquid} = 1\,cm^3 = 10^{-6}\,m^3$,અને $V_{vapour} = 1671\,cm^3 = 1671 \times 10^{-6}\,m^3$.
$W = 10^5 \times (1671 - 1) \times 10^{-6} = 167\,J$.
આપેલ ઉષ્મા $Q = mL = 1\,g \times 2256\,J/g = 2256\,J$.
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$Q = \Delta U + W$,તેથી $\Delta U = Q - W$.
$\Delta U = 2256\,J - 167\,J = 2089\,J$.

(B) એડિયાબેટિક (નિરુદ્ધોષ્મ) પ્રક્રિયામાં,તંત્ર તેના પર્યાવરણથી ઉષ્મીય રીતે અલગ (insulated) હોય છે.
તેથી,તંત્ર અને પર્યાવરણ વચ્ચે ઉષ્માની કોઈ આપ-લે થતી નથી.
આનો અર્થ એ છે કે તંત્ર દ્વારા શોષાયેલી કે મુક્ત થયેલી ઉષ્મા શૂન્ય હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,આને $\Delta Q = 0$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.

(B) વાયુના ગતિવાદ મુજબ,વાયુના અણુઓની સરેરાશ ગતિઊર્જા $(KE)$ એ વાયુના નિરપેક્ષ તાપમાન $(T)$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
આ સંબંધ આ મુજબ છે: $KE = \frac{3}{2} k_B T$,જ્યાં $k_B$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે.
તેથી,જેમ વાયુનું તાપમાન વધે છે,તેમ વાયુના અણુઓની સરેરાશ ગતિઊર્જા પણ વધે છે.

(C) બ્લોક સ્થિર રહે તે માટે,ઉપરની તરફ લાગતું ઘર્ષણ બળ નીચેની તરફ લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણ બળને સંતુલિત કરવું જોઈએ.
$f_s = mg$
દિવાલ દ્વારા પૂરા પાડવામાં આવતા લંબબળ $N$ એ બ્લોકની વર્તુળાકાર ગતિ માટે કેન્દ્રગામી બળ તરીકે કાર્ય કરે છે:
$N = mr\omega^2$
મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ નીચે મુજબ મળે છે:
$f_{L} = \mu N = \mu mr\omega^2$
બ્લોકને સંતુલનમાં રાખવા માટે,ઘર્ષણ બળ વજન જેટલું અથવા તેનાથી વધુ હોવું જોઈએ:
$f_{L} \geq mg$
$\mu mr\omega^2 \geq mg$
$\omega$ માટે ઉકેલતા:
$\omega^2 \geq \frac{g}{\mu r}$
$\omega \geq \sqrt{\frac{g}{\mu r}}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા ($g = 10\; m/s^2$,$\mu = 0.1$,$r = 1\; m$):
$\omega_{\min} = \sqrt{\frac{10}{0.1 \times 1}} = \sqrt{\frac{10}{0.1}} = \sqrt{100} = 10\; rad/s$

(B) એક-પરિમાણીય સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ માટે જ્યાં પદાર્થ $B$ શરૂઆતમાં સ્થિર છે,પદાર્થ $A$ નો અંતિમ વેગ $v_1$ નીચે મુજબ મળે છે:
$v_1 = \left( \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} \right) u$
$m_1 = 4m$ અને $m_2 = 2m$ મૂકતા:
$v_1 = \left( \frac{4m - 2m}{4m + 2m} \right) u = \left( \frac{2m}{6m} \right) u = \frac{u}{3}$
પદાર્થ $A$ ની પ્રારંભિક ગતિ ઉર્જા $K_i = \frac{1}{2}(4m)u^2 = 2mu^2$ છે.
પદાર્થ $A$ ની અંતિમ ગતિ ઉર્જા $K_f = \frac{1}{2}(4m)v_1^2 = \frac{1}{2}(4m)\left(\frac{u}{3}\right)^2 = \frac{2mu^2}{9}$ છે.
પદાર્થ $A$ દ્વારા ગુમાવેલ ઉર્જા $\Delta K = K_i - K_f = 2mu^2 - \frac{2mu^2}{9} = \frac{16mu^2}{9}$ છે.
ગુમાવેલ ઉર્જાનો અંશ $\frac{\Delta K}{K_i} = \frac{16mu^2 / 9}{2mu^2} = \frac{16}{18} = \frac{8}{9}$ થાય.

(A) ધારો કે સ્થિર પાણીમાં તરવૈયાની ઝડપ $v = 20 \; m/s$ છે અને નદીની ઝડપ $u = 10 \; m/s$ છે.
નદીને ટૂંકા રસ્તે (નદીના પ્રવાહને લંબ) ઓળંગવા માટે,તરવૈયાએ ઉત્તર દિશા (કિનારાને લંબ) સાથે $\theta$ ખૂણે તરવું જોઈએ જેથી તેના વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક નદીના વેગને નાબૂદ કરે.
વેગ સદિશ ત્રિકોણની ભૂમિતિ પરથી,આપણી પાસે છે:
$\sin \theta = \frac{u}{v}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\sin \theta = \frac{10}{20} = \frac{1}{2}$
તેથી,$\theta = \arcsin(1/2) = 30^{\circ}$.
આમ,તરવૈયાએ ઉત્તરથી પશ્ચિમ તરફ $30^{\circ}$ ના ખૂણે તરવું જોઈએ.

(C) $R$ ત્રિજ્યાના શિરોલંબ વર્તુળમાં ગતિ કરતા $m$ દળ માટે,સૌથી નીચા બિંદુથી કોઈપણ કોણીય સ્થાન $\theta$ પર તારમાં તણાવ $T$ નીચે મુજબના સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$T - mg \cos \theta = \frac{mv^2}{R}$
$T = mg \cos \theta + \frac{mv^2}{R}$
સૌથી નીચા બિંદુ પર,$\theta = 0^{\circ}$,તેથી $\cos 0^{\circ} = 1$ થાય. ઉપરાંત,ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ સૌથી નીચા બિંદુ પર વેગ $v$ મહત્તમ હોય છે.
કારણ કે $\cos \theta$ અને $v$ બંને સૌથી નીચા બિંદુ પર તેમના મહત્તમ મૂલ્યો ધરાવે છે,તેથી આ સ્થાને તણાવ $T$ મહત્તમ હોય છે.
તેથી,જ્યારે દળ સૌથી નીચા બિંદુ પર હોય ત્યારે તાર તૂટવાની શક્યતા સૌથી વધુ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $y = A_{0} + A \sin \omega t + B \cos \omega t$ છે.
કંપવિસ્તાર શોધવા માટે,આપણે સમય-આધારિત ભાગને $R \sin(\omega t + \phi)$ સ્વરૂપમાં દર્શાવીએ છીએ.
ધારો કે $A = R \cos \phi$ અને $B = R \sin \phi$.
તેથી $A^{2} + B^{2} = R^{2} (\cos^{2} \phi + \sin^{2} \phi) = R^{2}$.
આમ,$R = \sqrt{A^{2} + B^{2}}$.
સમીકરણ $y = A_{0} + \sqrt{A^{2} + B^{2}} \sin(\omega t + \phi)$ બને છે.
અહીં,$A_{0}$ એ સરેરાશ સ્થાનમાં ફેરફાર દર્શાવે છે,અને ત્રિકોણમિતીય પદનો સહગુણક,$\sqrt{A^{2} + B^{2}}$,એ દોલનનો કંપવિસ્તાર દર્શાવે છે.

(D) એક સંપૂર્ણ કંપન દરમિયાન,કણ એક સ્થાનથી શરૂ કરીને અંતિમ બિંદુ સુધી જાય છે,પાછો શરૂઆતના સ્થાન પર આવે છે,બીજા અંતિમ બિંદુ સુધી જાય છે અને અંતે પાછો શરૂઆતના સ્થાન પર આવે છે.
તેથી,એક સંપૂર્ણ દોલનમાં કણનું કુલ સ્થાનાંતર $0$ થાય છે.
સરેરાશ વેગ એ કુલ સ્થાનાંતર અને કુલ સમયનો ગુણોત્તર હોવાથી,આપણને મળે છે:
$\text{સરેરાશ વેગ} = \frac{\text{કુલ સ્થાનાંતર}}{\text{કુલ સમય}} = \frac{0}{T} = 0$.

(C) સાબુના પરપોટાની અંદરનું દબાણ $P = P_{0} + \frac{4T}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $P_{0}$ વાતાવરણીય દબાણ છે,$T$ પૃષ્ઠતાણ છે અને $R$ પરપોટાની ત્રિજ્યા છે.
પાણીની મુક્ત સપાટીની નીચે $Z_{0}$ ઊંડાઈએ દબાણ $P = P_{0} + \rho g Z_{0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને દબાણને સરખાવતા: $P_{0} + \rho g Z_{0} = P_{0} + \frac{4T}{R}$.
સાદું રૂપ આપતા,આપણને મળે છે $\rho g Z_{0} = \frac{4T}{R}$.
$Z_{0}$ માટે ઉકેલતા: $Z_{0} = \frac{4T}{\rho g R}$.
આપેલી કિંમતો મૂકતા: $T = 2.5 \times 10^{-2}\; N/m$,$R = 1\; mm = 10^{-3}\; m$,$\rho = 10^{3}\; kg/m^{3}$,અને $g = 10\; m/s^{2}$.
$Z_{0} = \frac{4 \times 2.5 \times 10^{-2}}{10^{3} \times 10 \times 10^{-3}} = \frac{10^{-1}}{10} = 10^{-2}\; m$.
સેન્ટિમીટરમાં રૂપાંતર કરતા: $Z_{0} = 10^{-2} \times 100\; cm = 1\; cm$.

(D) પ્રશ્ન મુજબ બંને સળિયાની લંબાઈમાં થતો વધારો તાપમાનના વધારાથી સ્વતંત્ર છે,જેનો અર્થ છે કે તાપમાનમાં થતા કોઈપણ ફેરફાર $(\Delta T)$ માટે બંને સળિયાની લંબાઈમાં થતો ફેરફાર $(\Delta \ell)$ સમાન હોવો જોઈએ.
આપેલ છે:
$\ell_{Cu} = 88\; cm$
$\alpha_{Cu} = 1.7 \times 10^{-5}\; K^{-1}$
$\alpha_{Al} = 2.2 \times 10^{-5}\; K^{-1}$
ઉષ્મીય પ્રસરણનું સૂત્ર $\Delta \ell = \ell \alpha \Delta T$ છે.
કારણ કે $(\Delta \ell)_{Cu} = (\Delta \ell)_{Al}$,તેથી:
$\ell_{Cu} \alpha_{Cu} \Delta T = \ell_{Al} \alpha_{Al} \Delta T$
બંને બાજુથી $\Delta T$ દૂર કરતા:
$\ell_{Cu} \alpha_{Cu} = \ell_{Al} \alpha_{Al}$
કિંમતો મૂકતા:
$88 \times 1.7 \times 10^{-5} = \ell_{Al} \times 2.2 \times 10^{-5}$
$\ell_{Al}$ માટે ઉકેલતા:
$\ell_{Al} = \frac{88 \times 1.7}{2.2}$
$\ell_{Al} = 40 \times 1.7 = 68\; cm$.

(D) ઉષ્મા પ્રવાહનો દર નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{dQ}{dt} = -K A \frac{dT}{dx}$.
અહીં,$\frac{dQ}{dt}$ એ ઉષ્મા પ્રવાહનો દર છે જેનો એકમ વોટ ($W$ અથવા $J/s$) છે,$A$ એ ક્ષેત્રફળ છે જેનો એકમ $m^2$ છે,અને $\frac{dT}{dx}$ એ તાપમાન પ્રચલન છે જેનો એકમ $K/m$ છે.
ઉષ્મા વાહકતા $(K)$ માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા:
$K = \frac{(dQ/dt)}{A \cdot (dT/dx)}$
એકમો મૂકતા:
$K = \frac{W}{m^2 \cdot (K/m)} = \frac{W}{m \cdot K} = W m^{-1} K^{-1}$.
તેથી,ઉષ્મા વાહકતાનો એકમ $W m^{-1} K^{-1}$ છે.

