NEET 2018 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(C) ગોળીનો વ્યાસ નીચેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણવામાં આવે છે: $\text{વ્યાસ} = \text{MSR} + (\text{CSR} \times \text{LC}) - \text{શૂન્ય ત્રુટિ}$.
આપેલ છે: $\text{MSR} = 5 \, mm = 0.5 \, cm$,$\text{CSR} = 25$,$\text{LC} = 0.001 \, cm$,અને $\text{શૂન્ય ત્રુટિ} = -0.004 \, cm$.
કિંમતો મૂકતા:
$\text{વ્યાસ} = 0.5 \, cm + (25 \times 0.001 \, cm) - (-0.004 \, cm)$.
$\text{વ્યાસ} = 0.5 \, cm + 0.025 \, cm + 0.004 \, cm$.
$\text{વ્યાસ} = 0.529 \, cm$.

(C) $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતું શિરોલંબ વર્તુળ પૂર્ણ કરવા માટે,સૌથી નીચેના બિંદુ $A$ પર લઘુત્તમ ઝડપ $v_A = \sqrt{5gR}$ હોવી જોઈએ.
આપેલ છે કે વર્તુળનો વ્યાસ $D$ છે,તેથી ત્રિજ્યા $R = \frac{D}{2}$ થશે.
વેગના સમીકરણમાં $R$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $v_A = \sqrt{5g \left(\frac{D}{2}\right)} = \sqrt{\frac{5gD}{2}}$ મળે છે.
યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરતા,$h$ ઊંચાઈ પરની સ્થિતિ ઉર્જા બિંદુ $A$ પર ગતિ ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે:
$mgh = \frac{1}{2}mv_A^2$
$gh = \frac{1}{2}v_A^2$
$v_A^2 = \frac{5gD}{2}$ ની કિંમત મૂકતા:
$gh = \frac{1}{2} \left(\frac{5gD}{2}\right)$
$h = \frac{5D}{4}$

(C) બ્લોકને વેજ પર સ્થિર રાખવા માટે,આપણે વેજના નોન-ઇનર્શિયલ ફ્રેમમાં બળોનું વિશ્લેષણ કરીએ છીએ.
$1$. બ્લોક પર લાગતા બળો છે: ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $mg$ (નીચેની તરફ),લંબ પ્રતિક્રિયા $N$ (સપાટીને લંબ),અને સ્યુડો ફોર્સ $ma$ (ડાબી તરફ).
$2$. બળોને ઢળતી સપાટીને સમાંતર અને લંબ ઘટકોમાં વિભાજિત કરતા:
- સપાટીને સમાંતર: $ma \cos \theta = mg \sin \theta$.
$3$. સમાંતર ઘટકના સમીકરણ પરથી:
$ma \cos \theta = mg \sin \theta$
$a \cos \theta = g \sin \theta$
$a = g \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$
$a = g \tan \theta$

(C) ઘર્ષણાંક $(\mu)$ ને સંબંધ $f = \mu N$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જ્યાં $f$ એ ઘર્ષણ બળ છે અને $N$ એ લંબ પ્રતિક્રિયા બળ છે.
સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $\mu = \frac{f}{N}$ મળે છે.
કારણ કે $f$ અને $N$ બંને બળ છે,તેથી તેમના એકમો ન્યુટન $(N)$ છે. તેથી,ઘર્ષણાંક એ બે બળોનો ગુણોત્તર છે,જે તેને પરિમાણરહિત રાશિ બનાવે છે.
આમ,સ્લાઇડિંગ ઘર્ષણાંક લંબાઈનું પરિમાણ ધરાવે છે તે વિધાન ખોટું છે.

(D) $Wien$ ના સ્થાનાંતરના નિયમ મુજબ,$\lambda_{\max} T = \text{અચળ}$.
ધારો કે પ્રારંભિક તાપમાન $T$ છે અને અંતિમ તાપમાન $T'$ છે.
આપેલ છે કે $\lambda_{\max, 1} = \lambda_0$ અને $\lambda_{\max, 2} = \frac{3}{4}\lambda_0$.
નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\lambda_0 T = \left(\frac{3}{4}\lambda_0\right) T' \Rightarrow T' = \frac{4}{3}T$.
$Stefan-Boltzmann$ ના નિયમ મુજબ,કૃષ્ણ પદાર્થ દ્વારા ઉત્સર્જિત પાવર $P = A \sigma T^4$ છે,જેનો અર્થ છે કે $P \propto T^4$.
તેથી,$\frac{P_2}{P_1} = \left(\frac{T'}{T}\right)^4$.
કિંમતો મૂકતા: $n = \left(\frac{4/3 T}{T}\right)^4 = \left(\frac{4}{3}\right)^4 = \frac{256}{81}$.

(B) પૃથ્વીની સપાટી પરથી નિષ્ક્રમણ વેગ $v_{\text{escape}} = 11200 \, m/s$ છે.
ઓક્સિજનના અણુઓ બહાર નીકળી શકે તે માટે,તેમની $rms$ ઝડપ નિષ્ક્રમણ વેગ જેટલી હોવી જોઈએ:
$v_{\text{rms}} = \sqrt{\frac{3 k_B T}{m}} = v_{\text{escape}}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$11200 = \sqrt{\frac{3 \times 1.38 \times 10^{-23} \times T}{2.76 \times 10^{-26}}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(11200)^2 = \frac{3 \times 1.38 \times 10^{-23} \times T}{2.76 \times 10^{-26}}$
$1.2544 \times 10^8 = \frac{4.14 \times 10^{-23} \times T}{2.76 \times 10^{-26}}$
$1.2544 \times 10^8 = 1.5 \times 10^3 \times T$
$T$ માટે ઉકેલતા:
$T = \frac{1.2544 \times 10^8}{1.5 \times 10^3} \approx 8.360 \times 10^4 \, K$.

