NEET 2020 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A) પૃથ્વીની સપાટી પર પદાર્થનું વજન $W = mg = 72 \ N$ છે.
પૃથ્વીની સપાટીથી $h$ ઊંચાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગ $g'$ નું સૂત્ર $g' = g \left( \frac{R}{R + h} \right)^2$ છે,જ્યાં $R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.
અહીં $h = \frac{R}{2}$ આપેલ છે,તેથી સૂત્રમાં કિંમત મુકતા:
$g' = g \left( \frac{R}{R + \frac{R}{2}} \right)^2 = g \left( \frac{R}{\frac{3R}{2}} \right)^2 = g \left( \frac{2}{3} \right)^2 = \frac{4}{9}g$.
$h$ ઊંચાઈએ પદાર્થનું વજન $W' = mg' = m \left( \frac{4}{9}g \right) = \frac{4}{9} W$ થશે.
$W = 72 \ N$ ની કિંમત મુકતા:
$W' = \frac{4}{9} \times 72 = 4 \times 8 = 32 \ N$.

(D) ઉગમબિંદુની સાપેક્ષ ટોર્ક $\vec{\tau}$ એ સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ અને બળ સદિશ $\vec{F}$ ના સદિશ ગુણાકાર (cross product) દ્વારા મળે છે.
આપેલ છે: $\vec{F} = 3 \hat{j} \text{ N}$ અને $\vec{r} = 2 \hat{k} \text{ m}$.
$\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F} = (2 \hat{k}) \times (3 \hat{j})$.
એકમ સદિશોના સદિશ ગુણાકારના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરતા: $\hat{k} \times \hat{j} = -\hat{i}$.
તેથી,$\vec{\tau} = 6 (\hat{k} \times \hat{j}) = 6(-\hat{i}) = -6 \hat{i} \text{ Nm}$.

(C) આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $n = \frac{m}{M_w}$ હોવાથી,$PV = \frac{m}{M_w} RT$ થાય.
ઘનતા $\rho = \frac{m}{V}$ માટે ગોઠવતા,આપણને $\rho = \frac{PM_w}{RT}$ મળે છે.
આપેલ છે: દબાણ $P = 249\; kPa = 249 \times 10^{3}\; Pa$,તાપમાન $T = 27^{\circ} C = 300\; K$,વાયુ અચળાંક $R = 8.3\; J\; mol^{-1} K^{-1}$,અને હાઇડ્રોજન વાયુ $(H_2)$ નું આણ્વીય દળ $M_w = 2 \times 10^{-3}\; kg/mol$.
કિંમતો મૂકતા:
$\rho = \frac{249 \times 10^{3} \times 2 \times 10^{-3}}{8.3 \times 300}$
$\rho = \frac{498}{2490} = 0.2\; kg/m^{3}$.

(C) વર્ણવેલ પ્રક્રિયાને મુક્ત વિસ્તરણ (free expansion) તરીકે ઓળખવામાં આવે છે,જેમાં વાયુ શૂન્યાવકાશમાં વિસ્તરણ પામે છે.
સિસ્ટમ ઉષ્મીય રીતે અલગ હોવાથી,આસપાસના વાતાવરણ સાથે કોઈ ઉષ્માનો વિનિમય થતો નથી,એટલે કે $Q = 0$.
કારણ કે વાયુ શૂન્યાવકાશમાં વિસ્તરણ પામે છે,તે કોઈ બાહ્ય દબાણ સામે કાર્ય કરતું નથી,એટલે કે $W = 0$.
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta U = Q - W$. અહીં $Q = 0$ અને $W = 0$ હોવાથી,આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $\Delta U = 0$ થાય છે.
આદર્શ વાયુ માટે,આંતરિક ઉર્જા માત્ર તાપમાન પર આધાર રાખે છે. તેથી,જો $\Delta U = 0$ હોય,તો તાપમાન અચળ રહે છે.
જોકે,જે પ્રક્રિયામાં $Q = 0$ હોય તેને એડિયાબેટિક (adiabatic) પ્રક્રિયા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.

(D) ધારો કે $m_1 = 5\, kg$ અને $m_2 = 10\, kg$ એ બે કણોના દળ છે.
ધારો કે $r = 1\, m = 100\, cm$ એ સળિયાની લંબાઈ છે.
ધારો કે $r_1$ એ $5\, kg$ ના કણથી દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું અંતર છે.
દળ $m_1$ થી દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના અંતરનું સૂત્ર $r_1 = \frac{m_2 r}{m_1 + m_2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $r_1 = \frac{10\, kg \times 100\, cm}{5\, kg + 10\, kg} = \frac{1000}{15}\, cm$.
$r_1 = 66.67\, cm \approx 67\, cm$.

(A) આપેલ છે:
પ્રારંભિક વેગ,$u = 20\; m/s$
અંતિમ વેગ,$v = 80\; m/s$
ગુરુત્વપ્રવેગ,$g = 10\; m/s^2$
ગતિના ત્રીજા સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા:
$v^2 = u^2 + 2gh$
કિંમતો મૂકતા:
$80^2 = 20^2 + 2 \times 10 \times h$
$6400 = 400 + 20h$
$6000 = 20h$
$h = \frac{6000}{20} = 300\; m$
તેથી,ટાવરની ઊંચાઈ $300\; m$ છે.

(C) ઉર્જાના સમવિભાજનના નિયમ મુજબ,દરેક મુક્તિના અંશ (degree of freedom) સાથે સંકળાયેલી સરેરાશ ઉર્જા $\frac{1}{2} k_{B} T$ હોય છે.
એક-પરમાણ્વીય વાયુ માટે,મુક્તિના અંશની સંખ્યા $(f)$ $3$ છે (બધા સ્થાનાંતરિત).
તેથી,સરેરાશ ઉષ્મીય ઉર્જા $E = f \times \frac{1}{2} k_{B} T = 3 \times \frac{1}{2} k_{B} T = \frac{3}{2} k_{B} T$ થાય.

(D) કેશિકા નળીમાં પાણીના સ્તંભની ઊંચાઈ $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કેશિકા નળીમાં રહેલા પાણીનું દળ $m = V \rho = (\pi r^2 h) \rho$ છે.
$h$ નું સૂત્ર મૂકતા:
$m = \pi r^2 \left( \frac{2T \cos \theta}{r \rho g} \right) \rho = \frac{2 \pi r T \cos \theta}{g}$.
અહીં $T$,$\theta$ અને $g$ અચળ હોવાથી,$m \propto r$ મળે છે.
પ્રથમ નળી માટે,$m_1 = 5 \, g$ અને $r_1 = r$.
બીજી નળી માટે,$r_2 = 2r$.
પ્રમાણસરતા $m \propto r$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{m_2}{m_1} = \frac{r_2}{r_1} = \frac{2r}{r} = 2$.
તેથી,$m_2 = 2 \times m_1 = 2 \times 5 \, g = 10 \, g$.

(A) યંગ મોડ્યુલસ $(Y)$ એ સંગત પ્રતિબળ અને સંગત વિકૃતિનો ગુણોત્તર છે.
પ્રતિબળ = $\frac{F}{A} = \frac{Mg}{A}$
વિકૃતિ = $\frac{\Delta L}{L} = \frac{L_{1}-L}{L}$
તેથી,$Y = \frac{\text{પ્રતિબળ}}{\text{વિકૃતિ}} = \frac{Mg/A}{(L_{1}-L)/L} = \frac{MgL}{A(L_{1}-L)}$.

(D) ઉર્જાને જુલ $(J)$ માંથી ઇલેક્ટ્રોન-વોલ્ટ $(eV)$ માં રૂપાંતરિત કરવા માટે,આપણે ઉર્જાના મૂલ્યને ઇલેક્ટ્રોનના વિદ્યુતભાર વડે ભાગીએ છીએ,જે $1.6 \times 10^{-19} \ C$ છે.
આપેલ ઉર્જા $E = 10^{-20} \ J$ છે.
$E \text{ (} eV \text{ માં)} = \frac{10^{-20} \ J}{1.6 \times 10^{-19} \ J/eV}$
$E = \frac{1}{1.6} \times 10^{-1} \ eV$
$E = 0.625 \times 0.1 \ eV$
$E = 0.0625 \ eV$.

(C) સરેરાશ મુક્ત પથ $(\lambda)$ એ બે ક્રમિક અથડામણો વચ્ચે અણુ દ્વારા કાપવામાં આવેલું સરેરાશ અંતર છે.
વાયુના ગતિવાદ મુજબ,સરેરાશ મુક્ત પથનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\lambda = \frac{1}{\sqrt{2} \pi d^2 n}$
જ્યાં:
$d$ = અણુનો વ્યાસ
$n$ = સંખ્યા ઘનતા (એકમ કદ દીઠ અણુઓની સંખ્યા)
આમ,સાચું સૂત્ર $\frac{1}{\sqrt{2} n \pi d^2}$ છે.

(C) ખેંચાયેલા તારની આવૃત્તિ $f = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. આમ,$f \propto \sqrt{T}$.
જ્યારે તાર $B$ માં તણાવ $T$ ઘટાડવામાં આવે છે,ત્યારે તેની આવૃત્તિ $f_B$ ઘટે છે.
પ્રારંભિક સ્પંદ આવૃત્તિ $|f_A - f_B| = 6 \, Hz$ છે. $f_A = 530 \, Hz$ આપેલ હોવાથી,$f_B$ માટે શક્ય મૂલ્યો $530 + 6 = 536 \, Hz$ અથવા $530 - 6 = 524 \, Hz$ છે.
કિસ્સો $1$: જો $f_B = 536 \, Hz$ હોય,તો તણાવ ઘટાડવાથી $f_B$ ઘટે છે. જેમ $f_B$ એ $530 \, Hz$ ની નજીક જાય છે,તેમ સ્પંદ આવૃત્તિ $|530 - f_B|$ ઘટે છે (દા.ત.,$536 \to 535 \implies$ સ્પંદ $6 \to 5$). આ સમસ્યાના વિધાનથી વિરોધાભાસી છે.
કિસ્સો $2$: જો $f_B = 524 \, Hz$ હોય,તો તણાવ ઘટાડવાથી $f_B$ ઘટે છે. જેમ $f_B$ એ $530 \, Hz$ થી દૂર જાય છે,તેમ સ્પંદ આવૃત્તિ $|530 - f_B|$ વધે છે (દા.ત.,$524 \to 523 \implies$ સ્પંદ $6 \to 7$). આ સમસ્યાના વિધાન સાથે સુસંગત છે.
તેથી,$B$ ની મૂળ આવૃત્તિ $524 \, Hz$ છે.