(C) ખેંચાયેલા તારમાં સંગ્રહિત સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિઊર્જા $U$ નું સૂત્ર $U = \frac{1}{2} \times \text{બળ} \times \text{લંબાઈમાં વધારો}$ છે.
અહીં,લાગુ પાડવામાં આવેલ બળ એ બ્લોકનું વજન છે,જે $F = Mg$ છે.
તારમાં ઉત્પન્ન થયેલ લંબાઈમાં વધારો $l$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$U = \frac{1}{2} (Mg) (l) = \frac{1}{2} Mgl$.
આમ,તારમાં સંગ્રહિત સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિઊર્જા $\frac{1}{2} Mgl$ છે.

(A) તકતીને રોકવા માટે જરૂરી કાર્ય તેની કુલ ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
ગબડતી તકતીની કુલ ગતિઊર્જા $KE = KE_{translational} + KE_{rotational} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તકતી માટે,જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2}mR^2$ અને શુદ્ધ ગબડતી ગતિ માટે,$\omega = \frac{v}{R}$ થાય.
આ કિંમતો મૂકતા,$KE = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(\frac{1}{2}mR^2)(\frac{v}{R})^2 = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{4}mv^2 = \frac{3}{4}mv^2$.
આપેલ છે: $m = 100\; kg$,$v = 20\; cm/s = 0.2\; m/s$.
$KE = \frac{3}{4} \times 100 \times (0.2)^2 = 75 \times 0.04 = 3\; J$.
વસ્તુને રોકવા માટે કરવું પડતું કાર્ય $W = \Delta KE = 0 - KE_{initial} = -3\; J$ હોવાથી,જરૂરી કાર્યનું મૂલ્ય $3\; J$ છે.

(B) $X$ માટેનું સૂત્ર $X = \frac{A^2 B^{1/2}}{C^{1/3} D^3}$ આપેલ છે.
$X$ માં સાપેક્ષ ભૂલનું સૂત્ર: $\frac{\Delta X}{X} = 2 \frac{\Delta A}{A} + \frac{1}{2} \frac{\Delta B}{B} + \frac{1}{3} \frac{\Delta C}{C} + 3 \frac{\Delta D}{D}$ છે.
મહત્તમ ટકાવારી ભૂલ શોધવા માટે,આપણે $100$ વડે ગુણીશું:
$\frac{\Delta X}{X} \times 100 = 2 \left( \frac{\Delta A}{A} \times 100 \right) + \frac{1}{2} \left( \frac{\Delta B}{B} \times 100 \right) + \frac{1}{3} \left( \frac{\Delta C}{C} \times 100 \right) + 3 \left( \frac{\Delta D}{D} \times 100 \right)$.
આપેલ ટકાવારી ભૂલો $(1\%, 2\%, 3\%, 4\%)$ મૂકતા:
$\frac{\Delta X}{X} \times 100 = 2(1\%) + \frac{1}{2}(2\%) + \frac{1}{3}(3\%) + 3(4\%)$.
કિંમતોની ગણતરી કરતા:
$= 2\% + 1\% + 1\% + 12\% = 16\%$.
આમ,$X$ માં મહત્તમ ટકાવારી ભૂલ $16\%$ છે.

(D) પૃથ્વીની સપાટીથી $d$ ઊંડાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગનું સૂત્ર: $g' = g(1 - d/R)$ છે,જ્યાં $g$ એ સપાટી પરનો ગુરુત્વપ્રવેગ છે અને $R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.
અહીં પદાર્થ કેન્દ્ર સુધીના અડધા અંતરે છે,તેથી ઊંડાઈ $d = R/2$ થાય.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા:
$g' = g(1 - (R/2)/R) = g(1 - 1/2) = g/2$.
વજન $W = mg$ હોવાથી,$d$ ઊંડાઈએ નવું વજન $W' = mg' = m(g/2) = W/2$ થાય.
સપાટી પરનું વજન $W = 200 \; N$ આપેલું હોવાથી,$d = R/2$ ઊંડાઈએ વજન $W' = 200/2 = 100 \; N$ થશે.

(A) આપેલ છે: દળ $m = 2\; kg$,ત્રિજ્યા $R = 4\; cm = 0.04\; m$,પ્રારંભિક કોણીય વેગ $\omega_0 = 3\; rpm = \frac{3 \times 2\pi}{60} = \frac{\pi}{10}\; rad/s$.
કુલ કોણીય સ્થાનાંતર $\theta = 2\pi \text{ પરિભ્રમણ} = 2\pi \times 2\pi = 4\pi^2\; rad$.
અંતિમ કોણીય વેગ $\omega = 0$.
ગતિના સમીકરણ $\omega^2 = \omega_0^2 - 2\alpha\theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$0 = (\frac{\pi}{10})^2 - 2\alpha(4\pi^2)$
$8\alpha\pi^2 = \frac{\pi^2}{100} \Rightarrow \alpha = \frac{1}{800}\; rad/s^2$.
નક્કર નળાકારની જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2}mR^2 = \frac{1}{2} \times 2 \times (0.04)^2 = 0.0016\; kg\cdot m^2$.
જરૂરી ટોર્ક $\tau = I\alpha = 0.0016 \times \frac{1}{800} = 2 \times 10^{-6}\; Nm$.

(D) આકૃતિ પરથી,વર્તુળની ત્રિજ્યા $A = 3 \ m$ છે અને સમયગાળો $T = 4 \ s$ છે.
કોણીય વેગ $\omega = \frac{2 \pi}{T} = \frac{2 \pi}{4} = \frac{\pi}{2} \ rad/s$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$t = 0$ સમયે,કણ $P$ ધન $y$-અક્ષ પર છે,જેનો અર્થ છે કે તેનો સ્થાન સદિશ ધન $x$-અક્ષ સાથે $\phi = \frac{\pi}{2}$ નો ખૂણો બનાવે છે.
કોઈપણ સમયે $t$ પર કણનો $y$-યામ $y(t) = A \sin(\omega t + \phi)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,$y(t) = 3 \sin\left(\frac{\pi t}{2} + \frac{\pi}{2}\right)$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin(\theta + \frac{\pi}{2}) = \cos \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $y(t) = 3 \cos\left(\frac{\pi t}{2}\right)$ મળે છે.

(C) $y$-અક્ષ પર લાગતા ચલ બળ $F$ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય સંકલન દ્વારા મળે છે: $W = \int_{y_1}^{y_2} F \, dy$.
અહીં $F = 20 + 10y$,$y_1 = 0 \; m$ અને $y_2 = 1 \; m$ આપેલ છે,તેથી:
$W = \int_{0}^{1} (20 + 10y) \, dy$.
પદ પ્રમાણે સંકલન કરતા:
$W = [20y + 10 \cdot \frac{y^2}{2}]_{0}^{1}$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા:
$W = [20y + 5y^2]_{0}^{1}$.
સીમાઓ (limits) લાગુ પાડતા:
$W = (20(1) + 5(1)^2) - (20(0) + 5(0)^2)$.
$W = 20 + 5 = 25 \; J$.

(D) નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિ કરતા કણની કોણીય ઝડપ $\omega$ અને તેના આવર્તકાળ $T$ વચ્ચેનો સંબંધ $\omega = \frac{2\pi}{T}$ છે.
અહીં આપેલ છે કે કણો $A$ અને $B$ ના આવર્તકાળ સમાન છે,એટલે કે $T_A = T_B = T$.
તેથી,કણ $A$ ની કોણીય ઝડપ $\omega_A = \frac{2\pi}{T_A} = \frac{2\pi}{T}$ થાય.
તે જ રીતે,કણ $B$ ની કોણીય ઝડપ $\omega_B = \frac{2\pi}{T_B} = \frac{2\pi}{T}$ થાય.
કોણીય ઝડપનો ગુણોત્તર લેતા,આપણને $\frac{\omega_A}{\omega_B} = \frac{2\pi/T}{2\pi/T} = 1$ મળે છે.
આમ,$A$ ની કોણીય ઝડપ અને $B$ ની કોણીય ઝડપનો ગુણોત્તર $1: 1$ છે.

(C) ગતિના ત્રીજા સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા,$v^{2} = u^{2} - 2as$. મહત્તમ ઊંચાઈએ,અંતિમ વેગ $v = 0$ થાય છે.
તેથી,$0 = u^{2} - 2as$,જે આપણને $s = \frac{u^{2}}{2a}$ આપે છે.
લીસા ઢળતા સમતલ પર પદાર્થ માટે,પ્રવેગ $a = g \sin \theta$ છે.
આમ,કાપેલું અંતર $s = \frac{u^{2}}{2g \sin \theta}$ થાય.
અહીં $u$ અને $g$ અચળ હોવાથી,$s \propto \frac{1}{\sin \theta}$ મળે.
તેથી,$\frac{x_{1}}{x_{2}} = \frac{\sin \theta_{2}}{\sin \theta_{1}} = \frac{\sin 30^{\circ}}{\sin 60^{\circ}}$.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{x_{1}}{x_{2}} = \frac{1/2}{\sqrt{3}/2} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
આમ,ગુણોત્તર $x_{1}: x_{2}$ એ $1: \sqrt{3}$ છે.

(A) બહાર નીકળતા પાણીનો વેગ $v$ એ ટોર્સેલીના નિયમ મુજબ $v = \sqrt{2gh}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કદના વહનનો દર $Q$ એ $Q = A \times v = A \sqrt{2gh}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: ક્ષેત્રફળ $A = 2 \; mm^{2} = 2 \times 10^{-6} \; m^{2}$,ઊંચાઈ $h = 2 \; m$,અને $g = 10 \; m/s^{2}$.
કિંમતો મૂકતા:
$Q = (2 \times 10^{-6}) \sqrt{2 \times 10 \times 2}$
$Q = (2 \times 10^{-6}) \sqrt{40}$
$Q = (2 \times 10^{-6}) \times 2\sqrt{10}$
$Q = 4 \sqrt{10} \times 10^{-6} \; m^{3}/s$.
$\sqrt{10} \approx 3.162$ હોવાથી,
$Q \approx 4 \times 3.162 \times 10^{-6} \; m^{3}/s = 12.648 \times 10^{-6} \; m^{3}/s$.
આમ,વહનનો દર આશરે $12.6 \times 10^{-6} \; m^{3}/s$ છે.

(C) સદિશ સરવાળાના ત્રિકોણના નિયમ મુજબ,જો ત્રણ બળોને એક જ ક્રમમાં લેવાયેલા ત્રિકોણની બાજુઓ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે,તો તેમનું પરિણામી બળ શૂન્ય હોય છે.
આપેલ ત્રિકોણ $PQR$ માં,બળો $\overrightarrow{PQ}$,$\overrightarrow{QR}$ અને $\overrightarrow{RP}$ છે.
તેઓ એક જ ક્રમમાં હોવાથી,કુલ બળ $\overrightarrow{F}_{net} = \overrightarrow{PQ} + \overrightarrow{QR} + \overrightarrow{RP} = \overrightarrow{0}$ થાય.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$\overrightarrow{F}_{net} = m\overrightarrow{a}$.
અહીં $\overrightarrow{F}_{net} = \overrightarrow{0}$ હોવાથી,પ્રવેગ $\overrightarrow{a} = \overrightarrow{0}$ થાય.
તેથી,કણનો વેગ $\overrightarrow{V}$ અચળ રહેશે.

(C) પૃથ્વીની સપાટી પર ગુરુત્વીય સ્થિતિઊર્જા $U_i = -\frac{GMm}{R}$ છે.
$h$ ઊંચાઈ પર ગુરુત્વીય સ્થિતિઊર્જા $U_f = -\frac{GMm}{R+h}$ છે.
કરવું પડતું કાર્ય $W$ એ સ્થિતિઊર્જામાં થતો ફેરફાર છે: $W = U_f - U_i = GMm \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{R+h} \right)$.
અહીં $h = R$ આપેલ હોવાથી,આપણે સમીકરણમાં કિંમત મૂકીએ:
$W = GMm \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{R+R} \right) = GMm \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{2R} \right) = GMm \left( \frac{1}{2R} \right) = \frac{GMm}{2R}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $g = \frac{GM}{R^2}$,તેથી $GM = gR^2$.
$GM = gR^2$ ની કિંમત $W$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$W = \frac{(gR^2)m}{2R} = \frac{1}{2}mgR$.