(B) સ્થાનાંતરિત ગતિઊર્જા $K_t = \frac{1}{2}mv^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ચાકગતિઊર્જા $K_r = \frac{1}{2}I\omega^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
નક્કર ગોળા માટે,જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{2}{5}mr^2$ છે અને રેખીય તથા કોણીય વેગ વચ્ચેનો સંબંધ $v = r\omega$ છે,તેથી $\omega = \frac{v}{r}$.
આ કિંમતોને ચાકગતિઊર્જાના સૂત્રમાં મૂકતા:
$K_r = \frac{1}{2} \left( \frac{2}{5}mr^2 \right) \left( \frac{v}{r} \right)^2 = \frac{1}{5}mv^2$.
કુલ ગતિઊર્જા $K_{total} = K_t + K_r = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{5}mv^2 = \left( \frac{5+2}{10} \right)mv^2 = \frac{7}{10}mv^2$.
$K_t : (K_t + K_r)$ નો ગુણોત્તર $\frac{\frac{1}{2}mv^2}{\frac{7}{10}mv^2} = \frac{1}{2} \times \frac{10}{7} = \frac{5}{7}$ થાય.

(C) બળની ચાકમાત્રા (ટોર્ક) એ ભ્રમણ બિંદુની સાપેક્ષે સ્થાન સદિશ અને બળ સદિશનો સદિશ ગુણાકાર છે:
$\overrightarrow{\tau} = (\overrightarrow{r} - \overrightarrow{r_0}) \times \overrightarrow{F}$
અહીં,ભ્રમણ બિંદુ $\overrightarrow{r_0} = 2\hat{i} - 2\hat{j} - 2\hat{k}$ છે અને બળ લાગતું બિંદુ $\overrightarrow{r} = 2\hat{i} + 0\hat{j} - 3\hat{k}$ છે.
પ્રથમ,સાપેક્ષ સ્થાન સદિશની ગણતરી કરો:
$\overrightarrow{r} - \overrightarrow{r_0} = (2\hat{i} + 0\hat{j} - 3\hat{k}) - (2\hat{i} - 2\hat{j} - 2\hat{k}) = 0\hat{i} + 2\hat{j} - 1\hat{k}$.
હવે,સદિશ ગુણાકાર $\overrightarrow{\tau} = (0\hat{i} + 2\hat{j} - 1\hat{k}) \times (4\hat{i} + 5\hat{j} - 6\hat{k})$ ની ગણતરી કરો:
$\overrightarrow{\tau} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & 2 & -1 \\ 4 & 5 & -6 \end{vmatrix}$
$\overrightarrow{\tau} = \hat{i}(2(-6) - (-1)(5)) - \hat{j}(0(-6) - (-1)(4)) + \hat{k}(0(5) - 2(4))$
$\overrightarrow{\tau} = \hat{i}(-12 + 5) - \hat{j}(0 + 4) + \hat{k}(0 - 8)$
$\overrightarrow{\tau} = -7\hat{i} - 4\hat{j} - 8\hat{k}$.

(A) કોઈ પદાર્થને સ્થિર કરવા માટે જરૂરી કાર્ય તેની ચાકગતિ ઉર્જા જેટલું હોય છે: $W = \Delta KE = \frac{1}{2} I \omega^2$.
બધા પદાર્થો માટે કોણીય ઝડપ $\omega$ સમાન હોવાથી,કાર્ય એ જડત્વની ચાકમાત્રા (moment of inertia) ના સમપ્રમાણમાં છે: $W \propto I$.
તેમની સંમિતિ અક્ષોને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા નીચે મુજબ છે:
$1$. ઘન ગોળો $(A)$: $I_A = \frac{2}{5} MR^2 = 0.4 MR^2$
$2$. પાતળી વર્તુળાકાર તકતી $(B)$: $I_B = \frac{1}{2} MR^2 = 0.5 MR^2$
$3$. વર્તુળાકાર રીંગ $(C)$: $I_C = MR^2 = 1.0 MR^2$
આ મૂલ્યોની સરખામણી કરતા,આપણને $I_C > I_B > I_A$ મળે છે.
તેથી,જરૂરી કાર્ય માટેનો સંબંધ $W_C > W_B > W_A$ થશે.

(C) કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ અનુસાર,જો કોઈ તંત્ર પર લાગતું પરિણામી બાહ્ય ટોર્ક શૂન્ય હોય,તો તંત્રનું કુલ કોણીય વેગમાન અચળ રહે છે.
આ કિસ્સામાં,ગોળો મુક્ત અવકાશમાં મુક્તપણે ફરી રહ્યો છે,જેનો અર્થ છે કે તેના પર કોઈ બાહ્ય ટોર્ક લાગતું નથી $({\tau_{ext}} = 0)$.
જેથી ${\tau_{ext}} = \frac{dL}{dt} = 0$,તેથી કોણીય વેગમાન $(L)$ અચળ રહેવું જોઈએ.
જ્યારે ગોળાની ત્રિજ્યા વધે છે,ત્યારે તેની જડત્વની ચાકમાત્રા $(I = \frac{2}{5}MR^2)$ વધે છે. $L = I\omega$ અચળ હોવાથી,કોણીય વેગ $(\omega)$ ઘટશે અને ચાકગતિ ઉર્જા $(K = \frac{L^2}{2I})$ પણ બદલાશે. તેથી,માત્ર કોણીય વેગમાન જ અચળ રહે છે.

(B) કેપ્લરના ગ્રહોની ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,ગ્રહનો ક્ષેત્રીય વેગ અચળ રહે છે. આનો અર્થ એ છે કે જ્યારે ગ્રહ સૂર્યની નજીક હોય ત્યારે તે ઝડપથી ગતિ કરે છે અને જ્યારે તે દૂર હોય ત્યારે ધીમી ગતિ કરે છે.
બિંદુ $A$ એ પેરિહેલિયન (સૂર્યની સૌથી નજીક) છે,અને બિંદુ $C$ એ એફેલિયન (સૂર્યથી સૌથી દૂર) છે. બિંદુ $B$ એ મધ્યવર્તી અંતરે છે.
તેથી,આ સ્થાનો પરની કક્ષીય ઝડપનો સંબંધ આ મુજબ છે: $v_A > v_B > v_C$.
ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2}mv^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,તેથી તે ઝડપના વર્ગના સમપ્રમાણમાં છે $(K \propto v^2)$.
આમ,આ સ્થાનો પરની ગતિઊર્જાનો સંબંધ આ મુજબ છે: $K_A > K_B > K_C$.

