NEET 2021 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(D) નિષ્ક્રમણ વેગનું સૂત્ર $v_{e} = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ છે.
દળ $M = \text{કદ} \times \text{ઘનતા} = \frac{4}{3} \pi R^{3} \rho$ હોવાથી,આપણે આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકીએ:
$v_{e} = \sqrt{\frac{2G}{R} \times \frac{4}{3} \pi R^{3} \rho} = \sqrt{\frac{8 \pi G \rho}{3} R^{2}} = R \sqrt{\frac{8 \pi G \rho}{3}}$.
આ દર્શાવે છે કે જ્યારે ઘનતા $\rho$ અચળ હોય ત્યારે $v_{e} \propto R$ થાય છે.
નવા ગ્રહની ત્રિજ્યા $R' = 4R$ હોવાથી,નવો નિષ્ક્રમણ વેગ $v'$ નીચે મુજબ થશે:
$v' = 4 \times v_{e} = 4v$.

(A) જ્યારે દડો અચળ ટર્મિનલ વેગથી ગતિ કરે છે,ત્યારે તેના પર લાગતું પરિણામી બળ શૂન્ય હોય છે.
દડા પર લાગતા બળો નીચે મુજબ છે:
$1$. દડાનું વજન $(W = Mg)$ જે નીચેની તરફ લાગે છે.
$2$. ઉત્પ્લાવક બળ $(F_B)$ જે ઉપરની તરફ લાગે છે.
$3$. સ્નિગ્ધતા બળ $(F_v)$ જે ઉપરની તરફ લાગે છે.
ઉત્પ્લાવક બળનું સૂત્ર $F_B = V \rho_{liquid} g$ છે,જ્યાં $V$ એ દડાનું કદ છે.
દડાની ઘનતા $d$ હોવાથી,તેનું કદ $V = \frac{M}{d}$ થાય.
ગ્લિસરીનની ઘનતા $\frac{d}{2}$ આપેલ હોવાથી,ઉત્પ્લાવક બળ $F_B = V \left(\frac{d}{2}\right) g = \left(\frac{M}{d}\right) \left(\frac{d}{2}\right) g = \frac{Mg}{2}$ થાય.
અચળ વેગ માટે,બળોનું સંતુલન થવું જોઈએ:
$F_v + F_B = W$
$F_v + \frac{Mg}{2} = Mg$
$F_v = Mg - \frac{Mg}{2} = \frac{Mg}{2}$.

(C) $n$ આવૃત્તિ ધરાવતી સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ માટે સ્થાનાંતરનું સમીકરણ નીચે મુજબ છે:
$x = A \sin(\omega t) = A \sin(2 \pi n t)$
પદાર્થની સ્થિતિ ઉર્જા $(U)$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$U = \frac{1}{2} k x^2 = \frac{1}{2} k A^2 \sin^2(2 \pi n t)$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos(2 \theta)}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$U = \frac{1}{2} k A^2 \left[ \frac{1 - \cos(2 \cdot 2 \pi n t)}{2} \right] = \frac{1}{4} k A^2 [1 - \cos(4 \pi n t)]$
આમ,સ્થિતિ ઉર્જાની આવૃત્તિ એ કોસાઇન પદમાં $2 \pi t$ નો સહગુણક છે,જે $2n$ છે.

(B) ઇનપુટ પાવર $P_{\text{input}}$ એ સ્થિતિ ઊર્જાના ફેરફારના દર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $P_{\text{input}} = \frac{mgh}{t} = \left(\frac{m}{t}\right)gh$.
આપેલ છે કે $\frac{m}{t} = 15 \, kg/s$,$g = 10 \, m/s^2$,અને $h = 60 \, m$.
$P_{\text{input}} = 15 \times 10 \times 60 = 9000 \, W = 9 \, kW$.
ઘર્ષણને કારણે પાવરનો વ્યય ઇનપુટ પાવરના $10 \%$ છે.
$\text{Loss} = 10 \% \text{ of } 9 \, kW = 0.1 \times 9 \, kW = 0.9 \, kW$.
ટર્બાઇન દ્વારા ઉત્પન્ન થતી પાવર એ આઉટપુટ પાવર છે: $P_{\text{output}} = P_{\text{input}} - \text{Loss} = 9 \, kW - 0.9 \, kW = 8.1 \, kW$.

(C) વાયુના અણુઓની વર્ગ-સરેરાશ-વર્ગ ઝડપ $V_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે। તેથી, $(A) - (Q)$.
$(B)$ આદર્શ વાયુ દ્વારા લાગતું દબાણ $P = \frac{1}{3} n m \bar{v}^{2}$ છે, જ્યાં $n$ એ સંખ્યા ઘનતા છે, $m$ એ અણુનું દળ છે, અને $\bar{v}^{2}$ એ સરેરાશ વર્ગ ઝડપ છે। તેથી, $(B) - (P)$.
$(C)$ આદર્શ વાયુના એક અણુની સરેરાશ ગતિઊર્જા $E = \frac{3}{2} k_{B} T$ છે। તેથી, $(C) - (S)$.
$(D)$ $1$ મોલ દ્વિ-પરમાણ્વિક વાયુની કુલ આંતરિક ઊર્જા $U = \frac{f}{2} RT$ છે। દ્વિ-પરમાણ્વિક વાયુ માટે, મુક્તિના અંશો (degrees of freedom) $f = 5$ હોય છે। તેથી, $U = \frac{5}{2} RT$। તેથી, $(D) - (R)$.

(B) સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થતા પદાર્થ દ્વારા $n^{th}$ સેકન્ડમાં કાપેલું અંતર $S_n = u + \frac{a}{2}(2n-1)$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બ્લોક સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થતો હોવાથી,પ્રારંભિક વેગ $u = 0$ છે.
તેથી,$n^{th}$ અંતરાલમાં કાપેલું અંતર $S_n = \frac{a}{2}(2n-1)$ થાય.
તે જ રીતે,$(n+1)^{th}$ અંતરાલમાં કાપેલું અંતર $S_{n+1} = \frac{a}{2}(2(n+1)-1) = \frac{a}{2}(2n+2-1) = \frac{a}{2}(2n+1)$ થાય.
હવે,ગુણોત્તર $\frac{S_n}{S_{n+1}}$ ની ગણતરી કરતા:
$\frac{S_n}{S_{n+1}} = \frac{\frac{a}{2}(2n-1)}{\frac{a}{2}(2n+1)} = \frac{2n-1}{2n+1}$.

(D) સ્ક્રૂ ગેજનું લઘુત્તમ માપ $(L.C.)$ નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
$L.C. = \frac{\text{પીચ}}{\text{કુલ વર્તુળાકાર સ્કેલ વિભાગો}} = \frac{1 \, mm}{100} = 0.01 \, mm$.
કારણ કે $1 \, mm = 0.1 \, cm$,તેથી $cm$ માં $L.C.$:
$L.C. = 0.01 \, mm = 0.001 \, cm$.
વ્યાસ $(D)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$D = \text{મુખ્ય સ્કેલ રીડિંગ} + (\text{વર્તુળાકાર સ્કેલ રીડિંગ} \times L.C.)$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$D = 0 \, mm + (52 \times 0.01 \, mm) = 0.52 \, mm$.
વ્યાસને $cm$ માં ફેરવતા:
$D = \frac{0.52}{10} \, cm = 0.052 \, cm$.