(D) $SHM$ માં,કણ $+A$ અને $-A$ અંતિમ સ્થાનો વચ્ચે દોલન કરે છે.
મધ્યમાન સ્થાન $(x=0)$ થી શરૂ કરીને,કણ $+A$ સુધી જાય છે (અંતર $= A$).
ત્યારબાદ તે $+A$ થી $-A$ સુધી જાય છે (અંતર $= 2A$).
અંતે,તે $-A$ થી પાછા મધ્યમાન સ્થાન $(x=0)$ પર આવે છે (અંતર $= A$).
એક સંપૂર્ણ દોલન (એક આવર્તકાળ) માં કપાયેલું કુલ અંતર $= A + 2A + A = 4A$ થાય છે.

(D) $h$ ઊંચાઈ પરથી પડતા પદાર્થ માટે પડવાનો સમય $t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. તેથી,$t \propto \frac{1}{\sqrt{g}}$.
સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. તેથી,$T \propto \frac{1}{\sqrt{g}}$.
ગુણોત્તર લેતા,આપણને $\frac{t}{T} = \frac{k_1 / \sqrt{g}}{k_2 / \sqrt{g}} = \text{અચળ}$ મળે છે.
જેহেতু $\frac{t}{T}$ નો ગુણોત્તર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે ઉદ્ભવતા પ્રવેગ $g$ થી સ્વતંત્ર છે,તેથી સંબંધ કોઈપણ ગ્રહ પર સમાન રહે છે.
આપેલ છે કે પૃથ્વી પર $t = 2T$ છે,તેથી બીજા ગ્રહ પર $t' = 2T'$ થશે.

(C) એક છેડે બંધ રેઝોનન્સ કોલમ ટ્યુબ માટે,અનુનાદ લંબાઈ $l_1, l_2, l_3, \dots$ એ $l_n = (2n-1) \frac{\lambda}{4}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બે ક્રમિક અનુનાદ લંબાઈઓ વચ્ચેનો તફાવત $\Delta l = l_{n+1} - l_n = \frac{\lambda}{2}$ છે.
અહીં $l_1 = 9.75 \; cm$ અને $l_2 = 31.25 \; cm$ આપેલ છે,તેથી તફાવત $\Delta l = 31.25 \; cm - 9.75 \; cm = 21.50 \; cm = 0.215 \; m$ છે.
આમ,$\frac{\lambda}{2} = 0.215 \; m$,જેનો અર્થ છે કે $\lambda = 0.43 \; m$.
ધ્વનિની ઝડપ $v$ એ $v = f \lambda$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો $f = 800 \; Hz$ અને $\lambda = 0.43 \; m$ મૂકતા,આપણને $v = 800 \times 0.43 = 344 \; m/s$ મળે છે.

(A) રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,વિભાજન પહેલાનું કુલ વેગમાન એ વિભાજન પછીના કુલ વેગમાન જેટલું હોય છે.
ધારો કે કુલ દળ $M = m_1 + m_2$ છે. આપેલ ગુણોત્તર $m_1 : m_2 = 1 : 5$ પરથી,$m_1 = \frac{M}{6}$ અને $m_2 = \frac{5M}{6}$ મળે.
પ્રારંભિક વેગમાન: $P_i = M \vec{v}_0 = M(20 \hat{i} + 25 \hat{j} - 12 \hat{k})$.
અંતિમ વેગમાન: $P_f = m_1 \vec{v}_1 + m_2 \vec{v}_2 = \frac{M}{6}(100 \hat{i} + 35 \hat{j} + 8 \hat{k}) + \frac{5M}{6} \vec{v}_2$.
$P_i = P_f$ ને સરખાવતા:
$M(20 \hat{i} + 25 \hat{j} - 12 \hat{k}) = \frac{M}{6}(100 \hat{i} + 35 \hat{j} + 8 \hat{k}) + \frac{5M}{6} \vec{v}_2$
$M$ વડે ભાગતા અને $6$ વડે ગુણતા:
$6(20 \hat{i} + 25 \hat{j} - 12 \hat{k}) = (100 \hat{i} + 35 \hat{j} + 8 \hat{k}) + 5 \vec{v}_2$
$120 \hat{i} + 150 \hat{j} - 72 \hat{k} = 100 \hat{i} + 35 \hat{j} + 8 \hat{k} + 5 \vec{v}_2$
$5 \vec{v}_2 = (120 - 100) \hat{i} + (150 - 35) \hat{j} + (-72 - 8) \hat{k}$
$5 \vec{v}_2 = 20 \hat{i} + 115 \hat{j} - 80 \hat{k}$
$\vec{v}_2 = 4 \hat{i} + 23 \hat{j} - 16 \hat{k}$.

(D) ન્યુટનના શીતલનનો નિયમ મુજબ: $\frac{T_1 - T_2}{t} = K \left( \frac{T_1 + T_2}{2} - T_s \right)$
પ્રથમ અંતરાલ માટે ($80^{\circ}C$ થી $70^{\circ}C$):
$\frac{80 - 70}{12} = K \left( \frac{80 + 70}{2} - 25 \right)$
$\frac{10}{12} = K (75 - 25) = 50K \implies K = \frac{10}{12 \times 50} = \frac{1}{60} \ldots(1)$
બીજા અંતરાલ માટે ($70^{\circ}C$ થી $60^{\circ}C$):
$\frac{70 - 60}{t} = K \left( \frac{70 + 60}{2} - 25 \right)$
$\frac{10}{t} = K (65 - 25) = 40K \ldots(2)$
સમીકરણ $(2)$ માં $K = \frac{1}{60}$ મૂકતા:
$\frac{10}{t} = 40 \times \frac{1}{60} = \frac{2}{3}$
$t = \frac{10 \times 3}{2} = 15 \text{ મિનિટ}$.

(D) ત્રિજ્યા $r$ અને ઘનતા $\sigma$ ધરાવતા ગોળાકાર દડાનો $\rho$ ઘનતા અને $\eta$ સ્નિગ્ધતા ધરાવતા માધ્યમમાં ટર્મિનલ વેગ $v_{T} = \frac{2 r^{2}(\sigma - \rho) g}{9 \eta}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે બંને દડાના દળ સમાન છે,$m_{1} = m_{2}$.
દળ $m = \text{કદ} \times \text{ઘનતા} = \frac{4}{3} \pi r^{3} \sigma$ હોવાથી,$\frac{4}{3} \pi r_{1}^{3} \rho_{1} = \frac{4}{3} \pi r_{2}^{3} \rho_{2}$ થાય.
અહીં $r_{1} = 1 \; mm$,$r_{2} = 2 \; mm$,અને $\rho_{1} = 8 \rho_{2}$ છે,તેથી દળની શરત સંતોષાય છે: $1^{3} \times 8 \rho_{2} = 8 \rho_{2}$ અને $2^{3} \times \rho_{2} = 8 \rho_{2}$.
ટર્મિનલ વેગનો ગુણોત્તર $\frac{v_{1}}{v_{2}} = \left(\frac{r_{1}}{r_{2}}\right)^{2} \frac{(\rho_{1} - \rho_{medium})}{(\rho_{2} - \rho_{medium})}$ છે.
અહીં,$\rho_{medium} = 0.1 \rho_{2}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{v_{1}}{v_{2}} = \left(\frac{1}{2}\right)^{2} \frac{(8 \rho_{2} - 0.1 \rho_{2})}{(\rho_{2} - 0.1 \rho_{2})} = \frac{1}{4} \times \frac{7.9 \rho_{2}}{0.9 \rho_{2}} = \frac{1}{4} \times \frac{79}{9} = \frac{79}{36}$.

(C) કણ સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થાય છે,તેથી પ્રારંભિક કોણીય વેગ $\omega_{0} = 0$ છે.
$n$ ચક્ર પછી,કુલ કોણીય સ્થાનાંતર $\theta = 2 \pi n$ છે.
અંતિમ રેખીય વેગ $V_{0}$ છે,તેથી અંતિમ કોણીય વેગ $\omega = \frac{V_{0}}{r}$ થાય.
ગતિના સમીકરણ $\omega^{2} = \omega_{0}^{2} + 2 \alpha \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\alpha = \frac{\omega^{2} - \omega_{0}^{2}}{2 \theta} = \frac{(V_{0}/r)^{2} - 0}{2(2 \pi n)} = \frac{V_{0}^{2}/r^{2}}{4 \pi n} = \frac{V_{0}^{2}}{4 \pi n r^{2}} \; rad/s^{2}$.

(D) અચળ પ્રવેગ $a$ હેઠળ $h$ અંતર કાપવા માટે પદાર્થને લાગતો સમય $t = \sqrt{\frac{2h}{a}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે એલિવેટર સ્થિર હોય છે,ત્યારે તેનો પ્રવેગ $0$ હોય છે,તેથી તળિયાની સાપેક્ષમાં સિક્કાનો અસરકારક પ્રવેગ $g$ થાય છે.
જ્યારે એલિવેટર સમાન વેગથી (અચળ વેગ) ગતિ કરતી હોય,ત્યારે પણ તેનો પ્રવેગ $0$ હોય છે. તેથી,તળિયાની સાપેક્ષમાં સિક્કાનો અસરકારક પ્રવેગ $g$ જ રહે છે.
બંને કિસ્સામાં અસરકારક પ્રવેગ સમાન $(a_{real} = g)$ હોવાથી,સિક્કાને તળિયે પહોંચવા માટે લાગતો સમય સમાન હોય છે.
આમ,$t_{1} = t_{2}$.

(B) જ્યારે ટ્રક $a$ પ્રવેગ સાથે જમણી તરફ પ્રવેગિત થાય છે,ત્યારે ટ્રકની ફ્રેમમાં બોબ પર વિરુદ્ધ દિશામાં (એટલે કે ડાબી તરફ) સ્યુડો ફોર્સ $F_{\text{pseudo}} = ma$ લાગે છે.
ધારો કે $\theta$ એ દોરા દ્વારા શિરોલંબ સાથે બનાવેલો ખૂણો છે.
ટ્રકની ફ્રેમમાં બોબની સંતુલન સ્થિતિમાં,બોબ પર લાગતા બળો તણાવ $T$,નીચેની તરફ લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $mg$ અને ડાબી તરફ લાગતું સ્યુડો ફોર્સ $ma$ છે.
બળોના ઘટકો પાડતા,આપણને મળે છે:
$T \sin \theta = ma$
$T \cos \theta = mg$
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા,આપણને મળે છે:
$\tan \theta = \frac{ma}{mg} = \frac{a}{g}$
તેથી,$\theta = \tan^{-1}\left(\frac{a}{g}\right)$.
સ્યુડો ફોર્સ ડાબી તરફ લાગતું હોવાથી,લોલક ડાબી તરફ નમશે.

(B) સતત સ્થિર પ્રવાહીમાં સમાન આડા સ્તરે દબાણ સમાન હોય છે.
ધારો કે $U$-ટ્યુબના તળિયે દબાણ $P$ છે.
ડાબી બાજુએ પાણીના સ્તંભ દ્વારા લાગતું દબાણ $P_{\text{left}} = P_0 + \rho_{\text{water}} g h_{\text{water}}$ છે,જ્યાં $P_0$ એ વાતાવરણીય દબાણ છે.
જમણી બાજુએ તેલના સ્તંભ દ્વારા લાગતું દબાણ $P_{\text{right}} = P_0 + \rho_{\text{oil}} g h_{\text{oil}}$ છે.
તળિયે દબાણ સમાન હોવાથી,આપણી પાસે છે:
$\rho_{\text{water}} g h_{\text{water}} = \rho_{\text{oil}} g h_{\text{oil}}$
$\rho_{\text{oil}} = \frac{\rho_{\text{water}} h_{\text{water}}}{h_{\text{oil}}}$
આપેલ છે કે $\rho_{\text{water}} = 1000 \; kg/m^3$,$h_{\text{water}} = 15 \; cm$,અને $h_{\text{oil}} = 20 \; cm$:
$\rho_{\text{oil}} = \frac{1000 \times 15}{20} = 750 \; kg/m^3$.

