MHT CET 2009 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) બિંદુ $(3,2)$ માંથી વર્તુળ $x^{2}+y^{2}=4$ પરના સ્પર્શકોનું સમીકરણ $y-2 = m(x-3)$ છે,એટલે કે $mx-y+(2-3m)=0$.
વર્તુળના કેન્દ્ર $(0,0)$ થી સ્પર્શકનું અંતર ત્રિજ્યા $r=2$ જેટલું હોય.
તેથી,$\frac{|2-3m|}{\sqrt{m^{2}+1}} = 2$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(2-3m)^{2} = 4(m^{2}+1)$.
$4-12m+9m^{2} = 4m^{2}+4$.
$5m^{2}-12m = 0$.
$m(5m-12) = 0$.
આમ,ઢાળ $m_{1} = 0$ અને $m_{2} = \frac{12}{5}$ મળે છે.
તેથી,$|m_{1}-m_{2}| = \frac{12}{5}$.

(C) ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^{2}}{32}+\frac{y^{2}}{18}=1$ છે,જ્યાં $a^{2}=32$ અને $b^{2}=18$ છે.
$m = -\frac{3}{4}$ ઢાળવાળા સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx \pm \sqrt{a^{2}m^{2}+b^{2}}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $y = -\frac{3}{4}x \pm \sqrt{32 \times (-\frac{3}{4})^{2} + 18}$.
$y = -\frac{3}{4}x \pm \sqrt{32 \times \frac{9}{16} + 18} = -\frac{3}{4}x \pm \sqrt{18 + 18} = -\frac{3}{4}x \pm 6$.
ધન અંતઃખંડ લેતા,સમીકરણ $y = -\frac{3}{4}x + 6$ મળે છે,જે $3x + 4y = 24$ થાય છે.
$y=0$ અને $x=0$ લેતા અંતઃખંડ મળે છે:
$y=0$ માટે,$3x=24 \Rightarrow x=8$,તેથી $A = (8, 0)$.
$x=0$ માટે,$4y=24 \Rightarrow y=6$,તેથી $B = (0, 6)$.
$\Delta AOB$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times |OA| \times |OB| = \frac{1}{2} \times 8 \times 6 = 24$ ચોરસ એકમ.

(A) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ $5x^{2} + 9y^{2} = 45$ છે. $45$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{5} = 1$ મળે છે.
અહીં,$a^{2} = 9$ અને $b^{2} = 5$.
રેખા $4x - 3y + k = 0$ ને $y = \frac{4}{3}x + \frac{k}{3}$ તરીકે લખી શકાય.
આને $y = mx + c$ સાથે સરખાવતા,$m = \frac{4}{3}$ અને $c = \frac{k}{3}$ મળે છે.
રેખા $y = mx + c$ એ ઉપવલય $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ ને સ્પર્શે તેની શરત $c^{2} = a^{2}m^{2} + b^{2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$(\frac{k}{3})^{2} = 9(\frac{4}{3})^{2} + 5$.
$\frac{k^{2}}{9} = 9(\frac{16}{9}) + 5 = 16 + 5 = 21$.
$k^{2} = 9 \times 21 = 189$.
$k = \pm \sqrt{189} = \pm 3\sqrt{21}$.

(D) ધારો કે બહુપદી $f(x) = ax^{2}+bx+c$ છે.
આપેલ છે કે $f(0)=8$,તેથી $a(0)^{2}+b(0)+c=8$,જેનો અર્થ છે કે $c=8$.
આમ,બહુપદી $f(x) = ax^{2}+bx+8$ છે.
આપેલ છે કે $f(1)=12$,તેથી $a(1)^{2}+b(1)+8=12$,જેનું સાદું રૂપ $a+b=4$ (સમીકરણ $i$) થાય છે.
આપેલ છે કે $f(2)=18$,તેથી $a(2)^{2}+b(2)+8=18$,જેનું સાદું રૂપ $4a+2b=10$ અથવા $2a+b=5$ (સમીકરણ $ii$) થાય છે.
સમીકરણ $(ii)$ માંથી સમીકરણ $(i)$ બાદ કરતા,આપણને $(2a+b)-(a+b) = 5-4$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $a=1$.
$a=1$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા,આપણને $1+b=4$ મળે છે,તેથી $b=3$.
તેથી,જરૂરી બહુપદી $f(x) = x^{2}+3x+8$ છે.

(D) $\Delta^{5} u_{x}$ શોધવા માટે,આપણે ફોરવર્ડ ડિફરન્સ ટેબલ બનાવીએ છીએ:
ગણતરી મુજબ,$\Delta^{5} u_{0} = 755$ મળે છે.

(B) અમને શરત $x_{1} = 1, x_{2} = 0, x_{3} = 0$ આપેલ છે.
અમે આપેલા વિકલ્પો તપાસીએ:
વિકલ્પ $B$ માટે: $x_{1} \cdot x_{2}' = 1 \cdot (0)' = 1 \cdot 1 = 1$.
આમ,વિધેય $f(x_{1}, x_{2}, x_{3}) = x_{1} \cdot x_{2}'$ શરતનું પાલન કરે છે.

(C) આપેલ છે કે $D_{30} = \{1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30\}$.
આપણે $f(2, 5, 15) = (2+5) \cdot (5^{\prime} + 15)$ ની ગણતરી કરવાની છે.
પહેલા,$2+5 = \operatorname{LCM}(2, 5) = 10$.
ત્યારબાદ,$5^{\prime} = \frac{30}{5} = 6$.
પછી,$5^{\prime} + 15 = 6 + 15 = \operatorname{LCM}(6, 15) = 30$.
અંતે,$f(2, 5, 15) = 10 \cdot 30 = \operatorname{GCD}(10, 30) = 10$.