(B) ધારો કે ઉર્જા $E$ ને $E = k F^{a} A^{b} T^{c}$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે,જ્યાં $k$ એ પરિમાણરહિત અચળાંક છે.
ઉર્જાનું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^{1} L^{2} T^{-2}]$ છે.
બળનું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^{1} L^{1} T^{-2}]$ છે.
પ્રવેગનું પારિમાણિક સૂત્ર $[L^{1} T^{-2}]$ છે.
સમયનું પારિમાણિક સૂત્ર $[T^{1}]$ છે.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$[M^{1} L^{2} T^{-2}] = [M^{1} L^{1} T^{-2}]^{a} [L^{1} T^{-2}]^{b} [T^{1}]^{c}$
$[M^{1} L^{2} T^{-2}] = [M^{a} L^{a+b} T^{-2a-2b+c}]$
બંને બાજુ $M, L$ અને $T$ ના ઘાતાંકોની સરખામણી કરતા:
$M$ માટે: $a = 1$
$L$ માટે: $a + b = 2 \Rightarrow 1 + b = 2 \Rightarrow b = 1$
$T$ માટે: $-2a - 2b + c = -2 \Rightarrow -2(1) - 2(1) + c = -2 \Rightarrow -4 + c = -2 \Rightarrow c = 2$
આમ,$F, A$ અને $T$ ના સ્વરૂપમાં ઉર્જાનું પારિમાણિક સૂત્ર $[F^{1} A^{1} T^{2}]$ અથવા $[F][A][T^{2}]$ થાય છે.

(B) ઉર્જા $E$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[M L^{2} T^{-2}]$ છે.
ગુરુત્વાકર્ષણના અચળાંક $G$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^{-1} L^{3} T^{-2}]$ છે.
તેથી,$\frac{E}{G}$ ના પરિમાણો નીચે મુજબ મળે:
$\frac{[E]}{[G]} = \frac{[M L^{2} T^{-2}]}{[M^{-1} L^{3} T^{-2}]}$
$= [M^{1 - (-1)}] [L^{2 - 3}] [T^{-2 - (-2)}]$
$= [M^{2}] [L^{-1}] [T^{0}]$

(D) હૂકના નિયમ મુજબ, $F = Kx$, જ્યાં $F$ એ બળ છે, $K$ એ સ્પ્રિંગ અચળાંક છે, અને $x$ એ સ્થાનાંતર છે。
આપેલ છે કે $F = 10 \,\,N$ અને $x = 5 \,\,cm = 0.05 \,\,m$.
$10 = K \times 0.05 \implies K = \frac{10}{0.05} = 200 \,\,N/m$.
સ્પ્રિંગ-દળ તંત્રનો આવર્તકાળ $T$ એ $T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{K}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$m = 2 \,\,kg$ અને $K = 200 \,\,N/m$ મૂકતા:
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{2}{200}} = 2 \pi \sqrt{\frac{1}{100}} = 2 \pi \times \frac{1}{10} = \frac{2 \times 3.14}{10} = 0.628 \,\,s$.

(B) જમીન સાથે અથડાતા પહેલા દડાનો વેગ $v = \sqrt{2gh}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $v = \sqrt{2 \times 10 \times 10} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2} \, m/s$.
દડો તેટલી જ ઊંચાઈ સુધી પાછો ઉછળતો હોવાથી,અથડામણ પછીનો વેગ $v' = -v = -10\sqrt{2} \, m/s$ થશે (ઉપરની દિશાને ધન લેતા).
દડાને મળતો આઘાત $J$ એ વેગમાનમાં થતા ફેરફાર જેટલો હોય છે: $J = \Delta p = m(v_{final} - v_{initial})$.
અહીં,$v_{initial} = -10\sqrt{2} \, m/s$ અને $v_{final} = +10\sqrt{2} \, m/s$.
$J = 0.15 \times (10\sqrt{2} - (-10\sqrt{2})) = 0.15 \times 20\sqrt{2} = 3\sqrt{2}$.
$\sqrt{2} \approx 1.414$ લેતા,$J = 3 \times 1.414 = 4.242 \, kg \cdot m/s$.
આશરે કિંમત લેતા,આઘાતનું મૂલ્ય $4.2 \, kg \cdot m/s$ મળે છે.

(D) $t=4 \, s$ સમયે,કારનો (અને તેથી દડાનો) સમક્ષિતિજ દિશામાં વેગ $v_x = u + at = 0 + 5 \times 4 = 20 \, m/s$ છે.
દડો ફેંક્યા પછી,તે ફક્ત ગુરુત્વાકર્ષણની અસર હેઠળ હોય છે.
$t=6 \, s$ સમયે,દડો ફેંક્યા પછીનો વીતેલો સમય $\Delta t = 6 - 4 = 2 \, s$ છે.
સમક્ષિતિજ વેગ અચળ રહે છે: $v_x = 20 \, m/s$.
$\Delta t = 2 \, s$ સમયે શિરોલંબ વેગ $v_y = u_y + g \Delta t = 0 + 10 \times 2 = 20 \, m/s$ છે.
પરિણામી વેગ $v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{20^2 + 20^2} = 20 \sqrt{2} \, m/s$ છે.
દડો મુક્ત પતન કરતો હોવાથી,તેનો પ્રવેગ ગુરુત્વપ્રવેગ જેટલો હોય છે,$a = g = 10 \, m/s^{2}$ નીચેની તરફ.

(D) ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ, પૃથ્વીની સપાટી પરની કુલ ઉર્જા એ મહત્તમ ઊંચાઈ $r$ પરની કુલ ઉર્જા જેટલી હોય છે, જ્યાં વેગ શૂન્ય થાય છે।
$-\frac{GMm}{R} + \frac{1}{2} m v^2 = -\frac{GMm}{r}$
આપેલ છે કે $v = k V_{e}$ અને $V_{e} = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$, તેથી $v^2 = k^2 \frac{2GM}{R}$ થાય.
આ કિંમતને ઉર્જાના સમીકરણમાં મૂકતા:
$-\frac{GMm}{R} + \frac{1}{2} m \left( k^2 \frac{2GM}{R} \right) = -\frac{GMm}{r}$
$GMm$ વડે ભાગતા:
$-\frac{1}{R} + \frac{k^2}{R} = -\frac{1}{r}$
$\frac{1}{r} = \frac{1}{R} - \frac{k^2}{R} = \frac{1-k^2}{R}$
$r = \frac{R}{1-k^2}$
અહીં $r = R + h$ હોવાથી, મહત્તમ ઊંચાઈ $h$:
$h = r - R = \frac{R}{1-k^2} - R = R \left( \frac{1 - (1-k^2)}{1-k^2} \right) = \frac{R k^2}{1-k^2}$.