(C) પૃથ્વીની સપાટી પર ગુરુત્વપ્રવેગ $g = \frac{GM}{R^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $M$ એ પૃથ્વીનું દળ છે અને $R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.
નોંધો કે સૂર્યનું દળ પૃથ્વીની સપાટી પર $g$ ના મૂલ્યને અસર કરતું નથી.
જો સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષણ અચળાંક $G$ એ $10G$ થઈ જાય,તો નવો ગુરુત્વપ્રવેગ $g'$ એ $g' = \frac{(10G)M}{R^2} = 10g$ થશે.
જેથી $g' = 10g$ થાય છે,ગુરુત્વપ્રવેગમાં નોંધપાત્ર વધારો થાય છે.
$1$. વરસાદના ટીપાં ઝડપથી પડશે કારણ કે ગુરુત્વપ્રવેગ વધારે છે.
$2$. જમીન પર ચાલવું વધુ મુશ્કેલ બનશે કારણ કે વ્યક્તિનું અસરકારક વજન વધે છે.
$3$. સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ છે. જેમ $g$ વધે છે,તેમ $T$ ઘટશે.
$4$. વિધાન 'પૃથ્વી પર $g$ બદલાશે નહીં' ખોટું છે કારણ કે $g$ દસ ગણો વધે છે.

(A) યંગ મોડ્યુલસનું સૂત્ર $Y = \frac{Fl}{A\Delta l}$ છે.
બંને તારનું કદ $V = A \times L$ સમાન હોવાથી,અને આડછેદના ક્ષેત્રફળ $A_1 = A$ અને $A_2 = 3A$ હોવાથી,તેમની લંબાઈ અનુક્રમે $L_1 = 3l$ અને $L_2 = l$ થશે.
પ્રથમ તાર માટે:
$\Delta l = \frac{F \cdot (3l)}{A \cdot Y} = \frac{3Fl}{AY} \quad ...(i)$
બીજા તાર માટે,ધારો કે જરૂરી બળ $F'$ છે. લંબાઈમાં વધારો $\Delta l$ સમાન છે:
$\Delta l = \frac{F' \cdot l}{(3A) \cdot Y} = \frac{F'l}{3AY} \quad ...(ii)$
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ ને સરખાવતા:
$\frac{3Fl}{AY} = \frac{F'l}{3AY}$
$3F = \frac{F'}{3}$
$F' = 9F$

(D) સ્નિગ્ધ ડ્રેગ બળ સ્ટોક્સના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $F = 6\pi \eta rv$,જ્યાં $v$ એ ટર્મિનલ વેગ છે.
ઉષ્મા ઉત્પન્ન થવાનો દર એ સ્નિગ્ધ બળ દ્વારા વ્યય થતા પાવર જેટલો હોય છે:
$P = F \cdot v = (6\pi \eta rv) \cdot v = 6\pi \eta r v^2$.
સ્નિગ્ધ પ્રવાહીમાં પડતા ગોળાનો ટર્મિનલ વેગ $v$ નીચે મુજબ છે:
$v = \frac{2r^2(\rho - \sigma)g}{9\eta}$,જે સૂચવે છે કે $v \propto r^2$.
પાવરના સમીકરણમાં $v \propto r^2$ મૂકતા:
$P \propto r \cdot (r^2)^2 = r \cdot r^4 = r^5$.
તેથી,ઉષ્મા ઉત્પન્ન થવાનો દર $r^5$ ના પ્રમાણમાં છે.

(A) આલેખ પરથી,$V \propto T$,જે સૂચવે છે કે પ્રક્રિયા સમદાબી (અચળ દબાણ) છે.
સમદાબી પ્રક્રિયા માટે,શોષાયેલી ઉષ્મા $dQ = nC_p dT$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $C_p$ એ અચળ દબાણે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા છે.
મોનોએટોમિક વાયુ માટે,મુક્તિના અંશો $f = 3$ છે. તેથી,$C_p = \frac{f+2}{2}R = \frac{3+2}{2}R = \frac{5}{2}R$.
તેથી,$dQ = n \left( \frac{5}{2}R \right) dT$.
વાયુ દ્વારા થયેલ કાર્ય $dW = PdV$ છે. $PV = nRT$ હોવાથી,અચળ દબાણની પ્રક્રિયા માટે,$PdV = nRdT$ થાય.
જરૂરી ગુણોત્તર $\frac{dW}{dQ} = \frac{nRdT}{n(\frac{5}{2}R)dT} = \frac{1}{5/2} = \frac{2}{5}$ છે.

(A) આદર્શ (કાર્નોટ) હીટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતાનું સૂત્ર: $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ છે.
અહીં,$T_1$ એ સ્રોતનું તાપમાન (પાણીનું ઉત્કલનબિંદુ) છે અને $T_2$ એ સિંકનું તાપમાન (પાણીનું ઠારબિંદુ) છે.
પાણીનું ઠારબિંદુ,$T_2 = 0^{\circ}C = 273\,K$.
પાણીનું ઉત્કલનબિંદુ,$T_1 = 100^{\circ}C = (100 + 273)\,K = 373\,K$.
આ કિંમતોને કાર્યક્ષમતાના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\eta = 1 - \frac{273}{373} = \frac{373 - 273}{373} = \frac{100}{373}$.
આને ટકાવારીમાં દર્શાવવા માટે:
$\% \eta = \left( \frac{100}{373} \right) \times 100 \approx 26.8\%$.

(B) ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$.
પ્રથમ,ઉષ્મા ઉર્જાને કેલરીમાંથી જૂલમાં રૂપાંતરિત કરો: $\Delta Q = 54 \, cal \times 4.18 \, J/cal = 225.72 \, J$.
ત્યારબાદ,વિસ્તરણ દરમિયાન થયેલ કાર્યની ગણતરી કરો: $\Delta W = P \Delta V$.
અહીં $P = 1.013 \times 10^5 \, N/m^2$ અને $\Delta V = 167.1 \, cc = 167.1 \times 10^{-6} \, m^3$ આપેલ છે.
$\Delta W = 1.013 \times 10^5 \times 167.1 \times 10^{-6} \approx 16.93 \, J$.
હવે,આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર શોધો: $\Delta U = \Delta Q - \Delta W$.
$\Delta U = 225.72 \, J - 16.93 \, J = 208.79 \, J$.
આમ,નજીકના વિકલ્પ મુજબ $\Delta U \approx 208.7 \, J$ મળે છે.