(A) આપેલ છે કે નાભિઓ $(\pm ae, 0) = (\pm 3, 0)$ છે,તેથી $ae = 3$ અને $a^{2}e^{2} = 9$.
અતિવલય માટે,$b^{2} = a^{2}e^{2} - a^{2}$,તેથી $a^{2} + b^{2} = 9$ (સમીકરણ $i$).
સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = -2x + 4$ છે,જ્યાં $m = -2$ અને $c = 4$.
અતિવલય $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ માટે સ્પર્શક હોવાની શરત $c^{2} = a^{2}m^{2} - b^{2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $4^{2} = a^{2}(-2)^{2} - b^{2} \Rightarrow 4a^{2} - b^{2} = 16$ (સમીકરણ $ii$).
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા: $5a^{2} = 25 \Rightarrow a^{2} = 5$.
સમીકરણ $(i)$ માં $a^{2} = 5$ મૂકતા: $5 + b^{2} = 9 \Rightarrow b^{2} = 4$.
તેથી અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^{2}}{5} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ એટલે કે $4x^{2} - 5y^{2} = 20$ થાય.

(C) આપેલ લક્ષ: $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\left(e^{k x}-1\right) \sin k x}{x^{2}}=4$
આપણે પદને આ રીતે લખી શકીએ: $\lim _{x \rightarrow 0} \left( \frac{e^{k x}-1}{x} \cdot \frac{\sin k x}{x} \right) = 4$
પ્રમાણિત લક્ષો $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{k x}-1}{x} = k$ અને $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin k x}{x} = k$ નો ઉપયોગ કરતા:
$k \cdot k = 4$
$k^{2} = 4$
$k = \pm 2$

(A) આપેલ છે કે,$\lim_{x \rightarrow \infty} f(x) = 1$
$\Rightarrow \lim_{x}$ ${\rightarrow \infty} \frac{ax + b}{x + 1} = 1$
$\Rightarrow \lim_{x}$ ${\rightarrow \infty} \frac{a + \frac{b}{x}}{1 + \frac{1}{x}} = 1$
$\Rightarrow a = 1$
આપેલ છે કે,$\lim_{x \rightarrow 0} f(x) = 2$
$\Rightarrow \frac{a(0) + b}{0 + 1} = 2$
$\Rightarrow b = 2$
તેથી,$f(x) = \frac{x + 2}{x + 1}$
તેથી,$f(-2) = \frac{-2 + 2}{-2 + 1} = \frac{0}{-1} = 0$

(B) ધારો કે $L = \lim _{x \rightarrow 1} (1 + \log _{e} x)^{1 / \log _{e} x}$.
જ્યારે $x \rightarrow 1$,ત્યારે $\log _{e} x \rightarrow 0$,તેથી આ પદ $1^{\infty}$ સ્વરૂપમાં છે.
આપણે પ્રમાણિત લક્ષના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $\lim _{u \rightarrow 0} (1 + u)^{1/u} = e$.
ધારો કે $u = \log _{e} x$. જેમ $x \rightarrow 1$,તેમ $u \rightarrow 0$.
આ કિંમત લક્ષમાં મૂકતા,આપણને $\lim _{u \rightarrow 0} (1 + u)^{1/u} = e$ મળે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) વિભાજનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$(p \vee q) \wedge (p \vee \sim q) = p \vee (q \wedge \sim q)$
પૂરકતાના નિયમ મુજબ,$q \wedge \sim q = F$ (જ્યાં $F$ એ અસત્ય વિધાન દર્શાવે છે).
તેથી,પદાવલિ $p \vee F$ બને છે.
$F$ એ $\vee$ માટે તટસ્થ ઘટક હોવાથી,$p \vee F = p$.
આમ,સરળ સ્વરૂપ $p$ છે.

(A) આપેલ સર્કિટમાં બે સમાંતર બ્લોક્સ શ્રેણીમાં જોડાયેલા છે.
સર્કિટ જોતા:
$1$. પ્રથમ બ્લોકમાં $p$ અને $q$ સ્વિચ સમાંતરમાં છે,જે $(p \vee q)$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
$2$. બીજા બ્લોકમાં $p$ અને $r$ સ્વિચ સમાંતરમાં છે,જે $(p \vee r)$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
$3$. આ બંને બ્લોક્સ શ્રેણીમાં જોડાયેલા હોવાથી,અભિવ્યક્તિ $(p \vee q) \wedge (p \vee r)$ થશે.
બુલિયન બીજગણિતના વિભાજનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$(p \vee q) \wedge (p \vee r) = p \vee (q \wedge r)$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે ગર્ભિતાર્થ $A \rightarrow B$ એ $\sim A \vee B$ ને સમાન છે.
તેથી,$\sim p \rightarrow q \equiv \sim(\sim p) \vee q \equiv p \vee q$.
હવે,નકાર લાગુ કરતા: $\sim(\sim p \rightarrow q) \equiv \sim(p \vee q)$.
ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ,$\sim(p \vee q) \equiv \sim p \wedge \sim q$.

(A) $a x^{2}+2 h x y+b y^{2}=0$ દ્વારા દર્શાવતી રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\varphi$ માટે $\tan \varphi = \left| \frac{2 \sqrt{h^{2}-a b}}{a+b} \right|$ છે.
$x^{2}+2 x y \sec \theta+y^{2}=0$ સમીકરણ માટે,$a=1$,$b=1$,અને $h=\sec \theta$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\tan \varphi = \left| \frac{2 \sqrt{\sec^{2} \theta - 1}}{1+1} \right|$
$\tan \varphi = \left| \frac{2 \sqrt{\tan^{2} \theta}}{2} \right|$
$\tan \varphi = \tan \theta$.
તેથી,રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે.