(D) વર્તુળાકાર ગતિમાં કણની ઝડપ $V = \frac{2 \pi R}{T}$ છે.
પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ દ્વારા પ્રાપ્ત મહત્તમ ઊંચાઈ $H$ નું સૂત્ર $H = \frac{V^2 \sin^2 \theta}{2g}$ છે.
આપેલ છે કે $H = 4R$,તેથી $V$ અને $H$ ની કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા:
$4R = \frac{(\frac{2 \pi R}{T})^2 \sin^2 \theta}{2g}$
$4R = \frac{4 \pi^2 R^2 \sin^2 \theta}{2g T^2}$
$4R = \frac{2 \pi^2 R^2 \sin^2 \theta}{g T^2}$
$\sin^2 \theta$ માટે ઉકેલતા:
$\sin^2 \theta = \frac{4R \cdot g T^2}{2 \pi^2 R^2} = \frac{2 g T^2}{\pi^2 R}$
તેથી,$\theta = \sin^{-1} \left( \frac{2 g T^2}{\pi^2 R} \right)^{1/2}$.

(A) $M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી સંપૂર્ણ વર્તુળાકાર રીંગની તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેના સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = MR^{2}$ છે.
રીંગ પર દળ સમાન રીતે વહેંચાયેલું હોવાથી,$90^{\circ}$ નો સેક્ટર (જે કુલ પરિઘનો $1/4$ ભાગ છે) દૂર કર્યા પછી બાકી રહેલી રીંગનું દળ $M' = M - \frac{1}{4}M = \frac{3}{4}M$ થશે.
અક્ષથી $R$ અંતરે રહેલા $m$ દળના કણની જડત્વની ચાકમાત્રા $I = mR^{2}$ છે. રીંગનો દરેક બિંદુ કેન્દ્રિય અક્ષથી સમાન અંતર $R$ પર હોવાથી,$M'$ દળ ધરાવતા રીંગના કોઈપણ ભાગની જડત્વની ચાકમાત્રા $I' = M'R^{2}$ થશે.
$M' = \frac{3}{4}M$ મૂકતા,આપણને $I' = \frac{3}{4}MR^{2}$ મળે છે.
આને $I' = KMR^{2}$ સાથે સરખાવતા,$K = \frac{3}{4}$ મળે છે.

(D) સળિયો સમાન છે,તેથી તેનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર તેના મધ્યબિંદુ એટલે કે $100 \, cm$ ના નિશાન પર કાર્ય કરે છે. સળિયાનું દળ $0.5 \, kg$ છે.
વેજ $40 \, cm$ પર છે. આપણે $40 \, cm$ પરના પીવટ પોઈન્ટ (વેજ) ની આસપાસ ટોર્ક લઈએ છીએ.
$100 \, cm$ પર કાર્ય કરતા સળિયાના વજન $(0.5 \, kg)$ ને કારણે ક્લોકવાઈઝ ટોર્ક:
$\tau_{cw} = (0.5 \, kg \times g) \times (100 \, cm - 40 \, cm) = 0.5 \times g \times 60 \, cm$.
$160 \, cm$ પર કાર્ય કરતા દળ $'m'$ ને કારણે ક્લોકવાઈઝ ટોર્ક:
$\tau_{cw}' = (m \times g) \times (160 \, cm - 40 \, cm) = m \times g \times 120 \, cm$.
$20 \, cm$ પર કાર્ય કરતા $2 \, kg$ દળને કારણે એન્ટી-ક્લોકવાઈઝ ટોર્ક:
$\tau_{ccw} = (2 \, kg \times g) \times (40 \, cm - 20 \, cm) = 2 \times g \times 20 \, cm$.
સંતુલન માટે,$\tau_{ccw} = \tau_{cw} + \tau_{cw}'$:
$2 \times g \times 20 = 0.5 \times g \times 60 + m \times g \times 120$.
$g$ વડે ભાગતા:
$40 = 30 + 120m$.
$10 = 120m$.
$m = \frac{10}{120} \, kg = \frac{1}{12} \, kg$.

(A) ન્યૂટનના શીતલનનો નિયમ (Newton's law of cooling) ના સરેરાશ સ્વરૂપનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{dT}{dt} = k(T_{avg} - T_{room})$.
પ્રથમ અંતરાલ ($90^{\circ} C$ થી $80^{\circ} C$) માટે:
$\frac{90-80}{t} = k\left(\frac{90+80}{2} - 20\right) \implies \frac{10}{t} = k(85 - 20) = 65k \dots (i)$
બીજા અંતરાલ ($80^{\circ} C$ થી $60^{\circ} C$) માટે:
$\frac{80-60}{t'} = k\left(\frac{80+60}{2} - 20\right) \implies \frac{20}{t'} = k(70 - 20) = 50k \dots (ii)$
સમીકરણ $(i)$ ને $(ii)$ વડે ભાગતા:
$\frac{10/t}{20/t'} = \frac{65k}{50k}$
$\frac{10}{t} \times \frac{t'}{20} = \frac{65}{50}$
$\frac{t'}{2t} = \frac{13}{10}$
$t' = \frac{13}{10} \times 2t = \frac{13}{5} t$.

(D) ધારો કે પૃથ્વીની સપાટીથી ઊંચાઈ $x$ છે. કણે કાપેલું અંતર $(S - x)$ છે.
ગતિના સમીકરણ $v^2 = u^2 + 2as$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $u = 0$ અને $a = g$,આપણને $v^2 = 2g(S - x)$ મળે છે.
ઊંચાઈ $x$ પર સ્થિતિઊર્જા $PE = mgx$ છે.
તે ક્ષણે ગતિઊર્જા $KE = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}m(2g(S - x)) = mg(S - x)$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$KE = 3 \times PE$.
કિંમતો મૂકતા: $mg(S - x) = 3(mgx)$.
બંને બાજુ $mg$ વડે ભાગતા: $S - x = 3x$.
$S = 4x \Rightarrow x = \frac{S}{4}$.
હવે,$x$ ની કિંમત વેગના સમીકરણમાં મૂકતા: $v^2 = 2g(S - \frac{S}{4}) = 2g(\frac{3S}{4}) = \frac{3gS}{2}$.
તેથી,$v = \sqrt{\frac{3gS}{2}}$.
આમ,ઊંચાઈ $\frac{S}{4}$ અને ઝડપ $\sqrt{\frac{3gS}{2}}$ છે.

(D) આપેલ સર્કિટમાં,ધારો કે ઇનપુટ ટર્મિનલ $A$ છે અને આઉટપુટ ટર્મિનલ $B$ છે.
ઉપરની અને નીચેની શાખાઓમાં $C$ કેપેસિટન્સ ધરાવતા બે કેપેસિટર એકબીજા સાથે શ્રેણીમાં જોડાયેલા છે,અને આ સંયોજન વચ્ચેના કેપેસિટર $C$ સાથે સમાંતર જોડાયેલું છે.
શ્રેણીમાં રહેલા બે કેપેસિટરનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_s$ હોય,તો $1 / C_s = 1 / C + 1 / C = 2 / C$,તેથી $C_s = C / 2$ મળે.
હવે,આ $C_s$ વચ્ચેના કેપેસિટર $C$ સાથે સમાંતર જોડાયેલ છે.
તેથી,સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq} = C_s + C = C / 2 + C = 3 C / 2$ થાય.