(B) $SHM$ કરતી કણના પ્રવેગનું મૂલ્ય $|a| = \omega^2 y$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે અને $y$ એ મધ્યમાન સ્થાનથી સ્થાનાંતર છે.
આપેલ છે: $|a| = 20 \; m/s^2$ અને $y = 5 \; m$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા: $20 = \omega^2 (5)$.
$\omega^2 = 4 \Rightarrow \omega = 2 \; rad/s$.
આવર્તકાળ $T$ નું સૂત્ર $T = \frac{2\pi}{\omega}$ છે.
$T = \frac{2\pi}{2} = \pi \; s$.

(A) $l'$ લંબાઈ ધરાવતી ખુલ્લી ઓર્ગન પાઇપની મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_{open} = \frac{v}{2l'}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$l$ લંબાઈ ધરાવતી બંધ ઓર્ગન પાઇપની આવૃત્તિઓ $f_n = \frac{nv}{4l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n = 1, 3, 5, \dots$ (એકી હાર્મોનિક્સ).
બંધ ઓર્ગન પાઇપનો ત્રીજો હાર્મોનિક $n = 3$ ને અનુરૂપ છે,તેથી $f_{closed, 3} = \frac{3v}{4l}$ થાય.
પ્રશ્ન મુજબ,$f_{open} = f_{closed, 3}$ છે.
તેથી,$\frac{v}{2l'} = \frac{3v}{4l}$ થાય.
$l'$ માટે સાદું રૂપ આપતા,$l' = \frac{4l}{6} = \frac{2l}{3}$ મળે.
અહીં $l = 20 \ cm$ આપેલ હોવાથી,$l' = \frac{2 \times 20}{3} = \frac{40}{3} \approx 13.33 \ cm$ થાય.

(B) અનુનાદ નળીના પ્રયોગમાં,બે ક્રમિક અનુનાદ સ્થાનો વચ્ચેનું અંતર ધ્વનિ તરંગની તરંગલંબાઈના અડધા જેટલું હોય છે,એટલે કે $\frac{\lambda}{2} = L_2 - L_1$.
અહીં,$L_1 = 20\,cm = 0.20\,m$ અને $L_2 = 73\,cm = 0.73\,m$ આપેલ છે.
તેથી,$\frac{\lambda}{2} = 0.73\,m - 0.20\,m = 0.53\,m$.
આનો અર્થ એ છે કે $\lambda = 2 \times 0.53\,m = 1.06\,m$.
ધ્વનિનો વેગ $v$ એ સૂત્ર $v = f \lambda$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $f$ એ ટ્યુનિંગ ફોર્કની આવૃત્તિ છે.
અહીં $f = 320\,Hz$ આપેલ છે.
$v = 320 \times 1.06 = 339.2\,m/s$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,ધ્વનિનો વેગ $339\,m/s$ છે.

(B) $4m$ દળ ધરાવતા બ્લોકનો અંતિમ વેગ $v'$ ધારો.
$m$ દળ ધરાવતા બ્લોકનો પ્રારંભિક વેગ $= v$.
$4m$ દળ ધરાવતા બ્લોકનો પ્રારંભિક વેગ $= 0$.
$m$ દળ ધરાવતા બ્લોકનો અંતિમ વેગ $= 0$.
રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$mv + 4m(0) = m(0) + 4mv'$
$mv = 4mv'$
$v' = v/4$
રિસ્ટિટ્યુશનનો ગુણાંક $(e)$ એ છૂટા પડવાના સાપેક્ષ વેગ અને નજીક આવવાના સાપેક્ષ વેગનો ગુણોત્તર છે:
$e = \frac{\text{છૂટા પડવાનો સાપેક્ષ વેગ}}{\text{નજીક આવવાનો સાપેક્ષ વેગ}}$
$e = \frac{v' - 0}{v - 0} = \frac{v/4}{v} = 0.25$

(A) અલગ કરેલા સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટર માટે,પ્લેટો પરનો વિદ્યુતભાર $Q$ અચળ રહે છે.
એક પ્લેટ દ્વારા બીજી પ્લેટના સ્થાન પર ઉત્પન્ન થતું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\sigma = \frac{Q}{A}$ એ પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા છે.
બીજી પ્લેટના વિદ્યુતક્ષેત્રને કારણે એક પ્લેટ દ્વારા અનુભવાતું સ્થિત-વિદ્યુત બળ $F = Q \times E$ છે.
$E$ નું સૂત્ર મૂકતા,આપણને $F = Q \times \frac{Q}{2A\varepsilon_0} = \frac{Q^2}{2A\varepsilon_0}$ મળે છે.
અહીં $Q$,$A$ અને $\varepsilon_0$ અચળ હોવાથી,બળ $F$ એ પ્લેટો વચ્ચેના અંતર $d$ થી સ્વતંત્ર છે.

(A) અચળ વિદ્યુત બળ હેઠળ સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થતા કણ માટે ગતિનું સમીકરણ $h = \frac{1}{2} a t^2$ છે,જ્યાં $a = \frac{qE}{m}$ છે.
$a$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $h = \frac{1}{2} \left( \frac{eE}{m} \right) t^2$ મળે છે.
તેથી,પડવા માટેનો સમય $t = \sqrt{\frac{2hm}{eE}}$ થાય છે.
અહીં $h$,$e$,અને $E$ બંને કણો માટે અચળ હોવાથી,$t \propto \sqrt{m}$ થાય છે.
ઇલેક્ટ્રોનનું દળ $(m_e \approx 9.1 \times 10^{-31} \text{ kg})$ પ્રોટોનના દળ $(m_p \approx 1.67 \times 10^{-27} \text{ kg})$ કરતા ઘણું ઓછું હોવાથી,ઇલેક્ટ્રોનને લાગતો સમય પ્રોટોનને લાગતા સમય કરતા ઓછો હશે.