(B) દ્વિઘાત સમીકરણનું વ્યાપક સ્વરૂપ $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ છે.
આપેલ સમીકરણ $hxy + 10x + 6y + 4 = 0$ ને સરખાવતા,$a = 0, b = 0, h' = h/2, g = 5, f = 3, c = 4$ મળે છે.
રેખાઓની જોડી માટે નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$\Delta = \begin{vmatrix} 0 & h/2 & 5 \\ h/2 & 0 & 3 \\ 5 & 3 & 4 \end{vmatrix} = 0$
ગણતરી કરતા: $0(0 - 9) - \frac{h}{2}(2h/2 - 15) + 5(3h/2 - 0) = 0$
$-\frac{h}{2}(h - 15) + \frac{15h}{2} = 0$
$-\frac{h^2}{2} + 15h = 0$
$-h^2 + 30h = 0 \Rightarrow h(30 - h) = 0$
આમ,$h = 0$ અથવા $h = 30$.

(A) આપેલ સમીકરણ $x^{2} - 4xy + 3y^{2} = 0$ છે.
અવયવ પાડતા: $(x - y)(x - 3y) = 0$.
રેખાઓ $x - y = 0$ અને $x - 3y = 0$ છે.
$(3, -2)$ માંથી પસાર થતી સમાંતર રેખાઓ $(x - y + k_{1}) = 0$ અને $(x - 3y + k_{2}) = 0$ સ્વરૂપમાં છે.
$(3, -2)$ બિંદુ મૂકતા $k_{1} = -5$ અને $k_{2} = -9$ મળે છે.
સંયુક્ત સમીકરણ $(x - y - 5)(x - 3y - 9) = 0$ છે.
વિસ્તરણ કરતા: $x^{2} + 3y^{2} - 4xy - 14x + 24y + 45 = 0$.

(B) આપેલ પરવલયનું સમીકરણ $y^{2}=12x$ છે.
તેને $y^{2}=4ax$ સાથે સરખાવતા,$4a=12$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $a=3$.
બિંદુ $P(x, y)$ માટે,કોટિ $y=6$ આપેલ છે.
બિંદુ $P$ પરવલય પર હોવાથી,આપણે સમીકરણમાં $y=6$ મૂકીએ:
$(6)^{2}=12x$ $\Rightarrow 36=12x$ $\Rightarrow x=3$.
પરવલય $y^{2}=4ax$ પરના બિંદુ $P(x, y)$ નું નાભિ અંતર $x+a$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$x=3$ અને $a=3$ ની કિંમતો મૂકતા:
નાભિ અંતર $= 3+3=6$.

(B) બિંદુ $(x_{1}, y_{1})$ આગળ પરવલય $y^{2} = 4ax$ ના સ્પર્શકનું સમીકરણ $yy_{1} = 2a(x + x_{1})$ છે.
અહીં,પરવલય $y^{2} = 16x$ છે,તેથી $4a = 16$,જેનો અર્થ છે કે $a = 4$.
બિંદુ $(x_{1}, y_{1}) = (3, 6)$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$y(6) = 2(4)(x + 3)$
$6y = 8(x + 3)$
$6y = 8x + 24$
$2$ વડે ભાગતા:
$3y = 4x + 12$
પદોને ગોઠવતા:
$3y - 4x - 12 = 0$.

(A) ઘટનાઓ $A$ અથવા $B$ માંથી બરાબર એક ઘટના બને તેની સંભાવના $P(A \Delta B) = P(A \cup B) - P(A \cap B)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $P(A \cup B) = 0.6$ અને $P(A \cap B) = 0.2$.
તેથી,બરાબર એક ઘટના બને તેની સંભાવના $0.6 - 0.2 = 0.4$ થાય.

(B) વર્તુળના પરસ્પર લંબ સ્પર્શકોના છેદબિંદુના બિંદુપથને તે વર્તુળનું નિયામક વર્તુળ (director circle) કહેવામાં આવે છે.
$x^{2}+y^{2}=r^{2}$ સમીકરણ ધરાવતા વર્તુળ માટે,નિયામક વર્તુળનું સમીકરણ $x^{2}+y^{2}=2r^{2}$ થાય છે.
અહીં,આપેલ વર્તુળ $x^{2}+y^{2}=16$ છે,તેથી $r^{2}=16$.
આ કિંમત નિયામક વર્તુળના સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $x^{2}+y^{2}=2(16) = 32$ મળે છે.
આમ,માંગેલ બિંદુપથ $x^{2}+y^{2}=32$ છે.

(B) આપેલ વક્ર $y=4 x e^{x}$ છે.
પ્રથમ,ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને વિકલન $\frac{dy}{dx}$ શોધો:
$\frac{dy}{dx} = 4e^{x} + 4x e^{x} = 4e^{x}(1+x)$.
હવે,બિંદુ $\left(-1, -\frac{4}{e}\right)$ આગળ ઢાળ શોધો:
$\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(-1, -4/e)} = 4e^{-1}(1 + (-1)) = 4e^{-1}(0) = 0$.
ઢાળ $0$ હોવાથી,સ્પર્શક એક આડી રેખા છે.
સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - y_1 = m(x - x_1)$ દ્વારા મળે છે:
$y - (-\frac{4}{e}) = 0(x - (-1))$.
$y + \frac{4}{e} = 0$.
તેથી,$y = -\frac{4}{e}$.

(B) ધારો કે $f(x) = x^{1/3}$. આપણે $f(28)$ નું મૂલ્ય શોધવાનું છે.
ધારો કે $x = 27$ અને $\Delta x = 1$,જેથી $x + \Delta x = 28$ થાય.
આપણે જાણીએ છીએ કે $f(x) = x^{1/3}$,તેથી $f'(x) = \frac{1}{3}x^{-2/3} = \frac{1}{3x^{2/3}}$.
આશરે કિંમત શોધવાનું સૂત્ર $f(x + \Delta x) \approx f(x) + f'(x) \Delta x$ છે.
અહીં,$f(27) = (27)^{1/3} = 3$.
$f'(27) = \frac{1}{3(27)^{2/3}} = \frac{1}{3(9)} = \frac{1}{27}$.
તેથી,$f(28) \approx 3 + \frac{1}{27} \times 1$.
$f(28) \approx 3 + 0.037037... \approx 3.037$.