(A) $x$ જાડાઈ ધરાવતા બરફના સ્તરમાંથી $dt$ સમયમાં વહન પામતી ઉષ્મા $dQ = \frac{KA(T_2 - T_1)}{x} dt$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$T_2 = 0^{\circ}C$ (પાણી-બરફની સપાટીનું તાપમાન) અને $T_1 = -26^{\circ}C$ (બહારના હવાનું તાપમાન).
તેથી,$dQ = \frac{KA(0 - (-26))}{x} dt = \frac{26KA}{x} dt$.
આ ઉષ્માને કારણે $dx$ જેટલી વધારાની જાડાઈનું પાણી બરફમાં ફેરવાય છે. આ નવા બરફના સ્તરનું દળ $dm = A \cdot dx \cdot \rho$ છે.
આ અવસ્થા પરિવર્તન દરમિયાન મુક્ત થતી ઉષ્મા $dQ = dm \cdot L = A \cdot dx \cdot \rho \cdot L$ છે.
$dQ$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\frac{26KA}{x} dt = A \cdot dx \cdot \rho \cdot L$.
જાડાઈમાં થતા વધારાનો દર $\frac{dx}{dt}$ શોધવા માટે:
$\frac{dx}{dt} = \frac{26K}{\rho x L}$.

(A) એડિયાબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma = 1 + \frac{2}{f}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $f$ એ મુક્તિના અંશો (degrees of freedom) છે.
$1$. હાઇડ્રોજન $(H_2)$ એ ઓરડાના તાપમાને દ્વિ-પરમાણ્વિક વાયુ છે. તેના મુક્તિના અંશો $f = 5$ ($3$ સ્થાનાંતરિત + $2$ ભ્રમણીય) છે. તેથી,$\gamma = 1 + \frac{2}{5} = \frac{7}{5}$.
$2$. હિલિયમ $(He)$ એ એક-પરમાણ્વિક વાયુ છે. તેના મુક્તિના અંશો $f = 3$ ($3$ સ્થાનાંતરિત) છે. તેથી,$\gamma = 1 + \frac{2}{3} = \frac{5}{3}$.
$3$. વાયુ $X$ એ વધારાની કંપનશીલ મોડ ધરાવતો દ્વિ-પરમાણ્વિક વાયુ છે. કંપનશીલ મોડ $2$ મુક્તિના અંશો ઉમેરે છે ($1$ ગતિજ + $1$ સ્થિતિજ). તેથી,$f = 5 + 2 = 7$. આમ,$\gamma = 1 + \frac{2}{7} = \frac{9}{7}$.
તેથી,મૂલ્યો $\frac{7}{5}, \frac{5}{3}$ અને $\frac{9}{7}$ છે.

(A) બે ઇમારતો વચ્ચેનું આડું અંતર $d = 100 \; m$ છે. બુલેટને એકબીજા તરફ $v = 25 \; m/s$ ના આડા વેગથી છોડવામાં આવે છે.
સાપેક્ષ આડો વેગ $v_{rel} = v_1 + v_2 = 25 + 25 = 50 \; m/s$ છે.
બુલેટને અથડાવા માટે લાગતો સમય $t = \frac{d}{v_{rel}} = \frac{100}{50} = 2 \; s$ છે.
આ સમય દરમિયાન,બંને બુલેટ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે નીચે પડે છે. શિરોલંબ સ્થાનાંતર $s_y = -\frac{1}{2} gt^2$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $s_y = -\frac{1}{2} \times 10 \times (2)^2 = -5 \times 4 = -20 \; m$.
જમીનથી અથડામણની ઊંચાઈ $H_{collision} = H_{initial} + s_y = 200 - 20 = 180 \; m$ છે.
આમ,બુલેટ $2 \; s$ પછી $180 \; m$ ની ઊંચાઈએ અથડાશે.

(A) સ્ટ્રેસ-સ્ટ્રેન વક્રમાં,અલ્ટીમેટ સ્ટ્રેન્થ પોઈન્ટ એ પદાર્થ સહન કરી શકે તેવા મહત્તમ પ્રતિબળને દર્શાવે છે. ફ્રેક્ચર પોઈન્ટ એ બિંદુ છે જ્યાં પદાર્થ તૂટી જાય છે.
બરડ પદાર્થ માટે,પદાર્થ સ્થિતિસ્થાપક મર્યાદા અથવા અલ્ટીમેટ સ્ટ્રેન્થ પોઈન્ટ પછી તરત જ તૂટી જાય છે,જેનો અર્થ છે કે ફ્રેક્ચર પોઈન્ટ અલ્ટીમેટ સ્ટ્રેન્થ પોઈન્ટની ખૂબ નજીક હોય છે.
તન્ય પદાર્થ માટે,પદાર્થ અલ્ટીમેટ સ્ટ્રેન્થ પોઈન્ટ પછી નોંધપાત્ર પ્લાસ્ટિક વિરૂપણ અનુભવે છે અને ત્યારબાદ તે તૂટે છે,જેનો અર્થ છે કે ફ્રેક્ચર પોઈન્ટ અલ્ટીમેટ સ્ટ્રેન્થ પોઈન્ટથી ઘણો દૂર હોય છે.
પદાર્થ $X$ માટે આ બિંદુઓ નજીક હોવાથી,તે બરડ છે.
પદાર્થ $Y$ માટે આ બિંદુઓ દૂર હોવાથી,તે તન્ય છે.
તેથી,$X$ અને $Y$ અનુક્રમે બરડ અને તન્ય છે.

(C) પદાર્થ પર લાગતું લંબબળ $N = mg$ છે.
પદાર્થ પર લાગતું ઘર્ષણ બળ $f$ એ સ્થિત ઘર્ષણ બળ છે,જે લગાડવામાં આવેલા સમક્ષિતિજ બળને સંતુલિત કરે છે. પદાર્થ ગતિ કરતો ન હોવાથી,$f \leq \mu N = \mu mg$ થાય.
લંબબળ $N$ અને ઘર્ષણ બળ $f$ નું પરિણામી બળ $F$ એ સદિશ સરવાળો $\overrightarrow{F} = \overrightarrow{N} + \overrightarrow{f}$ દ્વારા મળે છે.
$N$ અને $f$ એકબીજાને લંબ હોવાથી,પરિણામી બળનું મૂલ્ય $|\overrightarrow{F}| = \sqrt{N^{2} + f^{2}}$ થાય.
$N = mg$ અને $f \leq \mu mg$ મૂકતા,આપણને $|\overrightarrow{F}| = \sqrt{(mg)^{2} + f^{2}}$ મળે છે.
$f^{2} \leq (\mu mg)^{2}$ હોવાથી,$|\overrightarrow{F}| \leq \sqrt{(mg)^{2} + (\mu mg)^{2}} = mg \sqrt{1 + \mu^{2}}$ થાય.

(D) ધારો કે $3m$ દળના ત્રીજા ટુકડાનો વેગ $\vec{v}'$ છે. વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,પ્રારંભિક વેગમાન શૂન્ય હોવાથી,અંતિમ વેગમાન પણ શૂન્ય હોવું જોઈએ.
$3m \vec{v}' + m v \hat{i} + m v \hat{j} = 0$
$3m \vec{v}' = -mv \hat{i} - mv \hat{j}$
$\vec{v}' = -\frac{v}{3} \hat{i} - \frac{v}{3} \hat{j}$
ત્રીજા ટુકડાના વેગનું મૂલ્ય $|\vec{v}'| = \sqrt{(-\frac{v}{3})^2 + (-\frac{v}{3})^2} = \sqrt{\frac{2v^2}{9}} = \frac{\sqrt{2}}{3} v$ છે.
મુક્ત થતી ઉર્જા એ ટુકડાઓની કુલ ગતિ ઉર્જા જેટલી હોય છે:
$K = \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{2} (3m) |\vec{v}'|^2$
$K = m v^2 + \frac{3}{2} m (\frac{2v^2}{9}) = m v^2 + \frac{1}{3} m v^2 = \frac{4}{3} m v^2$.

(C) બળ દ્વારા થયેલ કાર્ય એ ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે: $W = \Delta KE = \frac{1}{2} m v^2$. અહીં દળ $m = 500 \; g = 0.5 \; kg$ છે.
$1$. $X = 8 \; m$ સુધી થયેલ કાર્ય:
$W_8 = (20 \; N \times 5 \; m) + (10 \; N \times 3 \; m) = 100 + 30 = 130 \; J$.
$W = \frac{1}{2} m v^2$ સૂત્ર વાપરતા: $130 = \frac{1}{2} (0.5) v_8^2 \Rightarrow v_8^2 = 520 \Rightarrow v_8 = \sqrt{520} \approx 22.8 \; m/s \approx 23 \; m/s$.
$2$. $X = 12 \; m$ સુધી થયેલ કાર્ય:
$W_{12} = W_8 + (8 \; m \text{ થી } 10 \; m \text{ વચ્ચેનું ક્ષેત્રફળ}) + (10 \; m \text{ થી } 12 \; m \text{ વચ્ચેનું ક્ષેત્રફળ})$.
$8 \; m$ થી $10 \; m$ વચ્ચેનું ક્ષેત્રફળ = $(2 \; m) \times (-25 \; N) = -50 \; J$.
$10 \; m$ થી $12 \; m$ વચ્ચેનું ક્ષેત્રફળ = $(2 \; m) \times (10 \; N) = 20 \; J$.
$W_{12} = 130 - 50 + 20 = 100 \; J$.
$W = \frac{1}{2} m v^2$ સૂત્ર વાપરતા: $100 = \frac{1}{2} (0.5) v_{12}^2 \Rightarrow v_{12}^2 = 400 \Rightarrow v_{12} = 20 \; m/s \approx 20.6 \; m/s$ (સૌથી નજીકનો વિકલ્પ).
આમ, વેગ આશરે $23 \; m/s$ અને $20.6 \; m/s$ છે.

(D) ગબડતી વસ્તુની કુલ ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2}mv^2(1 + \frac{K^2}{R^2})$ છે.
નક્કર નળાકાર માટે,ચક્રાવર્તનની ત્રિજ્યા $K$ માટે $K^2 = \frac{1}{2}R^2$ થાય,તેથી $\frac{K^2}{R^2} = \frac{1}{2}$ મળે.
ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,પ્રારંભિક ગતિઊર્જા એ મહત્તમ ઊંચાઈ $h$ પરની સ્થિતિઊર્જા જેટલી હોય છે:
$\frac{1}{2}mv^2(1 + \frac{1}{2}) = mgh$
$\frac{1}{2}v^2(\frac{3}{2}) = gh$
અહીં $v = 4 \; m/s$ અને $g = 10 \; m/s^2$ લેતા:
$\frac{1}{2} \times 16 \times \frac{3}{2} = 10h$
$12 = 10h \Rightarrow h = 1.2 \; m$.
ઢળતા સમતલ પર કાપેલું અંતર $\ell$ અને ઊંચાઈ $h$ વચ્ચેનો સંબંધ $h = \ell \sin 30^{\circ}$ છે.
$\ell = \frac{h}{\sin 30^{\circ}} = \frac{1.2}{0.5} = 2.4 \; m$.