(B) પ્રવેગ $a = \frac{v - u}{t} = \frac{6 - 0}{1} = 6\, m s^{-2}$ છે.
સમયગાળા $t = 0$ થી $t = 1\, s$ માટે:
સ્થાનાંતર $S_1 = u t + \frac{1}{2} a t^2 = 0 + \frac{1}{2} \times 6 \times (1)^2 = 3\, m$.
$t = 1\, s$ પર,વિદ્યુતક્ષેત્ર ઉલટાવવામાં આવે છે,તેથી નવો પ્રવેગ $a' = -6\, m s^{-2}$ થાય છે.
સમયગાળા $t = 1\, s$ થી $t = 2\, s$ માટે:
સ્થાનાંતર $S_2 = v_1 t + \frac{1}{2} a' t^2 = 6 \times 1 + \frac{1}{2} \times (-6) \times (1)^2 = 6 - 3 = 3\, m$.
સમયગાળા $t = 2\, s$ થી $t = 3\, s$ માટે:
$t = 2\, s$ પર વેગ $v_2 = v_1 + a' t = 6 + (-6) \times 1 = 0\, m s^{-1}$ છે.
સ્થાનાંતર $S_3 = v_2 t + \frac{1}{2} a' t^2 = 0 \times 1 + \frac{1}{2} \times (-6) \times (1)^2 = -3\, m$.
કુલ સ્થાનાંતર $S = S_1 + S_2 + S_3 = 3 + 3 - 3 = 3\, m$.
સરેરાશ વેગ = $\frac{\text{કુલ સ્થાનાંતર}}{\text{કુલ સમય}} = \frac{3}{3} = 1\, m s^{-1}$.
કુલ અંતર = $|S_1| + |S_2| + |S_3| = 3 + 3 + 3 = 9\, m$.
સરેરાશ ઝડપ = $\frac{\text{કુલ અંતર}}{\text{કુલ સમય}} = \frac{9}{3} = 3\, m s^{-1}$.

(A) જ્યારે $R$ અવરોધ ધરાવતા $n$ અવરોધોને શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે સમતુલ્ય અવરોધ $n R$ થાય છે. આંતરિક અવરોધ $R$ ને ગણતા પરિપથનો કુલ અવરોધ $(n R + R)$ થાય છે.
તેથી,પ્રવાહ $I = \frac{E}{n R + R} = \frac{E}{R(n + 1)}$ .....$(i)$
જ્યારે $n$ અવરોધોને સમાંતરમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે સમતુલ્ય અવરોધ $R/n$ થાય છે. પરિપથનો કુલ અવરોધ $(R/n + R)$ થાય છે.
તેથી,નવો પ્રવાહ $10I = \frac{E}{R/n + R} = \frac{E}{R(\frac{1+n}{n})} = \frac{nE}{R(n+1)}$ .....$(ii)$
સમીકરણ $(ii)$ ને સમીકરણ $(i)$ વડે ભાગતા:
$\frac{10I}{I} = \frac{nE / R(n+1)}{E / R(n+1)}$
$10 = n$
આમ,$n$ નું મૂલ્ય $10$ છે.

(A) જ્યારે $n$ સમાન કોષો,દરેકનું ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $\varepsilon$ અને આંતરિક અવરોધ $r$ હોય,શ્રેણીમાં જોડાયેલા હોય,ત્યારે બેટરીનું કુલ ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $n\varepsilon$ થાય છે અને કુલ આંતરિક અવરોધ $nr$ થાય છે.
જ્યારે ટર્મિનલ્સ શોર્ટ-સર્કિટ કરવામાં આવે છે,ત્યારે સર્કિટમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I$ ઓહ્મના નિયમ દ્વારા નીચે મુજબ મળે છે:
$I = \frac{\text{કુલ EMF}}{\text{કુલ અવરોધ}} = \frac{n\varepsilon}{nr} = \frac{\varepsilon}{r}$
આમ,$\varepsilon$ અને $r$ અચળ હોવાથી,પ્રવાહ $I$ એ કોષોની સંખ્યા $n$ પર આધારિત નથી. તેથી,$I$ વિરુદ્ધ $n$ નો આલેખ એક આડી સીધી રેખા છે,જે આલેખ $A$ ને અનુરૂપ છે.

(D) પ્રવાહ સંવેદનશીલતા $(I_s)$ ને એકમ પ્રવાહ દીઠ વિચલન તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે: $I_s = \frac{\theta}{I}$.
વોલ્ટેજ સંવેદનશીલતા $(V_s)$ ને એકમ વોલ્ટેજ દીઠ વિચલન તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે: $V_s = \frac{\theta}{V}$.
જેમ કે $V = IR$,જ્યાં $R$ એ ગેલ્વેનોમીટરનો અવરોધ $(R_G)$ છે,તેથી $V_s = \frac{\theta}{I R_G} = \frac{I_s}{R_G}$.
તેથી,ગેલ્વેનોમીટરનો અવરોધ $R_G = \frac{I_s}{V_s}$ થાય.
આપેલ છે: $I_s = 5\,div/mA = 5\,div/(10^{-3}\,A) = 5000\,div/A$.
આપેલ છે: $V_s = 20\,div/V$.
કિંમતો મૂકતા: $R_G = \frac{5000}{20} = 250\,\Omega$.

(A) જ્યારે વિદ્યુતચુંબકમાં પ્રવાહ ચાલુ કરવામાં આવે છે,ત્યારે તે અસમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર બનાવે છે. ડાયામેગ્નેટિક પદાર્થો ચુંબકીય ક્ષેત્ર દ્વારા નબળા રીતે અપાકર્ષાય છે અને મજબૂત ચુંબકીય ક્ષેત્રવાળા વિસ્તારોમાંથી નબળા ચુંબકીય ક્ષેત્રવાળા વિસ્તારો તરફ જવાનું વલણ ધરાવે છે. જેમ જેમ સળિયો ગુરુત્વાકર્ષણની વિરુદ્ધ ઉપરની તરફ ધકેલાય છે,તેમ તે ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિ ઊર્જા મેળવે છે. આ ઊર્જા બાહ્ય પ્રવાહ સ્ત્રોત દ્વારા પૂરી પાડવામાં આવે છે જે વિદ્યુતચુંબકમાં ચુંબકીય ક્ષેત્ર જાળવી રાખે છે.