(A) આપેલ વક્રો $x^{2}=y$ અને $y=4x$ છે.
છેદબિંદુઓ શોધવા માટે,$y=x^{2}$ ને $y=4x$ માં મૂકતા:
$x^{2}=4x \implies x^{2}-4x=0 \implies x(x-4)=0$.
તેથી,$x=0$ અને $x=4$.
જ્યારે $x=0, y=0$ અને જ્યારે $x=4, y=16$.
છેદબિંદુઓ $(0,0)$ અને $(4,16)$ છે.
જરૂરી ક્ષેત્રફળ $A$ નીચે મુજબ સંકલન દ્વારા મળે છે:
$A = \int_{0}^{4} (4x - x^{2}) dx$.
પદોનું સંકલન કરતા:
$A = \left[ \frac{4x^{2}}{2} - \frac{x^{3}}{3} \right]_{0}^{4} = \left[ 2x^{2} - \frac{x^{3}}{3} \right]_{0}^{4}$.
સીમાઓ મૂકતા:
$A = \left( 2(4)^{2} - \frac{(4)^{3}}{3} \right) - (0) = \left( 32 - \frac{64}{3} \right) = \frac{96-64}{3} = \frac{32}{3} \text{ ચોરસ એકમ}$.

(A) ધારો કે $I = \int_{0}^{\pi / 2} \frac{\sin x - \cos x}{1 - \sin x \cos x} d x$ $(i)$
ગુણધર્મ $\int_{0}^{a} f(x) dx = \int_{0}^{a} f(a-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા,$x$ ને $(\frac{\pi}{2} - x)$ વડે બદલતા:
$I = \int_{0}^{\pi / 2} \frac{\sin(\frac{\pi}{2} - x) - \cos(\frac{\pi}{2} - x)}{1 - \sin(\frac{\pi}{2} - x) \cos(\frac{\pi}{2} - x)} dx$
કારણ કે $\sin(\frac{\pi}{2} - x) = \cos x$ અને $\cos(\frac{\pi}{2} - x) = \sin x$,તેથી:
$I = \int_{0}^{\pi / 2} \frac{\cos x - \sin x}{1 - \cos x \sin x} dx$
$I = - \int_{0}^{\pi / 2} \frac{\sin x - \cos x}{1 - \sin x \cos x} dx$
$I = -I$ (ii)
સમીકરણ $(i)$ અને (ii) નો સરવાળો કરતા:
$I + I = 0$
$2I = 0$
$I = 0$

(C) દરેક સંકલનનું મૂલ્ય નીચે મુજબ છે:
$(a)$ $\int_{0}^{1} e^{x} dx = [e^{x}]_{0}^{1} = e^{1} - e^{0} = e - 1$. આ ખોટું છે.
$(b)$ $\int_{0}^{1} 2^{x} dx = [\frac{2^{x}}{\log_{e} 2}]_{0}^{1} = \frac{1}{\log 2} \cdot (2^{1} - 2^{0}) = \frac{1}{\log 2}$. આ ખોટું છે.
$(c)$ $\int_{0}^{1} \sqrt{x} dx = \int_{0}^{1} x^{1/2} dx = [\frac{x^{3/2}}{3/2}]_{0}^{1} = \frac{2}{3} [1^{3/2} - 0^{3/2}] = \frac{2}{3}$. આ સાચું છે.
$(d)$ $\int_{0}^{1} x dx = [\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1} = \frac{1}{2} - 0 = \frac{1}{2}$. આ ખોટું છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \sqrt[3]{1-\left(\frac{d y}{d x}\right)^{4}}$ છે.
ક્રમ અને ઘાત શોધવા માટે,આપણે બંને બાજુ ઘન કરીને કરણી દૂર કરીએ છીએ:
$\left(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\right)^{3} = 1 - \left(\frac{d y}{d x}\right)^{4}$.
વિકલ સમીકરણનો ક્રમ એ તેમાં રહેલા સૌથી ઉચ્ચ વિકલનનો ક્રમ છે. અહીં,સૌથી ઉચ્ચ વિકલન $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ છે,તેથી ક્રમ $2$ છે.
વિકલ સમીકરણની ઘાત એ સૌથી ઉચ્ચ વિકલનની ઘાત છે જ્યારે સમીકરણને વિકલનોના બહુપદી સ્વરૂપમાં દર્શાવવામાં આવે. અહીં,$\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ ની ઘાત $3$ છે.
તેથી,ક્રમ $2$ અને ઘાત $3$ છે.

(B) આપેલ રેખાઓનું કુળ: $y = mx + \frac{4}{m}$ $(i)$
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = m$
સમીકરણ $(i)$ માં $m = \frac{dy}{dx}$ મુકતા:
$y = x\left(\frac{dy}{dx}\right) + \frac{4}{\frac{dy}{dx}}$
છેદ દૂર કરવા માટે આખા સમીકરણને $\frac{dy}{dx}$ વડે ગુણતા:
$y\left(\frac{dy}{dx}\right) = x\left(\frac{dy}{dx}\right)^{2} + 4$
પદોને ગોઠવતા આપણને માંગેલ વિકલ સમીકરણ મળે છે:
$x\left(\frac{dy}{dx}\right)^{2} - y\frac{dy}{dx} + 4 = 0$
આમ,માંગેલ વિકલ સમીકરણ $x\left(\frac{dy}{dx}\right)^{2} - y\frac{dy}{dx} + 4 = 0$ છે.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા $z$ માટે,$\tan^{-1}(z) + \cot^{-1}(z) = \frac{\pi}{2}$ થાય છે.
આપેલ સમીકરણ $xy = \tan^{-1}(xy) + \cot^{-1}(xy)$ માં $z = xy$ મૂકતા,આપણને $xy = \frac{\pi}{2}$ મળે છે.
હવે,બંને બાજુએ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx}(xy) = \frac{d}{dx}(\frac{\pi}{2})$
$x \frac{dy}{dx} + y(1) = 0$
$x \frac{dy}{dx} = -y$
$\frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}$