(A) કેપ્લરના ગ્રહીય ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,આવર્તકાળનો વર્ગ $(T^2)$ એ કક્ષાની ત્રિજ્યાના ઘન $(r^3)$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે: $T \propto r^{3/2}$.
કક્ષાની ત્રિજ્યા $r$ એ પૃથ્વીના કેન્દ્રથી અંતર છે,જે $r = R_{E} + h$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h$ એ સપાટીથી ઊંચાઈ છે.
પ્રથમ ઉપગ્રહ માટે: $r_1 = R_{E} + 6 R_{E} = 7 R_{E}$ અને $T_1 = 24 \; h$.
બીજા ઉપગ્રહ માટે: $r_2 = R_{E} + 2.5 R_{E} = 3.5 R_{E}$.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{T_2}{T_1} = \left( \frac{r_2}{r_1} \right)^{3/2} = \left( \frac{3.5 R_{E}}{7 R_{E}} \right)^{3/2} = \left( \frac{1}{2} \right)^{3/2} = \frac{1}{2 \sqrt{2}}$.
તેથી,$T_2 = T_1 \times \frac{1}{2 \sqrt{2}} = \frac{24}{2 \sqrt{2}} = \frac{12}{\sqrt{2}} = 6 \sqrt{2} \; h$.

(C) આપેલ છે કે મુખ્ય સ્કેલ પર $cm$ દીઠ $n$ વિભાગો છે,તેથી $1 \text{ MSD}$ (મેઈન સ્કેલ ડિવિઝન) નું મૂલ્ય $\frac{1}{n} \text{ cm}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,વર્નિયર સ્કેલના $n$ વિભાગો $(n \text{ VSD})$ મુખ્ય સ્કેલના $(n-1)$ વિભાગો $(n-1 \text{ MSD})$ સાથે બંધ બેસે છે.
તેથી,$1 \text{ VSD} = \frac{n-1}{n} \text{ MSD}$.
વર્નિયર કેલિપર્સનું લઘુત્તમ માપ (Least Count) $1 \text{ MSD} - 1 \text{ VSD}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે.
લઘુત્તમ માપ $= 1 \text{ MSD} - \left( \frac{n-1}{n} \right) \text{ MSD} = \left( 1 - \frac{n-1}{n} \right) \text{ MSD} = \frac{1}{n} \text{ MSD}$.
$1 \text{ MSD} = \frac{1}{n} \text{ cm}$ નું મૂલ્ય મૂકતા,આપણને મળે છે:
લઘુત્તમ માપ $= \frac{1}{n} \times \frac{1}{n} \text{ cm} = \frac{1}{n^2} \text{ cm}$.

(B) પૃથ્વીના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે ગુરુત્વીય સ્થિતિઊર્જા $U = -\frac{GMm}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કેન્દ્રથી પ્રારંભિક અંતર $r_i = R$ છે.
કેન્દ્રથી અંતિમ અંતર $r_f = R + h$ છે.
સ્થિતિઊર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = U_f - U_i$ છે.
$\Delta U = \left( -\frac{GMm}{R+h} \right) - \left( -\frac{GMm}{R} \right)$.
$\Delta U = GMm \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{R+h} \right)$.
$\Delta U = GMm \left( \frac{R+h-R}{R(R+h)} \right)$.
$\Delta U = \frac{GMmh}{R(R+h)}$.

(C) પદાર્થનું કાર્ય વિધેય $W_0 = 4.0 \,eV$ આપેલ છે.
થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઈ $\lambda_0$ એ ફોટોઈલેક્ટ્રિક ઉત્સર્જન માટે જરૂરી સૌથી લાંબી તરંગલંબાઈ છે.
તેનું સૂત્ર: $\lambda_0 = \frac{hc}{W_0}$ છે.
અંદાજિત મૂલ્ય $hc \approx 12400 \,eV \cdot \mathring{A}$ લેતા:
$\lambda_0 = \frac{12400 \,eV \cdot \mathring{A}}{4.0 \,eV} = 3100 \,\mathring{A}$.
$1 \,nm = 10 \,\mathring{A}$ હોવાથી,$\lambda_0 = 310 \,nm$ મળે છે.

(B) અર્ધ-આયુષ્ય $T_{1/2}$ અને ક્ષય અચળાંક $\lambda$ વચ્ચેનો સંબંધ $T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda} \approx \frac{0.693}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $T_{1/2} = 2.2 \times 10^9 \; s$,તેથી $\lambda = \frac{0.693}{2.2 \times 10^9} \approx 3.15 \times 10^{-10} \; s^{-1}$ મળે છે.
વિઘટનનો દર $R$ અને રેડિયોએક્ટિવ પરમાણુઓની સંખ્યા $N$ વચ્ચેનો સંબંધ $R = \lambda N$ છે.
અહીં $R = 10^{10} \; s^{-1}$ આપેલ છે,તેથી $N = \frac{R}{\lambda} = \frac{10^{10}}{3.15 \times 10^{-10}} \approx 3.17 \times 10^{19}$ પરમાણુઓ થાય.

(C) પરમાણુની કક્ષામાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોનની કુલ ઉર્જા $(TE)$ $-3.4 \; eV$ આપેલી છે.
હાઇડ્રોજન જેવા પરમાણુમાં ઇલેક્ટ્રોન માટે કુલ ઉર્જા $(TE)$,ગતિ ઉર્જા $(KE)$ અને સ્થિતિ ઉર્જા $(PE)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$KE = -TE$
$PE = 2 \times TE$
અહીં $TE = -3.4 \; eV$ મૂકતા:
$KE = -(-3.4 \; eV) = +3.4 \; eV$
$PE = 2 \times (-3.4 \; eV) = -6.8 \; eV$
તેથી,ગતિ ઉર્જા $3.4 \; eV$ અને સ્થિતિ ઉર્જા $-6.8 \; eV$ છે.

(C) આપેલ સર્કિટમાં,સ્વીચો $A$ અને $B$ ગ્રાઉન્ડ સાથે સમાંતરમાં જોડાયેલ છે. જ્યારે સ્વીચ $0$ સ્થિતિમાં હોય,ત્યારે તે ખુલ્લી હોય છે,અને જ્યારે તે $1$ સ્થિતિમાં હોય,ત્યારે તે બંધ (ગ્રાઉન્ડ સાથે જોડાયેલ) હોય છે.
$1$. જો $A=0$ અને $B=0$ હોય,તો બંને સ્વીચો ખુલ્લી છે. પ્રવાહ $LED$ $(Y)$ માંથી વહે છે,તેથી $Y=1$.
$2$. જો $A=0$ અને $B=1$ હોય,તો સ્વીચ $B$ બંધ (ગ્રાઉન્ડ થયેલ) છે. પ્રવાહ $LED$ $(Y)$ માંથી વહે છે,તેથી $Y=1$.
$3$. જો $A=1$ અને $B=0$ હોય,તો સ્વીચ $A$ બંધ (ગ્રાઉન્ડ થયેલ) છે. પ્રવાહ $LED$ $(Y)$ માંથી વહે છે,તેથી $Y=1$.
$4$. જો $A=1$ અને $B=1$ હોય,તો બંને સ્વીચો બંધ (ગ્રાઉન્ડ થયેલ) છે. પ્રવાહ $LED$ ને બદલે સ્વીચો દ્વારા ગ્રાઉન્ડમાં જાય છે,તેથી $Y=0$.
સત્યતા કોષ્ટક (Truth Table) નીચે મુજબ છે:

$A$	$B$	$Y$
$0$	$0$	$1$
$0$	$1$	$1$
$1$	$0$	$1$
$1$	$1$	$0$

આ સત્યતા કોષ્ટક $NAND$ ગેટના ઓપરેશનને અનુરૂપ છે.

(D) આપેલ છે: આંટાની સંખ્યા $N = 800$,ક્ષેત્રફળ $A = 0.05\; m^{2}$,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 5 \times 10^{-5}\; T$,સમયગાળો $\Delta t = 0.1\; s$.
પ્રારંભિક ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi_{1} = N B A \cos(0^{\circ}) = N B A$.
અંતિમ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi_{2} = N B A \cos(90^{\circ}) = 0$.
પ્રેરિત $emf$ $e = -\frac{\Delta \phi}{\Delta t} = -\frac{\phi_{2} - \phi_{1}}{\Delta t} = \frac{N B A}{\Delta t}$.
કિંમતો મૂકતા: $e = \frac{800 \times 5 \times 10^{-5} \times 0.05}{0.1}$.
$e = \frac{800 \times 5 \times 10^{-5} \times 5 \times 10^{-2}}{10^{-1}} = 800 \times 5 \times 5 \times 10^{-7} \times 10^{1} = 20000 \times 10^{-6} = 0.02\; V$.

(A) દ્રશ્યમાન વર્ણપટમાં જાંબલીથી લાલ રંગ સુધીના રંગોનો સમાવેશ થાય છે.
વિદ્યુતચુંબકીય વર્ણપટ મુજબ, જેમ આપણે જાંબલીથી લાલ તરફ જઈએ છીએ તેમ તરંગલંબાઈ $(\lambda)$ વધે છે.
તેથી, લાલ રંગના પ્રકાશની તરંગલંબાઈ સૌથી વધુ, આશરે $700 \ nm$ હોય છે, જ્યારે જાંબલી રંગના પ્રકાશની તરંગલંબાઈ સૌથી ઓછી, આશરે $400 \ nm$ હોય છે.
આમ, સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) પોલા ધાતુના ગોળા માટે,વિદ્યુતભાર માત્ર તેની બહારની સપાટી પર જ રહે છે.
ગોસના નિયમ મુજબ,ગોળાની અંદરના કોઈપણ બિંદુ $(r < R)$ માટે,ઘેરાયેલો વિદ્યુતભાર $q_{enc} = 0$ છે,તેથી વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = 0$ થાય છે.
ગોળાની બહારના કોઈપણ બિંદુ $(r > R)$ માટે,ગોળો કેન્દ્ર પર રહેલા બિંદુવત વિદ્યુતભાર તરીકે વર્તે છે. વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે $E \propto \frac{1}{r^2}$.
જેમ $r > R$ માટે $r$ વધે છે,તેમ $E$ નું મૂલ્ય ઘટે છે.
આમ,$r < R$ માટે વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય છે અને $r > R$ માટે જેમ $r$ વધે તેમ તે ઘટે છે.

(D) એડી કરંટ એ બદલાતા ચુંબકીય ક્ષેત્ર દ્વારા વાહકોમાં પ્રેરિત વિદ્યુત પ્રવાહના લૂપ્સ છે. તેનો ઉપયોગ ઇન્ડક્શન ફર્નેસમાં ગરમ કરવા માટે,ટ્રેનોમાં મેગ્નેટિક બ્રેકિંગ સિસ્ટમમાં અને સ્પીડોમીટરમાં થાય છે. જોકે,ઇલેક્ટ્રિક હીટર એ જૂલ હીટિંગ અસર $(H = I^2Rt)$ ના સિદ્ધાંત પર કાર્ય કરે છે,જ્યાં વિદ્યુત પ્રવાહના વહેણ સામે વાહકના અવરોધને કારણે ગરમી ઉત્પન્ન થાય છે,એડી કરંટ દ્વારા નહીં.

(B) ધારો કે દરેક બલ્બનો અવરોધ $R$ છે.
કિસ્સો $(i)$: બધા છ બલ્બ પ્રકાશિત છે. વિભાગ $A$ માં $3$ બલ્બ સમાંતર જોડાણમાં છે અને વિભાગ $B$ માં $3$ બલ્બ સમાંતર જોડાણમાં છે. આ બંને વિભાગો શ્રેણીમાં છે. સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq_1} = (R/3) + (R/3) = 2R/3$ થાય. વપરાતો પાવર $P_1 = E^2 / R_{eq_1} = 3E^2 / 2R$ છે.
કિસ્સો $(ii)$: વિભાગ $A$ માંથી બે બલ્બ સમાંતરમાં છે (અવરોધ $R/2$) અને વિભાગ $B$ માંથી એક બલ્બ આ સંયોજન સાથે શ્રેણીમાં છે. સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq_2} = R/2 + R = 3R/2$ થાય. વપરાતો પાવર $P_2 = E^2 / R_{eq_2} = 2E^2 / 3R$ છે.
પાવર વપરાશનો ગુણોત્તર $P_1 : P_2 = (3E^2 / 2R) : (2E^2 / 3R) = 9 : 4$ થાય.