(B) સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ કરતા કણનું સ્થાનાંતર $(x)$ સમીકરણ $x = A \sin(\omega t + \phi)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વેગ $(v)$ એ સ્થાનાંતરનું પ્રથમ વિકલન છે: $v = \frac{dx}{dt} = A \omega \cos(\omega t + \phi)$.
પ્રવેગ $(a)$ એ સ્થાનાંતરનું દ્વિતીય વિકલન છે: $a = \frac{d^2x}{dt^2} = -A \omega^2 \sin(\omega t + \phi)$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $-\sin(\theta) = \sin(\theta + \pi)$ નો ઉપયોગ કરીને,પ્રવેગને $a = A \omega^2 \sin(\omega t + \phi + \pi)$ તરીકે લખી શકાય છે.
સ્થાનાંતરની કળા $(\omega t + \phi)$ અને પ્રવેગની કળા $(\omega t + \phi + \pi)$ ની સરખામણી કરતા,કળા તફાવત $\pi \; rad$ મળે છે.

(C) બાદબાકીમાં,પરિણામમાં દશાંશ ચિહ્ન પછીના અંકોની સંખ્યા,પ્રક્રિયામાં રહેલા તે પદ જેટલી હોવી જોઈએ જેમાં દશાંશ ચિહ્ન પછી સૌથી ઓછા અંકો હોય.
આપેલ મૂલ્યો:
$9.99\, m$ ($2$ દશાંશ સ્થળ)
$0.0099\, m$ ($4$ દશાંશ સ્થળ)
બાદબાકી કરતા:
$9.99 - 0.0099 = 9.9801$
બાદબાકી માટેના સાર્થક અંકોના નિયમ મુજબ,પરિણામને તે પદ જેટલા દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરવું જોઈએ જેમાં સૌથી ઓછા દશાંશ સ્થળ છે,જે $2$ છે.
$9.9801$ ને $2$ દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા $9.98$ મળે છે.
આમ,અંતિમ પરિણામ $9.98\, m$ છે.

(A) સ્ટ્રેસ (પ્રતિબળ) ને એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ લાગતા પુનઃસ્થાપક બળ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
$\text{Stress} = \frac{\text{Force}}{\text{Area}}$
બળ $[M L T^{-2}]$ અને ક્ષેત્રફળ $[L^2]$ ના પરિમાણીય સૂત્રો મૂકતા:
$\text{Stress} = \frac{[M L T^{-2}]}{[L^2]}$
$\text{Stress} = [M L^{1-2} T^{-2}]$
$\text{Stress} = [M L^{-1} T^{-2}]$

(D) ઘર્ષણરહિત ગરગડી પરથી પસાર થતી દોરી સાથે જોડાયેલા $m_1$ અને $m_2$ દળ ધરાવતા તંત્ર માટે,પ્રવેગ $a$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$a = \frac{(m_2 - m_1)g}{m_1 + m_2}$
અહીં,$m_1 = 4 \, kg$ અને $m_2 = 6 \, kg$ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$a = \frac{(6 - 4)g}{6 + 4}$
$a = \frac{2g}{10}$
$a = \frac{g}{5}$
આમ,તંત્રનો પ્રવેગ $\frac{g}{5}$ છે.

(D) સ્ક્રૂ ગેજનું લઘુત્તમ માપ $(L.C.)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે:
$L.C. = \frac{\text{Pitch}}{\text{વર્તુળાકાર સ્કેલ પરના કાપાની સંખ્યા}}$
આપેલ છે:
$L.C. = 0.01\, mm$
કાપાની સંખ્યા = $50$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$0.01\, mm = \frac{\text{Pitch}}{50}$
તેથી,પિચ:
$\text{Pitch} = 0.01\, mm \times 50 = 0.5\, mm$.

(B) પદાર્થનું તાપમાન બદલવા માટે જરૂરી ઉષ્માનું સૂત્ર $\Delta Q = M s \Delta T$ છે,જ્યાં $M$ એ દળ છે,$s$ એ વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતા છે અને $\Delta T$ એ તાપમાનમાં થતો ફેરફાર છે.
બંને ગોળાઓ તાંબાના બનેલા હોવાથી,વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતા $s$ બંને માટે સમાન રહેશે.
અહીં તાપમાનનો ફેરફાર $\Delta T = 1 \ K$ બંને માટે સમાન છે,તેથી $\Delta Q \propto M$.
ગોળાનું દળ $M = V \rho = \frac{4}{3} \pi r^3 \rho$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $V$ એ કદ છે,$r$ એ ત્રિજ્યા છે અને $\rho$ એ ઘનતા છે.
બંને તાંબાના ગોળાઓ માટે ઘનતા $\rho$ સમાન હોવાથી,$M \propto r^3$.
તેથી,જરૂરી ઉષ્માનો ગુણોત્તર $\frac{\Delta Q_1}{\Delta Q_2} = \frac{M_1}{M_2} = \left( \frac{r_1}{r_2} \right)^3$ થશે.
આપેલ છે કે $r_1 = 1.5 r_2$,તેથી $\frac{r_1}{r_2} = 1.5 = \frac{3}{2}$.
આમ,$\frac{\Delta Q_1}{\Delta Q_2} = \left( \frac{3}{2} \right)^3 = \frac{27}{8}$.

(B) વાયુના અણુનો સરેરાશ મુક્ત પથ $\ell$ એ બે ક્રમિક અથડામણો વચ્ચે અણુ દ્વારા કાપવામાં આવેલા સરેરાશ અંતર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
સરેરાશ મુક્ત પથ માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\ell = \frac{1}{\sqrt{2} n \pi d^{2}}$
જ્યાં $n$ એ અણુઓની સંખ્યા ઘનતા છે અને $d$ એ અણુનો વ્યાસ છે.
સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે $\ell$ એ વ્યાસ $d$ ના વર્ગના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે.
તેથી,$\ell \propto \frac{1}{d^{2}}$.

(A) આપેલા મૂલ્યોના અંકગણિતીય મધ્યકને સાચું મૂલ્ય ગણવામાં આવે છે.
$t_{\text{mean}} = \frac{1.25 + 1.24 + 1.27 + 1.21 + 1.28}{5} = \frac{6.25}{5} = 1.25 \; s$.
દરેક માપનમાં નિરપેક્ષ ત્રુટિઓ નીચે મુજબ છે:
$|\Delta t_1| = |1.25 - 1.25| = 0 \; s$
$|\Delta t_2| = |1.24 - 1.25| = 0.01 \; s$
$|\Delta t_3| = |1.27 - 1.25| = 0.02 \; s$
$|\Delta t_4| = |1.21 - 1.25| = 0.04 \; s$
$|\Delta t_5| = |1.28 - 1.25| = 0.03 \; s$
સરેરાશ નિરપેક્ષ ત્રુટિ:
$\Delta t_{\text{mean}} = \frac{0 + 0.01 + 0.02 + 0.04 + 0.03}{5} = \frac{0.10}{5} = 0.02 \; s$.
પ્રતિશત સાપેક્ષ ત્રુટિ:
$\text{Percentage error} = \frac{\Delta t_{\text{mean}}}{t_{\text{mean}}} \times 100 = \frac{0.02}{1.25} \times 100 = 1.6 \%$.

(D) આદર્શ વાયુનું સમીકરણ $PV = \mu RT$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$\mu$ એ મોલની સંખ્યા છે,જે $\mu = \frac{M}{M_{0}}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જ્યાં $M$ એ વાયુનું કુલ દળ છે અને $M_{0}$ એ મોલર દળ છે.
આ કિંમતને આદર્શ વાયુના સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $PV = \left(\frac{M}{M_{0}}\right) RT$ મળે છે.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $P = \left(\frac{M}{V}\right) \frac{RT}{M_{0}}$ મળે છે.
દળ ઘનતા $\rho$ ને $\rho = \frac{M}{V}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,તેથી આપણે તેને સમીકરણમાં મૂકીને $P = \frac{\rho RT}{M_{0}}$ મેળવી શકીએ છીએ.
આમ,$\rho$ એ દળ ઘનતા દર્શાવે છે અને $M_{0}$ એ મોલર દળ દર્શાવે છે.

(C) ખેંચાયેલી દોરીની મૂળભૂત આવૃત્તિ $n = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં તણાવ $T$ અને એકમ લંબાઈ દીઠ દળ $\mu$ અચળ હોવાથી,આવૃત્તિ એ દોરીની લંબાઈના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે: $n \propto \frac{1}{L}$.
તેથી,$n_1 L_1 = n_2 L_2$.
આપેલ છે કે $n_1 = 120 \;Hz$,$L_1 = 90 \;cm$,અને $n_2 = 180 \;Hz$.
કિંમતો મૂકતા: $120 \times 90 = 180 \times L_2$.
$L_2 = \frac{120 \times 90}{180} = \frac{10800}{180} = 60 \;cm$.
આમ,જરૂરી આવૃત્તિ ઉત્પન્ન કરવા માટે દોરીને એક છેડેથી $60 \;cm$ અંતરે દબાવવી જોઈએ.