(D) ધ્રુવીય અણુઓ એવા અણુઓ છે જેમાં ધન અને ઋણ વીજભારના કેન્દ્રો એકબીજા પર સંપાત થતા નથી,બાહ્ય વિદ્યુતક્ષેત્રની ગેરહાજરીમાં પણ.
કારણ કે આ કેન્દ્રો એકબીજાથી થોડા અંતરે અલગ હોય છે,તેથી આ અણુઓ કાયમી વિદ્યુત ડાયપોલ મોમેન્ટ ધરાવે છે.

(D) અનંત લંબાઈના સીધા વાહક દ્વારા $R$ અંતરે ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નીચે મુજબ છે:
$B = \frac{\mu_{0} I}{2 \pi R}$
આપેલ છે: $I = 5 \, A$,$R = 20 \, cm = 0.2 \, m$,$v = 10^{5} \, m/s$,$q = e = 1.6 \times 10^{-19} \, C$.
કિંમતો મૂકતા:
$B = \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 5}{2 \pi \times 0.2} = \frac{2 \times 10^{-7} \times 5}{0.2} = 5 \times 10^{-6} \, T$.
ગતિમાન વિદ્યુતભાર પર લાગતું ચુંબકીય બળ $F = qvB \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. ઇલેક્ટ્રોન વાહકને સમાંતર ગતિ કરતું હોવાથી,વેગ સદિશ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર (જે વાહક અને ઇલેક્ટ્રોનના પથના સમતલને લંબ છે) વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 90^{\circ}$ છે.
$F = qvB \sin 90^{\circ} = qvB$
$F = (1.6 \times 10^{-19} \, C) \times (10^{5} \, m/s) \times (5 \times 10^{-6} \, T)$
$F = 8 \times 10^{-20} \, N$.
આમ,બળનું મૂલ્ય $8 \times 10^{-20} \, N$ છે.

(C) $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા અને $I$ સમાન વિદ્યુતપ્રવાહ વહન કરતા જાડા નળાકાર કેબલ માટે:
$1$. કેબલની અંદર $(r < R)$: એમ્પીયરના સર્કિટલ નિયમનો ઉપયોગ કરતા,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{\text{in}} = \frac{\mu_0 I r}{2 \pi R^2}$ મળે છે. આ દર્શાવે છે કે $B \propto r$,જે રેખીય સંબંધ છે.
$2$. કેબલની બહાર $(r > R)$: ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{\text{out}} = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$ મળે છે. આ દર્શાવે છે કે $B \propto 1/r$,જે હાયપરબોલિક સંબંધ છે.
$3$. સપાટી પર $(r = R)$: ચુંબકીય ક્ષેત્ર મહત્તમ હોય છે,$B_0 = \frac{\mu_0 I}{2 \pi R}$.
તેથી,આલેખ કેન્દ્રથી સપાટી સુધી રેખીય રીતે વધે છે અને ત્યારબાદ સપાટીની બહાર અંતર વધતા હાયપરબોલિક રીતે ઘટે છે.

(A) પોટેન્શિયોમીટરમાં, એકમ લંબાઈ દીઠ પોટેન્શિયલ ડ્રોપ $(\phi)$ અચળ હોય છે।
સંતુલન લંબાઈ $(l)$ એ કોષના $EMF$ $(E)$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે, એટલે કે $E = \phi l$.
તેથી, ગુણોત્તર આ મુજબ મળે છે: $\frac{E_1}{E_2} = \frac{l_1}{l_2}$.
આપેલ છે: $E_1 = 1.5\, V$, $l_1 = 36\, cm$, $E_2 = 2.5\, V$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1.5}{2.5} = \frac{36}{l_2}$.
ગુણોત્તરનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{3}{5} = \frac{36}{l_2}$.
$l_2$ માટે ઉકેલતા: $l_2 = \frac{36 \times 5}{3} = 12 \times 5 = 60\, cm$.

(B) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગના પ્રસરણની દિશા પોઈન્ટિંગ સદિશની દિશા દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે $\vec{E} \times \vec{B}$ છે.
તરંગ $x$-દિશામાં પ્રસરતું હોવાથી,આપણી પાસે $\vec{E} \times \vec{B} = \hat{i}$ હોવું જોઈએ.
ચાલો વિકલ્પ $B$ તપાસીએ: $\vec{E} = -\hat{j} + \hat{k}$ અને $\vec{B} = -\hat{j} - \hat{k}$.
ક્રોસ પ્રોડક્ટની ગણતરી કરતા: $(-\hat{j} + \hat{k}) \times (-\hat{j} - \hat{k}) = (-\hat{j} \times -\hat{j}) - (\hat{j} \times -\hat{k}) + (\hat{k} \times -\hat{j}) - (\hat{k} \times -\hat{k})$.
$= 0 + (\hat{j} \times \hat{k}) - (\hat{k} \times \hat{j}) - 0 = \hat{i} - (-\hat{i}) = 2\hat{i}$.
પરિણામી સદિશ $x$-દિશામાં હોવાથી,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(D) આપેલ છે:
પ્રવાહનું કંપનવિસ્તાર,$I_{0} = 10 \sqrt{2} \, A$.
ઇન્ડક્ટરની આસપાસનો પોટેન્શિયલ તફાવત,$V_{L} = 40 \, V$.
કેપેસિટરની આસપાસનો પોટેન્શિયલ તફાવત,$V_{C} = 10 \, V$.
અવરોધકની આસપાસનો પોટેન્શિયલ તફાવત,$V_{R} = 40 \, V$.
પગલું $1$: $RMS$ પ્રવાહ $(I_{RMS})$ ની ગણતરી કરો.
$I_{RMS} = \frac{I_{0}}{\sqrt{2}} = \frac{10 \sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 10 \, A$.
પગલું $2$: સ્ત્રોતના $RMS$ વોલ્ટેજ $(V_{RMS})$ ની ગણતરી કરો.
$LCR$ શ્રેણી પરિપથમાં,કુલ વોલ્ટેજ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$V_{RMS} = \sqrt{V_{R}^{2} + (V_{L} - V_{C})^{2}}$
$V_{RMS} = \sqrt{(40)^{2} + (40 - 10)^{2}}$
$V_{RMS} = \sqrt{40^{2} + 30^{2}} = \sqrt{1600 + 900} = \sqrt{2500} = 50 \, V$.
પગલું $3$: પરિપથના ઈમ્પીડન્સ $(Z)$ ની ગણતરી કરો.
$Z = \frac{V_{RMS}}{I_{RMS}} = \frac{50 \, V}{10 \, A} = 5 \, \Omega$.
તેથી,પરિપથનો ઈમ્પીડન્સ $5 \, \Omega$ છે.

(C) સ્ત્રોત દ્વારા ઉત્સર્જિત પાવર $P$ એ પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્સર્જિત ફોટોનની સંખ્યા $n$ અને એક ફોટોનની ઉર્જા $E = \frac{hc}{\lambda}$ ના ગુણાકાર જેટલો હોય છે.
$P = n \frac{hc}{\lambda} \Rightarrow n = \frac{P \lambda}{hc}$
આપેલ છે: $P = 3.3 \times 10^{-3} \, W$,$\lambda = 600 \times 10^{-9} \, m$,$h = 6.6 \times 10^{-34} \, Js$,અને $c = 3 \times 10^8 \, m/s$.
કિંમતો મૂકતા:
$n = \frac{3.3 \times 10^{-3} \times 600 \times 10^{-9}}{6.6 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}$
$n = \frac{3.3 \times 600 \times 10^{-12}}{19.8 \times 10^{-26}}$
$n = \frac{1980 \times 10^{-12}}{19.8 \times 10^{-26}} = 100 \times 10^{14} = 10^{16}$
આમ,પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્સર્જિત ફોટોનની સંખ્યા $10^{16}$ છે.