(C) ડીપ કોણ (અથવા મેગ્નેટિક ઇન્ક્લિનેશન) એ પૃથ્વીના કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર દ્વારા પૃથ્વીની સપાટી સાથે બનાવવામાં આવતો ખૂણો છે.
પરંપરા મુજબ, ઉત્તર ગોળાર્ધમાં ડીપ કોણને ધન $(+ve)$ લેવામાં આવે છે, જ્યાં ચુંબકીય સોયનો ઉત્તર ધ્રુવ નીચેની તરફ નમે છે.
તેનાથી વિપરીત, દક્ષિણ ગોળાર્ધમાં ડીપ કોણને ઋણ $(-ve)$ લેવામાં આવે છે, જ્યાં ચુંબકીય સોયનો ઉત્તર ધ્રુવ ઉપરની તરફ નમે છે.
બિંદુ $A$ પાસે ધન ડીપ $(\delta = +25^{\circ})$ હોવાથી, તે ઉત્તર ગોળાર્ધમાં આવેલું છે.
બિંદુ $B$ પાસે ઋણ ડીપ $(\delta = -25^{\circ})$ હોવાથી, તે દક્ષિણ ગોળાર્ધમાં આવેલું છે.

(C) મેઘધનુષ્ય જોવા માટેની સાચી શરત એ છે કે અવલોકનકારની પીઠ સૂર્યની તરફ હોવી જોઈએ. તેથી,એવું વિધાન કે અવલોકનકાર જ્યારે સૂર્યની સામે હોય ત્યારે મેઘધનુષ્ય જોઈ શકે છે તે ખોટું છે. આમ,વિકલ્પ $C$ એ ખોટો જવાબ છે.

(C) એમ્પિયરના સર્કિટલ નિયમ મુજબ,$I$ પ્રવાહ વહન કરતા $R$ ત્રિજ્યાના લાંબા નળાકાર વાહકની અક્ષથી $d$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$d \leq R$ (વાહકની અંદર) માટે,$B = \frac{\mu_{0}Id}{2 \pi R^{2}}$,જે દર્શાવે છે કે $B \propto d$ (રેખીય સંબંધ).
$d > R$ (વાહકની બહાર) માટે,$B = \frac{\mu_{0} I}{2 \pi d}$,જે દર્શાવે છે કે $B \propto \frac{1}{d}$ (હાયપરબોલિક સંબંધ).
સપાટી પર $(d = R)$,ચુંબકીય ક્ષેત્ર મહત્તમ હોય છે,$B_{max} = \frac{\mu_{0} I}{2 \pi R}$.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,જે આલેખ $d = R$ સુધી રેખીય વધારો અને $d > R$ માટે હાયપરબોલિક ઘટાડો દર્શાવે છે તે આકૃતિ $C$ દ્વારા રજૂ થાય છે.

(B) સંપર્કમાં રહેલા બે પાતળા લેન્સ માટે,સમતુલ્ય કેન્દ્રલંબાઈ $F_{1}$ એ $\frac{1}{F_{1}} = \frac{1}{f} + \frac{1}{f} = \frac{2}{f}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે $F_{1} = \frac{f}{2}$.
જ્યારે લેન્સ વચ્ચેની જગ્યામાં કાચ જેટલા જ વક્રીભવનાંક ધરાવતું પ્રવાહી ભરવામાં આવે છે,ત્યારે આ સંયોજન કાચના એક ટુકડા તરીકે વર્તે છે. બહારની સપાટીઓ બહિર્ગોળ હોવાથી અને અંદરની જગ્યા ભરાઈ જવાથી,આ તંત્ર મૂળ લેન્સ જેવી જ વક્રતા ત્રિજ્યા ધરાવતા એક બહિર્ગોળ લેન્સ તરીકે વર્તે છે. પ્રવાહીનો વક્રીભવનાંક $\mu = 1.5$ છે,જે કાચના વક્રીભવનાંક જેટલો જ છે. તેથી,સમગ્ર તંત્ર $F_{2} = f$ કેન્દ્રલંબાઈ ધરાવતા એક લેન્સ તરીકે વર્તે છે.
આથી,ગુણોત્તર $\frac{F_{1}}{F_{2}} = \frac{f/2}{f} = \frac{1}{2}$ થશે.

(D) ક્રાંતિકોણ $(i_c)$ એ ઘટ્ટ માધ્યમમાં આપાતકોણ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જેના માટે પાતળા માધ્યમમાં વક્રીભવનકોણ $90^o$ હોય છે.
જ્યારે પ્રકાશનું કિરણ ઘટ્ટ માધ્યમમાંથી પાતળા માધ્યમમાં ક્રાંતિકોણ જેટલા આપાતકોણે ગતિ કરે છે,ત્યારે વક્રીભૂત કિરણ બંને માધ્યમોની આંતર સપાટીને સ્પર્શીને જાય છે.
તેથી,વક્રીભવનકોણ $90^o$ છે.

(C) અનંત રેખીય વિદ્યુતભારને કારણે $r$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0 r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધારો કે બે રેખીય વિદ્યુતભારો $1$ અને $2$ છે,જે $2R$ અંતરે અલગ થયેલા છે. મધ્યબિંદુ $P$ બંને રેખાઓથી $R$ અંતરે છે.
ધન રેખીય વિદ્યુતભારને કારણે $P$ પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $\overrightarrow{E}_1$ તેનાથી દૂર (ઋણ રેખીય વિદ્યુતભાર તરફ) નિર્દેશિત થાય છે,તેથી $E_1 = \frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0 R}$.
ઋણ રેખીય વિદ્યુતભારને કારણે $P$ પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $\overrightarrow{E}_2$ તેના તરફ ($\overrightarrow{E}_1$ ની દિશામાં જ) નિર્દેશિત થાય છે,તેથી $E_2 = \frac{|-\lambda|}{2\pi\epsilon_0 R} = \frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0 R}$.
બંને ક્ષેત્રો એક જ દિશામાં હોવાથી,કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = E_1 + E_2 = \frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0 R} + \frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0 R} = \frac{2\lambda}{2\pi\epsilon_0 R} = \frac{\lambda}{\pi\epsilon_0 R}\; N/C$ થાય છે.

(B) $p-$પ્રકારના સેમિકન્ડક્ટરમાં,આંતરિક સેમિકન્ડક્ટર (જેમ કે $Si$ અથવા $Ge$) ને ટ્રાયવેલેન્ટ અશુદ્ધિના અણુઓ (જેમ કે $Boron$,$Aluminum$ અથવા $Indium$) સાથે ડોપ કરવામાં આવે છે.
આ ટ્રાયવેલેન્ટ અણુઓ સ્ફટિક લેટીસમાં ખાલી જગ્યાઓ બનાવે છે,જેને હોલ્સ કહેવામાં આવે છે.
કારણ કે આ હોલ્સ થર્મલી જનરેટ થયેલા ઇલેક્ટ્રોન કરતા ઘણી વધારે સાંદ્રતામાં હાજર હોય છે,તેથી $p-$પ્રકારના સેમિકન્ડક્ટરમાં હોલ્સ મેજોરિટી ચાર્જ કેરિયર્સ તરીકે કાર્ય કરે છે.

(D) ફ્યુઝ એ વિદ્યુત પરિપથમાં ઓવરકરન્ટ અથવા શોર્ટ-સર્કિટની સ્થિતિ સામે રક્ષણ મેળવવા માટે વપરાતું સુરક્ષા ઉપકરણ છે. જ્યારે પ્રવાહ સુરક્ષિત મર્યાદા કરતા વધી જાય છે,ત્યારે વિદ્યુત પ્રવાહની ઉષ્મીય અસરને કારણે ફ્યુઝનો તાર ઓગળી જાય છે,જેનાથી પરિપથ તૂટી જાય છે અને ઉપકરણોને થતા નુકસાનથી બચાવી શકાય છે.

(B) કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $Q = CV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $C$ એ કેપેસિટન્સ છે અને $V$ એ પોટેન્શિયલ તફાવત છે.
કનેક્ટિંગ વાયરમાં વહન પ્રવાહ $i_c$ એ વિદ્યુતભારના ફેરફારનો દર છે: $i_c = \frac{dQ}{dt} = C \frac{dV}{dt}$.
અહીં $C = 20 \; \mu F$ અને $\frac{dV}{dt} = 3 \; V/s$ આપેલ છે, તેથી $i_c = 20 \; \mu F \times 3 \; V/s = 60 \; \mu A$.
એમ્પીયરના નિયમમાં મેક્સવેલના સુધારા મુજબ, કેપેસિટરની પ્લેટો વચ્ચેનો સ્થાનાંતર પ્રવાહ $i_d$ એ કનેક્ટિંગ વાયરમાં વહેતા વહન પ્રવાહ જેટલો જ હોય છે.
તેથી, $i_d = i_c = 60 \; \mu A$.
આમ, વહન પ્રવાહ $60 \; \mu A$ છે અને સ્થાનાંતર પ્રવાહ $60 \; \mu A$ છે.

(C) પરિપથ $1$ માં, વોલ્ટમીટર $V_{1}$ એ $10 \; \Omega$ ના અવરોધ સાથે સમાંતર જોડાયેલ છે। આદર્શ વોલ્ટમીટરનો અવરોધ અનંત હોવાથી, તેમાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી। તેથી, $10 \; \Omega$ ના અવરોધ પરનો વોલ્ટેજ $10 \; V$ છે, એટલે કે $V_{1} = 10 \; V$. પ્રવાહ $I_{1}$ એ $I_{1} = \frac{10 \; V}{10 \; \Omega} = 1 \; A$ દ્વારા મળે છે.
પરિપથ $2$ માં, વોલ્ટમીટર $V_{2}$ એ $10 \; \Omega$ ના અવરોધ સાથે શ્રેણીમાં જોડાયેલ છે, અને આ સંયોજન મુખ્ય $10 \; \Omega$ ના અવરોધ સાથે સમાંતર છે। આદર્શ વોલ્ટમીટરનો અવરોધ અનંત હોવાથી, વોલ્ટમીટર અને $10 \; \Omega$ ના અવરોધ ધરાવતી શાખામાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી। આ શાખા પરનો વોલ્ટેજ હજુ પણ $10 \; V$ છે। વોલ્ટમીટર આદર્શ હોવાથી, $10 \; V$ નો સંપૂર્ણ પોટેન્શિયલ ડ્રોપ વોલ્ટમીટર પર જ જોવા મળે છે, તેથી $V_{2} = 10 \; V$. પ્રવાહ $I_{2}$ ફક્ત મુખ્ય $10 \; \Omega$ ના અવરોધમાંથી વહે છે, તેથી $I_{2} = \frac{10 \; V}{10 \; \Omega} = 1 \; A$.
તેથી, $V_{1} = V_{2} = 10 \; V$ અને $I_{1} = I_{2} = 1 \; A$ થાય છે.

(A) $\alpha$-કણ એ હિલિયમનું ન્યુક્લિયસ છે,જેને $\alpha = {}_2^4 \text{He}^{2+}$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
તે $2$ પ્રોટોન અને $2$ ન્યુટ્રોનનો બનેલો છે,જેનો કુલ દળ ક્રમાંક $4$ અને પરમાણુ ક્રમાંક $2$ છે.

(B) વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત $V$ દ્વારા પ્રવેગિત ઇલેક્ટ્રોન માટે ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda$ નું સૂત્ર: $\lambda = \frac{12.27}{\sqrt{V}} \; \mathring{A}$ છે.
અહીં $V = 10,000 \; V = 10^4 \; V$ આપેલ છે.
સૂત્રમાં $V$ ની કિંમત મૂકતા:
$\lambda = \frac{12.27}{\sqrt{10^4}} \; \mathring{A} = \frac{12.27}{100} \; \mathring{A} = 0.1227 \; \mathring{A}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $1 \; \mathring{A} = 10^{-10} \; m$,તેથી $\lambda = 0.1227 \times 10^{-10} \; m = 12.27 \times 10^{-12} \; m$.
નજીકના વિકલ્પ મુજબ,આ કિંમત આશરે $12.2 \times 10^{-12} \; m$ થાય છે.