(C) પ્રવાહી સ્તંભ દ્વારા લાગતું દબાણ $P = h \rho g$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h$ એ ઊંચાઈ છે,$\rho$ એ ઘનતા છે અને $g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ છે.
મર્ક્યુરી બેરોમીટર માટે,દબાણ $P = h_{Hg} \rho_{Hg} g = 0.76 \; m \times 13600 \; kg/m^3 \times g$ છે.
પ્રવાહી બેરોમીટર માટે,દબાણ $P = h' \rho' g = h' \times 760 \; kg/m^3 \times g$ છે.
બંને કિસ્સામાં વાતાવરણીય દબાણ સમાન હોવાથી,આપણે બંને સમીકરણોને સરખાવીએ છીએ:
$h' \times 760 = 0.76 \times 13600$
$h'$ માટે ઉકેલતા:
$h' = \frac{0.76 \times 13600}{760}$
$h' = \frac{10336}{760} = 13.6 \; m$.

(D) $P-V$ આલેખમાં,$y$-અક્ષ દબાણ $(P)$ દર્શાવે છે અને $x$-અક્ષ કદ $(V)$ દર્શાવે છે.
આપેલ આકૃતિ પરથી,પ્રક્રિયા દર્શાવતી રેખા આડી છે,જેનો અર્થ છે કે જ્યારે કદ $(V)$ પ્રારંભિક સ્થિતિથી અંતિમ સ્થિતિમાં બદલાય છે ત્યારે દબાણ $(P)$ અચળ રહે છે.
જે થર્મોડાયનેમિક પ્રક્રિયામાં તંત્રનું દબાણ અચળ રહે છે તેને સમદાબ પ્રક્રિયા કહેવામાં આવે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\eta = 1 - \frac{T_{2}}{T_{1}}$
જ્યાં $T_{1}$ એ સ્ત્રોતનું નિરપેક્ષ તાપમાન છે અને $T_{2}$ એ સિંકનું નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
તેથી,કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા સ્ત્રોત અને સિંક બંનેના તાપમાન પર આધાર રાખે છે.

(D) સંપર્કકોણ $\theta$ એ નક્કી કરે છે કે પ્રવાહી ઘન સપાટીને ભીંજવશે કે નહીં.
જો $\theta < 90^{\circ}$ હોય,તો પ્રવાહી સપાટીને ભીંજવે છે (દા.ત.,કાચ પર પાણી).
જો $\theta > 90^{\circ}$ હોય,તો પ્રવાહીના અણુઓ વચ્ચેનું સસંજન બળ (cohesive force),પ્રવાહી અને ઘન સપાટી વચ્ચેના આસંજન બળ (adhesive force) કરતા વધારે હોય છે.
પરિણામે,પ્રવાહી ઘન સપાટીને ભીંજવતું નથી (દા.ત.,કાચ પર પારો).
તેથી,પ્રવાહી ઘન સપાટીને ન ભીંજવે તે માટેની સાચી શરત એ છે કે સંપર્કકોણ $90^{\circ}$ કરતા વધારે હોવો જોઈએ.

(A) વીનના સ્થાનાંતરના નિયમ મુજબ,મહત્તમ ઉત્સર્જનની તરંગલંબાઇ $\lambda_{m}$ અને નિરપેક્ષ તાપમાન $T$ નો ગુણાકાર અચળ હોય છે,એટલે કે $\lambda_{m} T = b$.
આનો અર્થ એ છે કે $T \propto \frac{1}{\lambda_{m}}$.
રંગોને અનુરૂપ પ્રકાશની તરંગલંબાઇનો ક્રમ આ મુજબ છે: $\lambda_{\text{blue}} < \lambda_{\text{yellow}} < \lambda_{\text{red}}$.
આપેલ છે કે તારો $A$ વાદળી,તારો $C$ પીળો અને તારો $B$ લાલ છે,તેથી તેમની તરંગલંબાઇ $\lambda_{A} < \lambda_{C} < \lambda_{B}$ છે.
તાપમાન એ તરંગલંબાઇના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોવાથી,આપણને $T_{A} > T_{C} > T_{B}$ મળે છે.

(D) ધારો કે ત્રણ ગોળાઓ $xy$-સમતલમાં $(0, 0)$,$(2, 0)$,અને $(0, 2)$ યામ પર સ્થિત છે.
બધા ગોળાઓનું દળ $M$ સમાન હોવાથી,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના યામ $(x_{cm}, y_{cm})$ નીચે મુજબ મળે:
$x_{cm} = \frac{M(0) + M(2) + M(0)}{M + M + M} = \frac{2M}{3M} = \frac{2}{3} \; m$
$y_{cm} = \frac{M(0) + M(0) + M(2)}{M + M + M} = \frac{2M}{3M} = \frac{2}{3} \; m$
તેથી,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો સ્થાન સદિશ $\vec{r}_{cm} = x_{cm}\hat{i} + y_{cm}\hat{j} = \frac{2}{3}(\hat{i} + \hat{j}) \; m$ છે.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $1^{\circ} = 60^{\prime}$ (આર્કની મિનિટ).
તેથી,$1^{\prime} = (1/60)^{\circ}$.
ડિગ્રીને રેડિયનમાં ફેરવવા માટે,આપણે $\frac{\pi}{180}$ વડે ગુણાકાર કરીએ છીએ.
તેથી,$1^{\prime} = \left(\frac{1}{60}\right) \times \left(\frac{\pi}{180}\right) \text{ rad}$.
$\pi \approx 3.14159$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$1^{\prime} = \frac{3.14159}{10800} \text{ rad} \approx 2.9088 \times 10^{-4} \text{ rad}$.
ત્રણ સાર્થક અંકો સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને $2.91 \times 10^{-4} \text{ rad}$ મળે છે.

(C) પૃથ્વીની સપાટીથી $d$ ઊંડાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગનું મૂલ્ય નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$g' = g \left(1 - \frac{d}{R}\right)$
જ્યાં $g$ એ સપાટી પરનો ગુરુત્વપ્રવેગ છે અને $R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$d$ ઊંડાઈએ પ્રવેગનું મૂલ્ય સપાટીના મૂલ્ય કરતાં $\frac{1}{n}$ ગણું છે:
$g' = \frac{g}{n}$
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{g}{n} = g \left(1 - \frac{d}{R}\right)$
બંને બાજુ $g$ વડે ભાગતા:
$\frac{1}{n} = 1 - \frac{d}{R}$
$d$ માટે પદ ગોઠવતા:
$\frac{d}{R} = 1 - \frac{1}{n}$
$\frac{d}{R} = \frac{n-1}{n}$
$d = R \left(\frac{n-1}{n}\right)$

(B) પ્રારંભિક કોણીય ઝડપ $\omega_0 = 360 \; rpm = 360 \times \frac{2\pi}{60} \; rad/s = 12\pi \; rad/s$.
અંતિમ કોણીય ઝડપ $\omega = 1200 \; rpm = 1200 \times \frac{2\pi}{60} \; rad/s = 40\pi \; rad/s$.
લીધેલ સમય $t = 14 \; s$.
ચાકગતિના સમીકરણ $\omega = \omega_0 + \alpha t$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $\alpha$ એ કોણીય પ્રવેગ છે:
$40\pi = 12\pi + \alpha(14)$.
$28\pi = 14\alpha$.
$\alpha = \frac{28\pi}{14} = 2\pi \; rad/s^2$.

(B) ટ્રોલીની ફ્રી બોડી ડાયાગ્રામ ($F$.$B$.$D$.):
$T - f = m_{T} a$
જ્યાં $f = \mu m_{T} g = 0.05 \times 10 \times 10 = 5\; N$.
તેથી,$T - 5 = 10a$ --- $(i)$
બ્લોકની ફ્રી બોડી ડાયાગ્રામ ($F$.$B$.$D$.):
$m_{b} g - T = m_{b} a$
$2 \times 10 - T = 2a$
$20 - T = 2a$ --- (ii)
સમીકરણ $(i)$ અને (ii) નો સરવાળો કરતા:
$(T - 5) + (20 - T) = 10a + 2a$
$15 = 12a$
$a = \frac{15}{12} = 1.25\; m/s^{2}$.

(D) ઉર્ધ્વ વર્તુળના સૌથી નીચલા બિંદુએ,'$m$' દળ પર લાગતા બળોમાં ઉપરની તરફ લાગતું તણાવ '$T$' અને નીચેની તરફ લાગતું વજન '$mg$' છે.
વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી ચોખ્ખું કેન્દ્રગામી બળ તણાવ અને વજનના તફાવત દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે:
$T - mg = \frac{mv^2}{r}$
આપેલ છે કે સૌથી નીચલા બિંદુએ વેગ $v = \sqrt{7gr}$ છે,આપણે આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકીએ:
$T - mg = \frac{m(\sqrt{7gr})^2}{r}$
$T - mg = \frac{m(7gr)}{r}$
$T - mg = 7mg$
$T = 7mg + mg = 8mg$
તેથી,સૌથી નીચલા બિંદુએ દોરીમાં તણાવ $8mg$ છે.

(C) સ્ફેરોમીટર એ ગોળાકાર સપાટીની ઊંચાઈ (sagitta) માપવા માટેનું એક ચોકસાઈભર્યું સાધન છે. સ્ફેરોમીટરના પાયા વચ્ચેનું અંતર જાણીને અને ઊંચાઈ $(h)$ માપીને,આપણે વક્ર સપાટીની વક્રતા ત્રિજ્યા $(R)$ સૂત્ર $R = \frac{a^2}{6h} + \frac{h}{2}$ નો ઉપયોગ કરીને શોધી શકીએ છીએ,જ્યાં $a$ એ પાયા વચ્ચેનું અંતર છે. તેથી,સ્ફેરોમીટરનો ઉપયોગ વક્ર સપાટીની વક્રતા ત્રિજ્યા માપવા માટે થાય છે.