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \frac{x+y+1}{x+y-1}$ છે.
ધારો કે $x+y = t$.
$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા,$1 + \frac{dy}{dx} = \frac{dt}{dx}$,તેથી $\frac{dy}{dx} = \frac{dt}{dx} - 1$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{dt}{dx} - 1 = \frac{t+1}{t-1}$
$\frac{dt}{dx} = \frac{t+1}{t-1} + 1 = \frac{t+1+t-1}{t-1} = \frac{2t}{t-1}$.
ચલને અલગ કરતા,$\left(\frac{t-1}{2t}\right) dt = dx$.
આને સાદું રૂપ આપતા $\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2t}\right) dt = dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2t}\right) dt = \int dx$
$\frac{1}{2}t - \frac{1}{2} \log |t| = x + C_1$.
$2$ વડે ગુણતા:
$t - \log |t| = 2x + 2C_1$.
$t = x+y$ પાછું મૂકતા:
$(x+y) - \log |x+y| = 2x + C$ (જ્યાં $C = 2C_1$).
$y - x = \log |x+y| + C$,જેને $y = x + \log |x+y| + C$ તરીકે લખી શકાય.

(A) આપેલ ગતિનું સમીકરણ: $s = 2t^{3} - 9t^{2} + 12t$.
વેગ $v$ શોધવા માટે,આપણે $s$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$v = \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}(2t^{3} - 9t^{2} + 12t) = 6t^{2} - 18t + 12$.
પ્રવેગ $a$ શોધવા માટે,આપણે વેગ $v$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(6t^{2} - 18t + 12) = 12t - 18$.
પ્રવેગ શૂન્ય થાય તે માટે,આપણે $a = 0$ લઈએ:
$12t - 18 = 0$
$12t = 18$
$t = \frac{18}{12} = \frac{3}{2} \ s = 1.5 \ s$.
આમ,$1.5 \ s$ પછી કણનો પ્રવેગ શૂન્ય થશે.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $\Delta = E - 1$,તેથી $\Delta^{2} = (E - 1)^{2} = E^{2} - 2E + 1$.
આપેલ પદાવલિ $\left(\frac{\Delta^{2}}{E}\right) x^{3} = \left(\frac{E^{2} - 2E + 1}{E}\right) x^{3}$ છે.
આનું સાદું રૂપ $(E - 2 + E^{-1}) x^{3}$ થાય છે.
ઓપરેટર્સ લાગુ કરતા: $E(x^{3}) = (x+1)^{3}$,$-2(x^{3}) = -2x^{3}$,અને $E^{-1}(x^{3}) = (x-1)^{3}$.
આ બધાનો સરવાળો કરતા: $(x+1)^{3} - 2x^{3} + (x-1)^{3}$.
પદોનું વિસ્તરણ કરતા: $(x^{3} + 3x^{2} + 3x + 1) - 2x^{3} + (x^{3} - 3x^{2} + 3x - 1)$.
સમાન પદોને ભેગા કરતા: $(x^{3} - 2x^{3} + x^{3}) + (3x^{2} - 3x^{2}) + (3x + 3x) + (1 - 1) = 6x$.

(A) આપેલ છે,$x = 2 \cos \theta - \cos 2 \theta$ અને $y = 2 \sin \theta - \sin 2 \theta$.
$\theta$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા:
$\frac{dx}{d\theta} = -2 \sin \theta + 2 \sin 2 \theta = 2(\sin 2 \theta - \sin \theta)$.
$\frac{dy}{d\theta} = 2 \cos \theta - 2 \cos 2 \theta = 2(\cos \theta - \cos 2 \theta)$.
હવે,$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{2(\cos \theta - \cos 2 \theta)}{2(\sin 2 \theta - \sin \theta)} = \frac{\cos \theta - \cos 2 \theta}{\sin 2 \theta - \sin \theta}$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cos C - \cos D = -2 \sin \frac{C+D}{2} \sin \frac{C-D}{2}$ અને $\sin C - \sin D = 2 \cos \frac{C+D}{2} \sin \frac{C-D}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{-2 \sin \frac{3 \theta}{2} \sin \frac{-\theta}{2}}{2 \cos \frac{3 \theta}{2} \sin \frac{\theta}{2}} = \frac{2 \sin \frac{3 \theta}{2} \sin \frac{\theta}{2}}{2 \cos \frac{3 \theta}{2} \sin \frac{\theta}{2}} = \tan \frac{3 \theta}{2}$.