(C) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ: $\frac{hc}{\lambda} = K_{\max} + \phi$.
અહીં વર્ક ફંક્શન $\phi$ અવગણ્ય હોવાથી,$\frac{hc}{\lambda} = K_{\max}$ મળે.
ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda_{d} = \frac{h}{\sqrt{2mK_{\max}}}$ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\lambda_{d}^{2} = \frac{h^{2}}{2mK_{\max}}$,જેનો અર્થ છે કે $K_{\max} = \frac{h^{2}}{2m\lambda_{d}^{2}}$.
$K_{\max}$ ની કિંમત ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{hc}{\lambda} = \frac{h^{2}}{2m\lambda_{d}^{2}}$.
$\lambda$ માટે સાદું રૂપ આપતા,$\lambda = \frac{hc \cdot 2m\lambda_{d}^{2}}{h^{2}} = \left(\frac{2mc}{h}\right) \lambda_{d}^{2}$ મળે.

(A) ડ્રિફ્ટ વેગ $v_{d} = \frac{e E}{m} \tau$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. તેથી, $(A) \rightarrow (R)$.
વિદ્યુત અવરોધકતા $\rho$ ને વિદ્યુતક્ષેત્ર અને પ્રવાહ ઘનતાના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, $\rho = \frac{E}{J}$. તેથી, $(B) \rightarrow (S)$.
રિલેક્સેશન સમય $\tau$ એ અવરોધકતા સાથે $\rho = \frac{m}{n e^{2} \tau}$ દ્વારા સંબંધિત છે, જેનો અર્થ છે કે $\tau = \frac{m}{n e^{2} \rho}$. તેથી, $(C) \rightarrow (P)$.
પ્રવાહ ઘનતા $J$ એ $J = n e v_{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. તેથી, $(D) \rightarrow (Q)$.
આમ, સાચી જોડ $(A)-(R), (B)-(S), (C)-(P), (D)-(Q)$ છે.

(B) વિદ્યુતક્ષેત્રની રેખાઓ $+q$ વિદ્યુતભારની નજીક એકબીજાની નજીક છે,જેનો અર્થ છે કે $+q$ વિદ્યુતભારના સ્થાન પર વિદ્યુતક્ષેત્રનું મૂલ્ય $-q$ વિદ્યુતભારના સ્થાન કરતા વધારે છે. ધારો કે $+q$ પરનું ક્ષેત્ર $E_1$ છે અને $-q$ પરનું ક્ષેત્ર $E_2$ છે. તેથી,$|E_1| > |E_2|$.
ધન વિદ્યુતભાર પર લાગતું બળ $F_+ = qE_1$ (જમણી તરફ) છે અને ઋણ વિદ્યુતભાર પર લાગતું બળ $F_- = qE_2$ (ડાબી તરફ) છે.
કારણ કે $|E_1| > |E_2|$,પરિણામી બળ $F_{net} = q(E_1 - E_2)$ જમણી તરફ લાગે છે.
ભૌતિક પ્રણાલી કુદરતી રીતે એવી દિશામાં ગતિ કરે છે જે તેની સ્થિતિ ઊર્જા ઘટાડે છે. તેથી,ડાયપોલ જમણી તરફ ગતિ કરશે કારણ કે તેની સ્થિતિ ઊર્જા ઘટશે.

(A) કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $q = CV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ વોલ્ટેજ $V = V_{0} \sin \omega t$ મૂકતા,આપણને $q = C V_{0} \sin \omega t$ મળે છે.
સ્થાનાંતર પ્રવાહ $I_{d}$ એ કેપેસિટરની પ્લેટો પરના વિદ્યુતભારના ફેરફારના દર જેટલો હોય છે,એટલે કે $I_{d} = \frac{dq}{dt}$.
$I_{d} = \frac{d}{dt} (C V_{0} \sin \omega t)$.
અહીં $C$ અને $V_{0}$ અચળ હોવાથી,$I_{d} = C V_{0} \frac{d}{dt} (\sin \omega t)$.
$\sin \omega t$ નું વિકલન $\omega \cos \omega t$ થાય છે,તેથી $I_{d} = C V_{0} \omega \cos \omega t$.
આમ,$I_{d} = V_{0} \omega C \cos \omega t$ મળે છે.

(D) ધારો કે દરેક તારનો અવરોધ $R$ છે. ચારેય તાર સમાન લંબાઈ,સમાન આડછેદ અને સમાન દ્રવ્યના હોવાથી,તેમના અવરોધ સમાન છે.
જ્યારે $n$ સમાન અવરોધોને સમાંતર જોડવામાં આવે છે,ત્યારે સમતુલ્ય અવરોધ $R_p = \frac{R}{n}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $n = 4$ અને $R_p = 0.25\, \Omega$ આપેલ છે,તેથી $0.25 = \frac{R}{4}$,જેનો અર્થ છે કે $R = 0.25 \times 4 = 1\, \Omega$.
જ્યારે આ ચાર અવરોધોને શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે સમતુલ્ય અવરોધ $R_s = n \times R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,$R_s = 4 \times 1 = 4\, \Omega$.

(C) $1$. પ્રથમ તબક્કામાં,${}_{Z}^{A}X \rightarrow {}_{Z-1}B$,પરમાણુ ક્રમાંક $1$ જેટલો ઘટે છે. આ $\beta^{+}$ ક્ષય (પોઝિટ્રોન ઉત્સર્જન) સૂચવે છે.
$2$. બીજા તબક્કામાં,${}_{Z-1}B \rightarrow {}_{Z-3}C$,પરમાણુ ક્રમાંક $2$ જેટલો ઘટે છે. આ $\alpha$ ક્ષય સૂચવે છે.
$3$. ત્રીજા તબક્કામાં,${}_{Z-3}C \rightarrow {}_{Z-2}D$,પરમાણુ ક્રમાંક $1$ જેટલો વધે છે. આ $\beta^{-}$ ક્ષય (ઇલેક્ટ્રોન ઉત્સર્જન) સૂચવે છે.
$4$. તેથી,ક્ષય પામતા કણોનો ક્રમ $\beta^{+}, \alpha, \beta^{-}$ છે.

(C) સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરમાં ઉર્જા ઘનતા $u$ (એકમ કદ દીઠ ઉર્જા) નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે: $u = \frac{1}{2} \varepsilon_{0} E^{2}$.
પ્લેટો વચ્ચેની જગ્યાનું કદ $V$ એ ક્ષેત્રફળ $A$ અને અંતર $d$ નો ગુણાકાર છે,તેથી $V = Ad$.
કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત કુલ ઉર્જા $U$ એ ઉર્જા ઘનતા અને કદનો ગુણાકાર છે:
$U = u \times V$
$U = (\frac{1}{2} \varepsilon_{0} E^{2}) \times (Ad)$
$U = \frac{1}{2} \varepsilon_{0} E^{2} Ad$.