(D) વિધેય $f(t)$ આવર્ત છે જો તે સમયના નિશ્ચિત અંતરાલ $T$ પછી તેનું મૂલ્ય પુનરાવર્તિત કરે,એટલે કે $f(t) = f(t + T)$.
$1$. વિધેયો $e^{-\omega t}$,$e^{\omega t}$,અને $\log_{e}(\omega t)$ એ અ-આવર્ત વિધેયો છે કારણ કે તે નિયમિત અંતરાલે તેમના મૂલ્યોનું પુનરાવર્તન કરતા નથી.
$2$. વિધેય $f(t) = \sin \omega t + \cos \omega t$ માટે,આપણે $t$ ને $t + T$ વડે બદલીને આવર્તતા ચકાસી શકીએ છીએ:
$f(t + T) = \sin(\omega(t + T)) + \cos(\omega(t + T)) = \sin(\omega t + \omega T) + \cos(\omega t + \omega T)$.
$3$. જો આપણે $T = \frac{2\pi}{\omega}$ લઈએ,તો $\omega T = 2\pi$ થાય. આ કિંમત મૂકતા:
$f(t + T) = \sin(\omega t + 2\pi) + \cos(\omega t + 2\pi) = \sin \omega t + \cos \omega t = f(t)$.
આમ,વિધેય $T = \frac{2\pi}{\omega}$ જેટલા સમયગાળા પછી પોતાનું પુનરાવર્તન કરે છે,તેથી તે આવર્ત ગતિ દર્શાવે છે.

(C) ધારો કે બારીના ઉપરના ભાગે દડાનો વેગ $u$ છે.
બારીમાંથી પસાર થતા દડાની ગતિ માટે ગતિના બીજા સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા:
$S = ut + \frac{1}{2}at^2$
અહીં,$S = 1.5 \; m$,$t = 0.1 \; s$,અને $a = g = 10 \; m/s^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$1.5 = u(0.1) + \frac{1}{2} \times 10 \times (0.1)^2$
$1.5 = 0.1u + 5 \times 0.01$
$1.5 = 0.1u + 0.05$
$0.1u = 1.5 - 0.05$
$0.1u = 1.45$
$u = \frac{1.45}{0.1} = 14.5 \; m/s$.

(A) અવરોધક માટેનો કલર કોડ પીળો (Yellow),જાંબલી (Violet),કથ્થઈ (Brown) અને સોનેરી (Gold) છે.
પ્રમાણિત કલર કોડ ટેબલ મુજબ:
$1$. પ્રથમ રંગ પીળો છે,જે અંક $4$ દર્શાવે છે.
$2$. બીજો રંગ જાંબલી છે,જે અંક $7$ દર્શાવે છે.
$3$. ત્રીજો રંગ કથ્થઈ છે,જે ગુણક (multiplier) $10^{1}$ તરીકે કાર્ય કરે છે.
$4$. ચોથો રંગ સોનેરી છે,જે $\pm 5 \%$ ટોલરન્સ દર્શાવે છે.
આમ,અવરોધનું મૂલ્ય $R = 47 \times 10^{1} \; \Omega = 470 \; \Omega$ છે.
ટોલરન્સ $5 \%$ છે.
તેથી,અવરોધ $470 \; \Omega, 5 \%$ છે.

(D) પ્રિઝમ માટે,પ્રિઝમનો ખૂણો $A = r_1 + r_2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિરણ સામેની સપાટીમાંથી લંબરૂપે બહાર નીકળતું હોવાથી,નિર્ગમન કોણ $e = 0$ છે,જેનો અર્થ છે કે બીજી સપાટી પર વક્રીભવન કોણ $r_2 = 0$ છે.
પ્રિઝમના સમીકરણમાં $r_2 = 0$ મૂકતા,આપણને $r_1 = A$ મળે છે.
પ્રથમ સપાટી પર સ્નેલનો નિયમ લાગુ પાડતા: $\sin i = \mu \sin r_1$.
નાના ખૂણાઓ માટે,$\sin i \approx i$ અને $\sin r_1 \approx r_1$.
તેથી,$i = \mu r_1$.
$r_1 = A$ મૂકતા,આપણને $i = \mu A$ મળે છે.

(B) સાપેક્ષ પરમિએબિલિટી $\mu_{r}$ અને મેગ્નેટિક સસેપ્ટિબિલિટી $\chi_{m}$ વચ્ચેનો સંબંધ: $\mu_{r} = 1 + \chi_{m}$ છે.
અહીં $\chi_{m} = 599$ આપેલ છે,તેથી $\mu_{r} = 1 + 599 = 600$ થાય.
દ્રવ્યની નિરપેક્ષ પરમિએબિલિટી $\mu$ નું સૂત્ર $\mu = \mu_{0} \mu_{r}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$\mu = (4 \pi \times 10^{-7} \, T m A^{-1}) \times 600$ મળે.
તેથી,$\mu = 2400 \pi \times 10^{-7} \, T m A^{-1} = 2.4 \pi \times 10^{-4} \, T m A^{-1}$ થાય.

(A) અસરકારક ટ્રાન્ઝિસ્ટર કાર્ય માટે,બેઝ વિસ્તાર ખૂબ જ પાતળો અને હળવો ડોપ્ડ હોવો જોઈએ જેથી એમિટરથી દાખલ થયેલા મોટાભાગના ચાર્જ કેરિયર્સ બેઝમાં પુનઃસંયોજન પામ્યા વિના કલેક્ટર સુધી પહોંચી શકે.

(D) તીવ્રતા (ફ્લક્સ) $I$ એ એકમ ક્ષેત્રફળ $A$ પર એકમ સમય $t$ માં આપાત થતી ઉર્જા $E$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જે $I = \frac{E}{At}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કુલ ઉર્જા $E$ શોધવા માટે,આપણે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવીએ છીએ: $E = I \times A \times t$.
આપેલ કિંમતો:
તીવ્રતા $I = 20 \, W/cm^2$
ક્ષેત્રફળ $A = 20 \, cm^2$
સમય $t = 1 \, minute = 60 \, seconds$
સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા:
$E = 20 \, W/cm^2 \times 20 \, cm^2 \times 60 \, s$
$E = 400 \times 60 \, J$
$E = 24000 \, J = 24 \times 10^3 \, J$.

(C) ટૂંકા ઇલેક્ટ્રિક ડાયપોલને કારણે બિંદુ $(r, \theta)$ પરનું ઇલેક્ટ્રિક પોટેન્શિયલ $V$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$V = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{p \cos \theta}{r^{2}}$
આપેલ કિંમતો:
ડાયપોલ મોમેન્ટ $p = 16 \times 10^{-9} \, Cm$
અંતર $r = 0.6 \, m$
ખૂણો $\theta = 60^{\circ}$
અચળાંક $k = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} = 9 \times 10^{9} \, Nm^{2}/C^{2}$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$V = \frac{9 \times 10^{9} \times 16 \times 10^{-9} \times \cos(60^{\circ})}{(0.6)^{2}}$
કારણ કે $\cos(60^{\circ}) = 0.5$:
$V = \frac{9 \times 16 \times 0.5}{0.36}$
$V = \frac{72}{0.36}$
$V = 200 \, V$

(C) મીટર બ્રિજમાં,સંતુલન સ્થિતિ $\frac{R}{S} = \frac{\ell_1}{\ell_2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $R$ એ ડાબા ગેપમાં રહેલો અવરોધ છે અને $S$ એ જમણા ગેપમાં રહેલો અવરોધ છે.
આપેલ છે કે $S = 10\, \Omega$ અને ગુણોત્તર $\frac{\ell_1}{\ell_2} = \frac{3}{2}$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $\frac{R}{10} = \frac{3}{2} \implies R = 15\, \Omega$.
અવરોધ તાર $R$ ની કુલ લંબાઈ $1.5\, m$ છે.
તેથી,એકમ અવરોધ દીઠ લંબાઈ $\frac{1.5\, m}{15\, \Omega} = 0.1\, m/\Omega$ થાય.
આને જરૂરી સ્વરૂપમાં ફેરવતા: $0.1\, m = 10 \times 10^{-2}\, m$.
આમ,જવાબ $10$ છે.

(B) ન્યુક્લિયર વિખંડન પ્રક્રિયા દળ સંખ્યા અને પરમાણુ ક્રમાંકના સંરક્ષણના નિયમ દ્વારા સમજાવી શકાય છે.
ધારો કે અજ્ઞાત ન્યુક્લિયસ ${ }_{Z}^{A} X$ છે.
પ્રક્રિયા: ${ }_{92}^{235} U + { }_{0}^{1} n \rightarrow { }_{36}^{89} Kr + { }_{Z}^{A} X + 3({ }_{0}^{1} n)$.
દળ સંખ્યાનું સંરક્ષણ $(A)$: $235 + 1 = 89 + A + 3(1) \Rightarrow 236 = 92 + A \Rightarrow A = 144$.
પરમાણુ ક્રમાંકનું સંરક્ષણ $(Z)$: $92 + 0 = 36 + Z + 3(0) \Rightarrow 92 = 36 + Z \Rightarrow Z = 56$.
પરમાણુ ક્રમાંક $56$ ધરાવતું તત્વ બેરિયમ $(Ba)$ છે.
આમ,ખૂટતું ન્યુક્લિયસ ${ }_{56}^{144} Ba$ છે.

(B) લાંબા સોલેનોઈડના કેન્દ્રમાં ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર: $B = \mu_{0} n I$,જ્યાં $n = \frac{N}{\ell}$ છે.
આપેલ છે:
લંબાઈ $\ell = 50\, cm = 0.5\, m$
આંટાની સંખ્યા $N = 100$
વિદ્યુતપ્રવાહ $I = 2.5\, A$
પરમિયેબિલિટી $\mu_{0} = 4\pi \times 10^{-7}\, T\, m\, A^{-1}$
કિંમતો મૂકતા:
$B = (4\pi \times 10^{-7}) \times \left(\frac{100}{0.5}\right) \times 2.5$
$B = (4 \times 3.14159 \times 10^{-7}) \times 200 \times 2.5$
$B = 12.566 \times 10^{-7} \times 500$
$B = 6283.18 \times 10^{-7} = 6.283 \times 10^{-4}\, T$
આને $...... \times 10^{-5}\, T$ સ્વરૂપમાં દર્શાવતા:
$B = 62.83 \times 10^{-5}\, T$
નજીકના વિકલ્પ મુજબ,જવાબ $62.8$ છે.