(C) આપેલ સમીકરણ: $e^{x} + e^{y} = e^{x+y}$.
બંને બાજુને $e^{x+y}$ વડે ભાગતા:
$\frac{e^{x}}{e^{x+y}} + \frac{e^{y}}{e^{x+y}} = 1$
$e^{-y} + e^{-x} = 1$
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx}(e^{-y}) + \frac{d}{dx}(e^{-x}) = \frac{d}{dx}(1)$
$-e^{-y} \frac{dy}{dx} - e^{-x} = 0$
$-e^{-y} \frac{dy}{dx} = e^{-x}$
$\frac{dy}{dx} = -\frac{e^{-x}}{e^{-y}}$
$\frac{dy}{dx} = -e^{y-x}$

(A) ધારો કે $u = \cos^{3} x$ અને $v = \sin^{3} x$.
ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરીને,આપણે $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન મેળવીએ છીએ:
$\frac{du}{dx} = 3 \cos^{2} x (-\sin x) = -3 \cos^{2} x \sin x$
$\frac{dv}{dx} = 3 \sin^{2} x (\cos x) = 3 \sin^{2} x \cos x$
હવે,$u$ નું $v$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન નીચે મુજબ છે:
$\frac{du}{dv} = \frac{du/dx}{dv/dx} = \frac{-3 \cos^{2} x \sin x}{3 \sin^{2} x \cos x}$
પદનું સાદું રૂપ આપતા:
$\frac{du}{dv} = -\frac{\cos x}{\sin x} = -\cot x$

(A) સંકલન $\int x \log x \, dx$ ની ગણતરી કરવા માટે,આપણે ખંડશઃ સંકલનની રીતનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$.
ધારો કે $u = \log x$ અને $dv = x \, dx$.
તેથી,$du = \frac{1}{x} \, dx$ અને $v = \frac{x^2}{2}$.
સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\int x \log x \, dx = (\log x) \cdot \frac{x^2}{2} - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} \, dx$
$= \frac{x^2}{2} \log x - \frac{1}{2} \int x \, dx$
$= \frac{x^2}{2} \log x - \frac{1}{2} \cdot \frac{x^2}{2} + c$
$= \frac{x^2}{2} \log x - \frac{x^2}{4} + c$
$= \frac{x^2}{4} (2 \log x - 1) + c$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $\int e^{x} [f(x) + f'(x)] dx = e^{x} f(x) + c$.
આપેલ સંકલન $\int e^{x} \left(\frac{x-1}{x^{2}}\right) dx$ છે.
આને $\int e^{x} \left(\frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}}\right) dx$ તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.
અહીં,ધારો કે $f(x) = \frac{1}{x}$,તો $f'(x) = -\frac{1}{x^{2}}$ થાય.
સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\int e^{x} \left(\frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}}\right) dx = e^{x} \left(\frac{1}{x}\right) + c = \frac{e^{x}}{x} + c$ મળે છે.

(B) ધારો કે $I = \int_{5}^{10} \frac{1}{(x-1)(x-2)} dx$.
આંશિક અપૂર્ણાંકની રીતનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{1}{(x-1)(x-2)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x-2}$.
અચળાંકો શોધતા,આપણને $A = -1$ અને $B = 1$ મળે છે.
તેથી,$I = \int_{5}^{10} \left( \frac{-1}{x-1} + \frac{1}{x-2} \right) dx$.
સંકલન કરતા,$I = [-\log|x-1| + \log|x-2|]_{5}^{10}$.
$I = [\log|\frac{x-2}{x-1}|]_{5}^{10}$.
સીમાઓ મૂકતા,$I = \log|\frac{10-2}{10-1}| - \log|\frac{5-2}{5-1}|$.
$I = \log(\frac{8}{9}) - \log(\frac{3}{4})$.
$I = \log(\frac{8/9}{3/4}) = \log(\frac{8}{9} \times \frac{4}{3}) = \log(\frac{32}{27})$.

(C) ધારો કે $I = \int [\sin (\log x) + \cos (\log x)] \, dx$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{d}{dx} [x \sin (\log x)] = \sin (\log x) \cdot \frac{d}{dx}(x) + x \cdot \cos (\log x) \cdot \frac{d}{dx}(\log x)$.
$= \sin (\log x) \cdot 1 + x \cdot \cos (\log x) \cdot \frac{1}{x}$.
$= \sin (\log x) + \cos (\log x)$.
તેથી,$\int [\sin (\log x) + \cos (\log x)] \, dx = \int \frac{d}{dx} [x \sin (\log x)] \, dx$.
$= x \sin (\log x) + c$.

(C) શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ શરતો $2x + 3y \leq 18$,$2x + y \leq 10$,$x \geq 0$,અને $y \geq 0$ દ્વારા નક્કી થાય છે. શક્ય ઉકેલના પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ $O(0, 0)$,$A(5, 0)$,$B(3, 4)$,અને $C(0, 6)$ છે.
દરેક શિરોબિંદુ પર હેતુલક્ષી વિધેય $z = 9x + 13y$ ની કિંમત તપાસીએ:
$1$. $O(0, 0)$ પર: $z = 9(0) + 13(0) = 0$
$2$. $A(5, 0)$ પર: $z = 9(5) + 13(0) = 45$
$3$. $B(3, 4)$ પર: $z = 9(3) + 13(4) = 27 + 52 = 79$
$4$. $C(0, 6)$ પર: $z = 9(0) + 13(6) = 78$
આ કિંમતોની સરખામણી કરતા,$z$ ની મહત્તમ કિંમત $79$ મળે છે.

(B) આપેલ છે કે,$A=\left[\begin{array}{rr}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta\end{array}\right]$.
$AB=BA=I$ હોવાથી,$B$ એ $A$ નો વ્યસ્ત શ્રેણિક છે,એટલે કે $B=A^{-1}$.
$A$ નો નિશ્ચાયક $|A| = \cos^2 \theta - (-\sin^2 \theta) = \cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ થાય.
$2 \times 2$ શ્રેણિક $\left[\begin{array}{rr}a & b \\ c & d\end{array}\right]$ નો વ્યસ્ત $\frac{1}{ad-bc} \left[\begin{array}{rr}d & -b \\ -c & a\end{array}\right]$ છે.
આ સૂત્રનો ઉપયોગ $A$ માટે કરતા,આપણને $B = A^{-1} = \frac{1}{1} \left[\begin{array}{rr}\cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta\end{array}\right]$ મળે.
આમ,$B = \left[\begin{array}{rr}\cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta\end{array}\right]$ થાય.