(B) શરૂઆતમાં,વિદ્યુતભારો $q_A = Q$ અને $q_B = -Q$ છે. $r$ અંતરે તેમની વચ્ચે લાગતું બળ કુલંબના નિયમ મુજબ:
$F = \frac{k Q (-Q)}{r^2} = -\frac{k Q^2}{r^2}$
જ્યારે $A$ માંથી $25 \%$ વિદ્યુતભાર $B$ પર સ્થાનાંતરિત થાય છે,ત્યારે સ્થાનાંતરિત થતો જથ્થો $\Delta q = 0.25 Q = \frac{Q}{4}$ છે.
નવા વિદ્યુતભારો:
$q_A' = Q - \frac{Q}{4} = \frac{3Q}{4}$
$q_B' = -Q + \frac{Q}{4} = -\frac{3Q}{4}$
વિદ્યુતભારો વચ્ચેનું નવું બળ $F'$:
$F' = \frac{k q_A' q_B'}{r^2} = \frac{k (\frac{3Q}{4})(-\frac{3Q}{4})}{r^2}$
$F' = -\frac{9}{16} \frac{k Q^2}{r^2}$
કારણ કે $F = -\frac{k Q^2}{r^2}$,તેથી $F'$ માટેના સમીકરણમાં આ કિંમત મૂકતા:
$F' = \frac{9}{16} F$

(A) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણની ત્રિજ્યાનું સૂત્ર $r = \frac{mv}{qB} = \frac{p}{qB}$ છે,જ્યાં $p$ એ વેગમાન છે,$q$ એ વિદ્યુતભાર છે અને $B$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર છે.
આપેલ છે કે બંને કણો માટે વેગમાન $p$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ સમાન છે,તેથી ત્રિજ્યા એ વિદ્યુતભારના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે: $r \propto \frac{1}{q}$.
આયનીકૃત હાઇડ્રોજન અણુ (પ્રોટોન) માટે,વિદ્યુતભાર $q_{H} = +e$ છે.
$\alpha$-કણ (હિલિયમ ન્યુક્લિયસ) માટે,વિદ્યુતભાર $q_{\alpha} = +2e$ છે.
તેથી,ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર $\frac{r_{H}}{r_{\alpha}} = \frac{q_{\alpha}}{q_{H}} = \frac{2e}{e} = \frac{2}{1}$ થાય.
આમ,ગુણોત્તર $r_{H}: r_{\alpha}$ એ $2:1$ છે.

(B) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં શલાકાની કોણીય પહોળાઈ $\theta = \frac{\lambda}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે સાધનને $\mu$ વક્રીભવનાંક ધરાવતા માધ્યમમાં ડુબાડવામાં આવે છે,ત્યારે પ્રકાશની તરંગલંબાઈ બદલાઈને $\lambda^{\prime} = \frac{\lambda}{\mu}$ થાય છે.
પરિણામે,નવી કોણીય પહોળાઈ $\theta^{\prime} = \frac{\lambda^{\prime}}{d} = \frac{\lambda}{\mu d} = \frac{\theta}{\mu}$ થાય છે.
અહીં $\theta = 0.2^{\circ}$ અને $\mu = 4/3$ આપેલ છે,તેથી $\theta^{\prime} = \frac{0.2^{\circ}}{4/3} = 0.2^{\circ} \times \frac{3}{4} = 0.15^{\circ}$ થાય.

(D) ગોળાઓ પરનો પ્રારંભિક વિદ્યુતભાર $Q_1 = \sigma (4 \pi R^2)$ અને $Q_2 = \sigma (4 \pi (2R)^2) = 16 \pi R^2 \sigma$ છે.
કુલ વિદ્યુતભાર $Q_{total} = Q_1 + Q_2 = 4 \pi R^2 \sigma + 16 \pi R^2 \sigma = 20 \pi R^2 \sigma$.
જ્યારે ગોળાઓને સંપર્કમાં લાવવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ વિદ્યુતભાર એવી રીતે પુનઃવિતરિત થાય છે કે જેથી તેઓ સમાન સ્થિતિમાન $V = \frac{k Q_1'}{R} = \frac{k Q_2'}{2R}$ પ્રાપ્ત કરે.
આનો અર્થ એ છે કે $Q_2' = 2 Q_1'$.
કારણ કે $Q_1' + Q_2' = 20 \pi R^2 \sigma$,તેથી $Q_1' + 2 Q_1' = 20 \pi R^2 \sigma$,જે $3 Q_1' = 20 \pi R^2 \sigma$ આપે છે,તેથી $Q_1' = \frac{20}{3} \pi R^2 \sigma$.
ત્યારબાદ $Q_2' = 2 \times \frac{20}{3} \pi R^2 \sigma = \frac{40}{3} \pi R^2 \sigma$.
નવી સપાટી પરની વિદ્યુતભાર ઘનતા $\sigma_1' = \frac{Q_1'}{4 \pi R^2} = \frac{20/3 \pi R^2 \sigma}{4 \pi R^2} = \frac{5}{3} \sigma$ છે.
અને $\sigma_2' = \frac{Q_2'}{4 \pi (2R)^2} = \frac{40/3 \pi R^2 \sigma}{16 \pi R^2} = \frac{40}{48} \sigma = \frac{5}{6} \sigma$ થાય.

(B) ઉત્સર્જિત ફોટોનની ઉર્જા $E = \frac{hc}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ એનર્જી ગેપ $E_g = 1.9\; eV$ છે.
તરંગલંબાઇ $\lambda$ ની ગણતરી $\lambda = \frac{hc}{E_g}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે.
$hc \approx 1240\; eV \cdot nm$ ના અંદાજનો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$\lambda = \frac{1240\; eV \cdot nm}{1.9\; eV} \approx 652.6\; nm$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ નજીકની કિંમત લેતા,$\lambda \approx 654\; nm$ મળે છે.

(A) આપેલ સર્કિટમાં,સ્વીચ $A$ અને $B$ સમાંતર રીતે જોડાયેલ છે. આઉટપુટ $Y$ એ $LED$ ની સ્થિતિ છે.
જ્યારે બંને સ્વીચ $A$ અને $B$ સ્થિતિ $0$ પર હોય (ગ્રાઉન્ડ સાથે જોડાયેલ),ત્યારે $LED$ એ અવરોધ $R$ દ્વારા $+6V$ સપ્લાય સાથે જોડાયેલ હોય છે,તેથી $LED$ પ્રકાશિત થાય છે $(Y=1)$.
જો સ્વીચ $A$ અથવા $B$ માંથી કોઈ પણ એકને સ્થિતિ $1$ પર ખસેડવામાં આવે,તો સર્કિટ ગ્રાઉન્ડ સાથે શોર્ટ થઈ જાય છે અને $LED$ પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત શૂન્ય થઈ જાય છે,તેથી $LED$ પ્રકાશિત થતો નથી $(Y=0)$.
સત્યતા કોષ્ટક નીચે મુજબ છે:

$A$	$B$	$Y$
$0$	$0$	$1$
$0$	$1$	$0$
$1$	$0$	$0$
$1$	$1$	$0$

આ સત્યતા કોષ્ટક $NOR$ ગેટને અનુરૂપ છે.

(D) લેન્સનો પાવર લેન્સ મેકરના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $P = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
જ્યારે લેન્સને મુખ્ય અક્ષ ધરાવતા સમતલ દ્વારા કાપવામાં આવે છે,ત્યારે લેન્સની સપાટીઓની વક્રતા ત્રિજ્યા $R_1$ અને $R_2$ બદલાતી નથી.
વક્રીભવનાંક $\mu$ અને વક્રતા ત્રિજ્યા $R_1$ અને $R_2$ સમાન રહેતા હોવાથી,કેન્દ્રલંબાઈ $f$ માં કોઈ ફેરફાર થતો નથી.
પાવર $P = \frac{1}{f}$ હોવાથી,દરેક ભાગનો પાવર $P$ જ રહેશે.

(C) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં વિનાશક વ્યતિકરણ (ન્યૂનતમ) માટેની શરત પથ તફાવત $\Delta x = (2n - 1) \frac{\lambda}{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n = 1, 2, 3, \dots$ એ ન્યૂનતમનો ક્રમ દર્શાવે છે.
પાંચમા ન્યૂનતમ માટે,આપણે સૂત્રમાં $n = 5$ મૂકીએ છીએ:
$\Delta x = (2(5) - 1) \frac{\lambda}{2}$
$\Delta x = (10 - 1) \frac{\lambda}{2}$
$\Delta x = 9 \frac{\lambda}{2}$.

(C) લેન્સ મેકરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
આપેલ છે: $f = 25\; cm$,$\mu = 1.5$. દ્વિ-બહિર્ગોળ લેન્સ માટે,$R_1 = R$ અને $R_2 = -2R$ લેતા.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{25} = (1.5 - 1) \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{-2R} \right)$.
$\frac{1}{25} = 0.5 \left( \frac{1}{R} + \frac{1}{2R} \right) = 0.5 \left( \frac{3}{2R} \right) = \frac{1.5}{2R} = \frac{3}{4R}$.
$4R = 25 \times 3 = 75$.
$R = \frac{75}{4} = 18.75\; cm$.
તેથી,વક્રતા ત્રિજ્યાઓ $R_1 = 18.75\; cm$ અને $R_2 = 2R = 37.5\; cm$ મળે છે.

(A) ટોરોઇડની અંદર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર $B = \frac{\mu_0 N i}{2 \pi r}$ છે,જ્યાં $N$ એ કુલ આંટાઓની સંખ્યા છે,$i$ એ વિદ્યુતપ્રવાહ છે અને $r$ એ સરેરાશ ત્રિજ્યા છે.
ટોરોઇડ $1$ માટે આપેલ છે: $N_1 = 200$,$r_1 = 40 \; cm$.
ટોરોઇડ $2$ માટે આપેલ છે: $N_2 = 100$,$r_2 = 20 \; cm$.
બંને માટે વિદ્યુતપ્રવાહ $i$ સમાન હોવાથી,ચુંબકીય ક્ષેત્રનો ગુણોત્તર:
$\frac{B_1}{B_2} = \frac{\frac{\mu_0 N_1 i}{2 \pi r_1}}{\frac{\mu_0 N_2 i}{2 \pi r_2}} = \frac{N_1}{N_2} \times \frac{r_2}{r_1}$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{B_1}{B_2} = \left( \frac{200}{100} \right) \times \left( \frac{20}{40} \right) = 2 \times \frac{1}{2} = 1$
તેથી,ગુણોત્તર $1:1$ છે.

(A) જંકશન પર પ્રવાહ $i$ એ $i_1$ અને $i_2$ માં વહેંચાય છે. બંને ચાપ સમાંતર હોવાથી,તેમની વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત સમાન હોય છે. તેથી,$i_1 R_1 = i_2 R_2$,જ્યાં $R_1$ અને $R_2$ એ ચાપના અવરોધ છે. $R \propto \text{લંબાઈ} \propto \theta$ હોવાથી,$i_1 \theta_1 = i_2 \theta_2$ મળે. $\theta_1 = 90^\circ = \pi/2$ અને $\theta_2 = 270^\circ = 3\pi/2$ આપેલ હોવાથી,$i_1(\pi/2) = i_2(3\pi/2)$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $i_2 = 3i_1$. $i_1 + i_2 = i$ હોવાથી,$i_1 + 3i_1 = i$,એટલે કે $i_1 = i/4$ અને $i_2 = 3i/4$.
$ heta$ ખૂણાવાળા ચાપને કારણે કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 i \theta}{4 \pi R}$ છે.
ઉપરના ચાપ માટે (ખૂણો $270^\circ = 3\pi/2$): $B_1 = \frac{\mu_0 i_1 (3\pi/2)}{4 \pi R} = \frac{3 \mu_0 i_1}{8 R} = \frac{3 \mu_0 (i/4)}{8 R} = \frac{3 \mu_0 i}{32 R}$ (અંદરની તરફ).
નીચેના ચાપ માટે (ખૂણો $90^\circ = \pi/2$): $B_2 = \frac{\mu_0 i_2 (\pi/2)}{4 \pi R} = \frac{\mu_0 i_2}{8 R} = \frac{\mu_0 (3i/4)}{8 R} = \frac{3 \mu_0 i}{32 R}$ (બહારની તરફ).
$B_1$ અને $B_2$ મૂલ્યમાં સમાન અને દિશામાં વિરુદ્ધ હોવાથી,કેન્દ્ર $P$ પરનું કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{net} = B_1 - B_2 = 0$ થાય.