(C) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગ $(EMW)$ માં,વિદ્યુતક્ષેત્ર સાથે સંકળાયેલી ઉર્જા ઘનતા $u_E = \frac{1}{2} \epsilon_0 E^2$ છે અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર સાથે સંકળાયેલી ઉર્જા ઘનતા $u_B = \frac{1}{2} \frac{B^2}{\mu_0}$ છે.
જેમ કે $E = cB$ અને $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \epsilon_0}}$,તેથી $u_E = u_B$ થાય છે.
તરંગની તીવ્રતા ઉર્જા ઘનતાના પ્રમાણમાં હોવાથી,કુલ તીવ્રતામાં વિદ્યુતક્ષેત્ર અને ચુંબકીય ક્ષેત્રના ઘટકોનું યોગદાન સમાન હોય છે.
તેથી,ગુણોત્તર $1:1$ છે.

(B) ટેલિસ્કોપની વિભેદન સીમા $(\Delta \theta)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\Delta \theta = \frac{1.22 \lambda}{D}$, જ્યાં $\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે અને $D$ એ ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સનો વ્યાસ છે.
આપેલ છે: $\lambda = 600\, nm = 600 \times 10^{-9}\, m = 6 \times 10^{-7}\, m$ અને $D = 2\, m$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$\Delta \theta = \frac{1.22 \times 6 \times 10^{-7}}{2}$
$\Delta \theta = 1.22 \times 3 \times 10^{-7}$
$\Delta \theta = 3.66 \times 10^{-7}\, rad$.
આમ, જવાબ $3.66$ છે.

(B) વિદ્યુત ક્ષેત્ર $\vec{E}$ અને વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ વચ્ચેનો સંબંધ ગ્રેડિયન્ટના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\vec{E} = -\nabla V$.
આપેલ વિસ્તારમાં વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ અચળ $(5 \ V)$ હોવાથી,તેનું સ્થાનિક વિકલન (ગ્રેડિયન્ટ) શૂન્ય થાય છે.
તેથી,$\vec{E} = -\frac{dV}{dr} = 0$.
આમ,આ વિસ્તારમાં વિદ્યુત ક્ષેત્રનું મૂલ્ય $0 \ N/C$ છે.

(A) $V$ વોલ્ટના વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત દ્વારા પ્રવેગિત ઇલેક્ટ્રોનની દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda$ માટેનું સૂત્ર: $\lambda = \frac{12.27}{\sqrt{V}} \, \mathring{A}$ છે.
આપેલ છે કે $\lambda = 1.227 \times 10^{-2} \, nm$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $1 \, nm = 10 \, \mathring{A}$,તેથી $\lambda = 1.227 \times 10^{-2} \times 10 \, \mathring{A} = 0.1227 \, \mathring{A}$ થાય.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા: $0.1227 = \frac{12.27}{\sqrt{V}}$.
$\sqrt{V}$ ને કર્તા બનાવતા: $\sqrt{V} = \frac{12.27}{0.1227} = 100 = 10^{2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $V = (10^{2})^{2} = 10^{4} \, V$.

(D) આપેલ છે: કેપેસિટન્સ $C = 40 \, \mu F = 40 \times 10^{-6} \, F$, વોલ્ટેજ $V_{rms} = 200 \, V$, આવૃત્તિ $f = 50 \, Hz$.
કેપેસિટીવ રિએક્ટન્સ $X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{2 \pi f C}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
rms પ્રવાહ $I_{rms} = \frac{V_{rms}}{X_C} = V_{rms} \times 2 \pi f C$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા:
$I_{rms} = 200 \times 2 \times 3.1416 \times 50 \times 40 \times 10^{-6}$.
$I_{rms} = 200 \times 314.16 \times 40 \times 10^{-6} = 2.513 \, A$.
નજીકના મૂલ્યમાં રાઉન્ડ ઓફ કરતા, આપણને $I_{rms} \approx 2.5 \, A$ મળે છે.

(C) $p-n$ જંકશન ડાયોડમાં,જ્યારે રિવર્સ બાયસ લાગુ કરવામાં આવે છે,ત્યારે બાહ્ય બેટરીનો ધન ટર્મિનલ $n$-વિસ્તાર સાથે અને ઋણ ટર્મિનલ $p$-વિસ્તાર સાથે જોડાય છે.
આના કારણે મેજોરિટી ચાર્જ કેરિયર્સ ($n$-વિસ્તારમાં ઇલેક્ટ્રોન અને $p$-વિસ્તારમાં હોલ્સ) જંકશનથી દૂર ખેંચાય છે.
પરિણામે,જંકશનની નજીક અનાવૃત અચલ આયનોની સંખ્યા વધે છે,જેના કારણે ડેપ્લેશન રિજનની પહોળાઈમાં વધારો થાય છે.

(D) બ્રુસ્ટરના નિયમ મુજબ,$\tan i_b = \frac{\mu_2}{\mu_1}$.
ધારો કે પ્રથમ માધ્યમ હવા છે,તેથી $\mu_1 = 1$.
આમ,$\tan i_b = \mu_2$.
કોઈપણ ઘટ્ટ માધ્યમનો વક્રીભવનાંક $\mu_2$ એ $1$ કરતા વધારે હોય છે (એટલે કે $\mu_2 > 1$),તેથી $\tan i_b > 1$ થાય.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan 45^{\circ} = 1$,તેથી $\tan i_b > 1$ માટે,ખૂણો $i_b$ એ $45^{\circ}$ કરતા મોટો હોવો જોઈએ.
વળી,ઇન્ટરફેસ માટે આપાતકોણ $90^{\circ}$ કરતા ઓછો હોવો જોઈએ.
તેથી,$45^{\circ} < i_b < 90^{\circ}$.

(C) ગોળાકાર વાહકની બહારના બિંદુ માટે,વાહક તેના કેન્દ્ર પર રહેલા બિંદુવત વિદ્યુતભાર તરીકે વર્તે છે.
આપેલ છે: વિદ્યુતભાર $Q = 3.2 \times 10^{-7} \, C$,અંતર $r = 15 \, cm = 0.15 \, m$,અને $k = 9 \times 10^{9} \, Nm^{2}/C^{2}$.
વિદ્યુતક્ષેત્રનું સૂત્ર $E = \frac{kQ}{r^{2}}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $E = \frac{9 \times 10^{9} \times 3.2 \times 10^{-7}}{(0.15)^{2}}$.
$E = \frac{28.8 \times 10^{2}}{0.0225} = \frac{2880}{0.0225} = 1.28 \times 10^{5} \, N/C$.

(D) હવા ધરાવતા સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C_{0} = 6\, \mu F$ છે.
જ્યારે ડાયલેક્ટ્રિક માધ્યમ દાખલ કરવામાં આવે છે,ત્યારે નવું કેપેસિટન્સ $C_{m} = 30\, \mu F$ થાય છે.
ડાયલેક્ટ્રિક અચળાંક $\epsilon_{r}$ એ માધ્યમ સાથેના કેપેસિટન્સ અને હવા સાથેના કેપેસિટન્સનો ગુણોત્તર છે:
$\epsilon_{r} = \frac{C_{m}}{C_{0}} = \frac{30}{6} = 5$.
માધ્યમની પરમિટિવિટી $\epsilon$ એ $\epsilon = \epsilon_{0} \cdot \epsilon_{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\epsilon = 8.85 \times 10^{-12} \times 5 = 44.25 \times 10^{-12} = 0.4425 \times 10^{-10} \approx 0.44 \times 10^{-10} C^{2} N^{-1} m^{-2}$.

(D) શ્રેણીબદ્ધ $LCR$ સર્કિટમાં,કળા તફાવત $\phi$ એ $\tan \phi = \frac{|X_L - X_C|}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે $L$ દૂર કરવામાં આવે છે,ત્યારે સર્કિટ $RC$ સર્કિટ બને છે. કળા તફાવત $\tan \phi = \frac{X_C}{R} = \tan(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$ છે.
જ્યારે $C$ દૂર કરવામાં આવે છે,ત્યારે સર્કિટ $RL$ સર્કિટ બને છે. કળા તફાવત $\tan \phi = \frac{X_L}{R} = \tan(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$ છે.
બંનેને સરખાવતા,આપણને $\frac{X_C}{R} = \frac{X_L}{R}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $X_L = X_C$.
કારણ કે $X_L = X_C$,સર્કિટ અનુનાદ (resonance) સ્થિતિમાં છે.
અનુનાદ સમયે,ઈમ્પીડન્સ $Z = R$ થાય છે.
તેથી,પાવર ફેક્ટર $\cos \phi = \frac{R}{Z} = \frac{R}{R} = 1.0$ છે.

(A) થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિને $\nu_0$ અને વર્ક ફંક્શનને $\phi_0 = h\nu_0$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
પ્રથમ કિસ્સામાં,આપાત આવૃત્તિ $\nu_1 = 1.5\nu_0$ છે. કારણ કે $\nu_1 > \nu_0$,ફોટોઈલેક્ટ્રિક ઉત્સર્જન થાય છે.
બીજા કિસ્સામાં,આવૃત્તિ અડધી કરવામાં આવે છે,તેથી નવી આવૃત્તિ $\nu_2 = \frac{1.5\nu_0}{2} = 0.75\nu_0$ થાય છે.
કારણ કે નવી આપાત આવૃત્તિ $\nu_2$ એ થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ $\nu_0$ કરતા ઓછી છે $(\nu_2 < \nu_0)$,તેથી પ્રકાશની તીવ્રતા ગમે તેટલી હોય તો પણ ફોટોઈલેક્ટ્રિક ઉત્સર્જન થઈ શકતું નથી.
તેથી,ફોટોઈલેક્ટ્રિક પ્રવાહ $0$ થશે.