(A) પદાવલિ $a_{11} A_{11} + a_{12} A_{12} + a_{13} A_{13}$ એ શ્રેણિક $A$ ના નિશ્ચાયકનું પ્રથમ હારની સાપેક્ષમાં વિસ્તરણ દર્શાવે છે.
તેથી,$a_{11} A_{11} + a_{12} A_{12} + a_{13} A_{13} = |A|$.
$|A| = 3 \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 6 \end{vmatrix} - 2 \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 3 & 6 \end{vmatrix} + 4 \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 2 \end{vmatrix}$.
$|A| = 3(12 - 2) - 2(6 - 3) + 4(2 - 6)$.
$|A| = 3(10) - 2(3) + 4(-4)$.
$|A| = 30 - 6 - 16 = 8$.

(B) $8$ છોકરાઓ અને $3$ છોકરીઓમાંથી $5$ સભ્યોની સમિતિ બનાવવાની કુલ રીતો $C(11, 5) = 462$ છે.
જો $2$ ચોક્કસ છોકરીઓનો સમાવેશ કરવાનો હોય,તો આપણે બાકીના $9$ લોકો ($8$ છોકરાઓ અને $1$ છોકરી) માંથી $3$ સભ્યો પસંદ કરવા પડે.
બાકીના $3$ સભ્યો પસંદ કરવાની રીતો $C(9, 3) = 84$ છે.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $\frac{84}{462} = \frac{2}{11}$ છે.

(C) અહીં $P(A)=0.5, P(B)=0.4$ અને $P(A \cap B)=0.3$ આપેલ છે.
આપણે $P(A^{\prime} \mid B^{\prime})$ શોધવાનું છે.
શરતી સંભાવનાની વ્યાખ્યા મુજબ,$P(A^{\prime} \mid B^{\prime}) = \frac{P(A^{\prime} \cap B^{\prime})}{P(B^{\prime})}$.
ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ,$A^{\prime} \cap B^{\prime} = (A \cup B)^{\prime}$,તેથી $P(A^{\prime} \cap B^{\prime}) = P((A \cup B)^{\prime}) = 1 - P(A \cup B)$.
પ્રથમ,$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 0.5 + 0.4 - 0.3 = 0.6$ ગણો.
તેથી,$P(A^{\prime} \cap B^{\prime}) = 1 - 0.6 = 0.4$.
વળી,$P(B^{\prime}) = 1 - P(B) = 1 - 0.4 = 0.6$.
આમ,$P(A^{\prime} \mid B^{\prime}) = \frac{0.4}{0.6} = \frac{2}{3}$.

(A) ધારો કે બિંદુ $P(x, y, z)$ એ $A(5, -3, -2)$ અને $B(1, 2, -2)$ ને જોડતા રેખાખંડનું $m:1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
બિંદુ $P$ એ $XOZ$-સમતલ પર હોવાથી,તેનો $y$-યામ $0$ થશે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$P$ નો $y$-યામ $\frac{m(2) + 1(-3)}{m + 1} = 0$ થાય.
$\Rightarrow 2m - 3 = 0 \Rightarrow m = \frac{3}{2}$.
હવે,$m = \frac{3}{2}$ નો ઉપયોગ કરીને $x$ અને $z$ યામ શોધીએ:
$x = \frac{m(1) + 1(5)}{m + 1} = \frac{\frac{3}{2}(1) + 5}{\frac{3}{2} + 1} = \frac{\frac{3+10}{2}}{\frac{5}{2}} = \frac{13}{5}$.
$z = \frac{m(-2) + 1(-2)}{m + 1} = \frac{\frac{3}{2}(-2) - 2}{\frac{3}{2} + 1} = \frac{-3 - 2}{\frac{5}{2}} = \frac{-5}{\frac{5}{2}} = -2$.
તેથી,માંગેલ બિંદુ $\left(\frac{13}{5}, 0, -2\right)$ છે.

(B) ધારો કે રેખા $\overrightarrow{OR}$ ના દિકકોસાઇન $l, m, n$ છે.
રેખા $XOY, YOZ, ZOX$ સમતલો સાથે અનુક્રમે $\theta_{1}, \theta_{2}, \theta_{3}$ ખૂણા બનાવે છે,તેથી આ સમતલોના લંબ (જે $Z, X, Y$ અક્ષો છે) સાથેના ખૂણા $\frac{\pi}{2}-\theta_{1}, \frac{\pi}{2}-\theta_{2}, \frac{\pi}{2}-\theta_{3}$ થાય.
આથી,$|l| = \sin \theta_{2}$,$|m| = \sin \theta_{3}$,અને $|n| = \sin \theta_{1}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે દિકકોસાઇન માટે $l^{2}+m^{2}+n^{2}=1$.
કિંમતો મૂકતા,$\sin^{2} \theta_{2} + \sin^{2} \theta_{3} + \sin^{2} \theta_{1} = 1$.
નિત્યસમ $\sin^{2} \theta = 1 - \cos^{2} \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,$(1-\cos^{2} \theta_{2}) + (1-\cos^{2} \theta_{3}) + (1-\cos^{2} \theta_{1}) = 1$.
$3 - (\cos^{2} \theta_{1} + \cos^{2} \theta_{2} + \cos^{2} \theta_{3}) = 1$.
તેથી,$\cos^{2} \theta_{1} + \cos^{2} \theta_{2} + \cos^{2} \theta_{3} = 3 - 1 = 2$.