(B) અલ્ટરનેટિંગ કરંટ $(AC)$ એટલે એવો પ્રવાહ જે સમયાંતરે તેની દિશા બદલે છે અને સમય સાથે તેનું મૂલ્ય પણ બદલાય છે.
આપેલ આલેખોમાં,ચારેય કિસ્સાઓ $(a), (b), (c)$ અને $(d)$ માં $EMF$ (અને પરિણામે પ્રવાહ) સમયની ધરીને ઓળંગે છે,જેનો અર્થ છે કે $EMF$ તેની ધ્રુવીયતા (ચિહ્ન) સમયાંતરે બદલે છે.
આમ,ચારેય આલેખોમાં $EMF$ ની ધ્રુવીયતા બદલાતી હોવાથી,તે બધા અલ્ટરનેટિંગ $EMF$ અથવા $AC$ તરંગો દર્શાવે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(b)$ છે.

(C) બોહર ત્રિજ્યા $r = \frac{n^2 h^2 \epsilon_0}{\pi m e^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જે સૂચવે છે કે $r \propto \frac{1}{m}$.
આપેલ છે કે $m_{\mu} = 207 m_e$, તેથી નવી ત્રિજ્યા $r_{\mu} = \frac{r_e}{207} = \frac{0.53 \times 10^{-10} \; m}{207} \approx 2.56 \times 10^{-13} \; m$.
ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ ઉર્જા $E = -\frac{m e^4}{8 \epsilon_0^2 n^2 h^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જે સૂચવે છે કે $E \propto m$.
આપેલ છે કે $m_{\mu} = 207 m_e$, તેથી નવી ઉર્જા $E_{\mu} = E_e \times 207 = -13.6 \; eV \times 207 = -2815.2 \; eV \approx -2.8 \; keV$.

(D) પરિપથમાં $2 \text{ V}$ ની બેટરી સાથે બે સમાંતર શાખાઓ જોડાયેલી છે.
ઉપરની શાખામાં,$20 \ \Omega$ અને $30 \ \Omega$ ના અવરોધો શ્રેણીમાં છે. જંકશન $V_1$ પરનો પોટેન્શિયલ વોલ્ટેજ ડિવાઈડરના નિયમ દ્વારા મળે છે: $V_1 = 2 \text{ V} \times \frac{30 \ \Omega}{20 \ \Omega + 30 \ \Omega} = 2 \times \frac{30}{50} = 1.2 \text{ V}$.
નીચેની શાખામાં,$30 \ \Omega$ અને $20 \ \Omega$ ના અવરોધો શ્રેણીમાં છે. જંકશન $V_2$ પરનો પોટેન્શિયલ: $V_2 = 2 \text{ V} \times \frac{20 \ \Omega}{30 \ \Omega + 20 \ \Omega} = 2 \times \frac{20}{50} = 0.8 \text{ V}$.
આદર્શ વોલ્ટમીટરનું અવલોકન એ બે જંકશન વચ્ચેનો પોટેન્શિયલ તફાવત છે: $V = |V_1 - V_2| = |1.2 \text{ V} - 0.8 \text{ V}| = 0.4 \text{ V}$.

(D) વ્હીટસ્ટોન બ્રિજના સિદ્ધાંત મુજબ,સંતુલન માટેની શરત સેલ અને ગેલ્વેનોમીટરના સ્થાનથી સ્વતંત્ર છે. આને ઇલેક્ટ્રિકલ નેટવર્ક્સમાં રેસીપ્રોસિટી થિયરમ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. જો ગેલ્વેનોમીટર અને સેલની અદલાબદલી કરવામાં આવે,તો પણ બ્રિજ કામ કરશે અને સંતુલન સ્થિતિ સમાન રહેશે,એટલે કે $\frac{P}{Q} = \frac{l_{1}}{l_{2}}$.

(B) પૃથ્વીના કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{E}$ ને બે લંબ ઘટકોમાં વિભાજિત કરી શકાય છે:
$1$. સમક્ષિતિજ ઘટક $H$,જે સમક્ષિતિજ દિશામાં કાર્ય કરે છે,તે $H = B_{E} \cos \delta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$2$. ઉર્ધ્વ ઘટક $V$,જે ઉર્ધ્વ દિશામાં કાર્ય કરે છે,તે $V = B_{E} \sin \delta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$\delta$ એ ડીપ એંગલ (નમન કોણ) છે.

(A) $A.C.$ સ્ત્રોત માટે,ઈમ્પીડન્સ $Z = \frac{V}{I_{AC}} = \frac{12 \; V}{0.2 \; A} = 60 \; \Omega$ છે.
$D.C.$ સ્ત્રોત માટે,અવરોધ $R = \frac{V}{I_{DC}} = \frac{12 \; V}{0.4 \; A} = 30 \; \Omega$ છે.
અહીં $Z > R$ હોવાથી,સર્કિટમાં અવરોધ $(R)$ ની સાથે ઇન્ડક્ટર $(L)$ હોવું જરૂરી છે.
$D.C.$ સર્કિટમાં,આદર્શ કેપેસિટર અનંત અવરોધ આપે છે,પરંતુ અહીં $D.C.$ કિસ્સામાં પ્રવાહ વહે છે,તેથી સર્કિટમાં કેપેસિટર હોઈ શકે નહીં. તેથી,આ સર્કિટ શ્રેણી $LR$ સર્કિટ છે.

(B) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં કોણીય ઝડપ $\omega$ થી ફરતા $R$ લંબાઈના સળિયા (અથવા પૈડાના આરા) માં પ્રેરિત ગતિકીય $EMF$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$E = \frac{1}{2} B \omega R^2$
આપેલ કિંમતો:
$B = 0.1 \; T$
$\omega = 10 \; rad/s$
$R = 0.5 \; m$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$E = \frac{1}{2} \times 0.1 \times 10 \times (0.5)^2$
$E = 0.5 \times 0.25$
$E = 0.125 \; V$
તેથી,કેન્દ્ર અને રીમ વચ્ચે ઉત્પન્ન થતું $EMF$ $0.125 \; V$ છે.

(A) માધ્યમમાં પ્રકાશનો વેગ $v = \frac{1}{\sqrt{\mu \epsilon}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\mu = \mu_{r} \mu_{0}$ અને $\epsilon = \epsilon_{r} \epsilon_{0}$ મૂકતા,આપણને $v = \frac{1}{\sqrt{\mu_{r} \epsilon_{r} \mu_{0} \epsilon_{0}}}$ મળે છે.
શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_{0} \epsilon_{0}}} = 3 \times 10^{8} \;m/s$ હોવાથી,સૂત્ર $v = \frac{c}{\sqrt{\mu_{r} \epsilon_{r}}}$ બને છે.
અહીં $\mu_{r} = 1.0$ અને $\epsilon_{r} = 1.44$ આપેલ છે,તેથી $v = \frac{3 \times 10^{8}}{\sqrt{1.0 \times 1.44}}$.
$v = \frac{3 \times 10^{8}}{\sqrt{1.44}} = \frac{3 \times 10^{8}}{1.2}$.
$v = 2.5 \times 10^{8} \;m/s$.

(B) ગોસના નિયમ મુજબ, બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi = \frac{q_{\text{enclosed}}}{\epsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વિદ્યુત ડાયપોલ બે સમાન અને વિરુદ્ધ વિદ્યુતભારો, $+q$ અને $-q$ નો બનેલો હોય છે.
અહીં, વિદ્યુતભારો $+3 \times 10^{-6} \; C$ અને $-3 \times 10^{-6} \; C$ છે.
ગોળા દ્વારા ઘેરાયેલો કુલ વિદ્યુતભાર $q_{\text{enclosed}} = (+3 \times 10^{-6}) + (-3 \times 10^{-6}) = 0 \; C$ છે.
તેથી, કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi = \frac{0}{\epsilon_0} = 0 \; \text{N m}^2 / \text{C}$ થાય.

(C) શરૂઆતમાં,કેપેસિટર $C_{1}$ ને બેટરી દ્વારા $V$ સ્થિતિમાન સુધી ચાર્જ કરવામાં આવે છે. $C_{1}$ માં સંગ્રહિત પ્રારંભિક ઉર્જા $U_{i} = \frac{1}{2} C V^{2}$ છે.
જ્યારે બેટરીને ડિસ્કનેક્ટ કરવામાં આવે છે અને $C_{1}$ ને અપ્રભારિત કેપેસિટર $C_{2}$ (જ્યાં $C_{1} = C_{2} = C$) સાથે સમાંતરમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે વિદ્યુતભારનું પુનઃવિતરણ થાય છે.
જોડાણ પછીનું સામાન્ય સ્થિતિમાન $V'$ એ $V' = \frac{C_{1}V + C_{2}(0)}{C_{1} + C_{2}} = \frac{CV}{2C} = \frac{V}{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સિસ્ટમમાં સંગ્રહિત અંતિમ ઉર્જા $U_{f} = \frac{1}{2} (C_{1} + C_{2}) (V')^{2} = \frac{1}{2} (2C) (\frac{V}{2})^{2} = C \cdot \frac{V^{2}}{4} = \frac{1}{4} C V^{2}$ છે.
ઉર્જામાં થતો ઘટાડો $\Delta U = U_{i} - U_{f} = \frac{1}{2} C V^{2} - \frac{1}{4} C V^{2} = \frac{1}{4} C V^{2}$ છે.
ઉર્જામાં થતો ટકાવારી ઘટાડો $\frac{\Delta U}{U_{i}} \times 100 = \frac{\frac{1}{4} C V^{2}}{\frac{1}{2} C V^{2}} \times 100 = 50 \%$ છે.

(B) Fraunhofer વિવર્તનમાં મધ્યસ્થ અધિક્તમની કોણીય પહોળાઈ $\theta = \frac{2\lambda}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\lambda$ એ તરંગલંબાઇ છે અને $d$ એ સ્લિટની પહોળાઈ છે.
કારણ કે $\theta \propto \lambda$,તેથી આપણી પાસે ગુણોત્તર $\frac{\theta_2}{\theta_1} = \frac{\lambda_2}{\lambda_1}$ છે.
આપેલ છે કે કોણીય પહોળાઈમાં $30 \% $ નો ઘટાડો થાય છે,તેથી નવી કોણીય પહોળાઈ $\theta_2 = \theta_0 - 0.30\theta_0 = 0.70\theta_0$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{0.70\theta_0}{\theta_0} = \frac{\lambda_2}{6000 \; \mathring{A}}$.
$0.70 = \frac{\lambda_2}{6000 \; \mathring{A}}$.
$\lambda_2 = 0.70 \times 6000 \; \mathring{A} = 4200 \; \mathring{A}$.

(A) ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ નું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mE_k}}$ છે,જ્યાં $h$ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$m$ એ કણનું દળ છે અને $E_k$ એ ગતિઊર્જા છે.
બંને કણો માટે ગતિઊર્જા $E_k$ સમાન હોવાથી,$\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{m}}$ થાય.
તેથી,$\frac{\lambda_p}{\lambda_{\alpha}} = \sqrt{\frac{m_{\alpha}}{m_p}}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\alpha$-કણનું દળ પ્રોટોનના દળ કરતાં આશરે $4$ ગણું હોય છે,એટલે કે $m_{\alpha} = 4m_p$.
આ કિંમત મૂકતા,આપણને $\frac{\lambda_p}{\lambda_{\alpha}} = \sqrt{\frac{4m_p}{m_p}} = \sqrt{4} = 2$ મળે છે.
આમ,$\lambda_p : \lambda_{\alpha}$ નો ગુણોત્તર $2:1$ છે.