(B) અરીસાના સૂત્ર $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} + \frac{1}{u}$ નો ઉપયોગ કરતા.
અંતર્ગોળ અરીસા માટે,$f = -15 \, cm$.
શરૂઆતમાં,વસ્તુનું અંતર $u_1 = -40 \, cm$.
$\frac{1}{-15} = \frac{1}{v_1} + \frac{1}{-40} \Rightarrow \frac{1}{v_1} = \frac{1}{40} - \frac{1}{15} = \frac{3 - 8}{120} = \frac{-5}{120} = -\frac{1}{24}$.
તેથી,$v_1 = -24 \, cm$ (પ્રતિબિંબ અરીસાની સામે $24 \, cm$ અંતરે છે).
જ્યારે વસ્તુને અરીસા તરફ $20 \, cm$ ખસેડવામાં આવે,ત્યારે નવું વસ્તુ અંતર $u_2 = -(40 - 20) = -20 \, cm$.
$\frac{1}{-15} = \frac{1}{v_2} + \frac{1}{-20} \Rightarrow \frac{1}{v_2} = \frac{1}{20} - \frac{1}{15} = \frac{3 - 4}{60} = -\frac{1}{60}$.
તેથી,$v_2 = -60 \, cm$ (પ્રતિબિંબ અરીસાની સામે $60 \, cm$ અંતરે છે).
પ્રતિબિંબનું સ્થાનાંતર $|v_2 - v_1| = |-60 - (-24)| = |-36| = 36 \, cm$ છે.
પ્રતિબિંબનું અંતર વધતું હોવાથી,પ્રતિબિંબ અરીસાથી $36 \, cm$ દૂર ખસશે.

(B) પ્રકાશનું કિરણ તેના માર્ગે પાછું ફરે તે માટે,તેણે સિલ્વર કરેલી સપાટી પર લંબરૂપે (સપાટી સાથે $90^{\circ}$ ના ખૂણે) આપાત થવું જોઈએ.
ધારો કે પ્રથમ સપાટી પરનો આપાતકોણ $i$ છે અને વક્રીભવનકોણ $r_1$ છે. પ્રિઝમનો ખૂણો $A = 30^{\circ}$ છે.
કિરણ બીજી સપાટી પર લંબરૂપે આપાત થતું હોવાથી,બીજી સપાટી પરનો વક્રીભવનકોણ $r_2 = 0^{\circ}$ થશે.
પ્રિઝમના સૂત્ર $A = r_1 + r_2$ પરથી,આપણને મળે છે $30^{\circ} = r_1 + 0^{\circ}$,તેથી $r_1 = 30^{\circ}$.
પ્રથમ સપાટી પર સ્નેલનો નિયમ લાગુ પાડતા:
$\mu = \frac{\sin i}{\sin r_1}$
$\sqrt{2} = \frac{\sin i}{\sin 30^{\circ}}$
$\sin i = \sqrt{2} \times \sin 30^{\circ} = \sqrt{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$
તેથી,$i = 45^{\circ}$.

(D) ખગોળીય ટેલિસ્કોપ માટે,કોણીય મોટવણી $M = \frac{f_o}{f_e}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $f_o$ એ ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ છે અને $f_e$ એ આઈપીસની કેન્દ્રલંબાઈ છે.
મોટી કોણીય મોટવણી મેળવવા માટે,ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f_o$ મોટી હોવી જોઈએ.
ટેલિસ્કોપનું કોણીય વિભેદન $\theta = \frac{1.22 \lambda}{D}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $D$ એ ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સનો વ્યાસ છે અને $\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઈ છે.
ઉચ્ચ કોણીય વિભેદન મેળવવા માટે,$\theta$ નું મૂલ્ય નાનું હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સનો વ્યાસ $D$ મોટો હોવો જોઈએ.
તેથી,ખગોળીય વક્રીભૂત ટેલિસ્કોપ માટે મોટી કેન્દ્રલંબાઈ અને મોટા વ્યાસવાળા ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સની જરૂર હોય છે.

(A) વિદ્યુતક્ષેત્રને કારણે ઇલેક્ટ્રોન પર લાગતું બળ $\vec{F} = q\vec{E} = (-e)(-E_0 \hat{i}) = eE_0 \hat{i}$ છે.
ઇલેક્ટ્રોનમાં ઉત્પન્ન થતો પ્રવેગ $\vec{a} = \frac{\vec{F}}{m} = \frac{eE_0}{m} \hat{i}$ છે.
$t$ સમયે ઇલેક્ટ્રોનનો વેગ $\vec{v}_t = \vec{v} + \vec{a}t = \left(V_0 + \frac{eE_0}{m}t\right) \hat{i}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વેગનું મૂલ્ય $v_t = V_0 + \frac{eE_0}{m}t = V_0 \left(1 + \frac{eE_0}{mV_0}t\right)$ છે.
$t$ સમયે ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda_t = \frac{h}{mv_t}$ છે.
$v_t$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $\lambda_t = \frac{h}{m V_0 \left(1 + \frac{eE_0}{mV_0}t\right)}$ મળે છે.
પ્રારંભિક ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda_0 = \frac{h}{mV_0}$ હોવાથી,$\lambda_t = \frac{\lambda_0}{\left(1 + \frac{eE_0}{mV_0}t\right)}$ થાય છે.

(A) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,$K_{max} = h\nu - W_0 = \frac{1}{2}mv^2$,જ્યાં $W_0 = h\nu_0$.
$2\nu_0$ આવૃત્તિ માટે:
$h(2\nu_0) = h\nu_0 + \frac{1}{2}mv_1^2$
$h\nu_0 = \frac{1}{2}mv_1^2$ ..... $(i)$
$5\nu_0$ આવૃત્તિ માટે:
$h(5\nu_0) = h\nu_0 + \frac{1}{2}mv_2^2$
$4h\nu_0 = \frac{1}{2}mv_2^2$ ..... $(ii)$
સમીકરણ $(i)$ ને $(ii)$ વડે ભાગતા:
$\frac{h\nu_0}{4h\nu_0} = \frac{\frac{1}{2}mv_1^2}{\frac{1}{2}mv_2^2}$
$\frac{1}{4} = \frac{v_1^2}{v_2^2}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\frac{v_1}{v_2} = \frac{1}{2}$
આમ,ગુણોત્તર $1:2$ છે.