(A) અવરોધનો તાપમાન ગુણાંક $(\alpha)$ એ $R_t = R_0(1 + \alpha \Delta T)$ સંબંધ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
ધાતુઓ માટે, તાપમાન વધવાની સાથે અવરોધ વધે છે, તેથી $\alpha$ ધન હોય છે.
અવાહકો અને અર્ધવાહકો માટે, તાપમાનમાં વધારો થવાથી વિદ્યુતભાર વાહકોની સંખ્યામાં નોંધપાત્ર વધારો થાય છે, જેના પરિણામે અવરોધમાં ઘટાડો થાય છે.
તેથી, અવાહકો અને અર્ધવાહકો અવરોધનો ઋણ તાપમાન ગુણાંક ધરાવે છે.

(C) વિદ્યુતભારિત કણની મોબિલિટી $\mu$ એ તેના ડ્રિફ્ટ વેગ $v_d$ અને લાગુ પાડેલા વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ ના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
સૂત્ર: $\mu = \frac{v_d}{E}$
આપેલ છે:
$v_d = 7.5 \times 10^{-4} \, m s^{-1}$
$E = 3 \times 10^{-10} \, V m^{-1}$
ગણતરી:
$\mu = \frac{7.5 \times 10^{-4}}{3 \times 10^{-10}}$
$\mu = 2.5 \times 10^{-4 - (-10)}$
$\mu = 2.5 \times 10^{6} \, m^{2} V^{-1} s^{-1}$

(D) તાંબા જેવી ધાતુઓ માટે,તાપમાન $(T)$ વધવાની સાથે અવરોધકતા ( $\rho$ ) વધે છે.
સંબંધ $\rho_T = \rho_0 [1 + \alpha(T - T_0)]$ મુજબ,તાપમાનની વિશાળ શ્રેણી માટે અવરોધકતા તાપમાન સાથે રેખીય રીતે વધે છે.
ખૂબ જ નીચા તાપમાને,આ વક્ર અરેખીય (non-linear) બને છે અને જેમ $T$ એ $0 \ K$ ની નજીક પહોંચે છે તેમ તે એક નિશ્ચિત મૂલ્ય તરફ જાય છે.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી,આલેખ $D$ તાંબા જેવી ધાતુ માટે અવરોધકતા વિરુદ્ધ તાપમાનના આ લાક્ષણિક વર્તનને યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે.

(D) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં ફ્રિન્જની પહોળાઈનું સૂત્ર $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ છે,જ્યાં $\lambda$ એ તરંગલંબાઈ છે,$D$ એ ઉદગમોથી પડદાનું અંતર છે,અને $d$ એ ઉદગમો વચ્ચેનું અંતર છે.
ધારો કે પ્રારંભિક ફ્રિન્જની પહોળાઈ $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,નવું અંતર $D^{\prime} = 2D$ અને નવું અંતર $d^{\prime} = \frac{d}{2}$ છે.
નવી ફ્રિન્જની પહોળાઈ $\beta^{\prime} = \frac{\lambda D^{\prime}}{d^{\prime}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
નવી કિંમતો મૂકતા: $\beta^{\prime} = \frac{\lambda (2D)}{d/2} = 4 \times \frac{\lambda D}{d}$.
તેથી,$\beta^{\prime} = 4\beta$.
આમ,ફ્રિન્જની પહોળાઈ મૂળ કિંમત કરતા $4$ ગણી થાય છે.

(B) આપેલ સર્કિટમાં બે $NOT$ ગેટ અને ત્યારબાદ એક $NOR$ ગેટનો ઉપયોગ થયો છે.
ધારો કે ઇનપુટ $A$ અને $B$ છે.
બે $NOT$ ગેટના આઉટપુટ $\bar{A}$ અને $\bar{B}$ મળે છે.
આ $NOR$ ગેટ માટે ઇનપુટ તરીકે કાર્ય કરે છે.
$NOR$ ગેટનું આઉટપુટ $Y$ નીચે મુજબના બુલિયન સમીકરણ દ્વારા મળે છે:
$Y = \overline{\bar{A} + \bar{B}}$
ડી મોર્ગનના પ્રમેય મુજબ,$\overline{\bar{A} + \bar{B}} = \overline{\bar{A}} \cdot \overline{\bar{B}} = A \cdot B$.
આમ,આ સર્કિટ $AND$ ગેટ તરીકે કાર્ય કરે છે.
$AND$ ગેટ માટેનું સત્યતા કોષ્ટક નીચે મુજબ છે:

$A$	$B$	$Y$
$0$	$0$	$0$
$0$	$1$	$0$
$1$	$0$	$0$
$1$	$1$	$1$

તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) આઈન્સ્ટાઈનના દળ-ઉર્જા સમતુલ્યતાના સિદ્ધાંત મુજબ,ઉર્જા $E$ એ સૂત્ર $E = mc^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ દળ $m = 0.5\, g = 0.5 \times 10^{-3}\, kg$.
પ્રકાશની ઝડપ $c = 3 \times 10^8\, m/s$.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$E = (0.5 \times 10^{-3}\, kg) \times (3 \times 10^8\, m/s)^2$
$E = 0.5 \times 10^{-3} \times 9 \times 10^{16}\, J$
$E = 4.5 \times 10^{13}\, J$.

(A) બોહર મોડેલ ફક્ત એક-ઇલેક્ટ્રોન ધરાવતી સ્પીસીઝ માટે જ લાગુ પડે છે.
$1$. હાઇડ્રોજન પરમાણુ $(H)$ માં $1$ ઇલેક્ટ્રોન હોય છે.
$2$. એક આયનીકૃત હિલિયમ પરમાણુ $(He^+)$ માં $2 - 1 = 1$ ઇલેક્ટ્રોન હોય છે.
$3$. ડ્યુટેરોન પરમાણુ (હાઇડ્રોજનનો સમસ્થાનિક) માં $1$ ઇલેક્ટ્રોન હોય છે.
$4$. એક આયનીકૃત નિયોન પરમાણુ $(Ne^+)$ માં $10 - 1 = 9$ ઇલેક્ટ્રોન હોય છે.
આમ,$Ne^+$ માં એક કરતા વધુ ઇલેક્ટ્રોન હોવાથી,તેના માટે બોહર મોડેલ માન્ય નથી.

(B) જ્યારે આંતરિક સેમિકન્ડક્ટર ($Si$ અથવા $Ge$) ને પંચ-સંયોજક (pentavalent) તત્વ,જેમ કે ફોસ્ફરસ $(P)$ સાથે ડોપ કરવામાં આવે છે,ત્યારે $N$-ટાઈપ બાહ્ય સેમિકન્ડક્ટર બને છે.
પંચ-સંયોજક ડોપન્ટ સ્ફટિક લેટીસમાં ઉમેરવામાં આવે ત્યારે તેના ચાર વેલેન્સ ઇલેક્ટ્રોન પાડોશી સેમિકન્ડક્ટર પરમાણુઓ સાથે સહસંયોજક બંધ બનાવે છે,જ્યારે પાંચમો ઇલેક્ટ્રોન મુક્ત રહે છે અને વહન માટે ઉપલબ્ધ બને છે.
આ ડોપન્ટ પરમાણુ એક વધારાનો ઇલેક્ટ્રોન દાન કરતું હોવાથી તેને 'ડોનર' અશુદ્ધિ કહેવામાં આવે છે,જેના પરિણામે $N$-ટાઈપ સેમિકન્ડક્ટર મળે છે.

(B) રેડિયોએક્ટિવ નમૂનાની એક્ટિવિટી $(A)$ એ ક્ષયના દર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જેનું સૂત્ર છે: $A = \lambda N$.
અહીં,$\lambda$ એ ક્ષય અચળાંક છે,જે અર્ધ-આયુષ્ય $(T_{1/2})$ સાથે આ રીતે સંબંધિત છે: $\lambda = \frac{0.693}{T_{1/2}}$.
આપેલ છે:
ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $(N)$ = $2.0 \times 10^{21}$
અર્ધ-આયુષ્ય $(T_{1/2})$ = $1.4 \times 10^{17} \; s$
આ કિંમતોને એક્ટિવિટીના સૂત્રમાં મૂકતા:
$A = N \times \frac{0.693}{T_{1/2}}$
$A = (2.0 \times 10^{21}) \times \frac{0.693}{1.4 \times 10^{17}}$
$A = \frac{1.386}{1.4} \times 10^{4}$
$A \approx 0.99 \times 10^{4} \; Bq$
$A \approx 10^{4} \; Bq$.

(D) વિદ્યુતચુંબકીય વર્ણપટને તરંગલંબાઈના આધારે ક્રમબદ્ધ કરવામાં આવે છે.
ગામા કિરણો સૌથી ટૂંકી તરંગલંબાઈ ધરાવે છે,જે સામાન્ય રીતે $10^{-10} \ m$ થી $10^{-14} \ m$ ની વચ્ચે હોય છે.
આપેલા વિકલ્પોની સરખામણી કરતા:
$1$. માઇક્રોવેવ્સ: $10^{-3} \ m$ થી $10^{-1} \ m$
$2$. અલ્ટ્રાવાયોલેટ કિરણો: $10^{-7} \ m$ થી $10^{-8} \ m$
$3$. એક્સ-રે: $10^{-8} \ m$ થી $10^{-10} \ m$
$4$. ગામા-કિરણો: $< 10^{-10} \ m$
તેથી,ગામા-કિરણો સૌથી ટૂંકી તરંગલંબાઈ ધરાવે છે.

(C) બંધ લૂપ માટે કિર્ચોફના વોલ્ટેજ નિયમ $(KVL)$ નો ઉપયોગ કરતા:
બિંદુ $B$ થી શરૂ કરીને ઘડિયાળની દિશામાં આગળ વધતા:
$-I(4) - 2 - I(1) - 4 - I(1) = 0$
$-6I - 6 = 0$
$-6I = 6$
$I = -1 \text{ A}$
વિદ્યુતપ્રવાહનું મૂલ્ય $1 \text{ A}$ છે. ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે વિદ્યુતપ્રવાહ ધારેલી દિશાની વિરુદ્ધ દિશામાં વહે છે.