(C) સેમિકન્ડક્ટરમાં પ્રવાહ $I$ એ સૂત્ર $I = n e A v_d$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v_d = \mu E$ છે.
આમ,$I = n e A \mu E$.
$n$-પ્રકારના સેમિકન્ડક્ટરમાં મુખ્ય ચાર્જ કેરિયર્સ ઇલેક્ટ્રોન છે અને $p$-પ્રકારના સેમિકન્ડક્ટરમાં મુખ્ય ચાર્જ કેરિયર્સ હોલ છે.
આપેલ છે કે કેરિયર સાંદ્રતા સમાન છે $(n_e = n_h)$,તેથી પ્રવાહ ચાર્જ કેરિયર્સની ગતિશીલતા $(\mu)$ પર આધાર રાખે છે.
સેમિકન્ડક્ટરમાં ઇલેક્ટ્રોનની ગતિશીલતા $(\mu_e)$ એ હોલની ગતિશીલતા $(\mu_h)$ કરતા વધારે હોવાથી,$I_n > I_p$ થાય છે.
તેથી,$n$-પ્રકારના સેમિકન્ડક્ટરમાં પ્રવાહ એ $p$-પ્રકારના સેમિકન્ડક્ટર કરતા વધારે હોય છે.

(B) બે લેન્સના સંયોજનમાંથી પસાર થયા પછી પ્રકાશનું સમાંતર કિરણપુંજ સમાંતર રહે તે માટે,પ્રથમ લેન્સનું બીજું મુખ્ય કેન્દ્ર અને બીજા લેન્સનું પ્રથમ મુખ્ય કેન્દ્ર એકબીજા પર સંપાત થવું જોઈએ.
ધારો કે $f_1 = 20 \, cm$ (બહિર્ગોળ લેન્સ) અને $f_2 = -5 \, cm$ (અંતર્ગોળ લેન્સ).
લેન્સ વચ્ચેનું અંતર $d$ શોધવાનું સૂત્ર $d = f_1 + f_2$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$d = 20 \, cm + (-5 \, cm) = 15 \, cm$ મળે છે.
આમ,અંતર $d$ નું મૂલ્ય $15 \, cm$ છે.

(A) પ્રિઝમની ભૂમિતિ પરથી,પ્રકાશનું કિરણ પ્રિઝમની કર્ણ સપાટી પર લંબરૂપે આપાત થાય છે. તેથી,પ્રથમ સપાટી પર આપાતકોણ $i_1 = 0^{\circ}$ છે,જેનો અર્થ છે કે વક્રીભૂતકોણ $r_1 = 0^{\circ}$ છે.
પ્રિઝમનો ખૂણો $A = 30^{\circ}$ આપેલ છે,આપણે $r_1 + r_2 = A$ સંબંધનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. $r_1 = 0^{\circ}$ મૂકતા,આપણને $r_2 = 30^{\circ}$ મળે છે.
બીજી સપાટી (ઊભી સપાટી) પર સ્નેલનો નિયમ લાગુ પાડતા: $\mu \sin r_2 = 1 \times \sin e$,જ્યાં $\mu = \sqrt{3}$ અને $e$ એ નિર્ગમન કોણ છે.
$\sqrt{3} \sin 30^{\circ} = \sin e$
$\sqrt{3} \times \frac{1}{2} = \sin e$
$\sin e = \frac{\sqrt{3}}{2}$
તેથી,$e = 60^{\circ}$.

(C) વિધાન $(A)$ સાચું છે: ઝેનર ડાયોડને ખાસ કરીને રિવર્સ બ્રેકડાઉન વિસ્તારમાં કામ કરવા માટે ડિઝાઇન કરવામાં આવ્યો છે,જે તેને એક અસરકારક વોલ્ટેજ રેગ્યુલેટર બનાવે છે.
વિધાન $(B)$ ખોટું છે: જર્મેનિયમ $(Ge)$ $p-n$ જંકશન માટે પોટેન્શિયલ બેરિયર આશરે $0.3 \, V$ હોય છે,જ્યારે સિલિકોન $(Si)$ $p-n$ જંકશન માટે તે આશરે $0.7 \, V$ હોય છે. તેથી,$0.1 \, V$ થી $0.3 \, V$ ની રેન્જ તમામ સામાન્ય $p-n$ જંકશન માટે પ્રતિનિધિત્વ કરતી નથી,કારણ કે તેમાં વ્યાપકપણે વપરાતા સિલિકોન ડાયોડનો સમાવેશ થતો નથી.

(B) જ્યારે બે વાહકોને તાર વડે જોડવામાં આવે છે,ત્યારે તેમના સ્થિતિમાન સમાન ન થાય ત્યાં સુધી વિદ્યુતભારનું વહન થાય છે.
ધારો કે $V_{1}$ અને $V_{2}$ એ ગોળાઓના સ્થિતિમાન છે. તેઓ જોડાયેલા હોવાથી,$V_{1} = V_{2}$ થાય.
વિદ્યુતભારીત ગોળાકાર વાહકનું સ્થિતિમાન $V = \frac{kQ}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,$\frac{kQ_{1}}{R_{1}} = \frac{kQ_{2}}{R_{2}}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{Q_{1}}{Q_{2}} = \frac{R_{1}}{R_{2}}$.
પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા $\sigma$ ને $\sigma = \frac{Q}{A} = \frac{Q}{4\pi R^{2}}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
તેથી,પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતાનો ગુણોત્તર:
$\frac{\sigma_{1}}{\sigma_{2}} = \frac{Q_{1} / (4\pi R_{1}^{2})}{Q_{2} / (4\pi R_{2}^{2})} = \frac{Q_{1}}{Q_{2}} \times \frac{R_{2}^{2}}{R_{1}^{2}}$.
$\frac{Q_{1}}{Q_{2}} = \frac{R_{1}}{R_{2}}$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\frac{\sigma_{1}}{\sigma_{2}} = \frac{R_{1}}{R_{2}} \times \frac{R_{2}^{2}}{R_{1}^{2}} = \frac{R_{2}}{R_{1}}$.

(D) ખગોળીય ટેલિસ્કોપની મોટવણી (magnifying power) $MP = \frac{f_o}{f_e}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $f_o$ એ ઓબ્જેક્ટિવની કેન્દ્રલંબાઈ છે અને $f_e$ એ આઈપીસની કેન્દ્રલંબાઈ છે。
ટેલિસ્કોપની વિભેદન શક્તિ $(R.P.)$ $R.P. = \frac{a}{1.22 \lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $a$ એ ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સનું છિદ્ર (aperture) છે અને $\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઈ છે。
$1$. મોટું છિદ્ર $(a)$ વિભેદન શક્તિમાં વધારો કરે છે, જે ટેલિસ્કોપને નજીક રહેલી બે વસ્તુઓ વચ્ચે તફાવત કરવામાં મદદ કરે છે。
$2$. મોટું છિદ્ર ઓબ્જેક્ટિવની પ્રકાશ એકત્ર કરવાની શક્તિમાં વધારો કરે છે, જે લેન્સના ક્ષેત્રફળ $(\pi r^2)$ ના પ્રમાણમાં હોય છે। આનાથી ઝાંખી વસ્તુઓ પણ સ્પષ્ટ દેખાય છે અને છબીની ગુણવત્તા સુધરે છે。
આ તમામ પરિબળો ખગોળીય ટેલિસ્કોપના પ્રદર્શનમાં ફાળો આપતા હોવાથી, સાચો જવાબ $D$ છે。