(A) ધારો કે સમતલનું સમીકરણ $A(x + 2) + B(y - 2) + C(z - 2) = 0$ છે.
તે $(2, -2, -2)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,$A(2 + 2) + B(-2 - 2) + C(-2 - 2) = 0$,જેનું સાદું રૂપ $4A - 4B - 4C = 0$ અથવા $A - B - C = 0$ થાય છે ... $(i)$.
આ સમતલ $9x - 13y - 3z = 0$ ને લંબ છે,તેથી જરૂરી સમતલનો અભિલંબ સદિશ $(A, B, C)$ એ આપેલ સમતલના અભિલંબ સદિશ $(9, -13, -3)$ ને લંબ છે.
તેથી,$9A - 13B - 3C = 0$ ... $(ii)$.
$(i)$ અને $(ii)$ ને ક્રોસ પ્રોડક્ટ દ્વારા ઉકેલતા:
$\frac{A}{(-1)(-3) - (-1)(-13)} = \frac{B}{(-1)(9) - (1)(-3)} = \frac{C}{(1)(-13) - (-1)(9)}$
$\frac{A}{3 - 13} = \frac{B}{-9 + 3} = \frac{C}{-13 + 9}$
$\frac{A}{-10} = \frac{B}{-6} = \frac{C}{-4}$
ગુણોત્તરનું સાદું રૂપ આપતા,$A:B:C = 5:3:2$ મળે છે.
આ કિંમતોને સમતલના સમીકરણમાં મૂકતા: $5(x + 2) + 3(y - 2) + 2(z - 2) = 0$.
$5x + 10 + 3y - 6 + 2z - 4 = 0$.
$5x + 3y + 2z = 0$.

(A) આપેલ સમીકરણ: $2 \overrightarrow{a} + 3 \overrightarrow{b} - 5 \overrightarrow{c} = \overrightarrow{0}$
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને મળે છે: $5 \overrightarrow{c} = 2 \overrightarrow{a} + 3 \overrightarrow{b}$
$5$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે: $\overrightarrow{c} = \frac{2 \overrightarrow{a} + 3 \overrightarrow{b}}{5}$
કારણ કે $2 + 3 = 5$,આપણે તેને આ રીતે લખી શકીએ: $\overrightarrow{c} = \frac{2 \overrightarrow{a} + 3 \overrightarrow{b}}{2 + 3}$
આ અંતઃવિભાજન માટેનું વિભાજન સૂત્ર છે,જે જણાવે છે કે જો બિંદુ $C$ એ રેખાખંડ $AB$ ને $m:n$ ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે,તો તેનો સ્થાન સદિશ $\overrightarrow{c} = \frac{n \overrightarrow{a} + m \overrightarrow{b}}{m + n}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સૂત્ર $\overrightarrow{c} = \frac{n \overrightarrow{a} + m \overrightarrow{b}}{m + n}$ સાથે $\overrightarrow{c} = \frac{2 \overrightarrow{a} + 3 \overrightarrow{b}}{2 + 3}$ ની સરખામણી કરતા,આપણે $n = 2$ અને $m = 3$ મેળવીએ છીએ.
તેથી,બિંદુ $C$ એ રેખાખંડ $AB$ ને $m:n = 3:2$ ના ગુણોત્તરમાં અંતઃવિભાજન કરે છે.

(B) આપેલ છે કે $\overrightarrow{p} = x \overrightarrow{a} + y \overrightarrow{b} + z \overrightarrow{c}$.
સદિશોની કિંમત મૂકતા:
$3 \hat{i} + 2 \hat{j} + 4 \hat{k} = x(\hat{i} + \hat{j}) + y(\hat{j} + \hat{k}) + z(\hat{i} + \hat{k})$
$3 \hat{i} + 2 \hat{j} + 4 \hat{k} = (x + z) \hat{i} + (x + y) \hat{j} + (y + z) \hat{k}$
બંને બાજુ $\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$x + z = 3$ $(i)$
$x + y = 2$ $(ii)$
$y + z = 4$ $(iii)$
$(i), (ii),$ અને $(iii)$ નો સરવાળો કરતા:
$2(x + y + z) = 3 + 2 + 4 = 9 \Rightarrow x + y + z = 4.5$
સરવાળામાંથી $(iii)$ બાદ કરતા: $x = 4.5 - 4 = 0.5 = \frac{1}{2}$
સરવાળામાંથી $(i)$ બાદ કરતા: $y = 4.5 - 3 = 1.5 = \frac{3}{2}$
સરવાળામાંથી $(ii)$ બાદ કરતા: $z = 4.5 - 2 = 2.5 = \frac{5}{2}$
આમ,$x = \frac{1}{2}, y = \frac{3}{2}, z = \frac{5}{2}$.

(B) સમાંતરફલકનું ઘનફળ, જેના સંગામી ધાર સદિશો $\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{OB}$ અને $\overrightarrow{OC}$ હોય, તે અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $|[\overrightarrow{OA} \overrightarrow{OB} \overrightarrow{OC}]|$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ શિરોબિંદુઓ $O(0,0,0)$, $A(2,-2,1)$, $B(5,-4,4)$ અને $C(1,-2,4)$ પરથી સદિશો નીચે મુજબ છે:
$\overrightarrow{OA} = 2\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$
$\overrightarrow{OB} = 5\hat{i} - 4\hat{j} + 4\hat{k}$
$\overrightarrow{OC} = \hat{i} - 2\hat{j} + 4\hat{k}$
ઘનફળ એ નિશ્ચાયકનું નિરપેક્ષ મૂલ્ય છે:
$V = \left| \begin{vmatrix} 2 & -2 & 1 \\ 5 & -4 & 4 \\ 1 & -2 & 4 \end{vmatrix} \right|$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$V = |2((-4)(4) - (4)(-2)) - (-2)((5)(4) - (4)(1)) + 1((5)(-2) - (-4)(1))|$
$V = |2(-16 + 8) + 2(20 - 4) + 1(-10 + 4)|$
$V = |2(-8) + 2(16) + 1(-6)|$
$V = |-16 + 32 - 6|$
$V = |10| = 10 \text{ ઘન એકમ}$.