(C) આપેલ આકૃતિ પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે ઉપરની શાખામાં રહેલા $4 \ \Omega$ અને $8 \ \Omega$ ના બે અવરોધો શ્રેણીમાં છે. તેમનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_1 = 4 \ \Omega + 8 \ \Omega = 12 \ \Omega$ છે.
આ $12 \ \Omega$ નો અવરોધ તે જ બે નોડ વચ્ચે જોડાયેલા $6 \ \Omega$ ના અવરોધ સાથે સમાંતર જોડાણમાં છે. આ સમાંતર જોડાણનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_p$ નીચે મુજબ મળે છે: $\frac{1}{R_p} = \frac{1}{12} + \frac{1}{6} = \frac{1+2}{12} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$,તેથી $R_p = 4 \ \Omega$.
હવે,પરિપથ નીચેના $4 \ \Omega$ ના અવરોધ,સમતુલ્ય $4 \ \Omega$ ના અવરોધ અને નીચેના $8 \ \Omega$ ના અવરોધના શ્રેણી જોડાણમાં સરળ બને છે.
તેથી,$A$ અને $B$ વચ્ચેનો કુલ સમતુલ્ય અવરોધ $R_{AB} = 4 \ \Omega + 4 \ \Omega + 8 \ \Omega = 16 \ \Omega$ થાય છે.

(B) આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ એક આરા $(OP)$ ને ધ્યાનમાં લો.
એક આરા $(OP)$ પર ઉત્પન્ન થતું પ્રેરિત emf:
$e = \frac{B \omega l^2}{2}$
આપેલ છે:
$B = 0.4 \,G = 0.4 \times 10^{-4} \,T$
$l = 1 \,m$
$f = 120 \,rpm = \frac{120}{60} \,rps = 2 \,rps$
કોણીય વેગ $\omega = 2 \pi f = 2 \pi \times 2 = 4 \pi \,rad/s$
કિંમતો મૂકતા:
$e = \frac{1}{2} \times (0.4 \times 10^{-4}) \times (4 \pi) \times (1)^2$
$e = 0.2 \times 10^{-4} \times 4 \times 3.14159$
$e = 0.8 \times 3.14159 \times 10^{-4} \approx 2.51 \times 10^{-4} \,V$
બધા આરા ધરી અને રીમની વચ્ચે સમાંતર જોડાયેલા હોવાથી,કુલ પ્રેરિત emf એક આરામાં ઉત્પન્ન થતા emf જેટલું જ રહેશે:
$e_{\text{Net}} = e = 2.51 \times 10^{-4} \,V$

(A) $PN$ જંકશન ડાયોડ ત્યારે ફોરવર્ડ બાયસમાં હોય છે જ્યારે $P$-બાજુનું પોટેન્શિયલ $(V_P)$ એ $N$-બાજુના પોટેન્શિયલ $(V_N)$ કરતા વધારે હોય,એટલે કે $V_P > V_N$.
વિકલ્પ $(A)$ માટે: $V_P = 0 \text{ V}$,$V_N = -3 \text{ V}$. કારણ કે $0 > -3$,તેથી $V_P > V_N$. આ ફોરવર્ડ બાયસ છે.
વિકલ્પ $(B)$ માટે: $V_P = -4 \text{ V}$,$V_N = -2 \text{ V}$. કારણ કે $-4 < -2$,તેથી $V_P < V_N$. આ રિવર્સ બાયસ છે.
વિકલ્પ $(C)$ માટે: $V_P = 2 \text{ V}$,$V_N = 5 \text{ V}$. કારણ કે $2 < 5$,તેથી $V_P < V_N$. આ રિવર્સ બાયસ છે.
વિકલ્પ $(D)$ માટે: $V_P = -2 \text{ V}$,$V_N = 2 \text{ V}$. કારણ કે $-2 < 2$,તેથી $V_P < V_N$. આ રિવર્સ બાયસ છે.
તેથી,વિકલ્પ $(A)$ સાચો જવાબ છે.

(D) લોડ અવરોધ $R_C$ પરનો વોલ્ટેજ ડ્રોપ ઓહ્મના નિયમ મુજબ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$V_L = I_C \times R_C$
અહીં વોલ્ટેજ ડ્રોપ $V_L = 0.8 \; V$ અને લોડ અવરોધ $R_C = 800 \; \Omega$ આપેલ છે.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$0.8 \; V = I_C \times 800 \; \Omega$
$I_C = \frac{0.8}{800} \; A$
$I_C = 0.001 \; A$
કારણ કે $1 \; A = 1000 \; mA$,તેથી:
$I_C = 0.001 \times 1000 \; mA = 1 \; mA$.
તેથી,કલેક્ટર પ્રવાહ $1 \; mA$ છે.

(C) વાહકનો અવરોધ $R$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$R = \rho \frac{l}{A}$
જ્યાં $\rho$ એ અવરોધકતા છે,$l$ એ લંબાઈ છે,અને $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
આપેલ છે કે બંને વાહકો સમાન દ્રવ્યના બનેલા છે,તેથી તેમની અવરોધકતા સમાન છે: $\rho_{1} = \rho_{2} = \rho$.
આપેલ છે કે તેમની લંબાઈ સમાન છે: $l_{1} = l_{2} = l$.
આપેલ છે કે તેમનો અવરોધ સમાન છે: $R_{1} = R_{2} = R$.
સૂત્ર પરથી,આપણે ક્ષેત્રફળને $A = \frac{\rho l}{R}$ તરીકે દર્શાવી શકીએ છીએ.
કારણ કે $\rho$,$l$,અને $R$ બંને વાહકો માટે સમાન છે,તેથી આડછેદના ક્ષેત્રફળ પણ સમાન હોવા જોઈએ:
$A_{1} = \frac{\rho l}{R}$ અને $A_{2} = \frac{\rho l}{R}$
તેથી,$\frac{A_{1}}{A_{2}} = 1$.

(B) વ્યતિકરણ ભાતમાં,સહાયક વ્યતિકરણ માટેની શરત એ છે કે પથ તફાવત $\Delta x$ એ તરંગલંબાઈ $\lambda$ નો પૂર્ણાંક ગુણાંક હોવો જોઈએ,એટલે કે $\Delta x = n\lambda$ જ્યાં $n = 0, 1, 2, \dots$.
મધ્યસ્થ અધિકતમ એ બિંદુએ રચાય છે જ્યાં બે તરંગો વચ્ચેનો પથ તફાવત શૂન્ય $(\Delta x = 0)$ હોય છે.
કળા તફાવત $\phi$ અને પથ તફાવત $\Delta x$ વચ્ચેનો સંબંધ $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમીકરણમાં $\Delta x = 0$ મૂકતા,આપણને $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \times 0 = 0$ મળે છે.
તેથી,મધ્યસ્થ અધિકતમ માટે,કળા તફાવત $0$ છે.

(C) લૂપ $BCDEB$ માટે કિર્ચોફનો વોલ્ટેજ નિયમ $(KVL)$ લાગુ કરવા માટે,આપણે બિંદુ $B$ થી શરૂ કરીને ઘડિયાળની દિશામાં લૂપમાં આગળ વધીએ છીએ.
$1$. $B$ થી $C$ તરફ અવરોધ $R_2$ માંથી પ્રવાહ $i_2$ ની દિશામાં જતાં,પોટેન્શિયલનો ઘટાડો $-i_2 R_2$ થાય છે.
$2$. $C$ થી $D$ તરફ બેટરી $E_2$ માંથી પસાર થતાં,આપણે ધન ટર્મિનલથી ઋણ ટર્મિનલ તરફ જઈએ છીએ,તેથી પોટેન્શિયલનો ફેરફાર $-E_2$ છે.
$3$. $D$ થી $E$ તરફ બેટરી $E_3$ માંથી પસાર થતાં,આપણે ઋણ ટર્મિનલથી ધન ટર્મિનલ તરફ જઈએ છીએ,તેથી પોટેન્શિયલનો ફેરફાર $+E_3$ છે.
$4$. $E$ થી $B$ તરફ અવરોધ $R_1$ માંથી પ્રવાહ $i_3$ ની વિરુદ્ધ દિશામાં જતાં,પોટેન્શિયલનો ફેરફાર $+i_3 R_1$ છે.
આ ફેરફારોનો સરવાળો શૂન્ય લેતા:
$-i_2 R_2 - E_2 + E_3 + i_3 R_1 = 0$
બંને બાજુ $-1$ વડે ગુણતા:
$i_2 R_2 + E_2 - E_3 - i_3 R_1 = 0$

(C) પ્રેરિત emf $(\varepsilon)$ નું મૂલ્ય ફેરાડેના પ્રેરણના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $|\varepsilon| = |\frac{d\phi}{dt}|$.
આપેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = 5t^2 + 3t + 16$ છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં $\phi$ નું વિકલન કરતા:
$\frac{d\phi}{dt} = \frac{d}{dt}(5t^2 + 3t + 16) = 10t + 3$.
ચોથી સેકન્ડે $(t = 4 \, s)$ પ્રેરિત emf નું મૂલ્ય શોધવા માટે:
$|\varepsilon| = 10(4) + 3 = 40 + 3 = 43 \, V$.

(A) સમતલ વિદ્યુતચુંબકીય તરંગનું સામાન્ય સમીકરણ $B = B_{0} \sin (kx + \omega t)$ છે.
આપેલ સમીકરણ $B_{y} = 2 \times 10^{-7} \sin (\pi \times 10^{3} x + 3 \pi \times 10^{11} t) \; T$ સાથે સરખાવતા, આપણને તરંગ સંખ્યા $k$ મળે છે:
$k = \pi \times 10^{3} \; \text{rad/m}$.
તરંગ સંખ્યા $k$ અને તરંગલંબાઈ $\lambda$ વચ્ચેનો સંબંધ $k = \frac{2\pi}{\lambda}$ છે.
$k$ ની કિંમત મૂકતા:
$\pi \times 10^{3} = \frac{2\pi}{\lambda}$.
$\lambda$ માટે ઉકેલતા:
$\lambda = \frac{2\pi}{\pi \times 10^{3}} = 2 \times 10^{-3} \; m$.