(D) શરૂઆતનું ન્યુક્લિયસ $240$ દળ ક્રમાંક ધરાવે છે અને તેની ન્યુક્લિઓન દીઠ બંધન ઊર્જા $7.6 \, MeV$ છે.
શરૂઆતના ન્યુક્લિયસની કુલ બંધન ઊર્જા $240 \times 7.6 = 1824 \, MeV$ થાય.
પ્રક્રિયા પછી,ન્યુક્લિયસ $120$ દળ ક્રમાંક ધરાવતા બે ટુકડાઓમાં વિભાજિત થાય છે,જેની ન્યુક્લિઓન દીઠ બંધન ઊર્જા $8.5 \, MeV$ છે.
બંને ટુકડાઓની કુલ બંધન ઊર્જા $2 \times (120 \times 8.5) = 240 \times 8.5 = 2040 \, MeV$ થાય.
બંધન ઊર્જામાં થતો વધારો એ નીપજો અને પ્રક્રિયકોની કુલ બંધન ઊર્જા વચ્ચેનો તફાવત છે:
$Q = BE_{products} - BE_{reactants} = 2040 \, MeV - 1824 \, MeV = 216 \, MeV$.

(B) રેડિયોએક્ટિવ નમૂનાની $t$ સમયે એક્ટિવિટી $A$ સૂત્ર $A = A_{0} \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T_{H}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A_{0}$ એ પ્રારંભિક એક્ટિવિટી છે અને $T_{H}$ એ અર્ધ-આયુષ્ય છે.
અહીં $T_{H} = 100 \, hours$ અને $t = 150 \, hours$ આપેલ છે.
બાકી રહેતી એક્ટિવિટીનો અંશ $\frac{A}{A_{0}} = \left(\frac{1}{2}\right)^{150/100}$ છે.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\left(\frac{1}{2}\right)^{1.5} = \left(\frac{1}{2}\right)^{3/2} = \frac{1}{2^{3/2}} = \frac{1}{2 \sqrt{2}}$ મળે છે.

(C) આપેલ છે: $L = 5.0 \, H$,$C = 80 \, \mu F = 80 \times 10^{-6} \, F$,$R = 40 \, \Omega$.
પ્રથમ,અનુનાદિત કોણીય આવૃત્તિ $\omega_0$ ની ગણતરી કરો:
$\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}} = \frac{1}{\sqrt{5.0 \times 80 \times 10^{-6}}} = \frac{1}{\sqrt{400 \times 10^{-6}}} = \frac{1}{0.02} = 50 \, rad/s$.
ત્યારબાદ,બેન્ડવિડ્થ $\Delta \omega$ ની ગણતરી કરો:
$\Delta \omega = \frac{R}{L} = \frac{40}{5.0} = 8 \, rad/s$.
જે આવૃત્તિઓ પર પાવર મહત્તમ પાવર કરતા અડધો હોય (હાફ-પાવર ફ્રીક્વન્સીઝ) તે $\omega = \omega_0 \pm \frac{\Delta \omega}{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\omega_1 = \omega_0 - \frac{\Delta \omega}{2} = 50 - \frac{8}{2} = 50 - 4 = 46 \, rad/s$.
$\omega_2 = \omega_0 + \frac{\Delta \omega}{2} = 50 + \frac{8}{2} = 50 + 4 = 54 \, rad/s$.
આમ,કોણીય આવૃત્તિઓ $46 \, rad/s$ અને $54 \, rad/s$ છે.

(D) $R_{1}$ ત્રિજ્યા ધરાવતા અને $I_{1}$ પ્રવાહ વહેતા વર્તુળાકાર લૂપના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{1} = \frac{\mu_{0} I_{1}}{2 R_{1}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$R_{2}$ ત્રિજ્યા ધરાવતા નાના લૂપ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi_{2} = B_{1} A_{2}$ છે,જ્યાં $A_{2} = \pi R_{2}^{2}$ એ નાના લૂપનું ક્ષેત્રફળ છે.
કારણ કે $R_{1} >> R_{2}$ છે,આપણે ધારી શકીએ છીએ કે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{1}$ નાના લૂપના ક્ષેત્રફળ પર સમાન છે.
મ્યુચ્યુઅલ ઇન્ડક્ટન્સ $M$ ને $M = \frac{\phi_{2}}{I_{1}}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
પદોને મૂકતા,આપણને મળે છે $M = \frac{B_{1} A_{2}}{I_{1}} = \frac{(\frac{\mu_{0} I_{1}}{2 R_{1}}) (\pi R_{2}^{2})}{I_{1}} = \frac{\mu_{0} \pi R_{2}^{2}}{2 R_{1}}$.
આમ,$M \propto \frac{R_{2}^{2}}{R_{1}}$.

(D) $1$. સૌ પ્રથમ,લેન્સ દ્વારા રચાતા પ્રતિબિંબને ધ્યાનમાં લો:
આપેલ છે $u = -60\, cm$ અને $f = +30\, cm$.
લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{v} = \frac{1}{f} + \frac{1}{u} = \frac{1}{30} - \frac{1}{60} = \frac{2-1}{60} = \frac{1}{60}$
તેથી,$v = +60\, cm$ (લેન્સથી).
$2$. આ વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ સમતલ અરીસા માટે વસ્તુ તરીકે કાર્ય કરે છે. અરીસો લેન્સથી $40\, cm$ અંતરે છે. પ્રતિબિંબ લેન્સથી $60\, cm$ અંતરે હોવાથી,તે અરીસાની પાછળ $60 - 40 = 20\, cm$ અંતરે છે.
$3$. સમતલ અરીસો તેની પાછળ તેટલા જ અંતરે આભાસી પ્રતિબિંબ રચે છે જેટલા અંતરે વસ્તુ તેની સામે હોય. અહીં,વસ્તુ અરીસાની પાછળ $20\, cm$ અંતરે છે,તેથી અરીસો તેની સામે $20\, cm$ અંતરે વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ રચે છે.
$4$. આ પ્રતિબિંબ લેન્સ દ્વારા થતા બીજા વક્રીભવન માટે આભાસી વસ્તુ તરીકે કાર્ય કરે છે. લેન્સથી આ વસ્તુનું અંતર $40 - 20 = 20\, cm$ છે. તેથી,$u' = -20\, cm$ (કારણ કે તે પ્રકાશના સ્ત્રોતની બાજુએ છે).
$5$. ફરીથી લેન્સના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{v'} = \frac{1}{f} + \frac{1}{u'} = \frac{1}{30} - \frac{1}{20} = \frac{2-3}{60} = -\frac{1}{60}$
તેથી,$v' = -60\, cm$.
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે અંતિમ પ્રતિબિંબ આભાસી છે અને લેન્સની સામે $60\, cm$ અંતરે રચાય છે,જે સમતલ અરીસાની પાછળ $20\, cm$ અંતરે છે.

