सदिशों hat{i} + m hat{j} + hat{k},hat{j} + m | vedclass

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Question

(D) सदिशों $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ द्वारा निर्मित समांतर षट्फलक का आयतन $V$ अदिश त्रिक गुणनफल $|[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]|$ द्वारा दिया जाता है।$V

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$\frac{1}{\sqrt{3}}$

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(D) सदिशों $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ द्वारा निर्मित समांतर षट्फलक का आयतन $V$ अदिश त्रिक गुणनफल $|[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]|$ द्वारा दिया जाता है।$V = \begin{vmatrix} 1 & m & 1 \ 0 & 1 & m \ m & 0 & 1 \end{vmatrix} = 1(1 - 0) - m(0 - m^2) + 1(0 - m) = 1 + m^3 - m$.न्यूनतम आयतन ज्ञात करने के लिए,हम $V$ का $m$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:$\frac{dV}{dm} = 3m^2 - 1$.$\frac{dV}{dm} = 0$ रखने पर,हमें $3m^2 = 1$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $m^2 = \frac{1}{3}$,इसलिए $m = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$.चूंकि हम आयतन (जो धनात्मक होना चाहिए) देख रहे हैं,हम $m > 0$ के लिए $m = \frac{1}{\sqrt{3}}$ लेते हैं।द्वितीय अवकलज की जाँच करने पर: $\frac{d^2V}{dm^2} = 6m$.$m = \frac{1}{\sqrt{3}}$ के लिए,$\frac{d^2V}{dm^2} = 6(\frac{1}{\sqrt{3}}) > 0$,जो पुष्टि करता है कि $m = \frac{1}{\sqrt{3}}$ पर आयतन न्यूनतम है।

सदिशों $\hat{i} + m \hat{j} + \hat{k}$,$\hat{j} + m \hat{k}$ और $m \hat{i} + \hat{k}$ द्वारा निर्मित समांतर षट्फलक (parallelepiped) का आयतन न्यूनतम होता है जब $m$ का मान है

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