(A) ડાયપોલ મોમેન્ટ $\overrightarrow{p}$ ધરાવતા વિદ્યુત ડાયપોલ માટે,વિષુવવૃત્તીય સમતલ પરના મોટા અંતર $r$ ($r >> a$,જ્યાં $2a$ એ વિદ્યુતભારો વચ્ચેનું અંતર છે) પરના બિંદુએ વિદ્યુતક્ષેત્રનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\overrightarrow{E} = -\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{\overrightarrow{p}}{r^{3}}$
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે વિષુવવૃત્તીય બિંદુ પર વિદ્યુતક્ષેત્રની દિશા એ ડાયપોલ મોમેન્ટ સદિશ $\overrightarrow{p}$ (જે $-q$ થી $+q$ તરફ હોય છે) ની દિશાની વિરુદ્ધ છે.

(B) જ્યારે ઇન્ડક્ટરમાં લોખંડનો સળિયો દાખલ કરવામાં આવે છે,ત્યારે તેનું આત્મ-પ્રેરકત્વ $L$ વધે છે કારણ કે કોરની પરમીબિલિટી વધે છે.
ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = \omega L$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. જેમ $L$ વધે છે,તેમ $X_L$ પણ વધે છે.
પરિપથનું ઇમ્પિડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$ છે. જેમ $X_L$ વધે છે,તેમ પરિપથનું કુલ ઇમ્પિડન્સ $Z$ વધે છે.
પરિપથમાં પ્રવાહ $I = \frac{V}{Z}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. જેમ $Z$ વધે છે,તેમ પરિપથમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I$ ઘટે છે.
બલ્બમાં વપરાતો પાવર $P = I^2 R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. જેમ પ્રવાહ $I$ ઘટે છે,તેમ બલ્બમાં વપરાતો પાવર ઘટે છે,અને તેથી,લાઈટ બલ્બનો પ્રકાશ ઘટે છે.

(B) ઇલેક્ટ્રોનની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ માટેનું સૂત્ર:
$\lambda = \frac{12.27}{\sqrt{K}} \; \mathring{A}$,જ્યાં $K$ એ $eV$ માં ગતિઊર્જા છે.
અહીં $K = 144 \; eV$ આપેલ છે.
સૂત્રમાં $K$ ની કિંમત મૂકતા:
$\lambda = \frac{12.27}{\sqrt{144}} \; \mathring{A}$
$\lambda = \frac{12.27}{12} \; \mathring{A} = 1.0225 \; \mathring{A}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $1 \; \mathring{A} = 0.1 \; nm$,તેથી:
$\lambda = 1.0225 \times 0.1 \; nm = 0.10225 \; nm$.
આને $102 \times 10^{-x} \; nm$ સ્વરૂપમાં ફેરવતા:
$0.10225 \; nm = 102.25 \times 10^{-3} \; nm$.
આશરે કિંમત લેતા,આપણને $102 \times 10^{-3} \; nm$ મળે છે.

(C) હાઇડ્રોજન પરમાણુના બોહર મોડેલ મુજબ,$n^{th}$ સ્થિર કક્ષામાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોનની કુલ ઉર્જા નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$E_{n} = -\frac{13.6}{n^{2}} \; eV$
જ્યાં $n$ એ મુખ્ય ક્વોન્ટમ નંબર છે જે કક્ષાનો ક્રમ દર્શાવે છે $(n = 1, 2, 3, \dots)$.

(A) તારની લંબાઈ $L$ છે,જે વર્તુળાકાર લૂપનો પરિઘ બનાવે છે.
તેથી,$L = 2 \pi R$,જ્યાં $R$ એ વર્તુળની ત્રિજ્યા છે.
આના પરથી,ત્રિજ્યા $R = \frac{L}{2 \pi}$ થાય.
વર્તુળાકાર લૂપનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi R^{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$R$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $A = \pi \left( \frac{L}{2 \pi} \right)^{2} = \pi \left( \frac{L^{2}}{4 \pi^{2}} \right) = \frac{L^{2}}{4 \pi}$ મળે છે.
વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત લૂપની ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = I A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$A$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $M = I \left( \frac{L^{2}}{4 \pi} \right) = \frac{I L^{2}}{4 \pi} \; A \cdot m^{2}$ મળે છે.

(B) અરીસાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$.
અંતર્ગોળ અરીસા માટે,કેન્દ્રલંબાઈ $f$ ઋણ લેવામાં આવે છે,તેથી $f_{mirror} = -f$.
વસ્તુનું અંતર $u$ પણ ઋણ લેવામાં આવે છે,તેથી $u = -1.5 f = -\frac{3 f}{2}$.
આ કિંમતોને અરીસાના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{1}{v} + \frac{1}{-1.5 f} = \frac{1}{-f}$
$\frac{1}{v} - \frac{2}{3 f} = -\frac{1}{f}$
$\frac{1}{v} = -\frac{1}{f} + \frac{2}{3 f}$
$\frac{1}{v} = \frac{-3 + 2}{3 f}$
$\frac{1}{v} = -\frac{1}{3 f}$
તેથી,$v = -3 f$. પ્રતિબિંબ અરીસાની સામે $3 f$ અંતરે રચાય છે.

(D) ઇલેક્ટ્રોન અને પ્રોટોન વચ્ચેનું સ્થિત-વિદ્યુત બળ કુલંબના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $F = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{e^{2}}{r^{2}}$.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,ઇલેક્ટ્રોનનો પ્રવેગ $a_{e} = \frac{F}{m_{e}}$ છે.
બળનું સૂત્ર મૂકતા: $a_{e} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{e^{2}}{m_{e} r^{2}}$.
અહીં $r = 1.6 \; \mathring{A} = 1.6 \times 10^{-10} \; m$,$e = 1.6 \times 10^{-19} \; C$,$m_{e} = 9 \times 10^{-31} \; kg$,અને $\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} = 9 \times 10^{9} \; Nm^{2} C^{-2}$ છે.
$a_{e} = \frac{9 \times 10^{9} \times (1.6 \times 10^{-19})^{2}}{9 \times 10^{-31} \times (1.6 \times 10^{-10})^{2}}$.
$a_{e} = \frac{9 \times 10^{9} \times 2.56 \times 10^{-38}}{9 \times 10^{-31} \times 2.56 \times 10^{-20}}$.
$a_{e} = \frac{10^{9} \times 10^{-38}}{10^{-31} \times 10^{-20}} = \frac{10^{-29}}{10^{-51}} = 10^{22} \; m/s^{2}$.

(C) જ્યારે ઉત્તેજિત ન્યુક્લિયસ $\gamma$-વિકિરણનું ઉત્સર્જન કરે છે,ત્યારે તે ઉચ્ચ ઉર્જા અવસ્થામાંથી નીચી ઉર્જા અવસ્થામાં સંક્રમણ કરે છે.
આ પ્રક્રિયાને આ રીતે દર્શાવવામાં આવે છે: $_{Z}X^{A} \xrightarrow{\gamma \text{ decay}} _{Z}X^{A} + \gamma$.
$\gamma$-કિરણો એ ઉચ્ચ ઉર્જા ધરાવતા વિદ્યુતચુંબકીય ફોટોન છે અને તે કોઈ વીજભાર કે દળ ધરાવતા નથી,તેથી $\gamma$-વિકિરણના ઉત્સર્જનથી ન્યુક્લિયસમાં પ્રોટોન કે ન્યુટ્રોનની સંખ્યામાં કોઈ ફેરફાર થતો નથી.
તેથી,દળ ક્રમાંક $(A)$ અને પરમાણુ ક્રમાંક $(Z)$ બંને બદલાતા નથી.

(C) ક્રાંતિકોણ $C$ અને વક્રીભવનાંક $\mu$ વચ્ચેનો સંબંધ $\sin C = \frac{1}{\mu}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $C = 45^{\circ}$ આપેલ છે,તેથી $\sin 45^{\circ} = \frac{1}{\mu}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,તેથી $\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\mu}$,જેનો અર્થ છે કે $\mu = \sqrt{2}$.
માધ્યમમાં પ્રકાશનો વેગ $v$ અને શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ $c$ વચ્ચેનો સંબંધ $v = \frac{c}{\mu}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$v = \frac{3 \times 10^{8}}{\sqrt{2}} \; m/s$ મળે છે.

(C) હવા ધરાવતા સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું મૂળ કેપેસિટન્સ $C_{0} = \frac{\varepsilon_{0} A}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે $t$ જાડાઈ અને $K$ ડાયલેક્ટ્રિક અચળાંક ધરાવતી ડાયલેક્ટ્રિક સ્લેબને પ્લેટો વચ્ચે મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે નવું કેપેસિટન્સ $C$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$C = \frac{\varepsilon_{0} A}{d - t + \frac{t}{K}}$
અહીં $t = \frac{d}{2}$ અને $K = 4$ આપેલ છે,તેથી આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$C = \frac{\varepsilon_{0} A}{d - \frac{d}{2} + \frac{d/2}{4}}$
$C = \frac{\varepsilon_{0} A}{\frac{d}{2} + \frac{d}{8}}$
$C = \frac{\varepsilon_{0} A}{\frac{4d + d}{8}} = \frac{\varepsilon_{0} A}{\frac{5d}{8}}$
$C = \frac{8}{5} \frac{\varepsilon_{0} A}{d} = \frac{8}{5} C_{0}$
તેથી,નવા કેપેસિટન્સ અને મૂળ કેપેસિટન્સનો ગુણોત્તર $\frac{C}{C_{0}} = \frac{8}{5}$ થાય છે.