(C) ઇન્ડક્ટન્સ $L$ ધરાવતા ઇન્ડક્ટરમાં $I$ પ્રવાહ વહેતો હોય ત્યારે સંગ્રહિત ચુંબકીય સ્થિતિ ઊર્જા $U$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$U = \frac{1}{2} L I^{2}$
આપેલ છે:
$U = 25\, mJ = 25 \times 10^{-3}\, J$
$I = 60\, mA = 60 \times 10^{-3}\, A = 6 \times 10^{-2}\, A$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$25 \times 10^{-3} = \frac{1}{2} \times L \times (6 \times 10^{-2})^{2}$
$25 \times 10^{-3} = \frac{1}{2} \times L \times 36 \times 10^{-4}$
$25 \times 10^{-3} = L \times 18 \times 10^{-4}$
$L = \frac{25 \times 10^{-3}}{18 \times 10^{-4}}$
$L = \frac{250}{18} = 13.888...\, H \approx 13.89\, H$.

(C) ઢળતા સમતલ પર નીચેની તરફ લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F_g = mg \sin 30^{\circ}$ છે.
સળિયા પર લાગતું ચુંબકીય બળ $F_m = IlB$ છે,જે સમક્ષિતિજ દિશામાં લાગે છે. ઢળતા સમતલની ઉપરની તરફ લાગતો આ ચુંબકીય બળનો ઘટક $F_{m, \text{up}} = IlB \cos 30^{\circ}$ છે.
સળિયાને સ્થિર રાખવા માટે,ઢળતા સમતલ પરના બળો સંતુલિત હોવા જોઈએ:
$mg \sin 30^{\circ} = IlB \cos 30^{\circ}$
વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ માટે સૂત્ર બનાવતા:
$I = \frac{mg}{lB} \tan 30^{\circ}$
અહીં એકમ લંબાઈ દીઠ દળ $\frac{m}{l} = 0.5\; kg\; m^{-1}$,$B = 0.25\; T$,અને $g = 9.8\; m/s^2$ આપેલ છે:
$I = \frac{0.5 \times 9.8}{0.25} \times \tan 30^{\circ}$
$I = 2 \times 9.8 \times \frac{1}{\sqrt{3}}$
$I = \frac{19.6}{1.732} \approx 11.32\; A$

(A) આપેલ મૂલ્યો $L = 20 \, mH = 20 \times 10^{-3} \, H$,$C = 100 \, \mu F = 100 \times 10^{-6} \, F$,$R = 50 \, \Omega$,અને $V = 10 \sin(314 \, t)$ છે.
$V = V_0 \sin(\omega t)$ સાથે સરખાવતા,આપણને $V_0 = 10 \, V$ અને $\omega = 314 \, rad/s$ મળે છે.
ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = \omega L = 314 \times 20 \times 10^{-3} = 6.28 \, \Omega$ છે.
કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{314 \times 100 \times 10^{-6}} = \frac{1}{0.0314} \approx 31.85 \, \Omega$ છે.
ઇમ્પિડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + (X_C - X_L)^2} = \sqrt{50^2 + (31.85 - 6.28)^2} = \sqrt{2500 + (25.57)^2} = \sqrt{2500 + 653.8} = \sqrt{3153.8} \approx 56.16 \, \Omega$ છે.
$RMS$ વોલ્ટેજ $V_{rms} = \frac{V_0}{\sqrt{2}} = \frac{10}{\sqrt{2}} \, V$ છે.
પાવરનો વ્યય $P_{av} = I_{rms}^2 R = \left(\frac{V_{rms}}{Z}\right)^2 R = \left(\frac{10}{\sqrt{2} \times 56.16}\right)^2 \times 50$ છે.
$P_{av} = \left(\frac{10}{79.42}\right)^2 \times 50 = (0.1259)^2 \times 50 = 0.01585 \times 50 \approx 0.79 \, W$.

(B) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગના પ્રસરણની દિશા પોઈન્ટિંગ વેક્ટરની દિશા દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે $\vec{S} \propto \vec{E} \times \vec{B}$ છે.
આપેલ છે કે વેગ $\vec{v}$ એ $+x$ અક્ષ $(\hat{i})$ ની દિશામાં છે અને વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ એ $+y$ અક્ષ $(\hat{j})$ ની દિશામાં છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\vec{v} \parallel (\vec{E} \times \vec{B})$.
જાણીતી દિશાઓ મૂકતા: $\hat{i} = \hat{j} \times \vec{B}_{dir}$.
કાર્તેઝિયન યામ પદ્ધતિમાં એકમ સદિશોના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરતા,આપણે જાણીએ છીએ કે $\hat{j} \times \hat{k} = \hat{i}$.
તેથી,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ ની દિશા $+z$ અક્ષ $(\hat{k})$ ની દિશામાં હોવી જોઈએ.
આમ,દોલિત ચુંબકીય ક્ષેત્ર $+z$ દિશામાં છે.

(B) જ્યારે પરાવર્તિત અને વક્રીભૂત કિરણો એકબીજાને લંબ હોય,ત્યારે આપાતકોણ $i$ ને બ્રુસ્ટર કોણ $(i_B)$ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.
બ્રુસ્ટરના નિયમ મુજબ,વક્રીભવનાંક $\mu$ એ $\mu = \tan(i_B)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ સ્થિતિમાં,પરાવર્તિત પ્રકાશ સંપૂર્ણપણે સમતલ-ધ્રુવીભૂત હોય છે,અને તેનો વિદ્યુત ક્ષેત્ર સદિશ આપાતકોણના સમતલને લંબ હોય છે.

(B) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં ફ્રિન્જની કોણીય પહોળાઈ $\theta$ નું સૂત્ર: $\theta = \frac{\lambda}{d}$ છે.
પ્રારંભિક શરતો મુજબ: $\theta_1 = 0.20^\circ$ અને $d_1 = 2 \ mm$.
તેથી,$0.20^\circ = \frac{\lambda}{2 \ mm}$ .... $(i)$.
નવી શરત માટે: $\theta_2 = 0.21^\circ$ અને $d_2 = d$.
તેથી,$0.21^\circ = \frac{\lambda}{d}$ .... $(ii)$.
સમીકરણ $(i)$ ને સમીકરણ $(ii)$ વડે ભાગતા:
$\frac{0.20}{0.21} = \frac{d}{2 \ mm}$.
$d$ માટે ઉકેલતા:
$d = \frac{0.20 \times 2}{0.21} \ mm = \frac{0.40}{0.21} \ mm \approx 1.9047 \ mm$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,$d = 1.9 \ mm$ મળે છે.