(A) તારની કુલ લંબાઈ $L = 12 a$.
કિસ્સો $(i)$: $a$ બાજુ ધરાવતો સમબાજુ ત્રિકોણ.
એક આંટાની પરિમિતિ $= 3 a$.
આંટાની સંખ્યા $N_{1} = \frac{12 a}{3 a} = 4$.
એક ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $A_{1} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^{2}$.
ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ $\mu_{1} = N_{1} I A_{1} = 4 \times I \times \frac{\sqrt{3}}{4} a^{2} = \sqrt{3} I a^{2}$.
કિસ્સો $(ii)$: $a$ બાજુ ધરાવતો ચોરસ.
એક આંટાની પરિમિતિ $= 4 a$.
આંટાની સંખ્યા $N_{2} = \frac{12 a}{4 a} = 3$.
એક ચોરસનું ક્ષેત્રફળ $A_{2} = a^{2}$.
ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ $\mu_{2} = N_{2} I A_{2} = 3 \times I \times a^{2} = 3 I a^{2}$.
આમ,ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ $\sqrt{3} I a^{2}$ અને $3 I a^{2}$ છે.

(B) આપેલ પરિપથમાં,વિદ્યુતપ્રવાહ $i_{1}$ એ $r_{2}$ અને $r_{3}$ અવરોધ ધરાવતી બે સમાંતર શાખાઓમાં વહેંચાય છે.
કરંટ ડિવાઈડરના નિયમ મુજબ,$r_{3}$ અવરોધમાંથી વહેતો વિદ્યુતપ્રવાહ $i_{3}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$i_{3} = i_{1} \left( \frac{r_{2}}{r_{2} + r_{3}} \right)$
બંને બાજુ $i_{1}$ વડે ભાગતા,આપણને ગુણોત્તર મળે છે:
$\frac{i_{3}}{i_{1}} = \frac{r_{2}}{r_{2} + r_{3}}$

(A) આપેલ છે કે ટ્રાન્સફોર્મર આદર્શ છે (પાવરનો વ્યય અવગણતા),તેથી ઇનપુટ પાવર એ આઉટપુટ પાવર જેટલો હોય છે.
$P_{\text{in}} = P_{\text{out}}$
અહીં $P_{\text{out}} = 44 \, W$ અને $V_p = 220 \, V$ હોવાથી,આપણે $P_{\text{in}} = V_p \times I_p$ સંબંધનો ઉપયોગ કરીશું.
$220 \times I_p = 44$
$I_p = \frac{44}{220} \, A$
$I_p = \frac{1}{5} \, A = 0.2 \, A$
તેથી,પ્રાઈમરી સર્કિટમાં પ્રવાહ $0.2 \, A$ છે.

(A) ધારો કે દરેક નાના ટીપાંની ત્રિજ્યા $r$ છે અને દરેક નાના ટીપાં પરનો વિદ્યુતભાર $q$ છે.
દરેક નાના ટીપાંનું સ્થિતિમાન $V_S = \frac{kq}{r} = 220 \, V$ છે.
જ્યારે $N = 27$ ટીપાં જોડાઈને $R$ ત્રિજ્યા અને $Q$ વિદ્યુતભાર ધરાવતું મોટું ટીપું બનાવે છે,ત્યારે કદ અચળ રહે છે.
$\frac{4}{3} \pi R^3 = N \times \frac{4}{3} \pi r^3 \implies R = N^{1/3} r = (27)^{1/3} r = 3r$.
મોટા ટીપાં પરનો કુલ વિદ્યુતભાર $Q = Nq = 27q$ છે.
મોટા ટીપાંનું સ્થિતિમાન $V_B = \frac{kQ}{R} = \frac{k(Nq)}{N^{1/3}r} = N^{2/3} \frac{kq}{r} = N^{2/3} V_S$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $V_B = (27)^{2/3} \times 220 = (3^3)^{2/3} \times 220 = 3^2 \times 220 = 9 \times 220 = 1980 \, V$.

(D) આ સર્કિટમાં એક $AND$ ગેટ અને એક $NAND$ ગેટ છે,જેના આઉટપુટને $OR$ ગેટમાં આપવામાં આવે છે. ધારો કે ઇનપુટ $A, B, C$ છે. $AND$ ગેટનું આઉટપુટ $A \cdot B$ છે. $NAND$ ગેટનું આઉટપુટ $\overline{B \cdot C}$ છે. $OR$ ગેટનું અંતિમ આઉટપુટ $Y = (A \cdot B) + \overline{(B \cdot C)}$ છે.
દરેક અંતરાલ માટે ટ્રુથ ટેબલનું વિશ્લેષણ:
- અંતરાલ $0-t_1$: $A=0, B=0, C=1$. $Y = (0 \cdot 0) + \overline{(0 \cdot 1)} = 0 + 1 = 1$.
- અંતરાલ $t_1-t_2$: $A=1, B=0, C=1$. $Y = (1 \cdot 0) + \overline{(0 \cdot 1)} = 0 + 1 = 1$.
- અંતરાલ $t_2-t_3$: $A=0, B=1, C=0$. $Y = (0 \cdot 1) + \overline{(1 \cdot 0)} = 0 + 1 = 1$.
- અંતરાલ $t_3-t_4$: $A=1, B=1, C=0$. $Y = (1 \cdot 1) + \overline{(1 \cdot 0)} = 1 + 1 = 1$.
- અંતરાલ $t_4-t_5$: $A=0, B=0, C=1$. $Y = (0 \cdot 0) + \overline{(0 \cdot 1)} = 0 + 1 = 1$.
- અંતરાલ $t_5-t_6$: $A=1, B=0, C=1$. $Y = (1 \cdot 0) + \overline{(0 \cdot 1)} = 0 + 1 = 1$.
આમ,આઉટપુટ દરેક અંતરાલ માટે $1$ $(5 \text{ V})$ હોવાથી,સાચો જવાબ સતત $5 \text{ V}$ સિગ્નલ છે.

(B) લોરેન્ટ્ઝ બળના સમીકરણ મુજબ: $\overrightarrow{F} = q(\vec{v} \times \overrightarrow{B})$.
અહીં $q = 1$ હોવાથી,$\overrightarrow{F} = \vec{v} \times \overrightarrow{B}$ થાય.
ધારો કે $\overrightarrow{B} = B \hat{i} + B \hat{j} + B_0 \hat{k}$ છે.
સદિશ ગુણાકાર નિશ્ચાયક દ્વારા મળે છે:
$\vec{v} \times \overrightarrow{B} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 4 & 6 \\ B & B & B_0 \end{vmatrix} = \hat{i}(4B_0 - 6B) - \hat{j}(2B_0 - 6B) + \hat{k}(2B - 4B) = 4 \hat{i} - 20 \hat{j} + 12 \hat{k}$.
ઘટકોની સરખામણી કરતા:
$1$) $4B_0 - 6B = 4$
$2$) $-(2B_0 - 6B) = -20 \implies 2B_0 - 6B = 20$
$3$) $2B - 4B = 12 \implies -2B = 12 \implies B = -6$.
$B = -6$ ની કિંમત સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા:
$2B_0 - 6(-6) = 20 \implies 2B_0 + 36 = 20 \implies 2B_0 = -16 \implies B_0 = -8$.
આમ,$\overrightarrow{B} = -6 \hat{i} - 6 \hat{j} - 8 \hat{k}$ મળે છે.