(B) હાઇડ્રોજન પરમાણુની બોહર કક્ષામાં,કુલ ઊર્જા $E$ એ $E = -K$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $K$ એ ગતિઊર્જા છે.
આ સંબંધ એટલા માટે ઉદ્ભવે છે કારણ કે કુલ ઊર્જા એ ગતિઊર્જા અને સ્થિતિઊર્જાનો સરવાળો છે,$E = K + U$,અને બોહર કક્ષા માટે,$U = -2K$ હોય છે.
તેથી,$E = K + (-2K) = -K$.
આમ,ગતિઊર્જા અને કુલ ઊર્જાનો ગુણોત્તર $K/E = K/(-K) = 1:-1$ થાય છે.

(A) વિઘટન પછી બાકી રહેલા ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N = N_{0} - N_{\text{disintegrated}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $N_{0} = 600$ અને $N_{\text{disintegrated}} = 450$ આપેલ છે,તેથી બાકી રહેલા ન્યુક્લિયસ $N = 600 - 450 = 150$ થશે.
રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયના નિયમ મુજબ,$\frac{N}{N_{0}} = \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T_{1/2}}}$,જ્યાં $T_{1/2} = 10$ મિનિટ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{150}{600} = \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{10}}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\frac{1}{4} = \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{10}}$ મળે.
કારણ કે $\frac{1}{4} = \left(\frac{1}{2}\right)^{2}$,તેથી $\left(\frac{1}{2}\right)^{2} = \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{10}}$.
ઘાતાંકોને સરખાવતા: $2 = \frac{t}{10}$,જેનો અર્થ છે કે $t = 20$ મિનિટ.

(C) આપેલ છે: $V_{BE} = 0$,$V_{CE} = 0$,$V_i = 20\, V$,$R_B = 500\, k\Omega$,$R_C = 4\, k\Omega$.
આઉટપુટ સર્કિટ (કલેક્ટર-એમિટર લૂપ) માટે:
$V_{CC} = I_C R_C + V_{CE}$
અહીં $V_{CE} = 0$ હોવાથી:
$20\, V = I_C \times (4 \times 10^3\,\Omega) + 0$
$I_C = \frac{20}{4 \times 10^3} = 5 \times 10^{-3}\, A = 5\, mA$.
ઇનપુટ સર્કિટ (બેઝ-એમિટર લૂપ) માટે:
$V_i = I_B R_B + V_{BE}$
અહીં $V_{BE} = 0$ હોવાથી:
$20\, V = I_B \times (500 \times 10^3\,\Omega) + 0$
$I_B = \frac{20}{500 \times 10^3} = 40 \times 10^{-6}\, A = 40\,\mu A$.
કરન્ટ ગેઇન $\beta$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\beta = \frac{I_C}{I_B} = \frac{5 \times 10^{-3}\, A}{40 \times 10^{-6}\, A} = \frac{5000}{40} = 125$.

(C) જ્યારે $p-n$ જંકશન ડાયોડનું તાપમાન વધે છે,ત્યારે ઉષ્મીય ઉર્જાને કારણે વધુ સહસંયોજક બંધો તૂટે છે,જેના પરિણામે ઇલેક્ટ્રોન-હોલ જોડીઓની સંખ્યામાં વધારો થાય છે.
ચાર્જ કેરિયર્સમાં આ વધારો સેમિકન્ડક્ટર મટીરીયલના અવરોધમાં ઘટાડો કરે છે.
પરિણામે,ફોરવર્ડ કરંટ અને રિવર્સ સેચ્યુરેશન કરંટ બંને નોંધપાત્ર રીતે પ્રભાવિત થાય છે.
તેથી,$p-n$ જંકશન ડાયોડની એકંદરે $V-I$ લાક્ષણિકતાઓ તાપમાનમાં થતા ફેરફાર દ્વારા બદલાય છે.

(B) આપેલ સર્કિટમાં બે $AND$ ગેટ,બે $NOT$ ગેટ અને એક $OR$ ગેટનો સમાવેશ થાય છે.
$1$. ઉપરનો $AND$ ગેટ $A$ અને $\overline{B}$ ઇનપુટ મેળવે છે (કારણ કે $B$ એ $NOT$ ગેટમાંથી પસાર થાય છે). તેનું આઉટપુટ $A \cdot \overline{B}$ છે.
$2$. નીચેનો $AND$ ગેટ $\overline{A}$ (કારણ કે $A$ એ $NOT$ ગેટમાંથી પસાર થાય છે) અને $B$ ઇનપુટ મેળવે છે. તેનું આઉટપુટ $\overline{A} \cdot B$ છે.
$3$. આ બંને આઉટપુટને $OR$ ગેટમાં આપવામાં આવે છે. તેથી,અંતિમ આઉટપુટ $Y$ એ આ બે અભિવ્યક્તિઓનો સરવાળો છે: $Y = A \cdot \overline{B} + \overline{A} \cdot B$.
આ $XOR$ (એક્સક્લુઝિવ-$OR$) ગેટ માટેનું બુલિયન સમીકરણ છે.

(C) આપેલ અવરોધ $(47 \pm 4.7) \; k\Omega = 47 \times 10^3 \; \Omega \pm 10 \%$ છે.
કાર્બન અવરોધના કલર કોડ મુજબ:
$1$. પ્રથમ અંક $4$ છે, જે પીળા રંગને અનુરૂપ છે.
$2$. બીજો અંક $7$ છે, જે જાંબલી રંગને અનુરૂપ છે.
$3$. ગુણક $10^3$ છે, જે નારંગી રંગને અનુરૂપ છે.
$4$. ટોલરન્સ $10 \%$ છે, જે સિલ્વર રંગને અનુરૂપ છે.
તેથી, રંગ કોડનો ક્રમ પીળો - જાંબલી - નારંગી - સિલ્વર છે.